Hiệu ứng Ettingshausen trong hố lượng tử thế parabol

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN TIẾN LONG

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
ETTINGSHAUSENTRONG HỐ LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC


HÀ NỘI - 2015

2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN TIẾN LONG

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG QUANG KÍCH THÍCH
ETTINGSHAUSENTRONG HỐ LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU


HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến
GS.TS Nguyễn Quang Báu - Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong
quá trình thực hiện đề tài luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô
giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết – Khoa Vật lý – trường Đại học Khoa học Tự
Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học
tập và hoàn thành đề tài luận văn một cách tốt nhất.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành đề tài luận văn.
Mặc dù em đã có nhiều cố gắng nhưng do trong thời gian ngắn và lượng kiến
thức của bản thân cũng chưa thực sự được hoàn thiện nên luận văn vẫn không tránh
khỏi những thiếu sót và hạn chế, em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn của các
thầy, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Luận văn được hoàn thành với sự tài trợ của đề tài NAFOSTED (Number
103.01-2015.22)
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Học viên

Nguyễn Tiến Long

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục hình - bảng


DANH MỤC BẢNG, HÌNH


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Ngày nay, chúng ta ngày càng quan tâm nghiên cứu hơn về các đặc tính
của hệ bán dẫn thấp chiều. Những cấu trúc thấp chiều như các hố lượng tử
(quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây lượng tử (quantum wires) và
các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo nên nhờ sự phát triển của công
nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ
(MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc nano như vậy, chuyển
động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng có
kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie, các tính chất vật lý của
điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất vật lý mới khác, gọi là hiệu ứng
kích thước. Ở đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó đặc
trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ năng lượng bị
gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang, điện của hệ thấp
chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra đời nhiều
công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Ví dụ
như: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các cấu trúc
thấp chiều đó, cấu trúc hố lượng tử thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà

vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Trong các hệ này, sự giới hạn chuyển động của

các điện tử dẫn tới thay đổi hầu hết các tính chất của chúng. Từ đó, nhièu đặc
tính của hệ bán dẫn thấp chiều như: hấp thụ sóng điện từ [1-7-8-11], hiệu ứng
Hall[3-5],Hiệu ứng từ trở [14], và nhiều hiệu ứng khác[4-10-12-13-16-17],…
rất khác biệt so với các hiệu ứng tương ứng trong các hệ bán dẫn khối đã được
nghiên cứu trước đây.
Hiệu ứng Ettingshausen đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối [15] là
một trong những hiệu ứng quan trọng. Nó là một hiệu ứng nhiệt điện từ gây ra
dòng điện trong vật dẫn khi từ trường xuất hiện. Tuy nhiên, hiệu ứng này vẫn
chưa được nghiên cứu trong các hệ bán dẫn thấp chiều nói chung và trong hố
8


lượng tử thế parabol nói riêng.
Do đó trong luận văn này, tôi chọn đề tài nghiên cứu hoàn toàn mới:
“Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng quang kích thích Ettingshausen trong hố
lượng tử”
2. Phương pháp nghiên cứu.
Trong luận văn của chúng tôi đã sử dụng:
- Phương pháp phương trình động lượng tử để xây dựng biểu thức giải tích
hệ số Ettinghaussen (EC) trong hố lượng tử thế parabol (cơ chế tán xạ điện tử phonon quang). Biểu thức này chỉ ra rằng EC phụ thuộc phức tạp và không tuyến
tính vào cường độ E0 và tần số Ω của laser, nhiệt độ T của hệ và các tham số của
dây lượng tử. Đây là phương pháp được sử dụng nhiều và có những ưu việt khi
nghiên cứu bán dẫn thấp chiều [2] .
- Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng chương trình Matlab để tính toán số và đồ
thị sự phụ thuộc của EC vào tần số laser, nhiệt độ T của hố lượng tử GaAs/GaAsAl
nhằm minh họa về sự phụ thuộc phi tuyến của EC vào các đại lượng này từ tính
toán lý thuyết ở chương 2.
3. Cấu trúc của luận văn.

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận
văn gồm có 3 chương, cụ thể:
Chương 1: Hố lượng tử và hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối
Chương 2: Hệ số Ettingshausen trong hố lượng tử
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết hệ số Ettingshausen
trong hố lượng tử GaAs/GaAsAl
4. Các kết quả thu được của luận văn.
- Thiết lập được phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong
hố lượng tử với thế Parabol khi có mặt một từ trường và một điện trường không
r r
E
đổi , H và một sóng điện từ mạnh (bức xạ laser kích thích).
- Xây dựng được biểu thức giải tích của Hệ số Ettingshausen trong hố lượng
tử với thế Parabol khi có laser kích thích (cơ chế tán xạ điện tử – phonon quang). Từ
đó kết luận hệ số EC phụ thuộc phức tạp và phi tuyến vào tần số và biên độ bức xạ
9


laser, tần số phonon và nhiệt độ của hệ.
- Các kết quả lí thuyết đă được tính toán số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của hệ số Ettingshausen vào tần số laser và nhiệt độ T của hệ.
Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học , góp
phần vào phát triển lí thuyết về hiệu ứng quang kích thích Ettingshausen trong
bán dẫn thấp chiều.

10


CHƯƠNG 1
HỐ LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN TRONG BÁN DẪN KHỐI

Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử, xuất phát từ Hamiltonian
của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối dưới tác động của điện, từ trường không
r r
r
E0 ( t )
E
,
H
đổi
và một sóng điện từ mạnh (bức xạ laser)
, xây dựng phương trình
động lượng tử cho hàm phân bố điện tử, từ đó tính toán mật độ dòng và mật độ
thông lượng nhiệt trong hiệu ứng Ettingshausen.
1.1. Hố lượng tử
1.1.1. Khái niệm về hố lượng tử:
Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,
được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc
tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các vật liệu khác nhau dẫn tới xuất
hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn giữa các vật liệu này. Sự khác biệt giữa cực
tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó gây ra một giếng thế
năng đối với các điện tử. Vì vậy trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định
xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hố thế lượng tử hai chiều được tạo bởi
mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau. Chuyển động
của điện tử theo một hướng nào đó bị giới hạn, phổ năng lượng của điện tử theo
phương mà điện tử bị giới hạn chuyển động bị lượng tử hoá, chỉ còn thành phần
xung lượng của điện tử theo phương điện tử được tự do là biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử là
mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật
1/2
độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật ε (với ε là năng lượng của

điện tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái
bắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy
1/2
luật khác ε .

11


Các hố thế có thể được tạo nên bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm
phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong
hố lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt.
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử với
thế parabol
Xét một cấu trúc hố lượng tử với thế giam giữ có dạng parabol (sau đây gọi
tắt là hố lượng tử parabol) lí tưởng, giả thiết theo phương z, được cho bởi
V ( z ) = meω z2 z 2 / 2 ,với ωz là tần số giam giữ đặc trưng của hố lượng tử. Ta thấy rằng

thế giam giữ trong trường hợp này códạng giống như trong bài toán chuyển động
của dao động tử điều hòa. Vì vậy hàm sóng và phổ năng lượng của electron theo
phương giam giữ có dạng hàm sóng và phổ năng lượng của dao động tử điều hòa.
ur
Đặt hố lượng tử nói trên trong một từ trường B = (0, 0, B) và điện trường
uur
E1 = ( E1 , 0, 0)
ur
Chọn thế vector tương ứng của tư trường nói trên là A = (0, Bx, 0) thì hàm

sóng đơn hạt và năng lượng tương ứng của electron khi đó lần lượt cho bởi:
r

uur
1
ik y
ψ (r ) ≡ (N, n, k y ) =
φN ( x − x0 )e y ϕn ( z )
Ly
uur
1
1
ε N ,n (k y ) = ( N + )hωc + ε n − hvd k y + me vd2 ,
2
2

(1)
N = 0,1, 2...

Ở đây:
ϕn ( z ) ≡ n =

 z2
1
exp
− 2
2n n ! π lz
 2l z

1

ε n =  n + ÷hω p ,
2



  z 
÷H n  ÷
  lz 

n = 0,1, 2,....

(2)
(3)

l = h / (meω p )
Với H n ( z ) là đa thức Hermite bậc n là z

12

(4)


1.2. Hiệu ứng Ettingshausen trong bán dẫn khối
1.2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối khi
có mặt trường điện từ không đổi và trường bức xạ cao tần (laser)
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối đặt trong một từ
uur
ur
E = ( E1 , 0, 0)
B
=
(0,
0,

B
)
trường
và điện trường 1
không đổi và một sóng điện từ mạnh
uur
r
E ( t ) = E0cosΩt

(bức xạ laser kích thích)

, có dạng:

r e r 
H = ∑ ε  p − A ( t ) ÷a +pr a pr + ∑
ωkrbkr+bkr +
r
r
c


p
k
r
+∑r Ckra +pr+kra pr ( bkr + b−+kr ) + ∑
ϕ k a +pr+kra pr
r
r
p ,k

k

a +pr , a pr ; ( bkr+ , bkr )

Trong đó :

( )

(5)

lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử (phonon).

r
r
p2
ε ( p ) ≡ ε pr =
2m là phổ năng lượng của điện tử.
Ckr

là hằng số tương tác điện tử - phonon.
r
∂
A
1
( t ) = Er cos Ωt
r
−
0
A( t )
là thế véc-tơ. c ∂t

.

r
ϕ k

( )

(

)

r
r r ∂
r
r
3
ϕ k = ( 2π i ) eE + ωH  k, h  r δ k
∂k
là thế vô hướng
.

( )

Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử
∂n pr ( t )
∂t

=

1 +

 a pr a pr , H 
i 

( )

n pr ( t ) = a +pr a pr

t

:

t

(6)

Áp dụng các hệ thức giao hoán tử cho toán tử sinh hủy điện tử (phonon):

{ a ,a } = a a
k

+
l

+
k l

+ al+ ak = δ k ,l ;

{ ak , al }

= { ak+ , al+ } = 0

bk , bl+  = bk bl+ − bl+bk = δ k ,l ; [ bk , bl ] = bk+ , bl+  = 0

13


 +

r er 
r e r 
ε  p '− A ( t ) ÷a +pr 'a pr '  = ∑ ε  p '− A ( t ) ÷( a +pr a pra +pr 'a pr ' − a +pr 'a pr 'a +pr a pr ) =
 a pr a pr , ∑
r
c
c



p'
 pr ' 
*
r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷ a +pr ( δ pr, pr ' − a +pr 'a pr ) a pr ' − a +pr ' ( δ pr, pr ' − a +pr a pr ' ) a pr =
r
c


p'

(

)

r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷( a +pr a pr 'δ pr, pr ' − a +pr ' a prδ pr, pr ' + a +pr a +pr 'a pra pr ' − a +pr 'a +pr a pr 'a pr ) =
r
c


p'
r e r 
r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷a +pr a pr 'δ pr, pr ' − ∑ ε  p '− A ( t ) ÷a +pr 'a prδ pr, pr ' = 0
r
r
c
c




p'
p'
(7)

 +

+
rb r b r = 0

ω
 a pr a pr , ∑

k
k
k
r
k

* 

(7)

 +

+
+
r a r r a r ( br + b r ) =
C
C r a +pr a pr a +pr '+ kra pr ' − a+pr '+ kra pr ' a +pr a pr ( bkr + b−+kr ) =
 a pr a pr , ∑
∑
p
'
k
−k 
r r k p '+ k
r r k
p ', k
 p ',k

*

(

)

(

)

= ∑r Ckr a +pr a pr 'δ pr, pr '+ kr − a +pr ' + kra prδ pr, pr ' ( bkr + b−+kr ) =
r
p ', k

=∑
Ckra +pr a pr−kr ( bkr + b−+kr ) − ∑
Ckra +pr+ kra pr ( bkr + b−+kr ) =
r
r
k

k

(

=∑
Ckr Fpr, pr−kr,kr + Fpr*−kr, pr, − kr − Fpr+ kr, pr, kr − Fpr*, pr+ kr, − kr
r
k

với

Fpr , pr ,kr = a +pr1 a pr2 bkr ;
1

2

)

(8)

(

Fpr* , pr ,kr = a +pr1 a pr2 bkr
1

2

(

)

)

*

= a +pr2 a pr1 bkr+

r
rr ∂

r
r


3
*  a +pr a pr , ∑r ϕ k a +pr '+ kra pr '  = ∑r ( 2π i ) eE + ω H  k, h  r δ k a +pr a pra +pr '+ kra pr ' − a +pr '+ kra pr 'a +pr a pr =
∂k
k

 k

( )

(

)

( )(

r r ∂
r +
r
3


r
=∑
2
π
i

eE
+
ω
k,
h
δ
k
a pr a pr 'δ pr, pr ' + kr − a +pr '+ kra prδ pr, pr '
(
)
H 
r
 ∂k
k
+
r
r r ∂a pr a pr
= −i eE + ωH  p, h 
r
∂p

(

( )(

)

Thay (7), (8), (9) vào (2) thu được:

14

)

)
(9)


∂n pr ( t )
∂t

r
r r ∂n pr ( t )
+ eE + ωH  p, h 
r
∂p

(

)

(

= i∑
Ckr Fpr+ kr, pr,kr ( t ) + Fpr*, pr+ kr,− kr ( t ) − Fpr, pr−kr,kr ( t ) − Fpr*−kr, pr,− kr ( t )
r
k

Để tìm

Fpr , pr

1

∂Fpr , pr ,kr ( t )
1

2

∂t

2

r
,k

=

( t)

)

ta thiết lập phương trình động lượng tử:

1 +
 a pr a pr br , H 
i  1 2 k 

t

(10)

 +
 r e r  +r r 
r a r br ,
a
ε
 p1 p2 k ∑
 p '− A ( t ) ÷a p 'a p '  =
r
c


p
'

*
r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷ a +pr1 a pr2 bkra +pr 'a pr ' − a +pr 'a pr 'a +pr1 a pr2 bkr =
r
c


p'

(

)

r e r 
= ∑ ε  p '− A ( t ) ÷ a +pr1 a pr 'bkrδ pr2 pr ' − a +pr ' a pr2 bkrδ pr1 pr ' =
r

c


p'

(

)

  r e r   r e r 
= ε  p2 − A ( t ) ÷− ε  p1 − A ( t ) ÷ a +pr1 a pr2 bkr =
c
c
 

 
e r r r 

= ε pr2 − ε pr1 −
( p2 − p1 ) A ( t )  Fpr1 , pr2 ,kr
mc



(11)

Xem xét từ trường là yếu ω H << Ω , không dẫn tới sự tách mức năng lượng của
điện tử thành các mini vùng Landau, ta có:
2
2

 r e r   r e r  

r e r 
r e r  1 
ε  p2 − A ( t ) ÷− ε  p1 − A ( t ) ÷ =
  p2 − A ( t )  −  p1 − A ( t )   =
c
c
c
c



 2m 
 
 



=

1  r2 r2
e r r r 
e r r r
( p2 − p1 ) A ( t )
 p2 − p1 − 2 ( p2 − p1 ) A ( t )  = ε pr2 − ε pr1 −
2m 
c
mc


 +

+
r br br
ω
ωkr' a +pr1 a pr2 ( bkrbkr+'bkr ' − bkr+'bkr 'bkr ) =
 a pr1 a pr2 bkr , ∑
=∑
k
'
k
'
k
'
r
r
k'
 k'
*
=∑
ωkr ' a +pr1 a pr2
r
k'

( ( b b +δ ) b
+
r r
k' k

r r
k ,k '

r
k'

)

− bkr+'bkr 'bkr =

15


=∑
ωkr 'a +pr1 a pr2 bkr 'δ kr,kr' = ωkra +pr1 a pr2 bkr = ωkr Fpr pr kr
r
1 2

k'

 +

+
+
r a r r a r ( br + b r ) =
C
 a pr1 a pr2 bkr , ∑

p
'

k
'
p
'
+
k
'
k
'
−
k
'
r r
p ', k '


*

=

∑C

=

∑C

r r
p ', k '

r r

p ', k '

r
k'

a +pr1 a pr2 a +pr '+ kr 'a pr 'bkr ( bkr ' + b−+kr ' ) − ∑r Ckr 'a +pr ' + kr 'a pr 'a +pr1 a pr2 ( bkr ' + b−+kr ' ) bkr =
r
p ', k '

r
k'

(

)

a +pr1 δ pr , pr ' + kr ' − a +pr ' + kr ' a pr2 a pr 'bkr ( bkr ' + b−+kr ' ) −
2

(

)

− ∑r Ckr 'a +pr ' +kr ' δ pr ', pr1 − a +pr1 a pr ' a pr2 ( bkr ' + b−+kr ' ) bkr =
r
p ', k '

=

∑C

r r
p ', k '

r
k'

a +pr1 a pr 'bkr ( bkr ' + b−+kr ' ) δ pr , pr '+ kr' − ∑r Ckr'a +pr '+ kr 'a pr2 ( bkr ' + b−+kr' ) bkrδ pr ', pr1 −
2

r
p ', k '

− ∑r Ckr 'a +pr1 a +pr '+ kr ' a pr2 a pr ' ( bkrb−+kr ' − b−+kr 'bkr ) =
r
p ', k '

=∑
Ckr 'a +pr1 a pr − kr 'bkr ( bkr ' + b−+kr' ) − ∑
Ckr 'a p+r + kr' a pr2 ( bkr' + b−+kr ' ) bkr −
r
r
2

k'

1

k'

−∑ C− kra +pr1 a +pr ' −kra pr2 a pr '

r
p'

(12)

Trong phép lấy tổng trên ta chỉ xét các số hạng là trung bình số hạt điện tử
n pr ( t ) = a +pr a pr

t

và trung bình số hạt phonon

N kr ( t ) = bkr+bkr

r
r r
p
−
p
=
−
k
2
1
t và lưu ý:
,

thu được:
= Ckra +pr1 a pr1 bkrbkr+ − Ckra +pr2 a pr2 bkr+bkr − C− kra +pr1 a +pr2 a pr2 a pr1 =

= Ckra +pr1 a pr1 bkrbk+r − Ckra +pr2 a pr2 bkr+ bkr − Ckra +pr1 a +pr2 a pr2 a pr1 ( bkrbkr+ − bkr+ bkr ) =

(

)

(

)

= Ckra +pr1 a pr1 1 − a +pr2 a pr2 bkrbkr+ − Ckra +pr2 a pr2 1 − a +pr1 a pr1 bkr+bkr

Bỏ qua số hạng thứ tư trong phép tính gần đúng.
Thay (9), (11), (12), (13) vào (8) thu được:

16

(13)


∂Fpr , pr , kr ( t )
1

2

∂t

{

e r r r


= i ε pr1 − ε pr2 −
( p1 − p2 ) A ( t ) − ωkr  Fpr1 , pr2 ,kr ( t ) +
mc



+iCkr a +pr2 a pr2

t

(1− a

+
r
p1

a pr1

t

)

bkr+bkr − a +pr1 a pr1
t

t

(1− a

+
r
p2

a pr2

t

)

bkrbkr+

t

}

(14)

Phương trình (14) là phương trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần
∂Ft
= M t Ft + N t
∂t

nhất, có dạng :

∂Ft 0
= M t Ft 0
Ta giải phương trình thuần nhất tương ứng ∂t
thu được
t


Ft 0 = D.exp  ∫ M t1 dt1 
 −∞

t

Ft = Dt F = Dt .exp  ∫ M t1 dt1 
 −∞
 ta có:
Biến thiên hằng số:
t
0

t
t

 t'

∂Dt
exp  ∫ M t1 dt1  = N t
Dt = ∫ dt 'Nt ' exp − ∫ M t1 dt1 
∂t
∞
−∞

 −∞

. Suyra

Ta thu được nghiệm

t
 t'

t
 t
t

Ft = Dt F0t = ∫ dt 'N t ' exp − ∫ M t1 dt1  .exp  ∫ M t1 dt1  = ∫ dt 'N t ' exp ∫ M t1 dt1 
∞
 −∞

−∞
 −∞
t '


Như vậy, nghiệm của (14) là:
t

F

r r r
p1 , p2 , k

( t ) = i ∫ dt 'Ckr
∞

{a

+

r
p2

a pr2

t'

(1− a

+
r
p1

a pr1

t'

)

bkr+bkr

t'

− a +pr1 a pr1

t'

(1−

 t


e r r r
× exp i ∫ ε pr1 − ε pr2 −
( p1 − p2 ) A ( t1 ) − ωkr  dt1 
mc
 
 t' 

r
r
r
cE0
1 ∂A ( t ) r
A( t ) =
cos Ωt
−
= E0 sin Ωt
Ω
Ta có c ∂t
. Suy ra
. Do đó:

17

a +pr2 a pr2

t'

)

bkrbkr+

(15)

t'

}×


 t
ec r r r
 
exp i ∫ ε pr1 − ε pr2 − ( p1 − p2 ) A ( t1 ) − ωkr  dt1  =
m
 
 t' 
 t

e r r r
= exp i ∫ ε pr1 − ε pr2 −
( p1 − p2 ) E0 cos Ωt1 − ωkr  dt1  =
mΩ
 
 t' 

 −ie r r r

= exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr ( t − t ') exp 
p − p2 ) E0 ( sin Ωt − sin Ωt ' ) 
2 ( 1

 mΩ


{(

}

)

r
r
eE
0
exp { ±iα sin θ } = ∑ J µ ( α ) exp ( ±i µθ )
a=
µ
mΩ 2 ,
Áp dụng công thức
và đặt
thu được:

{(

)

= exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr ( t − t ')

} ∑ J ( ar( pr − pr ) ) J ( ar( pr − pr ) ) exp { −isΩt + ilΩt '} =
s

1

2

l

1

2

s ,l

{(

}

)

r r r
r r r
= ∑ J s ( a ( p1 − p2 ) ) J l ( a ( p1 − p2 ) ) exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr − l Ω ( t − t ' ) exp { i ( l − s ) Ωt }
s ,l

Khi đó, (15) trở thành:
t

{

Fpr , pr , kr ( t ) = i ∫ dt 'Ckr a +pr2 a pr2
1

2

∞

t'

(1− a

+
r
p1

a pr1

t'

)

bkr+bkr

t'

− a +pr1 a pr1

t'

(1−

a +pr2 a pr2

t'

)

rr
rr
×∑ J s ak J l ak exp i ε pr1 − ε pr2 − ωkr − lΩ ( t − t ') exp { i ( l − s ) Ωt }
s ,l

( ) ( )

{(

}

)

bkrbkr+

t'

}×

t'

}×

(16)

Tương tự:
t

*
r r r
p1 , p2 , k

F

( t ) = i ∫ dt 'Ckr
∞

{ a a (1− a
+
r
p1

r
p1 t '

+
r
p2

a pr2

t'

)

bkrbkr+

t'

− a +pr2 a pr2

t'

(1− a

+
r
p1

a pr1

rr
rr
×∑ J s ak J l ak exp i ε pr2 − ε pr1 + ωkr − lΩ ( t − t ' ) exp { i ( l − s ) Ωt}
s ,l

( ) ( )

{(

)

Từ (15), (16) ta tìm được biểu thức :
Fpr+ kr, pr,kr ( t ) , Fpr*, pr+ kr,− kr ( t ) , Fpr, pr−kr,kr ( t ) , Fpr*−kr, pr,− kr ( t )

Và thay vào (7) thu được:

18

}

t'

)

bkr+ bkr


∂n pr ( t )
∂t

t
r
r
r
2
r r ∂n pr ( t )
r
r
+ eE + ω H  p, h 
Ckr ∑ J s ak J l ak exp { i ( l − s ) Ωt } ∫ dt ' ×
r = −∑
r
∂p
s ,l

k
∞

(

)

{

(

( ) ( )

)

× n pr ( t ') 1 − n pr+ kr ( t ' ) N kr ( t ' ) − n pr+kr ( t ') ( 1 − n pr ( t ') ) ( N kr ( t ' ) + 1)  ×



(

× exp i ε pr+ kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ


(

+  n pr ( t ') 1 − n pr+kr ( t ' )


)(N

r
k

) ( t − t ')  +

( t ') + 1) − n pr+kr ( t ') ( 1 − n pr ( t ' ) ) N kr ( t ' )  ×

(

× exp i ε pr+ kr − ε pr + ωkr − lΩ + iδ


) ( t − t ')  −
(

−  n pr−kr ( t ' ) ( 1 − n pr ( t ' ) ) N kr ( t ' ) − n pr ( t ' ) 1 − n pr−kr ( t ' )


(

× exp i ε pr − ε pr− kr − ωkr − lΩ + iδ


)(N

r
k

( t ') + 1)  ×

) ( t − t ')  −
(

)

−  n pr−kr ( t ' ) ( 1 − n pr ( t ' ) ) ( N kr ( t ' ) + 1) − n pr ( t ' ) 1 − n pr−kr ( t ' ) N kr ( t ' )  ×



(

× exp i ε pr − ε pr−kr + ωkr − lΩ + iδ


) ( t − t ') }

(16)

Phươngtrình (16) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong
bán dẫn khối khi có mặt trường điện từ không đổi và trường bức xạ cao tần (laser).
1.2.2. Mật độ dòng toàn phần trong bán dẫn khối
Sử dụng phương pháp gần đúng lặp, ta thay

n pr ( t ' ) ≡ n pr ; N kr ( t ') ≡ N kr

và thực

hiện phép tính tích phân:
t

∫ dt 'exp i ( ε

∞

r
p1

)

− ε pr2 ± ω kr − lΩ + iδ ( t − t ' )  =


(
(

)
)

t

( −1) exp i ε pr1 − ε pr2 ± ωkr − lΩ + iδ ( t − t ')  −∞
i
=
=
ε pr1 − ε pr2 ± ωkr − l Ω + iδ
i ε pr1 − ε pr2 ± ωkr − l Ω + iδ
Đồng thời ta chỉ xét l = s , thu được:
∂n pr
∂t

(

r
+ eE + ωH

2
r r ∂n r
rr
 p, h  rp = −i ∑ Ckr ∑ J l2 ak ×

 ∂p
r
l
k

)

( )

19


−

(

)

(

n pr− kr ( 1 − n pr ) N kr − n pr 1 − n pr−kr ( N kr + 1)

)

n pr− kr ( 1 − n pr ) ( N kr + 1) − n pr 1 − n pr− kr N kr 
−

ε pr − ε pr−kr − ωkr − lΩ + iδ
ε pr − ε pr− kr + ωkr − lΩ + iδ

2
rr
r
Ckr , J l2 ak
k
Thực hiện phép đổi chỉ số và lưu ý
là các hàm chẵn đối với , l :
r
r
k
→
−
k
Đổi
ở số hạng thứ hai và số hạng thứ tư.

( )

Đổi l → −l ở số hạng thứ ba và số hạng thứ tư.

Sau đó nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ tư, số hạng thứ hai với số
hạng thứ ba:
∂n pr

r
r
2
r r ∂n r
2 r
r
+ eE + ωH  p, h  rp = −i ∑
C
J
ak
×
k ∑ l
r
∂t
∂p
l
k

(

(

)

( )

)

(

)

 n r 1 − n r r N r − n r r ( 1 − n r ) ( N r + 1) n r r ( 1 − n r ) ( N r + 1) − n r 1 − n r r N r
p
p
p
 p
p+k
k
p +k
k
p+k
k
p +k
k
×
−
ε pr+ kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ
ε pr − ε pr+ kr + ωkr + lΩ + iδ

+

(

)

n pr 1 − n pr− kr ( N kr + 1) − n pr−kr ( 1 − n pr ) N kr

ε pr−kr − ε pr + ωkr − lΩ + iδ

(

)

n pr− kr ( 1 − n pr ) N kr − n pr 1 − n pr− kr ( N kr + 1) 
−

ε pr − ε pr−kr − ωkr + lΩ + iδ


hay
∂n pr

r
r
2
r r ∂n r
2 r
r
+ eE + ωH  p, h  rp = −i ∑
C
J
ak
×
∑
l

k
r
∂t
∂p
l
k

(

(

)

( )

)

(

)

 n pr 1 − n r r N r − n r r ( 1 − n pr ) ( N r + 1) n pr 1 − n r r N r − n r r ( 1 − n pr ) ( N r + 1)

p+k
k
p +k
k
p+k
k
p +k

k
×
−
ε pr+ kr − ε pr − ωkr − lΩ + iδ
ε pr+ kr − ε pr − ωkr − lΩ − iδ

+

(

)

n pr 1 − n pr− kr ( N kr + 1) − n pr−kr ( 1 − n pr ) N kr

ε pr−kr − ε pr + ωkr − lΩ + iδ

(

)

n pr 1 − n pr− kr ( N kr + 1) − n pr−kr ( 1 − n pr ) N kr 
−

ε pr−kr − ε pr + ωkr − lΩ − iδ

(17)

1
ρ
1

1
= miπδ ( X )
−
= −2π iδ ( X )
Áp dụng X ± iδ X
. Suyra X + iδ X − iδ
Do vậy phương trình trên trở thành:

20


∂n pr
∂t

(

r
+ eE + ωH

2
r r ∂n r
rr
 p, h  rp = 2π ∑ C r ∑ J l2 ak ×
k

 ∂p
r
l
k

)

( )

{

(

)

(

)

(

)}

×  n pr+ kr ( 1 − n pr ) ( N kr + 1) − n pr 1 − n pr+kr N kr  δ ε pr+kr − ε pr − ωkr − l Ω +



(

+ n pr−kr ( 1 − n pr ) N kr − n pr 1 − n pr−kr


)(N

r

k

+ 1)  δ ε pr−kr − ε pr + ωkr − lΩ


(18)

Phương trình động lượng tử (18) gần đúng trong từ trường yếu (từ trường
không ảnh hưởng lên phổ năng lượng điện tử, lên hệ số tương tác điện tử-phonon).

ω r << Ω; ωkr << kT ; ωkr << ε
Xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm k
. Khi
r
r
k
→
−
k
đó, ta thực hiện việc đổi chỉ số
ở số hạng thứ hai, và phương trình (17) trở
thành:
∂n pr ( t )
∂t

r
r
2
r r ∂n pr ( t )
2 r

r
r
+ eE + ωH  p, h 
=
2
π
C
2
N
+
1
J
ak
×
)∑ l
r
∑r
k (
k
∂p
l
k

(

(

)

( )

) (

× n pr+ kr − n pr δ ε pr+ kr − ε pr − lΩ

Đặt

r
2
W k = 2π Ckr ( 2 N kr + 1)

( )

, trong đó

)

Ckr

(19)
2

không phụ thuộc vào từ trường, ta thu

được phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối với
trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm:
r
r
r r ∂n pr 
p ∂n pr  r



+
eE
+
ω
p
,
h
,
=
W
k
r 
H 
 ∂pr ÷ ∑
r
m ∂r 
 k

( )

r
2 r
J
ak
n pr+ kr − n pr δ ε pr+ kr − ε pr − l Ω
∑ l
l

( )(

) (

)

( 20)

r
r H
eH
ωH =
h=
m
H là véc-tơ đơn vị dọc theo chiều từ trường.
Với
là tần số Cyclotron,
Trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cường độ của trường ngoài, ta chỉ lấy
l = 0, ±1 với

J 02 ( x ) = 1 − x 2 / 2; J12 ( x ) = x 2 / 4

.

e r
pδ ( ε − ε pr )
r
m
Ta nhânhaivếcủa (12) với
rồi lấy tổng theo p thu được:

21


r
r r
r
r
R( ε )
+ ω H  h , R ( ε )  = Q ( ε ) + S ( ε )
τ (ε)
Trong đó:

τ (ε)

(21)

là thời gian phục hồi xung lượng của điện tử.

r
r
e
R ( ε ) = ∑ pn prδ ( ε − ε pr )
m pr

(22)

r
r  r ∂n r 
e
Q ( ε ) = − ∑ p  F , rp ÷δ ( ε − ε pr )

m pr 
∂p 

(23)

( ) ( ) ∑ n { 2δ ( ε

r rr
r
e
S(ε) = −
W
k
ak
∑
4m kr

(

− δ ε pr+ kr − ε pr + Ω

)} { (

2

r
p

r
p

r r
p+k

) (

r r
r
p + k δ ε − ε pr+ kr − pδ ( ε − ε pr )

) (

)

− ε pr − δ ε pr+ kr − ε pr − Ω −

)

} (24)


r
r r ∂n pr 
e

r
p
δ
ε
−

ε
ω
p
∑ ( p )  H  , h  , ∂pr ÷
m pr


* Tính:

Áp dụng

(24)

r
r
r
r
r
r
∇ ( ϕ a ) = ∇ ( ϕ ) a + ϕ∇ ( a ) ⇒ a∇ ( ϕ ) = ∇ ( ϕ a ) − ϕ∇ ( a )

( )

( )

rr r r r r
r r
rr r r
∇ a.b = a∇b + b ∇a ⇒ a∇b = ∇ a.b − b ∇a

và
thu được


r
r r ∂n pr  e
r
r r
e



r
r
p
δ
ε
−
ε
ω
p
,
h
,
=
p
δ
ε
−
ε

ω
p
∑ ( p )  H   ∂pr ÷ m ∑pr ( p ) H  , h  , ∇ prn pr =
m pr



(

{ (

)

{ (

) }

(

=

r
r r
r r
e
pδ ( ε − ε pr ) ∇ pr n prωH  p, h  − n pr∇ pr ωH  p, h 
∑
m pr

=

r
r r
e
r ) ∇ r n rω  p , h  − 0 =
p
δ
ε
−
ε
(
∑
p
p
p H 

m pr

=

r
r r
e
r ) ∇ r pn rω  p, h  − n rω
δ
ε
−
ε
(
∑

p
p
p H 
p H

m pr

=

r r
e


r
r
δ
ε
−
ε
0
−
n
ω
p
∑ ( p)
p H  , h  .1 = ω H
m pr

{ (
{

)

}

22

)

)} =

}

r r
r
 p, h  ∇ pr p =



r e
r 
pn pr  δ ( ε − ε pr ) =
h , ∑
 m pr



r r
= ωH  h , R ( ε ) 

(25)

*) Giải phương trình (22):
r
ω
τ
ε
h
(
)
Nhân trái, có hướng hai vế của (14) với H
ta có:
r r
r r r
r r
r
ωH  h , R ( ε )  + ω H2 τ ( ε )  h ,  h , R ( ε )   = ωHτ ( ε )  h , Q ( ε ) + S ( ε ) 



(26)

Biến đổi:
r r r
r r r
r r r r r
r
r
h , h , R ( ε )   = h h , R ( ε ) − R ( ε ) h , h = h h , R ( ε ) − R ( ε )


 

(27)

(

)

(

)

(

)

r
r
τ
ε
h
(
)
h
Nhân trái, vô hướng hai vế của (13) với
, sau đó lại nhân với ta có :
r r r
r r r r
r r r
r

h h , R ( ε ) + ω Hτ ( ε ) h h ,  h , R ( ε )  = h h , Q ( ε ) + S ( ε )
(28)

(

(

)

) (

)

r r r
h ,  h , R ( ε )  = 0

Thay (28) vào (27) rồi thay (27) vào (26) và lưu ý
thu được:
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
ωH  h , R ( ε )  + ωH2 τ ( ε ) h h , Q ( ε ) + S ( ε ) − R ( ε ) = ω Hτ ( ε )  h , Q ( ε ) + S ( ε ) 
(29)

{ (

}

)

Trừ vế với vế của (23) cho (29) ta được:
r
r r r
r r
r
r
r
r
r
R( ε )
− ω H2 τ ( ε ) h h , Q ( ε ) + S ( ε ) − R ( ε ) = Q ( ε ) + S ( ε ) − ω Hτ ( ε )  h , Q ( ε ) + S ( ε ) 
τ (ε)

{ (

)

}

Suy ra:
r
R( ε ) =

r r

r
r
r
Q ( ε ) + S ( ε ) − ωHτ ( ε )  h , Q ( ε ) + S ( ε )  + 
τ (ε)


 
r r r
 2 2
r

2 2
1 + ωHτ ( ε )  +ω τ ( ε ) h h , Q ( ε ) + S ( ε )

 H

(

)

(30)

*) Biểu thức mật độ dòng toàn phần:
+∞
+∞ r
r e
r
r
e

r
r
r
j = ∑ pn p = ∫ ∑ pn pδ ( ε − ε p ) d ε = ∫ R ( ε ) d ε
m pr
m pr
0
0

hay

r
r
r
j = L0 Q + L0 S

( )

( )

(31)
(32)

23


với

r r
r r r

r +∞ d ε .τ ( ε )
r
2 2


L0 A = ∫
A
ε
−
ω
τ
ε
h
,
A
ε
+
ω
τ
ε
h
h, A( ε )
(
)
(
)
(
)
(
)

H
H
2 2


1
+
ω
τ
ε
(
)
H
0

{

( )

(

)}

(33)

Ta tìm hàm phân bố không cân bằng của điện tử dưới dạng:
n pr = f 0 ( ε n, pr ) + f1 ( ε n, pr ) ; f1 ( ε n, pr ) ≈ f 0 ( ε n, pr )
rr
n pr = f 0 ( ε n , pr ) − p χ ( ε n, pr ) f 0' ( ε n , pr )
Trong đó

r
χ(ε) =

* Tính

f 0 ( ε n, pr )

là hàm phân bố cân bằng của điện tử.

r r
r r r
r
τ (ε)
2 2


F
−
ω
τ
ε
h
,
F
+
ω
τ
ε
h

, h, F
(
)
(
)
H
H


m ( 1 + ω H2 τ 2 ( ε ) )

{

( ( ) )}

r
Q( ε )

Từ (15) ta tính

r
Q( ε )

trong phép xấp xỉ tuyến tính qua cường độ trường ngoài

+∞ r
r
∂ε pr
r  r ∂n pr 
e

e 4π
'
r
r)
Q ( ε ) = − ∑ p  F , r ÷δ ( ε − ε p ) = −
Fpf
ε
δ ( ε − ε pr ) p 2 dp
(
r
0
p
3
∫
m pr 
∂p 
m ( 2π ) −∞
∂p

e 1
=−
m 2π 2

+∞

∫
0

r
3/2

F ( 2mε pr ) f 0' ( ε pr ) δ ( ε − ε pr ) d ε pr = −

* Tính

(34)

r
S(ε)

Từ (16) ta có:
SA ( ε ) =

=−

e r
3/2
F ( 2mε ) f 0' ( ε )
2
2π m

Si ( ε ) = SA ( ε ) + SB ( ε )

r rr
e
W
k
ak
∑
4m kr

( )( )

2

r rr 2 1
e
W
k
ak
∑
4m kr
2π 2

( )( )

(

) (

(

∑ n pr 2δ ε pr+kr − ε pr − Ω
r
p

+∞

)(

r r

p + k δ ε − ε pr+ kr

) (

ki k j 

'
r ) f ( ε r ) δ p +
p
χ
ε
(
×
j
n
,
p
0
n
,
p
ij
∫−∞
mk



)

×δ ε − ε pr+ kr δ ε pr+ kr − ε pr − Ω p 2 dp

24

)




r rr 2 1 +∞
ki k j
3/2
e


'
r
r
=−
W k ak
2mε p ) χ j ( ε n, p ) f 0 ( ε n, p ) δ ij +
×
∑
1/2 
2 ∫ (
r
4m k
2π 0
m ( 2mε pr ) k 


( )( )

(

) (

)

×δ ε − ε pr+ kr δ ε pr+ kr − ε pr − Ω md ε pr
r rr
em3/2
=−
W
k
ak
∑
2 2π 2 kr

( )( )

SB ( ε ) = −

2

( ε − Ω)

r rr
e
W
k

ak
∑
4m kr

3/2

2


ki k j


 k
χ j ( ε − Ω ) f ( ε − Ω ) δ ij +
− Ω÷
δ 
m 2m ( ε − Ω ) k 


  2m


( ) ( ) ∑ n 2δ ( ε

'
0

2

r

p

r
p

r r
p +k

)

r
− ε pr − Ω pδ ( ε − ε pr )

r rr 2 1 +∞
e
=
W k ak
p χ j ( ε n , pr ) f 0' ( ε n , pr ) δ ij pδ ( ε − ε pr ) δ ε pr+ kr − ε pr − Ω p 2dp
∑
2 ∫
r
4m k
2π −∞

(

( )( )

=

)

r rr 2 1 +∞
3/2
e
r)
W
k
ak
2
m
ε
χ j ( ε n, pr ) f 0' ( ε n, pr ) δ ijδ ( ε − ε pr ) δ ε pr+ kr − ε pr − Ω md ε pr
(
∑
p
2 ∫
r
4m k
2π 0

(

( )( )

e ( 2m )
=
2π 2

3/2

)

r rr 2 3/2
 k2

1
'
W
k
ak
ε
χ
ε
f
ε
δ
δ
− Ω÷
(
)
(
)
∑
j
0
ij 
r
4 k
 2m



( )( )

Ta viết lại:
e ( 2m )
Si ( ε ) = −
2π 2

3/2

{ ( ε − Ω)

3/2

χ j ( ε − Ω ) f0' ( ε − Ω ) λij − ε 3/2 χ j ( ε ) f 0' ( ε ) β ij

}

(35)

Trong đó:

λij =

r rr
1
W
k
ak

∑
4 kr

( )( )

2



ki k j


  k2
δ
+
− Ω÷
 ij
δ 
m 2m ( ε − Ω ) k 


  2m


r rr 2
 k2

1
℘ij = ∑
W k ak δ ijδ 

− Ω÷
r
4 k
 2m


( )( )

(36)

(37)

Xét khí điện tử suy biến hoàn toàn, hàm phân bố cân bằng của điện tử có
dạng:

25