CĐ LƯỢNG GIÁC 2 LUYỆN THI THPT 2016

GV.NGUYỄN MẠNH 0981.534.028

CHINH PHỤC LƯỢNG GIÁC 2016

Trong tài liệu này, thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước chinh phục bài toán giải phương trình lượng
giác một cách nhanh nhất, dễ hiểu nhất.
I. Các dạng phương trình lượng giác cơ bản
u  v  k 2
 sin u  a  sin u  sin v  
 k    ; v  arcsin a
u    v  k 2



 u  v  k 2
cos u  a  cos u  cos v  
 k    ; v  arccos a
 u   v  k 2
tan u  a  tan u  tan v  u  v  k  k    ; v  arctan a



sin u  sin   v  ;sin u  sin  v 
sin u   sin v


 cos u  cos   v 
 cos u   cos v






sin u  sin   v 
2

sin u  cos v  
 

 cos   u   cos v
  2


VÍ DỤ MINH HOẠ











 x  6  k 2

1

1  

sin x   sin x  sin  
k    ; Ên m¸y SHIFT sin =


2
6
2 6 
 x      k 2  5  k 2


6
6


2 x   k 2


3

3  
6
cos 2 x 
 cos 2 x  cos  
k    ;  Ên m¸y SHIFT cos
 

2
6
2
6 

 2 x     k 2


6








2 

2

5 
sin  x     sin  2 x 
    sin  x    sin  2 x 
  sin  x    sin  2 x 

6
3 
6
3
6
3 








 
5


11
11
 x  6  2 x  3  k 2
 x   6  k 2
  x  6  k 2



k  

5 
 
 k 2



 x  6     2 x  3   k 2
 x  6  3
3 x  2  k 2








sin 5 x   cos 2 x  sin 5 x   sin   2 x   sin 5 x  sin  2 x    c¸c em tù thùc hµnh.
2
2



BÀI TẬP TỰ LUYỆN




3
1
; sin 2 x  0 ; cos x  ; cos2x  1
2
2



 3




1





cos  2 x     ; sin  3 x    1 ; sin  2 x    sin 
 x  ; cos  x    cos  2 x  
3
2
6
4
3
6



 4






2 
3 

cos  3 x 
   cos x ; cos 5 x   sin 3 x ; sin  2 x 
   sin  x  
3 
4 

4




sin x  

Page |
1


GV.NGUYN MNH 0981.534.028

CHINH PHC LNG GIC 2016

II. CC DNG PHNG TRèNH LNG GIC THNG GP
1. Phng trỡnh bc 2, bc 3 vi mt hm s lng giỏc
a cos2 u b cosu c 0 . Đặt t = cos u , t 1;1
Mt s dng phng trỡnh a v dng trờn thng gp :
acos 2u b cos u c d sin2 u e cos3u 0 có thể khuyết đi một trong các số hạng tổng quát trên nhé! Page |
2
Cỏc em s dng cụng thc bin i sau :

Công thức nhân đôi, nhân ba : cos 2u 2 cos2 u 1 ; cos3u 4 cos3 u 3cos u
Công thức cơ bản : sin 2 u 1 cos2 u


a sin 2 u b sin u c 0. Đặt t = sin u , t 1;1

Mt s dng phng trỡnh a v dng trờn thng gp :

acos 2u bsin u c d cos2 u e sin 3u 0 có thể khuyết đi một trong các số hạng tổng quát trên nhé!

Cỏc em s dng cụng thc bin i sau :

Công thức nhân đôi, nhân ba : cos 2u 1 2sin 2 u ; sin3u 3sin u 4sin3 u
Công thức cơ bản : cos2 u 1 sin 2 u
BI TP MINH HO
1) cos 2 x 5cos x 3 0 2 cos2 x 1 5cos x 3 0 2 cos2 x 5cos x 2 0

1


1
cos x 2

và -2
ấn máy tính giải phương trình bậc 2, ta được
2

cos x 2 1;1 loại

1
2
1
2
cos x
x
k 2 k ấn máy SHITF cos
, ta được kết quả

2
3
2
3






2)2 cos2 2 x 3sin 2 x 3 0 2 1 sin 2 2 x 3sin 2 x 3 0 2sin 2 2 x 3sin 2 x 1 0
sin 2 x 1

sin 2 x 1

2
sin 2 x 1 2 x


2

k 2 x



k k ấn máy SHIFT sin 1 = KQ :
4
2

2 x 6 k 2
x 12 k
1
sin 2 x

k
2
2 x 5 k 2
x 5 k


6
12

x
sin 2 loại
x
x
x
x
x
3) cos x 2sin 3 0 1 2 sin 2 2sin 3 0 2sin2 2sin 4 0 2
2
2

2
2
2
sin x 1
2
x
x

sin 1 k 2 x k 4 k
2
2
2


GV.NGUYỄN MẠNH 0981.534.028

CHINH PHỤC LƯỢNG GIÁC 2016

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) cos 4 x  5 cos 2 x  4  0 ; 2)2cos2x  8sin x  5  0 ; 3)2sin 2 x  5 cos x  1  0
4) cos2 x  2 sin x  1  0 ; 5) cos x  4sin

x
 3  0 ; 6) cos 2 x  9 cos x  5  0
2
Page |
3

2. Phương trình bậc nhất với sin u,cos u
Một số dạng tổng quát :





 A sin u  B cos u  C §iÒu kiÖn cã nghiÖm A2  B 2  C 2

 A sin u  B cos u  C sin v  D cos v Víi A2  B 2  C 2  D 2












 Lưu ý : Cặp hệ số  A; B  ,  C; D    1; 1 , 1;  3 ,  3; 1 là cách nhận ra dạng toán này.


Phương pháp : Chia 2 vế cho r  A2  B 2 . Khi đó :

 nÕu muèn ®­a vÒ hµm sin  u    , c¸c em Ên m¸y tÝnh t×m r vµ  nh­ sau :


p
 SHIFT  A SHIFT ) B ) =  m¸y tÝnh hiÖn r = ;  = . lÊy 180  q   ®æi  tõ ®é sang rad


 SHIFT Mode 4 Mode 2 A + Bi  ENG  SHIFT 2 3 =  m¸y hiÖn r

 nÕu muèn ®­a vÒ cos  u    , c¸c em Ên m¸y tÝnh t×m r vµ  nh­ sau :
SHIFT  B SHIFT ) A ) =  m¸y tÝnh hiÖn r = ;  = . lÊy


180



p
  ®æi  tõ ®é sang rad
q

SHIFT Mode 4 Mode 2 B + Ai  ENG  SHIFT 2 3 =  m¸y hiÖn r

Khi đó :

 A sin u  B cos u  r sin  u   

 A sin u  B cos u  r cos  u   





 sin u  cos u  2 sin  u    2 cos  u  
4
4






3 
 sin u  cos u  2 sin  u    2 cos  u 

4
4 






 sin u  3 cos u  2sin  u    2 cos  u  
3
6






5 
 sin u  3 cos u  2 sin  u    2 cos  u 

3
6 







 3 sin u  cos u  2sin  u    2 cos  u  
6
3





2 
 3 sin u  cos u  2sin  u    2 cos  u 

6
3 



BÀI TẬP MINH HOẠ




 1
1) 3 sin 2 x  cos 2 x  1  2sin  2 x    1  sin  2 x     c¸c em tù gi¶i
6

6 2






2) sin x  cos x  2 sin 3x  2 sin  x    2 sin 3 x  sin  x    sin 3 x  c¸c em tù lµm
4
4





5 
3) sin 3x  3 cos3 x  cos x  3 sin x  2sin  3 x    2sin  x 
  c¸c em tù lµm
3
6 




GV.NGUYỄN MẠNH 0981.534.028

CHINH PHỤC LƯỢNG GIÁC 2016

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) sin x  cos x  1  0 ; 2) sin2x  3 cos 2 x  2 ; 3) sin x  cos x  2 cos 5 x; 4) 2 sin x  3 cos x  7  0

5) sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x ; 6) 2 cos3 x  3 sin x  cos x  0

3. Phương trình đẳng cấp với sin x ,cos x
Công thức sử dụng trọng dạng này

1
 1  tan 2 x ; sin 2 x  2 sin x cos x ; cos2x  cos2  sin 2 x
2
cos x

Hai dạng tổng quát như sau :



 A sin 2 x  B sin x cos x  C cos2 x  D  0   cos x  0  x   k : lµ nghiÖm nÕu A+D=0
2


2

chia cho cos x

 A sin3 x  B sin2 x cos x  C sin x cos2 x  D cos3 x  E sin x  F cos x  0   cos x  0 lµ nghiÖm A+E=0

3

chia cho cos x


BÀI TẬP MINH HOẠ





1) 2sin2x  cos 2 x  4 cos2 x  0  4sin x cos x  cos2 x  sin 2 x  4 cos2 x  0
 sin2 x  4sin x cos x  5cos2 x  0  *
 cos x  0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh v× 1  0


x   k
 tan x  1

4
 cos x  0 :  *  tan x  4 tan x  5  0  

k  
tan
x


5

 x  arctan  5   k
2) sin x  4sin 3 x  cos x  0  §©y thuéc d¹ng tæng qu¸t 2 khuyÕt ®i mét vµi sè h¹ng ; A=-4;E=1=F
2

 cos x  0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh v× -4+1  0
sin3 x sin x
cos x

sin x
1
1


 0  4 tan3 x 
.

0
3
3
3
2
cos x cos x cos2 x
cos x cos x cos x
 4 tan 3 x  tan x 1  tan 2 x  1  tan 2 x  0  3tan 3 x  tan 2 x  tan x  1  0

 cos x  0 : ph­¬ng tr×nh  4



 tan x  1  x 





 k  k     Ên m¸y SHIFT tan 1 =  KQ : 
4
4





BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) 4 sin2 x  3 sin 2 x  2 cos2 x  1  0 ; 2) sin3 x  cos3 x  2 cos x  0
4. Phương trình đối xứng  sin x  cos x ,sin x cos x 



t2  1
§Æt t  sin x  cos x  2 sin  x   t    2; 2   sin x cos x  


4
2




BÀI TẬP MINH HOẠ



Page |
4


GV.NGUYN MNH 0981.534.028

CHINH PHC LNG GIC 2016

1) sin x cos x sin x cos x 1 0 *


t2 1


Đặt t sin x cos x 2 sin x t 2; 2 sin x cos x


4
2

2
* t t 2 1 1 0 t 2 2t 1 0 t 1



1
t 1 2 sin x 1 sin x
bạn đọc tự giải ...
4
4
2

Page |
5

2) sin x cos x sin x cos x 1 0

III. PHNG PHP CHINH PHC PHNG TRèNH LNG GIC NM 2016
Trong cỏch ra hin nay, ngi ra s cú hai khuynh hng ch yu :



Khuynh hng th nht : BI TON C A TRC TIP V PHNG TRèNH C
BN HOC PHNG TRèNH THNG GP
Khuynh hng th hai : BI TON C A V DNG PHNG TRèNH TCH
A 0 phương trình cơ bản
A.B 0
B 0 phương trình cơ bản hoặc thường gặp

õy l dng thng gp hn trong cỏc thi. V vi xu hng hin nay thỡ A = 0 ; B = 0 thng
u l phng trỡnh c bn.
gii quyt bi toỏn phng trỡnh lng giỏc, cỏc em nờn i theo con ng chung nh sau to
thnh thúi quen bin i lng giỏc.

Đặt điều kiện xác định quy đồng mẫu số nếu có hạ bậc thu gọn cung lượng giác
biến đổi tổng thành tích

hoặc ngược lại

công thức nhân đôi có dạng A.B 0 thì dừng

Thụng thng chỳng ta khụng phi vn dng ht cỏc k nng trờn trong mt bi toỏn, m ch vn dng
1, 2 k nng l gii quyt c bi toỏn trong thi.
1. t iu kin xỏc nh
Mẫu số 0
sin u
cos u
tan u
cos u 0 sin2 u 1 ; cot u
sin u 0 cos2 u 1
cos u
sin u









VD1. Gii phng trỡnh :


2 sin 2 2 x sin 7 x
4

1.
1 sin x

* . Điều kiện : 1 sin x 0 sin x 1 x 2 k 2 k

2. Quy ng mu ( nu cú mu )

* 2sin

2



2 x sin 7 x 1 sin x
4


3. H bc
Cụng thc h bc (*):


GV.NGUYỄN MẠNH 0981.534.028

CHINH PHỤC LƯỢNG GIÁC 2016

1  cos 2u
 1  cos 2u  2 sin 2 u  * ;
2
3sin x  sin 3 x
 sin 3 x 
;
4
1

3  cos 4 x
 sin 4 x  cos4 x  1  sin 2 2 x 
;
2
4

1  cos 2u
 1  cos 2u  2 cos2 u  *
2
3 cos x  cos3 x
 cos3 x 
4
3
5  3cos 4 x
 sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x 
4
8

 sin 2 u 

 cos2 u 

*  1  cos  4 x  2   sin 7 x  1  sin x  0




4. Thu gọn cung lượng giác






Nhận thấy trong phương trình trên có các cung lượng giác  4 x   , 7 x, x . Cung  4 x   là một
2
2


tổng ( một hiệu ) nên cần thu gọn sao cho chỉ chứa biến x . Để thu gọn các em sử dụng hai công thức
sau để biến đổi biểu thức ra nháp.
sin  a  b   sin a cos b  sin b cos a ; cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b





Nháp cos  4 x    cos 4 x cos  sin 4 x sin  cos 4 x.0  sin 4 x.1  sin 4 x
2
2
2


*   sin 4 x  sin 7 x  sin x  0
5. Biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng
Nhận xét : khi trong phương trình chứa các cung lượng giác thường từ 3x trở lên thì các em để ý kỹ
năng biến đổi tổng thành tích hoặc ngược lại, bằng cách :




Nếu có 3 số hạng thì nhóm 2 cung có tổng hoặc hiệu gấp đôi cung còn lại với nhau
Nếu có 4 số hạng thì nhóm thành 2 nhóm sao cho tổng hoặc hiệu các cung bằng nhau
Công thức biến đổi :

ab
ab
ab
ab
ab
ab
cos
; cos a  cos b  2 cos
cos
; cos a  cos b  2sin
sin
2
2
2
2
2
2
7x  x
Phân tích bài toán trên : có 3 số hạng và
 4 x nên ta nhóm như sau :
2

sin a  sin b  2sin

*   sin 7 x  sin x   2 sin 4 x  0  2 sin 4 x cos3x  2 sin 4 x  0
Nhận thấy đã xuất hiện thừa số chung sin 4x nên ta dừng lại, để đưa về phương trình tích :

sin 4 x  0

sin 4 x  0





*  2sin 4 x  cos3x  1  0  cos3x  1  0  cos3x  1
k
k  
4
k 2
 cos3 x  1  3 x  k 2  x 
k  
3
 sin 4 x  0  4 x  k  x 

Kết hợp với điền kiện, nghiệm của phương trình là x 

k
k 2
k  ; k  8m  2, m    ; x 

4
3

Page |
6

GV.NGUYỄN MẠNH 0981.534.028

CHINH PHỤC LƯỢNG GIÁC 2016

6. Công thức nhân đôi
 sin 2 x  2 sin x cos x  *

;  cos2x  2 cos2 x  1  1  2 sin2 x  *

VD2. Giải phương trình :  D  2011

sin 2 x  2 cos x  sin x  1
tan x  3

Page |
7

tan x  3  0
tan x   3
 0  * . ®iÒu kiÖn 

cos x  0
cos x  0

*  sin 2 x  2 cos x  sin x  1  0
Nhận thấy phương trình chứa các cung x ,2 x nên ta chỉ việc áp dụng công thức nhân đôi

*  2sin x cos x  2 cos x  sin x  1  0   2sin x cos x  sin x    2 cos x  1  0


1
cos x 

 sin x  2 cos x  1   2 cos x  1  0   2 cos x  1 sin x  1  0 
2  dµnh cho b¹n ®äc

sin x  1
 Nhận xét : phương trình ở VD2 trên có dạng tổng quát như sau :
A sin 2 x  B cos 2 x  C sin x  D cos x  E  0

Đây là dạng phương trình cực, cực kỳ hay gặp trong đề thi đại học. Với tư duy tổng quát sau, các em
giải quyết bài toán một cách rất đơn giản. Các em phải dùng phép thử nhóm theo 1 trong 2 cách sau :

  A sin 2 x  C sin x    B cos 2 x  D cos x  E   0. BiÕn ®æi cos 2 x  2 cos2 x  1;sin 2 x  2sin x cos x
  A sin 2 x  D cos x    B cos 2 x  C sin x  E   0. BiÕn ®æi cos2x  1  2sin 2 x;sin 2 x  2sin x cos x
Các em làm ví dụ sau đây để có cái nhìn trực quan hơn về dạng phương trình này nhé!
VD3. Giải phương trình  D  2010 
sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x  1  0

Phân tích hướng giải :







Giả sử nhóm  sin2x  3sin x     cos2x  cos x 1  0  2sin x cos x  3sin x   2cos2 x 1  cos x 1  0





 sin x  2 cos x  3   2 cos2 x  cos x  0
 cos x  0

3
Ấn máy tính giải phương trình 2 cos x  cos x  0  
    sai
 cos x  1 
2

2
2

Vậy ta giải như sau :
sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x  1  0   sin 2 x  cos x     cos 2 x  3sin x  1  0







  2 sin x cos x  cos x    1  2sin 2 x  3sin x  1  0





 cos x  2sin x  1  2sin2 x  3sin x  2  0


GV.NGUYỄN MẠNH 0981.534.028

CHINH PHỤC LƯỢNG GIÁC 2016



1
2
 Ên m¸y gi¶i ph­¬ng tr×nh 2sin x  3sin x  2  sin x  ;sin x  2  
2


2sin 2 x  3sin x  2   2sin x  1 sin x  2 



 cos x  2sin x  1   2sin x  1 sin x  2   0   2sin x  1 cos x  sin x  2   0
 2 sin x  1  0 d¹ng c¬ b¶n

sin x  cos x  2  0 d¹ng II.2 v« nghiÖm v× 12  12  22

b¹n ®äc tù gi¶i tiÕp...
BÀI TẬP TỰ LUYỆN



Page |

8



1) sin 3 x  cos 2 x  sin x  1  0 ; 2) sin3x  cos 2 x  sin x  0 ; 3) cos3 x  2 sin x  cos x  0
4) cos3 x  cos 2 x  cos x  1  0 ; 5) 3 cos 5 x  2 sin 3 x cos 2 x  sin x  0
6) sin 7 x  sin x  1  2sin 2 2 x; 7) 2 cos 5 x cos3 x  sin x  1  2 cos2 4 x ; sin 5 x  2 cos2 x  1



9) sin3 x  cos3 x  sin x  cos x  2 cos 2 x ; 10) sin x  cos x sin 2 x  3 cos3 x  2 cos 4 x  sin3 x





11) sin x  4 cos x  2  sin 2 x; 12) 2  sin x  2 cos x   2  sin 2 x; 13) 2  sin 2 x  2 2 cos  x  
4





14)sin 2 x  cos x  1  2 sin  x   ; 15)sin 2 x  cos 2 x  2 sin x  1; 16)cos  x    sin 2 x  0
4
2


17) 3 sin 2 x  1  cos 2 x  2 cos x; 18)sin2x  cos 2 x  3sin x  cos x  2  0




3 
19) cos 2  x    3 cos 2 x  2 cos x  3; 20)4cos2  x 
  cos 2 x  7sin x  2 cos x  6
4
4 


x 
x 


21)2sin 2     sin 2 x  2 cos x; 22)cos2x  4 cos2     1;23)2 sin  2 x    4 sin x  1  0
6
2 4
2 4





1
1
24)1  tan x  2 2 sin  x   ;25)2 2 cos  x   

;26)5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x
4
4  cos x sin x




x
3 
27)2sin x 1  cos 2 x   sin 2 x  1  2 cos x;28)4 sin 2  3 cos 2 x  1  2 cos2  x 

2
4 

29)

1  2sin x  cos x

 3;30)

1  sin x  cos 2 x  sin  x  4 

  1 cos x
2



1  tan x
1  2sin x 1  sin x 
31)  sin 2 x  cos2 x  cos x  2 cos 2 x  sin x  0;32)sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x
1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x sin 2 x;34)2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1
1  cot 2 x

x  



35)sin 3 x  cos3 x  2sin2 x  1;36) 2  2 cos2     1   1  sin 2 x;37) 2 sin  x    2 cos2 x  1
4
2 8 


33)





 Các em cố gắng nắm vững con đường trên, thầy tin các em sẽ chinh phục được câu lượng giác
trong kỳ thi THPT Quốc gia 2016 sắp tới. Chúc các em thành công ! Hẹn gặp các em tại Tài liệu
'' Chinh phục Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình ''