Dạy học Đại số 7 theo hướng bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HỮU TRÍ

DẠY HỌC ĐẠI SỐ 7 THEO HƯỚNG
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC


VINH, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HỮU TRÍ

DẠY HỌC ĐẠI SỐ 7 THEO HƯỚNG
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ XUÂN TRƯỜNG


VINH, 2015

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến TS
Lê Xuân Trường, mặc dù bận rộn với rất nhiều công việc nhưng vẫn tận tình
hướng dẫn và hết lòng giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Khoa Toán - trường ĐH Vinh, phòng Đào tạo sau đại học - trường ĐH
Vinh; Khoa liên kết Trường ĐH Kinh tế Công nghiệp Long An đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.
- Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THCS Phước Lưu đã hỗ trợ
và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khoá học;
- Quý thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa XXI chuyên
ngành Phương pháp dạy học bộ môn Toán, những người đã mang đến
cho tôi những kiến thức vô cùng quý báu và bổ ích cho công việc của
tôi sau này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân đến những người thân trong gia đình tôi
đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi cả về vật chất lẫn tinh thần trong suốt
khoá học cũng như trong quá trình làm luận văn.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự
những trao đổi và góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Vinh, tháng 05 năm 2015
Tác giả luận văn


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU.................................................................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu:................................................................................................................................3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................................................................3
4. Giả thuyết khoa học...................................................................................................................................4

5. Phương pháp nghiên cứu..........................................................................................................................4
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................................................................5
7. Dự kiến đóng góp của luận văn.................................................................................................................5
8. Cấu trúc của luận văn............................................................................................................................5
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN................................................................................................. 6
1.1. Một số vấn đề chung về năng lực và năng lực toán học........................................................................6
1.1.1 Năng lực...........................................................................................................................................6
1.1.2 Năng lực toán học ...........................................................................................................................8
1.1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học...............................................................................10
1.1.4 Một số nhận định về thành tố chung của năng lực toán học.......................................................17
1.2 Một số phương pháp dạy học ở cấp THCS theo định hướng phát triển năng lực...............................19
1.2.1 Định hướng chung về các PPDH theo hướng phát triển năng lực của HS.....................................19
1.2.2 Sơ lược một số phương pháp dạy học ở cấp THCS theo định hướng phát triển năng lực...........20
1.3 Sơ lược nội dung dạy học Đại số lớp 7..................................................................................................28
1.4 Thực trạng của việc bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh qua dạy học Đại số 7........................32
1.4.1 Hình thức khảo sát.........................................................................................................................32
1.4.2 Địa bàn khảo sát.............................................................................................................................33
1.4.3 Đánh giá khảo sát...........................................................................................................................33
1.5 Kết luận chương 1 .................................................................................................................................36
Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
THCS TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 7............................................................................................................. 38
2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp................................................................................38
2.2 Một số yếu tố năng lực toán học cần bồi dưỡng cho học sinh thông qua dạy học Đại số 7.................38
2.2.1 Năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học toán.............................................................................39
2.2.2 Năng lực tư duy toán học...............................................................................................................40
2.2.3 Năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn....................................................................43
2.3 Các biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh trong dạy học Đại
số 7...............................................................................................................................................................44
2.3.1 Biện pháp 1. Bồi dưỡng năng lực học Toán cho học sinh qua dạy học Đại số 7 theo phương pháp
phát hiện và giải quyết vấn đề ................................................................................................................44

2.3.2 Biện pháp 2. Bồi dưỡng năng lực phân tích, tổng hợp, đánh giá và khả năng huy động kiến thức
cho học sinh thông qua phân tích, sửa chữa sai lầm trong giải bài tập Đại số 7.....................................54
2.3.3 Biện pháp 3. Bồi dưỡng năng lực tư duy thuật toán và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh
qua việc áp dụng 4 bước giải toán của G.Polya vào giải bài tập Đại số 7................................................59
2.3.4 Biện pháp 4. Bồi dưỡng năng lực sáng tạo, tư duy linh hoạt, nhạy bén cho học sinh thông qua
việc giải bài tập Đại số 7 bằng nhiều cách khác nhau..............................................................................73


