Nhập môn Toán cao cấp (Tập hợp và logic)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN HỒNG NGA

GIÁO TRÌNH
TẬP HỢP VÀ LOGIC TOÁN

Quảng Bình, năm 2013.


MỤC LỤC

Chương 1
1.1

1.2

1.3

2.2

2.3

4

Tập hợp, các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Tích Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Quan hệ và các tính chất của quan hệ . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.2

Ảnh và tạo ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.3

Đơn ánh, toàn ánh, song ánh . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.4

Hợp thành của các ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2
2.1

TẬP HỢP

LOGIC TOÁN

25

Logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.2

Các phép toán logic trên mệnh đề . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.3

Công thức của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Logic vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.1

Hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2

Miền đúng của hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.3

Hàm mệnh đề hằng đúng, hằng sai . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.4

Sự tương đương logic giữa hai hàm mệnh đề . . . . . . . .

33

Các phép toán logic trên các hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.1

Phép phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.2

Phép hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.3

Phép tuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.4

Phép kéo theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34


2.3.5
2.4

2.5

Phép tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Lượng từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4.2

Lượng từ và các hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4.3

Lượng từ và phép phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Quy tắc suy luận trong logic vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36


Chương 1

TẬP HỢP
1.1
1.1.1

Tập hợp, các phép toán trên tập hợp
Tập hợp

1.1.1.1 Khái niệm
Những vật, những đối tượng được tụ tập do một tính chất chung nào đó thành
lập một tập hợp. Đây không phải là một định nghĩa mà là một sự mô tả trực quan
của khái niệm đó.
Các vật hay đối tượng thành lập một tập hợp gọi là các phần tử của tập hợp đó.
Trong ngôn ngữ thông thường, người ta thường dùng những từ như: nhóm, toàn
thể, tập thể, chùm, bầy, đàn,... để nói về một tập hợp nào đó.
Một tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ cái in hoa: A, B, C, D,... Phần tử
của tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ cái in thường: a, b, c, d,...
Ví dụ:

1. Tập hợp các chữ số tự nhiên, ký hiệu N.
2. Tập hợp các số nguyên, ký hiệu Z.
3. Tập hợp các số hữu tỉ, ký hiệu Q.
4. Tập hợp các số thực, ký hiệu R.
5. Tập hợp các số phức, ký hiệu C.
6. Tập hợp các sinh viên năm thứ nhất của trường Đại học Quảng Bình.
Ký hiệu:
• Để chỉ rằng a là phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A và đọc là "a thuộc A".
• Nếu a không phải là phần tử của tập A, ta viết a ∈
/ A hoặc a∈A và đọc là "a
không thuộc A".


5

1.1.1.2 Tập hợp rỗng (tập rỗng)
Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅.
Ví dụ: Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 1 = 0 là tập hợp rỗng.
1.1.1.3

Các xác định một tập hợp

1. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp
Theo cách này, để xác định một tập hợp nào đó ta liệt kê đầy đủ các phần
tử của nó.
Ví dụ:
a) Tập hợp 4 số nguyên dương đầu tiên được viết là: {1, 2, 3, 4}.
b) Tập hợp các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh được viết là: {a, b, c, ..., y, z}.
Chú ý:Khi liệt kê các phần tử của một tập hợp ta không quan tâm đến thứ
tự của chúng.

2. Chỉ rõ thuộc tính đặc trưng của các phần tử của tập hợp
Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra các tính chất chung của
các phần tử của tập hợp đó, sau đó dựa vào các tính chất này ta có thể khẳng
định một đối tượng nào đó có là một phần tử của tập hợp đó hay không. Các
tính chất như vậy gọi là thuộc tính đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
Ví dụ: Tập hợp các ước số nguyên dương của 24 là:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
và được viết lại là :
A = {n ∈ N : n|24}
.
Trong trường hợp tổng quát, nếu tập hợp X là tập hợp tất cả các phần tử x,
sao cho x có tính chất T thì ta viết: X = {x|x x có tính chất T} hoặc X = {x :
x có tính chất T}.
1.1.1.4

Tập hợp con và quan hệ bao hàm

1. Định nghĩa
Tập hợp A được gọi là một tập hợp con (hay tập con) của B, ký hiệu A ⊂ B, nếu
mỗi phần tử của A là một phần tử của B. Như vậy, A ⊂ B khi và chỉ khi với mọi
x ∈ A kéo theo x ∈ B.
Khi có A ⊂ B, ta còn nói "A là một bộ phận của B " hay "A bao hàm trong B".
Khi đó ta còn viết B ⊃ A và đọc là "B bao hàm A" hay "B chứa A".
Quan hệ "⊂" được gọi là quan hệ bao hàm. Các hệ thức A ⊂ B, B ⊃ A được gọi
là các bao hàm thức.


6

Nếu A ⊂ B và có ít nhất một phần tử thuộc B mà không thuộc A thì ta nói A là

tập con thực sự của B hay bộ phận thực sự của B.
Ví dụ:
a) Tập hợp N các số tự nhiên là tập con thực sự của tập hợp Z các số nguyên.
b) Tập hợp các hình vuông là tập con thực sự của các hình chữ nhật.
2.

Tính chất

a) ∅ ⊂ A
b) A ⊂ A (Tính chất phản xạ)
c) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C (Tính chất bắc cầu)
d) Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B (Tính chất phản đối xứng)
Ví dụ Cho A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15} và B = {n ∈ N : n|30} thì ta có A = B.
3. Tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp
Cho X là một tập hợp. Tất cả các tập hợp con của X lập nên một tập hợp, ký
hiệu P(X) hay 2X gọi là tập tất cả các tập con của X, tức là :
P(X) = {A|A ⊂ X}.
Ví dụ
1. Cho X = {a, b}, thì P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
2. Cho X = ∅ thì P(X) = {∅, {∅}}.
4.
Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, nếu A ⊂ B và B ⊃ A.
Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và B = {n ∈ N|0 < n < 10} thì A = B.
1.1.2

Các phép toán trên tập hợp

1.1.2.1 Hiệu của hai tập hợp
Cho A, B là hai tập hợp. Hiệu của hai tập hợp A và B, ký hiệu A\B hay A − B

là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, tức là:
A\B = {x|x ∈ A và x ∈
/ B}.
Đặc biệt, nếu B ⊂ A thì A\B là phần bù của A trong B và ký hiệu là CAB hay
đơn giản B, tức là
B = {x ∈ A|x ∈
/ B}.


7

Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ⊕ B là tập hợp được xác định
bởi
A ⊕ B = (A\B) ∪ (B\A) = {x|(x ∈ A và x ∈
/ B) hoặc (x ∈
/ A và x ∈
B)}. Ví dụ:
1. Cho A = {a, b, c, d} và B = {c, d, e, f }.
Ta có, A \ B = {a, b} , B \ A = {e, f }, A ⊕ B = {a, b, e, f }.
2. A = {x ∈ R|x < 1} = (−∞, 1). Khi đó
CR (A) = {x ∈ R|x ≥ 1} = [1, +∞}.
1.1.2.2
Hợp của hai tập hợp
Cho hai tập hợp A và B. Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∪ B là tập hợp
gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B, nghĩa là:
A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B}.
Ví dụ: Cho A = {a, b, c, d} và B = {c, d, e, f }.
Ta có, A ∪ B = {a, b, c, d, e, f } .
Ta còn có thể nói, A ∪ B gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A
và B.

1.1.2.3 Giao của hai tập hợp
Cho hai tập hợp A và B. Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∩ B là tập hợp
gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, nghĩa là:
A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B}.
Ví dụ: Cho A = {x ∈ N|xchia hết cho 2} và B = {x ∈ N|x chia hết cho 3}. Khi
đó,
A ∩ B = {x ∈ N|xchia hết cho 6}.
Trong trường hợp A và B không có điểm chung nào, ta nói A và B không giao
nhau hay giao của chúng là rỗng và viết A ∩ B = ∅.
1.1.2.4 Các hằng đẳng thức tập hợp cơ bản
Cho U là tập vũ trụ, đó là tập mà các phần tử của nó ta đang khảo sát và
A, B, C ⊂ U.
1. Luật đồng nhất:
A ∩ U = A,

A ∪ ∅ = A.

A ∩ ∅ = ∅,

A ∪ U = U.

A ∩ A = A,

A ∪ A = A.

2. Luật mốt:

3. Luật lũy đẳng:

8

4. Luật bù:
A = A.
5. Luật giao hoán:
A∩B =B∩A
A ∪ B = B ∪ A.
6. Luật kết hợp:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
7. Luật phân phối:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
8. Luật De Morgan:
A∩B =A∪B
A ∪ B = A ∩ B.
1.1.3

Tích Descartes

• Cho hai tập hợp A và B. Tích Descartes của A và B, ký hiệu A × B là tập
hợp tất cả các cặp (có thứ tự) (a, b) với a ∈ A, b ∈ B, nghĩa là:
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.
• Tương tự, tích Descartes của k tập hợp A1 , A2 , · · · , Ak , ký hiệu A1 × A2 ×
k

· · · × Ak hay

Ai là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự (a1 , a2 , · · · , ak ) trong
i=1

đó ai ∈ Ai , ∀i = 1, 2, ...., k.
A1 × A2 × · · · × Ak = {(a1 , a2 , · · · , ak )|ai ∈ Ai , i = 1, 2, ..., k}.
Ký hiệu Ak = A × A × · · · × A .
k lần
1.2
1.2.1

Quan hệ
Quan hệ và các tính chất của quan hệ

1.2.1.1
Định nghĩa
Cho hai tập hợp A và B. Một quan hệ hai ngôi từ A đến B là một tập con R của


9

tích Descartes A × B. Ta nói, phần tử a ∈ A có quan hệ R với phần tử b ∈ B nếu
(a, b) ∈ R và ký hiệu aRb. Khi (a, b) ∈
/ R ta viết a Rb
Ví dụ
1. Cho A là tập hợp các sinh viên của trường Đại học Quảng Bình và B là tập
hợp các môn học. Cho R là một quan hệ gồm các cặp (a, b), trong đó a là
sinh viên học môn b. Chẳng hạn, bạn An và bạn Tùng là sinh viên của trường
Đại học Quảng Bình đều học môn tập hợp và lôgic có mã số THLO, thì các
cặp (An, THLO) và (Tùng, THLO) thuộc R. Nếu An học môn Toán cao cấp
có mã số TCCAP thì cặp (An, TCCAP) cũng thuộc R. Tuy nhiên, nếu Tùng
không học môn TCCAP thì cặp (Tùng, TCCAP) không thuộc R.
2. Cho A là tập hợp các quận, huyện và B là tập hợp 64 tỉnh thành của Việt

Nam. Ta định nghĩa quan hệ R bằng cách chỉ rõ rằng (a, b) thuộc R nếu
quận hay huyện a thuộc tỉnh hay thành phố b. Chẳng hạn, (Đồng Hới, Quảng
Bình), (Phú Lộc, Thừa Thiên Huế), (Phú Quốc, Kiên Giang), (Nam Đàn,
Nghệ An), (Ba Đình, Hà Nội) đều thuộc R.
1.2.1.2
Định nghĩa Một quan hệ trên tập hợp A là một quan hệ hai ngôi từ
A đến A. Nói cách khác, một quan hệ trên tập hợp A là một tập con của A × A.
Ví dụ:
1. Quan hệ "nhỏ hơn hoặc bằng" (≤) là một quan hệ trên tập hợp R các số
thực.
2. Quan hệ "cùng tuổi" là một quan hệ trên tập hợp các con người của trái đất.
1.2.1.3

Các tính chất của quan hệ

1. Tính phản xạ
Quan hệ R trên tập hợp A được gọi là có tính phản xạ nếu aRa với mọi a ∈ A.
2. Tính đối xứng
Quan hệ R trên tập hợp A được gọi là có tính đối xứng nếu với mọi a, b ∈
A, aRb kéo theo bRa.
3. Tính phản đối xứng
Quan hệ R trên tập hợp A được gọi là có tính phản đối xứng nếu với mọi
a, b ∈ A, aRb và bRa kéo theo a = b.
4. Tính bắc cầu
Quan hệ R trên tập hợp A được gọi là có tính bắc cầu nếu với mọi a, b ∈ A, aRb
và bRc kéo theo aRc.


10

1.2.2

Quan hệ tương đương

1.2.2.1 Định nghĩa
Cho A là một tập hợp, R là một bộ phận của A × A. Khi đó, R là một quan hệ
tương đương trong A nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. (Phản xạ) Với mọi a ∈ A, aRa.
2. (Đối xứng) Với mọi a, b ∈ A, nếu aRb thì bRa.
3. (Bắc cầu) Với mọi a, b, c ∈ A, nếu aRb và bRc thì aRc.
Nếu R là một quan hệ tương đương thì người ta thường ký hiệu R bằng
aRb (a b) là "a tương đương với b".

và đọc

Ví dụ:
1. Quan hệ "đồng dạng" trên tập hợp các tam giác là một quan hệ tương đương.
2. R = {(m, n) ∈ Z × Z|m − nchẵn} là một quan hệ tương đương.
1.2.2.2 Định nghĩa
Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A và a ∈ A.
Tập hợp
{x ∈ A|xRa}
được gọi là lớp tương đương của phần tử a, ký hiệu a hoặc [a] hoặc C(a).
1.2.2.3
Mệnh đề: Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A và
a, b ∈ A. Khi đó ta có
1. a = ∅.
2. a = b khi và chỉ khi aRb.
3. a = b hoặc a ∩ b = ∅.
Chứng minh.

1. Vì R có tính chất phản xạ nên aRa hay a ∈ a. Do đó a = ∅.

2. Giả sử a = b. Khi đó, a ∈ b nên aRb.
Giả sử aRb. Khi đó với x ∈ a ta có xRa, do aRb nên xRb hay x ∈ b. Vậy
a ⊂ b. Đảo lại, với x ∈ b, ta có xRb, do bRa (có từ aRb) nên xRa hay x ∈ a.
Vậy b ⊂ a. Từ đó có được a = b.
3. Giả sử a ∩ b = ∅. Khi đó, tồn tại x ∈ a ∩ b, nghĩa là xRa và xRb. Từ đó ta có
aRx và xRb nên có được aRb và theo trên ta có a = b.


11

1.2.2.4 Định nghĩa: Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A. Khi
đó A được chia thành các lớp tương đương khác rỗng, rời nhau từng đôi một. Tập
hợp các lớp tương đương đó được gọi là tập thương của A và ký hiệu A/R. Như
vậy
A/R = {a|a ∈ A}.
Ví dụ: Cho X = {1, 2, 3, 4}. Trên P(X), xét quan hệ R như sau:
∀A, B ∈ P(X), ARB ⇔ |A| = |B|.
Dễ dàng có được R là một quan hệ tương đương trên P(X). Các lớp tương đương
theo quan hệ R là:
C0 = {∅} (tập con của X không có phần tử nào),
C1 = {{1}, {2}, {3}, {4}} (các tập con của X có một phần tử),
C2 = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} (các tập con của X có 2 phần tử),
C3 = {{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}} (các tập con của X có 3 phần tử),
C4 = {X} (các tập con của X có 4 phần tử).
Tập thương của X theo quan hệ R là P(X)/R = {C0 , C1 , C2 , C3 , C4 }.
1.2.3

Quan hệ thứ tự

1.2.3.1 Định nghĩa
Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các tính chất
phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Người ta thường ký hiệu một quan hệ thứ tự bởi ký hiệu ≤ (đọc là "nhỏ hơn hoặc
bằng").
Nếu trên tập A có một quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói A là một tập hợp được sắp
thứ tự.
Nếu A được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ thì với a, b ∈ A nếu ta có a ≤ b thì ta còn
viết b ≥ a (đọc là "b lớn hơn hoặc bằng a").
Khi có quan hệ thứ tự ≤ trên A, ta còn có thể xác định quan hệ < như sau:
∀a, b ∈ A, a < b ⇔ a ≤ b và a = b.
Ký hiệu a < b đọc là "a nhỏ hơn b" hay "a thực sự nhỏ hơn b".
Nếu a < b, ta còn viết b > a và đọc là "b lớn hơn a" hay "b thực sự lớn hơn a".
Ví dụ:
1. Quan hệ ≤ thông thường trên các tập hợp số N, Z, Q, R là quan hệ thứ tự.
2. Trong tập hợp N∗ quan hệ "chia hết" là một quan hệ thứ tự.
3. Quan hệ bao hàm (⊂) trên tập hợp P(X) các tập con của tập hợp X là một
quan hệ thứ tự.


12

1.2.3.2 Quan hệ thứ tự toàn phần và quan hệ thứ tự bộ phận
Giả sử A là một tập sắp thứ tự với hai phần tử a, b ∈ A, nếu ta có a ≤ b hoặc
b ≤ a thì ta nói a và b so sánh được với nhau, còn nếu ta không có cả a ≤ b lẫn
b ≤ a thì ta nói a và b không so sánh được với nhau.
Tập hợp được sắp thứ tự A gọi là một tập hợp được sắp thứ tự toàn phần nếu hai
phần tử bất kỳ a, b ∈ A luôn so sánh được với nhau. Khi đó ta cũng gọi quan hệ

thứ tự ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần.
Trong trường hợp ngược lại, tức là nếu tồn tại hai phần tử a, b ∈ A không so sánh
được với nhau thì ta gọi A là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận và quan hệ
thứ tự ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận.
Ví dụ:
1. Tập hợp N các số tự nhiên với quan hệ thứ tự ≤ thông thường là một quan
hệ thứ tự toàn phần, vì với mọi a, b ∈ N ta có: a ≤ b hoặc b ≤ a, tức là hai
số tự nhiên bất kỳ luôn so sánh được với nhau.
2. Tập hợp N∗ các số tự nhiên khac 0 với quan hệ thứ tự "chia hết" là một tập
sắp thứ tự bộ phận vì chẳng hạn, ta không có 2|3 và cũng không có 3|2.
3. Với tập X = {a, b} ta có tập P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. Ta thấy P(X) với
quan hệ thứ tự ⊂ không phải là một tập sắp thứ tự toàn phần, vì chẳng hạn:
hai phần tử {a}, {b} của P(X) không so sánh được với nhau.
Với X = ∅ hoặc X = {a} ta dễ nhận thấy P(X) với quan hệ thứ tự ⊂ là một
tập sắp thứ tự toàn phần.
1.2.3.3
Một số khái niệm thường gặp trong lý thuyết về các tập sắp
thứ tự
1. Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất
Định nghĩa: Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X là một tập con
khác rỗng của A. Phần tử a ∈ X gọi là phần tử lớn nhất (t.ư. nhỏ nhất) của X
nếu, với mọi x ∈ X ta có x ≤ a (t.ư. x ≥ a).
Chú ý: Phần tử lớn nhất của X nếu tồn tại là duy nhất. Thật vậy, giả sử X có
hai phần tử lớn nhất a và b. Khi đó, theo định nghĩa ta có: a ≤ b và b ≤ a. Từ đó
theo tính chất phản đối xứng của quan hệ ≤, ta có a = b.
Tương tự đối với phần tử nhỏ nhất.
Ví dụ:
1. Xét tập hợp N các số tự nhiên với quan hệ ≤ thông thường, ta thấy số 0 là
phần tử nhỏ nhất (số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất) và không có phần tử lớn
nhất (không có số tự nhiên lớn nhất).

13

Xét tập con X = {15, 10, 6, 2, 5, 30, 3} của tập N, ta thấy 2 là phần tử nhỏ
nhất và 30 là phần tử lớn nhất.
2. Tập hợp N∗ các số tự nhiên khác 0 được sắp thứ tự bởi quan hệ "chia hết".
Khi đó 1 là phần tử nhỏ nhất, (vì 1|a, ∀a ∈ N) và không có phần tử lớn nhất.
Xét tập X = {15, 10, 6, 2, 5, 30, 3} ⊂ N∗ , ta thấy X không có phần tử nhỏ
nhất và phần tử lớn nhất là 30.
3. Cho X là một tập hợp. Xét tập hợp P(X) gồm các tập con của X được sắp
thứ tự bởi quan hệ "bao hàm". Khi đó P(X) có phần tử nhỏ nhất là ∅ và
phần tử lớn nhất là X.
4. Xét tập hợp được sắp thứ tự (R, ≤), trong đó R là tập hợp các số thực và
≤ là quan hệ thứ tự thông thường. Ta thấy R không có phần tử lớn nhất và
cũng không có phần tử bé nhất.
Xét tập X = [1, 5] có phần tử nhỏ nhất là 1và phần tử lớn nhất là 5, nhưng
tập Y = (1, 5) lại không có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
2. Chặn trên, chặn dưới
Định nghĩa: Cho tập hợp sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X là một tập con khác
rỗng của A. Phần tử c ∈ A được gọi là chặn trên (t.ư. chặn dưới) của X, nếu với
mọi x ∈ X ta có x ≤ c (t.ư. x ≥ c).
Nếu X có ít nhất một chặn trên (t.ư chặn dưới) thì ta nói X là tập con bị chặn
trên (t.ư bị chặn dưới).
Nhận xét:
• Một tập con X của tập hợp được sắp thứ tự A có thể không có chặn trên
(t.ư. chặn dưới), cũng có thể có một hay nhiều chặn trên (t.ư. chặn dưới).
• Với X là một tập con của tập hợp được sắp thứ tự A và a ∈ X. Phần tử a
là phần tử lớn nhất (t.ư. nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là một chặn trên
(t.ư. chặn dưới) của X.

Ví dụ:
1. Xét tập hợp N được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ thông thường và X =
{5, 7, 2, 70, 35, 14, 10} ⊂ N. Khi đó, các số tự nhiên x ≤ 2 là các chặn dưới
của X và các số tự nhiên x ≥ 70 là các chặn trên của X.
Tập hợp N = {0, 1, 2, ...} có một chặn dưới là 0 và không có chặn trên.
2. Xét tập hợp N∗ được sắp thứ tự bởi quan hệ "chia hết" và X = {2, 3} có một
chặn dưới là 1 (vì 1|2, 1|3, ...) và có các chặn trên là các số 6, 12, 18, ..., 6n,
... (n ∈ N, n = 0).
Hiển nhiên N∗ không có chặn trên và có chặn dưới là 1.


14

3. Xét tập hợp được sắp thứ tự (R, ≤), ta thấy R không có chặn trên và cũng
không có chặn dưới. Tập hợp
A = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 5} = [1, 5) ⊂ R
có chặn trên là những số thực x ≥ 5 và chặn dưới là những số thực x ≤ 1.
3. Cận trên, cận dưới
Cho A là tập được sắp thứ tự với quan hệ ≤ và X ⊂ A, X = ∅. Phần tử nhỏ nhất
(t.ư. lớn nhất) của tập hợp các chặn trên (t.ư. chặn dưới) của X được gọi là cận
trê n (t.ư. cận dưới) của X trong A, ký hiệu sup X (t.ư. inf X).
A

A

Như vậy, phần tử a ∈ A là cận trên (t.ư. cận dưới) của tập con X của A khi và
chỉ khi a là một chặn trên (t.ư. chặn dưới) của A và a ≤ c (t.ư. a ≥ c) với mọi
chặn trên (t.ư. chặn dưới) c của X.
Cận trên (t.ư. cận dưới) của mỗi tập con X của tập hợp được sắp thứ tự nếu tồn
tại là duy nhất. Ngoài ra, cận trên (t.ư. cận dưới) của X là thuộc X khi và chỉ

khi nó là phần tử lớn nhất (t.ư. nhỏ nhất) của X.
Ví dụ:
1. Xét tập hợp R được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ thông thường và X = {x ∈
R|1 < x < 2} = (1, 2) ⊂ R và X = {(1 + n1 )n |n ∈ N∗ } ⊂ R. Khi đó, tập
hợp các chặn trên của X là [2, +∞) và của X là (e, +∞); tập hợp các chặn
dưới của X là (−∞, 1] và của X là (−∞, 2). Do đó, sup X = 2, sup X = e,
R

R

inf X = 1, inf X = 2(∈ X ).
R

R

2. Xét tập hợp N∗ được sắp thứ tự bởi quan hệ "chia hết" và X = {2, 3, 6, 8}.
Khi đó, tập hợp các chặn trên của X là các bội chung trong N∗ của 2, 3, 6, 8
và tập hợp các chặn dưới của X là các ước chung trong N∗ của 2, 3, 6, 8. Do
đó, sup X = BCN N (2, 3, 6, 8) = 24; inf∗ X = U CLN (2, 3, 6, 8) = 1.
N∗

N

4. Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu
Định nghĩa: Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X là một tập con
khác rỗng của A. Phần tử m ∈ X được gọi là phần tử tối đại (t.ư. tối tiểu) của
X, nếu với mọi x ∈ X ta có:
m ≤ x ⇒ x = m (t.ư. x ≤ m ⇒ x = m).
Nói cách khác, phần tử m ∈ X được gọi là phần tử tối đại (t.ư. tối tiểu) nếu
không tồn tại phần tử xnào của X sao cho x > m (t.ư. x < m).

Nhận xét:
• Phần tử tối đại (t.ư. tối tiểu) m của A sao cho m ∈ X cũng là phần tử tối


15

đại (t.ư. tối tiểu) của X. Tuy nhiên, nếu m là phần tử tối đại (t.ư. tối tiểu)
của X thì chưa chắc m là phần tử tối đại (t.ư. tối tiểu) của A.
• Phần tử tối đại (t.ư. tối tiểu) của một tập hợp có thể có một hoặc nhiều và
cũng có thể không có phần tử nào cả.
Mệnh đề: Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X là một tập con
khác rỗng của A. Khi đó:
1. Nếu X có phần tử lớn nhất (t.ư. nhỏ nhất) là a thì a là phần tử tối đại (t.ư.
tối tiểu) duy nhất của X.
2. Nếu X được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ ≤ thì phần tử a ∈ X là phần
tử lớn nhất (t.ư. nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là phần tử tối đại (t.ư. tối
tiểu) của X.
Ví dụ:
1. Tập hợp được sắp thứ tự N với quan hệ ≤ thông thường, có phần tử tối tiểu
duy nhất là 0, đó cũng là phần tử nhỏ nhất của N và không tồn tại phần tử
tối đại.
Tập con X = {1, 2, 3, 4} có phần tử tối tiểu là 1, phần tử tối đại là 4.
2. Tập hợp được sắp thứ tự N∗ với quan hệ "chia hết" có phần tử tối tiểu duy
nhất là 1, đó cũng chính là phần tử nhỏ nhất của N∗ và không tồn tại phần
tử tối đại.
Tập con X = N∗ \{1} của N∗ , ta thấy X có phần tử tối tiểu là các số nguyên
tố và không có phần tử tối đại.
Tập con X = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 19, 24} của N∗ có các phần tử tối tiểu là 2, 3,
19 và các phần tử tối đại là 9, 19, 24.
5. Tập sắp thứ tự tốt

Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤. Ta nói A được sắp thứ tự tốt bởi
qua hệ này nếu mọi tập khác rỗng của A đều có phần tử nhỏ nhất.
Ví dụ:
1. Tập sắp thứ tự N với quan hệ ≤ thông thường là một sắp thứ tự tốt.
2. Tập sắp thứ tự R với quan hệ ≤ thông thường không phải là một sắp thứ tự
tốt.
3. Tập sắp thứ tự Z với quan hệ ≤ thông thường không phải là một sắp thứ tự
tốt (vì tập Z không có phần tử nhỏ nhất).


16

4. Tập hợp N∗ không được sắp thứ tự bởi quan hệ "chia hết" (vì chẳng hạn, tập
con A = {2, 3, 5} không có phần tử nhỏ nhất).
Nhận xét: Nếu tập sắp thứ tự A là một tập sắp thứ tự tốt thì A cũng là
một tập sắp thứ tự toàn phần.
Thật vậy, với hai phần tử bất kỳ a, b ∈ A, tập con X = {a, b} của A có phần
tử nhỏ nhất (vì A là một tập sắp thứ tự tốt). Nếu a là phần tử nhỏ nhất của
X thì a ≤ b và nếu b là phần tử nhỏ nhất của X thì b ≤ a. Như vậy, a và b so
sánh được với nhau. Vậy A là một tập được sắp thứ tự toàn phần bởi quan
hệ ≤.
Bổ đề Zorn: Nếu tập hợp khác rỗng X đước sắp thứ tự quy nạp nghĩa là mọi
tập con được sắp thứ tự toàn phần của nó đều có chặn trên thì X có phần tử tối
đại.
1.3

Ánh xạ

1.3.1

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1. Cho hai tập hợp A và B. Một ánh xạ f từ A vào B là một sự
ghép đôi mỗi phần tử a ∈ A với một phần tử duy nhất của B, ký hiệu f (a). Phần
tử f (a) ∈ B được gọi là giá trị của f tại a. A được gọi là tập nguồn hay miền xác
định và B được gọi là tập đích hay miền giá trị. Một ánh xạ f từ A vào B còn
f
được gọi là một hàm từ A vào B và được ký hiệu bởi f : A −→ B hay A −→ B
hay f : x ∈ A −→ f (x) ∈ B.
Ta thường gọi f là một hàm từ A vào B.

Ví dụ:
1. Cho A là tập hợp các bài thi của sinh viên lớp Công nghệ thông tin. Khi
chấm bài thi theo thang điểm 10, thầy giáo chấm thi đã thiết lập một ánh xạ
từ A vào tập hợp {0, 1, 2, ..., 10}.
2. Cho A là một tập hợp, ta có một ánh xạ đặc biệt
A −→ A
x −→ x.
Ánh xạ này gọi là ánh xạ đồng nhất của A và được ký hiệu idA hoặc 1A .
3. Các phép toán gặp ở phổ thông cũng có thể xem là các ánh xạ. Chẳng hạn,


17

• Phép cộng trên tập các số thực chính là một ánh xạ từ tập R × R vào R.
Ánh xạ này ứng với mỗi cặp số thực (x, y) với số x + y.
(x, y) −→ x + y.
Tương tự với phép trừ, phép nhân cũng là các ánh xạ từ tập R × R vào
R.
• Phép trừ (−) : (x, y) −→ x − y.

• Phép nhân (×) : (x, y) −→ x × y.
• Phép chia x cho y là các ánh xạ từ tập R × R∗ vào R (với R∗ = R {0} là
tập các số thực khác 0). Ánh xạ này ứng với mỗi cặp (x, y) (y = 0) với
số thực xy . Ta viết (x, y) −→ xy .
Định nghĩa 1.3.2. Cho ánh xạ f : A −→ B. Xét tập hợp Gf = {(x, y) ∈
A × B|y = f (x)}.
Ta nói Gf là đồ thị của f .
Đảo lại, cho G ⊂ A × B thỏa mãn ∀x ∈ A, tồn tại duy nhất y ∈ B sao cho
(x, y) ∈ G. Khi đó G là đồ thị của ánh xạ f đi từ A −→ B : x −→ y mà
(x, y) ∈ G.
Vì vậy, người ta có thể đồng nhất ánh xạ f : A −→ B với đồ thị Gf của nó.
Định nghĩa 1.3.3. Hai ánh xạ f, g : A −→ B được gọi là bằng nhau nếu với mọi
x ∈ A, ta có f (x) = g(x), ký hiệu f = g.
Định nghĩa 1.3.4. Cho ánh xạ f : A −→ B và X ⊂ A.
Ánh xạ g : X −→ B thỏa mãn: g(x) = f (x), ∀x ∈ X được gọi là thu hẹp của f
trên tập hợp X, ký hiệu g = f |X .
Ví dụ: Cho A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}, X = {a, b, c}.
Giả sử, ánh xạ g : X −→ B xác định bởi: g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 2. Khi đó có
3 mở rộng của g lên A là f1 , f2 , f3 .
f1 = A −→ {1, 2, 3} thỏa mãn f1 (d) = 1.
f2 = A −→ {1, 2, 3} thỏa mãn f2 (d) = 2.
f3 = A −→ {1, 2, 3} thỏa mãn f3 (d) = 3.
1.3.2
1.3.2.1

Ảnh và tạo ảnh
Định nghĩa. Cho ánh xạ f : A −→ B, X ⊂ A, y ⊂ B. Ta gọi:

• f (x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của f tại điểm x.
• f (X) = {f (x) ∈ B|x ∈ X} là ảnh X bởi f .

18

• f −1 (Y ) = {x ∈ A|f (x) ∈ Y } là tạo ảnh của Y bởi f.
Đặc biệt, với y ∈ B, f −1 ({y}) = {x ∈ A|f (x) = y} và viết đơn giản f −1 (y). Khi
X = A, ta gọi f (A) là ảnh của f và ký hiệu là Imf. Rõ ràng, khi X = ∅ ta có
f (∅) = ∅.
Nhận xét:
y ∈ f (X) ⇔ ∃x ∈ X, y = f (x).
x ∈ f −1 (Y ) ⇔ f (x) ∈ Y.
Ngoài ra, với X, X ⊂ A; Y, Y ⊂ B
X ⊂ X ⇒ f (X) ⊂ f (X )
Y ⊂ Y ⇒ f −1 (Y ) ⊂ f −1 (Y ).
Ví dụ:
1. Cho f : R → R xác định bởi f (x) = x2 và A = {x| − 1 < x < 2} (A = (1, 2)).
Khi đó, f (A) = {y|0 < y < 4}.
2. Cho A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e}, X = {1, 2}, X = {1, 2, 4}, Y = {a},
Y = {b, e}.
f : A → B xác định bởi f (1) = a, f (2) = a, f (3) = c, f (4) = d. Khi đó
f (X) = {a}, f (X ) = {a, d}, f −1 (Y ) = 1, 2, f −1 (Y ) = ∅.
1.3.2.2

Một số tính chất

Mệnh đề 1.3.1. Cho ánh xạ f : A → B, X và Y là các tập con của A, S và T
là các tập con của B. Khi đó ta có
1. f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).
2. f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ).
3. f −1 (S ∪ T ) = f −1 (S) ∪ f −1 (T ).

4. f −1 (S ∩ T ) = f −1 (S) ∩ f −1 (T ).
5. f −1 (S\T ) = f −1 (S)\f −1 (T ).
Chứng minh. 1. X, Y ⊂ X ∪ Y ⇒ f (X), f (Y ) ⊂ f (X ∪ Y ) ⇒ f (X) ∪ f (Y ) ⊂
f (X ∪ Y ).
y ∈ f (X ∪ Y ) ⇒ ∃x ∈ X ∪ Y, y = f (x) ⇒ (y = f (x), x ∈ X)và(y = f (x), x ∈
Y ) ⇒ y ∈ f (X) ∪ f (Y ). Do đó, f (X ∪ Y ) = (X) ∪ f (Y ).
2. y ∈ f (X ∩ Y ) ⇒ ∃x ∈ X ∩ Y sao cho y = f (x), tức là x ∈ X và x ∈ Y và
y = f (x). Như vậy, ta có y ∈ f (X) và y ∈ f (Y ), nghĩa là y ∈ f (X) ∩ f (Y ).
3. x ∈ f −1 (S ∪ T ) ⇔ f (x) ∈ S ∪ T ⇔ (f (x) ∈ S) hoặc (f (x) ∈ T ) ⇔ (x ∈
f −1 (S)) hoặc (x ∈ f −1 (T )) ⇔ x ∈ f −1 (S) ∪ f −1 (T ). Do đó f −1 (S ∪ T ) =
f −1 (S) ∪ f −1 (T ).


19

4. x ∈ f −1 (S ∩ T ) ⇔ f (x) ∈ S ∩ T ⇔ (f (x) ∈ S) và (f (x) ∈ T ) ⇔ (x ∈ f −1 (S))
và (x ∈ f −1 (T )) ⇔ x ∈ f −1 (S)∩f −1 (T ). Do đó f −1 (S ∩T ) = f −1 (S)∩f −1 (T ).
5. Lấy x ∈ A. Ta có x ∈ f −1 (S\T ) ⇔ f (x) ∈ S\T ⇔ f (x) ∈ S và f (x) ∈
/ T
−1
−1
−1
−1
−1
⇔ x ∈ f (S) và x ∈
/ f (T ) ⇔ x ∈ f (S)\f (T ). Do đó, f (S\T ) =
f −1 (S)\f −1 (T ).

1.3.3
1.3.3.1

Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
Các định nghĩa.

Định nghĩa 1.3.5. Ánh xạ f : A → B được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1 , x2 ∈ A,
x1 = x2 kéo theo f (x1 ) = f (x2 ) (hay f (x1 ) = f (x2 ) kéo theo x1 = x2 ). Người ta
còn gọi một đơn ánh là ánh xạ một đối một.
Như vậy, f là đơn ánh ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Ví dụ:
1. Ánh xạ đồng nhất idX : X → X là một đơn ánh.
2. Ánh xạ f : R → R : x → x3 là một đơn ánh.
3. Ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = |x| không phải là đơn ánh vì
f (1) = f (−1) = 1.
Định nghĩa 1.3.6. Ánh xạ f : A → B được gọi là một toàn ánh nếu ∀y ∈ B,
∃!x ∈ A sao cho y = f (x).
Người ta còn gọi toàn ánh là một ánh xạ từ A lên B.
Như vậy, f là toàn ánh ⇔ f (A) = B.
Ví dụ:
1. Ánh xạ đồng nhất idX : X → X là một toàn ánh.
2. Ánh xạ f : R → R : x → x3 là một toàn ánh.
Định nghĩa 1.3.7. Ánh xạ f : A → B được gọi là một song ánh hay ánh
xạ một đối một từ A lên B nếu nó vừa đơn ánh, vừa toàn ánh, tức là với mọi
y ∈ B, ∃!x ∈ A sao cho f (x) = y.
Ví dụ:
1. Ánh xạ đồng nhất idX : X → X là một song ánh.
2. Ánh xạ f : R → R : x → x3 vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh nên nó là một
song ánh.


20

3. Cho ánh xạ f : R → R+ xác định bởi f (x) = ex . Khi đó f là một song ánh,
vì:
∀y ∈ R+ , ∃! x = lny sao cho: f (x) = ex = elny = y.
1.3.4

Hợp thành của các ánh xạ

1.3.4.1 Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : A → B và g : B → C. Khi đó ánh xạ
h : A → C cho bởi h(x) = g(f (x)) và h được gọi là hợp thành hay tích của ánh
xạ f và ánh xạ g, ký hiệu go f hay gf.
Như vậy, go f (x) = g(f (x)).
Ví dụ:
1. Cho ánh xạ f : A → B. Khi đó fo idA = f và idB o f = f.
2. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = 2x và ánh xạ g : R → R xác
định bởi g(x) = sinx. Khi đó, tích gf là ánh xạ từ R đến R xác định bởi
gf (x) = sin2x.
3. Cho hai ánh xạ f, g : R → R xác định bởi f (x) = 3x + 2 và g(x) = cosx.
Khi đó,
go f (x) = g(f (x)) = g(3x + 2) = cos(3x + 2)
và fo g(x) = f (g(x)) = f (cosx) = 3cosx + 2.
Rõ ràng, fo g = go f .
1.3.4.2 Mệnh đề: Cho ba ánh xạ f : A → B, g : B → C, h : C → D.
Khi đó ta có
(hg)f = h(gf ).
Nói cách khác, phép hợp thành ánh xạ có tính chất kết hợp.
Chứng minh. Với mọi x ∈ A, ta có
((hg)f )(x) = hg(f (x)) = h(g(f (x))) = h(gf (x)) = (h(gf ))(x).
Do đó, (hg)f = h(gf ).
1.3.4.3

Mệnh đề: Cho hai ánh xạ f : A → B và g : B → C. Khi đó:

1. Nếu f và g là đơn ánh thì go f là đơn ánh.
2. Nếu f và g là toàn ánh thì go f là toàn ánh.
3. Nếu f và g là song ánh thì go f là song ánh.
1.3.4.4
Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : A → B và g : B → C. Khi đó, nếu
go f = idA và fo g = idB thì ta nói g là ánh xạ ngược của f.


21

Từ định nghĩa trên ta suy ra, nếu g là ánh xạ ngược của f thì f cũng là ánh xạ
ngược của g.
Ví dụ:
1. Cho hai ánh xạ f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 5 và g(x) =

x−5
.
2

Với mọi x ∈ R, ta có:

(2x + 5) − 5
= x = idR (x).
go f (x) = g(f (x)) = g(2x + 5) =
2
x−5
x−5

fo g(x) = f (g(x)) = f (
) = 2(
) + 5 = x = idR (x).
2
2
Vậy g là ánh xạ ngược của f và f cũng là ánh xạ ngược của g.
2. Cho hai ánh xạ f : R → R+ và g : R+ → R xác định bởi f (x) = ax và
g(x) = loga x; ở đây a ∈ R, a > 0 và a = 1.
Với mọi x ∈ R ta có:
go f (x) = g(f (x)) = g(ax ) = loga (ax ) = x = idR (x).
fo g(x) = f (g(x)) = f (loga x) = aloga x = x = idR+ (x).
Vậy g là ánh xạ ngược của f và f cũng là ánh xạ ngược của g.
1.3.4.5 Mệnh đề: Ánh xạ f : A → B có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là một
song ánh.
1.3.4.5

Mệnh đề: Ánh xạ ngược của một ánh xạ nếu có là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử f : A → B có hai ánh xạ ngược g : B → A và g : B → A.
Khi đó theo định nghĩa ta có: gf = idA và f g = idB .
Từ đó
g = gidB = g(f g ) = (gf )g = idA g = g .
Ký hiệu: Ánh xạ ngược duy nhất của ánh xạ f thường được ký hiệu là f −1 .
Dễ thấy rằng: (f −1 )−1 = f , (gf )−1 = f −1 g −1 .


22

BÀI TẬP
1. Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng:

a) (A ∩ B)\C = A ∩ (B\C).
b) (A ∪ B)\C = (A\C) ∪ (B\C).
c) A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).
d) (A\B) ∪ (B\C) ∪ (C\A) ∪ (A ∩ B ∩ C) = A ∪ B ∪ C.
2. Xét xem các đẳng thức sau có đúng không?
a) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
b) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D).
3. Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng:
a) A ⊕ A = ∅.
b) A ⊕ ∅ = A.
c) A ⊕ B = B ⊕ A.
d) A ⊕ B = (A ∪ B)\(A ∩ B).
e) (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C).
f) A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C).
4. Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng:
A∩C ⊂B∩C
A\C ⊂ B\C

⇔ A ⊂ B.

5. Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh rằng: A\(A\B) = B khi và chỉ khi
B ⊂ A.
6. Các tập hợp dưới đây được xác định bằng cách chỉ rõ dấu hiệu đặc trưng. Hãy
xác định các tập hợp đó bằng cách liệt kê:
a) A = {x ∈ N|x có hai chữ số và chữ số hàng chục của x bằng 3}.
b) B = {x ∈ N|x là ước của 24}.
.
c) C = {x ∈ N|x .. 5}.
7. Cho X = {a, b, c}. Hãy liệt kê các phần tử của P(X).
8. Cho A = {x ∈ R||x| ≥ 5} và B = {x ∈ R| − 6 ≤ x < 0}.

Hãy xác định các tập A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A, CR (A), CR (B).
9. Xác định xem quan hệ R trên tập hợp các con người trên Trái Đất có là phản
xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu không, với (a, b) ∈ R nếu và chỉ nếu:
a) a cao hơn b.
b) a và b sinh cùng ngày.
c) a và b cùng tên.
d) a và b có cùng ông.
10. Cho tập hợp X = {1, , 2, 3, 4, 5} ⊂ N.


23

Trên X xét quan hệ hai ngôi R như sau:
aRb ⇔ a + b là số chẵn.
a) Hãy liệt kê tất cả các phần tử của quan hệ R.
b) Quan hệ R có những tính chất nào.
11. Xét quan hệ hai ngôi R trên N2 như sau:
∀(m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ N2 , (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1 .
Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên N2 . Hãy chỉ ra tập hợp
thương.
12. Trên Z × N∗ , xét quan hệ hai ngôi sau:
∀(z1 , n1 ), (z2 , n2 ) ∈ Z × N∗ , (z1 , n1 )R(z2 , n2 ) ⇔ z1 n2 = z2 n1 .
Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên Z × N∗ . Hãy chỉ ra tập hợp
thương.
13.Trên tập hợp R các số thực, xét quan hệ hai ngôi R như sau:
∀x, y ∈ R, xRy ⇔ x3 − y 3 = x − y.
Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương. Tìm các lớp tương đương và
tập hợp thương.
14. Xét quan hệ R trên tập hợp R các số thực như sau:
∀a, b ∈ R, aRb ⇔ a3 ≤ b3 .

Chứng minh rằng R sắp thứ tự toàn phần tập hợp R.
Nếu xét quan hệ S trên tập hợp R như sau thì S có là một quan hệ thứ tự hay
không?
∀a, b ∈ R, aSb ⇔ a2 ≤ b2 .
15. Xét tập hợp N∗ với quan hệ thứ tự chia hết và X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Hãy tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, chặn trên, chặn dưới, cận trên, cận dưới,
tối đại, tối tiểu của X.
16. Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f (x) = x2 − 3x + 1. Hãy tìm f ([−1, 2]),
Imf , f −1 , f −1 ([−1, 1]).
17. Chứng minh rằng các ánh xạ sau là song ánh và tìm ánh xạ ngược của chúng:
ex − e−x
a) f : R −→ R cho bởi f (x) =
.
2
ex + e−x
b) f : [0, +∞) −→ [1, +∞) cho bởi f (x) =
2
18. Cho ánh xạ f : X −→ Y, A ⊂ X, B ⊂ X, C ⊂ Y, D ⊂ Y. Chứng minh rằng:
a) A ⊂ f −1 (f (A)).
b) C ⊃ f (f −1 (C)).
c) A ⊂ B kéo theo f (A) ⊂ f (B).
d) C ⊂ D kéo theo f −1 (C) ⊂ f −1 (D).


24

19. Chứng minh rằng nếu f : A −→ A là một toàn ánh và f of = f thì f là ánh
xạ đồng nhất.
20. Chứng minh rằng nếu có một song ánh từ X đến Y và một song ánh từ X
đến Z thì có một song ánh từ Y đến Z.

Chương 2

LOGIC TOÁN
2.1

Logic mệnh đề

2.1.1

Mệnh đề

Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề là một khái niệm nguyên thủy không
được định nghĩa. Những câu phản ánh đúng hay sai thực tế khách quan được coi
là mệnh đề.
Ví dụ:
1. Số 35 chia hết cho 5: mệnh đề đúng.
2. Mặt trời quay quanh Trái đất: mệnh đề sai.
3. Tam giác ABC có ba góc vuông: mệnh đề sai.
4. 0 < 1: mệnh đề đúng.
5. 3 + 2 = 6: mệnh đề sai.
6. Số 45 không phải là số lẻ: mệnh đề sai.
Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh và nói chung các câu không nhằm phản
ánh tính đúng sai của thực tế khách quan đều không được coi là mệnh đề.
Ví dụ:
Các câu sau đều không phải là mệnh đề.
1. Số 59 có phải là một số nguyên tố không?
2. Hãy viết một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.
3. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (Định nghĩa).

Chú ý:
• Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng mà cũng
không sai.