Tổng hợp đề thi lớp 11 học kì 2 môn toán năm 2013 (Phần 4)

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 35
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x3

b) lim

x3 x2  2x  3

x2

x2  5  3
x2

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2:
 x2  7x  10

khi x  2 .
f ( x)  
x2

khi x  2
4  a
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

 2 x2  1 

b) y  

 x2  3 



a) y  ( x2  1)( x3  2)

4

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại C, CA = a,
CB = b, mặt bên AABB là hình vng. Từ C kẻ CH  AB, HK // AB (H  AB, K  AA).
a) Chứng minh rằng: BC  CK, AB  (CHK).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AABB) và (CHK).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn:

lim

1 2  22  ...  2n
1 3  32  ...  3n

.

Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y  sin(sin x) . Tính:

y ( ) .

b) Cho (C): y  x3  3x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục
hồnh.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập
thành một cấp số cộng, với: x  a2  bc , y  b2  ca , z  c2  ab .
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y  x.sin x . Chứng minh rằng: xy  2( y  sin x)  xy  0 .
b) Cho (C): y  x3  3x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vng góc với

1
đường thẳng d: y =  x  1 .
3
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 35
Câu
1

Ý
a)

Nội dung

x3

lim

x3 x2  2x  3

x3
x3 ( x  3)( x  1)

 lim

0.50

1
1

x3 x  1 4

 lim
b)
lim

x2

0.50

x2  5  3
 lim
x2

x2

 lim

x2

x2
x2  5  36



( x  2)( x  2)

( x  2) 

x

2

 5  3

4
2

6
3

0.50

0.50

 x2  7x  10

khi x  2
f ( x)  
x2

khi x  2
4  a
x2  7x  10
( x  2)( x  5)
lim f ( x)  lim
 lim
 lim( x  5)  3
x 2
x 2
x 2
x 2
x2
x2
f(2) = 4 – a
f ( x) liên tục tại x = 2  lim f ( x)  f (2)  4  a  3  a  7

2

Điểm

x2

0,50

0,50

Kết luận với a = 7 thì hàm số liên tục tại x = 2.
3

a)

b)

y  ( x2  1)( x3  2)  y  x5  x3  2x2  2

0,50

 y '  5x4  3x2  4x

0,50

4

3

 2x2  1 
 2x2  1  14x
y
  y '  4

 x2  3 
 x2  3  ( x2  3)2





 y' 

56x(2x2  1)3

0,50

0,50

( x2  3)5

4

0,25

a)

b)

Chứng minh rằng: BC  CK, AB  (CHK).
BC  AC, BC  AA  BC  (AACC)  BC  CK

AB  AB, KH A' B  KH  AB ',CH  AB '  AB '  (CHK )
Tính góc giữa hai mặt phẳng (AABB) và (CHK).
2

0,25
0,50

0,50


Có AB '  (CHK ), AB '  ( AA' B ' B)  ( AA' B ' B)  (CHK )
c)

5a

(( AA' B ' B),(CHK ))  900
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).
Ta đ có AB '  (CHK )(cmt ) tại H nên d( A,(CHK ))  AH
AC  BC(gt ),CC '  AC(gt : lt )  AC  (CC ' B ' B)  AC  CB '

0,50

AB  AC2  BC2  a2  b2 , AB '  AB 2  2a2  2b2

0,25

Trong ACB vuông tại C: CH  AB  AC2  AH .AB
AC2
a2
a2
 AH 


AB '
AB 2
2(a2  b2 )

0,25

2n1  1
1  2  22  ...  2n
2 1 
lim
 lim
2
n
n1
1  3  3  ...  3
3 1
1.
31

0,50

0,25
0,25

1.

n1

6a

a)

b)

 2
2
2.   
n1
3
2.2  2
3n1  0
lim
 lim  
1
3n1  1
1
n1
3
Cho hàm số y  sin(sin x) . Tính:
y ( ) .
y '  cos x.cos(sin x)  y"   sin x.cos(sin x)  cosx.cosx sin(sin x)

0,50

 y"   sin x.cos(sin x)  cos2 x.sin(sin x)  y"( )  0

0,50

Cho (C): y  x3  3x2  2 .

y  3x2  6x . Giao của ( C) với trục Ox là A(1; 0), B 1 3; 0 ,C 1 3; 0
Tiếp tuyến tại A(1; 0) có hệ số góc là k = –3 nên PTTT: y  3x  3
Tiếp tuyến tại B 1 3; 0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y  6x  6  6 3

Tiếp tuyến tại C 1 3; 0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y  6x  6  6 3
CMR nếu ba số a, b, c lập thành CSC thì ba số x, y, z cũng lập thành CSC,

5b

với: x  a2  bc , y  b2  ca , z  c2  ab .
a, b, c là cấp số cộng nên a  c  2b
Ta có 2y = 2b2  2ca, x  z  a2  c2  b(a  c)
6b

a)

b)

0,50

0,25
0,25
0,25
0,25

0,50

 x  z  (a  c)2  2ac  2b2  4b2  2ac  2b2  2b2  2ac  2y (đpcm)

0,50

Cho hàm số y  x.sin x . Chứng minh rằng: xy  2( y  sin x)  xy  0 .
Ta có y '  sin x  x cos x  y"  cos x  cosx  x sin x  2cos x  y

0,50

 xy  2( y  sin x)  xy  xy  2(sin x  x cos x  sin x)  x(2cos x  y)
0
1
Cho (C): y  x3  3x2  2 , d: y =  x  1 .
3
1
Vì tiếp tuyến vng góc với d: y =  x  1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3
3
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.

0,25
0,25
0,25

 y ( x0 )  3  3x02  6x0  3  0  x0  1 2; x0  1 2

0,25

Với x0  1 2  y0  2  PTTT : y  3x  4 2  3

0,25

3


Với x0  1 2  y0   2  PTTT : y  3x  4 2  3

4

0,25


ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 26
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
( x  2)3  8
x0
x

b) lim

a) lim

x



x 1  x 

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  1:
 3x²  2x  1

f ( x)  
x 1


2 x  3

khi x  1
khi x  1

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y 

x 1
2x  1

b) y 

x2  x  2
2x  1

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA  (ABC), SA =
a 3.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC  (SAM).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: 2x4  4x2  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm thuộc –1; 1.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y 

x3
. Tính y .

x4

b) Cho hàm số y  x3  3x2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –2).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: x3  3x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y  x.cos x . Chứng minh rằng: 2(cos x  y )  x( y  y)  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  f ( x)  2x3  3x  1 tại giao điểm của
(C) với trục tung.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 26

Câu
1

Ý
a)

Nội dung

Điểm

( x  2)3  8
x3  6x2  12x
lim
 lim
x0
x0
x
x

0,50

 lim( x2  6x  12)  12

0,50

x0

b)

lim

x



x  1  x   lim

x

1

0,50

x 1  x

=0
f (1)  5

2

0,50

lim f ( x)  lim

x1

x1

3x²  2x  1
 lim(3
x  1)  4
x1
x 1

lim f ( x)  lim(2
x  3)  5


x1

x1

(1)

0,25

(2)

0,25

(3)

0,25

Từ (1), (2), (3)  hàm số không liên tục tại x = 1
3

a)
b)

0,25

y

x 1
3
 y' 
2x  1
(2x  102

0,50

y

x2  x  2
2 x2  2 x  5
 y' 
2x  1
(2x  1)2

0,50

4

0,25

a)

b)

Tam giác ABC đều, M  BC, MB  MC  AM  BC

(1)

0,25

SAC  SAB  c.g.c  SBC cân tại S  SM  BC

(2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra BC  (SAM)

0,25

(SBC)  (ABC) = BC, SM  BC  cmt  , AM  BC

0,50

 ((SBC),( ABC))  SMA

0,25

a 3
SA
, SA  a 3  gt   tan SMA 
2
2
AM
Vì BC  (SAM)  (SBC)  (SAM)
(SBC)  (SAM )  SM, AH  (SAM ), AH  SM  AH  (SBC)
AM =

c)

2

0,25
0,25

0,25


 d( A,(SBC))  AH ,

0,25

3a2
1
1
1
SA .AM
4 a 3
 2
 AH 2  2
 AH 
2
2
2
5
AH
SA AM
SA  AM
3a2
2
3a 
4

0,25

Gọi f ( x)  2x4  4x2  x  3  f ( x) liên tục trên R

0,25

f(–1) = 2, f(0) = –3  f(–1).f(0) < 0  PT f ( x)  0 có ít nhất 1 nghiệm c1  (1; 0)

0,25

f(0) = –3, f(1) = 4  f (0). f (1)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất 1 nghiệm c2  (0;1)

0,25

Mà c1  c2  PT f ( x)  0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng (1;1) .

0,25

2

5a

6a

a)

y

5b

6b

3a2 .

x3
7
 y' 
x4
( x  4)2

 y" 
b)

2

0,50

14

0,50

( x  4)3

y  x3  3x2  y '  3x2  6x  k  f (1)  3

0,50

x0  1, y0  2, k  3  PTTT : y  3x  1

0,50

x3  3x  1  0 (*). Gọi f ( x)  x3  3x  1  f ( x) liên tục trên R

a)

b)

f(–2) = –1, f(0) = 1  f (2). f (0)  0  c1  (2; 0) là một nghiệm của (*)

0,25

f(0) = 1, f(1) = –1  f (0). f (1)  0  c2  (0;1) là một nghiệm của (*)

0,25

f (1)  1, f (2)  3  f (1). f (2)  0  c3  (1;2) là một nghiệm của (*)

0,25

Dễ thấy c1, c2 , c3 phân biệt nên PT (*) có ba nghiệm phân biệt

0,25

y  x.cos x  y '  cos x  x sin x  y"   sinx  sinx  x cosx  y"   x cosx

0,50

2(cos x  y )  x( y  y)  2(cos x  cos x  x sin x)  x(2sin x  x cos x  x cos x) 

0,25

 2x sin x  2x sin x  0

Giao điểm của ( C ) với Oy là A(0; 1)

0,25
0,25

y  f ( x)  2x3  3x  1  y '  f ( x)  6x2  3

0,25

k  f (0)  3

0,25

Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(0; 1) là y  3x  1

0,25

3


ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 25
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x2  3x  2

b) lim

x2 x3  2x  4

x



x2  2x  1  x



Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  1:

 2x2  3x  1

khi x  1
f ( x)   2x  2

khi x  1
2
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  ( x3  2)( x  1)

b) y  3sin2 x.sin3x

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA vng góc với đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vng.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC)  (SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:

(9  5m) x5  (m2  1) x4  1  0
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x)  4x2  x4 có đồ thị (C).
a) Giải phương trình:
f ( x)  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a  3b  6c  0 . Chứng minh rằng phương trình
sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1):
ax2  bx  c  0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x)  4x2  x4 có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
f ( x)  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 25

Câu

1

Nội dung

Ý
a)

lim

x2  3x  2

x2 x3  2x  4

= lim
x 2

b)

lim

x

( x  1)( x  2)

 lim

x2 ( x  2)( x2  2x  2)

x 1
1


x  2x  2 10

0,50
0,50

2



Điểm



x2  2x  1  x  lim

x

2x  1
x2  2x  1  x

1
x
=
1
2 1
1  2  1
x x
f(1) = 2
2x2  3x  1

( x  1)(2x  1)
2x  1 1
= lim
=
lim f ( x)  lim
 lim
x1
x1
x1
x1
2
2( x  1)
2( x  1)
2
Kết luận hàm số liên tục tại x = 1

0,50

2

2

a)

3

b)

0,50
0,25

0,50

y  ( x3  2)( x  1)  y  x4  x3  2x  2

0,25
0,50

 y '  4x3  3x2  2

0,50

y  3sin2 x.sin3x  y '  6sin x cos x.sin3x  6sin2 x.cos3x
 6sin x(cos x sin3x  sin x cos3x)  5sin x sin4x

0,50
0,50

4

0,25

a)
b)
c)

SA  (ABC)  BC  SA, BC  AB (gt) BC  (SAB)  BC  SB
Vậy tam giác SBC vuông tại B
SA  (ABC)  BH  SA, mặt khác BH  AC (gt) nên BH  (SAC)
BH  (SBH)  (SBH)  (SAC)
Từ câu b) ta có BH  (SAC)  d(B,(SAC))  BH

0,50

1
1
1


BH 2 AB2 BC2

BH 2 
5a

0,50
0,25
0,50
0,50

AB2 BC2
2
10
  BH 
2
2
5
5
AB  BC

0,50

Gọi f ( x)  (9  5m) x5  (m2  1) x4  1  f ( x) liên tục trên R.
2

0,25


2

6a

a)


5 3
f (0)  1, f (1)   m     f (0). f (1)  0
2 4

 Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m
y  f ( x)  4x2  x4 , f ( x)  4x3  8x  f ( x)  4x( x2  2)

b)

x   2
Phương trình f ( x)  0  4x( x2  2)  0  
 x  0
x  1  y  3, k  f (1)  4
0

0,50

0,50

0

0,50

Đặt f(x)=ax2  bx  c  f ( x) liên tục trên R.
 2 4
2
1
c
c
 f (0)  c , f    a  b  c  (4a  6b  12c)   
 3 9
3
9
3
3
 2
2
 Nếu c  0 thì f    0  PT đã cho có nghiệm  (0;1)
 3
3

6b

0,25

0,50

Phương trình tiếp tuyến là y  3  4( x  1)  y  4x  1
5b

0,50

a)

 2
 2
c2
 Nếu c  0 thì f (0). f      0  PT đã cho có nghiệm    0;   (0;1)
 3
3
 3
Kết luận PT đã cho ln có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
y  f ( x)  4x2  x4  f ( x)  4x3  8x  f ( x)  4x( x2  2)

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

Lập bảng xét dấu :
 2

x 

f ( x)

b)

+

–

0

0

2

0

0 –

Kết luận: f ( x)  0  x    2; 0   2;  
Giao của đồ thị với Oy là O(0; 0)
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại O là k = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 0

3

+



0,50
0,25

0,25
0,25
0,50


ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 24
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x1

3x2  2x  1

b) lim


x 1
3

x3

x3
x3

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  2 :

 2x2  3x  2

f ( x)   2x  4
3
 2

khi x  2
khi x  2

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2x  3
a) y 
b) y  (1 cot x)2
x2
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góc với nhau. Gọi H là chân đường cao
vẽ từ A của tam giác ACD.
a) Chứng minh: CD  BH.
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK  (BCD).
c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

cos2 x  x  0
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x)   x3  3x2  9x  2011 có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
f ( x)  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng (1; 2) :

(m2  1) x2  x3  1  0
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y 

2 x2  x  1
có đồ thị (C).
x 1

a) Giải phương trình:
y  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 24

Câu
1

Ý
a)

lim

3x2  2x  1
x 1

 lim

 lim

3x  1

x1 x2  x  1



0,50

4
3

0,50

 lim(
x  3)  0
 x3

Viết được ba ý  x  3  x  3  0
 lim( x  3)  6  0
 x3
Kết luận được lim
x3

0,75

x3
 
x3

 2x2  3x  2

f ( x)   2x  4
3
 2

2

( x  1)(3x  1)

x1 ( x  1)( x2  x  1)

3

x1

b)

Điểm

Nội dung

0,25

khi x  2
khi x  2

0,25

3
2
2
2x  3x  2
2x  1 5
( x  2)(2x  1)
lim f ( x)  lim
 lim

 lim
x 2
x 2
x

2
x

2
2x  4
2
2
2( x  2)

Tập xác định D = R. Tính được f(2) =

Kết luận hàm số không liên tục tại x = 2.
3

a)
b)

4

y

0,50
0,25

1
2x  3
 y' 
x2
( x  2)2

0,50

 1 
y  (1 cot x)2  y  2(1 cot x)  2   2(1 cot x)(1 cot 2 x)
 sin x 

0,50

a)

0,25

a)

AB  AC, AB  AD AB  (ACD)  AB  CD
AH  CD

b)

(1)

0,25

(2). Từ (1) và (2)  CD  (AHB)  CD  BH

0,50

AK BH, AK  CD (do CD  (AHB) (cmt)

0,50

 AK (BCD)

0,50
2


c)

Ta có AH  CD, BH  CD   (BCD),( ACD)   AHB
Khi AB = AC = AD = a thì AH =

BH =

AB2  AH 2  a2 

cos AHB 

CD a 2

2
2

a2 a 6

2
2

AH
1

BH
3

0,25

 
 

f (0)  1, f    
 f (0). f    0

2
 2
 2

6a

a)

b)

5b

a)

b)

0,25
0,50

 
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên  0; 
 2

0,25

y  f ( x)   x3  3x2  9x  2011  f ( x)  3x2  6x  9

0,25

BPT f ( x)  0  3x2  6x  9  0

0,25

 x  3
 
x  1

0,50

x0  1  y0  2016 , f (1)  0

0,50

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2016

0,50

Đặt f(x) = (m2  1) x2  x3  1  f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [  1; 2]

0,25

f (1)  m2  1, f (0)  1  f (1). f (0)  0, m R

0,50

 phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 0)   1; 2  (đpcm)
6b

0,25
0,25

 
Đặt f(x) = cos2 x  x  f(x) liên tục trên (0; )  f(x) liên tục trên  0; 
 2

5a

0,25

y

2 x2  4 x  2
2 x2  x  1
, TXĐ : D = R\{1}, y ' 
x 1
( x  1)2

 x  1 2
Phương trình y’ = 0  2x2  4x  2  0  x2  2x  1  0  
 x  1 2
Giao của ( C) với Oy là A(0; –1)

0,25
0,50

0,50
0,25

x0  0, y0  1, k  f (0)  2

0,20

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2x  1

0,50

3


ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 23
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2n3  n2  4

b) lim


2  3n

3

x1

2x  3
x 1

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0:
 x  2a
khi x  0
f ( x)   2
 x  x  1 khi x  0
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  (4x2  2x)(3x  7x5)

b) y  (2  sin2 2x)3

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
a) Chứng minh AC  SD.
b) Chứng minh MN  (SBD).
c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:

m( x  1)3( x  2)  2x  3  0
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  x4  3x2  4 có đồ thị (C).
a) Giải phương trình:

y  2 .

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x0  1 .
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:

(m2  m  1) x4  2x  2  0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x)  ( x2  1)( x  1) có đồ thị (C).

f ( x)  0 .
a) Giải bất phương trình:
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 23

Câu
1

Nội dung

Ý
a)

2n  n  4
3

lim

=

b)

2

2  3n3

1 4

n n3
2
3
n3

2
 lim

0,50

2
3

0,50

 lim(
x  1)  0
 x1
Nhận xét được:  lim(2
x  3)  1  0
x1


 x  1  x  1  0

Kết luận: lim

x1

2

Điểm

0,75

2x  3
 
x 1

0,25

 x  2a
khi x  0
f ( x)   2
 x  x  1 khi x  0
 lim f ( x)  f (0)  1

0,50

 lim f ( x)  lim(
x  2a)  2a


0,25

x 0

x 0

x 0

 f(x) liên tục tại x = 0  2a = 1  a 
3

a)

b)

1
2

0,25

y  (4x2  2x)(3x  7x5)  y  28x7  14x6  12x3  6x2

0,50

 y '  196x6  84x5  36x2  12x

0,50

y  (2  sin2 2x)3  y '  3(2  sin2 2x)2 .4sin2x.cos2x

0,50

 y '  6(2  sin2 2x).sin4x

0,50

4

0,25

a)

b)

ABCD là hình vng  ACBD
(1)
S.ABCD là chóp đều nên SO(ABCD)  SO  AC
(2)
Từ (1) và (2)  AC  (SBD)  AC  SD
Từ giả thiết M, N là trung điểm các cạnh SA, SC nên MN // AC
2

0,50
(3)

0,25
0,50


c)

AC  (SBD) (4). Từ (3) và (4)  MN  (SBD)
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và AB = SA = a nên SBC đều cạnh a.
Gọi K là trung điểm BC  OK  BC và SK  BC
    (SBC),( ABCD)   SKO
Tam giác vng SOK có OK =

6a

a)

a 3
a
, SK =
2
2

5b

0,25

0,25

Gọi f ( x)  m( x  1)3( x  2)  2x  3  f ( x) liên tục trên R
f(1) = 5, f(–2) = –1  f(–2).f(1) < 0
 PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm c  (2;1), m R

0,25

y  x4  3x2  4  y  4x3  6x

0,25

y  2  4x3  6x  2  ( x  1)(2x2  2x  1)  0

0,25

1 3
1 3
; x
2
2
Tại x0  1  y0  6, k  y (1)  2
Phương trình tiếp tuyến là y  2x  4
 x  1; x 

b)

0,25
0,25

a
OK
1
 2 
 cos  cosSKO 
SK a 3
3
2
5a

0,50

Gọi f ( x)  (m2  m  1) x4  2x  2  f ( x) liên tục trên R

0,50
0,25

0,50
0,50
0,50
0,25

2


1 3
f(0) = –2, f(1) = m  m  1   m     0  f(0).f(1) < 0
2 4

Kết luận phương trình f ( x)  0 đã cho có ít nhất một nghiệm c  (0;1), m
2

6b

a)

b)

y  f ( x)  ( x2  1)( x  1)  f ( x)  x3  x2  x  1  f ( x)  3x2  2x  1

1

BPT f ( x)  0  3x2  2x  1  0  x  (; 1)   ;  
3

Tìm được giao điêm của ( C ) với Ox là A (–1; 0) và B(1; 0)
Tại A (–1; 0): k  f (1)  0  PTTT: y  0 (trục Ox)
1

Tại B(1; 0): k2  f (1)  4  PTTT: y  4x  4

3

0,50
0,25
0,50
0,50
0,50
0,25
0,25


ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 21
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2n3  3n  1
n  2n  1
3

2

x 1 1
x

b) lim

x0

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
 x2  x

f ( x)   x  1 khi x  1
m
khi x  1
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  x2 .cos x

b) y  ( x  2) x2  1

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng
(ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI  (MBC).
b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:

1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:
5x5  3x4  4x3  5  0

Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x2  9x  5.
a) Giải bất phương trình: y  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
x3  19x  30  0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x)  x3  x2  x  5 .
a) Giải bất phương trình: y  6 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .

1


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 21

CÂU
1

Ý
a)

NỘI DUNG
3 1
2

3
2
2n  3n  1
n
n3
I  lim
 lim
2 1
n3  2n2  1
1 
n n3
I=2

b)

x 1 1
 lim
x0 x
x

lim

x0

 lim
x0

1
x 11





x

ĐIỂM

0,50

0,50



0,50

x 1 1

1
2

0,50

f(1) = m

2

0,25

x( x  1)
 lim x  1
x1
x1
x1
x 1
f(x) liên tục tại x = 1  lim f ( x)  f (1)  m  1

lim f ( x)  lim

0,50
0,25

x1

3

a)
b)

y  x2 cos x  y '  2x cos x  x2 sinx

y  ( x  2) x2  1  y '  x2  1 
y' 

4

a)

1,00

( x  2) x

0,50

x2  1

2 x2  2 x  1

0,50

x2  1
M

H

0,25
I

B

C

A

Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC =

b)

c)

a
 AI  BC
2

BM  (ABC)  BM AI
Từ (1) và (2) ta có AI  (MBC)
BM  (ABC)  BI là hình chiếu của MI trên (ABC)
MB
4
  MI ,( ABC)   MIB, tan MIB 
IB
AI (MBC) (cmt) nên (MAI)  (MBC)
MI  ( MAI )  ( MBC)  BH  MI  BH  ( MAI )
 d(B,( MAI ))  BH
2

(1)

0,25

(2)

0,25
0,25
0,50
0,50

0,25
0,25
0,25


1
1
1
1
4
17
2a 17

 2  2  2  2  BH 
2
2
17
BH
MB BI
4a a
4a
5a

6a

a)

b)

Với PT: 5x5  3x4  4x3  5  0 , đặt f ( x)  5x5  3x4  4x3  5

f(0) = –5, f(1) = 1  f(0).f(1) < 0
 Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
y  f ( x)  x3  3x2  9x  5  y  3x2  6x  9

0,25

y '  0  3x2  6x  9  0  x  (;1)  (3; )

0,50

x0  1  y0  6

0,25

k  f ' 1  12

6b

a)

b)

0,50
0,25
0,50

0,50

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –12x + 6
5b

0,25

Với PT: x3  19x  30  0 đặt f(x) = x3  19x  30  0
f(–2) = 0, f(–3) = 0  phương trình có nghiệm x = –2 và x = –3
f(5) = –30, f(6) = 72  f(5).f(6) < 0 nên c0  (5;6) là nghiệm của PT

0,25
0,25
0,25
0,25

Rõ ràng c0  2, c0  3 , PT đã cho bậc 3 nên PT có đúng ba nghiệm thực

0,25

y  f ( x)  x3  x2  x  5  y '  3x2  4x  1

0,25

y '  6  3x2  2x  1  6

0,25

 3x2  2x  5  0

5
 x   ;    1;  
3


0,25

Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  y '( x0 )  6

0,25

0,25

 x0  1
 3x  2x0  1  6  3x  2x0  5  0  
x   5
 0
3
Với x0  1  y0  2  PTTT : y  6x  8
2
0

2
0

5
230
175
 PTTT : y  6x 
Với x0    y0  
3
27
27

3

0,25
0,25
0,25


ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 20
A. Phần chung: (7 điểm)
Câu I: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
a) lim

3n  2.4n

b) lim  n2  2n  n 


 3x  1  2 
d) lim 


x1
x

1



4 3
n

n

 3x2  10x  3 
c) lim 

x3  x2  5x  6 


Câu II: (2 điểm)
 x2  3x  18

a) Cho hàm số f  x   
x3

a  x

khi x  3 . Tìm a để hàm số liên tục tại x  3 .
khi x  3

b) Chứng minh rằng phương trình x3  3x2  4x  7  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–4; 0).
Câu III: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a, SA = SB = SC =
SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vng góc với SA.
a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD).
b) CMR: MN  AD.
c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
d) CMR: 3 vec tơ BD, SC, MN đồng phẳng.

B. Phần riêng. (3 điểm)
Câu IVa: Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn.
a) Cho hàm số f ( x)  x3  3x  4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2).
b) Tìm đạo hàm của hàm số y  sin2 x .
Câu IVb: Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao.
a) Cho hàm số f ( x)  x3  3x  4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến
đó đi qua điểm M(1; 0).
b) Tìm đạo hàm của hàm số y  sin(cos(5x3  4x  6)2011) .
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 Mơn TỐN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 20
Câu I:
n

 3
 4 2
3n  2.4n
a) lim
 lim  
2
n
n

n
4 3
 3
1  
 4

b) lim





n2  2n  n  lim

2n
n  2n  n
2

2

 lim

1

2
1  1
n

 3x2  10x  3 
( x  3)(3x  1)

3x  1
c) lim 
 lim
8
  lim
x3  x2  5x  6  x3 ( x  2)( x  3)
x3 x  2


 3x  1  2 
3( x  1)
3
3
d) lim 
 lim

  lim
x1
x  1  x1 ( x  1)  3x  1  2 x1 3x  1  2 4
Câu II:
 x2  3x  18

khi x  3 .
a) f  x   
x3

khi x  3
a  x

x2  3x  18

( x  3)( x  6)
 lim
 lim( x  6)  9
x3
x3
x3
x3
x3
x3
 f(x) liên tục tại x = 3  a + 3 = 9  a = 6
 f(3) = a+3

 lim f ( x)  lim

b) Xét hàm số f ( x)  x3  3x2  4x  7  f ( x) liên tục trên R.
 f(–3) = 5, f(0) = –7  f (3). f (0)  0  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( –3 ; 0 ).
 (3;0)  (4;0)  PT f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–4; 0).
Câu III:
a) CMR: SO  (ABCD), SA  (PBD).
S
 SO  AC, SO  BD  SO  (ABCD).
 BD  AC, BD  SO  BD  (SAC)  BD  SA
(1)
E
 OP  SA, OP  (PBD)
(2)
N
F
Từ
(1)

và
(2)
ta
suy
ra
SA

(PBD).
D
C
P
b) CMR: MN  AD.
 Đáy ABCD là hình vng nên OB = OC, mà OB và OC
lần
lượt là hình chiếu của NB và NC trên (ABCD)  NB = NC
M
O
 NBC cân tại N, lại có M là trung điểm BC (gt)
 MN  BC  MN  AD (vì AD // BC)
c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
B
A
 SO  (ABCD) nên AO là hình chiếu của SA trên (ABCD)
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là SAO .

a 2
AO
2
cosSAO 
 2 

SA
2a
4
2


d) CMR: 3 vec tơ BD, SC, MN đồng phẳng.
 Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là các đường trung
bình của các tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD, FE // SC và cũng từ
đó ta có M, M, E, F đồng phẳng.
 MN  (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF)  BD, SC, MN đồng phẳng.
Câu IVa:
a) f ( x)  x3  3x  4  f ( x)  3x2  3  f (1)  0  PTTT: y  2 .
b) y  sin2 x  y  2sin x.cos x  sin2x
Câu IVb:
a) f ( x)  x3  3x  4  f ( x)  3x2  3
 Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  y0  x03  3x0  4 , f ( x0 )  3x02  3
PTTT d là: y  y0  f ( x0 )( x  x0 )  y  ( x03  3x0  4)  (3x02  3)( x  x0 )
d đi qua M(1; 0) nên

( x03  3x0  4)  (3x02  3)(1 x0 ) 

2x03  3x02  1  0

 x0  1
 
1
 x0  

2

 Với x0  1  y0  0, f ( x0 )  6  PTTT y  6( x  1)

1
45
15
15
15
 Với x0    y0   , f ( x0 ) 
 PTTT: y  x 
2
8
4
4
4
b) y  sin(cos(5x3  4x  6)2011)



 y  2011(5x3  4x  6)2010 (15x2  4)sin(5x3  4x  6)2011.cos cos(5x3  4x  6)2011
===========================

3




ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 –
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 19
A. Phần chung: (8 điểm)
Câu 1: (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1) lim

x1

2x2  3x  1
4  3x  x

2

2) lim

x



x2  2x  2  x2  2x  3

 4  x2

Câu II: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số f ( x)   x  2  2
2x  20


khi x  2



tại điểm x = 2.

khi x  2

Câu III: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
3  5x
1) f ( x) 
2) f ( x)   sin(tan( x4  1)) 
x2  x  1
Câu IV: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh bằng a, SA  ( ABCD) ,
a 6
.
2
1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
SA 

B. Phần riêng: (2 điểm)
Câu Va: Dành cho học sinh học chương trình Chuẩn
Cho hàm số: y  x3  3x2  2x  2 .
1) Giải bất phương trình y  2 .
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:
x  y  50  0 .
Câu Vb: Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao
1) Tìm 5 số hạng của một cấp số nhân gồm 5 số hạng, biết u3  3 và u5  27 .
2) Tìm a để phương trình f ( x)  0 , biết rằng f ( x)  a.cos x  2sin x  3x  1.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 19
Câu 1:
1) lim

2x2  3x  1

x1

2) lim

4  3x  x2

x



( x  1)(2x  1)
2x  1 1
 lim

x1 ( x  1)(4  x)

x1 4  x
3

 lim



x2  2x  2  x2  2x  3  lim

4

 lim

x

4x  1

2 2
2 3 
x  1 
 1 


x x2
x x2 


1
x

 2

2 2
2 3 
  1 
 1 

2
2 

x
x
x
x


2
 4 x

khi x  2
Câu II:
f ( x)   x  2  2
2x  20
khi x  2

 f(2) = –16
x

 lim f ( x)  16, lim f ( x)  lim
x 2

x 2

x 2

 Vậy hàm số liên tục tại x = 2
Câu III:
1) f ( x) 

(2  x)(2  x)  x  2  2
 lim  ( x  2)  x  2  2  16
x2
2 x

3  5x

5x2  6x  2
 f ( x) 
x2  x  1
( x2  x  1)2

2) f ( x)   sin(tan( x4  1)) 

2

 f ( x)  8x3.sin  tan( x4  1)  .

4x
cos tan( x4  1)  

3

1
cos2 ( x4  1)

sin2  tan( x4  1) 
cos2 ( x4  1)

Câu IV:
S

H
B
A
O
D

C

1) CMR: (SAB)  (SBC).
 SA  (ABCD)  SA  BC, BC  AB
 BC  (SAB), BC  (SBC)  (SAB) (SBC)
2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
 Trong tam giác SAC có AH  SC
1
1
1
2
2
8

 2
 2 2 2
 d  A, SC   AH 
2
2
AH
SA OA 3a a 3a
 AH 

a 6
4

3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
 Vì ABCD là hình vng nên AO  BD, SO  BD
 (SBD)  ( ABCD)  BD  ((SBD),( ABCD))  SOA

2


a 6
SA
 Tam giác SOA vuông tại A  tan SOA 
 2  3   (SBD ),( ABCD )   600
OA a 2
2
3
2
2
Câu Va: y  x  3x  2x  2  y  3x  6x  2
1) BPT y '  2  3x2  6x  0  x  (;0]  [2; )

2) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x  y  50  0 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –1.
Gọi ( x0; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: 3x02  6x0  2  1  x02  2x0  1  0  x0  1
Khi đó y0  2  phương trình tiếp tuyến là y  ( x  1)  2  y   x  3 .
Câu Vb:
1) u3  3 và u5  27 .
 Gọi công bội của cấp số nhân là q  cấp số nhân đó gồm 5 số hạng là u1, u1q, u1q2 , u1q3 , u1q4
2

q  3
u1q  3
 Theo giả thiết ta có hệ u1  4
 q2  9  
 q  3

u1q  27
1
1
 Với q = 3 ta suy ra u1   cấp số nhân là: ; 1; 3; 9; 27
3
3
1
1
 Với q = –3 ta suy ra u1   cấp số nhân đó là: ;  1; 3;  9; 27
3
3
2) f ( x)  a.cos x  2sin x  3x  1  f ( x)  2cos x  a.sin x  3 .

PT f ( x)  0  2cos x  a.sin x  3 (*)

Phương trình (*) có nghiệm  22  (a)2  32  a2  5  a   ;  5    5;   .

========================

3