Tổng hợp đề thi thử tốt nghiệp môn toán năm 2013 (Phần 6)

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
ĐỀ SỐ 2
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (3 đ): Cho hàm số y = x3 + 3mx + 2 đồ thị (Cm).
1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) với trục hoành và các đường thẳng
x = –1, x = 1.
3) Xác định m để đồ thị (Cm) có cực trị.
Câu 2 (3đ):
1) Giải bất phương trình: log2 (x + 3) > log4 ( x + 3)
1

2) Tính tích phân I =



1

2x  1
x  x 1

dx

2

3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y  sin2 x  2 sin x  3 .
Câu 3 (1đ): Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy AB = a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy
là 60o . Tính thể tích khối chóp theo a.
II. PHẦN RIÊNG (3đ) :
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu 4a (2đ): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2,0,0); B(0,1,0); C(0,0,3).

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2) Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ, tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
x2  x  1  0 .
Câu 5a (1đ): Giải phương trình trên tập số phức:
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu 4b (2đ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1, 0, 0); B(0, 1, 0);
1); D(–2, 1, 2).
1) Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của nó.
2) Tính độ dài đường cao hạ từ A của khối chóp ABCD.
Câu 5b (1đ): Viết dạng lượng giác số phức z  1  3i .
––––––––––––––––––––––––

C(0, 0,

1


ĐÁP ÁN
Câu 1: 2) S = 4
Câu 2: 1) x  2
Câu 3: V 

3) m < 0
2) I  2( 3  1)

3) min y  2 ; max y  4

a3 3
12

Câu 4a: 1) 3x  6y  2z  6  0
1  3i
1  3i
; x
2
2
2
Câu 4b: 1) V 
3

2) x2  y2  z2 

36
49

Câu 5a: x 

2) h 

2
3




Câu 5b: z  2 cos  i sin 


6

6

2


TRƢỜNG THPT LƢƠNG THẾ VINH

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 12
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
-------------------------------------------------------------------------------I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
x4
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y =
- x2 - 4
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và trục hoành.
3) Tìm m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm phân biệt: x 4 - 2x 2 - 2m = 0
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 22x + 2 - 2x + 2 - 3 = 0

1
+ 4e x biết rằng F (1) = 4e
x
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 - x + 1 , biết tiếp tuyến song
2) Tìm nguyên hàm F (x ) của f (x ) = 3x 2 -

song với đường thẳng y = 2x - 1 .
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 , đường cao h = 2. Hãy tính diện tích
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chƣơng trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho A(- 1;2; - 1), B (2;1; - 1),C (3;0;1)
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,A,B,C và xác định toạ độ tâm I của nó.
uuuur
uuur
2) Tìm toạ độ điểm M sao cho 3A M = - 2MC . Viết phương trình đường thẳng BM.
Câu Va (1,0 điểm): Tính x 1 + x 2 , biết x 1, x 2 là hai nghiệm phức của phương trình sau đây:
3x 2 - 2 3x + 2 = 0

2. Theo chƣơng trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng
íï x = 1 + 2t
ïï
(P) lần lượt có phương trình d: ïì y = 2t
, (P): 2x + y - 2z - 1 = 0 .
ïï
ïï z = - 1
î
1) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc (P).
2) Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M(0;1;0), nằm trong mp(P) và vuông
góc với đường thẳng d.


Câu Vb (1,0 điểm): Gọi z 1 ; z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + z + 1 = 0 trên tập số phức.
Hãy xác định A =

1
1
+
z1 z 2

---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................
Số
báo
danh:
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: ..................................
Chữ ký của giám thị 2:
.................................


BI GII CHI TIT.
4

x
- x2 - 4
2
Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= 2x 3 - 2x

Cõu I: Hm s: y =

ộx = 0
Cho y Â= 0 2x 3 - 2x = 0 ờờ

ờởx = 1
Gii hn: lim y = + Ơ
;
lim y = + Ơ
xđ - Ơ

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ

- 1


0

+

+Ơ
y

-

0
0
4

1
0

9
2

+
+

+Ơ
-

9
2

Hm s B trờn cỏc khong (- 1;0),(1; + Ơ ) , NB trờn cỏc khong (- Ơ ; - 1),(0;1)
Hm s t cc i y Cẹ = - 4 ti x Cẹ = 0 .
Hm s t cc tiu y CT = Giao im vi trc honh:

9
ti x CT = 1 .
2

-1 O

-2

ộx 2 = 4
ờ
x2 = 4 x = 2

ờ2
ờởx = - 2
Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = - 4
Bng giỏ tr: x
2
1
0
1
2
y
0
4,5
4
4,5
0
th hm s: nh hỡnh v bờn õy
Giao ca (C ) vi Oy: cho y = 0 x = 2
Din tớch cn tỡm:
Cho y = 0

y
1

1 4
x - x2 - 4 = 0
2

-4
-4.5

2

ổx 5 x 3
ử
ổ1 4
ử
224
ữ
ỗ 2
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
S = ũ
x
x
4
dx
=
4
x
=
ỗ
ữ
ữ
ũ
ỗ
ỗ
ứ