2.3.5 Biện pháp 5 Bồi dưỡng năng lực suy luận, tư duy lôgic và ngôn ngữ toán học thông qua một số
bài tập chứng minh phản chứng..............................................................................................................78
2.3.6 Biện pháp 6 Bồi dưỡng kĩ năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn thông qua giải một số
bài tập Đại số 7 liên quan đến thực tế.....................................................................................................83
2.4 Kết luận chương 2.................................................................................................................................87
Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM...................................................................................................... 89
3.1 Mục đích thực nghiệm...........................................................................................................................89
3.2 Nội dung thực nghiệm ..........................................................................................................................89
3.3 Tổ chức thực nghiệm.............................................................................................................................89
3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm..............................................................................................................90
3.5. Đánh giá kết quả..................................................................................................................................92
3.6 Kết luận chương 3.................................................................................................................................93
KẾT LUẬN.............................................................................................................................................. 93
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................................................. 94
Phụ lục 1................................................................................................................................................ 98
Phụ lục 2.............................................................................................................................................. 100
Phụ lục 3.............................................................................................................................................. 101


NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT LUẬN VĂN
GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NL

Năng lực

NLTH

Năng lực toán học

PPDH

Phương pháp dạy học

SGK

Sách giáo khoa

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiệm vụ cấp bách của ngành giáo dục nước ta hiện nay là đào tạo
nên những con người phát triển toàn diện, có năng lực giỏi, có tư duy
sáng tạo, năng động, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao của
yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa gắn với phát triển
kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa. Để thực hiện nhiệm vụ đó,
trong những năm gần đây, chúng ta đã và đang đổi mới giáo dục, đặc
biệt là chú trọng đổi mới phương pháp dạy và học. Nghị quyết TW 8
(khóa XI) đã nêu: “Phát triển giáo dục, đào tạo là nâng cao dân trí,
đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo
dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang sang phát triển toàn diện năng
lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với
thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo
dục xã hội”. Cụ thể, “ Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát
triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát
hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh.
Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng,
truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ
năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả
năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”. Do vậy, cần
phải thay đổi nội dung và đặc biệt là cách dạy học ở trường để học
sinh sớm tiếp cận với các bài toán thực tiễn, tăng cường khả năng thực
hành, giải quyết vấn đề, qua đó học sinh phát triển các năng lực cần
thiết trong cuộc sống và làm quen dần với môi trường lao động sau
khi ra trường.

2

Một trong những điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình sách
giáo khoa phổ thông sau năm 2015 là xây dựng và phát triển chương
trình theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh. Để có năng
lực, cần có cách tiếp cận mới. Tuy nhiên, cách tiếp cận đó không “xa
lạ” mà có sẵn trong nội dung chương trình hiện hành vì cơ bản các
yếu tố cấu thành năng lực vẫn là kiến thức, kĩ năng. Do vậy, chúng ta
có thể cấu trúc lại chương trình dạy học hiện tại, rà soát và tổ chức lại
các nội dung và hình thức dạy học. Vẫn là bám sát chuẩn kiến thức, kĩ
năng cần đạt theo quy định hiện hành nhưng có thể áp dụng các
phương pháp dạy học khác nhau nhằm phát triển năng lực cho học
sinh.
Năng lực toán học thuộc nhóm năng lực chuyên môn bao gồm các
năng lực: Giải quyết các vấn đề toán học; Lập luận toán học; Mô hình
hóa toán học; Giao tiếp toán học; Tranh luận về các nội dung toán
học; Vận dụng các cách trình bày toán học; Sử dụng các kí hiệu, công
thức các yếu tố thuật toán.
Là một giáo viên dạy toán bậc THCS, bản thân nhận thấy việc phát
triển năng lực nói chung và năng lực toán học cho học sinh là một
việc làm cần thiết. Phát triển năng lực toán học chẳng những giúp học
sinh giải quyết các vấn đề toán học, phát triển tư duy toán học mà còn
giúp học sinh phát triển năng lực ở các môn liên quan như: Vật lí,
Hóa học, Sinh học,..... góp phần giáo dục học sinh một cách toàn diện
hơn.
Nội dung đại số ở lớp 7 ở cấp THCS cung cấp cho học sinh các
kiến thức về số hữu tỉ, số thực; các khái niệm ban đầu về hàm số, và
đồ thị; các kiến thức về thống kê và những hiểu biết cơ bản về biểu

thức đại số, đơn thức, đa thức, các phép tính cộng trừ đơn thức, cộng


3

trừ đa thức,...Đây là những kiến thức cơ bản làm nền tảng giúp học
sinh học tốt các kiến thức tương ứng ở những lớp sau.
Có rất nhiều ý kiến khác nhau đề cập tới những thành tố của năng
lực toán học mà trong số đó có nhiều tác giả nổi tiếng chẳng hạn như
V. A. Krutecxki, A. N. Kôlmôgôrôv, A. I. Marcusêvich, B. V.
Gơnhedencô, ...Trong nước, có những công trình đề cập đến bồi
dưỡng năng lực toán học, chẳng hạn luận án "Xây dựng hệ thống bài
tập số học nhằm bồi dưỡng một số yếu tố năng lực toán học cho học
sinh khá, giỏi đầu cấp THCS" của Trần Đình Châu. Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ : “Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố năng lực toán học
cho HS thông qua việc khai thác các bài tập trong chương trình
THPT” của tác giả Trần Duy Thành,...nhưng các công trình này chỉ
chủ yếu nói về cách thức xây dựng hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng
một số yếu tố năng lực toán học cho HS đầu cấp THCS hoặc THPT,
trong tất cả các công trình trên chưa có công trình nào nghiên cứu về
nội dung Đại số 7.
Vì các lí do trên chúng tôi chọn vấn đề “Dạy học Đại số lớp 7 theo
hướng bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh" làm đề tài nghiên
cứu.
2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu những quan điểm,
nhận định của một số nhà nghiên cứu về năng lực, năng lực toán học
trên cơ sở đó đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi
dưỡng năng lực toán học cho học sinh qua dạy học Đại số 7.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các quan điểm, cơ sở lí luận liên quan đến năng lực
toán học


4

- Nghiên cứu đặc điểm kiến thức, chương trình Đại số lớp 7 ở
trường THCS.
- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực toán
học cho học sinh thông qua dạy học Đại số lớp 7.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm xem xét tính khả thi của phương
án đề xuất; tìm hiểu khả năng triển khai trong thực tiễn.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm theo định hướng bồi
dưỡng năng lực toán học cho HS từ chương trình, SGK Toán 7 hiện
hành thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Đại số lớp 7, đáp ứng
yêu cầu bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1 Nghiên cứu lý luận
Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các lý thuyết về phương pháp
dạy học trong lý luận dạy học, dạy học theo định hướng phát triển
năng lực của người học, tâm lý học sư phạm, sách giáo khoa, sách
giáo viên, sách bài tập,....
Phân tích nội dung, chương trình phần Đại số lớp 7 để từ đó đề ra
các biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng năng lực toán học cho học
sinh thông qua dạy học Đại số 7.
5.2 Nghiên cứu thực tiễn
Dự giờ, quan sát dạy học chủ đề Đại số của một số giáo viên có
kinh nghiệm.
Tìm hiểu thực trạng dạy học theo hướng bồi dưỡng năng lực học

sinh của giáo viên hiện nay.
Tìm hiểu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển năng lực toán học
của học sinh qua việc sử dụng phương pháp dạy học của giáo viên.


5

5.3 Thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm sư phạm 2 lớp khối 7 tại trường THCS nhằm
kiểm chứng tính khả thi của một số nội dung trong luận văn.
Thống kê, phân tích, tổng hợp, đánh giá về các nội dung thực
nghiệm.
Thống kê, mô tả, kiểm định tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp sư phạm đã đề xuất.
6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng
năng lực toán học cho học sinh trong giảng dạy Đại số lớp 7.
Phạm vi nghiên cứu: nội dung Đại số lớp 7
Địa bàn nghiên cứu: Trường THCS Phước Lưu, xã Phước Lưu,
huyện Trảng Bàng, tỉnh Tây Ninh.
Thời gian nghiên cứu: từ tháng 12/2014 đến tháng 05/2015
7. Dự kiến đóng góp của luận văn
Về lí luận: Góp phần làm sáng tỏ các thành tố của năng lực toán
học của học sinh trong dạy học Toán ở bậc THCS
Về thực tiễn: Xây dựng hệ thống các biện pháp sư phạm nhằm bồi
dưỡng năng lực toán học cho học sinh
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội
dung chính của luận văn gồm 3 chương
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng năng
lực toán học cho học sinh THCS trong dạy học Đại số lớp 7
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm


6

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề chung về năng lực và năng lực toán học
1.1.1 Năng lực
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lý học. Khái niệm này
cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau. Kết
quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho thấy, từ
nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động. Qua quá trình
hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần
thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với
mức độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để
giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và
cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định. Dưới đây là
một số cách hiểu về năng lực:
Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả
năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [31].
Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con
người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần
thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [3].
Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp
ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[5]).
Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy
sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ, và

do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định
nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc).


7

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như
tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng
tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ ...
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa
nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng,
tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi
cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.
Như vậy, bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một
cách linh hoạt, có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị,
động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm
cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh (tình huống) nhất
định.
Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi… làm
nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề
nghiệp như: năng lực nhận thức, năng lực trí tuệ, năng lực về ngôn ngữ và
tính toán, năng lực giao tiếp, năng lực vận động,… các năng lực này được
hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình
giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình
hoạt động khác nhau.
Năng lực chuyên biệt là những năng lực được hình thành và phát triển
trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong
các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần
thiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hạn hẹp hơn của một
hoạt động như Toán học, Âm nhạc, Mĩ thuật, Thể thao,…

Năng lực chung và năng lực chuyên biệt đều được hình thành và phát
triển thông qua các môn học, hoạt động giáo dục; năng lực chuyên biệt vừa là


8

mục tiêu vừa là “đơn vị thao tác” trong các hoạt động dạy học, giáo dục; góp
phần hình thành và phát triển các năng lực chung.
Vấn đề phát hiện, bồi dưỡng và phát triển năng lực cho học sinh là một
trong những vấn đề cơ bản của chiến lược nhằm nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực của Đảng ta. Trong đó, năng lực được hiểu là sự tổng hợp những
thuộc tính của cá nhân con người, đáp ứng những yêu cầu của hoạt động và
đảm bảo cho hoạt động đạt được những kết quả cao. Năng lực cũng là tổ hợp
các thuộc tính độc đáo của khả năng con người phù hợp với một hoạt động
nhất định, bảo đảm cho những hoạt động đó có những kết quả.
Như chúng ta đã biết tri thức, kỹ năng, kỹ xảo không đồng nhất với
năng lực nhưng có quan hệ mật thiết với năng lực. Năng lực góp phần làm
cho sự tiếp xúc tri thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo một cách tốt hơn. Năng lực
mỗi người dựa trên cơ sở tư chất nhưng mặt khác điều chủ yếu là năng lực
được hình thành, rèn luyện và phát triển trong những hoạt động tích cực của
con người dưới sự tác động của rèn luyện dạy học và giáo dục.
1.1.2 Năng lực toán học
Theo V. A. Krutecxki [19, tr. 13] năng lực toán học được hiểu theo hai
ý nghĩa, hai mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài người.

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách
tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng
lực sáng tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học


9

một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp
lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh
các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc
đáo những bài toán không mẫu mực ...
Với mức độ học sinh trung bình và khá, luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận
năng lực tự học theo góc độ thứ nhất. Sau đây là một số định nghĩa về năng
lực toán học:
Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học là các đặc điểm tâm lý cá
nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động
toán học và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho
việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và
kỹ xảo Toán học [19, tr. 14]
Định nghĩa 2: Những năng lực học Toán được hiểu là những đặc điểm
tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu
cầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì
là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo
toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ
dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học [14, tr.
126].

Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông
minh trong việc học Toán. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm
được chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh

này qua học sinh khác. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi:
Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển
trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy,
cần nghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hình
thành, phát triển, hoàn thiện năng lực.


10

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán
học. Do vậy, trong dạy học Toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và
phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao
dần về mặt năng lực toán học. Về vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi tiếng,
Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh
trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được Toán học trong trường
trung học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”.
1.1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học
• Quan điểm của V. A. Krutecxki
V.A.Krutecxki - nguyên phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý học
thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm
lý năng lực toán học với công trình đồ sộ “Tâm lý năng lực toán học” - Luận
án Tiến sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao. Công
trình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thực
nghiệm hết sức công phu, được tiến hành từ năm 1955 đến 1968. Ông đã
nghiên cứu sâu sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài
nước.
Về mặt thực tiễn, Ông đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát triển của
học sinh có năng khiếu về Toán; thực nghiệm trên 157 học sinh giỏi, trung
bình và kém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) về các bộ môn của
khoảng 1000 học sinh từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo

viên dạy Toán; phỏng vấn bằng giấy đối với 56 giáo viên Toán; phỏng vấn
bằng giấy đối với 21 nhà Toán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84
nhà toán học và vật lý học nổi tiếng trong và ngoài nước ... . Chính vì độ tin
cậy trên về những kết luận khoa học của V. A. Krutecxki nên Luận văn sẽ kế
thừa kết quả và là điểm tựa quan trọng về cơ sở khoa học của đề tài.


11

Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực
toán học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa theo quan điểm
của Lý thuyết thông tin):
- Về mặt thu nhận thông tin toán học
Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm
cấu trúc hình thức của bài toán.
- Về mặt chế biến thông tin toán học
1) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không
gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học;
2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán
học và các phép toán;
3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép
toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;
4) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;
5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của
lời giải.
6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá
trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy
đảo (trong suy luận toán học).
- Về mặt lưu trữ thông tin toán học
Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học; đặc điểm

về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc,
đường lối giải toán).
- Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hướng toán học của trí tuệ.


12

Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn
nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lực
toán học.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể được biểu thị
bằng một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi
tư duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ
thống ký hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ [19, tr.
170].
Cùng với cấu trúc nói trên, V. A. Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý về
phương pháp bồi dưỡng năng lực Toán học cho học sinh.
Nghiên cứu quan điểm của V. A. Krutecxki về năng lực toán học, có
thể thấy một số vấn đề quan trọng sau:
Về mặt lý luận
1) Theo V. A. Krutecxki thì nói đến học sinh có năng lực toán học là
nói đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán;
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về năng
lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá
nhân, chẳng hạn về năng lực toán học. Điều quan trọng năng lực không chỉ là
bẩm sinh mà còn được phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống
của mỗi cá nhân;
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt
động nhất định của con người. Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại

trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới
thấy được biểu hiện của năng lực toán học;
4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường
phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập Toán cũng không nằm
ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn


13

niềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo
viên, của gia đình và xã hội.
Về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗi
người trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi
dưỡng năng lực đó;
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái
quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học.
Các năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh
giỏi, trung bình, kém. Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó
được tạo thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì
muốn hình thành các mối liên tưởng phải cần cả một hệ thống bài tập và phải
có sự rèn luyện.
• Quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học, A. N. Kôlmôgôrôv
đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, công
thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệ
đến năng lực toán học. Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:
1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực
tìm kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù hợp với qui tắc
giải thông thường, hoặc như các nhà Toán học gọi là năng lực tính toán hay

năng lực angôrit;
2) Trí tưởng tượng hình học hoặc trực giác hình học;
3) Nghệ thuật suy luận logic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói
rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic cần thiết cho nhà Toán học là hiểu
nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.


14

Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực toán
học thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và các năng lực này thường
bộc lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
• Quan điểm của A. I. Marcusêvich
Viện sĩ A. I. Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và
tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy Toán:
1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết
không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);
2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ
giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đó
chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không gian (kỹ
năng sơ đồ hoá).
3) Kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiên đề đã cho (tư duy suy
diễn);
4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ
năng phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào
chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;
5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyết
cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ
năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của
các kết quả;

6) Khái quát hoá các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở
dạng khái quát.
• Quan điểm của X. I. Svacxbuốc
X. I. Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà Toán học, đã
nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển Toán học:
1) Các biểu tượng không gian;


15

2) Tư duy trừu tượng;
3) Chuyển thành sơ đồ toán học;
4) Tư duy suy diễn;
5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;
6) Áp dụng các kết luận;
7) Tính phê phán;
8) Ngôn ngữ toán học;
9) Kiên trì khi giải toán.
• Quan điểm của B. V. Gơnhedencô
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí
“Toán học trong nhà trường” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các
tính chất sau đây của tư duy toán học:
1) Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy được
sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
2) Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;
3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;
4) Sự cô đọng;
5) Sự chính xác của kí hiệu.
• Quan điểm của UNESCO
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của năng

lực toán học đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và
các khái niệm;
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu.
3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu.
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu.
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh.


16

6) Năng lực xây dựng một chứng minh.
7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học.
8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học.
9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng.
10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.
• Quan điểm của một số tác giả khác
Quan điểm của E. L. Thorndike
So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về năng lực toán học của học
sinh, E. L. Thorndike đã đi sâu vào lĩnh vực Đại số. Theo E. L. Thorndike,
những thành tố của năng lực Đại số gồm:
1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;
2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức;
3) Năng lực biến đổi công thức;
4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã
cho;
5) Năng lực giải phương trình;
6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;
7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị phụ thuộc hàm của hai đại lượng.
Quan điểm của G. Tômac

G. Tômac đưa ra cấu trúc năng lực toán học bao gồm các thành tố sau:
1) Năng lực trừu tượng hóa;
2) Năng lực suy luận lôgic;
3) Tri giác đặc thù;
4) Có kỹ năng sử dụng các công thức;
5) Năng lực trực giác;
6) Trí tưởng tượng toán học.


17

Quan điểm của Pellery
1) Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng hạn
giả thiết và kết luận);
2) Lưu trữ và dịch chuyển (qua lời, đồ thị và kí hiệu);
3) Năng lực theo dõi một số hướng suy luận;
4) Năng lực hiểu bài toán;
5) Năng lực theo dõi những con đường giải toán;
6) Khái quát hoá, mở rộng bằng tương tự. Tìm một mô hình thích hợp
(trong các mô hình đã biết);
7) Xây dựng một mô hình toán học có thể giải bài toán;
8) Xây dựng một thuật toán để giải toán.
1.1.4 Một số nhận định về thành tố chung của năng lực toán học
Ở mục 1.1.3 chúng tôi đã trình bày các quan điểm về cấu trúc năng lực
toán học của HS của các nhà khoa học khác nhau. Mặc dù có sự khác nhau
giữa các quan điểm nhưng xem xét, so sánh các quan điểm chúng tôi nhận ra
giữa các quan điểm đều có chung một số thành tố năng lực toán học (có thể
cách diễn đạt ở mỗi quan điểm có khác nhau) đó là năng lực suy luận lôgic
và ngôn ngữ toán có trong quan điểm của V. A. Krutecxki, A. N.
Kôlmôgôrôv, X. I. Svacxbuốc, B. V. Gơnhedencô, ...; năng lực khái quát hóa

có trong các quan điểm của V. A. Krutecxki, A. I. Marcusêvich, ..., năng lực
diễn đạt các vấn đề toán học theo những cách khác nhau có trong quan điểm
của X. I. Svacxbuốc, Pellery, …
. Chẳng hạn, năng lực khái quát hoá theo V. A. Krutecxki là một trong
những năng lực cơ bản trong cấu trúc năng lực toán học, đó là năng lực khái
quát hoá các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán; Ông cũng cho
rằng năng lực khái quát hóa tài liệu toán học là năng lực đặc thù. Nhưng khi
đưa ra cấu trúc năng lực toán học của HS, Viện sĩ A. I. Marcusêvich lại không


18

đề cập năng lực khái quát hoá mà chỉ coi trọng năng lực trừu tượng hoá (kỹ
năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản).
Mặt khác, khi bắt đầu quá trình tư duy và trong mỗi lần chuyển hướng
tương tự, thường phải đánh giá tình huống với mục đích lựa chọn một tìm tòi
hợp lý hơn. Trong các tình huống toán học hoàn toàn mới mà kinh nghiệm
không có đủ để giải quyết, lúc này vai trò chính lại là trực giác toán học, sự
nhạy bén của tư duy, năng lực dự đoán phương hướng tìm kiếm có thể đưa
đến mục đích. Mặc dù, trực giác toán học cho đến nay vẫn còn ít được nghiên
cứu (cũng như bản chất, cơ chế của quá trình tư duy nói chung) nhưng sự tồn
tại của nó đã được khẳng định bởi các nhà Toán học vĩ đại có kinh nghiệm
sáng tạo khoa học cũng như các nhà Sư phạm Toán có nhiều kinh nghiệm và
đã có thời gian dài theo dõi tư duy của các em HS có năng lực về Toán.
Chẳng hạn, nhà toán học Pháp vĩ đại A. Poăngcarê thừa nhận có tính đặc thù
của năng lực sáng tạo toán học và đã chỉ ra thành phần quan trọng nhất của
chúng là trực giác toán học; trong sơ đồ cấu trúc về năng lực toán học của HS
của Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv cũng đã nói về trực giác nhưng trực giác theo
một nghĩa hẹp (trực giác hình học). Nhưng trên thực tế, như chúng ta đã biết
trực giác có thể mang tính lôgic. ở đây, trực giác toán học cần được coi như

một năng lực phức hợp đoán định trước các kết quả mà cách thức dẫn đến
mục đích của tư duy sáng tạo trong lĩnh vực Toán học. Tư duy lôgic không
tham gia trực tiếp vào hành động trực giác (vai trò của nó chưa nhận thức
được), nhưng nhất thiết sau đó nó phải được lôi cuốn vào để kiểm tra tính
đúng đắn của dự đoán trực giác; G. Tômac cũng rất coi trọng vai trò của trực
giác trong việc sáng tạo Toán học. Vì vậy, trực giác toán học không chỉ là
nhân tố phức hợp quan trọng nhất trong năng lực sáng tạo khoa học mà nó
cần phải có trong thành phần sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học.