Tải bản đầy đủ (.pdf) (23 trang)

CHUYÊN ĐỀ TP1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (820.26 KB, 23 trang )

Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

CHUYÊN ĐỀ TP1:

TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ
Vấn đề 1: Tách phân thức
b

1.Dạng 1:

P(x)

 ax + b .dx
a

- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng một thì dùng phép chia đa thức.
b

b

dx
1
- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn một thì 
 ln a.x+b
ax  b a
a
a
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
 3x  1



 2x  2

 3 dx

x

1
dx
1)  
2)  

x 1
x2


0
0
3

4) 
2

x2
dx
x 1

1

5) 

0

 2x  x  2 
 1dx
7)  
x 1

0
3 3
x 2
dx
10) 
x 1
2
1

b

0
 x2  x 1

 2 x  1dx
6)  
x 1

1 

x 2  2x  3
dx
x3


 x3  x  2

 x dx
8)  
x 1

0

x2  2
9) 
dx
x 1
2

1

2

2.Dạng 2:

 x2

3)  
 2 x  1dx
2x  1

1
0


3

P(x)

 ax 2 + bx + c dx
a

a.Loại 1: ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
TH1: Nếu P(x) bậc không thì
b

dx

a

ax  bx  c

I 

Đặt x 

2

b

dx

b




a





2a

4a

2

2


b 
a  x 
 
 2 a  

tan t  dx 

2
b

TH2: Nếu P(x) bậc một thì I  

a


b

Tích phân I1  

a

A(2ax  b)
ax 2  bx  c

GV: Nguyễn Thành Hưng

1


a

2

2
 
2  
4a  




1  tan t  dt

nx  m
2


ax  bx  c

2

b

dx  

dx  A ln ax 2  bx  c

a

A(2ax  b)
2

ax  bx  c

b

dx  

a

B
2

ax  bx  c

dx (Thêm , bớt)


b
a

Page 1


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
b
b
dx
Tích phân I =  2
=
2 a ax + bx + c a

b

Đặt: x +



=

2a

2

4a

tant  dx =


dx
2


b 
a  x +
 +
 2a  

1



2 a
1

dx

0

x + x +1

Ví dụ 1: Tính tích phân: 

2

2
 
2  

4a  




1 + tan t  dt
2

.

2

Lời gải:
1

dx

0

x + x +1

Do 

2

Đặt x 

1

dx


1

=



2

2

 1 3
x +  +
 2 4
3
  
tan t , t 
 6 ; 3   dx 
2
0





1  tan t  dt
2
3




2

3

2
1  tan t dt 2 3 3
1
3
dx
2 3
Vậy  2
  2

t
 dt 


3
0 x  x 1
3
3
2
(1  tan t )
6
6
4
1

(2x + 2)dx


0

x + x +1

Ví dụ 2:Tính tích phân: I = 

2


3





 3
9

6

.

Lời giải:
1 (2 x  2) dx
1 (2 x  1) dx
1
dx
I  2
 2

 2
0 x  x 1
0 x  x 1
0 x  x 1
1

2

 ln x  x  1  I1
0

 ln 3  I1
1
1
dx
Mà I =  2
=
1 0 x + x +1 0


Đặt x 

1
2



3
2


tan t ,

dx
1

2

3

x +  +
 2 4
  
t
 6 ; 3   dx 

GV: Nguyễn Thành Hưng

2
1  tan t  dt

2
3

Page 2


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo


1

3
dx
I  2
 
1 0 x  x 1 

1  tan t  dt
2
3

2

3

6







2 3

3

3




2

(1  tan t )

 dt 

2 3

t

3

6

4

4

(2x  1).dx
2)I =  2
0 x x2
1



2 3
2

10)I= 
0


3)I =

x

2

6)I= 

2

1

 4x  13



1

5x
.dx
2
0 x 1

dx

8)I= 

2


 x 2  x  2.dx

0
1

3x  4
.dx
2
0 x 1

0

5x  4

1

5)I= 

dx

23 3

7)I=

9

1

x


1 x

 3

6

9
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1
dx
1)I =  2
0 x x2
4)I =





 3

Vậy: I  ln 3 

1

3

9)I= 
0

1  4x

.dx
x  4x  5
2

x 1
dx
x2  1

1
dx
4  x2

b.Loại 2: ax 2 + bx + c = 0 có một nghiệm.

dx

b

TH1: Nếu P(x) bậc không thì I  

a




a x 



2a 

b

2 tính được

mx  n
A(2ax  b)
B
dx   2
dx  
dx tính được
TH 2: Nếu P(x) bậc một thì I   2
2
ax  bx  c
ax  bx  c
b 

a
a
a
a x  
2a 

b

b

1

dx


0

x + 2x + 1

Ví dụ 1: Tính tích phân: 

b

.

2

Lời giải:
1

dx

0

x + 2x + 1

I 

2

1



0


dx
(x + 1)
1

Ví dụ 2: Tính tích phân: 

0

2



1 1
1

x 1 0 2

x+3

dx .
2
x + 2x + 1

Lời giải:
1
1 x +1
1
1
2

1
dx

dx

2
dx


ln(
x

1)



2
0 x 1  ln 2  1
2
2
0 x + 2x + 1
0
0
0
(x + 1)
(x + 1)

1

I 


x+3

GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 3


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
1)I=  2 dx
x
1

0

2

0

x
4)I=  2
dx
x

2
x


1
1
2

7)I= 
1

2

1
dx
2
x

2
x

1
1

2)I= 
5)I= 
1

2

1
dx
2
x  4x  4


8)I= 
1

1

3)I= 
1
0

2x  3
dx
x

2
x

1
1

dx

6)I= 

x4
dx
2
x  6x  9

9)I= 


x2  x 

1
4

1
dx
x  2x 1
2

2

1

2

1
dx
x  6x  9
2

12 x 1
10)I=  2
dx
x

6
x


9
1
2

c.Loại 3: ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Cần chú ý: Các biểu thức đồng nhất

P( x)
( x  a )( x  b )



A
xa



B
xb

..

1

4 x  11

0

x  5x  6


Ví dụ 1: Tính tích phân: I  

dx .

2

Cách 1.
Cần chú ý: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:





A 2x  5
4 x  11
B


, x 
2
2
2
x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6








2 Ax  5 A  B
4 x  11

, x 
2
2
x  5x  6
x  5x  6

2 A  4


5 A  B  11
Vậy

A  2

B  1









\ 3; 2




\ 3; 2



2 2x  5
4 x  11
1


, x 
2
2
2
x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6





\ 3; 2 .

Lời giải:
1

Ta có: 

0

4 x  11

2

x  5x  6
2

 2 ln x  5 x  6

0

1
0

Cách 2.
Cần chú ý: Vì

2x  5

1

dx  2 

2

x  5x  6
 ln

x2 1
x3 0

dx


1

dx  

0

 ln

2

x  5x  6

9

.

2

x2  5x  6   x  2  x  3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:

Tìm A, B sao cho:

GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 4


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
4 x  11

2

x  5x  6

4 x  11







2

x  5x  6

A
x2

B
x3



, x 

 A  B x  3A  B ,




\ 3; 2

x 

2

x  5x  6

A  B  4


3
A

2
B

11

Vậy












\ 3; 2

A  3

B  1

4 x  11
2

x  5x  6



3
x2



1
x3

, x 

\ 3; 2 .

Lời giải:

4 x  11


1

Ta có: 

0

2

x  5x  6

1

dx

0

x2

dx  3

1

dx

0

x3




 3ln x  2

1

 ln x  3

9
 ln .
2
0

1

0

Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
1) 
dx
( x  1)( x  2)
1

2

2)

1

4


4)

dx
1 x(1  x)

5)

0

7)

1
1 ( x 1)( x  2) dx

8)

1

dx
10) 
x(x  1)
2
0

13) 
16)

3


11)
2

1

x 2  3x  2

3

4

 ( x 2  2)2

dx

3

14)

2

b

P(x)

a

ax + bx + cx + d

3.Dạng 3: I = 




3

2



1

3x  3x  3
x 2  3x  2

2 (x

x4
2

2

 1)

dx

2

dx
x  x6
2


1

12)

 5x  6
2

3

17)

2

3

x
2

dx

2

9) 

4 x  11dx

0

2x  6x  9x  9

x

dx
x  x2
1

6) 

dx
2 x 2  x  2

4

1
dx
(
x

2)(
x

3)
3
0

dx
0 x 2  5x  6
3

dx

2 x  x 2

2

3) 

x
0

dx

4

15) 

2

dx
 x6
x3

2
3 x  x 2

1

18)




dx

1
2

0 ( x  2)

( x  3)2

dx

dx .

2

a.Loại 1: ax + bx + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt.
b
b
n
n
dx
=
dx
TH1: Bậc P(x) bằng không. I =  3

2
a ax + bx + cx + d
a a(x - x )(x - x )(x - x )
1
2

3
Cần chú ý:

GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 5


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

n
( x  a )( x  b )( x  c )



A
xa

B



xb



5

Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I  


C
xc
1

dx
x  2 x  5x  6
1
A
B
C
Nhận xét: 3



2
x  2 x  5x  6 x  1 x  3 x  2
1
( A  B  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  6 A  2B  3C
 3

( x  2)( x  3)( x  2)
x  2 x 2  5x  6
1

A   6
A  B  C  0
1


  A  B  4C  0   B 

10
6 A  2 B  3C  1 
C  1

15
Lời giải:
4

5

3

2

5

5

1

1
1
1
1
1


 1

I  3

dx    


dx    ln x  1  ln x  3  ln x  2 

2
6( x  1) 10( x  3) 15( x  2) 
10
15
 6
4
4 x  2 x  5x  6
4
1 3 1
1 7
ln  ln 2  ln
6 4 10
15 6
1 3 1
1 7
Vậy: I  ln  ln 2  ln
6 4 10
15 6
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Cần chú ý:


P( x)
( x  a )( x  b )( x  c )




A
xa



B
xb
5

Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I  



C
xc

x 1

dx
x  2 x 2  5x  6
1
A
B
C
Nhận xét: 3




2
x  2 x  5x  6 x  1 x  3 x  2
1
( A  B  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  6 A  2B  3C
 3

( x  2)( x  3)( x  2)
x  2 x 2  5x  6
1

A   3
A  B  C  0

2

  A  B  4C  1   B 
5
6 A  2 B  3C  1 
C   1

15
4

GV: Nguyễn Thành Hưng

3

Page 6



Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
5

5

5

x 1

1
2
1
2
1


 1

I  3
dx




dx


ln
x


1

ln
x

3

ln x  2 




2
3( x  1) 5( x  3) 15( x  2) 
5
15
 3
4
4 x  2 x  5x  6
4
1 3 2
1 6
  ln  ln 2  ln
3 4 5
15 7
1 3 2
1 6
Vậy: I   ln  ln 2  ln
3 4 5

15 7
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:
P( x)
A
B
C



( x  a )( x  b )( x  c ) x  a x  b x  c
5

Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I  

3x 2  1

3
2
4 x  2 x  5x  6

3x 2  1

Nhận xét:

3



2


dx

A
B
C


x 1 x  3 x  2

x  2 x  5x  6
3x  1
( A  B  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  6 A  2B  3C
 3

( x  2)( x  3)( x  2)
x  2 x 2  5x  6
2

A   3
A  B  C  3
14


  A  B  4C  0   B 
5
6 A  2 B  3C  1 
C  13

15

Lời giải:
2

5

3x 2  1

5

5

2
14
13 
14
13

 2

I  3
dx    


dx    ln x  1  ln x  3  ln x  2 

2
3( x  1) 5( x  3) 15( x  2) 
5
15
 3

4
4 x  2 x  5x  6
4
2 4 13 7 14
  ln  ln  ln 2
3 3 15 6 5
2 4 13 7 14
Vậy: I   ln  ln  ln 2
3 3 15 6 5
TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
P( x)
A
B
C



( x  a )( x  b )( x  c ) x  a x  b x  c
5

Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I  

4

x 3  x 2  5x  7
x3  2 x 2  5x  6

dx


Nhận xét:
GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 7


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

+

x 3  x 2  5x  7
x 3  2 x 2  5x  6
3x 2  1

3x 2  1

 1

x 3  2 x 2  5x  6
A
B
C



+ 3
2
x  2 x  5x  6 x  1 x  3 x  2
3x 2  1
( A  B  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  6 A  2B  3C

 3

( x  2)( x  3)( x  2)
x  2 x 2  5x  6
2

A   3
A  B  C  3
14


  A  B  4C  0   B 
5
6 A  2 B  3C  1 
13
C 

15
Lời giải:
5

x 3  x 2  5x  7

5

5

2
14
13 

2
14
13



I  3
dx   1 


dx   x  ln x  1  ln x  3  ln x  2 

2
3( x  1) 5( x  3) 15( x  2) 
3
5
15

4
4 x  2 x  5x  6
4
2 4 13 7 14
 1  ln  ln  ln 2
3 3 15 6 5
2 4 13 7 14
Vậy: I  1  ln  ln  ln 2
3 3 15 6 5
3

2


b.Loại 2: ax + bx + cx + d = 0 có hai nghiệm.
b
b
A
A
TH1: Bậc P(x) bằng không. I =  3
dx
=
dx

2
2
a ax + bx + cx + d
a
a(x - x )(x - x )
1
2
Cần chú ý:
n
A
B
C



2
x  a x  b  x b 2
( x  a )( x  b )
5


Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I  

1

2
4x x
1
A B
C
Nhận xét: 3
  2
2
x x
x 1
x x
1
( A  C ) x 2  ( A  B) x  B
 3

x  x2
x3  x2
A  C  0
 A  1


  A  B  0  B  1
 B  1
C  1
Lời giải:


GV: Nguyễn Thành Hưng

3

dx

Page 8


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
5

5

5

1

1 
1
24 1
 1 1


I  3
dx      2 
dx    ln x   ln x  1   ln 

2

x x
x  1
x
25 20

4
4x x
4
24 1
Vậy: I  ln 
25 20
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Cần chú ý:
nx  m
A
B
C



2
x  a x  b  x  b 2
( x  a)( x  b)
5

Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I  

x2

2

4x x
x2
A B
C
Nhận xét: 3
  2
2
x x
x 1
x x
2
x2
( A  C ) x  ( A  B) x  B
 3

x  x2
x3  x2
A  C  0
 A  1


  A  B  1  B  2
 B  2
C  1
Lời giải:

5

3


dx

5

5

x2

1 
2
24 1
 1 2


I  3
dx




dx


ln
x


ln
x


1

ln






2
2
x
x

1
x
25
10
x

x
x




4
4
4
24 1

Vậy: I  ln 
25 20
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:

nx 2  mx  q
2

( x  a)( x  b)



A
B
C


x  a x  b ( x  b)2
5

Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I  

4

2

Nhận xét:

x  x2
3


2



x2  x  2
x3  x2

dx

A B
C
 2
x x
x 1

x x
x2
( A  C ) x 2  ( A  B) x  B
 3

x  x2
x3  x2
 A  C  1  A  1


  A  B  1  B  2
 B  2
C  2
Lời giải:


GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 9


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
5

5

5

x2  x  2

2 
2
 1 2


I  3
dx      2 
dx    ln x   2 ln x  1 

2
x x
x  1
x

4

4 x x
4
4
6 1
Vậy: I  ln  2 ln 
5
5 10
TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
- Chia đa thức.
- Áp dụng các dạng trên.
5

Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I  

x3  2 x2  x  2
x3  x2

4

dx

Nhận xét:
x3  2 x2  x  2
x2  x  2

1

+
x3  x2

x3  x2
x2  x  2 A B
C
  2
+ 3
2
x x
x 1
x x

( A  C ) x 2  ( A  B) x  B

x2




x3  x2
x3  x2
 A  C  1  A  1


  A  B  1  B  2
 B  2
C  2
Lời giải:
5

x3  2 x2  x  2


5

5

2 
2
 1 2


I 
dx   1   2 
dx   x  ln x   2 ln x  1 

3
2
x x
x  1
x
x x

4
4
4
4
6 11
Vậy: I  ln  2 ln 
5
5 10
3


2

c.Loại 3: ax + bx + cx + d = 0 có một nghiệm.
TH1: Bậc P(x) bằng không.
Cần chú ý: Áp dụng công thức nguyên hàm.
1 dx
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I  
0
( x  1)3
Lời giải:
1



1
3
I   ( x  1) dx   

2
0
 2( x  1)  0 8
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
1

3 

GV: Nguyễn Thành Hưng


Page 10


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1

xdx

0

( x  1)3

Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I  

Nhận xét:
x
x 11
1
1



3
3
2
( x  1)
( x  1)
( x  1) ( x  1)3
Lời giải:

1



1
1
1

I  

dx




 
2
3
2
0
 ( x  1) ( x  1) 
 x  1 2( x  1)  0 8
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
2
1 x dx
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I  
0

( x  1)3
Nhận xét:
x2
x2  1  1
x 1
1
1
2
1






3
3
2
3
2
x  1 ( x  1) ( x  1)3
( x  1)
( x  1)
( x  1) ( x  1)
Lời giải:
1

1

1


1



1
2
1 
2
1
1
I  


dx   ln x  1 

 ln 2 


2
3
2
0 x 1
x  1 2( x  1) 
4
( x  1) ( x  1) 


0
1


TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
1

x 2 dx

0

( x  1)3

Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I  
Nhận xét:
x 3  4 x 2  3x  1

( x  1)3
Lời giải:

 1

x2 1 1
( x  1)3

 1

x 1
( x  1)2




1
( x  1)3

 1

1
2
1


x  1 ( x  1)2 ( x  1)3
1



1
2
1 
2
1
3
I   1 


dx

x


ln
x

1



ln
2



2
3
0
x  1 2( x  1)2 
4
 x  1 ( x  1) ( x  1) 

0
1

BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1
1
dx
1) I=  3
x 8
0


1  2x
2) I=  3 dx
x 8
0

1  2x 4
dx
4) I =  3
x 8
0

3x 2  x  5
.dx
5) I =  2
0 x  5x  6

1

GV: Nguyễn Thành Hưng

1

1  2x 2
 x 3  8 dx
0
1

3) I=

1


1

6) I=

 (x
0

2

dx
 3x  2) 2
Page 11


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
2

7)I=

8)I=

(2x 2  4x 1)dx
11)I= 
2
0 (x  2)(x  x 1)

2

1


dx
10)I=  3
1 x 1
( x  1)dx
 5 x  1)( x 2  4 x  1)

2

13)I=

 (x

(2x  1).dx
 x(x  1)2
1
2

dx
 x(x  1)2
1

1

2

2

1


14)I=

3

20)I=

4.Dạng 4:


2

b

2

dx

0

2

2.dx
16)I=  3
2
1 x  3x  2x

x

dx


 x(x 2  3)
1

3

12)I= 
1

dx
x x
3

2

2

 4 x

3

9)I=

(3  x).dx
3
x  4x 2  3x

dx
(2 x  1)(4 x 2  4 x  5)
1


15)I= 

(3x 2  7x).dx
(x  1)(x  2)(x  3)
0

1

21)I= 

P(x)

 an x n + an-1 x n-1 + ...+ a1 x + a0 dx với n  4
a

Cần chú ý: Áp dụng các cách đã học.
2

Ví dụ 4: I  

1

Nhận xét:

dx
x5  x3
1

1 1
x

  
x x3 x 2  1
x 3 ( x 2  1)

Lời giải:
2
x 
1
1
3
1
3
1 1

2
I     3  2 dx    ln x  2  ln( x 2  1)   ln 2  ln 5 
x x
2
2
2
8
x  1
2x

1
1

Vấn đề 2: Đổi biến số
Dạng 1: Đổi biến bởi một hàm dưới dấu tích phân.
Các bước thực hiện giải như sau:

B1: Đặt t  f ( x )  dt 

1
dx
f '( x )

B2: Đổi cận:
x
a
b
t
f(a)
f(b)
B3: Thế vào tích phân ban đầu và tính tích phân.
B4: Kết luận.
Cần chú ý: Chúng ta có thể sử dụng nguyên hàm trực tiếp không cần đổi biến.
1

Ví dụ 1: I  

 7 x  199

101
0  2 x  1

dx

Cách 1:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:

-

(7 x  1)99
(2 x  1)101

99

1
 7x  1 

 .
 2 x  1  (2 x  1)2

GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 12


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
'

9
 7x  1 
-
 
 2 x  1  (2 x  1)2
Lời giải:
7x  1
9
 Đặt: t 

 dt 
dx
2x 1
(2 x  1)2
x
t

 Đổi cận:

0
-1

1
2

 t100 
1 2 99
 Khi đó: I   t dt  
 900 
9 1


 Vậy: I 

100

2

2



1

2100  1
900

1
900

Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
99

(7 x  1)99

1
 7x  1 

.
101  2 x  1 
(2 x  1)

 (2 x  1)2
1
1  7x  1 
 d

2
9  2x  1 

(2 x  1)
Lời giải:
-

1

 7x  1 
I  

 2x  1 
0

99

1

5x

Ví dụ 2: I  

2

2
0 ( x  4)

Cách 1:
Nhận xét:

99


100

 7x  1  1 1  7x  1 
1 1  7x  1 
 


 d
 
2
 2 x  1 9 0  2 x  1   2 x  1  9 100  2 x  1 
dx



1  100 
1

2  1
0 900

dx



'

Quan sát ta thấy: x 2  4  2 x
Lời giải:
 Đặt: t  x 2  4  dt  2 xdx

 Đổi cận:

x
t

0
4

1
5
5

55 1
1
 5
 Khi đó: I   2 dt     
24t
 2t  4 8

2100  1
 Vậy: I 
900
Cách 2:
GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 13


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Nhận xét:

Quan sát ta thấy: xdx 

1
d ( x 2  4)
2

Lời giải:
1

1



51
1
5
1
I  2
dx

d  x2  4   
 

4
2
2
2
2 0 ( x  4)
8
 2( x  4) 

0 ( x  4)
5x

0

1

x7

Ví dụ 3: I  

2 5
0 (1  x )

Cách 1:
Nhận xét:



dx



'

Quan sát ta thấy: x 2  1  2 x
Lời giải:
 Đặt: t  x 2  1  dt  2 xdx
x
t


 Đổi cận:

0
1

1
2

1 2 (t  1)3
12 1 3 3 1 
1 1
 Khi đó: I   5 dt    2  3  4  5 dx  . 5
21 t
2 1 t
4 2
t
t
t 
1 1
 Vậy: I  . 5
4 2
Cách 2:
Nhận xét:
1
x7
x 6 .x
xdx  d ( x 2  1)

Quan sát ta thấy:

5
5
2
1  x2
1  x2



 

Lời giải:
1

I 



x

0 (1 
1

7
2 5

x )

dx 

1


 
x2

3



1





x2  1  1

3

1
1
d ( x 2  1)  
d ( x 2  1)

2
5
2 0 (1  x )
2 0 (1  x 2 )5


1

1
3
3
1
1 1
2




 d ( x  1)  . 5

2
2
2
3
2
4
2
5
2 0  (1  x ) (1  x ) (1  x ) (1  x ) 
4 2
1

Ví dụ 4: I   x 5 (1  x 3 )6dx
0

Cách 1:
Nhận xét:






'

Quan sát ta thấy: 1  x3  3x 2

GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 14


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
 Đặt: t  1  x 3  dt  3x 2 dx  dx 

3x 2

 Đổi cận:

x
t

 Khi đó: I 

11 6
1  t 7 t8 
1
t

(1

t
)
dt

  

30
3  7 8  168

 Vậy: I 

0
1

dt

1
0

1
168

Cách 2:
Nhận xét:

1
Quan sát ta thấy: x 2 dx   d (1  x 3 )
3

Lời giải:
1

I   x 5 (1  x 3 )6 dx  
0

11 3
11
3 6
3
x
(1

x
)
d
(1

x
)

(1  x 3  1)(1  x 3 )6 d (1  x 3 )
3 0
3 0
1

11
1  (1  x 3 )8 (1  x 3 )7 
1
  (1  x 3 )7  (1  x 3 )6 d (1  x 3 )  


 
30
3 
8
7
168

0

4

Ví dụ 5: I 

3



1
x ( x 4  1)

1

Cách 1:
Nhận xét:

dx

 


'

Quan sát ta thấy: x 2  2 x
Lời giải:
 Đặt: t  x 2  dt  2 xdx
x

 Đổi cận:

t

 Khi đó: I 
 Vậy: I 

1
2

4

1
1
3

1

3

0

t




1

3

  t  t 2  1 dt  4 ln 2

1





1 3
ln
4 2

Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy: xdx 

1
d(x2 )
2

GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 15



Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
4

I

3



1

4

1

1
dx

2
x( x 4  1)
2

Ví dụ 5: I  

1

3




1

1

1
dx

2
x 2 ( x 4  1)
2

4

3

1

  x 2

1





x2  2 1 3
dx  ln

4 2
x 4  1 

dx
10

 1)2

x.( x

Cách 1:
Nhận xét:

 

'

Quan sát ta thấy: x 5  5x 4
Lời giải:

1
 Đặt: t  x 5  dt  5 x 4 dx  x 4 dx  dt
5

 Đổi cận:

x
t

 Khi đó: I 


1 32
dt
1 32
dt 2
1




5 1 t(t 2  1)2 10 1 t 2 (t 2  1)2 168

 Vậy: I 

1
1

2
32

1
168

Cách 2:
Nhận xét:

1
Quan sát ta thấy: x 5 (1  x 3 )6  x 3 (1  x 3 )6 x 2 x 2 dx   d (1  x 3 )
3
Lời giải:

2

2

dx 5



1
168

 Đặt: t  x 7  dt  7 x 6 dx  x 6 dx 

1
dt
7

I 

1

dx
x.( x10  1)2
2



1

x 5 .( x10  1)2


1  x7

Ví dụ 6: I  

dx
7
x
(1

x
)
1

Cách 1:
Nhận xét:

 

'

Quan sát ta thấy: x 7  7 x 6
Lời giải:

 Đổi cận:

x
t

1

1

GV: Nguyễn Thành Hưng

2
128

Page 16


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

1 128 1  t
 Khi đó: I  
dt
7 1 t(1  t)
 Vậy:
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy: x 6 dx 

1
d(x7 )
7

Lời giải:
2

2
(1  x 7 )

dx

dx 7

7
7
7
7
1 x .(1  x )
1 x .(1  x )

I 

(1  x 7 ).x 6
2

x 2001

Ví dụ 7: I  

x 2 )1002

1 (1 
2

 Cách 1: I  

1

.dx

2

x 2004

3

2 1002

x (1  x )

 Cách 2: Ta có: I 

.dx  

1

1
1002

 1

x 3  2  1
x


1000

2

1  x2


4
1 1 x

1
x

2

 1  dt  

2
x3

dx .

11
x 2000 .2 xdx
. Đặt t  1  x 2  dt  2 xdx
2 0 (1  x 2 )2000 (1  x 2 )2

1 2 (t  1)1000
1 2 1
 I   1000 2 dt    1  
21 t
2 1 t 
t

Ví dụ 8: I  


.dx . Đặt t 

 1
1
d 1   
 t  2002.21001

dx

Cách 1:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:

1 x

2

1  x4

1



1

'

x2 ,  x  1   1  1 



1 
x  
x2 
x2  2 
x

Lời giải:
 Đặt: t  x 


1
1 
 dt  1   dx
x
 x2 

 Đổi cận:

x
t
3
2

 Khi đó: I  

1

0
1


dt
t2  2

1
0



1

3
2

1


2 2 1t  2

GV: Nguyễn Thành Hưng



3
 2 1 

1
t 2
1

.ln

ln 
dt

2

t 2
2 2
t  2 1 2 2  2  1 
1

Page 17


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

 Vậy: I 

 2 1 
ln 

2 2  2  1 
1

Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:

1 x

2


1 x

4

1

1



x2
1
x2  2
x

1 
1


 1  2  dx  d  x  x 


 x 

Lời giải:





dt
1
1
1

 dt
I 


  1 
2
1


2
2

1
1
1
x x  2 x x  2 
x   2





x

1


x  2

 2 1 
2
1
1
x

.ln 

ln 

1
1 2 2  2  1 

2 2
x


2


x

1
2
2
2 2 1
1 x

1
4
dx
Ví dụ 9: I  
 Ta có: I   x
dx . Đặt t  x   I  ln
3
1
x
5
1
1xx
x
x
Cách 1:
Nhận xét:
2

2

'

1
1

Quan sát ta thấy:  x    1  2
x

x
Lời giải:

1
1 

 1

 Đặt: t  x   dt   1  2  dx  dt   2  1 dx
x
 x 
x


 Đổi cận:

x
t

1
2
5
21

2

5
2

5
2
2


5
4
 Khi đó: I    dt    ln t    ln  ln 2  ln
t
2
5
2
 Vậy: I  ln

4
5

Cách 2:
Nhận xét:
GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 18


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

 1

1

Quan sát ta thấy:  2  1 dx  d   x 
x

x


Lời giải:
1
1
2 2 1
2
1
1

4
1  
x
I 
dx   
d  +x     ln  x   ln
1
1
x  
x
5
1
1
1 x 
x
x
x
Dạng 2: Đổi biến bởi một hàm bên ngoài
1

x4  1


Ví dụ 1: I  

x6  1

0

Nhận xét: Ta có:

dx

x4  1
x6  1



( x 4  x 2  1)  x 2
x6  1



x4  x2  1
( x 2  1)( x 4  x 2  1)



x2
x6  1




1
x2  1



x2
x6  1

Lời giải:
1

1 1 d(x3 )
 1  
I  2
dx   3 2
dx  I1  I 2   . 
3 0 (x )  1
4 3 4 3
0 x 1
1

I1  

0

1

1
2


x 1

dx





 Đặt: t  t anx  dt= tan2 x  1 dx  dx 

x
t

 Đổi cận:

0


4


4

 Khi đó: I1   dt  t 04 
 Vậy: I1 
1

I2  

0




 tan x  1

1

0




4

4
3

d(x )

3 2
0 (x )  1

dx





 Đặt: t  t anx 3  dt= tan2 x 3  1 dx  dx 3 


 Đổi cận:

dt

2

x
t

0
0

GV: Nguyễn Thành Hưng

dt

tan2 x3  1

1


4

Page 19


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo





4

 Khi đó: I1   dt  t 04 
 Vậy: I 2 



0



4

4
1

xdx

Ví dụ 2: I  

4
2
0 x  x 1

.

Lời giải:
 Đặt t  x 2  dt  2 xdx


1 1 dt
11

2 0 t 2  t  1 2 0

 Khi đó: I 

Ví dụ 3: I 

3
3



0

x2
x4 1

dt
2
 1  3

t    
 2  2 

2





6 3

dx

Lời giải:

I

3
3



0

x

2

2

2

( x  1)( x  1)
2

Ví dụ 4: I  

1  x2


4
1 1 x

dx 

1
2

3
3 



0

1
1 
1


 2
 dx  ln(2  3) 
2
4
12
 x 1 x 1

dx
1


1
2
x
Nhận xét: Ta có:
.

1  x4 x2  1
x2
Lời giải:

5
1
1 
 Đặt t  x   dt  1   dx ; x  1  t  2; x  2  t 
2
2
x
 x 
1 x

5
2

 Khi đó: I   

dt

2
2 t 2


2

.

 Đặt t  2 tan u  dt  2
 Khi đó: I 

2
2

u2

 du 

u1

du
2

cos u

; tan u  2  u1  arctan 2; tan u 

5
5
 u2  arctan
2
2



2
2
5
(u2  u1) 
 arctan  arctan 2 
2
2 
2


GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 20


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

Ví dụ 5: I 

1 5
2

x2  1



x4  x2  1

1


dx

2

x 1

Nhận xét: Ta có:

x 4  x2  1

1


2

x 

1
x2
1
x2

.

1

Lời giải:



1
1 
 dt  1   dx
x
 x2 

 Đặt: t  x 

x

 Đổi cận:
.

t
1

5 1
2

2

0

1

dt

 Khi đó: I  

0t


2

1

 Đặt t  tan u  dt 

du
cos2 u


4

 Khi đó: I   du 
0

Ví dụ 6: I 

3



1


4

dx
6


x (1  x 2 )

Nhận xét:
Lời giải:

1
1
 Đặt : x   dx   2 dt
t
t
 Đổi cận:

3
3

x
1

3
3

t

 Khi đó: I  

3
3




1

t6

dt 
t 1
2

1

1

 4 2
1 
117  41 3 

t  t 1 2
 dt =
135
12
t

1


3



3


 Vậy: I 

117  41 3 

135
12

GV: Nguyễn Thành Hưng

Page 21


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo

Vấn đề 3: Tích phân từng phần
1

Ví dụ 1: I  

0

x9

x

5




1

2

dt

Lời giải:
u  x 5
du  5 x 4 dx


1

 Đặt: 
x4
v
dv

dx
5


5( x  1)
( x 5  1)2


1

 Khi đó: I  


0

x9

 t5  1

1

Ví dụ 2: I  

0

dt  
2

x9

x

5



1

10

1

x5


1

5( x 5  1) 0



0

x4
x5  1

I 

0

x9

 t5  1

10

1

1
1 1
5

ln
x


1

 ln 2
10 5
5( x 5  1) 0 5
0

dt  

1

x5
5

10

5( x  1)

0

Khi

1 1 x4
x5
  5
dx


9 0 ( x  1)9

5( x 5  1)10

2.BÀI TẬP:
Bài tập 1: Tính các tích phân sau:
1
2
 1

 3x  1

1)  
2)  
 2 x  1dx
 x  1dx
x 1
2 x  2


0
0
x2
dx
4x  1
2

 x2

4)  
 2 x  1 dx
x 1


1 

5) 

 2x  x  2

 x  1dx
7)  
3x  1

0

 x  x 1

 2 x  1dx
8)  
2x  1

1 

0

1

1

dt

Lời giải:

u  x 5
du  5 x 4 dx


1

 Đặt: 
x4
v
dv

dx
5


9( x  1)9
( x 5  1)10



1

dx  

x5

2

1


x3  2 x
dx
10) 
3x  2015
0

3

0

dx
1)  2
0 x  2x  2

GV: Nguyễn Thành Hưng

2)


0

3x



2
dx
2
x 1
2


0

5

8

360( x  1)


0

1
10

5.2



1
1


5 360.28

 2x  2

3)  
 3 dx
5x  1


0
1

x2  2x  3
dx
x3

0

x4  x2  1
dx
11) 
1  2016 x
0

3



1

1

1

1

2


1

6) 

2

Bài tập 2: Tính các tích phân sau:

đó:

1

x3  x  1
dx
9) 
6x  1
0
1

x5  x2  1
dx
12) 
x 3
0

x3  2x 2  4x  9
dx
3) 
x2  4
0

2

Page 22


Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1

4)

1

 1  x 4 dx

0

2

7)



1

1
4

x(1  x )
2


10)

1



2
0 4 x
3

13)

1

x3  x  1
5) 
dx
2
0 x 1

x3

dx

2

8)

6)


1  x 2016

 x(1  x 2016 ) dx

9)

1

2

dx

11)



1  x2

4
1 1 x

x



0 1 x
2

4


dx

1

 x 5 (1  x 4 ) dx

1

1

dx



12)

2  x4

2
0 1 x

dx

dx

 xx

3

1


Bài tập 3: Tính các tích phân sau:
5
b
1
2x  1
dx
dx
1)  2
2) 
( x  a )( x  b)
a
3 x  3x  2
1

4) 
0

2

7) 
1

x3  x  1
dx
x2 1

5) 

1  x 2018

dx
x(1  x 2018 )

8) 

x 2 n 3
dx
2 n
0 (1  x )

11) 

1

10) 
2

1
dx
2
0 9 x

1

6) 

2 x3  6 x 2  9 x  9
dx
x2  x  6
1


9) 

x2  3
dx
x( x 4  3x 2  2)

12) 

1
dx
x (1  x 2 )

15) 

1
dx
x  4x  5

0

2

1
1

1

4


1 x2
dx
4
1

x
1
1

0

dx

25) 

0

2

x  x 1

3

1

31) 

x2

3

0 (3x  1)

3

2
2

0

3x 2  3x  3
dx
3
2 x  3x  2

2  x4
dx
2
0 1 x

1

3

1

4

32) 
1


2

18) 

24) 

x 3 dx
26)  2
0 x  2x  1

2

3

1 x4
dx
6
1

x
0

1

1

GV: Nguyễn Thành Hưng

x4
dx

2
2
(
x

4)
3

23) 

29) 

dx

4

21) 

4

x 2 dx
9
2 1  x 

28) 

1
dx
2
0 ( x  2) ( x  3)

2

1
dx
3
0 1 x

20) 

x6  x5  x4  2
dx
x6 1

1

1
17)  3
dx
2
2 x  2x  x
1

2

22) 

3

x
dx

2
0 1 x

14) 

19) 

1

x2
dx
3
0 (3 x  1)

13) 

x
dx
16) 
2 3
0 (1  x )

x3  x  1
dx
3) 
x 1
0
1

1


4 x  11

0

x  5x  6

2

dx

x
dx
3
0 1  2 x 

27) 
2

dx
2
x (1  x)

30) 

dx
2
x (1  x)4

33) 


0

1

0

dx
x  x3
2

dx
x  4x  3
2

Page 23



×