ố10
ứ- 2
- 2
- 2 ố2
3
15
(vdt)
x4
x4
- x2 = m
- x 2 - 4 = m - 4 (*)
x 4 - 2x 2 - 2m = 0 x 4 - 2x 2 = 2m
2
2
x4
- x 2 - 4 v
S nghim ca pt(*) bng vi s giao im ca (C ) : y =
2
d :y = m - 4
T ú, da vo th ta thy pt(*) cú ỳng 2 nghim phõn bit khi v ch khi
2

1 4
x - x 2 - 4 dx =
2

2

2

x


ộm - 4 > - 4
ộm > 0
ờ
ờ
ờ
ờ

ờm - 4 = - 9
ờm = - 1
ờở
ờở
2
2
2x + 2
x+2
2x
x
Cõu II: 2
- 2
- 3 = 0 4.2 - 4.2 - 3 = 0 (*)
x
t t = 2 (K: t > 0), phng trỡnh (*) tr thnh:
ộ
ờt = 3 (nhan)
3
3
3

ờ
2
4t 2 - 4t - 3 = 0 ờ
t = 2x = x = log2
2
2
2
ờt = - 1 (loai)
ờ
2
ở
3
Vy, phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht: x = log2
2
1
+ 4e x , h cỏc nguyờn hm ca f(x) l:
Vi f (x ) = 3x 2 x
ổ
ử
1
ữ
F (x ) = ũ ỗỗỗ3x 2 + 4e x ữ
dx = x 3 - ln x + 4e x + C
ữ
ố
ứ
x
Do F (1) = 4e nờn 13 - ln 1 + 4e1 + C = 4e C = - 1
Vy, F (x ) = x 3 - ln x + 4e x - 1
Vit pttt ca y = x 3 - x + 1 song song vi ng thng d: y = 2x - 1

TX ca hm s : D = Ă
y Â= 3x 2 - 1
Do tip tuyn song song vi y = 2x - 1 nờn cú h s gúc
k = f Â(x 0 ) = 2 3x 02 - 1 = 2 3x 02 = 3 x 02 = 1 x 0 = 1

Vi x 0 = 1 ị y 0 = 13 - 1 + 1 = 1 v f Â(x 0 ) = 2
pttt ti x 0 = 1 l: y - 1 = 2(x - 1) y = 2x - 1 (loi vỡ trựng vi ng thng d)
Vi x 0 = - 1 ị y 0 = (- 1)3 - (- 1) + 1 = 1 v f Â(x 0 ) = 2
pttt ti x 0 = - 1 l: y - 1 = 2(x + 1) y = 2x + 3
Vy, cú 1 tip tuyn cn tỡm l: y = 2x + 3
Cõu III
Gi s hỡnh chúp u ó cho l S.ABC cú O l chõn ng cao xut
phỏt t nh S. Gi I l im trờn SO sao cho IS = IA, thỡ
IS = IA = IB = OC = R
Do ú, I l tõm mt cu ngoi tip hỡnh chúp.
Theo gi thit, SO = 2 ị IO = 2 - R

2
2 6. 3
= 2
v OA = A M = ì
3
3
2
Trong tam giỏc vuụng IAO, ta cú

S

I
A

O
M
B

C


IA 2 = OI 2 + OA 2 Û R 2 = (2 - R )2 + 2 Û 4 - 4R + 2 = 0 Û R =
 Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

æ3 ÷
ö2
ç
S = 4p R = 4p çç ÷
÷ = 9p (đvdt)
è2 ø
THEO CHƢƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa: A(- 1;2; - 1), B (2;1; - 1),C (3;0;1)
2

 Phương trình mặt cầu (S ) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
 Vì 4 điểm O(0;0;0), A(- 1;2; - 1), B (2;1; - 1),C (3;0;1) thuộc (S ) nên:
ïíï 0 - 2.0 - 2.0 - 2.0 + d = 0
ïíï d = 0
ïíï d = 0
ïï
ïï
ïï
ïï 6 + 2a - 4b + 2c + d = 0

ïï 2a - 4b + 2c = - 6
ïa = 1
Û ì
Û ïì
ì
ïï 6 - 4a - 2b + 2c + d = 0
ïï - 4a - 2b + 2c = - 6
ïï b = 3
ïï
ïï
ïï
ïîï 10 - 6a + 0b - 2c + d = 0
ïîï - 6a + 0b - 2c = - 10
ïîï c = 2
 Vậy, phương trình mặt cầu (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x - 6y - 4z = 0
Và toạ độ tâm của mặt cầu là: I (1; 3;2)
 Giả sử toạ độ điểm M là M (a;b;c) thì
uuuur
uuuur
A M = (a + 1;b - 2;c + 1) Þ 3A M = (3a + 3 ; 3b - 6 ; 3c + 3)
uuur
uuur
MC = (3 - a; - b;1 - c) Þ - 2MC = (2a - 6 ; 2b ; 2c - 2)
ïíï 3a + 3 = 2a - 6
ïíï a = - 9
uuuur
uuur
ïï
ï
Û ïì b = 6 Þ M (- 9;6; - 5)

 Ta có, 3A M = - 2MC Û ì 3b - 6 = 2b
ïï
ïï
ïï 3c + 3 = 2c - 2
ïï c = - 5
î
î
 Đường thẳng BM đi qua điểm: B (2;1; - 1)
uuur
r
có vtcp: u = BM = (- 11;5; - 4)
x- 2 y- 1 z+1
=
=
 Phương trình đường thẳng BM:
- 11
5
- 4

Câu Va: 3x 2 - 2 3x + 2 = 0
 Ta có, D = (- 2 3)2 - 4.3.2 = 12 - 24 = - 12 = (2 3i )2
 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức:

x 1,2 =

2 3 ± 2 3i
2 3 2 3
3
3
=

±
i=
±
i
2.3
6
6
3
3

2
2
2
æ 3ö
æ 3ö
æ 3ö
æ 3 ö÷2
÷
÷
2 6
çç ÷
ç
ç
ç
÷
 Từ đó, x 1 + x 2 = ç ÷
+ çç ÷
+ çç ÷
+ çç=
÷

÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
è3 ø è 3 ø
è 3 ø è 3 ø
3
THEO CHƢƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:
 Mặt cầu (S ) có tâm I Î d nên toạ độ của I (1 + 2t ;2t ; - 1)

3
2


Do (S ) cú bỏn kớnh bng 3 v tip xỳc vi mp(P) nờn d(I ,(P )) = 3
ộ6t + 3 = 9
2(1 + 2t ) + (2t ) - 2(- 1) - 1

= 3 6t + 3 = 9 ờờ

2
2
2
6t + 3 = - 9
2 + 1 + (- 2)
ởờ

Vy, cú 2 mt cu tho món yờu cu bi toỏn l:

ột = 1
ờ
ờt = - 2
ởờ

(S 1 ) : (x - 3)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 9

r
mp(P) cú vtpt n
ng thng D
ng thng D

(S 2 ) : (x + 3)2 + (y + 4)2 + (z + 1)2 = 9
r
= (2;1; - 2) , ng thng d cú vtcp u = (2;2;0)
i qua M(0;1;0)
nm trong (P), vuụng gúc vi d nờn D cú vtcp
ổ1 - 2 - 2 2 2 1 ữ
ử
r
r r
ỗ
ữ
u D = [n , u ] = ỗỗ
;
;
= (4; - 4;2)
ữ

ỗỗố 2
0
0 2 2 2ữ
ữ
ứ

ớù x =
4t
ùù
PTTS ca D : ùỡ y = 1 - 4t (t ẻ Ă )
ùù
2t
ùù z =
ợ

Cõu Vb: Phng trỡnh z 2 + z + 1 = 0 (*) cú bit thc D = 12 - 4.1.1 = - 3 = ( 3i )2

- 1 3i
1
3
= -
i
2
2
2
ị z1 + z 2 = - 1 & z1.z 2 = 1

Suy ra, phng trỡnh (*) cú 2 nghim phc: z 1,2 =

Vy, A =

z + z2
1
1
- 1
+
= 1
=
= - 1 TRNG THPT LNG TH VINH
z1 z 2
z 1.z 2
1



TRƢỜNG THPT LƢƠNG THẾ VINH
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 10
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
-------------------------------------------------------------------------------I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = - x 3 + 3x + 1 có đồ thị là (C )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Vẽ tiếp tuyến đó lên cùng một hệ trục toạ độ với đồ thị (C ) .
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 2 log23 x + log (3x ) - 14 = 0
3

2) Tính tích phân: I =

1

ò0 (2x + 1)e dx
x

3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 - 2x 3 + x 2 trên đoạn [–1;1]
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại
tiếp đáy hình chóp đã cho.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chƣơng trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(- 5;0;1), B (7;4; - 5)
và mặt phẳng (P ) : x + 2y - 2z = 0
1) Viết phương trình mặt cầu (S ) có đường kính AB. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt
cầu đến mặt phẳng (P ) .
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu (S ) đồng thời vuông góc
với mặt phẳng (P ) . Tìm toạ độ giao điểm của d và (P ) .
æ1
Câu Va (1,0 điểm): Tìm môđun của số phức: z = 2 - 3i ççç +
è2

(

)

ö

÷
3i ÷
÷
ø

2. Theo chƣơng trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;6; 4) và đường thẳng

x- 2 y- 1 z
=
=
1
2
1
1) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm là điểm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
d có phương trình d:

Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức


x 2 - (3 + 4i )x + (- 1 + 5i ) = 0
---------- Hết ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: ..................................
.................................

