Bài giảng phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————

———————

BÀI GIẢNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Trần Văn Bằng

Hà Nội, 05-01-2016


Mục lục
Chương 1. Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng . .

5

1.1. Một số kí hiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Về Không gian Euclide Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Không gan các hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Một số công thức tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng . .

10

1.3. Phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4. Dạng chính tắc của PTĐHR tuyến tính cấp hai . . . . . . .

19

1.4.1. Dạng chính tắc tại từng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.2. Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến về
dạng chính tắc trên một miền. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

31

1.6. Một số hiện tượng tự nhiên dẫn tới phương trình đạo hàm

riêng tuyến tính cấp hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Phương trình truyền nhiệt trong thanh một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

34
34


2

MỤC LỤC
1.6.2. Sự dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.6.3. Sự khuếch tán trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.7. Bài toán Cauchy và tính đặt chỉnh của bài toán. . . . . . . .
Chương 2. Phương trình Laplace-Poisson . . . . . . . . . . . . .
2.1. Hàm điều hòa. Biểu diễn Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
45
46

2.1.1. Khái niệm hàm điều hòa. Nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.1.2. Biểu diễn Green của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.1.3. Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.2. Bài toán biên đối với phương trình Laplace, Poisson . . .

54

2.2.1. Các bài toán biên cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.2.2. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.2.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong
hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.2.4. Các định lý về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.2.5. Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền bị chặn-Phương pháp
Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.3. Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên đối với
phương trình Laplace 2 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.3.1. Giải bài toán biên trong miền chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.3.2. Giải bài toán biên trong miền tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Chương 3. Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng . . . . .
3.1.1. Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75
76
76


MỤC LỤC

3

3.1.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Bài toán biên ban đầu đối với PT truyền sóng . . . . . . . . .

78

88

3.2.1. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.2.2. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Chương 4. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Biểu diễn Green của hàm nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103
104

4.1.1. Công thức Green đối với toán tử truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

4.1.2. Nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.1.3. Biểu diễn Green của hàm nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.1.4. Các nguyên lý cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

4.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt . . .

109

4.2.1. Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

4.2.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

4.3. Bài toán biên ban đầu đối với PT truyền nhiệt . . . . . . .

115

4.3.1. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán biên ban
đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

4.3.2. Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên ban đầu trong trường hợp
một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118


4

MỤC LỤC


Chương 1

Giới thiệu về phương trình
đạo hàm riêng
Chương này nhằm giới thiệu cho người học các khái niệm chung về
phương trình đạo hàm riêng như: khái niệm phương trình đạo hàm
riêng, một số cách phân loại; khái niệm nghiệm (cổ điển); một số hiện
tượng dẫn tới phương trình đạo hàm riêng; các bài toán cơ bản đối
với phương trình đạo hàm riêng;...Đặc biệt là việc phân loại phương
trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; dạng chính tắc; phương pháp
đưa một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chính
tắc;...

5


6

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

1.1. Một số kí hiệu chung
1.1.1. Về Không gian Euclide Rn
Kí hiệu Rn là không gian Euclide thực n chiều với tích vô hướng và
chuẩn thông thường:
x.y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn ;

|x| =

x21 + x22 + · · · + x2n .

Hình cầu (mở) tâm a ∈ Rn , bán kính r là tập hợp:
Br (a) := {x ∈ Rn | |x − a| < r}.
Để ý rằng, nếu ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn thì ta có thể
tích của hình cầu bán kính r là ωn rn . Hơn nữa, diện tích mặt cầu đơn
vị là nωn và do đó diện tích mặt cầu bán kính r sẽ là nωn rn−1 .
1.1.2. Không gan các hàm khả vi
Với hàm u = u(x) đủ trơn, ta kí hiệu các đạo hàm riêng và gradient
bởi

