Bài giảng ánh xạ tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (524.11 KB, 59 trang )
Bài giảng: ánh xạ tuyến tính
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm
Đại học Đà Nẵng
Đà Nẵng, 09/11/2009
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
1 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa
Cho U, V là 2 không gian vector trên trường K .
Ánh xạ T : U → V được gọi là ánh xạ tuyến tính
nếu:
i. T (u + v ) = T (u) + T (v ), ∀u, v ∈ U
ii. T (ku) = kT (u), ∀k ∈ K , ∀u ∈ U.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
2 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chú ý
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều
kiện: T (au + bv ) = aT (u) + bT (v ), ∀a, b ∈
K , ∀u, v ∈ U.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
3 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chú ý
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều
kiện: T (au + bv ) = aT (u) + bT (v ), ∀a, b ∈
K , ∀u, v ∈ U.
Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính
gọi là phép biến đổi tuyến tính.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
3 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chú ý
Hai điều kiện i,ii trên có thể thay thế bởi điều
kiện: T (au + bv ) = aT (u) + bT (v ), ∀a, b ∈
K , ∀u, v ∈ U.
Trong trường hợp U = V thì ánh xạ tuyến tính
gọi là phép biến đổi tuyến tính.
Để đơn giản ta viết T(u)=Tu.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
3 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là
hằng số cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
4 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là
hằng số cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
4 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là
hằng số cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (x + y ) = a(x + y ) = ax + ay = Tx + Ty .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
4 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.
Cho T : R → R xác định bởi Tx = ax, với a là
hằng số cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T (x + y ) = a(x + y ) = ax + ay = Tx + Ty .
T (kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
4 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 2.
Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi
Tp(t) = p (t), là ánh xạ tuyến tính.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
5 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 2.
Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi
Tp(t) = p (t), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
5 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 2.
Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi
Tp(t) = p (t), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T [p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)] =
p (t) + q (t) = Tp(t) + Tq(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
5 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 2.
Cho T : P2[t] → P1[t] xác định bởi
Tp(t) = p (t), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T [p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)] =
p (t) + q (t) = Tp(t) + Tq(t).
Tkp(t) = [kp(t)] = k.p (t) = kTp(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
5 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
6 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
6 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2) = T (x1 + x2, y1 + y2)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
6 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2) = T (x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2) − (y1 + y2))
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
6 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2) = T (x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2) − (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
6 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2) = T (x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2) − (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
6 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
T (u1 + u2) = T (x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2) − (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
= Tu1 + Tu2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
6 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
T (ku) = T (kx, ky )
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
7 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
T (ku) = T (kx, ky )
= (kx + 3ky , 2kx − ky )
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
7 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 3.
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T (x, y ) = (x + 3y , 2x − y ), là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy:
T (ku) = T (kx, ky )
= (kx + 3ky , 2kx − ky )
= k(x + 3y , 2x − y ) = kTu
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
7 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Bài tập
Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì
sao?
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
8 / 22
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Bài tập
Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì
sao?
T : R2 → R xác định bởi
Tu = T (x, y ) = 2x + 5y .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán-ĐHSP-ĐHĐN)
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Đà Nẵng, 09/11/2009
8 / 22
