CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP KHỐI LĂNG TRỤ

Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ
A.ÔN TẬP KIẾN THỨC:
I.Công thức hình phẳng
1.Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.
 AB2  AC 2  BC 2  AB 2  BC.BH , AC 2  BC.CH



1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

 AB  BC.sin C  BC.cos B  AC.tan C  AC.cot B
b) Cho ABC có độ dài các cạnh là: a, b, c; độ dài các đường trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường
tròn ngoại tiếp là R; bán kinh của đường tròn nội tiếp r; nữa chu vi p.
 Định lí hàm số cosin:
a 2 =b 2  c 2 – 2bc.cosA; b 2  c 2  a 2  2ca.cos B; c 2  a 2  b 2  2ab.cos C
a
b
c



 2R
 Định lí hàm số sin:
sin A sin B sin C
 Công thức độ dài đường trung tuyến:

b2  c2 a2
c2  a2 b2
a2  b2 c2
2
2

 ; mb 
 ; mc 

2
4
2
4
2
4
2.Công thức tính diện tích
a)Tam giác:
1
1
1
1
1
1
 S  a.ha  b.hb  c.hc

 S  bc sin A  ca. sin B  ab sin C
2
2
2
2
2
2
abc
 S
 S  pr
 S  p  p  a  p  b  p  c 
4R
 ABC vuông tại A: 2S  AB.AC  BC.AH
ma2

S

 ABC đều, cạnh a:
b)Hình vuông:
c)Hình chữ nhật:

S = a2
S = a.b

a2 3
4
(a: cạnh hình vuông)
(a, b: hai kích thước)

S = ñaùy  cao = AB.AD.sinBAD

1
S  AB. AD.sinBAD  AC .BD
e)Hình thoi:
2
1
S  a  b .h
f)Hình thang:
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
S  AC.BD
g)Tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau:
2
II.Quan hệ song song
1.Hai đường thẳng song song
d)Hình bình hành:

GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 1


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

a)Định nghĩa:

a b



a, b  (P)
ab  

b)Tính chất:
(P )  (Q)  ( R)
( P )  (Q)  d

d a b
(P )  (Q)  a
 a, b, c ñoàng qui 

●
● ( P )  a,(Q)  b  
● a  b

a b
d

a
(
d

b
)
(
P
)

(
R

)

b
a
b
c
a
c
,
b
c





a b

(Q)  ( R)  c
c)Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thế sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng các phương pháp chứng minh song song trong
hình học phẳng.
 Chứng minh đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3.
 Áp dụng định lí về giao tuyến.
2.Đường thẳng và mặt phẳng song song
a)Định nghĩa:
d // (P)  d  (P) = 
b)Tính chất:



(P)  (Q)  d
● d  (P), d '  (P)  d (P)
● d ( P )
 d a ●
d a
d
d
'
(
Q
)

d
,(
Q
)

(
P
)

a


(P) a,(Q) a
c)Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Có thế sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh d ( P ) , chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng d nào đó nằm
trong (P).

 Chứng minh đường thẳng và mặt phẳng đó cùng vuông góc với đường thẳng d nằm ngoài mặt phẳng
(P).
 Chứng minh đường thẳng và mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng (Q).
3.Hai mặt phẳng song song
a)Định nghĩa:
(P) // (Q)  (P)  (Q) = 
b)Tính chất:
( P )  a, b
( P )  (Q)
(Q) ( R)



 (P ) (Q )
* a  b  M
* ( P ) ( R)  ( P ) (Q)
* ( P )  (Q)  a  a b
a (Q), b (Q)
(Q) ( R)
( P )  ( R)  b
c)Chứng minh hai mặt phẳng song song
Có thế sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong
mặt phẳng kia.
 Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng vuông góc với đường thẳng d.
 Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3.
III.Quan hệ vuông góc
1.Hai đường thẳng vuông góc
a)Định nghĩa:
a  b   a, b   900

b)Tính chất:
 Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a  b  u.v  0 .
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 2


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo


 b  c  a  b
a  c
c)Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau
Để chứng minh d  a , ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh góc a và d bằng 900.
 Chứng minh 2 vecto chỉ phương của a và d vuông góc nhau.
 Chứng minh d  b mà b a .
 Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
 Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
 Sử dụng tính chất hình phẳng.
2.Đường thẳng vuông góc mặt phẳng
a)Định nghĩa:
d  (P)  d  a, a  (P)
b)Tính chất:


 a, b  (P), a  b  O  d  (P)
 a b  ( P )  b
d  a, d  b
(P)  a



 a  b
 (P) (Q)  a  (Q)
a b
a

(
P
),
b

(
P
)

a  ( P )


 (P)  (Q)
 a ( P )  b  a
 (P) Q)
(P)  a,(Q)  a
b  ( P )


 a  ( P )
 a  P)
a  b,(P)  b
 Định lí ba đường vuông góc: Cho a  (P), b  (P) , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b 

a.
c)Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d  (P), ta có thể chúng minh bởi các cách sau:
 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
 Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
 Chứng minh d // a và a  (P).
 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).
3.Hai mặt phẳng vuông góc





a)Đinh nghĩa:
b)Tính chất:

(P)  (Q)  (P ),(Q)  900

(P)  a
 
 (P)  (Q)
a  (Q)

(P)  (Q),(P)  (Q)  c
 
 a  (Q)
a  (P), a  c

GV:Nguyễn Thành Hưng

(P )  (Q)

 a  (P )
  A  (P )
a  A, a  (Q)

Page 3


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
(P )  (Q)  a

 a  ( R)
 (P )  ( R)
(Q)  ( R)
c)Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh các cách sau:

 Chứng minh trong (P) có đường thẳng a mà a  (Q).





 Chứng minh (P ),(Q)  900
IV.Góc và khoảng cách
1.Góc
a)Góc giữa hai đường thẳng:

Chú ý: 00   a, b   900
b)Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:



a//a', b//b'   a, b    a ', b ' 



 Nếu d  (P) thì d ,( P ) = 900.

 
00   d ,( P )   900

 Nếu d  (P) thì d ,( P ) =  d , d '  với d là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý:

c)Góc giữa hai mặt phẳng



a  (P)
  (P),(Q)   a, b 
b  (Q)







 Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng a  (P), a  c  (P ),(Q)   a, b 
b  (Q), b  c





Chú ý: 00  ( P ),(Q)  90 0
2.Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường
thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên
đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
 Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng chứa mặt phẳng kia và song song đường thẳng thứ nhất.
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với mặt phẳng
kia.
V.Công thức tính thể tích
1.Thể tích khối hộp chữ nhật:
với a, b, c là kích thước khối chữ nhật.
V  abc
2.Thể tích khối chóp:
1
V  Sñaùy .h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao khối chop.
3
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 4


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
3.Thể tích khối lăng trụ:
V  Sđáy .h

với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao khối trụ.

4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a)Tính thể tích bằng cơng thức sau
 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
 Sử dụng cơng thức tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta có thể chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối đa ,diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng.
Sau đó, dung các kết quả để tính khối đa diện cần tính.
c)Tính thể tích bằng tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên
Oz, ta nên ta có:
VOABC
OA OB OC

.
.
VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC '

B.CÁC DẠNG TỐN:
Vấn đề 1: Thể tích khối chóp – khối lăng trụ liên quan độ dài các cạnh.
Dạng 1: Khối chóp

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Nhận xét:
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Sử dụng định lý pitago trong tam giác vng
Lời giải:
Ta có : AB = a 2 ,
S
AC = a 3
SB = a 3 .
*  ABC vng tại B nên BC  AC 2  AB 2  a
C

A

B

 SABC 

1
1
a2 . 2
BA.BC  .a 2.a 
2
2
2

*  SAB vng tại A có SA  SB 2  AB 2  a
* Thể tích khối chóp S.ABC

1
1 a2 . 2
a3 . 2
VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a 
3
3 2
6

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Nhận xét:
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 5


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
Lời giải:
Ta có : AC = a 2 ,
SB = a 3 .
*  ABC vuông, cân tại B nên
S

AC 2
a
2

1
1
a2
 BA.BC  .a.a 
2
2
2

BA  BC 

 SABC
C

A

B

*  SAB vuông tại A có SA  SB 2  AB 2  a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a2
a3
VS . ABC  .S ABC .SA  . .a 
3
3 2
6

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Nhận xét:

Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông SAB
Lời giải:
*  ABC đều cạnh 2a nên
S
AB = AC = BC = 2a
1
1
3
 SABC  BA.BC.sin 600  .2a.2a.
 a2. 3
2
2
2
C
A
B

*  SAB vuông tại A có SA  SB 2  AB 2  a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 2
a3 . 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .a . 3.a 
3
3
3

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC  1200 ,cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Nhận xét:
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200
Lời giải:
*  ABC cân tại A, BAC  1200 , BC = 2a 3
AB = AC = BC = 2a
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 6


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

Xét  AMB vuông tại M có BM = a 3 , Â = 600

S

BM
a 3

a
0
tan 60
3
1
1
 AM .BC  .a.2a 3  a 2 . 3
2

2

 AM =
 SABC
C
A

* SA = a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 2
a3 . 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .a . 3.a 
3
3
3

M
B

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SC = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Nhận xét :
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng đứng
- ABCD là hình vuông ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
Lời giải:
Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a 2
S
SC = a 5 .

* Diện tích ABCD



 SABCD  a 2



2

 2a 2

* Ta có : AC = AB. 2 = a 2. 2  2a
 SAC vuông tại A
A

 SA  SC 2  AC 2  a
* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1 2
2a 3
VS . ABCD  .S ABCD .SA  .2a .a 
3
3
3

B

D

C

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Nhận xét :
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng đứng
- Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân với 2 )
Lời giải: S
Ta có : SA = AC = a 2
* ABCD là hình vuông
GV:Nguyễn Thành Hưng
A

Page 7
B


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
AC = AB. 2  AB 

AC
a
2

Diện tích ABCD : SABCD  a2
* SA = a 2
* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1 2

a3 . 2
VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a .a. 2 
3
3
3
Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối
chóp S.ABC
Nhận xét :
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong  ABC
- Đường cao của hình chóp là SO ( SO  (ABC))
Lời giải:
S
* S.ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm BC
 ABC đều cạnh a 3 , tâm O
SO  (ABC)
SA=SB=SC = 2a
*  ABC đều cạnh a 3
A

3 3a

2
2
2
2 3a

 AO= . AM  .  a
3
3 2
1
1
3 3a 2 . 3
 SABC  AB. AC.sin 600  .a 3.a 3.

2
2
2
4

 AM = a 3.

C

O

M
B

*  SAO vuông tại A có SO  SA2  AO 2  a. 3
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 3a 2 3
a3 . 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a 
3

3
4
4
Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 .Tính thể tích khối
chóp S.ABCD
Nhận xét :
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Hình chóp tứ giác đều có
+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O
+ SO  (ABCD)
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 8


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau
- Đường cao của hình chóp là SO ( SO  (ABCD))
Lời giải:
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O
SO  (ABCD)SA=SB=SC =SD = a 3
* Diện tích hình vuông ABCD
 AC = 2a. 2
AC 2a 2
 AO=

a 2
2
2

2
 SABCD   2a   4a 2
*  SAO vuông tại O có SO  SA2  AO 2  a
* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1 2
4a 3
VS . ABCD  .S ABCD .SA  .4a .a 
3
3
3

S

A

B

O

D

C

Ví dụ 9: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a
Nhận xét:
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Tứ diện đều ABCD có các tính chất
+ tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ tất cả các mặt là các tam giác đều

+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy
- Đường cao của hình chóp là AO ( AO  (BCD))
Lời giải:
* ABCD là tứ diện đều cạnh a
Gọi M là trung điểm CD
A
Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a
 BCD đều cạnh a, tâm O
 AO  (BCD)

D

B
O

M
C

*  BCD đều cạnh a
a 3
 BM =
2
2
2 a 3 a 3
 BO= .BM  .

3
3 2
3
2

a. 3
 SBCD 
4
*  AOB vuông tại O có
2

a 3
a 6
AO  AB  BO   a   
 
3
 3 
2

GV:Nguyễn Thành Hưng

2

2

Page 9


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a 2 3 a 6 a3 . 2
VABCD  .S BCD . AO  .
.


3
3 4
3
12
Dạng 2: Khối lăng trụ
Ví dụ 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a 3 , cạnh
A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ
Lời giải :
* Tam giác ABC vuông tại B
C/

A/

 BC =

AC 2  AB 2  a 2

1
a2 2
AB.BC 
2
2
/
* Tam giác A AB vuông tại A

B/

 SABC 

2a

 A/ A  A/ B2  AB2  a 3
* VABC . A/ B/ C /  SABC . A / A 

a 3

A

C

a3 6
2

a
B

Vấn đề 2: Thể tích khối chop – khối lăng trụ liên quan đến góc.
Dạng 1: Khối chóp
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ACB  600 , cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Nhận xét:
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên (ABC)
Lời giải:
* Ta có : AB = a ,
AB  hc SB
( ABC )

S

 ( SB,( ABC ))  ( SB, AB)  SBA  45o
*  ABC vuông tại B có AB = a, ACB  600
AB
a a 3
 BC 


0
tan 60
3
3

A

60

45
B

GV:Nguyễn Thành Hưng

1
1 a 3 a2 . 3
 SABC  BA.BC  .a.

C
2
2
3

6
0
*  SAB vuông tại A có AB= a, B  45
Page 10


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

 SA  AB.tan 45o  a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a2 . 3
a3 . 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a 
3
3 6
18
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Nhận xét :
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
- Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên (ABCD)
Lời giải:
S
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a ,
AC  hc SC
( ABCD )

 ( SC ,( ABCD))  (SC , AC )  SCA  60o
* Diện tích hình vuông
 SABCD  a2
A

B
60

D

C

*  SAC vuông tại A có AC= a 2 , C  600
 SA  AC.tan 60o  a 6
* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1
a3 . 6
VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 .a 6 
3
3
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp
S.ABC
S
Nhận xét:
Sai lầm của học sinh:
- Gọi M là trung điểm BC

- Ta có AM  BC
SM  BC
C

 (( SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA  60o

60

A

M
B

(Hình vẽ sai)
Lời giải:
S

* Ta có : AB = a 3 ,
(SBC)  (ABC) = BC
AB  BC ( vì  ABC vuông tại B)
SB  BC ( vì AB  hc SB
( ABC )

 (( SBC ),( ABC ))  ( SB, AB)  SBA  60o

A
60

GV:Nguyễn Thành
Hưng

B

C

Page 11


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
*  ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a

1
1
a2 . 3
BA.BC  .a 3.a 
2
2
2
0
*  SAB vuông tại A có AB= a, B  60
 SA  AB.tan 60o  3a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a2 . 3
a3 . 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .
.3a 
3
3 2
2

 SABC 

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích
khối chóp S.ABC.
Nhận xét:
Sai lầm của học sinh:

 (( SBC ),( ABC ))  SBA  45o
Lời giải:
* Ta có : AB = a 3 ,
(SBC)  (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
AM  BC ( vì  ABC cân tại A)
S
SM  BC ( vì AM  hc SM
( ABC )

 (( SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA  45o

C
45

A

M
B

*  ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2
a 2

 AB = BC = a và AM =
2
1
1
a2
 SABC  AB. AC  .a.a 
2
2
2
a 2
*  SAM vuông tại A có AM=
, M  450
2
a 2
 SA  AB.tan 45o 
2
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a 2 a 2 a3 . 2
VS . ABC  .S ABC .SA  . .

3
3 2 2
12

Dạng 2: Khối lăng trụ
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = a 2 , mặt bên
(A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 12


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

C/

A/
B/

* Ta có A/A  (ABC)
( A/ BC)  ( ABC)  BC
AB  BC
Mà AB = hc( ABC ) A / B nên A/B  BC





 ( A/ BC ),( ABC )  A/ BA  300

2a

* Tam giác ABC vuông tại B

 SABC 
C
A

a

30 0

* Tam giác A/AB vuông tại A  A/ A  AB.tan 300 

a 2

B

1
a2 2
AB.BC 
2
2

* VABC . A/ B/ C /  SABC . A / A 

a 3
3

a3 6
6

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc của A/
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc
300. Tính thể tích khối lăng trụ.
A/
Lời giải:
C/

B/

* Gọi M là trung điểm BC
G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có A/G  (ABC)
GA = hc( ABC ) A / A

30 0
A
2a 3



C

G
B

* Tam giác ABC đều cạnh 2a 3



 A/ A,( ABC )  A / AG  300

M





2

 SABC  2a 3 .

* Tam giác A/AG vuông tại G có A  300 , AG 

 A/ G  AG.tan 300 

3
 3a2 3
4

2
2
3
AM  .2a 3.
 2a
3
3
2

2a 3
.Vậy VABC . A/ B/ C/  SABC .A/ A  6a3
3

Vấn đề 3: Tỷ số thể tích
- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên trong các đề thi lại
yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực
hiện các cách sau:
+ Cách 1:

●Xác định đa giác đáy
●Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy)
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 13


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
●Tính thể tích khối chóp theo công thức
+ Cách 2
●Xác định đa giác đáy
●Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của
khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho
+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích
S
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
VS .MNK SM SN SK
Ta có :

.
.
VS . ABC
SA SB SC
M

A

K
n
N

C
B

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN
Nhận xét:
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã
cho
Lời giải:
1
Cách 1: (dùng công thức thể tích V  .S .h )
S
3
* Khối chóp S.AMN có
-Đáy là tam giác AMN
- Đường cao là SA
*  AMN có Â = 600, AM=AN = a
C
N
1
1
3 a2 . 3
0

S

AM
.
AN

.sin
60

.
a
.
a
.

AMN
A
2
2
2
4
M
* SA = a 3
B
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a2 . 3
a3
VS . AMN  .S AMN .SA  .
.a. 3 
3
3 4
4
Cách 2: ( Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có

VA.SMN AS AM AN
1 1 1

.
.
 1. . 
VA.SBC AS AB AC
2 2 4
V
1
 VS . AMN  VA.SMN  .VA.SBC  S . ABC
4
4
1
1 4a 2 . 3
Ta có : VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a. 3  a3
3
3
4
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 14


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

Vậy VS . AMN 

VS . ABC a 3


4
4

Lưu ý:
- Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã cho và khi đó xác
định đa giác đáy và đường cao thường bị sai.
- Trong một số bài toán thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn.

S

A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và
A.BCNM
Nhận xét:
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã
cho
Lời giải:
( Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có
VS . AMN SA SM SN
1 1 1
N

.
.

 1. . 
VS . ABC SA SB SC
2 2 4
1 2
.a 3.a 3
VS . ABC 3
a3
M


 VS . AMN 
C
4
4
4
3
3
3a
 VA.BCNM  .VS . ABC 
4
4
B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD
Nhận xét :
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã
cho
Lời giải:

S
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có : IO // SA và SA  (ABCD)
 IO  (ABCD)
1
 VI . ABCD  .S ABCD .IO
I
3
A
Mà : S ABCD  a2
B
SA
IO 
a
2
D

GV:Nguyễn Thành Hưng

O

C

Page 15


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

Vậy

1
a3
VI . ABCD  .a 2 .a 
3
3

Vấn đề 4 : Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp, thể tích của khối cầu ngoại tiếp
Trong chương trình toán phổ thông, yêu cầu xác định tâm , bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp v
tính diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu đó.
- Xác định tâm I và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp
- Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
4 R 3
2
S( s )  4 R
V( s ) 
3
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 45o.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
Lời giải:
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O
SO  (ABCD)
S
OC  hc SC
( ABCD )

A

B

 ( SC,( ABCD))  ( SC , OC )  SCO  45o
* Diện tích hình vuông ABCD
 AC = 2a. 2
AC 2a 2
 OC=AO=

a 2
2
2
2
 SABCD   2a   4a 2

*  SOC vuông tại O có OC = a 2 , SCO  45o
O
D
 SO = OC = a 2
C
* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1
4a 3 2
VS . ABCD  .S ABCD .SO  .4a 2 .a 2 
3
3
3
* Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
Ta có OA=OB=OC=OD=OS= a 2
 mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm O và bán kính R = a 2
4 R3 4 (a 2)3 8 a3 . 2
Vậy V( s ) 



3
3
3
45

Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a.
1)Tính thể tích của khối chóp.
2)Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp trên.
3)Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên.
Lời giải :
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 16


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Ta có : SO  (ABCD)
1
V  .SO.dt ( ABCD )
3
dt(ABCD) = a2
2a 2
a2
7a 2
2
2
2

SO = SC = 4a 
=
4
2
2
a 14
 SO =
2
3
a 14
Vậy : V =
6

S

M
I
C

B

O
A

D

Dựng trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
 SO  (ABCD)
Dựng trung trực của SA
 d  SA tại trung điểm M

Xét (SAO) có d cắt SO tại I, ta có :
SI = IA
IA = IB = IC = ID
 IS = IA = IB = IC = ID
 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính r = SI.
SI
SM
SM.SA
SIM
SAO 
=
 SI =
SA
SO
SO

2a 14
2a 14
. Vậy : r = SI =
7
7
2
224 .a
S = 4 r 2 =
49

 SI =

V=

4 3 448 a 3 14
r =
3
1029

GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 17


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
C.BÀI TẬP
Bài 1 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD) và SA  a .Tính
thể tích khối chóp S.BCD theo a.
Bài 2 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là 60 0 . Tính thể
tích khối chóp theo a ?
Bài 3 : Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể
tích khối chóp theo a.
Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , các cạnh bên bằng
a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a ; SA   ABCD  .
Cạnh bên SB bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA  ( ABC ) , góc giữa SB và mặt đáy
bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 7 : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB a 3, AC 2a , góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp
S.ABC
Bài 8 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 300. Gọi M là trung điểm SB. Tính thể tích khối chóp
M.ABC

Bài 9 : Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết SA  (ABC) và
mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Tính tỷ
số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SB = a 2 ,AB=AC = a, BAC  600 , Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng
vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60 0. Tính thể tích khối chóp
S.ABC
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy
và SA= b. Cắt khối chóp bằng mặt phẳng (SBD) ta được hai khối chóp đỉnh S.
a) Kể tên và so sánh thể tích của hai khối chóp đó.
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD.
c) Tính thể tích của hai khối chóp S.ABC và S.ABCD.
Bài 14: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh bằng a .
a). Chứng minh rằng SABCD là khối chóp tứ giác đều .
b). Tính thể tích của khối chóp SABCD .
c). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD .
Bài 15: Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tâm O.Các cạnh bên SA=SB=SC
và cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 45o.
a)Tính thể tích của khối chóp SABC
b)Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA = 2a.
GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 18


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

a)Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
b)Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD . Biết AB = 3a,
BC = 4a và SAO  450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a 3 , hai mặt bên
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = a 2 .
a)Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b)Tính diện tích và thể tích của mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Bài 19: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A/A=A/B=A/C , AB = a, AC =

a 3 , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 20: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Tính diện
tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 21: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh a, cạnh bên hợp đáy góc 600. Xác định tâm và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và BAC  1200 ,
cạnh AA’= a. Gọi I là trung điểm của CC’.
a)Chứng minh rằng Tam giác AB’I vuông tại A.
b)Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA  (ABC) và SA = 2a.
Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB).

GV:Nguyễn Thành Hưng

Page 19