∂u
= uxj ;
∂xj

Du = (

∂u ∂u
∂u
,

,··· ,
).
∂x1 ∂x2
∂xn

Để tiện cho việc kí hiệu các đạo hàm riêng cấp cao hơn, ta đưa vào
khái niệm đa chỉ số, đó là bộ n số tự nhiên α = (α1 , · · · , αn ), αi ∈ N.
Với quy ước
n

|α| =

αi ;

xα = xα1 1 xα2 2 · · · xαnn ;

i=1

∂ |α| u
D u=
.
∂xα1 1 ∂xα2 2 · · · ∂xαnn
α


Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

7

Khi biên ∂Ω trơn thì ta gọi ν là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị

trên biên của Ω. Chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm theo véc tơ pháp tuyến
ngoài đơn vị:
∂u
:= Du.ν.
∂ν
Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở, với biên ∂Ω và bao đóng Ω. Kí hiệu
C(Ω) = C 0 (Ω) là không gian tất cả các hàm liên tục trên Ω;
C k (Ω), k = 1, 2, ... là không gian tất cả các hàm có các đạo hàm
riêng đến cấp k thuộc C(Ω);
o

n

Nếu A ⊂ R là tập không nhất thiết mở, với phần trong A thì
o

0

C(A) = C (A) là không gian tất cả các hàm thuộc C(A) có thác triển
liên tục lên A;
C k (A), k = 1, 2, · · · là không gian tất cả các hàm có các đạo hàm
riêng đến cấp k thuộc C(A).
o

Ta sẽ thường sử dụng chẳng hạn với A = Ω. Khi đó A = Ω.
1.1.3. Một số công thức tích phân cơ bản
Nói chung để giải các phương trình đạo hàm riêng, chúng ta sẽ phải
tích phân các phương trình đó. Ta kí hiệu tích phân bội của hàm u
trên Ω (nếu tồn tại) bởi:
u(x)dx.

Ω

Ngoài ra chúng ta cũng cần tới các tích phân mặt (loại một) trên
biên của Ω. Để tiện cho việc tiếp thu các kiến thức chúng tôi nhắc lại
khái niệm này. Giả sử Σ là một mặt cong n−1 chiều, trơn và có phương


8

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

trình tham số x = x(u) với tham số u = (u1 , · · · , un−1 ) ∈ D ⊂ Rn−1 .
Khi đó, tại x ∈ Σ có n − 1 véc tơ độc lập tuyến tính tiếp xúc với biên
là

∂x
∂x1 ∂x2
∂xn
=(
,
,··· ,
), j = 1, 2, · · · , n − 1.
∂uj
∂uj ∂uj
∂uj

Do đó tích có hướng của các véc tơ đó là véc tơ pháp tuyến với biên
tại x :
N=

∂x
∂x
∂x
×
× ··· ×
.
∂u1 ∂u2
∂un−1

Hơn nữa ta có dS = |N |du là vi phân diện tích mặt trên Σ và tích
phân mặt (loại một) trên Σ của một hàm f (nếu tồn tại) được xác
định thông qua tích phân bội n − 1:
f (x(u))|N |du.

f (x)dS :=
D

Σ

Lưu ý rằng, nếu Σ = ∂Ω thì véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên
∂Ω cho bởi:
ν=±

N
|N |

,

với dấu ± chọn thích hợp tùy theo miền Ω.
Bây giờ giả sử ∂Ω đủ trơn. Cho u, v ∈ C 1 (Ω) và C 1 −trường véc tơ

F : Ω → Rn . Ta có một số công thức tích phân quan trọng sau đây:
a, Công thức Ostrogradski:
divFdx =
Ω

F.νdS.

(1.1)

∂Ω

b, Công thức tích phân từng phần:
∂u
vdx =
∂xi
Ω

uvνi dS −
∂Ω

u
Ω

∂v
dx.
∂xi

(1.2)

Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

9

Bài tập
Bài 1.1 Cho hàm n biến u(x) = |x|, x = 0. Tính các đạo hàm riêng
sau:
a, uxi

b, uxi xj .

