Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING
KHOA CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Giảng viên

ThS. Lê Trường Giang


ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING
KHOA CƠ BẢN

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chương 1
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Cán bộ giảng dạy:
Ths Lê Trường Giang


Vào năm 1651, Blaise Pascal
nhận được bức thư của nhà quý
tộc Pháp, De Méré, nhờ ông giải
quyết các rắc rối nảy sinh trong
trò chơi đánh bạc. Pascal đã
Blaise Pascal
toán học hoá các trò trơi đánh

bạc này, nâng lên thành những
bài toán phức tạp hơn và trao
đổi với nhà toán học Fermat.
Những cuộc trao đổi đó đã nảy
sinh ra Lý thuyết Xác suất – Lý
thuyết toán học về các hiện
Pierre de Fermat
tượng ngẫu nhiên.


James
BERNOULLI là
người phát minh ra Luật
Số Lớn. Chính vì lý do đó,
ngày nay Hội Xác Suất
Thống Kê Thế Giới mang
tên BERNOULLI

James BERNOULLI

Leibniz có nhiều đóng
góp quan trọng trong
việc xây dựng Lý thuyết
Xác suất

Gottfried Wilhelm Leibniz


Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÔNG THỨC XÁC SUẤT

Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố

Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
Bài 3. Công thức tính xác suất


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố

1. Phép thử ngẫu nhiên
2. Không gian mẫu và biến cố
3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và sự kiện
1. Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là việc thực hiện một thí nghiệm
hay quan sát một hiện tượng nào đó để xem có xảy ra
hay không. (khi đó, hiện tượng có xảy ra hay không
trong phép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên)
Ví dụ 1. Việc gieo một con xúc xắc và quan sắt số chấm
xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc là thực hiện một
phép thử ngẫu nhiên


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
2. Không gian mẫu và biến cố

Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, một và chỉ một kết quả

trong tập hợp các kết quả xuất hiện.
+ Một kết quả trong phép thử này được gọi là kết quả sơ cấp.
+ Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp được gọi là không gian mẫu.
.

Ta kí hiệu một kết quả sơ cấp là  và không gian mẫu là  .
Ví dụ 2. Gieo một con xúc xắc và quan sát số chấm xuất
hiện ở mặt trên của con xúc xắc. Khi đó, không gian mẫu
là   1,2,3,4,5,6


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
2. Không gian mẫu và biến cố
Một biến cố (sự kiện) A trong  là một tập hợp gồm một số
kết quả sơ cấp thuộc 

Biến cố A là một tập con của không gian mẫu  .
A   và A xảy ra nếu và chỉ nếu kết quả sơ cấp   A.

Tập hợp rỗng  gọi là biến cố rỗng
Bản thân  được gọi là biến cố chắc chắn.
Sự kiện  chỉ chứa một kết quả sơ cấp  được gọi là biến cố sơ cấp.


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
2. Không gian mẫu và biến cố

Ví dụ 3. Gieo một con xúc xắc ta có
Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm
nhỏ hơn 7 là 

Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm
bằng 7 là 

Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm
nhỏ hơn 4 là biến cố ngẫu nhiên.


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố
a. Tổng của hai biến cố
Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố C=A  B
kí hiệu C=A  B xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai
biến cố A hoặc B xảy ra.
Ví dụ 4A. Kiểm tra hai lô hàng,
gọi A1 là sự kiện lô hàng thứ nhất có sản phẩm bị lỗi
A2 là sự kiện lô hàng thứ hai có sản phẩm bị lỗi.

A  A1  A2 là sự kiện có sản phẩm bị lỗi trong hai lô hàng.


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố
b. Tích của hai biến cố

Tích của hai biến cố A và B là một biến cố C  A  B
kí hiệu là C  A.B xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố
A và B cùng đồng thời xảy ra.
Ví dụ 4B. Kiểm tra hai lô hàng,
gọi A1 là sự kiện lô hàng thứ nhất có sản phẩm bị lỗi.
A2 là sự kiện lô hàng thứ hai có sản phẩm bị lỗi.

A  A1.A2 là sự kiện trong hai lô hàng đều có sản phẩm lỗi.


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố
c. Quan hệ kéo theo
Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B khi và chỉ khi
nếu A xảy ra thì B xảy ra, kí hiệu là A  B .

Ví dụ 5. Gieo một con xúc xắc,
gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4.
Gọi Bi là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm là i, i  1,6.
Khi đó ta có B1  A, B2  A, B3  A .


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố
d. Quan hệ tương đương

Hai sự kiện A và B được gọi là bằng nhau (tương đương nhau)
khi và chỉ khi A  B và B  A.
Ví dụ 6. Gieo hai con xúc xắc,
A là sự kiện tổng số chấm xuất hiện là số lẻ.
B là sự kiện một con xúc xắc xuất hiện là số lẻ
và một con xuất hiện số chấm là số chẳn.
Ta có A  B.


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố

3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

e. Quan hệ xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc
nếu hai biến cố A và B không cùng xảy ra.
Kí hiệu A.B  .
Ví dụ 7. Gieo một con xúc xắc,
gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3.
B là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4.
Khi đó hai sự kiện A và B là xung khắc.


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố
f. Quan hệ đối lập

Biến cố đối của biến cố A kí hiệu là A .
A và A thỏa đồng thời i và ii
i. A  A   ,
ii. A.A  .
Ví dụ 8. Gieo một con xúc xắc,
gọi A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3.
A là sự kiện xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2.


Bài 1. Phép thử, không gian mẫu và biến cố
3. Phép toán và quan hệ giữa các biến cố
g. Biến cố độc lập
Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nhau nếu sự

kiện A xảy ra hay không sẽ không ảnh hưởng đến sự
xảy ra hay không của sự kiện B và ngược lại.
h. Họ đầy đủ các biến cố

Họ các biến cố A1 , A2 ,..., An được gọi là một họ đầy đủ
Thỏa đồng thời i và ii
i. Xung khắc từng đôi một Ai  Aj   i, j i  j 
ii. Phải có một biến cố trong họ xảy ra A1  A2  ...  An   .


Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê
3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

4. Định nghĩa xác suất theo quan điểm tiên đề


Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển
Xét một khơng gian các biến cố sơ cấp  có n
biến cố sơ cấp đồng khả năng và giả sử có m
biến cố sơ cấp thuận lợi cho một biến cố ngẫu
nhiên A. Khi đó, xác suất của của A kí hiệu P(A).
.
số các sự sơ cấp kiệ
n thuận lợi cho A [A] m
P  A 



số các sự kiện sơ cấp của 
[] n


Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Tính chất của xác suất

a) 0  P  A  1.
b) P     1, P    0 .
c) P  A  1  P  A .
d) Nếu A  B thì P  A  P  B  .


Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển
Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Quan
sát số chấm ở mặt trên của con xúc xắc.
a. Tính xác suất số chấm là số chẵn?
b. Tính xác suất số chấm bé hơn 4?
c. Tính xác suất số chấm là 6?
Ví dụ 2. Trong 1 bình kín có 5 cầu trắng, 3 cầu đen giống
nhau về hình dạng, kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả.
Tính xác suất để:
a.Lấy được 2 cầu trắng
b.Lấy được 2 cầu đen
c.Lấy được một cầu trắng và một cầu đen

Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển
Ví dụ 3 (BTN). Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ một lô
hàng chứa 12 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm và 8
chính phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm lấy
a. Có 2 chính phẩm.
b. Có ít nhất 1 phế phẩm.
c. Có cả chính phẩm và phế phẩm ít nhất là 2.


Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển
Ví dụ 4 (BTN). Trong một hộp kín chứa các quả cầu
cùng hình dạng và kích thức. Trong đó có 5 quả màu
màu xanh, 4 quả màu đỏ, 3 quả màu trắng? Chọn
ngẫu nhiên cùng lúc 3 quả cầu. Tính các xác suất
sau

a. Cả 3 quả cầu cùng một màu
b. Đúng hai quả cầu cùng màu
c. Ít nhất hai quả cầu cùng màu
d. Cả 3 quả khác màu nhau.


Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Định nghĩa. Giả sử một phép thử được thực hiện lập lại n lần
trong trong cùng một điều kiện xác định và đếm được nA lần

nA
xuất hiện một sự kiện A. Khi đó, tần suất (tỉ lệ)
được gọi là
n

xác suất của sự kiện A khi n tăng lên vô hạn
nA
P  A   lim .
n  n


Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố
3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học
Không gian mẫu có thể được biểu diễn bởi
một miền hình học   có độ đo là mes() .
Mỗi sự kiện ngẫu nhiên được biểu diễn bởi
một miền hình học  A  có độ đo là mes( A) .
Xác suất P(A) của sự kiện A được xác định bởi
mes( A)
P  A 
.
mes()