CHUYÊN ĐỀ TP1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (820.26 KB, 23 trang )
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
CHUYÊN ĐỀ TP1:
TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ
Vấn đề 1: Tách phân thức
b
1.Dạng 1:
P(x)
ax + b .dx
a
- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng một thì dùng phép chia đa thức.
b
b
dx
1
- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn một thì
ln a.x+b
ax b a
a
a
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
3x 1
2x 2
3 dx
x
1
dx
1)
2)
x 1
x2
0
0
3
4)
2
x2
dx
x 1
1
5)
0
2x x 2
1dx
7)
x 1
0
3 3
x 2
dx
10)
x 1
2
1
b
0
x2 x 1
2 x 1dx
6)
x 1
1
x 2 2x 3
dx
x3
x3 x 2
x dx
8)
x 1
0
x2 2
9)
dx
x 1
2
1
2
2.Dạng 2:
x2
3)
2 x 1dx
2x 1
1
0
3
P(x)
ax 2 + bx + c dx
a
a.Loại 1: ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
TH1: Nếu P(x) bậc không thì
b
dx
a
ax bx c
I
Đặt x
2
b
dx
b
a
2a
4a
2
2
b
a x
2 a
tan t dx
2
b
TH2: Nếu P(x) bậc một thì I
a
b
Tích phân I1
a
A(2ax b)
ax 2 bx c
GV: Nguyễn Thành Hưng
1
a
2
2
2
4a
1 tan t dt
nx m
2
ax bx c
2
b
dx
dx A ln ax 2 bx c
a
A(2ax b)
2
ax bx c
b
dx
a
B
2
ax bx c
dx (Thêm , bớt)
b
a
Page 1
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
b
b
dx
Tích phân I = 2
=
2 a ax + bx + c a
b
Đặt: x +
-Δ
=
2a
2
4a
tant dx =
dx
2
b
a x +
+
2a
1
-Δ
2 a
1
dx
0
x + x +1
Ví dụ 1: Tính tích phân:
2
2
2
4a
-Δ
1 + tan t dt
2
.
2
Lời gải:
1
dx
0
x + x +1
Do
2
Đặt x
1
dx
1
=
2
2
1 3
x + +
2 4
3
tan t , t
6 ; 3 dx
2
0
1 tan t dt
2
3
2
3
2
1 tan t dt 2 3 3
1
3
dx
2 3
Vậy 2
2
t
dt
3
0 x x 1
3
3
2
(1 tan t )
6
6
4
1
(2x + 2)dx
0
x + x +1
Ví dụ 2:Tính tích phân: I =
2
3
3
9
6
.
Lời giải:
1 (2 x 2) dx
1 (2 x 1) dx
1
dx
I 2
2
2
0 x x 1
0 x x 1
0 x x 1
1
2
ln x x 1 I1
0
ln 3 I1
1
1
dx
Mà I = 2
=
1 0 x + x +1 0
Đặt x
1
2
3
2
tan t ,
dx
1
2
3
x + +
2 4
t
6 ; 3 dx
GV: Nguyễn Thành Hưng
2
1 tan t dt
2
3
Page 2
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1
3
dx
I 2
1 0 x x 1
1 tan t dt
2
3
2
3
6
2 3
3
3
2
(1 tan t )
dt
2 3
t
3
6
4
4
(2x 1).dx
2)I = 2
0 x x2
1
2 3
2
10)I=
0
3)I =
x
2
6)I=
2
1
4x 13
1
5x
.dx
2
0 x 1
dx
8)I=
2
x 2 x 2.dx
0
1
3x 4
.dx
2
0 x 1
0
5x 4
1
5)I=
dx
23 3
7)I=
9
1
x
1 x
3
6
9
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1
dx
1)I = 2
0 x x2
4)I =
3
Vậy: I ln 3
1
3
9)I=
0
1 4x
.dx
x 4x 5
2
x 1
dx
x2 1
1
dx
4 x2
b.Loại 2: ax 2 + bx + c = 0 có một nghiệm.
dx
b
TH1: Nếu P(x) bậc không thì I
a
a x
2a
b
2 tính được
mx n
A(2ax b)
B
dx 2
dx
dx tính được
TH 2: Nếu P(x) bậc một thì I 2
2
ax bx c
ax bx c
b
a
a
a
a x
2a
b
b
1
dx
0
x + 2x + 1
Ví dụ 1: Tính tích phân:
b
.
2
Lời giải:
1
dx
0
x + 2x + 1
I
2
1
0
dx
(x + 1)
1
Ví dụ 2: Tính tích phân:
0
2
1 1
1
x 1 0 2
x+3
dx .
2
x + 2x + 1
Lời giải:
1
1 x +1
1
1
2
1
dx
dx
2
dx
ln(
x
1)
2
0 x 1 ln 2 1
2
2
0 x + 2x + 1
0
0
0
(x + 1)
(x + 1)
1
I
x+3
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 3
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
1)I= 2 dx
x
1
0
2
0
x
4)I= 2
dx
x
2
x
1
1
2
7)I=
1
2
1
dx
2
x
2
x
1
1
2)I=
5)I=
1
2
1
dx
2
x 4x 4
8)I=
1
1
3)I=
1
0
2x 3
dx
x
2
x
1
1
dx
6)I=
x4
dx
2
x 6x 9
9)I=
x2 x
1
4
1
dx
x 2x 1
2
2
1
2
1
dx
x 6x 9
2
12 x 1
10)I= 2
dx
x
6
x
9
1
2
c.Loại 3: ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Cần chú ý: Các biểu thức đồng nhất
P( x)
( x a )( x b )
A
xa
B
xb
..
1
4 x 11
0
x 5x 6
Ví dụ 1: Tính tích phân: I
dx .
2
Cách 1.
Cần chú ý: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:
A 2x 5
4 x 11
B
, x
2
2
2
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
2 Ax 5 A B
4 x 11
, x
2
2
x 5x 6
x 5x 6
2 A 4
5 A B 11
Vậy
A 2
B 1
\ 3; 2
\ 3; 2
2 2x 5
4 x 11
1
, x
2
2
2
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
\ 3; 2 .
Lời giải:
1
Ta có:
0
4 x 11
2
x 5x 6
2
2 ln x 5 x 6
0
1
0
Cách 2.
Cần chú ý: Vì
2x 5
1
dx 2
2
x 5x 6
ln
x2 1
x3 0
dx
1
dx
0
ln
2
x 5x 6
9
.
2
x2 5x 6 x 2 x 3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:
Tìm A, B sao cho:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 4
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
4 x 11
2
x 5x 6
4 x 11
2
x 5x 6
A
x2
B
x3
, x
A B x 3A B ,
\ 3; 2
x
2
x 5x 6
A B 4
3
A
2
B
11
Vậy
\ 3; 2
A 3
B 1
4 x 11
2
x 5x 6
3
x2
1
x3
, x
\ 3; 2 .
Lời giải:
4 x 11
1
Ta có:
0
2
x 5x 6
1
dx
0
x2
dx 3
1
dx
0
x3
3ln x 2
1
ln x 3
9
ln .
2
0
1
0
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
1)
dx
( x 1)( x 2)
1
2
2)
1
4
4)
dx
1 x(1 x)
5)
0
7)
1
1 ( x 1)( x 2) dx
8)
1
dx
10)
x(x 1)
2
0
13)
16)
3
11)
2
1
x 2 3x 2
3
4
( x 2 2)2
dx
3
14)
2
b
P(x)
a
ax + bx + cx + d
3.Dạng 3: I =
3
2
1
3x 3x 3
x 2 3x 2
2 (x
x4
2
2
1)
dx
2
dx
x x6
2
1
12)
5x 6
2
3
17)
2
3
x
2
dx
2
9)
4 x 11dx
0
2x 6x 9x 9
x
dx
x x2
1
6)
dx
2 x 2 x 2
4
1
dx
(
x
2)(
x
3)
3
0
dx
0 x 2 5x 6
3
dx
2 x x 2
2
3)
x
0
dx
4
15)
2
dx
x6
x3
2
3 x x 2
1
18)
dx
1
2
0 ( x 2)
( x 3)2
dx
dx .
2
a.Loại 1: ax + bx + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt.
b
b
n
n
dx
=
dx
TH1: Bậc P(x) bằng không. I = 3
2
a ax + bx + cx + d
a a(x - x )(x - x )(x - x )
1
2
3
Cần chú ý:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 5
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
n
( x a )( x b )( x c )
A
xa
B
xb
5
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
C
xc
1
dx
x 2 x 5x 6
1
A
B
C
Nhận xét: 3
2
x 2 x 5x 6 x 1 x 3 x 2
1
( A B C ) x 2 ( A B 4C ) x 6 A 2B 3C
3
( x 2)( x 3)( x 2)
x 2 x 2 5x 6
1
A 6
A B C 0
1
A B 4C 0 B
10
6 A 2 B 3C 1
C 1
15
Lời giải:
4
5
3
2
5
5
1
1
1
1
1
1
1
I 3
dx
dx ln x 1 ln x 3 ln x 2
2
6( x 1) 10( x 3) 15( x 2)
10
15
6
4
4 x 2 x 5x 6
4
1 3 1
1 7
ln ln 2 ln
6 4 10
15 6
1 3 1
1 7
Vậy: I ln ln 2 ln
6 4 10
15 6
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Cần chú ý:
P( x)
( x a )( x b )( x c )
A
xa
B
xb
5
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
C
xc
x 1
dx
x 2 x 2 5x 6
1
A
B
C
Nhận xét: 3
2
x 2 x 5x 6 x 1 x 3 x 2
1
( A B C ) x 2 ( A B 4C ) x 6 A 2B 3C
3
( x 2)( x 3)( x 2)
x 2 x 2 5x 6
1
A 3
A B C 0
2
A B 4C 1 B
5
6 A 2 B 3C 1
C 1
15
4
GV: Nguyễn Thành Hưng
3
Page 6
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
5
5
5
x 1
1
2
1
2
1
1
I 3
dx
dx
ln
x
1
ln
x
3
ln x 2
2
3( x 1) 5( x 3) 15( x 2)
5
15
3
4
4 x 2 x 5x 6
4
1 3 2
1 6
ln ln 2 ln
3 4 5
15 7
1 3 2
1 6
Vậy: I ln ln 2 ln
3 4 5
15 7
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:
P( x)
A
B
C
( x a )( x b )( x c ) x a x b x c
5
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I
3x 2 1
3
2
4 x 2 x 5x 6
3x 2 1
Nhận xét:
3
2
dx
A
B
C
x 1 x 3 x 2
x 2 x 5x 6
3x 1
( A B C ) x 2 ( A B 4C ) x 6 A 2B 3C
3
( x 2)( x 3)( x 2)
x 2 x 2 5x 6
2
A 3
A B C 3
14
A B 4C 0 B
5
6 A 2 B 3C 1
C 13
15
Lời giải:
2
5
3x 2 1
5
5
2
14
13
14
13
2
I 3
dx
dx ln x 1 ln x 3 ln x 2
2
3( x 1) 5( x 3) 15( x 2)
5
15
3
4
4 x 2 x 5x 6
4
2 4 13 7 14
ln ln ln 2
3 3 15 6 5
2 4 13 7 14
Vậy: I ln ln ln 2
3 3 15 6 5
TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
P( x)
A
B
C
( x a )( x b )( x c ) x a x b x c
5
Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I
4
x 3 x 2 5x 7
x3 2 x 2 5x 6
dx
Nhận xét:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 7
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
+
x 3 x 2 5x 7
x 3 2 x 2 5x 6
3x 2 1
3x 2 1
1
x 3 2 x 2 5x 6
A
B
C
+ 3
2
x 2 x 5x 6 x 1 x 3 x 2
3x 2 1
( A B C ) x 2 ( A B 4C ) x 6 A 2B 3C
3
( x 2)( x 3)( x 2)
x 2 x 2 5x 6
2
A 3
A B C 3
14
A B 4C 0 B
5
6 A 2 B 3C 1
13
C
15
Lời giải:
5
x 3 x 2 5x 7
5
5
2
14
13
2
14
13
I 3
dx 1
dx x ln x 1 ln x 3 ln x 2
2
3( x 1) 5( x 3) 15( x 2)
3
5
15
4
4 x 2 x 5x 6
4
2 4 13 7 14
1 ln ln ln 2
3 3 15 6 5
2 4 13 7 14
Vậy: I 1 ln ln ln 2
3 3 15 6 5
3
2
b.Loại 2: ax + bx + cx + d = 0 có hai nghiệm.
b
b
A
A
TH1: Bậc P(x) bằng không. I = 3
dx
=
dx
2
2
a ax + bx + cx + d
a
a(x - x )(x - x )
1
2
Cần chú ý:
n
A
B
C
2
x a x b x b 2
( x a )( x b )
5
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
1
2
4x x
1
A B
C
Nhận xét: 3
2
2
x x
x 1
x x
1
( A C ) x 2 ( A B) x B
3
x x2
x3 x2
A C 0
A 1
A B 0 B 1
B 1
C 1
Lời giải:
GV: Nguyễn Thành Hưng
3
dx
Page 8
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
5
5
5
1
1
1
24 1
1 1
I 3
dx 2
dx ln x ln x 1 ln
2
x x
x 1
x
25 20
4
4x x
4
24 1
Vậy: I ln
25 20
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Cần chú ý:
nx m
A
B
C
2
x a x b x b 2
( x a)( x b)
5
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
x2
2
4x x
x2
A B
C
Nhận xét: 3
2
2
x x
x 1
x x
2
x2
( A C ) x ( A B) x B
3
x x2
x3 x2
A C 0
A 1
A B 1 B 2
B 2
C 1
Lời giải:
5
3
dx
5
5
x2
1
2
24 1
1 2
I 3
dx
dx
ln
x
ln
x
1
ln
2
2
x
x
1
x
25
10
x
x
x
4
4
4
24 1
Vậy: I ln
25 20
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:
nx 2 mx q
2
( x a)( x b)
A
B
C
x a x b ( x b)2
5
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I
4
2
Nhận xét:
x x2
3
2
x2 x 2
x3 x2
dx
A B
C
2
x x
x 1
x x
x2
( A C ) x 2 ( A B) x B
3
x x2
x3 x2
A C 1 A 1
A B 1 B 2
B 2
C 2
Lời giải:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 9
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
5
5
5
x2 x 2
2
2
1 2
I 3
dx 2
dx ln x 2 ln x 1
2
x x
x 1
x
4
4 x x
4
4
6 1
Vậy: I ln 2 ln
5
5 10
TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
- Chia đa thức.
- Áp dụng các dạng trên.
5
Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I
x3 2 x2 x 2
x3 x2
4
dx
Nhận xét:
x3 2 x2 x 2
x2 x 2
1
+
x3 x2
x3 x2
x2 x 2 A B
C
2
+ 3
2
x x
x 1
x x
( A C ) x 2 ( A B) x B
x2
x3 x2
x3 x2
A C 1 A 1
A B 1 B 2
B 2
C 2
Lời giải:
5
x3 2 x2 x 2
5
5
2
2
1 2
I
dx 1 2
dx x ln x 2 ln x 1
3
2
x x
x 1
x
x x
4
4
4
4
6 11
Vậy: I ln 2 ln
5
5 10
3
2
c.Loại 3: ax + bx + cx + d = 0 có một nghiệm.
TH1: Bậc P(x) bằng không.
Cần chú ý: Áp dụng công thức nguyên hàm.
1 dx
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
0
( x 1)3
Lời giải:
1
1
3
I ( x 1) dx
2
0
2( x 1) 0 8
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
1
3
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 10
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1
xdx
0
( x 1)3
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
Nhận xét:
x
x 11
1
1
3
3
2
( x 1)
( x 1)
( x 1) ( x 1)3
Lời giải:
1
1
1
1
I
dx
2
3
2
0
( x 1) ( x 1)
x 1 2( x 1) 0 8
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
2
1 x dx
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
0
( x 1)3
Nhận xét:
x2
x2 1 1
x 1
1
1
2
1
3
3
2
3
2
x 1 ( x 1) ( x 1)3
( x 1)
( x 1)
( x 1) ( x 1)
Lời giải:
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
I
dx ln x 1
ln 2
2
3
2
0 x 1
x 1 2( x 1)
4
( x 1) ( x 1)
0
1
TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
1
x 2 dx
0
( x 1)3
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
Nhận xét:
x 3 4 x 2 3x 1
( x 1)3
Lời giải:
1
x2 1 1
( x 1)3
1
x 1
( x 1)2
1
( x 1)3
1
1
2
1
x 1 ( x 1)2 ( x 1)3
1
1
2
1
2
1
3
I 1
dx
x
ln
x
1
ln
2
2
3
0
x 1 2( x 1)2
4
x 1 ( x 1) ( x 1)
0
1
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1
1
dx
1) I= 3
x 8
0
1 2x
2) I= 3 dx
x 8
0
1 2x 4
dx
4) I = 3
x 8
0
3x 2 x 5
.dx
5) I = 2
0 x 5x 6
1
GV: Nguyễn Thành Hưng
1
1 2x 2
x 3 8 dx
0
1
3) I=
1
1
6) I=
(x
0
2
dx
3x 2) 2
Page 11
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
2
7)I=
8)I=
(2x 2 4x 1)dx
11)I=
2
0 (x 2)(x x 1)
2
1
dx
10)I= 3
1 x 1
( x 1)dx
5 x 1)( x 2 4 x 1)
2
13)I=
(x
(2x 1).dx
x(x 1)2
1
2
dx
x(x 1)2
1
1
2
2
1
14)I=
3
20)I=
4.Dạng 4:
2
b
2
dx
0
2
2.dx
16)I= 3
2
1 x 3x 2x
x
dx
x(x 2 3)
1
3
12)I=
1
dx
x x
3
2
2
4 x
3
9)I=
(3 x).dx
3
x 4x 2 3x
dx
(2 x 1)(4 x 2 4 x 5)
1
15)I=
(3x 2 7x).dx
(x 1)(x 2)(x 3)
0
1
21)I=
P(x)
an x n + an-1 x n-1 + ...+ a1 x + a0 dx với n 4
a
Cần chú ý: Áp dụng các cách đã học.
2
Ví dụ 4: I
1
Nhận xét:
dx
x5 x3
1
1 1
x
x x3 x 2 1
x 3 ( x 2 1)
Lời giải:
2
x
1
1
3
1
3
1 1
2
I 3 2 dx ln x 2 ln( x 2 1) ln 2 ln 5
x x
2
2
2
8
x 1
2x
1
1
Vấn đề 2: Đổi biến số
Dạng 1: Đổi biến bởi một hàm dưới dấu tích phân.
Các bước thực hiện giải như sau:
B1: Đặt t f ( x ) dt
1
dx
f '( x )
B2: Đổi cận:
x
a
b
t
f(a)
f(b)
B3: Thế vào tích phân ban đầu và tính tích phân.
B4: Kết luận.
Cần chú ý: Chúng ta có thể sử dụng nguyên hàm trực tiếp không cần đổi biến.
1
Ví dụ 1: I
7 x 199
101
0 2 x 1
dx
Cách 1:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
-
(7 x 1)99
(2 x 1)101
99
1
7x 1
.
2 x 1 (2 x 1)2
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 12
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
'
9
7x 1
-
2 x 1 (2 x 1)2
Lời giải:
7x 1
9
Đặt: t
dt
dx
2x 1
(2 x 1)2
x
t
Đổi cận:
0
-1
1
2
t100
1 2 99
Khi đó: I t dt
900
9 1
Vậy: I
100
2
2
1
2100 1
900
1
900
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
99
(7 x 1)99
1
7x 1
.
101 2 x 1
(2 x 1)
(2 x 1)2
1
1 7x 1
d
2
9 2x 1
(2 x 1)
Lời giải:
-
1
7x 1
I
2x 1
0
99
1
5x
Ví dụ 2: I
2
2
0 ( x 4)
Cách 1:
Nhận xét:
99
100
7x 1 1 1 7x 1
1 1 7x 1
d
2
2 x 1 9 0 2 x 1 2 x 1 9 100 2 x 1
dx
1 100
1
2 1
0 900
dx
'
Quan sát ta thấy: x 2 4 2 x
Lời giải:
Đặt: t x 2 4 dt 2 xdx
Đổi cận:
x
t
0
4
1
5
5
55 1
1
5
Khi đó: I 2 dt
24t
2t 4 8
2100 1
Vậy: I
900
Cách 2:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 13
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Nhận xét:
Quan sát ta thấy: xdx
1
d ( x 2 4)
2
Lời giải:
1
1
51
1
5
1
I 2
dx
d x2 4
4
2
2
2
2 0 ( x 4)
8
2( x 4)
0 ( x 4)
5x
0
1
x7
Ví dụ 3: I
2 5
0 (1 x )
Cách 1:
Nhận xét:
dx
'
Quan sát ta thấy: x 2 1 2 x
Lời giải:
Đặt: t x 2 1 dt 2 xdx
x
t
Đổi cận:
0
1
1
2
1 2 (t 1)3
12 1 3 3 1
1 1
Khi đó: I 5 dt 2 3 4 5 dx . 5
21 t
2 1 t
4 2
t
t
t
1 1
Vậy: I . 5
4 2
Cách 2:
Nhận xét:
1
x7
x 6 .x
xdx d ( x 2 1)
Quan sát ta thấy:
5
5
2
1 x2
1 x2
Lời giải:
1
I
x
0 (1
1
7
2 5
x )
dx
1
x2
3
1
x2 1 1
3
1
1
d ( x 2 1)
d ( x 2 1)
2
5
2 0 (1 x )
2 0 (1 x 2 )5
1
1
3
3
1
1 1
2
d ( x 1) . 5
2
2
2
3
2
4
2
5
2 0 (1 x ) (1 x ) (1 x ) (1 x )
4 2
1
Ví dụ 4: I x 5 (1 x 3 )6dx
0
Cách 1:
Nhận xét:
'
Quan sát ta thấy: 1 x3 3x 2
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 14
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
Đặt: t 1 x 3 dt 3x 2 dx dx
3x 2
Đổi cận:
x
t
Khi đó: I
11 6
1 t 7 t8
1
t
(1
t
)
dt
30
3 7 8 168
Vậy: I
0
1
dt
1
0
1
168
Cách 2:
Nhận xét:
1
Quan sát ta thấy: x 2 dx d (1 x 3 )
3
Lời giải:
1
I x 5 (1 x 3 )6 dx
0
11 3
11
3 6
3
x
(1
x
)
d
(1
x
)
(1 x 3 1)(1 x 3 )6 d (1 x 3 )
3 0
3 0
1
11
1 (1 x 3 )8 (1 x 3 )7
1
(1 x 3 )7 (1 x 3 )6 d (1 x 3 )
30
3
8
7
168
0
4
Ví dụ 5: I
3
1
x ( x 4 1)
1
Cách 1:
Nhận xét:
dx
'
Quan sát ta thấy: x 2 2 x
Lời giải:
Đặt: t x 2 dt 2 xdx
x
Đổi cận:
t
Khi đó: I
Vậy: I
1
2
4
1
1
3
1
3
0
t
1
3
t t 2 1 dt 4 ln 2
1
1 3
ln
4 2
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy: xdx
1
d(x2 )
2
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 15
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
4
I
3
1
4
1
1
dx
2
x( x 4 1)
2
Ví dụ 5: I
1
3
1
1
1
dx
2
x 2 ( x 4 1)
2
4
3
1
x 2
1
x2 2 1 3
dx ln
4 2
x 4 1
dx
10
1)2
x.( x
Cách 1:
Nhận xét:
'
Quan sát ta thấy: x 5 5x 4
Lời giải:
1
Đặt: t x 5 dt 5 x 4 dx x 4 dx dt
5
Đổi cận:
x
t
Khi đó: I
1 32
dt
1 32
dt 2
1
5 1 t(t 2 1)2 10 1 t 2 (t 2 1)2 168
Vậy: I
1
1
2
32
1
168
Cách 2:
Nhận xét:
1
Quan sát ta thấy: x 5 (1 x 3 )6 x 3 (1 x 3 )6 x 2 x 2 dx d (1 x 3 )
3
Lời giải:
2
2
dx 5
1
168
Đặt: t x 7 dt 7 x 6 dx x 6 dx
1
dt
7
I
1
dx
x.( x10 1)2
2
1
x 5 .( x10 1)2
1 x7
Ví dụ 6: I
dx
7
x
(1
x
)
1
Cách 1:
Nhận xét:
'
Quan sát ta thấy: x 7 7 x 6
Lời giải:
Đổi cận:
x
t
1
1
GV: Nguyễn Thành Hưng
2
128
Page 16
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1 128 1 t
Khi đó: I
dt
7 1 t(1 t)
Vậy:
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy: x 6 dx
1
d(x7 )
7
Lời giải:
2
2
(1 x 7 )
dx
dx 7
7
7
7
7
1 x .(1 x )
1 x .(1 x )
I
(1 x 7 ).x 6
2
x 2001
Ví dụ 7: I
x 2 )1002
1 (1
2
Cách 1: I
1
.dx
2
x 2004
3
2 1002
x (1 x )
Cách 2: Ta có: I
.dx
1
1
1002
1
x 3 2 1
x
1000
2
1 x2
4
1 1 x
1
x
2
1 dt
2
x3
dx .
11
x 2000 .2 xdx
. Đặt t 1 x 2 dt 2 xdx
2 0 (1 x 2 )2000 (1 x 2 )2
1 2 (t 1)1000
1 2 1
I 1000 2 dt 1
21 t
2 1 t
t
Ví dụ 8: I
.dx . Đặt t
1
1
d 1
t 2002.21001
dx
Cách 1:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
1 x
2
1 x4
1
1
'
x2 , x 1 1 1
1
x
x2
x2 2
x
Lời giải:
Đặt: t x
1
1
dt 1 dx
x
x2
Đổi cận:
x
t
3
2
Khi đó: I
1
0
1
dt
t2 2
1
0
1
3
2
1
2 2 1t 2
GV: Nguyễn Thành Hưng
3
2 1
1
t 2
1
.ln
ln
dt
2
t 2
2 2
t 2 1 2 2 2 1
1
Page 17
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Vậy: I
2 1
ln
2 2 2 1
1
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
1 x
2
1 x
4
1
1
x2
1
x2 2
x
1
1
1 2 dx d x x
x
Lời giải:
dt
1
1
1
dt
I
1
2
1
2
2
1
1
1
x x 2 x x 2
x 2
x
1
x 2
2 1
2
1
1
x
.ln
ln
1
1 2 2 2 1
2 2
x
2
x
1
2
2
2 2 1
1 x
1
4
dx
Ví dụ 9: I
Ta có: I x
dx . Đặt t x I ln
3
1
x
5
1
1xx
x
x
Cách 1:
Nhận xét:
2
2
'
1
1
Quan sát ta thấy: x 1 2
x
x
Lời giải:
1
1
1
Đặt: t x dt 1 2 dx dt 2 1 dx
x
x
x
Đổi cận:
x
t
1
2
5
21
2
5
2
5
2
2
5
4
Khi đó: I dt ln t ln ln 2 ln
t
2
5
2
Vậy: I ln
4
5
Cách 2:
Nhận xét:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 18
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1
1
Quan sát ta thấy: 2 1 dx d x
x
x
Lời giải:
1
1
2 2 1
2
1
1
4
1
x
I
dx
d +x ln x ln
1
1
x
x
5
1
1
1 x
x
x
x
Dạng 2: Đổi biến bởi một hàm bên ngoài
1
x4 1
Ví dụ 1: I
x6 1
0
Nhận xét: Ta có:
dx
x4 1
x6 1
( x 4 x 2 1) x 2
x6 1
x4 x2 1
( x 2 1)( x 4 x 2 1)
x2
x6 1
1
x2 1
x2
x6 1
Lời giải:
1
1 1 d(x3 )
1
I 2
dx 3 2
dx I1 I 2 .
3 0 (x ) 1
4 3 4 3
0 x 1
1
I1
0
1
1
2
x 1
dx
Đặt: t t anx dt= tan2 x 1 dx dx
x
t
Đổi cận:
0
4
4
Khi đó: I1 dt t 04
Vậy: I1
1
I2
0
tan x 1
1
0
4
4
3
d(x )
3 2
0 (x ) 1
dx
Đặt: t t anx 3 dt= tan2 x 3 1 dx dx 3
Đổi cận:
dt
2
x
t
0
0
GV: Nguyễn Thành Hưng
dt
tan2 x3 1
1
4
Page 19
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
4
Khi đó: I1 dt t 04
Vậy: I 2
0
4
4
1
xdx
Ví dụ 2: I
4
2
0 x x 1
.
Lời giải:
Đặt t x 2 dt 2 xdx
1 1 dt
11
2 0 t 2 t 1 2 0
Khi đó: I
Ví dụ 3: I
3
3
0
x2
x4 1
dt
2
1 3
t
2 2
2
6 3
dx
Lời giải:
I
3
3
0
x
2
2
2
( x 1)( x 1)
2
Ví dụ 4: I
1 x2
4
1 1 x
dx
1
2
3
3
0
1
1
1
2
dx ln(2 3)
2
4
12
x 1 x 1
dx
1
1
2
x
Nhận xét: Ta có:
.
1 x4 x2 1
x2
Lời giải:
5
1
1
Đặt t x dt 1 dx ; x 1 t 2; x 2 t
2
2
x
x
1 x
5
2
Khi đó: I
dt
2
2 t 2
2
.
Đặt t 2 tan u dt 2
Khi đó: I
2
2
u2
du
u1
du
2
cos u
; tan u 2 u1 arctan 2; tan u
5
5
u2 arctan
2
2
2
2
5
(u2 u1)
arctan arctan 2
2
2
2
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 20
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Ví dụ 5: I
1 5
2
x2 1
x4 x2 1
1
dx
2
x 1
Nhận xét: Ta có:
x 4 x2 1
1
2
x
1
x2
1
x2
.
1
Lời giải:
1
1
dt 1 dx
x
x2
Đặt: t x
x
Đổi cận:
.
t
1
5 1
2
2
0
1
dt
Khi đó: I
0t
2
1
Đặt t tan u dt
du
cos2 u
4
Khi đó: I du
0
Ví dụ 6: I
3
1
4
dx
6
x (1 x 2 )
Nhận xét:
Lời giải:
1
1
Đặt : x dx 2 dt
t
t
Đổi cận:
3
3
x
1
3
3
t
Khi đó: I
3
3
1
t6
dt
t 1
2
1
1
4 2
1
117 41 3
t t 1 2
dt =
135
12
t
1
3
3
Vậy: I
117 41 3
135
12
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 21
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Vấn đề 3: Tích phân từng phần
1
Ví dụ 1: I
0
x9
x
5
1
2
dt
Lời giải:
u x 5
du 5 x 4 dx
1
Đặt:
x4
v
dv
dx
5
5( x 1)
( x 5 1)2
1
Khi đó: I
0
x9
t5 1
1
Ví dụ 2: I
0
dt
2
x9
x
5
1
10
1
x5
1
5( x 5 1) 0
0
x4
x5 1
I
0
x9
t5 1
10
1
1
1 1
5
ln
x
1
ln 2
10 5
5( x 5 1) 0 5
0
dt
1
x5
5
10
5( x 1)
0
Khi
1 1 x4
x5
5
dx
9 0 ( x 1)9
5( x 5 1)10
2.BÀI TẬP:
Bài tập 1: Tính các tích phân sau:
1
2
1
3x 1
1)
2)
2 x 1dx
x 1dx
x 1
2 x 2
0
0
x2
dx
4x 1
2
x2
4)
2 x 1 dx
x 1
1
5)
2x x 2
x 1dx
7)
3x 1
0
x x 1
2 x 1dx
8)
2x 1
1
0
1
1
dt
Lời giải:
u x 5
du 5 x 4 dx
1
Đặt:
x4
v
dv
dx
5
9( x 1)9
( x 5 1)10
1
dx
x5
2
1
x3 2 x
dx
10)
3x 2015
0
3
0
dx
1) 2
0 x 2x 2
GV: Nguyễn Thành Hưng
2)
0
3x
2
dx
2
x 1
2
0
5
8
360( x 1)
0
1
10
5.2
1
1
5 360.28
2x 2
3)
3 dx
5x 1
0
1
x2 2x 3
dx
x3
0
x4 x2 1
dx
11)
1 2016 x
0
3
1
1
1
1
2
1
6)
2
Bài tập 2: Tính các tích phân sau:
đó:
1
x3 x 1
dx
9)
6x 1
0
1
x5 x2 1
dx
12)
x 3
0
x3 2x 2 4x 9
dx
3)
x2 4
0
2
Page 22
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1
4)
1
1 x 4 dx
0
2
7)
1
1
4
x(1 x )
2
10)
1
2
0 4 x
3
13)
1
x3 x 1
5)
dx
2
0 x 1
x3
dx
2
8)
6)
1 x 2016
x(1 x 2016 ) dx
9)
1
2
dx
11)
1 x2
4
1 1 x
x
0 1 x
2
4
dx
1
x 5 (1 x 4 ) dx
1
1
dx
12)
2 x4
2
0 1 x
dx
dx
xx
3
1
Bài tập 3: Tính các tích phân sau:
5
b
1
2x 1
dx
dx
1) 2
2)
( x a )( x b)
a
3 x 3x 2
1
4)
0
2
7)
1
x3 x 1
dx
x2 1
5)
1 x 2018
dx
x(1 x 2018 )
8)
x 2 n 3
dx
2 n
0 (1 x )
11)
1
10)
2
1
dx
2
0 9 x
1
6)
2 x3 6 x 2 9 x 9
dx
x2 x 6
1
9)
x2 3
dx
x( x 4 3x 2 2)
12)
1
dx
x (1 x 2 )
15)
1
dx
x 4x 5
0
2
1
1
1
4
1 x2
dx
4
1
x
1
1
0
dx
25)
0
2
x x 1
3
1
31)
x2
3
0 (3x 1)
3
2
2
0
3x 2 3x 3
dx
3
2 x 3x 2
2 x4
dx
2
0 1 x
1
3
1
4
32)
1
2
18)
24)
x 3 dx
26) 2
0 x 2x 1
2
3
1 x4
dx
6
1
x
0
1
1
GV: Nguyễn Thành Hưng
x4
dx
2
2
(
x
4)
3
23)
29)
dx
4
21)
4
x 2 dx
9
2 1 x
28)
1
dx
2
0 ( x 2) ( x 3)
2
1
dx
3
0 1 x
20)
x6 x5 x4 2
dx
x6 1
1
1
17) 3
dx
2
2 x 2x x
1
2
22)
3
x
dx
2
0 1 x
14)
19)
1
x2
dx
3
0 (3 x 1)
13)
x
dx
16)
2 3
0 (1 x )
x3 x 1
dx
3)
x 1
0
1
1
4 x 11
0
x 5x 6
2
dx
x
dx
3
0 1 2 x
27)
2
dx
2
x (1 x)
30)
dx
2
x (1 x)4
33)
0
1
0
dx
x x3
2
dx
x 4x 3
2
Page 23