Bài 1.2 Trong R2 , tìm véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại các điểm
trên biên ∂Ω (nếu có) biết:
a, Ω = [0; 1] × [0; 2];
b, Ω = Br (0).
Bài 1.3 Trong R3 , tìm véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại các điểm
trên biên ∂Ω (nếu có) biết:
a, Ω = [0; 1] × [0; 2] × [0; 3];
b, Ω = Br (0);
c, Ω = D × [0, T ], với D là hình tròn đơn vị, tâm 0 trong R2 .
Bài 1.4 Với ξ ∈ Rn cố định, ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn .
Đặt

Γ(x − ξ) = Γ(|x − ξ|) :=

Tính
a, Dxi Γ(x − ξ);
b, Dxi xj Γ(x − ξ);





1
|x
n(2−n)ωn



1
2π

− ξ|2−n , nếu n > 2,

ln |x − ξ|,

nếu n = 2.


10

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

c,

∂Γ
(x − ξ) trên biên hình cầu Bρ (ξ).
∂ν

Bài 1.5 Sử dụng công thức Ostrogradski (1.1), chứng minh công thức
tích phân từng phần (1.2).

Bài 1.6 Sử dụng công thức tích phân từng phần (1.2), chứng minh
rằng với mọi u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) ta có:
a, Công thức Green thứ nhất:
v∆udx =
Ω

v

∂u
dS −
∂ν

Du.Dvdx.

(1.3)

Ω

∂Ω

b, Công thức Green thứ hai:
[v∆u − u∆v]dx =
Ω

v

∂v
∂u
−u
dS,

∂ν
∂ν

(1.4)

∂Ω

trong đó ∆ là toán tử Laplace xác định bởi
n

∆u :=
i=1

∂ 2u
.
∂x2i

1.2. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng
Định nghĩa 1.1. Một phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) là một
phương trình có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm.
Chẳng hạn, các phương trình sau là các PTĐHR đối với hàm hai


Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

11

biến u = u(x, t) hoặc u = u(x, y):
ut + cux = 0

(1.5)

uxx + uyy = f (x, y)

(1.6)

α(x, y)uxx + 2uxy + 3x2 uyy = 4ex

(1.7)

ux uxx + (uy )2 = 0

(1.8)

(uxx )2 + uyy + a(x, y)ux + b(x, y)u = 0.

(1.9)

Nói chung ta có thể viết một PTĐHR dưới dạng
F (x1 , x2 , · · · , xn , u, ux1 , · · · , uxn , ux1 x1 , ...) = 0,

x ∈ Ω ⊂ Rn (1.10)

trong đó x = (x1 , · · · , xn ) là các biến độc lập, u là ẩn hàm của các
biến đó.
Một nghiệm của (1.10) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến
cấp cần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc
Ω.
Nói chung một PTĐHR thường có vô hạn nghiệm. Ví dụ, các hàm

u(x, t) = ex−ct ,
u(x, t) = cos(x − ct)
là các nghiệm của (1.5). Hơn nữa, mọi hàm khả vi của x − ct đều là
nghiệm của phương trình đó.
Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêu
chí sau:
1, Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng
cao càng phức tạp)


12

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

2, Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói
chung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng
cao thì càng phức tạp)
3, Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo
thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi
là phương trình dừng). Trong tình huống này người ta thường kí hiệu
biến thời gian là t, các biến còn lại là biến không gian.
Cụ thể hơn ta có các khái niệm sau đây:
Định nghĩa 1.2. Cấp của một PTĐHR là cấp cao nhất của đạo hàm
riêng có mặt trong phương trình.
Chẳng hạn, (1.5) là phương trình cấp 1, còn các phương trình (1.6)(1.9) là phương trình cấp hai.
Định nghĩa 1.3. Một PTĐHR là tuyến tính nếu nó có dạng
L[u] = f (x),

(1.11)

trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng
của u với các hệ số là các hàm của biến độc lập x.
Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.11) là thuần nhất,
trái lại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất.
Chẳng hạn, (1.5)-(1.7) là các phương trình tuyến tính, trong đó
(1.5) là thuần nhất, (1.7) là không thuần nhất.
Định nghĩa 1.4. Một PTĐHR không tuyến tính thì được gọi là phi
tuyến.


Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

13

Nói chung các PTĐHR phức tạp hơn các phương trình vi phân
thường vì với phương trình vi phân thường, để tìm một nghiệm riêng
từ nghiệm tổng quát ta chỉ phải tìm các giá trị của các hằng số tùy ý,
trong khi đó với PTĐHR, việc chọn nghiệm riêng thỏa mãn các điều
kiện bổ sung có khi còn khó hơn cả việc tìm nghiệm tổng quát. Đó là
vì, nghiệm tổng quát của các PTĐHR phụ thuộc vào các hàm tùy ý
(xem ví dụ sau đây) và nó có thể có vô hạn các nghiệm độc lập tuyến
tính.
Ví dụ 1.1. Giải PTĐHR tuyến tính cấp hai
uξη (ξ, η) = 0.

(1.12)

Tích phân phương trình này theo η (giữ ξ cố định) ta có
uξ = f (ξ)
(do ξ cố định nên hằng số tích phân có thể phụ thuộc ξ).

Tích phân theo ξ (giữ η cố định) ta nhận được
u(ξ, η) =

f (ξ)dξ + G(η).

Do tích phân ở trên là một hàm của ξ nên nghiệm của (1.12) là
u(ξ, η) = F (ξ) + G(η),

(1.13)

trong đó F, G là hai hàm khả vi bất kỳ.
Như vậy, để nhận được một nghiệm riêng thỏa mãn một số điều
kiện nào đó ta sẽ phải xác định hai hàm F, G.


14

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

Bài tập
Bài 1.7 Hãy cho biết cấp của các PTĐHR sau đây:
a. uxx + uyy = 0
b. uxxx + uxy + a(x)uy + ln u = f (x, y)
c. uxxx + uxyyy + a(x)uxxy + u2 = f (x, y)
d. uuxx + u2yy + eu = 0
e. ux + cuy = d.
Bài 1.8 Chứng minh rằng u(x, t) = cos(x − ct) là một nghiệm của
phương trình
ut + cux = 0.

Bài 1.9 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là tuyến
tính? phi tuyến? Trong trường hợp tuyến tính thì nó có thuần nhất
hay không?
a. uxx + uyy − 2u = x2

f. ux (1 + uy ) = uxx

b. uxy = u

g. (sin ux )ux + uy = ex

c. uux + xuy = 0

h. 2uxx − 4uxy + 2uyy + 3u = 0

d. u2x + ln u = 2xy

i. ux + ux uy − uxy = 0

e. uxx − 2uxy + uyy = cos x.
Bài 1.10 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình uxy + uy = 0.


Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

15

Gợi ý: Đặt v = uy .
Bài 1.11 Chứng minh rằng với hai hàm F, G khả đến cấp hai bất kì
trên R ta có

y
u = F (xy) + xG( )
x

là nghiệm của phương trình
x2 uxx − y 2 uyy = 0.

1.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính cấp hai
Trong học phần này, chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu về phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp hai. Loại phương trình này xuất hiện trong
nhiều mô hình thực tế (xem Mục 1.5 sau đây). Chúng ta sẽ nghiên
cứu ba lớp đặc biệt của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
hai là: phương trình elliptic, hyperbolic và parabolic thông qua các đại
diện của chúng là phương trình Laplace, phương trình truyền sóng và
phương trình truyền nhiệt.
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát sau
đối với hàm u(x) = u(x1 , x2 , · · · , xn ):
n

n

aij (x)uxi xj +
i,j=1

bj (x)uxj + c(x)u = d(x),

x ∈ Ω,

(1.14)

j=1

trong đó các hệ số aij = aij (x), bj = bj (x), c = c(x), d = d(x) là các
hàm liên tục đã cho trên Ω, aij = aji và các aij không đồng thời bằng
không.


16

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

Việc phân loại phương trình (1.14) chỉ phụ thuộc vào các hệ số aij
của các đạo hàm riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm như
sau. Gọi
A(x) = [aij (x)]
là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai. Tại
mỗi x ∈ Ω cố định, A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) có
đúng n giá trị riêng thực. Ta nói:
+) phương trình (1.14) thuộc loại elliptic tại x nếu A(x) có n giá
trị riêng cùng dấu;
+) phương trình (1.14) thuộc loại hyperbolic tại x nếu A(x) có 1
giá trị riêng trái dấu với n − 1 giá trị riêng còn lại;
+) phương trình (1.14) thuộc loại parabolic tại x nếu A(x) có 1 giá
trị riêng bằng 0 còn n − 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu;
+) phương trình (1.14) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic)
trên miền Ω nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm x ∈ Ω.
Ví dụ 1.2. a, Phương trình Laplace
n

∆u :=

uxi xi = 0,

x ∈ Rn

i=1

là phương trình elliptic trên Rn ;
b, Phương trình truyền nhiệt
ut − ∆u = 0,

(x, t) ∈ Rn+1

là phương trình parabolic trên Rn+1 ;
c, Phương trình truyền sóng
utt − ∆u = 0,

(x, t) ∈ Rn+1


Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

17

là phương trình hyperbolic trên Rn+1 ;
d, Phương trình
x1 ux1 x1 + ux2 x2 + ux2 = 0,

x = (x1 , x2 ) ∈ R2

thuộc loại elliptic trên miền x1 > 0, thuộc loại hyperbolic trên miền
x1 < 0 và thuộc loại parabolic trên đường thẳng x1 = 0.
Đặc biệt, trong trường hợp hai biến độc lập, phương trình (1.14)
có dạng
a(x, y)uxx +2b(x, y)uxy +c(x, y)uyy +d(x, y, u, ux , uy ) = 0,

(x, y) ∈ R2 ,
(1.15)

trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục của hai biến (x, y) đã cho,
a, b, c không đồng thời bằng không. Khi đó tại mỗi (x, y) ma trận các
hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai là
A=

a b
b c

có các giá trị riêng là nghiệm của phương trình bậc hai
det(A − λI) = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0.

(1.16)

Dễ dàng kiểm tra được phương trình này có hai nghiệm thực và dấu
của các giá trị riêng có thể kết luận được nhờ định lý Viet thông qua
dấu của
∆ = b2 − ac.
Cụ thể
+) Nếu ∆ < 0 thì (1.16) có hai nghiệm cùng dấu nên (1.15) thuộc

loại elliptic;


18

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

+) Nếu ∆ > 0 thì (1.16) có hai nghiệm trái dấu nên (1.15) thuộc
loại hyperbolic;
+) Nếu ∆ = 0 thì (1.16) có một nghiệm bằng không và một nghiệm
khác không nên (1.15) thuộc loại parabolic.
Sử dụng dấu hiệu này, ta có thể dễ dàng kiểm chứng lại Ví dụ 1.2
phần d.
Bài tập
Bài 1.12 Phân loại các phương trình sau:
1. uxx + 2yuxy + xuyy − ux + u = 0
2. 2xyuxy + xuy + yux = 0
3. uxx + 4uxy + uyy + ux + uy + 2u − x2 y = 0
4. y 2m+1 uxx + uyy − ux = 0, m− là số nguyên không âm.
Bài 1.13 Tìm miền elliptic, hyperbolic và parabolic của phương trình
sau theo tham số λ :
(λ + x)uxx + 2xyuxy − y 2 uyy = 0.

Bài 1.14 Phân loại các phương trình sau:
1. uxx + 2uyy + 6uzz + 2uxy − 2uxz = 0
2. 2uxx + 2uyy − 15uzz + 8uxy − 12uyz − 12uxz = 0
3. 3uxx + 2uyy + 3uzz + 2uxz = 0.


Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

19

4. 3uxx + 4uyy + 5uzz + 4uxy − 8uxz − 4uyz − u + yz 2 sinx = 0.
5. uxy + uxz + uxt + uzt = 0
6. uxx + 2uxy − 2uxz − 4uyz + 2uyt + 2uzz = 0

1.4. Dạng chính tắc của phương trình elliptic, hyperbolic và parabolic
1.4.1. Dạng chính tắc tại từng điểm
Xét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm u(x) = u(x1 , x2 , · · · , xn ):
n

aij (x)uxi xj + f (x, u, ux1 , · · · , uxn ) = 0,

x ∈ Ω,

(1.17)

i,j=1

trong đó các hệ số aij là các hàm liên tục đã cho trên Ω, aij = aji và
các aij không đồng thời bằng không.
Trước hết chúng ta xét tác động của phép đổi biến đối với (1.17).
Giả sử ξ = ξ(x) là một phép đổi biến thuộc lớp C 2 và không suy biến,
tức là Jacobian
D(ξ1 , ξ2 , · · · , ξn )
= 0.
D(x1 , x2 , · · · , xn )
Khi đó ta có
n

u xj =

uξr
r=1

n

uxi xj

∂ξr
;
∂xj

∂ξr ∂ξs
=
uξr ξs
+
∂x
∂x
j
i
r,s=1

n

∂ 2 ξr
uξr
.
∂x

∂x
i
j
r=1


20

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

Thay các đạo hàm này vào (1.17) ta nhận được phương trình
n

a
˜rs uξr ξs + g(ξ1 , · · · , ξn , u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0,

(1.18)

r,s=1

trong đó
n

a
˜r,s =

aij
ij=1

∂ξr ∂ξs

=a
˜s,r .
∂xj ∂xi

(1.19)

Nếu ta kí hiệu
˜
A(ξ)
= [˜
ars (ξ)];

A(x) = [aij (x)];

J(x) = [bkl (x)], với bkl =

∂ξl
∂xk

thì (1.19) có thể viết dưới dạng
˜
A(ξ)
= J(x)t A(x)J(x).

(1.20)

˜ và A(x) là hai ma trận đồng dạng hay chúng có cùng
Chứng tỏ A(ξ)
chỉ số quán tính. Vậy nếu (1.17) thuộc loại elliptic (hay parabolic,
hyperbolic) tại điểm x0 thì (1.18) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng:

parabolic, hyperbolic) tại điểm ξ0 = ξ(x0 ).
Cố định x = x0 , ta có A(x0 ) là một ma trận hằng. Khi đó, tồn tại
một ma trận T = [αkl ] sao cho ma trận T t A(x0 )T có dạng


λ1 0 · · · 0 0


 0 λ2
0


.. 
 ..
..
.
.
.


...


0
0
0 ···
0 λn


Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

21

trong đó λi ∈ {1, −1, 0}, i = 1, 2, · · · , n.
Giả sử đã biết ma trận T. Lúc đó nếu ta thực hiện phép đổi biến
tuyến tính
n

ξk =

αik xi ,

k = 1, 2, · · · , n

i=1

thì ta sẽ có
J=

∂ξk
= [αki ] = T
∂xi

˜ 0 ) có dạng đường chéo như trên và phương trình (1.18) lúc
do đó A(ξ
đó được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.17) tại điểm x0 .
Nói chung trong trường hợp n > 2 chúng ta không tìm được phép
đổi biến để đưa (1.17) về dạng chính tắc trong một miền nên ma trận
các hệ số của các đạo hàm cấp hai chỉ có dạng đường chéo như trên
tại điểm ξ0 . Đặc biệt trong trường hợp aij không phụ thuộc x thì ma

trận các hệ số của các đạo hàm cấp hai có dạng đường chéo như trên
tại mọi điểm nên (bằng cách đổi lại thứ tự biến nếu cần) ta có:
+Nếu (1.17) thuộc loại elliptic thì dạng chính tắc của nó là:
n

uξi ξi + g(ξ1 , · · · , ξn , u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0;
i=1

+Nếu (1.17) thuộc loại parabolic thì dạng chính tắc của nó là:
n−1

uξi ξi + g(ξ1 , · · · , ξn , u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0;
i=1

+Nếu (1.17) thuộc loại hyperbolic thì dạng chính tắc của nó là:
n−1

uξn ξn −

uξi ξi + g(ξ1 , · · · , ξn , u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0.
i=1


22

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

1.4.2. Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
của hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miền
Riêng trong trường hợp hai biến, chúng ta có thể đưa được phương

trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chính tắc trong miền
mà dạng của phương trình đó không đổi. Thật vậy, xét phương trình:
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux , uy ) = 0.

(1.21)

Để biến đổi PTĐHR về dạng chính tắc, trước hết chúng ta chỉ ra
ảnh hưởng của một phép đổi biến đối với PTĐHR (1.21). Giả sử ξ, η
là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của x, y :
ξ = ξ(x, y),
η = η(x, y).
Giả thiết Jacobian của phép đổi biến
J=

ξx ηx
ξy ηy

= 0.

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta tính được
ux = uξ ξx + uη ηx ;
uy = uξ ξy + uη ηy ;
uxy = uξξ ξx ξy + uξη (ξx ηy + ξy ηx ) + uηη ηx ηy + uξ ξxy + uη ηxy ;
uxx = uξξ ξx2 + 2uξη ξx ηx + uηη ηx2 + uξ ξxx + uη ηxx ;
uyy = uξξ ξy2 + 2uξη ξy ηy + uηη ηy2 + uξ ξyy + uη ηyy .
Thay các đạo hàm này vào (1.21) ta nhận được phương trình
a∗ uξξ + 2b∗ uξη + c∗ uηη + d∗ (ξ, η, u, uξ , uη ) = 0,

(1.22)

Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2

23

trong đó các hệ số là các hàm của ξ, η và
a∗ = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 ;
b∗ = aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy ;
c∗ = aηx2 + 2bηx ηy + cηy2 ;
Hơn nữa ta có
∆∗ = (b∗ )2 − a∗ c∗ = J 2 ∆.
Từ các công thức xác định hệ số trên đây, chúng ta đi tìm phép đổi
biến ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) sao cho một số trong các hệ số a∗ , b∗ , c∗
trong (1.22) bằng không.
Chú ý rằng a∗ , c∗ có dạng tương tự nhau và có thể viết chung bởi
aζx2 + 2bζx ζy + cζy2

(1.23)

trong đó ζ thay cho ξ hoặc η. Giả sử chúng ta muốn chọn ξ, η sao cho
a∗ = c∗ = 0. Tất nhiên là điều này chỉ có thể xảy ra khi phương trình
là hyperbolic vì khi đó ∆∗ = (b∗ )2 > 0.
a, Trường hợp phương trình hyperbolic trong một miền
Để làm điều đó, chúng ta chọn ζ thỏa mãn (1.23). Khi đó, chia hai
vế cho ζy2 thì phương trình trên trở thành
a

ζx
ζy

2

+ 2b

ζx
+ c = 0.
ζy

Dọc theo đường cong
ζ(x, y) = const,
ta có
dζ = ζx dx + ζy dy = 0.

(1.24)


24

Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng

Do vậy,
ζx
dy
=−
ζy
dx
và phương trình (1.24) trở thành
a

dy

dx

2

− 2b

Phương trình bậc hai đối với

dy
+ c = 0.
dx

(1.25)

dy
dx

này có hai nghiệm
√
dy
b± ∆
=
.
dx
a

do biệt thức ∆ = b2 − ac > 0 (vì phương trình là hyperbolic).
Các phương trình này được gọi là các phương trình vi phân đặc
trưng, chúng là các phương trình vi phân thường xác định các đường
cong trong mặt phẳng (x, y), dọc theo các đường cong đó hàm ζ =

const. Các nghiệm của chúng được gọi là các đường cong đặc trưng.
Tích phân các phương trình đặc trưng ta có hai đường cong đặc trưng
phân biệt. Chọn một đường cong là ξ(x, y), đường cong còn lại là
η(x, y.) Cụ thể, tích phân các PTVP thường ta có
Φ1 (x, y) = C1
Φ2 (x, y) = C2 .
Do vậy, phép đổi biến
ξ = Φ1 (x, y)
η = Φ2 (x, y)
sẽ dẫn đến a∗ = c∗ = 0 và phương trình (1.22) lúc này là
2b∗ uξη = −d∗ .