BÁO CÁO THỰC TẬP-PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRỰC TIẾP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN-TIN HỌC
————oOo————
Tiểu luận tốt nghiệp
Chuyên ngành Giải Tích
PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRỰC
TIẾP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG PHI TUYẾN
SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN QUANG HUY
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN : GS.TS DƯƠNG MINH ĐỨC
GIẢNG VIÊN PHẢN BIỆN : GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2012
ii
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu, tôi xin dành lời cảm ơn đến các thầy, cô khoa Toán học đã giảng dạy cho
tôi suốt bốn năm đại học. Đặc biệt là các thầy Đặng Đức Trọng, Huỳnh Quang Vũ,
Nguyễn Thành Long đã dành cho tôi nhiều sự quan tâm. Và lời cảm ơn sâu sắc nhất
xin được gửi đến GS. Dương Minh Đức, người thầy đã dạy tôi từ ngày học đầu tiên,
đã truyền cho tôi niềm yêu Toán, hướng dẫn tôi từ những bước đầu tiên trong học
và nghiên cứu Toán. Cảm ơn thầy vì đã bỏ nhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn
thành tiểu luận tốt nghiệp này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS. Đặng Đức Trọng, người thầy luôn giúp
đỡ, động viên tôi và đã nhận lời làm phản biện cho tiểu luận.
Sau cùng, tôi muốn cảm ơn gia đình và những người bạn đã bên tôi, ủng hộ, giúp
đỡ tôi mặt này, mặt khác trong học tập và cuộc sống.
Thành phố Hồ Chí Minh ngày 2 tháng 7 năm 2012
Nguyễn Quang Huy.
iii
LỜI GIỚI THIỆU

Phương trình đạo hàm riêng là một chuyên ngành đã và đang phát triển mạnh
mẽ, đóng vai trò quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Xét về mặt cấu
trúc, các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đã được nghiên cứu khá kĩ lưỡng.
Tuy nhiên, sự hiểu biết của chúng ta về các bài toán phi tuyến còn rất hạn chế. Đối
với các phương trình phi tuyến, dựa vào đặc điểm của mỗi lớp phương trình, người
ta đưa ra một phương pháp hữu hiệu đặc trưng để giải chúng. Trong số đó, phương
pháp biến phân là một công cụ mạnh, đạt được nhiều kết quả sâu sắc. Mục đích của
tiểu luận này là trình bày về một phương pháp cụ thể trong phép tính biến phân, đó
là phương pháp biến phân trực tiếp. Cụ thể, các nội dung chính của tiểu luận được
bố cục như sau:
• Mở đầu về phương pháp biến phân trực tiếp: trong phần này, tác giả trình bày
về ý tưởng chính của phương pháp biến phân trực tiếp: đưa một bài toán giải
phương trình về một bài toán cực trị. Sau đó, đưa ra "cấu trúc biến phân" cho
một lớp rộng các bài toán thường gặp và sau cùng là các ví dụ minh họa.
• Các định lý tồn tại cực tiểu và ứng dụng: trong phần này, tác giả trình bày
hai định lý về sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm. Sau đó, áp dụng các định lý
này để giải các bài toán như sau: phương trình elliptic suy biến, bài toán phân
hoạch cực tiểu siêu mặt, bài toán siêu mặt cực tiểu trong đa tạp Riemann, bài
toán giá trị riêng thứ nhất của toán tử p-Laplace, bài toán biên elliptic nửa
tuyến tính.
Nội dung chính của tiểu luận được trình bày dựa vào các tài liệu [Ev97] và [St96]
đặc biệt là [St96], một quyển sách chuyên khảo nổi tiếng về phép tính biến phân của
tác giả Michael Struwe. Công việc chủ yếu của tác giả tiểu luận là đọc hiểu, trình
bày chi tiết một số kết quả, chứng minh trong chương 1, quyển [St96]. Qua tiểu luận
này, tác giả học được một số kĩ thuật cơ bản của phương pháp biến phân trực tiếp
trong phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là đưa một một phương trình về dạng biến
phân, sau đó áp dụng các định lý tồn tại cực tiểu để chứng minh sự tồn tại nghiệm;
iv
ngoài ra còn có kĩ thuật áp đặt ràng buộc để đưa về trường hợp mẫu mực. Dù đã rất
cố gắng trong quá trình đọc hiểu cũng như trong khâu trình bày nhưng tiểu luận hẳn

vẫn còn những sai sót không tránh khỏi. Tác giả mong nhận được sự nhận xét, đóng
góp từ các thầy và các bạn để tiểu luận này được hoàn thiên hơn.
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 2
1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . 4
2 Mở đầu về phương pháp biến phân trực tiếp 7
2.1 Ý tưởng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . 8
3 Các định lý tồn tại cực tiểu và ứng dụng 11
3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Phương trình elliptic suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Bài toán phân hoạch cực tiểu siêu mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Bài toán siêu mặt cực tiểu trong đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . 24
3.5 Một kết quả tổng quát về sự nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Bài toán giá trị riêng thứ nhất của toán tử p-Laplace . . . . . . . . . 36
3.7 Bài toán biên elliptic nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Tài liệu tham khảo 43
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta trình bày các khái niệm và kết quả quan trọng sẽ được sử
dụng trong trong các phần tiếp theo của tiểu luận.
1.1 Không gian Sobolev
Cho Ω ⊂ R
N
là một tập mở và cho p ∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞.
Định nghĩa 1.1. Ta định nghĩa không gian Sobolev W
1,p
(Ω) bởi

W
1,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω) |u
x
i
∈ L
p
(Ω) , i = 1, , N} . (1.1)
Trong đó, ta kí hiệu .
p
là chuẩn thông thường trong không gian L
p
(Ω) với
1 ≤ p ≤ ∞.
Định lý 1.1. W
1,p
(Ω) với chuẩn
u
1,p
=

u
p
p
+
N

i=1

u
x
i

p
p

1
p
nếu 1 ≤ p < ∞
và
u
1,∞
= max {u
∞
, u
x
1

∞
, u
x
2

∞
, , u
x
N

∞

} nếu p = ∞
là không gian Banach. W
1,p
(Ω) phản xạ nếu và chỉ nếu 1 < p < ∞. Hơn nữa, W
1,2
(Ω)
là không gian Hilbert khả ly với tích vô hướng sau đây
(u, v)
1,2
= (u, v)
L
2
+
N

i=1
(u
x
i
, v
x
i
)
L
2
.
2
1.1 Không gian Sobolev 3
(Xem Mệnh đề 9.1, [Br10]).
Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Poincaré) Giả sử 1 ≤ p < ∞ và Ω bị chặn. Khi đó

tồn tại một hằng số C = C(Ω, p) sao cho
u
p
≤ C∇u
p
, ∀u ∈ W
1,p
0
(Ω).
Đặc biệt, ∇u
p
là một chuẩn trong W
1,p
0
(Ω) và nó tương đương với chuẩn u
1,p
.
(Xem Hệ quả 9.19, [Br10]).
Định lý 1.3. Cho f là hàm trơn từng khúc trên R với f

∈ L
∞
(R). Khi đó nếu
u ∈ W
1,p
(Ω) thì f ◦ u ∈ W
1,p
(Ω). Hơn nữa, kí hiệu L là tập các điểm góc của f, ta có
D(f ◦ u) =






f

(u)Du nếu u /∈ L,
0 nếu u ∈ L.
(Xem Định lý 7.8, [Tru83]).
Hệ quả 1.1. Cho u ∈ W
1,p
(Ω) khi đó |u| ∈ W
1,p
(Ω) và
D(|u|) =













Du nếu u > 0,
0 nếu u = 0,

−Du nếu u < 0.
Định nghĩa 1.2. Ta định nghĩa
(i) H
1,p
(Ω) là đầy đủ hóa của {u ∈ C
1
(Ω) : u
1,p
< ∞} trong W
1,p
(Ω).
(ii) W
1,p
0
(Ω) là đầy đủ hóa của C
∞
c
(Ω) trong W
1,p
(Ω).
Định lý 1.4. (Meyers và Serrin) Với 1 ≤ p < ∞ thì H
1,p
(Ω) = W
1,p
(Ω).
Do kết quả này, ta sẽ sử dụng không phân biệt H
1,p
(Ω) và W
1,p
(Ω) nếu 1 ≤ p < ∞.

Đôi khi ta kí hiệu H
1,p
0
(Ω) thay cho W
1,p
0
(Ω). Với p = 2, ta thường kí hiệu H
1
(Ω)
thay cho W
1,2
(Ω) và H
1
0
(Ω) thay cho W
1,p
0
(Ω).
Định lý sau đây đóng vai trò cực kì quan trọng trong lý thuyết về không gian Sobolev
cũng như trong phương trình đạo hàm riêng:
1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 4
Định lý 1.5. (Rellich-Kondrakov) Giả sử Ω mở, bị chặn và thuộc lớp C
1
. Khi đó,
ta có các phép nhúng compact sau:
W
1,p
(Ω) → L
q
(Ω), ∀q ∈ [1, p

∗
), nếu p < N, (1.2)
W
1,p
(Ω) → L
q
(Ω), ∀q ∈ [p, ∞), nếu p = N, (1.3)
W
1,p
(Ω) → C(Ω), nếu p > N, (1.4)
(1.5)
trong đó
1
p
∗
=
1
p
−
1
N
.
Đặc biệt, phép nhúng W
1,p
(Ω) → L
p
(Ω) compact với mọi p (và mọi N).
(Xem Định lý 9.16, [Br10]).
1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn
(Xem chương 7, [Duc05]).

Trong phần này, ta qui ước (E, , 
E
), (F, .
F
) là các không gian định chuẩn và
D là một tập mở trong E.
Định nghĩa 1.3. Cho f là ánh xạ từ D vào F , e là một vector trong E và x ∈ D.
Ta nói
(i) f có đạo hàm riêng theo hướng e tại x là
∂f
∂e
(x) nếu và chỉ nếu
lim
t→0
f(x + te) − f(x)
t
=
∂f
∂e
(x).
(ii) f khả vi theo hướng tại x nếu f có đạo hàm riêng theo hướng theo mọi hướng tại
x và tồn tại ánh xạ tuyến tính Df(x) từ E vào F sao cho
∂f
∂e
(x) = Df(x)(e), ∀e ∈ E.
(iii) f khả vi theo hướng trên D nếu f khả vi theo hướng tại mọi điểm x ∈ D.
(iv) f khả vi Gâteaux tại x nếu f khả vi theo hướng tại x và Df(x) liên tục.
(v) f khả vi Gâteaux trên D nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ D.
1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 5
(vi) f khả vi Fréchet tại x nếu có một ánh xạ φ từ một quả cầu mở B(0, δ) trong E

vào F sao cho B(x, δ) ⊂ D, lim
h→0
φ(h) = 0 và
f(x + h) − f(x) = Df(x)(h) + h φ(h), ∀h ∈ B(0, δ).
(vii)f khả vi Fréchet trên D nếu f khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ D.
(viii) f liên tục khả vi Fréchet trên D nếu f khả vi Fréchet trên D và ánh xạ
x → Df(x) liên tục từ D vào L(E, F ), không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ
E vào F.
Định lý 1.6. Cho f, g là 2 ánh xạ từ D vào F và cho α ∈ R. Giả sử f và g khả
vi Gâteaux (lần lượt Fréchet) tại một điểm x ∈ D. Lúc đó f + g và αf khả vi Gâteaux
(lần lượt Fréchet) tại x. Hơn nữa,
D(f + g)(x) = Df(x) + Dg(x) và D(αf)(x) = αDf(x).
Định nghĩa 1.4. Cho f là một ánh xạ từ tập con A của E vào R và a là một
điểm trong A. Ta nói
(i) f đạt cực tiểu (lần lượt cực đại, cực trị) tại a nếu f(x) ≥ f(a) (lần lượt f(x) ≤ f(a),
f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại a) với mọi x ∈ A. Lúc đó a được gọi là một cực tiểu
(lần lượt cực đại, cực trị) của f trên A.
(ii)f đạt cực tiểu địa phương (lần lượt cực đại địa phương, cực trị địa phương) tại a
nếu có một số thực dương r sao cho f(x) ≥ f(a) (lần lượt f(x) ≤ f(a), f đạt cực đại
địa phương hoặc cực tiểu địa phương tại a) với mọi x ∈ A ∩ B(a, r). Lúc đó a được
gọi là một cực tiểu địa phương (lần lượt cực đại địa phương , cực trị địa phương) của
f trên A.
(iii) a là một điểm tới hạn của f nếu A mở, f khả vi theo hướng tại a và Df(a)(h) = 0
với mọi h trong E.
Định lý sau cho ta một điều kiện cần để một điểm là điểm cực trị.
Định lý 1.7. Cho f là hàm số thực trên tập con mở D của E và đạt cực trị địa
phương tại a ∈ D và cho h là một vector trong E. Khi đó nếu f khả vi theo hướng h
tại a thì
∂f
∂h

(a) = 0.
1.2 Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 6
Định lý sau là một công cụ hữu ích trong phương trình đạo hàm riêng.
Định lý 1.8. (Nhân tử Lagrange) Cho Ω là một tập mở trong không gian định
chuẩn E và f, g là hai hàm số liên tục khả vi Fréchet trên Ω. Đặt M = {x ∈ Ω :
g(x) = 0}. Giả sử có a ∈ M sao cho f(a) là một cực trị của f(M) và Dg(a) không
đồng nhất 0. Khi đó có một số thực λ sao cho
Df(a) = λDg(a).
Chương 2
Mở đầu về phương pháp biến phân
trực tiếp
Trong chương mở đầu này, ta trình bày một số khái niệm và ý tưởng chính của phương
pháp biến phân và đặc biệt là phương pháp biến phân trực tiếp.
2.1 Ý tưởng cơ bản
Giả sử rằng ta đang làm việc trên một không gian Banach (E, .), M là tập con mở
của E và ta muốn tìm lời giải của phương trình
F (u) = 0, (2.1)
trong đó F là một ánh xạ từ M vào L(E, F ), không gian các ánh xạ tuyến tính từ
E vào F. Nếu tồn tại một phiếm hàm J khả vi theo hướng trên M sao cho DJ = F
thì ta nói phương trình (2.1) có dạng biến phân và gọi (2.1) là phương trình Euler-
Lagrange liên kết với phiếm hàm J. Trong trường hợp này, ta viết phương trình 2.1
lại dưới dạng
DJ(u) = 0, (2.2)
tức là u là nghiệm của (2.1) khi và chỉ khi u là điểm tới hạn (critical point) của phiếm
hàm J. Ta gọi β ∈ R là một giá trị tới hạn (critical value) của J nếu tồn tại u ∈ E
sao cho DJ(u) = 0 và J(u) = β. Ngược lại, ta nói β là một giá trị chính qui (regular
7
2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange 8
value). Như ta đã biết, nếu J đạt cực tiểu (cực đại) địa phương tại u
0

thì DJ(u
0
) = 0,
tức u
0
là một nghiệm của (2.1). Như vậy, ta có thể đưa việc nghiên cứu lời giải của
(2.1) về việc nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu (cực đại) của phiếm hàm J. Đây chính
là nội dung của phương pháp biến phân trực tiếp. Phương pháp này hữu hiệu trong
việc chứng minh sự tồn tại nghiệm "yếu" của nghiệm phương trình đạo hàm riêng,
sau đó ta cần lý thuyết chính qui hóa, để nếu có thể, chứng minh nghiệm "yếu" thu
được cũng là nghiệm "cổ điển" của bài toán.
2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange
Giả sử Ω là một miền mở, bị chặn trong R
N
với biên ∂Ω trơn. Ta xét một lớp các bài
toán biến phân thường gặp sau đây. Cho trước hàm
L : R
N
× R × Ω → R
ta gọi L là hàm Lagrange. Ta sẽ dùng các kí hiệu sau
L = L(p, z, x) = L(p
1
, , p
N
, z, x
1
, , x
N
)
và














D
p
L = (L
p
1
, , L
p
N
)
D
z
L = L
z
D
x
L = (L
x

1
, , L
x
N
)
Bậy giờ, ta xét các phiếm hàm có dạng sau
J(w) =

Ω
L(Dw(x), w(x), x)dx (2.3)
với w :
Ω → R là hàm trơn, có giá trị trên biên được cho trước:
w = g trên ∂Ω. (2.4)
Giả sử rằng u là một hàm trơn thỏa (2.4) và cực tiểu J trong số các hàm w thỏa (2.4).
Khi đó ta sẽ chứng minh rằng u là nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng phi
2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange 9
tuyến mà ta gọi là phương trình Euler-Lagrange liên kết với phiếm hàm J. Lấy v là
một hàm trơn bất kì, i.e, v ∈ C
∞
c
(Ω). Xét hàm biến số thực sau
i(t) = J(u + tv), ∀t ∈ R.
Vì u là cực tiểu của J và u + tv = g trên ∂Ω với mọi t ∈ R nên i đạt cực tiểu tại
t = 0, kéo theo i

(0) = 0. Ta tính cụ thể
i

(t) =


Ω
N

j=1
L
p
j
(Du + tDv, u + tv, x)v
x
j
+ L
z
(Du, u, x)vdx.
Vậy,
i

(0) =

Ω
N

j=1
L
p
j
(Du, u, x)v
x
j
+ L
z

(Du, u, x)vdx = 0.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, để ý rằng v có giá compact trong Ω, ta thu
được

Ω

−
N

j=1
(L
p
j
(Du, u, x)
x
j
+ L
z
(Du, u, x)

vdx = 0.
Đẳng thức trên đúng với mọi hàm v trơn nên ta suy ra u là nghiệm của phương trình
đạo hàm riêng có cấu trúc divergence sau:
−
N

j=1
(L
p
j

(Du, u, x)
x
j
+ L
z
(Du, u, x) = 0. (2.5)
Đây chính là phương trình Euler-Lagrange mà ta cần tìm.
Ta nêu ra một số ví dụ về phương trình dạng biến phân. Trong các ví dụ sau, ta giả
sử Ω là một miền mở, bị chặn trong R
N
.
Ví dụ 2.1. (Nguyên lý Dirichlet) Xét
L(p, z, x) =
1
2
|p|
2
.
Khi đó L
p
i
= p
i
, L
z
= 0, vì vậy phương trình Euler-Lagrange liên kết với phiếm hàm
J(w) =

Ω
1

2
|Dw|
2
dx
chính là phương trình Laplace:
∆u = 0. (2.6)
2.2 Biến phân cấp một, phương trình Euler-Lagrange 10
Ví dụ 2.2. (Nguyên lý Dirichlet mở rộng) Cho (a
i,j
(x))
1≤i,j≤N
là ma trận thực đối
xứng với mọi x ∈ Ω và f là một hàm thực trên Ω. Đặt
L(p, z, x) =
1
2
N

i,j=1
a
i,j
(x)p
i
p
j
− zf.
Khi đó, L
p
i
=


N
j=1
a
i,j
p
j
, L
z
= −f, vì vậy phương trình Euler-Lagrange liên kết với
phiếm hàm
J(u) =

Ω
1
2
N

i,j=1
a
i,j
(x)u
x
i
u
x
j
− ufdx
là
−

N

i,j=1
a
i,j
(x)(u
x
i
)
x
j
= f. (2.7)
Ta thấy (2.7) là phương trình tuyến tính cấp hai dạng divergence.
Ví dụ 2.3. Cho một hàm trơn f : R → R, định nghĩa nguyên hàm của nó bởi
F (z) =

z
0
f(x)dx. Khi đó, phương trình Euler-Lagrange liên kết với phiếm hàm
J(w) =

Ω
1
2
|∇w|
2
− F (w)dx
là phương trình Poisson phi tuyến
−∆u = f(u).
Ví dụ 2.4. Đặt

L(p, z, x) = (1 + |p|
2
)
1
2
.
Khi đó, phiếm hàm Lagrange tương ứng
J(w) =

Ω
(1 + |Dw|
2
)
1
2
dx
chính là diện tích của đồ thị hàm w : Ω → R. Và phương trình Euler-Lagrange liên
kết là
div

Du
(1 + |Du|
2
)
1
2

=
N


i=1

u
x
i
(1 + |Du|
2
)
1
2

x
i
= 0. (2.8)
Ta gọi (2.8) là phương trình mặt cực tiểu. Biểu thức ở vế trái của (2.8), theo định
nghĩa, là n lần độ cong (curvature) của u. Vậy mặt cực tiểu là mặt có độ cong bằng
0.
Chương 3
Các định lý tồn tại cực tiểu và ứng
dụng
3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm
Trong phần này, ta nghiên cứu sự tồn tại cực tiểu địa phương của các phiếm hàm
và đưa ra những điều kiện đủ để một phiếm hàm bị chặn dưới và đạt được cực tiểu
của nó. Các kết quả này không đòi hỏi đến tính khả vi của phiếm hàm cũng như
những điều kiện nghiêm ngặt về cấu trúc không gian nền của các hàm chấp nhận
được.
Định lý 3.1. Cho M là một không gian topo Hausdoff và giả sử E : M →
R ∪ {+∞} thỏa mãn:
Với mỗi α ∈ R, tập mức dưới
K

α
= {u ∈ M : E(u) ≤ α} (3.1)
là tập compact.
Khi đó E bị chặn dưới trên M và đạt được cực tiểu của nó trên M.
Chú ý 3.1. Sự cần thiết của (3.1) được làm rõ bởi các ví dụ đơn giản sau: hàm
số E(x) = x
2
nếu x ∈ [−1, 1] \ {0}, = 1 nếu x = 0 hay hàm E(x) = exp(x) trên R là
những hàm bị chặn dưới nhưng không có giá trị nhỏ nhất. Để ý với trường hợp thứ
11
3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm 12
nhất K
1
4
= [−
1
2
, 0)∪ (0,
1
2
] không là tập compact, còn với hàm thứ 2 thì K
e
= (−∞, 1]
cũng không là tập compact.
Chứng minh.
1. Chứng minh E bị chặn dưới.
Nếu E không bị chặn dưới thì với mọi số tự nhiên n tồn tại u
n
∈ M sao cho
E(u

n
) ≤ −n.
Khi đó
u
n
∈ K
−n
⊂ K
0
, ∀n ∈ N.
Vậy ta có dãy (u
n
) ⊂ K
0
mà K
0
compact nên tồn tại dãy con (u
n
k
) sao cho
u
n
k
→ u ∈ K
0
.
Vì E(u) > E(u) − 1 nên u ∈ M\K
E(u)−1
. Mà M\K
E(u)−1

là tập mở nên tồn tại k
0
sao cho
u
n
k
∈ M\K
E(u)−1
, ∀k ≥ k
0
hay
E(u
n
k
) > E(u) − 1, ∀k ≥ k
0
.
Cho k → ∞ ta có E(u) = −∞, vô lý.
2. Chứng minh E đạt min trên M.
Đặt a = inf
M
E ∈ R, lấy dãy (v
n
) trong M sao cho
lim
n→∞
E(v
n
) = a.
Cố định một b > a thì tồn tại n

0
sao cho
E(v
n
) ≤ b, ∀n > n
0
,
hay v
n
∈ K
b
, ∀n > n
0
. Vì K
b
compact nên (v
n
) có một dãy con hội tụ về một điểm v
trong K
b
. Với c bất kì lớn hơn a thì dãy con nói trên sẽ nằm hẳn trong K
c
từ một chỉ
3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm 13
số nào đó trở đi nên v cũng là điểm dính của K
c
, do đó nằm trong K
c
(do K
c

đóng).
Vậy
v ∈

c>a
K
c
, (3.2)
suy ra
E(v) ≤ c, ∀c > a.
Vậy E(v) ≤ a và do đó E(v) = a, ta có đpcm.
Nhận xét 3.1.
(i) Nếu E thỏa mãn đều kiện (3.1) thì khi đó với mọi β, tập K
β
= {u ∈ M : E(u) > β}
mở nên E nửa liên tục dưới.
(ii) Định lý 3.1 trên vẫn đúng với điều kiện giảm nhẹ hơn như sau: tồn tại β
0
sao cho
K
β
0
= ∅ và K
β
compact ∀β ≤ β
0
. Thật vậy, với mọi β < α := inf
M
E thì K
β

= ∅,
nên ta phải có β
0
≥ α. Nếu β
0
= α thì E đạt cực tiểu tại bất kì u
0
∈ K
α
= K
β
0
= ∅.
Xét trường hợp β
0
> α, khi đó ta có thể dùng lại chứng minh trên với K
0
trong phần
1 được thay bởi K
β
0
và (3.2) được thay bởi
v ∈

a<c≤β
0
K
c
.
Ta xét một ví dụ cụ thể như sau, xét hàm E : [0, ∞) → R,

E(x) =





x nếu x ∈ [0, 1],
2 nếu x ∈ [1, ∞).
Rõ ràng E đạt cực tiểu tại x = 0, E(0) = 0. Tuy nhiên K
2
= {x ∈ [0, ∞) : E(x) ≤
2} = [0, ∞) không compact. Thế nhưng rõ ràng K
1
= [0, 1] compact, khác trống và
K
β
compact với mọi β ≤ 1, cụ thể K
β
= ∅ nếu β < 0 và K
β
= [0, β] nếu 0 ≤ β ≤ 1.
(iii) Nếu E nửa liên tục dưới và tồn tại β
0
sao cho K
β
0
= ∅ và K
β
0
compact thì K

β
compact ∀β ≤ β
0
, và theo nhận xét (ii), kết luận của Định lý 3.1 vẫn còn đúng.
Định lý sau đây có rất nhều ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng:
3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm 14
Định lý 3.2. Giả sử V là không gian Banach phản xạ với chuẩn . và M ⊂ V
là một tập đóng yếu trong V. Giả sử E : M → R ∪ {+∞} coercive và nửa liên tục
dưới yếu (theo dãy) trên M, tức là các điều kiện sau được thỏa:
(i) E(u) → ∞ khi u → ∞,
(ii) Với mọi u ∈ M và dãy u
n
 u yếu trong V , (u
n
) ⊂ M thì
E(u) ≤ lim inf
n→∞
E(u
n
).
Khi đó E bị chặn dưới trên M và đạt cực tiểu của nó trên M.
Chứng minh. Ta giả thiết E không đồng nhất +∞.
1. Chứng minh E bị chặn dưới.
Nếu E không bị chặn dưới thì với mọi số tự nhiên n tồn tại u
n
∈ M sao cho
E(u
n
) ≤ −n.
Ta suy ra,

lim
n→∞
E(u
n
) = −∞.
Khi đó (u
n
) bị chặn, vì nếu ngược lại thì ta trích được một dãy con (u
n
k
) sao cho
lim
k→∞
u
n
k
 = ∞.
theo giả thiết (i) thì E(u
n
k
) → ∞ mâu thuẫn với tính chất
lim
n→∞
E(u
n
) = −∞.
Vậy (u
n
) bị chặn, mà V phản xạ nên tồn tại một dãy con (u
n

k
) sao cho u
n
k
 u ∈ V .
Vì M đóng yếu nên u ∈ M. Do (ii) ta có
E(u) ≤ lim inf
k→∞
E(u
n
k
) = −∞,
Do đó E(u) = −∞, mâu thuẫn với giả thiết E : M → R ∪ {+∞}.
3.1 Sự tồn tại cực tiểu của phiếm hàm 15
2. Chứng minh E đạt min trên M.
Đặt a = inf
M
E và dãy (u
n
) trong M sao cho
lim
n→∞
E(u
n
) = a.
Tương tự như chứng minh E bị chặn dưới, ta tìm được dãy con (u
n
k
) sao cho u
n

k
 u
trong V . Mà M đóng yếu nên u ∈ M và theo (ii) thì
E(u) ≤ lim inf
k→∞
E(u
n
k
) = a.
Vậy E(u) = a, tức là E đạt giá trị nhỏ nhất tại u.
Nhận xét rằng định lý trên vẫn đúng nếu ta thay (ii) bởi điều kiện :Với mọi u ∈
M và mọi dãy (u
n
) ⊂ M, u
n
 u yếu trong V thì tồn tại dãy con (u
n
k
) thỏa
E(u) ≤ lim inf
k→∞
E(u
n
k
).
Ví dụ 3.1. Một ví dụ quan trọng về hàm nửa liên tục dưới yếu là hàm chuẩn trong
V . Thật vậy, nếu u
n
 u trong V thì với mọi f ∈ V


, không gian đối ngẫu của V , ta
có
|f, u
n
| ≤ f u
n
,
Qua giới hạn khi n → ∞ ta suy ra
|f, u| ≤ f lim inf
n→∞
u
n
.
Do đó
u = sup
f≤1
|f, u| ≤ lim inf
n→∞
u
n
.
Tập lồi đóng của không gian Banach là ví dụ quan trọng về tập đóng yếu.
Ta trình bày một ứng dụng của Định lý 3.2 trong lý thuyết tối ưu. Trước hết ta
có định nghĩa sau
Định nghĩa 3.1. Cho (V, .) là một không gian định chuẩn, K là một tập con
khác trống của V . Ta nói K là gần kề nếu điều kiện sau được thỏa mãn: với mọi
x
0
∈ V , tồn tại k
0

∈ K sao cho
k
0
− x
0
 = min{k − x
0
 : k ∈ K}.
3.2 Phương trình elliptic suy biến 16
Hệ quả sau cho ta đều kiện đủ để một tập là gần kề:
Hệ quả 3.1. Mọi tập lồi, đóng, khác trống trong không gian Banach phản xạ là
gần kề.
Chứng minh. Giả sử V là không gian Banach phản xạ, K là tập lồi, đóng, khác trống
trong V . Cho x
0
∈ V , ta xét hàm E : K → R, xác định bởi
f(x) = x − x
0
.
Theo Ví dụ 3.1 thì f nửa liên tục dưới yếu, K đóng yếu. Mặt khác, ta có
f(x) = x − x
0
 ≥ x − x
0
, ∀x ∈ K.
nên f(x) → ∞ nếu x → ∞. Áp dụng Định lý 3.2 ta kết luận f có cực tiểu trên K,
gọi là k
0
. Khi đó
k

0
− x
0
 = min{k − x
0
 : k ∈ K}.
Điều này chứng tỏ K là tập gần kề.
3.2 Phương trình elliptic suy biến
Định lý 3.3. Cho Ω là miền bị chặn trong R
n
, p ∈ [2, ∞) và q là số mũ liên
hợp của p, tức là
1
p
+
1
q
= 1 và f ∈ W
−1,q
(Ω), đối ngẫu của W
1,p
0
(Ω). Khi đó tồn tại
nghiệm yếu u ∈ W
1,p
0
(Ω) của bài toán biên
−∇.(|∇u|
p−2
∇u) = f trong Ω, (3.3)

u = 0 trên ∂Ω, (3.4)
theo nghĩa u thỏa mãn phương trình:

Ω

∇u|∇u|
p−2
∇ϕ − fϕ

dx = 0, ∀ϕ ∈ C
∞
c
(Ω). (3.5)
3.2 Phương trình elliptic suy biến 17
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây
Bổ đề 3.1. Đặt
h(u) =

Ω
|∇u|
p
dx, ∀u ∈ W
1,p
0
(Ω).
Khi đó h liên tục khả vi Fréchet trên V = W
1,p
0
(Ω) và
Dh(u)(φ) = p


Ω
|∇u|
p−2
∇u.∇φdx, ∀u, φ ∈ V.
Chứng minh. Cố định u ∈ W
1,p
0
(Ω), ta chứng minh h khả vi Fréchet tại u. Đặt
T (φ) = p

Ω
|∇u|
p−2
∇u.∇φdx, ∀φ ∈ V.
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có
|T (φ)| ≤ p

Ω
|∇u|
p−1
|∇φ|dx ≤ pu
p−1
L
p
φ
L
p
≤ pu
p−1

L
p
φ
V
.
Vậy T ∈ L(V, R).
Đặt g(s) = |s|
p
, ∀s ∈ R, ta có g khả vi liên tục cấp 2 trên R và Dg(s) = p|s|
p−2
s, D
2
g(s) =
p(p − 1)|s|
p−2
. Áp dụng định lý Taylor cho g ta có
h(u + φ) − h(u) − T (φ) =

Ω

|∇(u + φ)|
p
− |∇u|
p
− p|∇φ|
p−2
∇u.∇φ

dx
=


Ω

1
0
(1 − t)p(p − 1)|∇(u + tφ)|
p−2
|∇φ|
2
dtdx := I(φ).
Áp dụng bất đẳng thức Holder (với các số mũ
p
2
và
p
p−2
) ta có
|I(φ)| ≤ p(p − 1)

Ω
(|∇u| + |∇φ|)
p−2
|∇φ|
2
dx
≤ p(p − 1)|∇u| + |∇φ|
p−2
L
p
∇φ

2
L
p
≤ p(p − 1)|∇u| + |∇φ|
p−2
L
p
φ
2
V
.
Suy ra rằng lim
φ→0
I(φ)
φ
V
= 0. Từ đó, ta kết luận h khả vi Fréchet tại u và Dh(u)(φ) =
T (φ).
3.2 Phương trình elliptic suy biến 18
Bây giờ ta chứng minh Dh liên tục trên V . Thật vậy, lấy u, v, φ ∈ V với φ
V
≤ 1,
áp dụng bất đẳng thức Holder và công thức Taylor ta được
|Dh(u + v)(φ) − Dh(u)(φ)| = p





Ω


|∇(u + v)|
p−2
∇(u + v) − |∇u|
p−2
∇u

∇φdx




≤ p


Ω


|∇(u + v)|
p−2
∇(u + v) − |∇u|
p−2
∇u


p
p−1
dx

p−1

p
≤ C
1


Ω

(|∇u|
p−2
+ |∇v|
p−2
)|∇v|

p
p−1
dx

p−1
p
≤ C


Ω
|∇u|
p(p−2)
p−1
|∇v|
p
p−1
+ |∇v|

p
dx

p−1
p
trong đó C
1
, C là các hằng số thích hợp, không phụ thuộc vào u, v.
Lại áp dụng bất đẳng thức Holder với các số mũ
p−1
p−2
và p − 1 ta có

Ω
|∇u|
p(p−2)
p−1
|∇v|
p
p−1
≤ u
p(p−2)
p−1
L
p
v
p
p−1
L
p

≤ u
p(p−2)
p−1
V
v
p
p−1
V
.
Vì vậy,
|Dh(u + v)(φ) − Dh(u)(φ)| ≤ C

u
p(p−2)
p−1
V
v
p
p−1
V
+ v
p
V

p−1
p
≤ C

u
p−2

V
v
V
+ v
p−1
V

= Cv
V

u
p−2
V
+ v
p−2
V

.
Điều này dẫn đến
Dh(u + v) − Dh(u)
W
−1,q
≤ Cv
V

u
p−2
V
+ v
p−2

V

,
Và do đó
lim
v→0
(Dh(u + v) − Dh(u)) = 0,
tức là Dh liên tục tại u và do đó liên tục trên W
1,p
0
(Ω).
Chứng minh. (Định lý 3.3)
1. Đặt h như trong Bổ đề 3.1 thì h khả vi Fréchet trên W
1,p
0
(Ω) và
Dh(u)(φ) = T (φ) = p

Ω
|∇u|
p−2
∇u.∇φdx, ∀φ ∈ W
1,p
0
(Ω).
3.2 Phương trình elliptic suy biến 19
Đặt
E(u) =
1
p


Ω
|∇u|
p
dx −

Ω
fudx, ∀u ∈ W
1,p
0
(Ω),
thì E khả vi Fréchet trên W
1,p
0
(Ω) và
DE(u)(φ) =

Ω
(∇u|∇u|
p−2
∇φ − fφ)dx, ∀φ ∈ W
1,p
0
(Ω).
Vậy bài toán (3.3)-(3.4) có dạng bài toán biến phân.
2. Chứng minh E coercive.
Do Ω mở, bị chặn nên ta có thể trang bị trên W
1,p
0
(Ω) chuẩn sau đây

u
W
1,p
0
=


Ω
|∇u|
p
dx

1
p
.
Khi đó
E(u) ≥
1
p
u
p
W
1,p
0
− f
W
−1,q
u
W
1,p

0
= u
p
W
1,p
0

1
p
− f
W
−1,q
u
1−p
W
1,p
0

.
Vậy E(u) → ∞ khi u
W
1,p
0
→ ∞.
3. Chứng minh E nửa liên tục dưới yếu.
Giả sử u
n
 u trong H
1,p
0

(Ω), ta có

Ω
|∇u|
p
dx = u
p
W
1,p
0
≤

lim inf
n→∞
u
n

W
1,p
0

p
= lim inf
n→∞
u
n

p
W
1,p

0
= lim inf
n→∞

Ω
|∇u
n
|
p
dx,
và vì f ∈ W
−1,q
0
(Ω) nên

Ω
fudx = lim
n→∞

Ω
fu
n
dx.
Vậy
E(u) =
1
p

Ω
|∇u|

p
dx −

Ω
fudx
≤ lim inf
n→∞
1
p

Ω
|∇u
n
|
p
dx − lim
n→∞

Ω
fu
n
dx
= lim inf
n→∞

1
p

Ω
|∇u

n
|
p
dx −

Ω
fu
n
dx

= lim inf
n→∞
E(u
n
).
3.3 Bài toán phân hoạch cực tiểu siêu mặt 20
Ta lại có W
1,p
0
(Ω) là không gian Banach phản xạ với p ∈ (1, ∞) nên áp dụng Định
lý 3.2 thì tồn tại một cực tiểu của E và đó cũng là nghiệm yếu cần tìm.
3.3 Bài toán phân hoạch cực tiểu siêu mặt
Cho miền Ω ⊂ R
n
, ta định nghĩa BV (Ω) - không gian các hàm có biến phân bị chặn,
là tập hợp các hàm u ∈ L
1
(Ω) sao cho

Ω

|Du| := sup


Ω
u∇.gdx : g = (g
1
, , g
n
) ∈ C
1
0
(Ω; R
n
), |g| ≤ 1

< ∞.
1. BV (Ω) là không gian vector con của L
1
(Ω)
i) Nếu u ∈ BV (Ω) và α ∈ R thì

Ω
|D(αu)| = sup


Ω
αu∇.gdx : g ∈ C
1
0
(Ω; R

n
), |g| ≤ 1

= |α| sup


Ω
u∇.gdx : g ∈ C
1
0
(Ω; R
n
), |g| ≤ 1

= |α|

Ω
|Du| < ∞.
ii) Nếu u, v ∈ BV (Ω) thì

Ω
|D(u + v)| = sup


Ω
(u + v)∇.gdx : g ∈ C
1
0
(Ω; R
n

), |g| ≤ 1

≤ sup


Ω
u∇.gdx : g ∈ C
1
0
(Ω; R
n
), |g| ≤ 1

+ sup


Ω
v∇.gdx : g ∈ C
1
0
(Ω; R
n
), |g| ≤ 1

=

Ω
|Du| +

Ω

|Dv| < ∞.
2. BV (Ω) là không gian định chuẩn với
u
BV
= u
L
1
(Ω)
+

Ω
|Du|.
Điều này suy ra từ việc L
1
(Ω) là không gian định chuẩn và chứng minh i), ii).
3. Ánh xạ u →

Ω
|Du| là nửa liên tục dưới trên L
1
(Ω).
Giả sử u
m
→ u trong L
1
(Ω), với mọi g ∈ C
1
0
(Ω; R
n

), |g| ≤ 1 ta có

Ω
u
m
∇.gdx ≤

Ω
|Du
m
|,
3.3 Bài toán phân hoạch cực tiểu siêu mặt 21
nên
lim inf
n→∞

Ω
u
m
∇.gdx ≤ lim inf
n→∞

Ω
|Du
m
|.
Mặt khác u
m
→ u trong L
1

(Ω) nên
lim inf
n→∞

Ω
u
m
∇.gdx = lim
n→∞

Ω
u
m
∇.gdx =

Ω
u∇.gdx.
Do đó

Ω
u∇.gdx ≤ lim inf
n→∞

Ω
|Du
m
|, ∀g ∈ C
1
0
(Ω), |g| ≤ 1.

Vậy

Ω
|Du| ≤ lim inf
n→∞

Ω
|Du
m
|.
4. BV (Ω) là không gian Banach.
Giả sử (u
m
) là dãy Cauchy trong BV (Ω), khi đó (u
m
) cũng là dãy Cauchy trong
L
1
(Ω) mà L
1
(Ω) Banach nên tồn tại u ∈ L
1
(Ω) sao cho u
m
hội tụ về u trong L
1
(Ω).
i) Chứng minh u ∈ BV (Ω).
Ta kiểm tra


Ω
|Du| < ∞. Trước hết (u
m
) Cauchy nên bị chặn, tức tồn tại M < ∞
sao cho u
m

BV
< M, ∀m ∈ N. Do 3) ta có

Ω
|Du| ≤ lim inf
n→∞

Ω
|Du
m
| < M < ∞.
ii) Chứng minh u
m
→ u trong BV (Ω). Cho  > 0, tồn tại N
1
sao cho

Ω
|D(u
k
− u
j
)| <


2
, ∀k, j > N
1
.
Vì u
k
− u
j
→ u
k
− u trong L
1
(Ω) khi j → ∞ nên do 3), ta có

Ω
|D(u
k
− u)| ≤ lim inf
j→∞

Ω
|D(u
k
− u
j
)| ≤

2
, ∀k > N

1
.
Mà (u
k
) hội tụ về u trong L
1
(Ω) nên tồn tại N
2
sao cho
u
k
− u
L
1
<

2
, ∀k > N
2
.
Đặt N
0
= max{N
1
, N
2
}, ta đươc
u
k
− u

BV
< , ∀k > N
0
.
5. Với Ω đủ trơn thì phép nhúng BV (Ω) → L
1
(Ω) là compact.