lý thuyết đại cương về dao động điều hòa

LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

4 NÊN VÀ KHÔNG NÊN KHI Ở TRONG PHONG THI
<1> KHÔNG NÊN giải bài toán trắc nghiệp bằng phƣơng pháp tự luận.
<2> NÊN xem xét kĩ các phƣơng án A, B, C, D và nhìn bài toán từ đơn giản đến
phức tạp.
<3> KHÔNG NÊN dùng bút quá nhiều.
<4> NÊN dùng máy tính Fx 570Ms hoặc các máy tính tƣơng tự một cách “sành
điệu”.
CHƢƠNG II. DAO ĐỘNG CƠ ................................................................................... 2
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM ............................................................................................. 2
1. Phƣơng trình dao động điều hòa ................................................................................... 2
2. Chu kì, tần số và tần số góc của dao động điều hòa ...................................................... 2
3. Dao động điều hòa........................................................................................................ 3
4. Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa ............................................................... 3
5. Vật ở VTCB và vị trí biên ............................................................................................ 4
6. Hệ thức độc lập ............................................................................................................ 4
d
7. Chiều dài quỹ đạo d  CD  2 A  A  . .................................................................. 4
2
8. Các công thức toán học cần nhớ ................................................................................... 4
8.2 Hệ thức các cung đặc biệt ........................................................................................... 4
8.3 Công thức cộng .......................................................................................................... 4
8.4 Công thức nhân .......................................................................................................... 4
8.5 Công thức hạ bậc ........................................................................................................ 5
8.6 Công thức biến đổi tổng thành tích ............................................................................. 5
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI ........................................................ 5
Dạng 1. Xác định các đại lƣợng đặc trƣng của dao động điều hòa ........................................ 5
A. PHƢƠNG PHÁP ......................................................................................................... 5
B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG ................................................................................................ 5
Dạng 2. Viết phƣơng trình dao động điều hòa của vật .......................................................... 7

A. PHƢƠNG PHÁP ......................................................................................................... 7
B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG ................................................................................................ 9
Dạng 3. Sự phân bố thời gian trong dao động điều hòa....................................................... 10
A. PHƢƠNG PHÁP ....................................................................................................... 10
3.1 Chuyển động tròn đều của chất điểm M trên đƣờng tròn bán kính r = A ................... 10
3.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa của chất điểm và hình chiếu của chất điểm chuyển
động tròn đều ................................................................................................................. 10
3.3 Tính khoảng thời gian ngắn nhất (nhỏ nhất) vật dao động đi từ li độ x1 đến li độ x2.. 11
3.4 Xét các khoảng thời gian đặc biệt ............................................................................. 11
3.5 Tính khoảng thời gian dài nhất (lớn nhất) trong một chu kì ...................................... 12
3.6 Con lắc lò xo treo thẳng đứng ................................................................................... 13
3.7 Tính khoảng thời gian lò xo dãn và nén trong một chu kì ......................................... 14
B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG .............................................................................................. 14
Dạng 4. Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F)................................... 18
A. PHƢƠNG PHÁP ....................................................................................................... 18
B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG .............................................................................................. 20
Dạng 5. Tính số lần (tần suất) vật đi qua vị trí M có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) từ thời
điểm t1 đến t2 ...................................................................................................................... 24
A. PHƢƠNG PHÁP ....................................................................................................... 24
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 1


B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG .............................................................................................. 25
Dạng 6. Quãng đƣờng vật đi đƣợc ...................................................................................... 27
A. PHƢƠNG PHÁP : ..................................................................................................... 27
B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG .............................................................................................. 29
Dạng 7. Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình trên đoạn đƣờng s .................................... 33
PHƢƠNG PHÁP : .......................................................................................................... 33
CHƢƠNG II. DAO ĐỘNG CƠ

CHỦ ĐỀ 1. ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
* Dao động cơ, dao động tuần hòan
+ Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh 1 VTCB.
+ Dao động tuần hòan là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kì,
vật trở lại vị trí cũ theo hƣớng cũ.
1. Phƣơng trình dao động điều hòa
Bài toán: Khảo sát chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang. Con lắc lò xo
gồm một vật nặng gắn vào đầu một lò xo có khối lƣợng không đáng kể, đầu kia lò xo cố định.
Kéo vật nặng một đoạn rồi thả, xét vật cách VTCB một khoảng x. Viết phƣơng trình dao động.
Giải
+ Trục Ox nhƣ hình vẽ
+ Gốc O ứng với VTCB (VTCB). Tại đó lò xo không bị biến dạng.
+ Li độ x là khoảng cách |x| tính từ vị trí vật đang xét đến VTCB (x > 0 hoặc x < 0).
+ Fđh: là lực đàn hồi của lò xo; Fđh = k|x|.
⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
+ Theo Định luật II Newton, ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗ mà ⃗ ⃗⃗
⃗ chiếu lên
trục Ox: - Fđh = ma  - kx = mx"  x"
= 0 đặt
phƣơng trình trở thành :
2
x" + ω x = 0 (Phƣơng trình động lực học của dao động hay còn gọi là Phƣơng trình vi phân)
(
) gọi là Phƣơng trình dao động.
Có nghiệm :
Trong đó:
A là biên độ dao động; đơn vị m hoặc cm; đó là li độ cực đại của vật ( A  x max ) ; A > 0
  (t   ) : pha của dao động tại thời điểm t (rad). Ф và φ (đọc là phi)

 là pha ban đầu của dao động (rad).
 : tần số góc (rad/s),  > 0
* Phƣơng trình vi phân của chuyển động có dạng: x ''  2 x  0
* Nghiệm tổng quát của phƣơng trình trên là : x  A1 sin t  A2 cos t (trong đó A1 và A2
là các hằng số)
* Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân có thể viết cách khác dƣới dạng “Phƣơng
trình dao động điều hòa” có dạng : x  A cos(t   )
2. Chu kì, tần số và tần số góc của dao động điều hòa
Chu kì T là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao
động toàn phần; đơn vị là giây (s).
2
T
.

Tần số ƒ là số dao động toàn phần thực hiện đƣợc trong
một giây.
1 
f  
; đơn vị là Héc (Hz) hoặc s-1.
T 2
Trang | 2


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

+ Liên hệ giữa , T và ƒ:  

2
 2 f .
T

+ Số dao động (N) trong khoảng thời gian Δt là : N 

t
.
T

3. Dao động điều hòa
+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin hay sin của thời gian
nhân với một hằng số.
4. Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa
4.1 Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian :

v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t +  + ).
2
v  0 (vật chuyển động theo chiều dƣơng)
v  0 (vật chuyển động theo chiều âm)

Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhƣng sớm pha hơn
so
2
với với li độ.
+ Ở vị trí biên (vị trí giới hạn) x =  A thì vận tốc có giá trị bằng v = 0.
+ Ở VTCB x = 0 thì vận tốc có độ lớn cực đại, |vMax| = A.
*Vận tốc trung bình :
x x
vtb  2 1
t2  t1
∆x = x2 – x1 : độ dời;
Độ dời

= độ biến thiên tọa độ
= tọa độ lúc cuối – tọa độ lúc đầu
x1, x2 là tọa độ của chất điểm tại các thời điểm t1 và t2 tƣơng ứng
∆t = t2 – t1 : khoảng thời gian thực hiện độ dời
s
*Tốc độ trung bình 
t
∆S: quãng đƣờng đi đƣợc
∆t: khoảng thời gian đi
♦ Lƣu ý: Trong trƣờng hợp chất điểm chỉ chuyển động theo một chiều trên trục tọa độ Ox và ta
chọn chiều đó làm chiều dƣơng (+) của trục tọa độ thì độ dời trùng với quãng đƣờng đi đƣợc
và vận tốc trung bình bằng tốc độ trung bình.
4.2 Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian :
a = v' = x" = - 2Acos(t + ) = - 2x
Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhƣng ngƣợc pha với li độ

(sớm pha
so với vận tốc).
2
+ Vecto gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hƣớng về VTCB và tỉ lệ với độ lớn của li độ.
- Ở vị trí biên x =  A gia tốc có độ lớn cực đại : |aMax|=  2A.
- Ở VTCB x = 0 gia tốc bằng 0.
- Gia tốc luôn luôn trái dấu với li độ.
v  v v
*Gia tốc trung bình atb  2 1 
t2  t1 t
Lƣu ý: a.v > 0 : vật chuyển động nhanh dần
a.v < 0 : vật chuyển động chậm dần
+ Đồ thị của dao động điều hòa là một đƣờng hình sin.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 3

5. Vật ở VTCB và vị trí biên
 vMax   A
VTCB (O) xCB = 0 thì 
 aMin  0

Vật ở vị trí biên (C, D)

 vMin  0
thì 
2
xD   A
 aMax   A
xC   A

6. Hệ thức độc lập
Khi biết li độ x và vận tốc v thì biên độ A  x 

v2

2

Khi biết gia tốc a và vận tốc v thì biên độ A 

2

a2

4



v2

2

C

Khi biết li độ x và biên độ A thì v   A2  x 2 .
d
7. Chiều dài quỹ đạo d  CD  2 A  A  .
2
8. Các công thức toán học cần nhớ
8. 1 Các công thức trong tam giác
* Định lí Pitago

a

b
A

B

c

BC 2  AB2  AC 2

* Trong tam giác ΔABC, vuôn tại A
b

a
c
cos B 
a

sin B 

b
tan B  .
c

Trong tam giác bất kì ΔABC
Định lí sin :
a

b



sin A

sin B



c
sin C

A

 2R

Định lí côsin trong tam giác Δ ABC :
a  b  c  2bc.cos A
2

2

c

b

2

a

C

b 2  a 2  c 2  2ac.cos B
c 2  a 2  b 2  2ab.cos C

8.2 Hệ thức các cung đặc biệt
a. Hai cung đối nhau: sin( )   sin 
b. Hai cung phụ nhau


sin   cos(   )  cos(  )
2
2
c. Hai cung bù nhau

sin   sin(   )

d. Hai cung hơn kém nhau π



 sin   sin(   )  cos(  )
2
8.3 Công thức cộng

cos(a  b)  cos a. cos b  sin a. sin b

8.4 Công thức nhân
sin 2a  2 sin a. cos a
Trang | 4

cos( )  cos 

cos   sin(


2

)

 cos   cos(   )  cos(   )

 cos   cos(   )
sin(a  b)  sin a. cos b  sin b. cos a
cos 2a  1  2 sin 2 a  2 cos 2 a  1

B


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

8.5 Công thức hạ bậc
1  cos 2a
sin 2 a 
2
8.6 Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
cos a  cos b  2 cos
. cos
2
2
8.7 Phƣơng trình lƣợng giác đặc biệt

cos a  cos b  2sin

or


 k 2
2

sin   1      k 2
2

sin   1   

 


 k
2
8.8 Biểu thức chứa căn và giá trị tuyệt đối
A, B là biểu thức đại số hoặc là những hàm số
tan   tan       k : 

A3  A ;
x  0 : xR ;

ab
a b
.sin
2
2


 k 2
2


 k
2

cos   1    k 2
cos   1      k 2

tan   1   

tan   0    k

 A khi A  0
;
A 

A
khi
A

0


1  cos 2a
2

cos   0    

  k 2
sin   0  
    k 2
or
   k

A2  A ;

cos 2 a 


4

 k

tan   1    


 k
4

B  0 
; A2  B  A   B
AB
2
A  B 

A2  B2  A   B

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Xác định các đại lƣợng đặc trƣng của dao động điều hòa
A. PHƢƠNG PHÁP
* Vận dụng các công thức trong phần kiến thức trọng tâm để tính : A, ω, T, ƒ, x, v, a, vMax,
aMax…
* Nếu đầu bài cho phƣơng trình dao động của một vật dƣới dạng cơ bản : x  A cos(t   ) thì ta
xác định đƣợc các đại lƣợng cần tìm nhƣ : A, ω, T, ƒ, x, v, a, vMax, aMax…
* Nếu đầu bài cho phƣơng trình dao động của một vật dƣới dạng không cơ bản thì ta phải áp
dụng các phép biến đổi lƣợng giác hoặc phép đổi biến số (hoặc cả hai) để đƣa phƣơng trình đó
về dạng cơ bản rồi tiến hành làm nhƣ trƣờng hợp trên.

B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Ví dụ 1.1 Phƣơng trình dao động của một vật là x = 6cos(4t + ) (cm), với x tính bằng cm, t
6

tính bằng giây (s). Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25 s.
Hƣớng dẫn giải


7
) = 6cos
= - 3 3 (cm);
6
6

7
v = - 6.4sin(4t + ) = - 6.4sin
= 37,8 (cm/s);
6
6
a = - 2x = - (4)2. 3 3 = - 820,5 (cm/s2).

Khi t = 0,25 s thì x = 6cos(4.0,25 +

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 5


Ví dụ 1.2 Một vật nhỏ khối lƣợng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm với
tần số góc 6 rad/s. Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.
Hƣớng dẫn giải

d 20
Ta có: A =   10 cm ; |vmax| = A = 0,6 m/s; |amax| =  2A = 3,6 m/s2.
2 2
Ví dụ 1.3 Một chất điểm dao động theo phƣơng trình: x = 2,5cos10t (cm). Vào thời điểm nào

thì pha dao động đạt giá trị ? Lúc ấy li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng bao nhiêu?
3

Hƣớng dẫn giải



Ta có: 10t =
t=
(s). Khi đó x = Acos = 1,25 (cm);
3
30
3

v = - Asin = - 21,65 (cm/s); a = - 2x = - 125 cm/s2.
3


) (cm). Xác định
2
thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngƣợc chiều với chiều dƣơng
kể từ thời điểm t = 0.
Ví dụ 1.4. Một vật dao động điều hòa với phƣơng trình: x = 20cos(10t +

Hƣớng dẫn giải

Ta có: x = 5 = 20cos(10t +



)  cos(10t + ) = 0,25 = cos(±0,42). Vì v < 0 nên 10t +
2
2


= 0,42 + 2k  t = - 0,008 + 0,2k; với k  Z. Nghiệm dƣơng nhỏ nhất trong họ nghiệm
2
này (ứng với k = 1) là 0,192 s.
Ví dụ 1.5. Một vật dao động điều hòa có chu kì 2 s, biên độ 10 cm. Khi vật cách VTCB
6 cm, tốc độ của nó bằng
A. 18,84 cm/s.
B. 20,08 cm/s.
C. 25,13 cm/s.
D. 12,56 cm/s.
(Trích Đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2011)
Nhận diện dạng bài toán
Bài toán cho biết biên độ A, chu kì dao động T và li độ x, yêu cầu tìm tốc độ v. Vậy chúng ta
phải nghĩ ngay đến công thức biểu diễn mối liên hệ giữa A, x, v (hệ thức độc lập) :
A x 
2

v2



2

suy ra tốc độ : v   A2  x 2

Hƣớng dẫn giải

2 2

  (rad/s).
T
2
Tốc độ của vật : v   A2  x2   102  62  8  25,13(cm / s)

Tần số góc:  

Chọn đáp án C.
Ví dụ 1.6. Lực kéo về tác dụng lên một chất điểm dao động điều hòa có độ lớn
A. tỉ lệ với độ lớn của li độ và luôn hƣớng về VTCB.
B. tỉ lệ với bình phƣơng biên độ.
C. không đổi nhƣng hƣớng thay đổi.
D. và hƣớng không đổi.
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2010)
Trang | 6


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

Hƣớng dẫn giải
Công thức tính lực kéo về là F = - kx, độ lớn lực kéo về tỉ lệ với độ lớn của li độ |x|; dấu (-)
cho ta biết lực kéo về luôn ngƣợc hƣớng với li độ và hƣớng về VTCB.
Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.7. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua VTCB thì tốc
độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là
. Biên độ dao động của chất điểm là
√
A. 4 cm.
B. 5 cm.
C. 8 cm.
D. 10 cm.
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011)
Nhận diện dạng bài toán
Đề cho biết chất điểm đi qua VTCB, khi đó x = 0 và tốc độ của chất điểm là cực đại |νMax|. khi
đó ta có : |νMax| = A hay suy ra A 

vMax



Hƣớng dẫn giải
Từ công thức : A2 
A

vMax



2
. Khi đó vMax

Biên độ dao động A 

a2



v2

vMax



4

, mặt khác tại VTCB (x = 0) tốc độ của chất điểm cực đại :

2
a2
a
40 3
2
v  2  

 4 rad / s .
2
2

vMax  v
202  102



20
 5 cm .
4

Chọn đáp ánh B.
Dạng 2. Viết phƣơng trình dao động điều hòa của vật
A. PHƢƠNG PHÁP
Chọn hệ quy chiếu:
+ Trục Ox có chiều dƣơng đƣợc chọn theo yêu cầu của đề hoặc tùy ý.
+ gốc toạ độ (O) tại VTCB
+ gốc thời gian (t = 0) tùy theo bài toán
Phƣơng trình dao động có dạng:
x = Acos(t + )
Phƣơng trình vận tốc:
v = - Asin(t + )
Để viết đƣợc phƣơng trình dao động điều hòa ta cần tìm 3 đại lƣợng : A, ω, φ.
1. Xác định tần số góc  (lƣu ý:  > 0)
2
t
+  = 2ƒ =
; với T  , N: số dao động toàn phần trong khoảng thời gian Δt.
T

+
+ 

N

k
, ( k: N/m, m: kg) - nếu con lắc lò xo.

m
v

A2  x 2

+ khi cho độ dãn của lò xo ở VTCB là Δℓ: k.  mg 

k
g
g

 
m 


2. Xác định biên độ dao động A: (A > 0)
+A=

d
, d: là chiều dài quỹ đạo của vật dao động
2

+ đề cho li độ x ứng với vận tốc v thì ta áp dụng hệ thức độc lập: A  x 2 

v2

2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 7

(nếu buông nhẹ, khi đó v = 0 => A = |x|)
+ đề cho vận tốc ν và gia tốc a thì A 

a2

4

+ đề cho vận tốc cực đại νMax thì A 

vM ax

+ đề cho gia tốc cực đại aMax thì A 

aM ax



v2

2



2

+ đề cho lực hồi phục cực đại FMax thì FM ax  kA  A 
+ đề cho chiều dài lớn nhất và nhỏ nhất của lò xo: A 
+ đề cho năng lƣợng của dao động W thì A 

FM ax
k
max


2

min

2W
k

3. Xác định pha ban đầu  (      )

   
2 3 5
* Các góc pha ban đầu thƣờng gặp là 0;  ;  ;  ;  ;   ;  ;  ;  ...
6 4 3 2
3
4
6
* Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định pha ban đầu  (giả sử li độ x và vận tốc v của
vật đã biết ở thời điểm ban đầu t = 0)
Tổng quát:
* Biên độ có thể tính theo hệ thức độc lập về thời gian: A  x02 

v02

2

.

x0

cos   A
 x  x0
 A cos   x0
  ?



* Khi t = 0 thì 
A  ?
v  v0
 A sin   v0
sin    v0

A

Lƣu ý:
* Phƣơng trình lƣợng giác:
cos   a  cos   cos       k 2
    k 2
sin   a  sin   sin   
      k 2
1


Ví dụ: cos    cos   cos      k 2
2

3
3
+ Vật đi theo chiều dƣơng thì v > 0  sinφ < 0 => φ < 0.
+ Vật đi theo chiều âm thì v < 0  sin > 0 => φ > 0.
TH1 : Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua VTCB



    k 2
cos   0

x  0
 A cos   0
  ?
2





Khi t = 0 thì 
v0  
A  ?
v  v0
 A sin   v0
sin     A
 A   v0  v0

 sin 0 

Lƣu ý : Tốc độ tại VTCB |ν0| ≡ |νMax|
TH2 : Chọn gốc thời gian lúc kéo vật (nén vật) cách VTCB một khoảng x0 rồi buông nhẹ vật
+ nếu buông nhẹ, khi đó v = 0
x0

x

 0  A  x0
 x  x0
 A cos   x0
cos   0
A 
cos 



Khi t = 0: 
A 
  k ( 0;   ;  2 ...)
v  0
 A sin   0
sin   0
  k


Trang | 8


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

Lƣu ý:
+ khi thả nhẹ (buông nhẹ) vật v = 0, A = x0
+ Khi vật đi theo chiều dƣơng thì v > 0 (khi vật đi theo chiều âm thì v < 0).
+ Trƣớc khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tƣ thứ mấy của Áp dụng đƣờng tròn
lƣợng giác
B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Ví dụ 2.1 (Bài 1) ( SGK) Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4 cm và chu kì T = 2 s.
a. Viết phƣơng trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua VTCB theo
chiều dƣơng.
b. Tính li độ của vật tại thời điểm t = 5,5 s.
Hƣớng dẫn giải

2 2

  (rad / s) và A 4 cm.
T
2
Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua VTCB theo chiều dƣơng


 x  0  A cos   0 cos   0     k 2




     k 2
Khi t 0 thì 
2
2
v  0

 A sin   0 sin   0
  0

a. Tốc độ góc  


Phƣơng trình dao động có dạng x  4cos( t  ) (cm);
2


b. khi t = 5,5 s : x  4cos( t  )  4cos(5,5  )  4 cm
2
2
Ví dụ 2.2 (Bài 3) Một vật dao động điều hòa theo phƣơng trình x  A cos(t   ) (cm) . Khi pha

dao động là
thì vật có li độ 5 cm, vận tốc v  100 3 cm/s . Viết phƣơng trình dao động của
3
vật, chọn gốc thời gian lúc vật có li độ x  5 3 cm và đang chuyển động theo chiều dƣơng.
Hƣớng dẫn giải
* Đề cho pha của dao động ở một thời điểm t là Ф = (ωt + φ) =


3

. Thay vào biểu thức của li

độ x và vận tốc v, ta có



A cos  5

x

5

 A  10 cm


3


* khi pha dao động là
thì 
3

  20 rad / s
v  100 3
v   A sin   100 3

3




* Tìm φ = ?
Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ x  5 3 cm và đang chuyển động theo chiều dƣơng;
Khi t = 0 thì




5 3
3
5 3


 x  5 3  A cos   5 3 cos  
cos  
    k 2


     k 2
6

10
2 
A 
6
v  0
 A sin   0
 sin   0
  0
  0




Vậy, phƣơng trình dao động là x  10cos(20t  ) (cm).
6
Ví dụ 2.3 (ĐH2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s

chất điểm thực hiện đƣợc 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 9


có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40 3 cm/s. Lấy π = 3,14. Phƣơng trình dao động của
chất điểm là

A. x  6cos  20t   (cm) .


B. x  6cos  20t   (cm) .

6


C. x  4cos  20t   (cm) .
3


6


D. x  4cos  20t   (cm) .
3


(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011)
Nhận diện dạng bài toán
Đây là dạng bài tập cơ bản về viết phƣơng trình dao động. Cần lƣu ý những điểm sau :
+ Đề cho biết số dao động toàn phần (N) và khoảng thời gian Δt để từ đó suy ra chu kì T.

+ Chất điểm chuyển động theo chiều âm với tốc độ là 40 3 cm/s có nghĩa là :
v  40 3 (cm / s) .
Hƣớng dẫn giải
Đề cho: Δt = 31,3 s và số dao động toàn phần N = 100; vậy chu kì của dao động là
t 31, 4
2
2
T

 0,314 ( s)  0,1 ( s)   

 20 (rad / s)
N 100
T
0,1
ở thời điểm t = 0: li độ của chất điểm x0 = 2 cm và vận tốc của chất điểm v0  40 3 ( cm / s)
Biên độ A  x02 

v02

2

 22 

(40 3)2
 4 cm .
202

Khi t = 0 thì
1




cos   2
 x  2
 4 cos   2

    k 2



    k 2 .
3

3
20.4sin   40 3
v  40 3
sin   3  0   0

2

Phƣơng trình dao động là x  4cos  20t   (cm) .


3

Chọn đáp án C.
Dạng 3. Sự phân bố thời gian trong dao động điều hòa
A. PHƢƠNG PHÁP
3.1 Chuyển động tròn đều của chất điểm M trên đƣờng tròn bán kính r = A

Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên đƣờng tròn có bán kính r = A. Tốc độ
góc của chất điểm là ω (rad/s) không đổi,

d
  0.
dt

Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm đang ở vị trí M0 và bán kính OM0 hợp với trục Ox một
góc φ.
Sau khoảng thời gian t chất điểm ở vị trí M1 và bán kính OM1 hợp với trục Ox một góc
Ф = ωt + φ (ωt là góc quét của bán kính OM).
3.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa của vật và hình chiếu của chất điểm chuyển động
tròn đều
* Phƣơng trình dao động điều hòa của vật có dạng x  Acos(t  ) .
+ Ở thời điểm t = 0 : x  A cos  .
+
x

Acos(

t


)
+ Ở thời điểm t :
.
M1
(t = 0)
* Hình chiếu của chuyển động tròn đều:
M0

ωt
+ Ở thời điểm t = 0 : hình chiếu của điểm M0

-A
+A +
xuống trục ngang Ox là P0, có độ dài đại số là
x
O
P1
P0
OP0  OM0 cos   A cos  .
Trang | 10


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

+ Ở thời điểm t : hình chiếu của điểm M1 xuống trục ngang Ox là P1, có độ dài đại số là
OP1  OM1 cos(t  )  A cos(t  ) .
(Cm: xét tam giác Δ OM1P1 vuông tại P1, góc M1OP1    (t  ) nên
OP1  OM1cos[  (t  )]  OM1 cos(t  )  Acos(t  ) , có độ

dài

đại

số

là

OP1  A cos(t  ) .

Kết luận: Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động
điều hòa.
* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công
cụ rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đƣờng và thời gian trong dao động
điều hòa. Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chƣơng Dao động cơ học này mà ở các
chƣơng về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của
nó. Và việc hiểu để áp dụng đƣợc là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh
các bài toán.
3.3 Tính khoảng thời gian ngắn nhất (nhỏ nhất) vật dao động đi từ li độ x1 đến li độ x2
Cách 1 : Ta dùng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
+ Khi vật dao động điều hòa đi từ li độ x1 đến li độ x2 thì tƣơng ứng với chất điểm chuyển
động tròn đều từ M1 đến M2 (chú ý x1 và x2 là hình chiếu vuông góc của M1 và M2 lên trục
Ox).
+ Thời gian ngắn nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 bằng thời gian chất điểm chuyển động tròn
đều từ M1 đến M2.
+ Vật chuyển động càng gần VTCB thì tốc độ càng lớn nên mất khoảng thời gian nhỏ.
+ Góc quét   .t M1 M2

+ Khoảng thời gian ngắn nhất là
M OM 2 M1OM 2
t  t M1 M2  1

T

2
Trong đó, góc quét M1OM2  x1M1O  x 2 M2O với

+
M2
M1

ωt
-A

+A
x2

x1
A
x
sin(x 2 M 2 O)  2
A

sin(x1M1O) 

O

x1

+
x

Lƣu ý :
+ Chất điểm luôn chuyển động theo chiều ngƣợc với chiều kim đồng hồ.
+ Vật chuyển động theo chiều dƣơng : hai điểm M1 và M2 nằm ở dƣới.
+ Vật chuyển động theo chiều âm : hai điểm M1 và M2 nằm ở trên.

2

+ 0  x1M1O, x 2M 2O  .
3.4 Xét các khoảng thời gian đặc biệt

A
T
mất khoảng thời gian
.
2
12
Chứng minh : Xác định khoảng thời gian theo li độ x; trong đó vật đi từ VTCB x1 = 0 đến li
A
A
độ x2  . (đến x2   làm tƣơng tự)
2
2
Trong đó, góc quét M1OM2  x1M1O  x 2 M2O với

3.4.1 Khi vật đi từ VTCB x = 0 đến x  

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 11


x1
0
  0  x1M1O  0
A A
A
x2
1

sin(x 2 M 2O) 
 2   x 2 M 2O 
A

A 2
6

sin(x1M1O) 

-A

O

A
2

x
+

x2

x1

+A


6

Khoảng thời gian ngắn nhất là

M1OM 2
T
t  t M1 M2 
T 6 T .

2
2
12

M2
M1

T
A
đến x=  A mất khoảng thời gian .
2
6
A 2
T
3.4.3 Khi vật đi từ x = 0 đến x  
mất khoảng thời gian .
2
8
A 2
T
3.4.4 Khi vật đi từ x  
đến x=  A mất khoảng thời gian .
2
8

3.4.2 Khi vật đi từ x  

* Trục phân bố khoảng thời gian đặc biệt
A 3
2

T
12

T
6

M1

A 2
2
T
8
T
12

Biên
âm
-A

O
T
2

T
4

x2

O

-A

ωt

T
8
A
2

T
6

+A
x1

+
x

M2
Hai vị trí li độ cùng phía (so với VTCB O)

Biên
dương
A

M2
ωt

-A

+A
O

x1

x2

+
x

Lƣu ý:
+ Phân bố khoảng thời gian ở biên âm tƣơng tự.
3.5 Tính khoảng thời gian dài nhất (lớn nhất) trong
một chu kì
+ Khi vật dao động điều hòa đi từ li độ x1 đến li độ x2 thì
tƣơng ứng với chất điểm chuyển động tròn đều từ N1 đến
N2 .
+ Thời gian dài nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 bằng
thời gian chất điểm chuyển động tròn đều từ N1 đến N2.
+ Vật chuyển động càng gần vị trí biên (càng xa VTCB)
thì tốc độ nhỏ nên mất khoảng thời gian lớn.
+ Góc quét   .t M M
+ Khoảng thời gian dài nhất là
1

Trang | 12

2

M1
Hai vị trí li độ cùng phía (so với VTCB O)

M1
-A

x2

O

+A
ωt

x1

M2
Hai vị trí li độ khác phía (so với VTCB O)

+
x


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

M1OM 2 M1OM 2

T

2
* Dựa vào hình dạng của góc quét (ωt) mà ta vận dụng các công thức lƣợng giác trong tam

giác để tính.
Lƣu ý: + Phƣơng pháp trên áp dụng cho bài toán dao động cơ học: li độ x, áp dụng cho vận
tốc, gia tốc a, lực F, năng lƣợng.
+ Phƣơng pháp trên áp dụng cho bài toán trong dao động điện từ: điện tích, cƣờng độ dòng
điện, hiệu điện thế ta làm tƣơng tự.
Lúc đó, biên độ là giá trị cực đại (νMax, aMax, FMax…QMax, IMax….)
Cách 2 : Tính theo độ lớn hiệu hai góc lệch pha
x

cos 1  1


 2  1
A
với 
và ( 0  1 ,2   )
t 



cos   x2
2

A
Cách 3 : Tính hiệu thời điểm khi vật dao động đi từ li độ x1 đến li độ x2
x1
x1


cos(


t
)


t

arc
cos(
)
1
1
 x1  A cos(t1 )


A
A


 t1 , t2

x
2
 x2  A cos(t2 ) cos(t )  x2
t  arc cos( )
2

 2
A
A

khoảng thời gian ∆t = t2 – t1, 0  t1 , t2   .
3.6 Con lắc lò xo treo thẳng đứng
Bài toán: Khảo sát chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo treo thẳng đứng. Con lắc lò
xo gồm một vật nặng gắn vào đầu một lò xo có khối lƣợng không đáng kể, đầu kia lò xo cố
định. Kéo vật nặng một đoạn rồi thả, xét vật cách VTCB một khoảng x. Viết phƣơng trình dao
động.
Giải
Phƣơng trình dao động có dạng x  A cos(t   ) .
t  t M1 M2 

Theo định luật II Newton, ta có : khi vật cân bằng F0  P  ma , tại VTCB a = 0 nên F0  P  0
chiếu lên trục Ox F0  P  0  F0  P  k.  mg
Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB
 

mg
k

Các đại lƣợng thƣờng dùng trong dao động
Tần số góc :  

g


Chu kì dao động : T 

2

 2


g

Tần số dao động : f 


1 g

2 2 

+ Chiều dài lò xo tại VTCB: ℓCB = ℓ0 + ℓ (ℓ0 là chiều dài tự nhiên)
+ Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): ℓMin = ℓ0 + ℓ – A
+ Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): ℓMax = ℓ0 + ℓ + A
Cách tính khác :

CB



Max


2

Min

và A 

Max



2

Min

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 13


3.7 Tính khoảng thời gian lò xo dãn và nén trong một chu kì
a. Tính khoảng thời gian lò xo nén trong một chu kì
Khi A >ℓ (Ox có chiều dương hướng xuống)
- Trong một chu kì, thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí
x1 = -ℓ đến x2 = -A.
- Trong một chu kì, thời gian lò xo dãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí
x1 = -ℓ đến x2 = A.
Lƣu ý: Trong một dao động toàn phần (một chu kì) lò xo nén 2 lần và dãn 2 lần
(Áp dụng đƣờng tròn lƣợng giác)
+ Trong một chu kì, khi vật dao động từ tọa độ - Δℓ đến tọa độ - A rồi trở lại thì trong
khoảng thời gian đó lò xo nén.
Khi đó bán kính OM1 quét đƣợc một góc   .t nén  M1OM 2  t nén 

M1OM 2
)
.
2
A
b. Tính khoảng thời gian lò xo dãn trong một chu kì
(Áp dụng đƣờng tròn lƣợng giác)
+ Khoảng thời gian lò xo dãn trong một chu kì là
tdãn = T - tnén.

Trong đó, cos(

M1OM 2
.


M1

Dãn

Nén

+A

-A
- Δℓ

O

+
x

B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG
M2
Ví dụ 3.1 (Bài 1) Xét một vật dao động điều hòa theo
phƣơng trình x  A cos(t   ) Tính khoảng thời gian
A
ngắn nhất vật đi từ VTCB đến li độ x  . Lập tỉ số khoảng thời gian vật đi từ VTCB đến li độ
2
A

A
x  với khoảng thời gian vật đi từ li độ x  đến biên độ A.
2
2
Nhận diện dạng bài toán
Đề cho vị trí li độ là những điểm đặc biệt, vậy ta có nhiều cách giải; trong đó sử dụng Trục
phân bố khoảng thời gian là nhanh nhất.
Hƣớng dẫn giải
A
T
mất khoảng thời gian
.
2
12
A
T
Khi vật đi từ x   đến x= + A mất khoảng thời gian .
2
6
T
1
Tỉ số 2 khoảng thời gian: 6  .
T 2
12

Khi vật đi từ x = 0 đến x  


Ví dụ 3.2 (Bài 4) Một vật dao động điều hòa theo phƣơng trình x  6cos(10 t  ) (cm) . Tính
4

khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ x = 1 cm đến li độ x = - 2 cm.
Hƣớng dẫn giải
Vật dao động đi từ vị trí có li độ x1 = 1 cm đến vị trí x2 = - 2 cm tƣơng đƣơng với một chất
điểm di chuyển từ vị trí M1 đến M2 trên đƣờng tròn có bán kính r = A = 6 cm.
Trang | 14


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

Chu kì dao động T 

2 2 1

 s
 10 5

M2

Trong đó, góc quét M1OM2  x1M1O  x 2 M2O với

M1

ωt
-6

x
1
sin(x1M1O)  1   x1M1O  0,167 rad
A 6
x

2 1
sin(x 2 M 2O)  2    x 2 M 2O  0,340 rad
A 6 3

+6
x2 = -2 O

x1= 1

+
x

Δt

Khoảng thời gian ngắn nhất là
M OM 2
0,167  0,340 1
t  t M1 M2  1
T
.  0,016s .
2
2
5
Ví dụ 3.3 (Bài 6) Một con lắc lò xo dao động trên quỹ đạo có độ dài 16 cm, chu kì bằng 0,2 s.
a. Trong một chu kì, tính khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x = - 4 cm
đến vị trí có li độ x = 2 cm.
b. Trong một chu kì, tính khoảng thời gian dài nhất vật đi từ vị trí có li độ x = - 4 cm
đến vị trí có li độ x = 2 cm.
Hƣớng dẫn giải
Đề cho A = 8 cm và T = 0,2 s.


a. Làm tƣơng tự nhƣ ví dụ 3.2 trên ta có x1M1O  rad và x 2 M2O  0, 253rad .
6
Δt

-8

+8
-4

Khoảng thời gian ngắn nhất là t  t M1 M2

O 2

 0, 253
M1OM 2

T 6
.0, 2  0, 025s
2
2

b. Khoảng thời gian dài nhất khi vật đi đƣợc một đoạng đƣờng nhƣ hình (vật đi qua biên)
Δt

-8

+8
-4

t  t

A
(  ) (  A )
2

O 2

 t(  A)0  t2

t1

Dựa vào các khoảng thời gian đặc biệt và tính thêm khoảng thời gian Δt2 vật đi từ VTCB đến
A
x = 2 cm. (với x  4   )
2
T T 5T
 0,083 s và Δt2 = 0, 012 s.
Trong đó, t1   
6 4 12
Tổng thời gian là t  t1  t2  0,083  0,012  0,095 s

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 15


Ví dụ 3.4 (ĐH2010): Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian
ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x  

A

, chất điểm có tốc độ trung bình
2

là
A.

6A
.
T

B.

9A
.
2T

C.

3A
.
2T

D.

4A
.
T

(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2010)
Hƣớng dẫn giải

-A

x2  

A
2

x1

O

+A

Δt
+ Theo trục thời gian đặc biệt ta đã khảo sát, khoảng thời gian con lắc đi từ biên dƣơng A đến
VTCB là

T
A
T
T T T
và từ VTCB đến vị trí x   là . Tổng thời gian sẽ là t    .
2
12
4 12 3
4

+ Quãng đƣờng vật đi đƣợc trong khoảng thời gian ngắn nhất ở trên là S= A + A/2 = 3A/2.
3A

S
9A
+ Tốc độ trung bình v   2  .
T
t
2T
3

Chọn đáp án B.
Ví dụ 3.5 Bài 6 (ĐH2010): Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm.
Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vƣợt
quá 100 cm/s2 là

T
. Lấy 2=10. Tần số dao động của vật là
3

A. 4 Hz.

B. 3 Hz.

C.1 Hz.
D. 2 Hz.
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2010)

Hƣớng dẫn giải

Δt

a Max

Δt
- 100

Δt
O
T
3

a Max

+
a

Δt
100

Giá trị độ lớn gia tốc cực đại a Max  2 A .
Gọi khoảng thời gian vật nhỏ tăng gia tốc từ a = 0 đến a = 100 cm/s2 là Δt.
T
T
Theo hình ta có 4t   t  . Vậy, vị trí gia tốc đạt giá trị ±100 cm/s2 nằm tại trung
3
12
a
điểm từ a = 0 đến a Max . Hay a  100cm / s 2   Max  a Max  200cm / s 2 .
2
Mặt khác

a Max  200

200 200

2
2

 40    2 10 rad / s .
   A  200   
2
A
5
a Max   A 


 2 10 2 2


 1Hz.
Tần số dao động của vật là f 
2
2
2

Ví dụ 3.6 : Xác định khoảng thời gian theo lực
(Bài 3) (ĐH2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều
hòa theo phƣơng thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lƣợt là 0,4 s và 8 cm.
Chọn trục Ox thẳng đứng chiều dƣơng hƣớng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời
Trang | 16


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dƣơng. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và
2 = 10. Thời gian ngắn nhất kẻ từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là
A.

4
s.
15

B.

7
s.
30

C.

3
s.
10

D.

1
s.
30

(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2008)
Hƣớng dẫn giải
Con lắc lò xo treo thẳng đứng có độ dãn của lò xo tại VTCB là


gT 2 10.0, 42
T  2
  2 
 0,04 m  4cm . Biên độ A = 8 cm > Δℓ nên con lắc lò xo có
g
4
4 2
lực đàn hồi cực tiểu khi ở vị trí có li độ x = - Δℓ = - 4 cm (lúc đó lò xo không bị dãn hoặc nén).
Lúc t = 0 vật qua vị trí cân bằng theo chiều dƣơng nên x = 0 và v > 0.
T T 7T 7.0, 4 7

 s
Thời gian ngắn nhất mà vật đi từ x = 0 đến x = - 4 cm là t  2  
4 12 12
12
30

-8

+8
-4

+
x

O

Ví dụ 3.7 Khoảng thời gian lò xo dãn và nén trong một chu kì
(Bài 1) Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phƣơng thẳng đứng với phƣơng trình


x  5cos(20t  ) (x tính theo cm; t tính theo s). Tính thời gian lò xo dãn ra trong một chu kì.
3
Hƣớng dẫn giải
g
g
10

   2  2  0, 025m  2,5cm .


20
+ ĐK biên độ A = 5 cm > Δℓ = 2,5 (thỏa).
+ Trong một chu kì, khi vật dao động từ tọa độ - Δℓ đến tọa độ - A rồi trở lại vị trí cũ thì trong
khoảng thời gian đó lò xo nén.
M OM 2
Khi đó bán kính OM1 quét đƣợc một góc   .t nén  M1OM 2  t nén  1
.


2,5 1
M OM 2
M OM 2 
2
)

  1
  M1OM 2  .
Trong đó, cos( 1
2

A
5
2
2
3
3

t nén

2
M1OM 2 3
1

 s

20 30

Thời gian lò xo bị dãn là t dãn  T  t nén 

2 1
1
  s.
20 30 15

Ví dụ 3.8 (ĐH2012) : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi vTB là tốc độ trung
bình của chất điểm trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì,

khoảng thời gian mà v  vTB là
4

A.

T
6

B.

2T
3

C.

T
3

D.

T
2

(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012)
Hƣớng dẫn giải
v = |v| là tốc độ tức thời của chất điểm.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 17


νTB : tốc độ trung bình của chất điểm.
2 A
.
vMax   A 

T

Δt

Δt

vMax

 v TB
4

Δt
Theo đề ta có

 4A  A
v

4

vTB  v 

.

4 T



T

v

O

vMax

vTB
4

+
v

Δt

v
v
v
1 2 A
 v  Max  v   Max  v  Max .
2 T
2
2
2

Lúc này bài toán đƣợc chuyển sang ĐK mới là
v

vMax
v
 v  Max
2

2

vMax
T
đến v = vMax là .
2
6
T 2T
s.
Dựa vào hình trên ta có 4 khoảng thời gian thỏa ĐK : t  4t  4 
6
3

Khoảng thời gian Δt vật tăng tốc tính từ trung điểm

Chọn đáp án B.
Dạng 4. Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F)
A. PHƢƠNG PHÁP
4.1. Tính thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x0
(Phƣơng pháp đại số)
Phƣơng trình dao động có dạng x = Acos(t + )
Phƣơng trình vận tốc
v = -Asin(t + )
a. Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x0 đƣợc xác định nhƣ sau
x  A cos(t  )  x 0  cos(t  ) 

   k2
x0
 
 cos   t    

với     ; 
A
 2 2
   k2

*Nếu vật đi qua vị trí có li độ x0 theo chiều dƣơng (v > 0)
Vận tốc v  Asin(t  )  0  sin(t  )  0  (t  )  0 và thời gian t > 0
t      k2  t 

   k2   
*


 kT . Với k N* (N = 1, 2 ,3 ...)




*Nếu vật đi qua vị trí có li độ x0 theo chiều âm (v < 0)
Vận tốc v  Asin(t  )  0  sin(t  )  0  (t  )  0 và thời gian t > 0
t      k2  t 

   k2   


 kT . Với k N (N = 0, 1, 2, 3 ...)




k : là số dao động đi qua vị trí theo một chiều xác định.
(Với điều kiện t > 0; k là số nguyên, T là chu kì dao động).
b. Thời điểm vật đi qua vị trí có vận tốc ν0 đƣợc xác định nhƣ sau
v  A sin(t  )  v0  sin(t  )  
    k2   
 t        kT

 t        k2        kT




    0
k  N khi 
      0
Trang | 18

  k2
v0
 
 sin   t    
với     ; 
A
 2 2
     k2


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

    0

k  N* khi 
      0
(Với điều kiện t > 0; k là số nguyên, T là chu kì dao động).
4.2. Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x0 (hoặc v, a, Wđ, Wt, F...) lần thứ m
(Phƣơng pháp đƣờng tròn lƣợng giác)
a. Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x0 (hoặc v, a, Wđ, Wt, F...) lần thứ m
Bƣớc 1 : Trong một chu kì, vật đi qua vị trí M có li độ x0 2 lần
M1
+ Tính chu kì dao động T.
+ Xác định li độ x và vận tốc v lúc ban đầu t = 0.
Sử dụng trục thời gian : tổng thời gian vật qua vị trí có li độ x0
-A
lần thứ m là
x0

t  t1  t 2

+A
O

+
x

Bƣớc 2 :
*Số dao động m = 2n + 1 (số lẻ) thì
M2
Δt1 : tính từ lúc ban đầu (t = 0) đến khi đi qua vị trí x0
lần đầu.
Δt2 : khi thực hiện đƣợc (n) dao động toàn phần còn lại cho đến khi đi x0 lần thứ m.
*Số dao động m = 2n + 2 (số chẵn) thì

Δt1 : tính từ lúc ban đầu (t = 0) đến khi đi qua vị trí x0 lần thứ 2;
Δt2 : khi thực hiện đƣợc (n) dao động toàn phần còn lại cho đến khi đi qua x0 lần thứ m.
Lƣu ý: Vật chƣa thực hiện hết một dao động khi đi qua x0 thì sử dụng phƣơng pháp : Mối liên
hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để tính khoảng thời gian Δt1 và Δt2 = 0.
Sơ đồ thời gian:

Δt1

Δt2 = nT
t1

t=0

tm
2n lần

1

m = 2n + 1 lần
Δt1

Δt2 = nT
t2

t=0

tm
2n lần

2

m = 2n + 2 lần
b. Thời điểm vật đi qua vị trí có vận tốc v (hoặc a, Wđ, Wt, F...) lần thứ m
Nhận xét :
+ Trong một chu kì, vật đạt vận tốc ν 2 lần ở hai vị trí đối xứng nhau qua VTCB.
 v Max

-v

v
O

+v

 v Max

+
v

+ Trong một chu kì, vật đạt gia tốc a 2 lần ở hai vị trí đối xứng nhau qua VTCB.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 19


B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG


3

Ví dụ 4.1 Một vật dao động điều hòa theo phƣơng trình x  Acos(2t  ) cm . Tính thời điểm

vật đi qua VTCB theo chiều âm.
Hƣớng dẫn giải
Khi vật đi qua VTCB theo chiều âm thì li độ và vận tốc của vật là







 x  A cos(2t  3 )  4 cos 0  0
cos(2t  3 )  0
(2t  3 )   2  k2




 2t     k2

3
2
 v  2A sin(2t   )  0
sin(2t   )  0
(2t   )  0



3
3
3




 2t 

 
5
  k2  t   k (s), k  0,1, 2...
3 2
12

Ví dụ 4.2 Một chất điểm dao động điều hoà theo phƣơng trình x  4cos2t (x tính bằng cm; t
tính bằng s). Tính thời điểm lần thứ nhất vật đi qua VTCB.
Hƣớng dẫn giải
Cách 1 :
Chu kì dao động T 

2 2

 1s
 2
 x  4cos 2.0  4cos 0  4cm
 v  2.4sin 0  0

Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm có li độ và vận tốc là 

Vật đang ở vị trí biên rồi đi qua VTCB lần thứ nhất nên chƣa đi hết một chu kì (n = 0, trong đó
n là số dao động toàn phần Δt2 = nT = 0).
Áp dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để tính khoảng thời gian



T 1
vật đi qua vị trí li độ x = 0 cm một lần : t  T  2 T    0, 25s .
2
2
4 4
Thời điểm vật đi qua vị trí li độ x0 = 0 cm : t  t1  t 2  0, 25s .

Δt1

Δt2 = nT = 0
t1

t=0

tm
0 lần

1

m = 1 lần
M1

-4

x0 = 0

M0 +4 +
x

O

T
4

Cách 2 :


2

Vật qua vị trí cân bằng nên x  4cos2t  0  cos2t  0  2t    k2
Trang | 20


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

 x  4cos 2.0  4cos 0  4cm
 v  2.4sin 0  0

Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm có li độ và vận tốc là 

Vật đang ở vị trí biên rồi đi qua VTCB lần thứ nhất nên chuyển động theo chiều âm.
Vận tốc v  Asin(t  )  0  sin(t  )  0  sin(2t)  0  2t  0 và thời gian t > 0;

2

1
4

chọn nghiệm 2t    k2   t   k; k N * .

Qua VTCB lần thứ nhất theo chiều âm, nên k = 0 : t 

1
 0, 25s .
4

Ví dụ 4.3 (ĐH2011): Một chất điểm dao động điều hoà theo phƣơng trình x  4cos

2
t (x tính
3

bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = - 2 cm lần thứ 2011 tại
thời điểm
A. 3016 s.
B. 3015 s.
C. 6030 s.
D. 6031 s.
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011)
Cách 1 :
Nhận diện dạng bài toán
Chu kì dao động T 

2 2

 3s
 2
3

2


 x  4 cos 3 .0  4 cos 0  4 cm
Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm có li độ và vận tốc là 
 v   2 .4sin 0  0

3

Vật đang ở vị trí biên dƣơng, khi đi hết một chu kì thì vật qua vị trí x = - 2 cm hai lần. Khoảng
thời gian mà chất điểm đi qua vị trí x = -2 cm lần thứ 2011 là 

2011
2011
T
.3  3015,5s .
2
2

+ Biết m =2011 (là số lẻ) = 2n + 1
+ Khoảng thời gian vật đi từ x = 4 cm đến x = - 2 cm là Δt1.
+ Khoảng thời gian vật đi từ x = - 2 cm đến x = -2 cm sau 2n lần là Δt2 = nT.
+ Tổng thời gian vật đi qua vị trí x = - 2 cm tính từ lúc t = 0: t = Δt1 + Δt2 = Δt1 + nT

Δt1

-4
-2

O
Δt2 = nT

+4

+
x

Hƣớng dẫn giải
Vật bắt đầu xuất phát tại vị trí li độ x = 4 cm.
Vật đi qua vị trí x = - 2 cm 2 lần trong một chu kì.
Sau 2n = 2011-1 = 2010 (số chẵn) lần vật đi qua vị trí x = - 2 cm mất khoảng thời gian
t 2  nT 

2011  1
3  3015s .
2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 21


Δt1

Δt2 = nT = 1005T

t=0

t2011

t1
2n = 2010 lần

1

m = 2.1005 + 1 lần
Áp dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để tính khoảng thời gian
để vật đi qua vị trí li độ x = - 2 cm một lần.
M1

Δt1

ω.Δt1
M0

-4
x2 = - 2

O

+4
x1

+
x

M2

T T T 3
    1s ; (bao gồm khoảng thời gian từ vị trí biên x1 = A = 4 cm đến VTCB là
4 12 3 3
T
A
T

và từ VTCB đến vị trí li độ x 2    2cm là ).
2
12
4

t1 

Thời điểm vật đi qua vị trí li độ x = - 2 cm là t  t  t1  t 2  3015  1  3016s .
Chọn đáp án A.
Cách 2 :
Vật qua vị trí x = - 2 cm nên
2
2
2
1
2
2
2
t  2  cos t 
   cos

t
 k2
3
3
4
2
3
3
3

2

 x  4 cos 3 .0  4 cos 0  4 cm
Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm có li độ và vận tốc là 
 v   2 .4sin 0  0

3
x  4cos

Vật đang ở vị trí biên dƣơng, khi đi hết một chu kì thì vật qua vị trí x = - 2 cm hai lần
Vật đang ở vị trí biên dƣơng rồi đi qua vị trí x = - 2 cm lần thứ nhất nên chuyển động theo
chiều âm và qua điểm này 2010 lần nữa thì vật trở lại chiều âm. (tƣơng ứng k 
lần vật dao động qua vị trí x = -2 cm theo chiều âm).
Vận tốc v  Asin(t  )  0  sin(t  )  0  sin(

2010
 1005
2

2
2
t)  0 
t  0 và thời gian t > 0 :
3
3

2
2
t
 k2  t  1  3k; k  N* .

3
3
Thời điểm vật đi qua vị trí li độ x = - 2 cm là t  1  3k  1  3.1005  3016s (k = 1005)
2
Ví dụ 4.4 Một chất điểm dao động điều hoà theo phƣơng trình x  4cos t (x tính bằng cm; t
3

chọn nghiệm

tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = - 2 cm lần thứ 2012 tại thời điểm
A. 3016 s.
B. 3017 s.
C. 6017 s.
D. 6018 s.
Hƣớng dẫn giải
Trang | 22


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

Chu kì dao động T 

2 2

 3s
 2
3

2


 x  4 cos 3 .0  4 cos 0  4 cm
Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm có li độ và vận tốc là 
 v   2 .4sin 0  0

3

Δt1

Δt2 = nT = 1005T
t2012

t2

t=0

2n = 2010 lần

2

m = 2.1005 + 2 lần
Khoảng thời gian từ vị trí biên x = A = 4 cm đến vị trí biên âm là
x

T
và từ vị trí biên đến li độ
2

A
T
 2cm (lần 2) là .

2
6
T
2

-4

+4
T -2
6

t1 

O

+
x

T T 2T 2.3
 

 2s .
2 6
3
3

Vật đi qua vị trí x = - 2 cm 2 lần trong một chu kì.
Sau 2n = 2010 (số chẵn) lần vật đi qua vị trí x = - 2 cm mất khoảng thời gian
t 2  nT 

2010
3  3015s .
2

Thời điểm vật đi qua vị trí li độ x = - 2 cm : t  t1  t 2  2  3015  3017s .
Chọn đáp án B.

Ví dụ 4.5 Một chất điểm dao động điều hoà theo phƣơng trình x  4cos

2
t (x tính bằng cm; t
3

tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = 4 cm lần thứ 2012 tại thời điểm
A. 3016 s.
B. 3015 s.
C. 6017 s.
D. 6018 s.
Hƣớng dẫn giải
Chu kì dao động T 

2 2

 3s
 2
3

2

 x  4 cos 3 .0  4 cos 0  4 cm

Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm có li độ và vận tốc là 
 v   2 .4sin 0  0

3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 23


Δt1
+4

Δt2 = nT
+4

0

+4
2n = 2012 lần

Vì vật trở lại đúng vị trí xuất phát nên khoảng thời gian Δt1 = 0.
t 2  nT 

2012
3  3016s
2

Thời điểm vật đi qua vị trí li độ x = 4 cm : t  t1  t 2  3016s .
Chọn đáp án A.
Ví dụ 4.6 (CĐ2010): Một vật dao động điều hòa với chu kì T. Chọn gốc thời gian là lúc vật
qua vị trí cân bằng, vận tốc của vật bằng 0 lần đầu tiên ở thời điểm

A.

T
.
2

B.

T
.
8

C.

T
.
6

D.

T
.
4

(học sinh tự làm)


Ví dụ 4.7 Cho một vật dao động điều hòa với phƣơng trình x  10cos  20t   (x tính bằng
6


cm và t tính bằng giây).
a. Xác định thời điểm thứ 2012 vật cách vị trí cân bằng 5cm.
b. Xác định thời điểm thứ 2016 vật có gia tốc bằng 0.
c. Xác định thời điểm thứ 2013 vật chuyển động theo chiều dƣơng và có động năng bằng thế
năng.
d. Xác định thời điểm thứ 2015 vật đang chuyển động về phía biên và có động năng bằng 3 thế
năng.

Dạng 5. Tính số lần (tần suất) vật đi qua vị trí M có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) từ thời
điểm t1 đến t2
A. PHƢƠNG PHÁP
5.1 Phần nguyên – phần lẻ của một số thực x
Cho một số thự x, ta luôn phân tích đƣợc số thực này thành hai phần : phần nguyên và phần lẻ.
x   x   x

*Phần nguyên của x: là số nguyên lớn nhất không vƣợt quá x. Kí hiệu là  x  .
x  1   x  x

Ví dụ :  30   5 ,  4, 7  5 , 7  7 , 0, 47  0 .
*Phần lẻ của x là hiệu số x -  x  . Kí hiệu là x .
Ví dụ : 3,87  0,87 , 5, 25  5, 25   5, 25  5, 25  ( 6)  0, 75,   3,14  0,14 ,
1 1
 25   24  1 
 
  2     
 12   12   12  12 

5.2 Tính số lần (tần suất) vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) từ thời điểm t1 đến t2
Cách 1 : Phƣơng pháp đại số
Giải phƣơng trình x  A cos(t  )  x 0  cos(t  )  cos   t      k2  t  ? . Kết

hợp với điều kiện t1 ≤ t ≤ t2 rồi đếm các giá trị số nguyên k.
Cách 2 : Phƣơng pháp Phần nguyên – phần lẻ
Bƣớc 1 :
+ Tính khoảng thời gian t = t1 + t2
+ Tính chu kì dao động T.
Trang | 24


LÝ THUYẾT VẬT LÍ 12 – LUYỆN THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC NĂM 2013

Bƣớc : Lập tỉ sỗ giữa khoảng thời gian và chu kì :

t t t
t
t
       t    .T    .T
T T  T 
T 
T 
t 2

t1

Trong đó,
t
t
t1    .T
  : phần lẻ;
T 
T 

t
t 2    .T  nT
T 
t
n    : phần nguyên (cho biết số dao động toàn phần)
T 

Bƣớc 3 : Áp dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để tính số lần
t
vật đi qua vị trí có li độ x trong khoảng thời gian t1    .T . Sử dụng phƣơng pháp loại suy
T 

khi so sánh khoảng thời gian đặc biệt với giá trị Δt1 .Giả sử số lần đó là n'

Δt1

Δt2 = nT
tm

t

t=0

2n lần

n'

m = 2n + n' lần
Bƣớc 4 :
Trong một chu kì, có 2 lần vật đi qua vị trí có li độ x bất kì.

Số lần vật đi qua vị trí có li độ x trong khoảng thời gian Δt2 là 2n lần.
Bƣớc 5. Tổng số lần qua vị trí có li độ x là m = 2n + n' (lần).
Ví dụ : Tính phần nguyên, phần lẻ
t = 5 s, T = 2 s khi đó

t
 2,5
T

t
  2,5  2,5  2  0,5  t   2,5.2  2,5.2  2.2  0,5.2
T
t 2
t1
t 2

t1

B. BÀI TOÁN ÁP DỤNG


Ví dụ 5.1 (ĐH2008): Một chất điểm dao động điều hòa theo phƣơng trình x  3cos  5t   (x
3

tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua
vị trí có li độ x = + 1 cm
A. 7 lần.
B. 6 lần.
C. 4 lần.
D. 5 lần.

(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2008)
Hƣớng dẫn giải

Chu kì dao động T 

2 2

 0, 4s .
 5


3

x  3cos( )   1,5cm

3
2

Tại thời điểm ban đầu t = 0 chất điểm có li độ và vận tốc là 
 v  5.3sin(  )  15 3  0

3
2


Tính phần nguyên, phần lẻ :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV. TRẦN DUY THÀNH – 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Phone: 090.88.626.88 Trang | 25