Bài giảng giải bài tập tích phân suy rộng

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài giảng điện tử

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2014.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

1 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Câu 1
+∞

1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

dx
.
2
x x +x +1
√

Tính tích phân suy rộng I =

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

2 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Câu 1
+∞

dx
.
2
x x +x +1
√

Tính tích phân suy rộng I =
1

1
1
dt
⇒ x = ⇒ dx = − 2 .
x
t
t
x 1 +∞
Đổi cận
.
t 1 0

Đặt t =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

2 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Khi đó
0

− dt
t2

I =
1
.
1 t
1

0

1
t2

= ln

2

+ 34

0

dt
=
2
1+t +t

1 √ 2
= ln t + + t + t + 1
2

3 √
3
+ 3 − ln
2
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

√

=

+ 1t + 1

d t + 21
t + 21

1

1
0

2
= ln 1 + √ .
3

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

3 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Câu 2
+∞

arctan x
dx.
x2

Tính tích phân suy rộng I =
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

4 / 36

Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Câu 2
+∞

arctan x
dx.
x2

Tính tích phân suy rộng I =
1



 du =


dx
 u = arctan x
1 + x2
Đặt
⇒
dx
1

 dv = 2


v
=
−
x
x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

4 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tính tích phân suy rộng loại 1

Khi đó
1
I = − . arctan x
x
+∞

1

dx

=
x(1 + x 2)

+
1

1

+∞

dx
−
x

π
= +
4

+∞

+∞

xdx
π
1
=
+
ln
|x|
−

ln(1 + x 2 )
2
1+x
4
2
1

π
x
= + ln √
4
1 + x2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

+∞

=
1

+∞

=
1

π
1
π ln 2
+ ln 1 − ln √ = +
4
4

2
2

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

5 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Ý nghĩa hình học
Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị
của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học
là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạn
bởi x = a, trục Ox và đồ thị hàm f (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

6 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Chú ý.

Từ ý nghĩa hình học của tích phân suy rộng, ta
được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn và khác 0
lim f (x) = A = 0

x→+∞

và f (x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞)
+∞

f (x)dx phân kỳ

thì tích phân suy rộng
a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

7 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

1

Nếu α > 1 thì I =

+∞ dx
a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

xα

hội tụ.

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

8 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

1

Nếu α > 1 thì I =

2

Nếu α

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

+∞ dx

hội tụ.
α
x
a
+∞ dx
1 thì I =
phân kỳ.
α
x
a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

8 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

1

2

1

Nếu α > 1 thì I =

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

+∞ dx

hội tụ.
α
x
a
+∞ dx
Nếu α 1 thì I =
phân kỳ.
α
x
a
+∞
dx
Nếu α > 1 thì I =
hội tụ.
α . lnβ x
x
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

8 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

1

2

1

2

Nếu α > 1 thì I =

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

+∞ dx

hội tụ.
α
x
a
+∞ dx
Nếu α 1 thì I =
phân kỳ.

α
x
a
+∞
dx
Nếu α > 1 thì I =
hội tụ.
α . lnβ x
x
2
+∞
dx
Nếu α < 1 thì I =
phân kỳ.
β
α
2 x . ln x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

8 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

1

2

1

2

3

Nếu α > 1 thì I =

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

+∞ dx

hội tụ.
α
x
a
+∞ dx
Nếu α 1 thì I =
phân kỳ.
α
x
a
+∞
dx
Nếu α > 1 thì I =
hội tụ.
α . lnβ x

x
2
+∞
dx
Nếu α < 1 thì I =
phân kỳ.
β
α
2 x . ln x
+∞
dx
Nếu α = 1 thì I =
hội tụ nếu
β
α
2 x . ln x
β > 1, phân kỳ nếu β 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

8 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Câu 3
+∞

Tìm α để tích phân sau hội tụ I =
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

dx
√
xα 3 1 + x2

TP. HCM — 2014.

9 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Câu 3
+∞

Tìm α để tích phân sau hội tụ I =
1

1
1
=
x α .x 2/3 x α+2/3
xα
2
1
Để tích phân I hội tụ thì α + > 1 ⇔ α > .
3
3
√
3

1
1 + x2

dx
√
xα 3 1 + x2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x→+∞

∼

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

9 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Câu 4
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

I =
1

(2x + 3)dx
√
α
(4 + x ) 3 1 + x 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

10 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Câu 4
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

I =
1

(2x + 3)dx
√
α
(4 + x ) 3 1 + x 4

Trường hợp 1: α > 0
(2x + 3)
√
α
(4 + x ) 3 1 + x 4

x→+∞

∼

2x
2
=
x α .x 4/3 x α+1/3

Để tích phân I hội tụ thì α +

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

1
2
>1⇔α> .
3
3

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

10 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
2
(2x + 3)
x→+∞ 2x
√
=
∼
5.x 4/3 5x 1/3
(4 + x α ) 3 1 + x 4
1
I phân kỳ vì < 1

3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

11 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
2
(2x + 3)
x→+∞ 2x
√
=
∼
5.x 4/3 5x 1/3
(4 + x α ) 3 1 + x 4
1
I phân kỳ vì < 1
3
Trường hợp 3: α < 0
1
(2x + 3)

x→+∞ 2x
√
∼
=
4.x 4/3 2x α+1/3
(4 + x α ) 3 1 + x 4
1
I phân kỳ vì < 1.
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

11 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
2
(2x + 3)
x→+∞ 2x
√
=
∼
5.x 4/3 5x 1/3

(4 + x α ) 3 1 + x 4
1
I phân kỳ vì < 1
3
Trường hợp 3: α < 0
1
(2x + 3)
x→+∞ 2x
√
∼
=
4.x 4/3 2x α+1/3
(4 + x α ) 3 1 + x 4
1
I phân kỳ vì < 1.
3
Vậy để tích phân I hội tụ thì α > 2/3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

11 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Câu 5
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

(3−x + 4x)dx
(5 + x α )α−1

I =
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

12 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Câu 5
Tìm α để tích phân sau hội tụ
+∞

(3−x + 4x)dx
(5 + x α )α−1

I =
1

Trường hợp 1: α > 0
(3−x + 4x)
(5 + x α )α−1

x→+∞

∼

4x
x α(α−1)

=

4
x α(α−1)−1

Để tích phân I hội tụ thì
α(α − 1) − 1 > 1 ⇔ α > 2 ∨ α < −1 ⇒ α > 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

12 / 36

Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
(3−x + 4x)
(5 + x α )α−1

x→+∞

∼

4x
4
=
6−1 6−1.x −1

I phân kỳ vì −1 < 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

13 / 36


Tích phân suy rộng loại 1

Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ

Trường hợp 2: α = 0
(3−x + 4x)
(5 + x α )α−1

x→+∞

∼

4x
4
=
6−1 6−1.x −1

I phân kỳ vì −1 < 1
Trường hợp 3: α < 0
(3−x + 4x)
(5 + x α )α−1

x→+∞

∼

4x
4
=
5α−1 5α−1.x −1

I phân kỳ vì −1 < 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2014.

13 / 36