Số
Chữ

báo
ký

của

danh:
giám

thị

2:


BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu I:
 Hàm số y = - x 3 + 3x + 1
 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y ¢= - 3x 2 + 3
 Cho y ¢= 0 Û - 3x 2 + 3 = 0 Û x 2 = 1 Û x = ± 1
 Giới hạn: lim y = + ¥
;
lim y = - ¥
x® - ¥

x® + ¥

 Bảng biến thiên
x –
y¢

+
y

–1
0

–

+

1
0
3

+
–

–1

–

 Hàm số ĐB trên khoảng (–1;1) ; NB trên các khoảng (–;–1), (1;+)
Hàm số đạt cực đại y CÑ = 3 tại x CÑ = 1
đạt cực tiểu y CT = - 1 tại x CT = - 1
 y ¢¢= - 6x = 0 Û x = 0 Þ y = 1 .
Điểm uốn là I(0;1)
 Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = 1
 Bảng giá trị: x
–2
–1

0
1
y
3
–1
1
3
 Đồ thị hàm số như hình vẽ:

y
y = 3x + 1

3

2
–1

1
-2

 y = - x 3 + 3x + 1

-1

O 1 2
-1

 Ta có, x 0 = 0, y 0 = 1
 f ¢(x 0 ) = f ¢(0) = - 3.02 + 3 = 3
 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 1 = 3(x - 0) Û y = 3x + 1

Câu II:
 2 log23 x + log (3x ) - 14 = 0
3

 Điều kiện: x > 0
 Khi đó, 2 log23 x + log (3x ) - 14 = 0 Û 2 log23 x + 2 log3(3x ) - 14 = 0
3

Û

2 log23

x + 2(1 + log3 x ) - 14 = 0 Û 2 log23 x + 2 log3 x - 12 = 0 (*)

 Đặt t = log3 x , phương trình (*) trở thành
ét = - 3
2t 2 + 2t - 12 = 0 Û êê
Û
tê = 2
ë

élog x = - 3
ê 3
êlog x = 2 Û
ëê 3
1
 Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm: x = 9 và x =
27

 Xét I =

1

ò0 (2x + 1)e dx
x

éx = 3- 3
ê
ê
2
êëx = 3

x


ớù u = 2x + 1
ù
t ỡ
ị
ùù dv = e x dx
ợù

ớù du = 2dx
ù
. Thay vo cụng thc tớch phõn tng phn ta c:
ỡ
ùù v = e x
ợù
1

I = (2x + 1)e x 0 -

1

ũ0

2e xdx = 3e - 1 - 2e x

1
0

= 3e - 1 - (2e - 2) = e + 1

Vy, I = e + 1
Tỡm GTLN, GTNN ca hm s y = x 4 - 2x 3 + x 2 trờn on [- 1;1]
Hm s y = x 4 - 2x 3 + x 2 liờn tc trờn on [- 1;1]
y Â= 4x 3 - 6x 2 + 2x = 2x (2x 2 - 3x + 1)
Cho y Â= 0 2x (2x 2 - 3x + 1) = 0 x = 0; x = 1; x =

1
(nhn c 3 giỏ tr ny)
2

f (21 ) =

Ta cú, f (0) = 04 - 2.03 + 02 = 0

4

(21 )

3

- 2. (21 ) +

2

(21 )

=

1
16

f (1) = 14 - 2.13 + 12 = 0
f (- 1) = (- 1)4 - 2.(- 1)3 + (- 1)2 = 4
Trong cỏc s trờn, s 0 nh nht v s 4 ln nht.
Vy, min y = 0 khi x = 0 hoaở
c x = 1, max y = 4 khi x = - 1
[- 1;1]

[- 1;1]

