Tổng hợp đề thi lớp 11 học kì 2 môn toán năm 2013 (Phần 5)

Bài 1: Tính giới hạn:
a)lim

3n1  4n
4n1  3

b)lim

x+1  2
x2  9

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số
 x2  9

f ( x)   x  3
1


khi x  3

tại xo = 3

khi x =  3

Bài 3: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)y  (2x  1) 2x  x2
b) y  x2 .cos x
x 1
Bài 4: Cho hàm số y 
có đồ thị (H).
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2;3).
1
8

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến với đường thẳng y   x  5 .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vng cạnh a, SA=a, SA vng góc với (ABCD).
Gọi I, K là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh: Các mặt bên hình chóp là các tam giác vng.
b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK).
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
---------------------HẾT--------------------


ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 22
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x3

x3 x2  2x  15

b) lim

x1

x32
x 1

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
 x2  x  2

khi x  1
f ( x)   x  1

khi x  1
a  1
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  ( x2  x)(5  3x2 )

b) y  sin x  2x

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a và SA  (ABCD).
a) Chứng minh BD  SC.
b) Chứng minh (SAB)  (SBC).
c) Cho SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
3

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
x5  x2  2x  1  0

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  2x3  x2  5x  7 có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
2y  6  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x0  1 .
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
4x4  2x2  x  3  0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  x2 ( x  1) có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
y  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  5x .

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 22

CÂU
1

Ý
a)

NỘI DUNG
lim

x3

x3 x2  2x  15

x3
x3 ( x  3)( x  5)

 lim

0,50

 lim

1
1

x5 8

0,50

lim

x32
x 1
 lim
x1 ( x  1)  x  1  1
x 1

0,50

x3

b)
x1

1

 lim



1
4

x32
f(–1) = a +1
( x  1)( x  2)
lim f ( x)  lim
 lim( x  2)  3
x1
x1
x1
x 1
f(x) liên tục tại x = –1  lim f ( x)  f (1)  a  1  3  a  4
x1

2

x1

3

a)

b)
4

ĐIỂM

0,50
0,25
0,50
0,25

y  ( x2  x)(5  3x2 )  y  3x4  3x3  5x2  5x

0,50

 y '  12x3  9x2  10x  5

0,50

y  sin x  2x  y ' 

a)

cos x  2

2 sin x  2x

0,50

S

0,25
B
A
O
D

b)

c)

C

ABCD là hình vng nên AC  BD
(1)
SA  (ABCD)  SA  BD
(2)
Từ (1) và (2)  BD  (SAC)  BD  SC
BC  AB (ABCD là hình vng)
(3)
SA  (ABCD)  SA  BC
(4)
Từ (3) và (4)  BC  (SAB)
 (SAB)  (SBC)
SA  (ABCD)  hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC

Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là SCA

5a

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

a 6
SA
3
 tan  SC,( ABCD)   tan SCA 
 3 
AC a 2
3

0,25

 SCA  300

0,25

Đặt f ( x)  x5  x2  2x  1  f ( x) liên tục trên R.

0,25

2


6a

a)

b)

5b

6b

a)

b)

f(0) = –1, f(2) = 23  f(0).f(1) < 0
 f ( x)  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

0,50
0,25

y  2x3  x2  5x  7  y  6x2  2x  5

0,25

BPT 2y  6  0  12x2  4x  16  0  3x2  x  4  0

0,25


4
 x   1; 
3


0,50

y  2x3  x2  5x  7
x0  1  y0  9

0,25

 y (1)  3
 PTTT: y  3x  12

0,25

Đặt f ( x)  4x4  2x2  x  3  f ( x) liên tục trên R.

0,25

0,50

f (1)  4, f (0)  3 f (1). f (0)  0  PT có ít nhất 1 nghiệm c1  (1; 0)

0,25

f (0)  3, f (1)  2  f (0). f (1)  0  PT có ít nhất 1 nghiệm c2  (0;1)

0,25

c1  c2  PT có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng (–1; 1)

0,25

y  x2 ( x  1)  y  x3  x2  y '  3x2  2x

0,25

BPT y '  0  3x2  2x  0

0,25

 2 
 x    ; 0
 3 
Vì tiếp tuyến song song với d: y  5x nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5

0,50
0,25

Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
 x0  1
y '( x0 )  5  3x  2x0  5  3x  2x0  5  0  
x   5
 0

3
Với x0  1  y0  2  PTTT: y  5x  3
2
0

2
0

5
50
175
Với x0    y0  
 PTTT: y  5x 
3
27
27

3

0,25

0,25
0,25


Câu 1: Tìm các giới hạn sau:

2n 3 + 3n + 1

x + 1- 1

x® 0
x
n + 2n + 1
Câu 2: Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
ìï x 2 - x
ïï
khi x ¹ 1
f (x) = ïí x - 1
ïï
ïïỵ mx + 2m 2
khi x = 1
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a). lim

3

2

a). y = x 2 .cos x

b). lim

b). y = (x - 2) x 2 + 1

x2 + 2
d). y = 2sin 3x + 4cos2 x
2x - 1
Câu 4: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng
(ABC)
tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.

a). Chứng minh rằng AI  (MBC).
b). Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c). Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
c). y =

Câu 5: Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm: x3 - 19x - 30 = 0
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) = x3 + x 2 + x - 5 .
a). Giải bất phương trình: y¢ £ 6 .
b). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6.
--------------------Hết-------------------


I. Phần chung:
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a). lim

x® 2

x 2 - 3x + 2

b).

3

x - 2x - 4

lim

x® + ¥

(

x 2 + 2x - 1 - x )

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 = 1 :

ìï 2x 2 - 3x + 1
ïï
khi x ¹ 1
f (x) = í
2x
2
ïï
khi x = 1
ïïỵ 2
Câu 3:
1). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a). y = (x3 + 2)(x + 1)
c). y =

3 - 2x

x2 + 1
2). Tính vi phân của hàm số sau:

b). y = 3sin 2 x.sin 3x
d). y = - 2x 3 +

3 2
x - 5x + 1

4

- 2x 2 + 3
a). y = 2cot (3x + 1)
b). y =
x+ 1
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA vng góc với
đáy.
a). Chứng minh tam giác SBC vuông.
b). Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC)  (SBH).
c). Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
2

Câu 5: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a+ 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng phương
trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1): ax 2 + bx + c = 0
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) = 4x 2 - x 4 có đồ thị (C).
a). Giải phương trình: f ¢(x) £ 0 .
b). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao của đồ thị và trục hồnh, tính góc
giữa các cặp tiếp tuyến đó.
--------------------Hết-------------------


I. Phần chung:
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
2

a). lim

3x - 2 x - 1

b). lim

3

x® 1

x - 1

x® 3

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm

-

x+ 3
x- 3
x0 = 2 :

ìï 2 x 2 - 3 x - 2
ï
khi x ¹ 2
ï
ï
2x - 4
f ( x ) = ïí
ï 3
ï
khi x = 2
ï
ïï 2

ỵ

Câu 3:
1). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2x - 3

b). y = (1 + cot x ) 2

a).

y=

c).

y = ( 2 x - 1) x + 1

x- 2

d). y = cos3(3x – 1)

2

2). Tinh đạo hàm cấp 2 các hàm số:
a). y = cos(3x2 + 2x + 1)3
b). y = tan2(2x – 1)
c). y = 2 x 2 + 3 x + 7
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góc với nhau. Gọi H là chân
đường cao vẽ từ A của tam giác ACD.
a). Chứng minh: CD  BH.
b). Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK  (BCD).

c). Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
Câu 5: CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng (- 1; 2 ) :
2

2

3

(m + 1) x - x - 1 = 0

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) = ( x 2 - 1)( x + 1) có đồ thị (C).
a). Giải bất phương trình: f ¢( x ) ³ 0 .
b). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
--------------------Hết-------------------


Câu 1: Tìm các giới hạn sau:

x 2 - 4x + 3
b). lim ( x 2 + 1 + x - 1)
xđ 3
xđ - Ơ
x- 3
Cõu 2: Xột tớnh liờn tục của hàm số sau tại điểm x 0 = 1 :
a). lim

ìï x³ - x² + 2x - 2
ï
khi x ạ 1
f (x) = ùớ

x- 1
ùù
khi x = 1
ùợ 4
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a). y = tan 4x - cos x

b). y = (

x

2

10

+ 1 + x)

2x 2 - 3x
c). y = 3x - 2x + 5
d). y =
x+ 1
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a; SA  (ABCD), SA = a 2 .
Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a). Chứng minh rằng MN // BD và SC  (AMN).
b). Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo
vng góc.
c). Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD).
2

Câu 5: Chứng minh phương trình: x3 - 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 6:

x- 3
. Chứng minh rằng: 2y¢2 = (y - 1)y¢¢.
x+ 4
3x + 1
b). Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
1- x
vng góc với đường thẳng d: 2x + 2y - 5 = 0 .
--------------------Hết------------------a). Cho hàm số y =


Câu 1: Tìm các giới hạn sau:

2x 3 + 3x 2 - 1
a). lim
b). lim ( x 2 + x + 1 - x )
xđ + Ơ
xđ - 1
x+ 1
Cõu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 = 2 :

ìï 2(x - 2)
ï
khi x ¹ 2
f (x) = ïí x² - 3x + 2
ïï
khi x = 2
ïỵ 2

Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2x 2 - 1
a). y =
x- 2

(

b). y = cos 1- 2x 2

)

c). y = sin 3 3x 2 + 2x - 5

d). y = -

2 6 3 4
3
x + x - 2x 2 +
3
2
x

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 .
Gọi I là trung điểm của SO.
a). Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
b). Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
c). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
Câu 5: Chứng minh rằng phương trình: x17 = x11 + 1 có nghiệm.
Câu 6:
a). Cho hàm số y = cot 2x . Chứng minh rằng: y¢+ 2y2 + 2 = 0 .

3x + 1
có đồ thị (C).
1- x
+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng 3.
--------------------Hết-------------------

b). Cho hàm số y =


Câu 1: Tìm các giới hạn sau:

(x - 2)3 + 8
a). lim
xđ 0
x

b).

lim

xđ + Ơ

(

x + 1-

x)

Cõu 2: Xột tớnh liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 = 1 :

ìï 3x² - 2x - 1
ï
khi x > 1
f (x) = ïí
x- 1
ïï
khi x £ 1
ïỵ 2x + 3
Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x- 1
a). y =
2x + 1

x2 + x - 2
b). y =
2x + 1

c). y = 3sin (3x + 1)- tan 2 x

d). y = 3x 2 + 2 2x 3 - x

(

)(

)

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA  (ABC),
SA = a 3 .
a). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC  (SAM).
b). Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Câu 5:
CMR phương trình sau ln có nghiệm với mọi m: (m2 + m + 1)x 4 + 2x - 2 = 0
Câu 6:
a). Cho hàm số y = x.cos x . Chứng minh rằng: 2(cos x - y¢) + x(y¢¢+ y) = 0 .
b). Cho hàm số y = x3 - 3x 2 có đồ thị (C).
+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –2).
+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của đồ thị với trục hoành.
--------------------Hết-------------------


Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a). lim

2n 3 + n 2 + 4
2 - 3n

b). lim

3

x ® 1+

2x - 3
x- 1

Câu 2: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0:
khi x < 0
ïì x + 2a
f (x) = ïí 2
ïï x + x + 1 khi x ³ 0
ỵ
Câu 3:
1). Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a). y = (4x 2 + 2x)(3x - 7x 5 )
b). y = (2 + sin 2 2x)3
2). Tính đạo hàm cấp hai của hàm số.
a). y = (4x – 1)(2x3 + x – 1)
b). y = sin32x
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và
SC.
a). Chứng minh AC  SD.
b). Chứng minh MN  (SBD).
c). Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
Câu 5a: CMRphương trình sau ln có nghiệm với mọi m:

m(x - 1)3 (x + 2) + 2x + 3 = 0
Câu 6: Cho hàm số y = x 2 (x + 1) có đồ thị (C).
a). Giải bất phương trình: y¢ £ 0 .
b). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến // với đường thẳng d:
y = 5x .
--------------------Hết-------------------


Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a). lim

x- 3

x® 3 x 2 +

b). lim

x® 1
2x - 15
Câu 2: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
ìï x 2 - x - 2
ïï
khi x ¹ - 1
f (x) = í x + 1
ïï
khi x = 1
ïïỵ a + 1
Câu 3:
1). Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x+ 3- 2
x- 1

a). y = (x 2 + x)(5 - 3x2 )
b). y = sin x + 2x
2). Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:
2x + 1
a). y =
b). y = 3cos (x + 1)- 2sin 2x
x- 2

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a và SA 
(ABCD).
a). Chứng minh BD  SC.
b). Chứng minh (SAB)  (SBC).
c). Cho SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
3

Câu 5: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0
Câu 6: Cho hàm số y = - 2x3 + x 2 + 5x - 7 có đồ thị (C).
a). Giải bất phương trình: 2y¢+ 6 > 0 .
b). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x 0 = - 1.
--------------------Hết-------------------