Giải PT bậc 4 bằng CASIO đơn giản tập 3

VNCASIOer Team

Research by Admin

Giải PT bậc 4 đơn giản - Tập 3
Dành cho Newbie không biết gì! 

A. PTB4 chỉ có 1 nghiệm
Cũng như Tập 2, ta sẽ xem nó có dạng như thế nào.
Sở dĩ tôi luôn nói đến cái dạng là để bạn hiểu bản chất của phương pháp. Tôi có thể
viết cho bạn các bước bấm máy và tài liệu do đó sẽ ngắn hơn nhiều, nhưng sẽ biến
bạn thành một con vẹt nếu bạn không chịu tìm hiểu bản chất.
Toán học và Máy tính, cái nào hơn? Rõ ràng là Toán rồi, vì từ đó người ta chế tạo ra
máy tính, còn máy tính, không những không bao giờ có thể thực hiện tất cả các phép
tính toán, mà còn trục trặc do lỗi phần cứng (cộng thêm cả tá lỗi phần mềm đã và
chưa được phát hiện ra). Do đó chúng ta cần Toán học để sửa chữa những lỗi đó, cụ
thể là, nếu bạn hiểu bản chất, phương pháp giải PTB4 thì sẽ tự khắc phục được những
vấn đề trong quá trình sử dụng máy để giải PTB4.
Quay lại bài toán, PTB4 f ( x)  0 có 1 nghiệm thì có thể nhận 1 trong 2 dạng sau:
+ Dạng 1. ( ax  b) 4  0 , chỉ có 1 nghiệm hữu tỉ là x  

b
(do các hệ số của PT đều
a

là hữu tỉ). Khai triển biểu thức ( ax  b) 4 ta sẽ thấy hạng tử bậc 4 và hạng tử tự do của
PT lần lượt là a 4 x 4 và b 4 , do đó, một đặc điểm vô cùng rõ ràng là hệ số bậc 4 luôn
cùng dấu với hệ số tự do.
+ Dạng 2. ( ax  b) 2 ( mx 2  nx  p )  0 trong đó nhân tử ( mx 2  nx  p ) vô nghiệm,
như vậy nó cũng chỉ có 1 nghiệm hữu tỉ x  

b
như Dạng 1. Có một điều đặc biệt là,
a

vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

nếu nhân tử ( mx 2  nx  p ) vô nghiệm thì m, p phải cùng dấu (vì nếu chúng trái dấu
thì PT mx 2  nx  p  0 luôn có 2 nghiệm phân biệt), do đó, PTB4 ban đầu luôn có hệ
số bậc 4 và hệ số tự do cùng dấu.
Vậy ta không thể căn cứ vào hệ số đầu và cuối được, vì chúng đều cùng dấu cả rồi,
chỉ còn đúng 1 cách để xác định được hướng phân tích thuộc dạng nào, đó là dùng
phép thử.
Thử như thế nào?
Ta nhận thấy ở Dạng 1 thì f ( x)  (ax  b) 4 

f ( x)
 ax  b , còn ở Dạng 2 thì
(ax  b)3

f ( x)
mx 2  nx  p
. Như vậy khi thay x
f ( x)  (ax  b) (mx  nx  p) 

(ax  b)3

ax  b
2

2

nguyên vào biểu thức

f ( x)
, nếu nó là Dạng 1 thì kết quả thu được luôn là
(ax  b)3

mx 2  nx  p
nguyên (bằng ax  b mà), nhưng nếu nó rơi vào Dạng 2, thì nó bằng
ax  b

nên kết quả không bao giờ nguyên được, từ đó biết ngay dạng nào.
VD1. 12 x 4  28 x3  11x 2  6 x  18  0
3
Solve ta chỉ thấy 1 nghiệm duy nhất: x   , bây giờ ta thử xem dạng nào.
2

Trước tiên, từ nghiệm x  

3
ta dễ dàng có nhân tử bình phương: (2 x  3) 2
2

f (X )
12 X 4  28 X 3  11X 2  6 X  18
Nhập biểu thức:

, rồi cho X  1000

(2 X  3)3
(2 X  3)3

vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Kết quả không nguyên, suy ra nó thuộc Dạng 2.
Dạng 2 có nghĩa là:

f ( x)
 mx 2  nx  p , vì vậy ta sửa lại cái mẫu, vẫn để
2
(ax  b)

X  1000 và bấm  :

Cuối cùng xấp xỉ như đã học: 2 998 002  3 000 000  3 X 2

1998  2 000  2 X

Vậy mx 2  nx  p  3 x 2  2 x  2 , hay f ( x)  (2 x  3) 2 (3x 2  2 x  2)
VD2. x 4  16 x3  96 x 2  256 x  256  0

vietnamcasioerteam.blogspot.com

VNCASIOer Team

Research by Admin

Thấy PT chỉ có nghiệm duy nhất x  4 , nghĩa là chắc chắn có nhân tử bình phương
( x  4) 2 , do đó ta nhập

f (X )
và cho X  1000 :
( X  4)3

Kết quả nguyên rất đẹp, do đó nó chính là Dạng 1, không cần phải nói thêm gì nữa.
Vậy: f ( x)  ( x  4) 4 , ok! 
Bài luyện tập:
1) 16 x 4  32 x3  24 x 2  8 x  1  0
2) 12 x 4  12 x3  7 x 2  4 x  1  0
3) 81x 4  216 x3  216 x 2  96 x  16  0
4) 4 x 4  19 x3  8 x 2  33x  18  0
Nộp lại các đáp án cho Admin qua message Facebook.
B. PTB4 vô nghiệm
Đây chính là loại khó phân tích nhất!
Mọi PTB4 luôn phân tích được thành 2 nhân tử bậc 2, nhưng vì không có một nghiệm
thực nào, nên rất khó tìm: f ( x)  0  (a1 x 2  b1 x  c1 )(a2 x 2  b2 x  c2 )  0
PT vẫn có đủ 4 nghiệm phức, do đó nếu ra dạng này, thì chỉ có thể nằm ở câu số phức
mà thôi.

vietnamcasioerteam.blogspot.com

VNCASIOer Team

Research by Admin

Sau đây tôi xin giới thiệu với bạn 2 cách do tôi nghiên cứu ra, áp dụng cho mọi loại
máy tính. Cách thứ nhất rất là “củ chuối”, chỉ cần nghe tên là đã biết phải mò rồi, còn
cách thứ 2 không có tí gì là mò cả, hoàn toàn chắc chắn, nhanh chóng, nhưng công
thức lại hơi khó nhớ…
1) Cách 1 - Thử giá trị
Nói sơ qua, ta sẽ dự đoán các giá trị của a1 và c1 , sau đó thử thay đổi giá trị b1 xem
kết quả phép chia

f ( x)
có là số nguyên hay không khi X  1000 , nếu nó
a1 x  b1 x  c1
2

nguyên thì dùng xấp xỉ là ra ngay nhân tử còn lại ( a2 x 2  b2 x  c2 ) , còn nếu không, thì
phải thay đổi a1 , b1 , c1 và thử tiếp!  Việc thử này được thực hiện trong TABLE.
Phương pháp này, tuy nói là thử nhưng không phải là không có căn cứ, nếu không thì
làm đến Tết Công-gô cũng không xong. Căn cứ duy nhất chính là ở chỗ 2 nhân tử đều
có hệ số là nguyên (đề đẹp là phải như vậy), khi đó ta giới hạn được số giá trị của a
và c, và việc thử sẽ không lâu.
Cụ thể, vì ta có ax 4  bx3  cx 2  dx  e  (a1 x 2  b1 x  c1 )(a2 x 2  b2 x  c2 ) , nên khai
a  a1a2
triển bên phải suy ra: 
, như vậy a1, a2 là ước của a (do chúng đều nguyên và
e


c
c
1 2


a cũng nguyên), c1 , c2 là ước của e
Như vậy, ta sẽ tìm các ước của a, e trước, sau đó lắp từng cặp giá trị vào phép chia
f ( x)
rồi thay đổi b1 xem cái nào thỏa mãn thì lấy.
a1 x 2  b1 x  c1

Sau đây là các VD để bạn nắm rõ:
VD1. 6 x 4  7 x 3  11x 2  x  4  0
Solve ta thấy PT này vô nghiệm, do đó thử luôn cách mò như trên.
vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Xét hệ số bậc 4 và hệ số tự do, các ước của 6 là 1; 2; 3; 6 còn các ước của 4 là 1; 2; 4
(tất nhiên có tính cả các số âm nữa), điều đó nghĩa là trong nhân tử ( a1 x 2  b1 x  c1 ) ,
a1 {  1;  2;  3;  6} , còn c1 {  1;  2;  4} , như vậy a1 có thể nhận 8 giá trị, c1 có

thể nhận 6 giá trị, do đó nếu ghép cặp chúng với nhau thì có đến 48 trường hợp để thử
(!)
Nhưng không sao, chúng ta vẫn quyết tâm! Vì chúng ta có 1 số căn cứ để giảm bớt
trường hợp như sau:
+ Thứ nhất, như phần A có nói, nếu tam thức a1 x 2  b1 x  c1  0 vô nghiệm thì a1 phải

cùng dấu với c1 , do đó ta loại hết các giá trị trái dấu nhau đi, vậy chỉ còn lại cùng
dương mà thôi: a1 {1; 2; 3; 6} và c1 {1; 2; 4} (trường hợp cùng âm không phải xét
nữa vì khi đó ta đặt hết dấu âm ra ngoài lại thành cùng dương). Như vậy chỉ có tối đa
12 trường hợp để thử.
+ Thứ hai, có một bí mật mà phần lớn mọi người không tin, đó là thực tế chỉ cần thử
6 trường hợp thôi, không cần thử hết 12 đâu. Sau VD1 này tôi sẽ nói rõ hơn.
Ta bắt đầu thử:
+ TH1: ( a1 , c1 )  (1;1) , thay vào

f ( x)
, ta được biểu thức để thử:
a1 x  b1 x  c1
2

6 x 4  7 x3  11x 2  x  4
, do kết quả phép chia phải là số nguyên, do đó bây giờ ta thử
x 2  b1 x  1

tiếp các giá trị b1 xem giá trị nào thì kết quả phép chia là nguyên với x nguyên, bằng
cách dùng MODE TABLE.
Muốn dùng TABLE để dò b1 , ta phải thay biến x ở trên thành biến khác, đồng thời
thay b1 thành X vì TABLE chỉ dò với biến X của máy thôi, vậy ta sẽ thay đổi biến
của phép chia trên thành:

6 A4  7 A3  11A2  A  4
A2  XA  1

vietnamcasioerteam.blogspot.com

VNCASIOer Team

Research by Admin

Bây giờ ta gán A  1000 rồi vào MODE TABLE (bấm MODE 7 ), nhập biểu thức
trên vào:

Bấm  , máy sẽ hỏi một số giá trị, ta nhập như sau:
+ Start? (Bắt đầu). Cho Start  14 rồi 

+ End? (Kết thúc). Tương tự, cho End  14 rồi 

+ Step? (Bước nhảy). Mặc định nó là 1 ta cứ để thế bấm  , và một bảng hiện ra…

Giải thích sơ qua: khi ta nhập các giá trị trên như vậy nghĩa là ta muốn dò giá trị của
F(X ) 

6 A4  7 A3  11A2  A  4
với các giá trị X thuộc [  14;14] và cách nhau một
A2  XA  1

lượng bằng 1 (nên gọi là bước nhảy).
Vì yêu cầu của ta là kết quả phép chia phải nguyên nên bây giờ ta tìm bên cột F ( X )
xem có giá trị nào nguyên hay không.
vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Vâng, chạy hết cả bảng chỉ toàn giá trị thập phân mà thôi, suy ra ta giả sử
( a1 , c1 )  (1;1) là sai, chuyển sang TH2.

+ TH2: ( a1 , c1 )  (1; 2) , khi đó ta chỉ việc sửa lại F ( X ) 

6 A4  7 A3  11A2  A  4
A2  XA  2

rồi để nguyên các giá trị ở trên và bấm  đến khi ra bảng mới:

Dò bảng này, vẫn không có giá trị F ( X ) nào nguyên!
6 A4  7 A3  11A2  A  4
+ TH3: ( a1 , c1 )  (1; 4) , ta lại sửa F ( X ) 
A2  XA  4

Vâng, vẫn chưa tìm được giá trị F ( X ) nguyên, do đó quá trình sửa vẫn tiếp tục.
6 A4  7 A3  11A2  A  4
+ TH3: ( a1 , c1 )  (2;1) (nâng a1 lên), sửa: F ( X ) 
2 A2  XA  1

Cặp này cũng không cho ta kết quả!
+ TH4: ( a1 , c1 )  (2; 2)

vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Vẫn chưa có gì!
+ TH5: ( a1 , c1 )  (2; 4)

Good! Có những 2 giá trị nguyên liền: tại X  2 thì F (2)  3000499 , và tại X  3 thì
F (3)  2999001

6 A4  7 A3  11A2  A  4
Vì ở TH5 này, F ( X ) 
, nên F (2)  3000499 có nghĩa là
2 A2  XA  4

6 A4  7 A3  11A2  A  4
 3000499 (trong đó A  1000 ).
2 A2  2 A  4

Tiến hành xấp xỉ: 3000499  3000000  500  1  3 A2 

1
A  1 , hệ số không nguyên
2

ư? Vậy X  2 là không hợp lí rồi, vì hệ số nhân tử của chúng ta phải nguyên.
Ta xoay sang F (3)  2999001 , thì được:

6 A4  7 A3  11A2  A  4
 2999001
2 A2  3 A  4

Xấp xỉ ta được: 2999001  3 A2  A  1 , rất hợp lí.

6 A4  7 A3  11A2  A  4
Vậy:
 3 A2  A  1
2
2 A  3A  4

vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Kết luận: 6 x 4  7 x3  11x 2  x  4  (2 x 2  3 x  4)(3 x 2  x  1)
Một bài giải bằng CASIO kéo dài hơn 4 trang và kết thúc bằng một kết quả rất đẹp!
Nhưng tôi dám chắc còn nhiều “uẩn khúc” mà các bạn thấy chưa được làm sáng tỏ
trong cách làm trên, do đó, trước khi sang VD2, tôi sẽ giải thích chúng.
Đầu tiên là về việc chỉ cần xét qua 6 TH là ra kết quả mà không cần cả 12 TH.
a  a1a2
Ta thấy: ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  ( a1 x 2  b1 x  c1 )(a2 x 2  b2 x  c2 ) , do đó 
 e  c1c2

hay a1, a2 đều là ước của a và c1 , c2 đều là ước của e
Giả sử trong số các ước của a, ta lấy ra ước a1 , thì luôn tồn tại một ước a2 khác của
nó sao cho a1a2  a , do đó nếu coi 2 ước bằng nhau cũng là 2 ước phân biệt thì số
ước luôn là số chẵn. Tương tự, e cũng như thế.
Ta sắp xếp các ước của a theo thứ tự từ lớn đến bé, và chia nó làm 2 phần có số lượng
bằng nhau, gọi là phần bé và phần lớn. Như vậy nếu ta lấy các ước từ bé đến lớn
(nghĩa là lấy ở phần bé trước) để thử thay vào làm hệ số a1 của nhân tử đầu tiên

( a1 x 2  b1 x  c1 ) , thì đến một lúc nào đó cái ước ta lấy sẽ trùng với kết quả cần phân
tích. Và khi đó, hệ số a2 sẽ chính là ước còn lại, nằm trong phần lớn.
Còn nếu ta duyệt từ cao xuống thấp (phần lớn trước), khi đó sẽ tìm được a2 trước, và
suy ra luôn a1 tương ứng nằm trong phần bé, thỏa mãn a1a2  a ( a1  a2 cũng được).
Như vậy, khi ta duyệt các ước nằm trong phần bé, thì ta luôn luôn tìm được a1 trong
đó. Nếu may mắn thì vừa bắt đầu duyệt đã thành công, còn “đen đủi” thì phải thử đến
số cuối cùng của phần bé mới xong, nhưng kiểu gì thì cũng chỉ cần 1 phần là xong.
Điều đó có nghĩa là ta chỉ cần duyệt trong một nửa số ước của a mà thôi. Từ đó suy ra
nội dung cần chứng minh: ta chỉ cần duyệt trong một nửa số cặp giá trị của ( a1 , c1 ) là
có kết quả! 
vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Bây giờ là một ý nhỏ nữa mà bạn có thể thắc mắc, đó là việc ta dò giá trị của
6 A4  7 A3  11A2  A  4
bằng TABLE với X  [  14;14] và các giá trị X
F(X ) 
A2  XA  1

cách nhau một lượng bằng 1.
Thực ra trong giai đoạn tôi viết tập sách này, thì đấy là điều khá cơ bản mà dân
CASIOer nghiệp dư thừa hiểu, vì TABLE hiện là một tool rất mạnh, được dùng phổ
biến, nhưng vì tôi viết 3 tập này cho Newbie, nên cần phải nói vài tí.
X ở đây không dùng để thay cho biến x trong PTB4 ban đầu, vì ta dùng biến A thay
cho x rồi, X ở đây thay cho hệ số b1 của biểu thức chia ( A2  XA  1) (là một nhân tử
của PT). Do ta đang dò b1 mà TABLE chỉ dò cho biến X, nên mới phải thay đổi như

vậy. Vì hệ số b1 không ai cho quá lớn, nhất là khi thấy hệ số của PTB4 ban đầu lại
nhỏ như thế, thông thường b1  [  10;10] , do đó ta cho X  [  14;14] để tận dụng hết
dung lượng giới hạn của máy (có thể cho X  [  10;10] cũng như vậy).
Còn cho các giá trị của X cách nhau 1 khoảng là 1 (Step), là vì hệ số b1 nguyên (các
số nguyên cách nhau một khoảng là 1 đúng không?), đơn giản vậy thôi.
Ta đi tiếp 2 VD nữa.
VD2. 6 x 4  17 x3  34 x 2  31x  20  0
Phương trình này vô nghiệm, vậy ta sẽ áp dụng cách trên để tách.
Các ước dương của hệ số 6 và 20 lần lượt là {1; 2; 3; 6} và {1; 2; 4; 5;10; 20} , cho nên
về lí thuyết sẽ có tất cả là 4.6  24 cách kết hợp ( a1 , c1 ) để dò ra nhân tử thứ nhất

( a1 x 2  b1 x  c1 ) , tuy nhiên theo chứng minh vừa rồi, ta chỉ cần quét trong vòng 1 nửa
số cách đầu tiên (tức 12 cách) là có kết quả. Điều đó có nghĩa là, nếu ta chia 4 ước
của 6 thành phần bé {1; 2} và phần lớn {3; 6} thì chỉ cần chọn 1 trong 2 phần này để
thử là xong. Việc này cũng không phải là lâu la lắm, quen rồi thì chỉ mất tối đa là 10
vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

phút thôi. Ở đây tôi chọn phần bé cho nó nhỏ, tức a1 {1; 2} , c1 {1; 2; 4; 5;10; 20} ,
tiến hành thử nào!
+ TH1: cặp đầu tiên ( a1 , c1 )  (1;1)
Trước hết, gán 1000  A , sau đó, bấm MODE 7 và nhập vào biểu thức
 Start  14
6 A4  17 A3  34 A2  31A  20

, bấm  rồi cho  End  14 , ta thu được

f (X ) 
2
A  XA  1
 Step  1


bảng đầu tiên:

Quét cột F(X) ta không thu được giá trị nguyên nào.
+ TH2: giữ nguyên a1 , tăng c1 lên ta được ( a1 , c1 )  (1; 2) . Chỉ cần quay lại sửa hệ số
c1 trong biểu thức đã nhập: f ( X ) 

6 A4  17 A3  34 A2  31A  20
. Ta được:
A2  XA  2

Quét tiếp cột f(X) cũng không thu được giá trị nguyên nào cả!
+ TH3: lại tăng c1 lên ước mới: ( a1 , c1 )  (1; 4)

Vẫn chưa kết thúc, vì mò không ra.
vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Tương tự, các bạn tự thử với các trường hợp còn lại của c1 : ( a1 , c1 )  (1; 5), (1;10) ,
(1; 20) , và đều nhận được kết cục như trên!

6 A4  17 A3  34 A2  31A  20
Phải cho đến khi ( a1 , c1 )  (2; 4) , tức f ( X ) 
, thì ta
2 A2  XA  4

mới tìm được một giá trị f(X) đẹp, đó là f (3)  2996005 . Trong lúc quét phải hết
sức tập trung quan sát nhé, đừng lướt nhanh quá, không có để vuột mất giá trị quý giá
này là coi như thất bại rồi đấy! Dù sao cũng đã dò đến cặp thứ 9 rồi:

6 A4  17 A3  34 A2  31A  20
Vậy ta có: f ( 3) 
 2996005  3 A2  4 A  5
2
2 A  3A  4

Kết luận: 6 x 4  17 x3  34 x 2  31x  20  (3x 2  4 x  5)(2 x 2  3x  4)
VD3. 16 x 4  8 x3  17 x 2  16 x  15  0
Các ước dương của 16 và 15 lần lượt là {1; 2; 4; 8;16} và {1; 3; 5;15} . Do số ước thực
chất là số chẵn, nên viết đầy đủ tập ước của 16 phải là {1; 2; 4; 4; 8;16} , nhưng do tập
không thể có 2 phần tử trùng nhau nên ta bỏ bớt 1 số 4. Như vậy, chia tập ước của 16
thành phần bé {1; 2; 4} và phần lớn {4; 8;16} (số phần tử của 2 phần phải bằng nhau
nhé), thì ta sẽ phải thử nhiều nhất là 3.4  12 trường hợp của ( a1 , c1 ) .
Đầu tiên, gán A  1000 , rồi vào MODE TABLE nhập:
16 A4  8 A3  17 A2  16 A  15
f (X ) 
a1 A2  XA  c1

vietnamcasioerteam.blogspot.com

VNCASIOer Team

Research by Admin

12 trường hợp của ( a1 , c1 ) là: (1;1), (1; 3), (1; 5), (1;15), (2;1), (2; 3), (2; 5), (2;15), (4;1) ,
(4; 3), (4; 5), (4;15) . Các bạn hãy thay lần lượt vào f(X) rồi tự quét bảng như 2 VD

trước, tôi không trình bày lại làm gì nữa.
Kết quả đẹp sẽ đạt được tại cặp ( a1 , c1 )  (4; 3) : f (5)  3997005  4 A2  3 A  5

16 A4  8 A3  17 A2  16 A  15
 4 A2  3 A  5 , suy ra kết luận:
Vậy: f (5) 
2
4 A  5A  3
16 x 4  8 x 3  17 x 2  16 x  15  (4 x 2  3 x  5)(4 x 2  5 x  3)

2) Cách 2 - Áp dụng công thức đặc biệt
Cách này trị được mọi PTB4 vô nghiệm, nhược điểm duy nhất của nó chỉ là công
thức đặc biệt của tôi khá khó nhớ, chứng minh cũng không dễ hiểu.
Thực ra, cách này tôi đã đăng trên Blog của Team, đó là nghiên cứu gần nhất của tôi
ngay trước khi Team thành lập. Do đó, ở đây tôi chỉ đưa ra công thức và các bước
bấm máy, việc chứng minh nó, mời bạn xem trên Blog:
vietnamcasioerteam.blogspot.com/2015/12/co-le-phai-gan-5-thang-sau-khi-xuatban.html
Giả sử ta cần phân tích PTB4 ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0 vô nghiệm thành nhân tử
bằng cách áp dụng công thức đặc biệt, thì có 3 bước:
+ Bước 1. Giải PT [bk  2ad  bc]2  (c  k ) 2  4ae   b 2  4ak  tìm một nghiệm
nguyên k (đấy chính là công thức đặc biệt của tôi! ).

vietnamcasioerteam.blogspot.com

VNCASIOer Team

Research by Admin

+ Bước 2. Có k rồi, viết lại PT đã cho thành ax 2  bx  k  (c  k ) xy  dy  ey 2  0 .
Áp dụng kỹ thuật phân tích đa thức 2 ẩn thành nhân tử để phân tích PT mới này thành
( mx  n  py )(ux  v  qy )  0

+ Bước 3. Thế lại y 

p 
q
1

vào ta được  mx  n   ux  v    0 , nhân luôn x 2
x 
x
x


vào 2 vế để triệt x dưới mẫu, ta được kết quả: ( mx 2  nx  p)(ux 2  vx  q )  0
Ta sẽ làm lại các VD ở mục 1 bằng 3 bước này.
VD1. 6 x 4  7 x 3  11x 2  x  4  0
Phương trình này có các hệ số: a  6, b  7, c  11, d  1, e  4 , đem lắp vào công
thức đặc biệt [bk  2ad  bc]2  (c  k ) 2  4ae   b 2  4ak  ta được PT bậc 3 ẩn k:
(7k  89) 2  (11  k ) 2  96  (49  24k )

Giải PT này ta được 1 nghiệm nguyên k  3

Viết lại PT ban đầu thành dạng ax 2  bx  k  (c  k ) xy  dy  ey 2  0 , nghĩa là ta viết
lại thành 6 x 2  7 x  3  14 xy  y  4 y 2  0 . Bây giờ ta phân tích PT 2 ẩn mới này
thành nhân tử bằng CASIO.
Đầu tiên nhập biểu thức vào máy (dùng 2 biến X, Y), sau đó SHIFT CALC
(Solve), cho Y  100 rồi giải tìm X:

vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Vậy X  33  

Research by Admin

99
Y 1

 3 X  Y  1  0 , do đó PT 2 ẩn trên có 1 nhân tử là
3
3

6 x 2  7 x  3  14 xy  y  4 y 2
để ra nhân tử còn lại.
(3 x  y  1) , ta sẽ chia
3x  y  1

 X  10000
Sửa biểu thức trên màn hình, rồi CALC cho 
ta được kết quả:

 Y  100

Kết quả là: 20403  20000  400  3  2 X  4Y  3 , vậy nhân tử còn lại: (2 x  4 y  3)
Do đó kết quả phân tích là: 6 x 2  7 x  3  14 xy  y  4 y 2  (3x  y  1)(2 x  4 y  3)

Thế y 

1
vào ta được:
x

1 
4

2
 3x  1   2 x  3    0 , nhân x vào ta được kết quả
x 
x


cuối cùng: (3 x 2  x  1)(2 x 2  3 x  4)  0 , Ok! 
VD2. 6 x 4  17 x3  34 x 2  31x  20  0
Đem các hệ số của PT: a  6, b  17, c  34, d  31, e  20 lắp vào công thức đặc
biệt, ta được PT: (206  17k ) 2  (34  k ) 2  480  (289  24k ) , giải ra thu được 1
nghiệm nguyên k  12
Do đó, chuyển PT thành: 6 x 2  17 x  12  22 xy  31 y  20 y 2  0 , và ta sẽ đi phân tích
PT này.
Như VD1, ta nhập biểu thức vào máy, sau đó giải tìm X với Y  100 :
vietnamcasioerteam.blogspot.com

VNCASIOer Team

Research by Admin

Để X thế này liệu có làm tiếp được không?
Ta phải chuyển nó về dạng phân số đẹp, bằng cách lợi dụng chức năng làm tròn của
máy. Cụ thể ta nhập lại số 165,(3) vào màn hình, nhập thật nhiều số 3 (ít nhất là 10
số), sau đó ấn  , kết quả đẹp hiện ra:

Vậy X  

496
500  4
5Y  4


 3 X  5Y  4  0 , suy ra nhân tử thứ nhất là
3
3
3

(3 x  5 y  4)

Thực hiện phép chia

6 x 2  17 x  12  22 xy  31 y  20 y 2
ta sẽ được nhân tử còn lại.
3x  5 y  4

 X  10000
Đầu tiên quay lại sửa biểu thức thành như thế, sau đó cho 
, kết quả thu
 Y  100

được dễ dàng truy ngược lại về nhân tử:

vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Truy ngược: 20397  20000  400  3  2 X  4Y  3
Vậy: 6 x 2  17 x  12  22 xy  31y  20 y 2  0  (3x  5 y  4)(2 x  4 y  3)  0
Thay y 

1
đồng thời nhân x 2 vào ta được kết quả cuối cùng:
x

5
4



x 2  3x   4  2 x   3   0  (3 x 2  4 x  5)(2 x 2  3x  4)  0
x
x





Kết luận: 6 x 4  17 x3  34 x 2  31x  20  0  (3 x 2  4 x  5)(2 x 2  3x  4)  0
VD3. 16 x 4  8 x3  17 x 2  16 x  15  0
Trước hết, mót ra các hệ số: a  16, b  8, c  17, d  16, e  15 , sau đó, đem lắp vào
công thức đặc biệt, được PT bậc 3 ẩn k: (8k  376) 2   (17  k ) 2  960  (64  64k )
Dùng Solve, được nghiệm nguyên k  15 (nghiệm lẻ vứt hết nhé!), do đó, viết lại
thành PT mới: 16 x 2  8 x  15  32 xy  16 y  15 y 2  0 , quá dễ để phân tích PT này!
Cho Y  100 , ta giải nghiệm X theo Y:

X 

305
300  5
3Y  5


 4 X  3Y  5  0  (4 x  3 y  5) là 1 nhân tử.
4
4
4

 X  10000
Thực hiện phép chia đa thức 2 ẩn với 
để hoàn tất:
 Y  100

vietnamcasioerteam.blogspot.com

VNCASIOer Team

Research by Admin

Truy ngược nhân tử: 40497  40000  500  3  4 X  5Y  3
Vậy 16 x 2  8 x  15  32 xy  16 y  15 y 2  0  (4 x  3 y  5)(4 x  5 y  3)  0

Thay y 

1
đồng thời nhân x 2 vào 2 vế, và rút gọn đến kết quả sau cuối:
x

3
5



x 2  4 x   5  4 x   3   0  (4 x 2  5 x  3)(4 x 2  3 x  5)  0 , the end! 
x
x




Nhận xét: [bk  2ad  bc]2  (c  k ) 2  4ae   b 2  4ak  là một công thức rất khó nhớ,
mặc dù áp dụng nó phân tích được tất cả PT bậc 4 chứ không riêng mình loại vô
nghiệm vì nó mang một cơ sở toán học chắc chắn để phân tích, do đó các bạn không

nhất thiết phải nhớ làm gì. Và vì hệ số bậc 4 và hệ số tự do của PT trong đề thi (nếu
có) thường cho nhỏ, nên áp dụng cách thử như mục a vẫn làm được ngon lành.
Gần cuối cùng, là bài tập luyện tập dành cho các bạn:
1) 6 x 4  4 x3  11x 2  6 x  3  0
2) 4 x 4  5 x3  3x 2  4 x  2  0
3) 3x 4  7 x 2  4  0
4) 12 x 4  13 x 3  4 x 2  5 x  30  0
5) 56 x 4  82 x 3  97 x 2  49 x  20  0
6) 110 x 4  245 x 3  671x 2  563 x  651  0
Nộp lại các đáp án cho Admin qua message Facebook.
vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

Các bạn có biết vì sao đống bài tập này mới là gần cuối không? Vì cuối cùng, tôi xin
giới thiệu đến các bạn cách thứ 3 dành cho phân tích PTB4 vô nghiệm, đây là nghiên
cứu của Diễn đàn Toán CASIO (facebook.com/DienDanToanCasio). Coi như là một
bài đọc thêm giải trí! 
Cách này sử dụng chức năng phân tích thành thừa số nguyên tố, đó là chức năng
FACT, mà từ dòng máy CASIO fx-570VN PLUS trở lên, và VINACAL, mới có chức
năng này. Do đó nó không áp dụng được với mọi máy, đấy là nguyên nhân tôi cho là
bài đọc thêm và cho xuống cuối cùng! 
Giới thiệu về chức năng FACT:
+ Đối với máy CASIO fx-570VN PLUS, giả sử ta phân tích số 246 ra các thừa số
nguyên tố, ta nhập 246, ấn  , sau đó ấn SHIFT

o

''' (chính là phím của biến B),

kết quả phân tích sẽ hiện ra:

+ Đối với VINACAL, nó làm hẳn một menu chức năng mới của riêng dòng máy này,
và đặt tên là VINACAL (các bạn thấy chữ VINACAL nằm ở phím 6 chứ? ). Do
đó, nhấn SHIFT 6 , ta sẽ thấy chức năng FACT, nhấn tiếp 4 để chọn nó và tính:

Đây là PT tôi đã đưa cho Admin Diễn đàn Toán CASIO để yêu cầu họ phân tích:
6 x 4  7 x3  11x 2  x  4  0 , các bạn có thể lên Facebook của diễn đàn theo link trên,

hoặc vào trang web của họ để xem xét và trao đổi thắc mắc:
vietnamcasioerteam.blogspot.com


VNCASIOer Team

Research by Admin

/>Trước khi chốt 3 tập PTB4 đơn giản này, tôi muốn nói với các bạn rằng đây chỉ là
PTB4 đơn giản thôi nhé, còn phức tạp thì tôi không đưa vào đây, vì đề thi không mấy
ra.
Chẳng hạn PT sau đây, các bạn sẽ không bao giờ phân tích nổi theo những cách đã
học trong 3 tập này: 9 x 4  36 x3  37 x 2  9  0 (đưa ra bởi member Vũ Tiến Phương).
Nó có thể có nghiệm dạng căn trong căn, nhưng tôi đoán khả năng là nghiệm lượng
giác, vì trên Blog của Team cũng đã có 1 tài liệu về PTB4 nghiệm căn trong căn
(link: />nhưng những phương pháp trong đó cũng không “xử” được bài này. Mà mấy loại
nghiệm đó thì Bộ sẽ không ra đâu, nên các bạn không phải lo lắng.
Đôi khi chúng ta nghiên cứu nhiều thứ quá xa chỉ nhằm mỗi mục đích là rèn luyện tư

duy, thỏa mãn ham muốn khám phá thôi!
Thân chào, hẹn gặp lại! 

vietnamcasioerteam.blogspot.com