Cõu III
Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD. Do S.ABCD l hỡnh chúp u nờn
SO ^ (A CBD )
Suy ra, OB l hỡnh chiu vuụng gúc ca SB lờn mp(ABCD)
ã
a 2
Do ú, SBO = 600 . Kt hp, r = OB =

ta suy ra:
2

a 2
a 6
ì 3=
2
2
OB
a 2
l = SB =
=
= a 2
cos 600
2 ìcos 600

A

h = SO = OB . t an 600 =

Din tớch xung quanh ca mt nún: S xq

60

B

a 2
= p .r .l = p ì
ìa 2 = pa 2 (vdt)
2

1 2
1 a2 a 6
pa 3 6
p .r .h = p ì ì
=
(vtt)
3
3
2
2
12
THEO CHNG TRèNH CHUN
Cõu IVa: A(- 5;0;1), B (7;4; - 5) v (P ) : x + 2y - 2z = 0
Gi I l trung im AB ta cú I (1;2; - 2)
Mt cu (S ) cú ng kớnh AB, cú tõm I (1;2; - 2)
Th tớch hỡnh nún: V =

V bỏn kớnh R = IA =

S

(1 + 5)2 + (2 - 0)2 + (- 2 - 1)2 = 7

Vy, phng trỡnh mt cu (S ) : (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 49

D
O

C

Khong cỏch t tõm I n mt phng (P ) : x + 2y - 2z = 0 l:
d (I ,(P )) =

1 + 2.2 - 2.(- 2)
2

2

2

=

9

= 3

9

1 + 2 + (- 2)
ng thng d i qua im I (1;2; - 2) , ng thi vuụng gúc vi
r
r
mp (P ) : x + 2y - 2z = 0 nờn cú vtcp u = n P = (1;2; - 2)
ớù x = 1 + t
ùù
PTTS ca d: ùỡ y = 2 + 2t (t ẻ Ă )
ùù
ùù z = - 2 - 2t

ợ
Thay PTTS ca d vo PTTQ ca (P ) : x + 2y - 2z = 0 ta c:
1 + t + 2(2 + 2t ) - 2(- 2 - 2t ) = 0 9t + 9 = 0 t = - 1
Thay t = - 1 vo PTTS ca d ta c to giao im ca d v mp(P) l O (0; 0; 0)
ổ1
ử
1
3
3 3
ữ
= 2 ì + 2 3i i - 3i 2 = 4 i
Cõu Va: z = 2 - 3i ỗỗỗ + 3i ữ
ữ
ố2
ứ
2
2
2

(

)

ổ3 3 ữ
ử2
3 3
27
91
91
ỗỗ

2
ữ
Vy, z = 4 +
iị z = 4 +ỗ
= 16 +
=
=
ữ
ữ
ố
ứ
2
2
4
4
2
THEO CHNG TRèNH NNG CAO
Cõu IVb:
r
ng thng d i qua im M 0 (2;1; 0) v cú vtcp u = (1;2;1)

Gi
l
hỡnh
chiu
v.gúc
ca
A
lờn
d

AÂ
uuur
A Â(2 + t ;1 + 2t ; t ) ị A A Â= (2 + t ;2t - 5; t - 4)
uuur
r
Do A Â l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn d nờn ta cú A A Â ^ u , suy ra
1(2 + t ) + 2(2t - 5) + 1(t - 4) = 0 6t - 12 = 0 t = 2
Thay t = 2 vo to A Â ta c A Â(4;5;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn d.
Mt cu (S ) cú tõm A(0;6; 4) , tip xỳc vi ng thng d nờn i qua A Â(4;5;2)
Do ú, (S ) cú bỏn kớnh R = A A Â=

(4 - 0)2 + (5 - 6)2 + (2 - 4)2 =

thỡ

21

Vy, phng trỡnh mt cu (S ) : x 2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 21
Cõu Vb: x 2 - (3 + 4i )x + (- 1 + 5i ) = 0 (*)

2

Ta

cú,
2

D = (3 + 4i ) - 4.1.(- 1 + 5i ) = 9 + 24i + 16i + 4 - 20i = - 3 + 4i = (1 + 2i )
Vy, phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim phc:
(3 + 4i ) + (1 + 2i ) 4 + 6i

x1 =
=
= 2 + 3i
2
2
(3 + 4i ) - (1 + 2i ) 2 + 2i
x2 =
=
= 1+ i
2
2
TRNG THPT LNG TH VINH

2



TRƢỜNG THPT LƢƠNG THẾ VINH
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 09
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
-------------------------------------------------------------------------------I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = - x 3 + 3x 2 - 1 có đồ thị là (C )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C ) , hãy tìm điều kiện của tham số k để phương trình sau đây có 3
nghiệm phân biệt: x 3 - 3x 2 + k = 0
Câu II (3,0 điểm):

1) Giải bất phương trình: 2 log2 (x – 1) > log2(5 – x ) + 1
2) Tính tích phân: I =

1

ò0 x (x + e

x

)dx

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 2 trên
[- 1;2]
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình lăng trụ tam giác đều A BC .A ¢B ¢C ¢có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện
tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chƣơng trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:
íï x = 2 - 2t
ïï
x- 2 y- 1 z
(d1 ) : ïì y = 3
(d2 ) :
=
=
và
ïï
1
- 1

