Giải bài toán quy hoạch phi tuyến bằng phương pháp gradient

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUYÊN VÀ MÔI
TRƯỜNG TPHCM

GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG
PHÁP GRADIENT
GVHD: GV.NGUYỄN THỊ HỒNG
Nhóm 4


Đặt vấn đề
 Nhằm giải quyết những vấn đề mà quy hoạch cấp 1 không giải quyết được và cung cấp
thông tin tối đa để người nghiên cứu đạt kết quả tốt nhất , nhanh nhất.

 Góp phần tối ưu hóa mô hình thực nghiệm để vừa thỏa mãn các yêu cầu đặt ra mà số thí
nghiệm phải làm là ít nhất nên giảm kinh phí đến mức tối đa khi làm thí nghiệm và trong quá
trình sản xuất.


- Xã hội ngày càng đi lên, kinh tế ngày càng phát triển

- Nhu cầu cuộc sống ngày càng tăng cao.

- Các khu dân cư gia tăng làm cho nguồn nước xung quanh khu dân cư bị ô nhiễm, đặc biệt là ô
nhiễm do nước thải sinh hoạt.

- Việc xử lý nước thải sinh hoạt ở các khu dân cư là rất
quan trọng.

- Nước thải sinh hoạt có hàm lượng chất hữu cơ cao do đó ta sử dụng phương pháp xử lý hóa học
để phân hủy các chất ô nhiễm thành CO2 và nước.

NỘI DUNG TRÌNH BÀY

Phương pháp tối ưu hóa

1

2

Lý thuyết tối ưu hóa (Phương pháp Gradient )

Ứng dụng làm bài toán trong lĩnh vực môi trường

3

4

Kết luận


GIỚI THIỆU


1/ Phương pháp tối ưu hóa
-Quá trình hình thành và phát triển:
+ Thế kỉ 18 một hướng nghiên cứu bài toán cực trị hàm mục tiêu là phiếm hàm tích
phân gọi là phép tính biến phân.
+ Những năm 30 của thế kỉ 20 xuất hiện lý thuyết quy hoạch tuyến tính.
+ Những năm 50 của thế kỉ 20 xuất hiện quy hoạch lồi.

+ Những năm 70 của thế kỉ 20 hình thành nhiều hướng nghiên cứu khác nhau như tối
ưu không lồi, tối ưu phi tuyến, tối ưu rời rạc, tối ưu tổ hợp và tối ưu đa mục tiêu.


Lý thuyết tối ưu quan tâm giải quyết đến những vấn đề cơ bản sau:
1. Tìm công cụ toán học để nghiên cứu.
2. Tìm điều kiện cần cho bài toán tối ưu.
3. Tìm điều kiện đủ cho bài toán tối ưu.
4. Tìm điều kiện tồn tại của nghiệm.
5. Tìm các pp để giải bài toán tối ưu (pp quy hoạch tuyến tính, pp quy hoạch phi
tuyến, pp quy hoạch trực giao…)


- Bài toán tối ưu hóa tổng quát:

+ Phát biểu: Tìm trạng thái tối ưu của một hệ thống sao cho đạt được mục tiêu mong
muốn về chất lượng theo một nghĩa nào đó.
+ Các yếu tố của một bài toán tối ưu:
1/ Trạng thái: Mô tả trạng thái của hệ thống cần tối ưu hóa.
2/ Mục tiêu: Đặc trưng cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả mong muốn (chi phí ít nhất,
hiệu suất cao nhất, trọng lượng nhỏ nhất, thời gian ngắn nhất…)
3/ Ràng buộc: Thể hiện các điều kiện kinh tế kĩ thuật mà hệ thống phải thỏa mãn


2/ Lý thuyết tối ưu hóa
(PP Gradient)
- Đây là pp thông dụng nhất để giải bài toán cực tiểu không ràng buộc vì nó rất đơn giản và có thể áp dụng được
cho những lớp hàm rất rộng.

- Trong các thuật toán giải bài toán (

(

)

) theo pp gradient, tại mỗikrb
bước lặp k ta chọn hướng giảm

P dk

. Vì vậy
d k = −∇
f (còn
x kgọi) pp gradient là PP Giảm Nhanh Nhất.

hàm f tại điểm

nhanh nhất tại

là

của

. Như đã biết đó chính là hướng mà theo đó hàm mục tiêu f giảm

x

k

xk

Sau đây là chi tiết thuật toán gradient tương ứng với hai cách xác định độ dài bước khác
nhau:

1/ Thuật toán Gradient với thủ tục tìm

2/ Thuật toán Gradient với thủ tục

chính xác theo tia

quay lui


2.1 Thuật toán Gradient với thủ tục tìm chính xác theo tia

Trong thuật toán này tại mỗi bước lặp k, điểm lặp tiếp theo được
xác định bởi:

x

k +1

:= x − λk ∇f ( x )
k

k


Thuật toán:


Tính 
Tính



Bước3 : Nếu
Nếu thì tiếp tục bước lặp.


λk

Ta có công thức độ dài bước chính xác

tại mỗi bước lặp k là:

( Ax − b) ∇f ( x )
λk =
〉0
k
T
k
(∇f ( x )) A∇f ( x )
k

T

k


+ Theo điều kiện cần tối ưu ta có:

ϕ (λ ) λ = λk = f ' ( x k − λk ∇f ( x k ) − ∇f ( x k ))
'
k

= (∇f ( x

k +1

) − ∇f ( x )) = 0
k


ϕ (λ ) λ = λk = f ( x − λk ∇f ( x ) − ∇f ( x ))
'
k

'

k

= (∇f ( x

k

k +1

k

) − ∇f ( x )) = 0
k


2.2 Thuật toán Gradient với thủ tục quay lui

và độ dài bước

λk

được xác định theo thủ tục quay

lui.

( )

d = −∇f x

Trong thuật toán này tại mỗi bước lặp k, chọn hướng giảm
k

k


Thuật toán:

3/ Ứng dụng bài toán lĩnh vực Môi Trường


3.1 Dạng tổng quát bài toán qui hoạch tuyến tính


(1) được gọi là hàm mục tiêu, nó có thể là cực tiểu (min) hay cực đại (max).

(2) được gọi là các ràng buộc chung hay ràng buộc hàm, nó có thể có dạng bất
đẳng thức (≤ hay ≥) hoặc có dạng đẳng thức (=).

(3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến), nó có thể không âm (≥0), không
dương (≤0) hay là tùy ý.


3.2 Đặt bài toán trong lĩnh vực Môi Trường

Đối tượng công nghệ:
Xử lý nước thải nhiễm dầu bằng phương pháp tuyển
nổi


Đặt bài toán:
Tìm chi phí tối ưu cho quá trình xử lý nước thải nhiễm dầu
bằng phương pháp tuyển nổi. Ở đây, ta xét tới 2 yếu tố là lưu
lượng khí thổi vào và tác động của áp suất.Từ số liệu thực tế
có thể tính chi phí xử lý theo công thức sau: