bai giang toan cao cap a1

Bài giảng Toán cao cấp A1

MỤC LỤC
MỤC LỤC............................................................................................................1
...........................................................................................................................144

Nguyễn Thị Hằng – Khoa Toán – Công nghệ


Bài giảng Toán cao cấp A1

Nguyễn Thị Hằng – Khoa Toán – Công nghệ


Bài giảng Toán cao cấp A1

Chương I
Ma trận - Định thức – Hệ phương trình tuyến tính
Số tiết: 09 ( Lý thuyết: 07 tiết; Bài tập 02 tiết)
1.1 Ma trận
1.1.1 Định nghĩa và ví dụ
a) Định nghĩa :
Một bảng số hình chữ nhật có m hàng và n cột
 a11 a12
a
a22
A =  21
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
... a2 n ÷
÷ (1)
... ... ÷
÷
... amn  m x n

được gọi là một ma trận cấp m × n
Ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái : A , B , …, X, Y, … ; còn các
phần tử thường được ký hiệu bằng các chữ thường : a , b , …, x , y , ….
Các phần tử của ma trận được nằm trong dấu [ ---] , hoặc (--- )
aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j,
Ký hiệu: A = ( aij ) m×n , A =  aij  m x n
Ví dụ 1:
 1 2 0
Bảng số A = 
÷ là ma trận cấp 2 × 3 với các phần tử là :
 −2 3 5 
a11 = 1 , a12= 2 , a13 = 0
a21 = −2 , a22 = 3 , a23 = 5
1 
 ÷
Bảng số B =  2 ÷ là ma trận cấp 3 × 1 với các phần tử
3÷
 
b11 = 1 , b21 = 2 , b31 = 3
Bảng số C = ( −1 3 5 ) là ma trận cấp 1 × 3 với các phần tử
c11 = −1 , c12 = 3 , c13 = 5
b) Ma trận vuông
Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau.

Ký hiệu : A = ( aij ) n là ma trận vuông cấp n .

1


Bài giảng Toán cao cấp A1

 a11
a
A =  21
 ...

 an1

a12
a22
...
an 2

... a1n 
... a2 n ÷
÷
... ... ÷
÷
... ann  n

Ví dụ 2:
13
A= 3


2
1
B =  −7
2


2 
÷ là ma trận vuông cấp 2.
0,75 ÷

−3 1
1 −8 ÷
÷ là ma trận vuông cấp 3.
0 0÷
3

Đường chéo chính.
Cho ma trận A vuông cấp n. Khi đó các phần tử a11, a22,…, ann nằm trên
một đường thẳng gọi là đường chéo chính của A, các phần tử a11, a22,…, ann gọi
là các phần tử chéo.
Ma trận tam giác. Cho ma trận A = ( aij ) n
- Ma trận tam giác trên: Nếu A có các phần tử phía dưới đường chéo
chính đều bằng 0 (Tức là: aij = 0 với mọi i > j).
 a11
 0
A=
 ...

 0

... a1n 
... a2 n ÷
÷
... ... ÷
÷
... ann  n
−3 
÷
2÷
là ma trận tam giác trên.
1÷
÷
3 4

a12
a22
...
0

1 2 8

0 4 −1
Ví dụ 3: Cho ma trận A = 
0 0 2

0 0 0

- Ma trận tam giác dưới: Nếu A có các phần tử phía trên đường chéo
chính đều bằng 0( tức là: aij =0 với mọi i < j).
 a11

a
A =  21
 ...

 an1
1

Ví dụ 4: Cho ma trận B =  6
3


0
a22
...
an 2

0
4
−4
2

... 0 
... 0 ÷
÷
... ... ÷
÷
... ann  n

0 
0÷

÷ là ma trận tam giác dưới .
2÷
3


Bài giảng Toán cao cấp A1

Ma trận chéo.
Ma trận A vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và
các phần tử nằm trên đường chéo chính không đồng thời bằng 0 gọi là ma trận
chéo.
 a11
 0
A=
 ...

 0

0
a22
...
0

... 0 
... 0 ÷
÷
... ... ÷
÷
... ann  n

Ma trận đơn vị.
Ma trận đơn vị là ma trận vuông có tất cả các phần tử trên đường chéo
chính đều bằng 1,các phần tử còn lại đều bằng 0.
Ký hiệu là In (hoặc En) là ma trận đơn vị cấp n.
1
0
In = 
 ...

0
1
I
=
Ví dụ 5. 2  0

1
I 3 =  0
0


0
1
...
0

...
...
...
...

0
0÷
÷
... ÷
÷
1 n

0
là ma trận đơn vị cấp 2
1÷
2
0 0
1 0÷
÷ là ma trận đơn vị cấp 3
0 1÷
3

c) Ma trận chuyển vị.
Cho A = ( aij ) m×n , ma trận chuyển vị của A là ma trận cấp n x m có được từ
A bằng cách chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng.
Ký hiệu : AT là ma trận chuyển vị của ma trận A.
 a11 a12
a
a22
A =  21
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 

 a11
÷
a
... a2 n ÷
12
T
ma trận chuyển vị A = 
÷
... ...
...
÷

... amn  m x n
 a1n

a21
a22
...
a2 n

... am1 
... am 2 ÷
÷
... ... ÷
÷
... amn  n x m

 1 2 −4
1 0 − 1 3 
 0 4 11÷


÷
T
÷
Ví dụ 6: A =  2 4 7 − 3 ÷ ma trận chuyển vị A = 
 −1 7 2 ÷
 4 11 2 − 6 ÷

÷

3×4
 3 − 3 − 6  4×3
d) Ma trận không.
3


Bài giảng Toán cao cấp A1

Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu: O hoặc θ.
Như vậy, cỡ hay cấp của ma trận không tuỳ thuộc vào các phép toán cụ thể.
Ví dụ 7 : Các ma trận sau đều là ma trận không:
0 0 0
0 0 0

÷
θ =
÷ ; θ =0 0 0÷
 0 0 0 2 x 3
0 0 0÷


3 x 3

e) Ma trận đối : Cho ma trận A = ( aij ) m×n , ma trận

− A = ( − aij )

m× n

gọi là ma trận đối

của ma trận A
f) Ma trận bằng nhau. Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và các
phần tử tương ứng ở cùng vị trí thì bằng nhau.
 A =



(a )

ij m x n

(b )

,B =

ij m x n

aij = bij : ∀i, j
 −4

8

.

khi đó A = B

 2a − b

Ví dụ 8: Cho hai ma trận A = 
÷; X = 
 3 −3
b +1

c+d

÷
c + 2d − 2 

Tìm các giá trị a, b, c, d để hai ma trận bằng nhau.
 −5

Ví dụ 9 : Cho hai ma trận B = 
0

0
 2m + n − a m + a 
,
C
 a + b − n 3n − b ÷
−3 ÷





Tìm các giá trị a, b, m,n để C T = − B .
1.1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận.
Định nghĩa 1 .
Cho A và B là hai ma trận cùng cấp m × n , A = (aij)m x n, B = (bij)m x n . Tổng
của hai ma trận A và B là ma trận cùng cấp.
Ký hiệu: A + B = ( aij + bij ) m×n
Như vậy muốn cộng hai ma trận cùng cấp thì ta cộng các phần tử ở các vị
trí tương ứng với nhau
3 5
1 1
1
 −1
A=
B
=
Ví dụ.
÷
 2
1 1÷
 2 − 1 12×3

 2×3
0 4 6 
Suy ra: C = A + B = 
2÷

4 0
 2×3
Tính chất.
Giả sử A, B, C là các ma trận cùng cấp. Khi đó:
4


Bài giảng Toán cao cấp A1

+) A + B = B + A
+) (A + B) + C = A + (B + C)
+)A + θ = θ + A = A
+) A + (-A) = (-A) + A = θ
b) Phép nhân ma trận với số thực.
Định nghĩa 2
Cho A = ( a i j ) m×n và số thực k. Khi đó, tích của số thực k với ma trận A là
một ma trận cùng cấp đuợc xác định bởi:

kA = ( kaij ) m×n

(Tức là: muốn thực hiện phép nhân ma trận với một số k, ta nhân tất cả các
phần tử của ma trận với k.)
Ví dụ :
 3 2
 6 4
2.
=
÷

4÷

 −1 2  2×2  −2
 2×2
1
2
3
5

0

1
3

−2÷
÷ + 2 1
0
2÷
÷

4  4×2
0

4
9

−3÷
÷ = 8
15
1÷
÷


0  4×2  0

11 
− 15 ÷
÷
8 ÷
÷
12  4×2

Bài tập ; Cho ma trận
 5 −2 
1 2 
B=
C
=
và
÷
 6 −3 ÷
4 7 


Tìm ma trận A thỏa mãn 2A = 3B + 2C
Tính chất
Giả sử A, B là các ma trận cùng cấp và k, m là các số thực bất kì. Khi đó:
+) k (A + B ) = k A + k B
+) ( k + m) A = kA + mA
+) k( mA ) = km (A )
+) 1.A = A
+) 0. A = θ
c) Phép nhân hai ma trận.

Định nghĩa 3

5


Bài giảng Toán cao cấp A1

Cho hai ma trận A = ( a¹i ) m× p , B = ( b¹i ) p× n ( số cột của ma trận A bằng số hàng
của ma trận B). Khi đó, tích của hai ma trận A và B là ma trận C = ( c¹i ) m×n trong
đó:
 b1 j 
b ÷
p
2j ÷

Cij = ( ai1 ai 2 ... aip ) .
= a .b + a .b +...+ aip .bpj = ∑ aik .bkj
 M÷ i 1 1 j i 2 2 j
k =1
 ÷
÷
 bpj 
3
0 −3 
1
2
,
B
=
Tính AB với A = 

÷
1 − 1
4÷
 2 − 1 2×2

 2×3
 c11 c12 c13 
Giả sử AB = (cij ) 2 x 3 = 
÷ , ta có
 c21 c22 c23 
c11 = 1.2 + 3.1 = 5,
c12 = 1.0 + 3.(-1) = -3,
c13 = 1.(-3) + 3.4 = 9,
c21 = 2.2 + (-1).1 = 3,
c22 = 2.0 + (-1)(-1) = 1,
c23 = 2.(-3) + (-1).4 = -10
Ví dụ.

3  2
0 − 3  5 − 3
9
1
=
Vậy AB = 
÷
4 ÷  3
1 − 10 ÷
 2 − 11 − 1
Ví dụ : Cho hai ma trận
1 0 

0 1 
0 1 
0 0
A=
,
B
=
⇒
AB
=
≠
BA
=
÷
 0 0÷
0 0÷
0 0÷
 0 1






Phép nhân hai ma trận nói chung không có tính chất giao hoán.
Tính chất.
+) A ( B + C ) = AB + AC
+) ( A + B ) C = AC + BC
+) ( AB )C = A ( BC )
+) ( kA ) B = k ( AB ) = A ( kB )

+) AI = IA = A
+) (AB)T = BT AT
1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
- Đổi chỗ 2 hàng ( 2 cột ) của ma trận
- Nhân 1 hàng ( 1 cột ) với một số khác 0.
- Cộng vào 1 hàng ( 1 cột ) 1 hàng ( 1 cột ) khác đã nhân với một số .
1. 2 Định thức của ma trận vuông
6


Bài giảng Toán cao cấp A1

1.2.1. Định nghĩa và ví dụ

Xét ma trận vuông cấp n :

 a11

 a21
 ...
A =
 ai1

 ...
a
 n1

a12 ... a1 j ... a1n 
÷
a22 ... a2 j ... a2 n ÷

... ... ... ... ... ÷
÷
ai 2 ... aij ... ain ÷
÷
... ... ... ... ... ÷
an 2 ... anj ... ann ÷
n

Kí hiệu Mij là ma trận con cấp (n – 1) có được từ ma trận A khi bỏ đi
hàng i, cột j.
Khi đó Mij được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij .
Ví dụ.
 1 −2 5 
 4 −1
 1 −2 

÷
,
M
=
Với A =  3 4 −1÷ thì M 11 = 
÷ 23  0 5 ÷...
5
1




0 5 1 ÷



Định nghĩa . Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Khi đó, định thức cấp n
của ma trận A, kí hiệu là: det(A) hay A , là một số thực được định nghĩa một
cách qui nạp sau:
a) Định thức cấp 1 Giả sử A = (a11) ⇒ det (A) = a11

(1)

b) Định thức cấp 2
a12 
a
A =  11
÷
 a 21 a 22 
⇒ det (A) =

a11 a12
= (-1)i +1a i1det(M i1 )+(-1)i + 2a i 2det(M i 2 )=a 11a 22 − a 12a 21
a 21 a 22

(2)
hoặc
det (A) =

a11 a12
= (-1)1+ j a1 j det(M1 j )+(-1) 2+ j a 2 j det(M 2 j )=a 11a 22 − a 12a 21
a 21 a 22

(3)
Trong đó M i1 , M i 2 , M 1 j , M 2 j là ma trận con của A ứng với các phần tử

ai1 , ai 2 , a1 j , a2 j .
Công thức (2) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2.
Công thức (3) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2.
7


Bài giảng Toán cao cấp A1

 a11 a12 a13 

÷
c) Định thức cấp 3: Giả sử : A =  a21 a22 a23 ÷
a
÷
 31 a32 a33 
Khi đó, ta có:
a11 a12 a13
i +1
i+2
i +3
det A = a21 a22 a23 = ( −1) a i1det ( M i1 ) + ( −1) a i 2det ( M i 2 ) + ( −1) a i 3det ( M i 3 )
a31 a32 a33
(4)
1+ j
2+ j
3+ j
hoặc det A = ( −1) a1 j det ( M 1 j ) + ( −1) a 2 j det ( M 2 j ) + ( −1) a 3 j det ( M 3 j ) (5)
Trong đó M i1 , M i 2 , M i 3 , M 1 j , M 2 j , M 3 j là ma trận con của A ứng với các phần
tử ai1 , ai 2 , ai 3 , a1 j , a2 j , a3 j .
Công thức (4) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, 3

Công thức (5) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, 3.
d) Định thức cấp n.
Giả sử ta đã định n ghĩa được định thức cấp (n - 1). Khi đó, định thức cấp n
của ma trận A = ( aij ) n x n được xác định như sau:
det A = ( −1)

i +1

a i1det ( M i1 ) + ( −1)

i+2

a i 2 det ( M i 2 ) + .... + ( −1)

i+n

a in det ( M in ) (6)

hoặc:
1+ j
2+ j
m+ j
det A = ( −1) a1 j det ( M 1 j ) + ( −1) a 2 j det ( M 2 j ) + .... + ( −1) a mj det ( M mj ) (7)
Trong đó M i1 , M i 2 , M i 3 , ..., M in , M 1 j , M 2 j , M 3 j ..., M nj lần lượt là ma trận con
của A ứng với các phần tử ai1 , ai 2 , ai 3 ,..., ain , a1 j , a2 j , a3 j ,..., anj .
Công thức (6) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1,
2,…, n.
Công thức (7) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1,
2, ….,n.

1 3 0
Ví dụ . Tính định thức 2 −1 3
4 1 5
Giải
Khai triển định thức theo hàng 1, ta được:
1 3 0
−1 3
2 3
2 −1 3 =1.
−3
+ 0 = − 8 − 3 ( −2 ) = − 2
1 5
4 5
4 1 5
Khai triển định thức theo cột 3, ta được:
8


Bài giảng Toán cao cấp A1

1 3 0
1 3
1 3
2+3
2 −1 3 = 0 + ( −1) 3
+5
= 33 − 35 = − 2
4 1
2 −1
4 1 5

 −2 0 0 3 
 1 −1 2 −2 ÷
÷
Ví dụ . Tính định thức của ma trận A = 
 0 3 5 1÷

÷
 1 4 −2 4 
1.2.2. Một số tính chất của định thức
- Giả sử A vuông , khi đó det(A) = det(AT)
Nhận xét : Do vậy, mọi tính chất nếu đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và
ngược lại.
- Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu.
- Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng một số k thì định
thức được nhân lên k lần.
Nhận xét : Nếu các phần tử của một hàng (một cột ) có thừa số chung thì có
thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức.
1 5 156
Ví dụ : Chứng minh D chia hết cho 13, với D = 2 8 286
4 1 416

Giải
Các phần tử trong cột cuối lớn nên ta không tính giá trị d mà nhận xét
rằng 156 = 12.13, 286 = 22.13, 416 = 32.13 nên ta rút thừa số chung 13 ra
ngoài được
1 5 12
1 5 12.13
1 5 12
D = 2 8 22.13 = 13 2 8 22 chú ý rằng 2 8 22 = A ,

4 1 32.13
4 1 32
4 1 32

do các phần tử ma trận chỉ toàn các số nguyên nên A phải là số nguyên => D
chia hết cho 13 ⇒ Đpcm
- Khi tất cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng của hai số
hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức:
- Chẳng hạn
a11
a12
a13
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a21 + a21' a22 + a22' a23 + a23' = a21 a22 a23 + a21' a22' a23'
a31
a32
a33
a31 a32 a33
a31 a32 a33
9


Bi ging Toỏn cao cp A1

- nh thc ca ma trn s bng khụng nu tho món mt trong cỏc iu
kin sau:
+ Cú mt hng (mt ct) gm ton l s khụng.
+ Cú hai hng (hai ct) t l vi nhau.
+ Cú mt hng (mt ct) l t hp tuyn tớnh ca cỏc hng khỏc (ct

khỏc).
Vớ d.
a 1 b1 a 1 + 2b1
a 2 b 2 a 2 + 2b 2 = 0 (Vỡ ct 3 = ct 1 + 2.ct 2)
a 3 b 3 a 3 + 2b 3
- nh thc ca ma trn s khụng thay i nu nhõn k vo mt hng (mt
ct) ri em cng vo mt hng khỏc(ct khỏc).
- nh thc ca ma trn tam giỏc bng tớch cỏc phn t chộo
- Nu A, B l hai ma trn vuụng cp n thỡ det(AB) = det(A). det(B)
1.2.3. Mt s phng phỏp tớnh nh thc
a) Khai triển định thức theo các phần tử của một dòng hoặc một cột .
Nhc li : Cho ma trn vuụng A = ( aij ) n . Khi ú ta cú nh thc cp n ca A xỏc
nh nh sau :
i +1
i+2
i+n
det A = ( 1) a i1det ( M i1 ) + ( 1) a i 2 det ( M i 2 ) + .... + ( 1) a in det ( M in ) (6)
hoc:
1+ j
2+ j
m+ j
det A = ( 1) a1 j det ( M 1 j ) + ( 1) a 2 j det ( M 2 j ) + .... + ( 1) a mj det ( M mj ) (7)
Trong ú M i1 , M i 2 , M i 3 , ..., M in , M 1 j , M 2 j , M 3 j ..., M nj ln lt l ma trn con
ca A ng vi cỏc phn t ai1 , ai 2 , ai 3 ,..., ain , a1 j , a2 j , a3 j ,..., anj .
Cụng thc (6) gi l cụng thc khai trin nh thc theo hng th i vi i = 1,
2,, n.
Cụng thc (7) gi l cụng thc khai trin nh thc theo ct th j vi j = 1,
2, .,n.
Ví dụ 1. Tính định thức ca ma trn :
2 0 0 3

1 4 2 5
1 1 2 2ữ
1 4 3 6 ữ
ữ
ữ
1) A =
2) B =
2
1 2 5 0 ữ
3 5 1ữ

ữ

ữ
4 2 4
3
3 0 4 1

10


Bi ging Toỏn cao cp A1

Giải :1)

2 0 0 3
1 1 2 2
det( A) =
2
3 5 1

3
4 2 4

= ( 1) .( 2 )
1+1

1
3

2 2
5

4 2

1

1 + ( 1)

1+ 2

.0 2

2 2
5

3 2

4

1 + ( 1)

4

1 1 2
1+ 3

.0 2

3

1 + ( 1)

3

4

4

1 1
1+ 4

2

.3 2

3

5

3

4

2

=-2.14+0+0+3.47=113
2) Nếu một dòng hoặc một cột có nhiều thành phần bằng 0 thì khai triển
theo dòng hoặc cột ấy khá thuận lợi. Có thể đa định thức đã cho về dạng nh thế
bằng cách áp dụng tính chất ca nh thc .
- Cộng dòng thứ nhất vào dòng thứ hai và dòng thứ ba ;
- Nhân dòng thứ nhất với 3 rồi cộng vào dòng thứ t, ta đợc :
1 4 2 5
1 4 2 5
1 4 3 6
0 0 5 11
det(B) =
=
0 6 3 5
1 2 5 0
0 12 10 16
3 0 4 1
0 5 11
= (-1) (-1) 1+1 6 3 5
12 10 16

= -( 300 + 660 + 396 - 480)

=-876.
b) Đnh thc ca ma trn tam giỏc .
a11 a12 .... a1n
0 a22 .... a2 n

D1 =
= a 11 a 22 ... a nn . (a ij = 0 nếu j < i)
... .... .... ....
0
0 .... ann

hoặc

a11
a
D2 = 21
...
an1

0
a22
...
an 2

... 0
... 0
= a 11 a 22 ... a nn . (a ij = 0 nếu j > i)
... ...
... ann

11


Bi ging Toỏn cao cp A1

Ví dụ 2. Tính định thức
1 3 2
C=0 2 7
0 0 4
p dụng các tính chất của định thức ta có thể đa định thức về dạng tam giác.
Ví dụ 3. Tính định thức
1 6
5 9
2 11 13
4
D=
4 22 25 30
0
2
8 7
Giải : Nhân dòng thứ nhất lần lợt với 2, - 4 rồi lần lợt cộng vào dòng thứ
hai và dòng thứ ba, đợc :
1 6
5
9
0
1
3
22
D=
0 2 5
6
0
2
8

7
Nhân dòng thứ hai lần lợt với 2, -2 rồi lần lợt cộng vào dòng thứ ba và dòng
thứ t, đợc :
1
0
D=
0
0

6 5
9
1 3
22
0 1
38
0 2 51

Nhân dòng thứ ba với -2 rồi cộng với dòng thứ t, đợc :
1 6 5
9
0 1 3
22
D=
= (-1).1.1.(-127) = 127.
0 0 1
38
0 0 0 127
Ví dụ 4 . Tính định thức sau

a x x

E= x a x
x x a

12


Bi ging Toỏn cao cp A1

Ví dụ 5 . Tính định thức sau
1
2
F=
3
4

2
3
4
1

3
4
1
2

4
1
2
3

Giải : Cộng ba cột cuối vào cột thứ nhất và áp dụng các tính chất khác của
định thức :
1+ 2 + 3 + 4
2 + 3 + 4 +1
F=
3 + 4 +1+ 2
4 +1+ 2 + 3

2
3
4
1

3
4
1
2

4
1
= 10
2
3

1
1
1
1

2

3
4
1

3
4
1
2

4
1
= 10
2
3

1 2
3
4
0 1
1 3
0 2 2 2
0 1 1 1

1
1 3
1 1 3
1 1 3
F = 10 2 2 2 = 10(-2)(-1) 1 1 1 = 20 0 2 2
1 1 1
1 1

1
0 0
4

F = 20

2 2
= 20.8 = 160.
0
4

1.3.Ma trn kh nghch
1.3.1. Ma trn nghch o v ma trn khụng suy bin
nh ngha 1. Ma trn vuụng A c gi l ma trn kh nghch nu tn ti mt
ma trn vuụng B sao cho
AB = I = BA.
Khi ú ma trn B c gi l ma trn nghch o ca ma trn A v c kớ hiu
bi A 1 , tc l
B = A 1
Theo nh ngha ny A l ma trn nghch o ca B, ngha l A = B 1 .
Nh vy
(A 1 ) 1 = A.
Mnh : Nu ma trn A kh nghch thỡ ma trn nghch o ca nú l duy nht.
Chng minh. Gi s A' v A'' l hai nghch o ca A.
Khi ú :
A' = A'I = A'(AA'') = (A'A)A'' = IA'' = A''.
Vớ d : Vi
1 2

0 1

A =

1 2
.
1
0

ta cú A 1 =

Tht vy
1 2


0 1

1 2
1 2+2

=
1
1
0
0

1 2


1
0

1 2
1 22

=
1
0 1
0


1 0
=
= I

0 1


1 0
=
= I.

0 1

B . nh thc ca ma trn tớch AB bng tớch ca cỏc nh thc ca A v ca
B
AB = A B .
13


Bài giảng Toán cao cấp A1

Chứng minh . giả sử A = (aij)n , B =(bij)n là những ma trận vuông cấp n. Xét
định thức cấp 2n :







D= 








0

0

... 0

a

a
...
11

12
0
0
... 0
a
a
...
21
22
........................................................
0
0
... 0
a
a
...
n1
n2
b
b
... b
−1 0
...
11
21
1n
b
b
... b
0 − 1 ...

21
22
2n
.........................................................
b
b
... b
0
0
...
nn
n1
n2


1n 
a 
2n 


a 
nn

0 
0 



−1 


a

áp dụng định lí Laplaxơ, khai triển định thức theo n dòng đầu ta được :
2
D = (-1) n +1n+2+...+2n +1+2+...+n A . B = (-1) n A . B .
Nhân lần lượt các dòng thứ n+1, n+2, ..., 2n với rồi cộng vào các dòng thứ i
ta được :







D= 








Trong đó

c
c
... c
0
0 ...

11
12
1n
c
c
... c
0
0 ...
21 22
2n
.......................................................
c
c
... c
0
0 ...
nn
n1
n2
b
b
... b
− 1 0 ...
11
21
1n
b
b
... b
0 − 1 ...

21
22
2n
.........................................................
b
b
... b
0
0 ...
nn
n1
n2

0

0



0

0
0



− 1


n

a b
c ik = j∑
=1 ij jk
Đặt C là ma trận ta có C = AB.
áp dụng định lí laplaxơ, khai triển định thức D theo n dòng đầu ta được :
− 1 0 ...
0
0 − 1 ...
0
2(1+2 +...+ n)
C ....................... = (-1) n ( n+1) . C . (-1) n
D = (-1)
0
0 ... − 1

= (-1)

n2 + 2n

C = (-1)

n2

C .

C = A B.
Vậy
Hay AB = A B .
Định nghĩa 2. Ma trận vuông A được gọi là ma trận không suy biến nếu A ≠

0. Trái lại, ta nói A suy biến.
14


Bài giảng Toán cao cấp A1

Ví dụ : 1) Ma trận
 1 2 0 


A=  0 2 2 
 0 0 3



là ma trận không suy biến vì A = 6.
2) Ma trận
 1 2 2


B =  0 −1 3 
 1 1 5



là một ma trận suy biến vì B = 0.
1.3..2. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
1.3.2.1 Phương pháp định thức:
Giả sử
a

.... a
a

m1 
 11 21
a

a
.... a
12
22
m2 

A=
 ................................. 


a

a
.... a
mn
 1n 2n


Là một ma trận vuông không suy biến
Nhớ lại rằng định thức con bù M ij của phần tử a ij là định thức của ma trận thu
được từ A bằng cách xoá đi dòng thứ i và cột thứ j, phần bù đại số của a ij là :
A ij = (-1)

i+ j

M ij .
A

Đặt

b jk =

kj
A

và ma trận vuông cấp n :
Ta tính AB. Ta có :

k,j = 1, 2, ..., n.
B = (b ij ).

A
n
n
1 n
a
b
a
a A
∑
∑
c ik = j=1 ij jk = j=1 ij kj = A j∑
ij kj

=
1
A
1
 A A = 1 nÕu i = k
=1
 . 0 = 0 nÕu i ≠ k
 A

Nghĩa là ma trận (c ik ) = I.
Vậy
AB = I.
Tương tự, tính BA ta cũng có :
BA = I .
−
1
Vậy
B=A
Tóm lại, nếu A = (a ij ) là ma trận không suy biến thì

15


Bài giảng Toán cao cấp A1


1 
−
1
A = A 









A
A
.... A
12
22
m2 
....................................... 


A
A
.... A
mn 
1n
2n
A

11

A

.... A

21

m1

Ngược lại, cũng dễ thấy rằng một ma trận khả nghịch thì không suy biến.
*)Mệnh đề . Một ma trận là khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy biến.
Chứng minh.
''⇒ '' : giả sử ma trận A khả nghịch. Ta có :
A A −1 = I
−1
Theo bổ đề A . A = I .Do đó A ≠ 0.
Vậy A không suy biến.
''⇐'' : Đã chứng minh ở trên.
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của
 1 2 3


A =  0 −1 2 
 3 2 5



Giải :
1 2 3
−1 2
2 3
A = 0 −1 2 =
+3
= -9 +3.7 = 12.

2 5
−1 2
3 2 5
7 
 −9 −4


1
A −1 =
 6 −4 −2 
12 
4 − 1 
 3

 3
 −
 4
1
= 
2
 1

 4

1
7
3
12
1
1

−
−
3
6
1
1
−
3
12
−





.




1.3.2.2 Phương pháp biến đổi sơ cấp
Lập ma trận n dòng 2n cột



A' = 




a
a

11

21
...

a

n1

a
a
a

12

22
...
n2

... a
... a

1n

2n
... ...
... a

nn

1
0
...
0

0
1
...
0

...
...
...
...

0
0
...
1









Dùng hai phép biến đổi :
1. Nhân một dòng với k ∈ K,
2. Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính các dòng còn lại, ta biến được ma
trận trên thành ma trận
 1 0 ... 0 b11 b12 ... b1n 


b
b
...
b
0
1
...
0


21
22
2n
B' = 
...
...
...
... 
... ... ... ...


 0 0 ... 1 b


b
... b
nn 

n1
n2
16


Bài giảng Toán cao cấp A1

thì ma trận










b
b
... b

21
22
2n là ma trận nghịch đảo của A.
B=

...
... ... ... 


b
b
... b
nn
n1
n2

 1 2 3


Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  0 − 1 2 
 3 2 5


b

b

11

12

... b

1n

Giải :
 1 2 3 1 0 0 1 2
3 1 0 0 1 2
3 1
0

 
 
1
 0 −1 2 0 1 0 →  0 −1 2 0 1 0 →  0 −1 2 0
 3 2 5 0 0 1   0 − 4 − 4 − 3 0 1   0 0 − 12 − 3 − 4

 
 

−3
−3
1  
 
−1

 
4  1 0 0 4
0  1 2 0 4
1 2 3 1 0
1 −1 −1 
1

 
→ 0 1 − 2 0 −1 0  → 0 1 0

→ 0 1 0


2
3
6
2
 0 0 1 1 1 − 1   0 0 1 1
1 −1 0 0 1 1
4 3 12  
 

4
3 12  
4

 3
 −
 4
1
-1
Vậy A = 
2
 1

 4

1
7
3

12
1
1
−
−
3
6
1
1
−
3
12
−

0

0
1 
−1
3
−1
3
1
3

7 

12 
−1
6 

−1

12 










1. 4 Hệ phương trình tuyến tính
1.4.1Hệ phương trình tuyến tính
a)Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ gồm m phương trình
bậc nhất đối với n ẩn số có dạng:
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
 a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2

 ............................................
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm

Trong đó
x1, x2, …, xn là các ẩn số cần tìm

(

(I)

)

aij là hệ số của phương trình thứ i gắn với ẩn x j i =1, m, j =1, n .
bi , i =1, m , vế phải của phương trình thứ i.
 n
∑ aij x j = b i
Ta có thể viết hệ phương trình (I) dưới dạng  j =1
(Dạng viết thu gọn )
i = 1, 2,..., m

17


Bài giảng Toán cao cấp A1

Ví dụ 1 :
2 x1 − x2 = 3
4 x1 + 3x2 = 1

1) 

là hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình đối

với hai ẩn (m=n=2)
 x1 − 2 x2 + x3 = 4


2)  2 x1 + x2 − x3 = 0 là hệ phương trình tuyến tính gồm ba phương trình đối
− x + x + x = −1
2
3
 1
với ba ẩn(m=n=3)
2 x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0

3) 4 x1 − 2 x2 + 5 x3 + x4 = 0 là hệ phương trình tuyến tính gồm ba phương trình
2 x − x + x + 8 x = 0
 1 2 3
4
đối với bốn ẩn.(m=3,n=4)
4 x 1
x

4)  1
2 x 1
4x1

+ 2x 2
− x2
+ 3x 2
+ x2

+
+
−
−

x3 = 7
x3 = − 2
là hệ phương trình tuyến tính gồm bốn
3x 3 = 11
x3 = 7

phương trình đối với ba ẩn. (m=4,n=3)
Nhận xét : Như vậy ta thấy rằng ở bậc học phổ thông ta chi thường gặp
những hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau .
Tuy nhiên qua đây ta thấy rằng có những hệ phương trình tuyến mà số
phương trình và số ẩn ở trong hệ là không bằng nhau.
b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính :
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
 a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2
Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát:  ............................................

am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm

 a11 a12
a
a22
21
Đặt A = 
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
... a2 n ÷
÷- A gọi là ma trận hệ số của hệ (I).
... ... ÷
÷
... amn 

 x1 
 
x 
X =  2  - gọi là ma trận ẩn ( cột ẩn)

 
x 
 n

18

(I)


Bài giảng Toán cao cấp A1
 b1 
 
b 
B =  2  - gọi là ma trận vế phải (cột hệ số tự do)

 
b 

 m

 a11

a21
A = [ A B] = 
 ...

 a m1

a12
a22
...
am 2

... a1n b1 
... a2 n b2 ÷
÷ - gọi là ma trận hệ số mở rộng( ma trận
... ... ... ÷
÷
... amn bm 

mở rộng) .
Bằng phép nhân ma trận, hệ phương trình (I) được viết ở dạng ma trận như sau:
AX = B
(II)
Dạng (II) gọi là dạng ma trận của hệ (I).
- Nếu B = θ (tức là: bi = 0, i =1, m ) thì hệ (II) gọi là hệ thuần nhất. Ngược lại
thì hệ (II) gọi là hệ không thuần nhất.
- Nếu A là ma trận vuông (tức số phương trình bằng số ẩn) thì hệ (I) và (II) gọi

là hệ vuông.
- Nghiệm của hệ (I) là một bộ gồm n số thực (x1, x2, …,xn) sao cho thoả mãn tất
cả các phương trình của hệ.
Nhận xét:
Hệ thuần nhất AX = θ luôn có nghiệm không: (x1, x2, …,xn) = (0, 0, …, 0).
Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường của hệ. Các nghiệm khác nghiệm tầm
thường gọi là nghiệm không tầm thường.
Ví dụ 2 : Viết dạng ma trận của các hệ phương trình tuyến tính trong ví dụ 1 .
2
1) 
4

 1 − 2 1   x1   4 

÷ ÷  ÷
2)  2 1 − 1÷ x2 ÷ =  0 ÷
 −1
 ÷  ÷
1 1÷

  x3   −1 

− 1   x1   3 
÷ ÷ =  ÷
3   x2   1 

c) Hệ phương trình dạng tam giác : Hệ gồm n phương trình , n ẩn có dạng
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a22 x2 + ... + a2 n xn = b2


(III )được gọi là hệ phương trình

....


ann xn = bn
dạng tam giác (với a11 , a22 , ...., ann ≠ 0 )

19


Bài giảng Toán cao cấp A1

 a11 a12
 0 a
22
Ma trận hệ số A = 
 ... ...

0
 0

... a1n 
... a2 n ÷
÷ là ma trận tam giác .
... ... ÷
÷
... ann 

Hệ (III) có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3 : Cho hệ phương trình
 x1 + 4 x2 − 3x3 = 5

2 x2 + x3 = −1


3 x3 = 9


là hệ phương trình dạng tam giác.

Hệ có nghiệm duy nhất x1 = 22, x2 = −2, x3 = 3
d) Hệ phương trình dạng hình thang: Hệ gồm r phương trình , n ẩn ( với ra11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr + a1r +1 xr +1 + ... + a1n xn = b1

a22 x2 + ... + a2 r xr + a2 r +1 xr +1 + ... + a 2 n xn = b2

có dạng: 
được gọi là hệ
...


arr xr + arr +1 xr +1 + ... + arn xn = br
phương trình dạng hình thang. (với a11 , a22 , ...., arr ≠ 0 ).
 a11 a12 ... a1r ... a1n 

÷
0 a22 ... a 2 r ... a 2 n ÷


Ma trận hệ số A =
 ... ... ... ... ... ... ÷

÷
 0 0 ... arr ... arn 
Để giải hệ hình thang ta giữ lại vế trái các ẩn x1 , x2 , ...., xr (gọi là ẩn chính )
chuyển sang vế phải các ẩn còn lại là xr +1 , xr + 2 , ...., xn ( gọi là ẩn tự do ). Khi đó
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr = b1 − a1r +1 xr +1... − a1n xn

a22 x2 + ... + a2 r xr = b2 − a2 r +1 xr +1... − a2 n xn

ta có hệ 
...


arr xr = br − arr +1 xr +1... − arn xn
Cho các ẩn tự do nhận một bộ giá trị tùy ý .Khi đó hệ mới nhận được là hệ có
dạng tam giác , giải hệ này ta có nghiệm . Tuy nhiên mỗi bộ giá trị của ẩn tự do
ta lại có một bộ giá trị của ẩn chính , nên hệ ban đầu có vô số nghiệm.
Ví dụ 4 : Cho hệ phương trình
 x1 + 4 x2 − 3x3 + x4 = 5
là hệ phương trình dạng hình thang

2 x2 + x3 − 2 x4 = −1

1 4 − 3 1 
Ma trận hệ số A = 
÷
0 2 1 − 2
20

Bài giảng Toán cao cấp A1

Giải : Ẩn chính là x1 , x2
 x1 + 4 x2 − 3x3 + x4 = 5
 x1 + 4 x2 = 5 + 3x3 − x4
⇔


2 x2 + x3 − 2 x4 = −1 
2 x2 = −1 − x3 + 2 x4


Gán cho ẩn x3 = α , x4 = β ta thu được hệ phương trình tam giác :
−1 − α + 2 β
x2 =
 x1 + 4 x2 = 5 + 3α − β
2
suy ra
với ∀α , β ∈ R

2
x
=
−
1
−
α
+

2
β

2
x1 = 7 + 5α − 5β

Vậy hệ ban đầu có vô số nghiệm .
1.4.2. Hệ phương trình Cramer
 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1 22 2
2n n
2
Xét hệ phương trình 
(1)
 ............................................
an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
 a11 a12
a
a22
21
với ma trận hệ số A = 
 ... ...

 an1 an 2

... a1n 
... a2 n ÷
÷ là ma trận vuông cấp n.
... ... ÷

÷
... ann 
 b1 
 x1 
b ÷
x ÷
2
B =  ÷ và X =  2 ÷
 M÷
 M÷
 ÷
 ÷
 bn 
 xn 
Dạng ma trận của hệ (1) là AX = B (2)
Hệ (1) là hệ Cramer nếu det (A) ≠ 0.
Nhận xét :
Một hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer nếu thỏa mãn hai điều kiện:
- Ma trận hệ số A là ma trận vuông (số phương trình trong hệ bằng số
ẩn ở trong hệ )
- det(A) ≠ 0
Ví dụ: Chỉ ra hệ Cramer trong các hệ phương trình sau:
 x1 + 2 x2 = 2
1) 
2 x1 − x2 = 3
2 x1 − x2 + 3x3 − 2 x4 = 4

2) 4 x1 − 2 x2 + 5 x3 + x4 = 7
2 x − x + x + 8 x = 3
 1 2 3

4
21


Bài giảng Toán cao cấp A1

 x 1 + 2x 2 − x 3 = 2

3) 2x 1 − x 2 + x 3 = 3
− 2 x − 3x + 4 x = 4
1
2
3

 x1 + 3x2 + 4 x3 = 2

4) 2 x1 − 2 x2 − 3x3 = 3
 3x + x + x = 4
1
2
3


Hệ số 1 và hệ số 3 là hệ Cramer. Hai hệ còn lại không phải là hệ Cramer.
Phương pháp giải hệ Cramer
Định lí: (Cramer) Hệ Cramer AX = B có nghiệm:
 x1 
 
x 
X =  2  với các thành phần ẩn xi được xác định bởi công thức:


 
x 
 n
det(A i )
xi =
, i = 1.n
det(A)

Với Ai là ma trận có được từ A bằng cách thay cột thứ i của A bởi cột ma trận
vế phải B.
 x 1 + 2x 2 − x 3 = 2

Ví dụ : Giải hệ phương trình 2x 1 − x 2 + x 3 = 3
− 2 x − 3x + 4 x = 4
1
2
3

1 2 −1
2 2 −1
det A1 = 3 −1 1 = –13
Giải : Có det A = 2 −1 1 = –13
−2 −3 4
4 −3 4
1 2 −1
1 2 2
det A2 = 2 3 1 = –26
det A3 = 2 −1 3 = - 39
−2 4 4

−2 −3 4
Do đó nghiệm của hệ đã cho là
det A3
det A1
det A2
x1 =
= 1, x2 =
= 2, x3 =
= 3.
det A
det A
det A
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x1, x2, x3) = (1, 2, 3)

Ví dụ2 : Giải hệ phương trình

22


Bài giảng Toán cao cấp A1

 x1 − 2 x2 + x3 = 4

a)  2 x1 + x2 − x3 = 0
− x + x + x = −1
2
3
 1

− 3 x3 + x4 = 2

 x1
2 x − x
− x4 = 0
 1 2
b) 
2 x2 − 5 x3 + 2 x4 = 5


3x2
− x4 = 4

Giải.
a)
1 −2 1
det A = 2 1 −1 = 7.
−1 1 1
1

4

4 −2 1
det A1 = 0 1 −1 = 7.
−1 1 1

1

det A2 = 2 0 −1 = −7.
−1 −1 1

1

det A3 = 2
−1

−2

4

1
1

0 = 7.
−1

det A1
det A2
det A3
= 1, x2 =
= −1, x3 =
=1
det A
det A
det A
b) Ta có:

x1 =

1 0 −3 1
1 0 −3 1
−1 6 −3
2 −1 0 −1 h1( −2)+ h 2 0 −1 6 −3

det A =
======
= 1× 2 −5 2
0 2 −5 2
0 2 −5 2
3 0 −1
0 3 0 −1
0 3 0 −1
= −5 + 36
2
0
det A1 =
5
4

– 45
0
−1
2
3

+ 12 = −2
−3 1
0 −1 c1↔ c 4
======−
−5 2
0 −1

1 0 −3
−1 −1 0

2 2 −5
−1 3 0

2
h1+ h2
0 h1( −2 ) + h3
======−
5 h1+ h4
4

1 0 −3
0 −1 −3
0 2 1
0 3 −3

−1 −3 2
= −1× 2 1 1 = − ( −6 − 9 − 12 − 6 − 3 + 36 ) = 0
3 −3 6
1
2
det A2 =
0
0

2 −3 1
1 2 −3 1
−4 6 −3
0 0 −1
0 −4 6 −3
h1(−2) + h2

= 1× 5 −5 2
5 −5 2
0 5 −5 2
4 0 −1
4 0 −1
0 4 0 −1

= −20 + 48 – 60 + 30 = −2

23

2
2
1
6