2
ïï z = t
î
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) vuông góc nhau nhưng không cắt nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 đồng thời song song d2. Từ đó, xác định
khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 đã cho.
Câu Va (1,0 điểm): Tìm môđun của số phức: z = 1 + 4i + (1 - i )3 .
2. Theo chƣơng trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:
íï x = 2 - 2t
ïï
x- 2 y- 1 z
(d1 ) : ïì y = 3
(d2 ) :
=
=
và
ïï
1
- 1
2
ïï z = t
î
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) vuông góc nhau nhưng không cắt nhau.
2) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1 ),(d2 ) .
Câu Vb (1,0 điểm): Tìm nghiệm của phương trình sau đây trên tập số phức:
z = z 2 , trong đó z là số phức liên hợp của số phức z.


---------- Hết ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: ..................................
.................................

Số
Chữ

báo
ký

của

danh:
giám

thị

2:


BI GII CHI TIT.
Cõu I:
Hm s y = - x 3 + 3x 2 - 1
Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= - 3x 2 + 6x
Cho y Â= 0 - 3x 2 + 6x = 0 x = 0 hoac x = 2
Gii hn: lim y = + Ơ

;
lim y = - Ơ
xđ - Ơ

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ
+
y



0
0

+

1

2
0
3

+



Hm s B trờn khong (0;2); NB trờn cỏc khong (;0), (2;+)

Hm s t cc i y Cẹ = 3 ti x Cẹ = 2
t cc tiu y CT = - 1 ti x CT = 0

y
3

y= m-1

Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = - 1
im un: y ÂÂ= - 6x + 6 = 0 x = 1 ị y = 1 .
1
im un l I(1;1)
O
Bng giỏ tr: x
1
0
1
2
3
-1
1 2 3 x
y
3
1
1
3
1
-1
th hm s nh hỡnh v:
x 3 - 3x 2 + k = 0 x 3 - 3x 2 = - k - x 3 + 3x 2 = k - x 3 + 3x 2 - 1 = k - 1

(*)
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d: y = k 1
(*) cú 3 nghim phõn bit - 1 < k - 1 < 3 0 < k < 4
Vy, phng trỡnh ó cho cú 4 nghim phõn bit 0 < k < 4
Cõu II:
2 log2 (x 1) > log2(5 x ) + 1

ớù x - 1 > 0
ớù x > 1
iu kin: ùỡ
ùỡ
1 < x < 5 (1)
ùù 5 - x > 0
ùù x < 5
ợ
ợ
Khi ú, 2 log2(x 1) > log2(5 x ) + 1 log2(x 1)2 > log2[2.(5 x )]
ộx < - 3
(x - 1)2 > 2(5 - x ) x 2 - 2x + 1 > 10 - 2x x 2 - 9 > 0 ờờ
ờởx > 3
i chiu vi iu kin (1) ta nhn: 3 < x < 5
Vy, tp nghim ca bt phng trỡnh l: S = (3;5)
Xột I =

1

ũ0 x (x + e

x

)dx


ớù du = dx
ùù
ùớù u = x
2
t ỡ
. Thay vo cụng thc tớch phõn tng phn ta
ị
ỡ
ùù dv = (x + e x )dx
ùù v = x + e x
ùợ
ùùợ
2
c:
1

1

x2
I = ũ x (x + e )dx = x ( + e x ) 2
0
0

1

x2

1
x3
x
(
+
e
)
dx
=
+
e
(
+ ex )
ũ0 2
2
6
0
1
1
4
= + e - ( + e ) + (0 + 1) =
2
6
3
3
2
Tỡm GTLN, GTNN ca hm s y = 2x + 3x - 12x + 2 trờn on [- 1;2]
x

1

Hm s y = 2x 3 + 3x 2 - 12x + 2 liờn tc trờn on [- 1;2]
y Â= 6x 2 + 6x - 12

ộx = - 2 ẽ [- 1;2] (loai)
Cho y Â= 0 6x 2 + 6x - 12 = 0 ờờ
ờởx = 1 ẻ [- 1;2] (nhan)
Ta cú, f (1) = 2.13 + 3.12 - 12.1 + 2 = - 5
f (- 1) = 2.(- 1)3 + 3.(- 1)2 - 12.(- 1) + 2 = 15
f (2) = 2.23 + 3.22 - 12.2 + 2 = 6
Trong cỏc s trờn s - 5 nh nht, s 15 ln nht.
Vy, min y = - 5 khi x = 2, max y = 15 khi x = - 1
[- 1;2]

[- 1;2]

Cõu III
Gi O,O Â ln lt l trng tõm ca hai ỏy ABC v A ÂB ÂC Â
thỡ OO Âvuụng gúc vi hai mt ỏy. Do ú, nu gi I l trung
im OO Â thỡ
IA Â= IB Â= IC Â v IA = IB = IC
Ta cú, OA = O ÂA Â=

2
2 a 3 a 3
AM = ì
=
3
3 2
3

A'

O'
M'
C'
I

A

2
C
ử
2
2
ổa ữ
ử2 ổ
a
3
ữ
a
a
a
21
ỗ
ữ
V IA = OI + OA = ỗỗỗ ữ
ữ
ữ + ốỗỗ 3 ứ
ữ = 4 + 3 = 6 = IA Â

ố2 ứ
Suy ra, I l tõm mt cu ngoi tip lng tr v IA l bỏn kớnh ca nú
7a 2
7 pa 2
Din tớch mt cu l: S = 4p R 2 = 4p ì
(vdt)
=
12
3
THEO CHNG TRèNH CHUN
Cõu IVa:
r
d1 i qua im M 1(2; 3; 0) , cú vtcp u1 = (- 2; 0;1)
r
d2 i qua im M 2 (2;1; 0) , cú vtcp u2 = (1; - 1;2)
r r
r
r
Ta cú, u1.u2 = - 2.1 + 0.(- 1) + 1.2 = 0 ị u1 ^ u2 ị d1 ^ d2
2

2

B'

O M

B

ổ 0 1 1 - 2 - 2
0ử
ữ
ỗỗ
ữ
= (1;5;2)
ữ
ỗỗ - 1 2 ; 2
ữ
1
1
1
ữ
ỗố
ứ
uuuuuur
r r uuuuuur
M 1M 2 = (0; - 2; 0)
ị [u1, u2 ].M 1M 2 = - 10 ạ 0
Vy, d1 vuụng gúc vi d2 nhng khụng ct d2
Mt phng (P) cha d1 nờn i qua M 1(2; 3; 0) v song song d2
r r
[u1, u 2 ] =

im trờn mp(P): M 1(2; 3; 0)
r
r r
vtpt ca mp(P): n = [u1, u2 ] = (1;5;2)
PTTQ ca mp(P): 1(x - 2) + 5(y - 3) + 2(z - 0) = 0
x + 5y + 2z - 17 = 0

Khong cỏch gia d1 v d2 bng khong cỏch t M2 n mp(P), bng:

d (M 2,(P )) =

2 + 5.1 + 2.0 - 17
12 + 52 + 22

=

10

=

30

30
3

Cõu Va: z = 1 + 4i + (1 - i )3 = 1 + 4i + 1 - 3i + 3i 2 - i 3 = - 1 + 2i
Vy, z = - 1 + 2i ị z = (- 1)2 + 22 = 5
THEO CHNG TRèNH NNG CAO
Cõu IVb: A(1;1;1), B (2; - 1;3), D(5;2;0), A Â(- 1;3;1)
Hon ton ging cõu IVa.1 (phn dnh cho CT chun): ngh xem bi gii trờn.
ớù x = 2 - 2t
ùù
x- 2 y- 1 z
(d2 ) :
=
=
(d1 ) : ùỡ y = 3

v
ùù
1
- 1
2
ùù z = t
ợ
r
d1 i qua im M 1(2; 3; 0) , cú vtcp u1 = (- 2; 0;1)
r
d2 i qua im M 2 (2;1; 0) , cú vtcp u1 = (1; - 1;2)

A ẻ d1, B ẻ d2
uuur
A(2 - 2a; 3;a ), B (2 + b;1 - b;2b) ị A B = (b + 2a; - 2 - b;2b - a )
AB l ng vuụng gúc chung ca d1 v d2 khi v ch khi
uuur r
ùớù A B .u 1 = 0
ùớ - 2(b + 2a ) + 0 + 1(2b - a ) = 0
ùớ - 5a = 0
ùỡ uuur r
ỡù
ỡù

ùù A B .u 2 = 0
ùù 1(b + 2a ) - 1(- 2 - b) + 2(2b - a ) = 0
ùù 6b + 2 = 0
ợ
ợ
ùợ

ng vuụng gúc chung ca d1 v d2 i qua A(2;3;0)
uuur
r
1 5 2
v cú vtcp A B = (- ; - ; - ) hay u = (1;5;2)
3 3 3
x- 2 y- 3 z
=
=
Vy, PTCT cn tỡm:
1
5
2
2
Cõu Vb: z = z (*)
Gi s z = a + bi ị z = a - bi . Thay vo phng trỡnh (*)ta c:


Ly

thỡ

ớù a = 0
ùù
ỡ
ùù b = - 1
3
ợù

a - bi = (a + bi )2 Û a - bi = a 2 + 2abi + b2i 2 Û a - bi = a 2 - b2 + 2abi
íï a = a 2 - b2
íï a = a 2 - b2
íï a = a 2 - b2
íï a = a 2 - b2
ï
ï
ï
ï
Û ì
Û ì
Û ì
Û ì
ïï - b = 2ab
ïï 2ab + b = 0
ïï b(2a + 1) = 0
ïï b = 0 hoac a = - 1
2
îï
îï
îï
îï
 Với b = 0, ta được a = a 2 Û a 2 - a = 0 Û a = 0 hoac a = 1
1 1
3
3
1
, ta được - = - b2 Û b2 = Û b = ±
2 4
4

2
2
Vậy,
các
nghiệm
phức
cần

 Với a = 

1
3
1
3
+
i , z4 = - i
2
2
2
2
TRƢỜNG THPT LƢƠNG THẾ VINH

z1 = 0 , z 2 = 1 , z 3 = -

tìm

là:

TRƢỜNG THPT LƢƠNG THẾ VINH
THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP
Đề số 05

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

-------------------------------------------------------------------------------I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = x 2 (4 - x 2 )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2) Tìm điều kiện của tham số b để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt:

x 4 - 4x 2 + log b = 0
3) Tìm toạ độ của điểm A thuộc (C ) biết tiếp tuyến tại A song song với
d : y = 16x + 2011

Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: log2 (x - 3) + log2(x - 1) = 3
2) Tính tích phân:

I =

p
2
p
3

ò

sin x
dx
1 + 2 cos x

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = e x + 4e - x + 3x trên đoạn [1;2]
Câu III (1,0 điểm):
Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau, SB =SC = 2cm,
SA = 4cm. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, từ đó tính diện
tích của mặt cầu đó.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chƣơng trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho điểm A(- 3;2; - 3) và hai đường thẳng
x- 1 y+2 z- 3
x- 3 y- 1 z- 5
d1 :
=
=
=
=
và d2 :
1
1
- 1
1
2
3
1) Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 . Tính khoảng cách từ A đến mp(P).

Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:

y = x 2 + x - 1 và y = x 4 + x - 1
2. Theo chƣơng trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x- 1 y+2 z- 3
x
y- 1 z- 6
d1 :
=
=
=
và d2 : =
1
1
- 1
1
2
3
1) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.


2) Viết phương trình mp(P) chứa d1 và song song với d2 . Tính khoảng cách giữa d1 và

d2
Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:

y=

2x , x + y = 4 và trục hoành

......... Hết ..........
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: ..................................
.................................

Số
Chữ

báo
ký

của

danh:
giám

thị

2:


BI GII CHI TIT.
Cõu I:
y = x 2 (4 - x 2 ) = - x 4 + 4x 2
Tp xỏc nh: D = Ă
o hm: y Â= - 4x 3 + 8x
Cho

ộ4x = 0
3
2
Â
y = 0 - 4x + 8x = 0 4x (- x + 2) = 0 ờờ 2

ờở- x + 2 = 0
Gii hn: lim y = - Ơ
;
lim y = - Ơ
xđ - Ơ

ộx = 0
ờ
ờx 2 = 2
ờở

ộx = 0
ờ
ờ
ờởx = 2

xđ + Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ
y

+

2
0
4



0
0

2
+

0
4

0

Hm s B trờn cỏc khong (- Ơ ; -

(-



+



2),(0; 2) , NB trờn cỏc khong

2;0),( 2; + Ơ )
Hm s t cc i yC = 4 ti x Cẹ = 2 ,

t cc tiu yCT = 0 ti x CT = 0 .
Giao im vi trc honh:
ộx 2 = 0
ộx = 0
cho y = 0 - x 4 + 4x 2 = 0 ờờ 2
ờờ
ờởx = 4
ờởx = 2
Giao im vi trc tung: cho x = 0 ị y = 0

y
4

Bng giỏ tr: x
0
2
2
- 2 - 2
-2 - 2
O
y
0
0
0
4
0

th hm s nh hỡnh v bờn õy:
x 4 - 4x 2 + log b = 0 - x 4 + 4x 2 = log b (*)
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d: y = logb
Da vo th, (C) ct d ti 4 im phõn bit khi v ch khi

y = logm

2

2x

0 < log b < 4 1 < b < 104
Vy, phng trỡnh (*) cú 4 nghim phõn bit khi v ch khi 1 < b < 104
Gi s A (x 0 ; y 0 ) . Do tip tuyn ti A song song vi d : y = 16x + 2011 nờn nú cú h
s gúc
f Â(x 0 ) = 16 - 4x 03 + 8x 0 = 16 4x 03 - 8x 0 + 16 = 0 x 0 = - 2
x0 = - 2 ị y0 = 0
Vy, A(- 2; 0)
Cõu II: