ứng dụng vecto vào giải các bài toán cực trị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 195 trang )
Å
Ð
Ä
Ò
Ù
Å Ø×
Ù
Ò
½º
Ô
ºÌ
Ò
Ò
ØÖÓÒ
Øñ
Ú
Ø
ÚñÓ
ò
ñ ØÓôÒ
ØÖ ØÖÓÒ
Ò
øÒ
Ñ ØúØ Ð
½º
Ò
Ø
ØÖ
ÙÝ
Ò
Ø
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º Î
Ø
ØÖÓÒ
¿º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ºÃ
º
ÒØ
ô
Ú
Ñ Ø Ô øÒ
ØÖ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ôÒ
ô
¾º Ì Ñ
ØÖ Ò
ôÒ
ô
¿º Ì Ñ
ØÖ Ò
ôÒ
ôÚ
ñ
Ø
ºÄ
¾º
ºÌ
Ò
Ô
Ø
Ò
Ú
º º º º º º º º º º º º º º º
½
Ú
¾¿
Ò
Ò
º º º º º º º º º
Ú
Ø
º º º º º
Ò
Ò
Ò¹
Ò
Ò
Ñ ØúØ Ð
ôÔ ×
Ú
Ø
ÚñÓ
ò
ñ ØÓôÒ
ØÖ ØÖÓÒ
Ò
Ò
Ø
Ò
Ø
¾º
ô
Ô Ô ØÓôÒ Ú
Ò
Ú
ÙÝ
õ
Ù
¾
¼
½º
¿º
ñ Ú
Ø
Ô
ò ¹
Ò
½¾
½
½º Ì Ñ
ØÖ Ò
º
½½
Ú
Ø
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ú
Ø
Ô øÒ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ú
Ø
¾
º º º º º º º º º º º º º º º º
º
º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ÌÖ Ò
Ø Ñ
ô
Ú
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ôÒ
ô
¾º Ì Ñ
ØÖ Ò
ôÒ
ô
¿º Ì Ñ
ØÖ Ò
ôÒ
ôÚ
ñ
Ø
Ò
ºÌ
Ò
Ô
Ø
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º
Ú
Ú
Ò
Ò
Ò
¿º
Ò
Úñ Ð
Ò¹
Ò
Ò
Ñ ØúØ Ð
Ú
Ø
Ú
Ø
Ø
ÙÝ
ÚñÓ
ò
ñ
ØÓôÒ
ØÖÓÒ
õ
½¿¼
ØÖÓÒ
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½¿¼
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½¿½
Ò
½¿¾
½º
Ò
Ò
Ú
Ø
ÚñÓ
ò Ñ Ø×
ñ ØÓôÒ
ØÖ
¾º
Ò
Ò
Ú
Ø
ÚñÓ
ò Ñ Ø×
ñ ØÓôÒ
ØÖ Ð
õ ×
Ò
º º º º º º
ô
º º º
Ô
ò ¹
ÙØ
½¿¾
½
½ ¾
Ò
Ù ×ÙÝ Ò
Ìñ Ð
ØÖ
Ø
¾º Î
Ø
ô
Ú
½¼
½¿¼
Ñ Ø Ô øÒ
ºÄ
º º º º º
ô
ØÖÓÒ
Ø
¿
ôÔ ×
½º Î
Ø
ñ
º º º º º º º º º
½¼¾
ò ¹
×
ñ Ú
Ø
Ô
ºÄ
º
Ò
½º Ì Ñ
ØÖ Ò
º
º
Ø
Ñ
Ò¹
ÑÚ
ôÔ ×
Ò
½
Ò
Ú
Ø
òÓ
ÚñÓ
ò
ñ ØÓôÒ
ØÖ
½ ¿
½
¿
ề
ủ ỉểụề
ỉệ éủ
ĩ ỉ
ề
ỉ ỉ
ũ
ụ
ễ
ủ ỉểụề
ỉệ ỉ
ủ
ẹ ỉệ
ề
ẹ
ũ á ỉí ề
ũ ếí ỉ
ỉ
ề
ề ỉ
ỉ
ề
ỉ
ềá
é
á
ụ
ứề
ỉ
ụề
ỉệểề
ề
ề
ỉệ ề
ừ ì á ề
ề ẹ ề ỉ
é í
ề
ễ
ỉ
ề
ẹ ề èểụềá
á
ụỉ
ụ
ềủí ệ ỉ ễ
í
ũ
ỉ
ũ ỉ
ể
ụ
ứề
ỉ
ỉ
ứề
ễ ụễ
ũ
ỉ
ẻ
ễ
ỉừễ ủ
ẹ
ề ẹ ề
ề ỉệểề
ỉ
ỉ
ề
ỉệ ề
ề
ỉ ề
ỉ éủ
ẹ ỉ
ỉ
ủí ỉệểề
ề
ỉ
ứề
ề
é
ỉ
ề
ỉ ụ
ề
ì ề
ỉểụề ủ
ễ
ễ ụễ
ỉ
ủ ỉểụề ỉ
ẹ
ểụ
ũ
ễ
ể
ề
ề
ỉểụề ỉệề
ỉệề
ễ
ũể
ể
ủ
ỉệ ặ
ỉ
ề
ẹ
ề éểừ
ề ỉệ ề
ẹ
ừí ỉểụềá
ề ềủểá
ề ề
ễá ìỳễ ĩ ễ ủ ễ
ẹ
ễ ỉ
ề
ữề
ề
ẹ ỉ ếí ỉệ ề
ễ
ụ
ề
ễ
ỉừểá
ềủể
ỉ
ỉ
ếụ ỉệ ề
ủ ỉểụề
ỉệ
ủ ỉểụề
ỉệ ỉệểề
ẹ ẹểề
ề
ẹ ỉệểề
ũ ìụề
ểụ ừề ề ề
ề
ề
ề ỉ
ũ ẹ ỉì
ề
ủề
ề
ể
ỉ
ẹ ỉ
ủể
ề
ễ
é
ỉ ề ếụỉ
í
ỉệểề
ủ ỉểụề
ề
ề
ỉ
ề
ề
í ủ
ề ẹ ề ậ
ề ĩũí ệ
ủ ỉểụề
ỉ
è
ủ ỉểụề
ủ ỉểụềá
ề
ỉ
ễ
ề
ụể
ề
ỉ
ề á
ỉểụề
ề ỉểụề ỉệề
ề
ỉủ
ề
ỉ
ủể
ũ
ủ ỉểụề
ỉệ ỉệểề
ề
ề
ễ ứề
ề
ề
ủ
ì ề
ề
ỉ
ủể
ũ
ủ ỉểụề
ỉệ ỉệểề
ề
ề
ỉ
ủể
ũ
ủ ỉểụề
ỉệ ỉệểề
ừ ì
ụ
èủ é
ễ
ề
ề
ề
ủ é
ề
ỉ
ề
ề á
ỉ ễá ỉệểề
ỉ
ỉ
ề ỉệểề
ủ ỉểụề
ỉệ éủ
ụ
ỉ
è ỉ ề
ũề
ừí ủ
ủ ỉểụề
ễá ỉ
ỉ ễ ẹ ề ỉểụề ỉệề
ỉệểề
ừ
á
ếụ ỉệ ề
ể
ứề
ũề
ủ ỉ
ừí
Å
Ø
ó
úÒ ¸ Ò
Ù × Øº Î Ú Ý¸
ô
Øô
õÒ
Ò
Ò
Ô Úñ
õÒ
Ò
Ð
Ø Ô Ìñ Ð
ò Ö Ø ÑÓÒ
Ò
Ò
Ù ÒñÝ
Ò Ò
Ò
Ò
Ò
õÒ
Úñ
Ô
ô
º
ô
Øô
ò
Å Ø×
△ABC
Ì Ñ
A, B, C
ô
a, b, c
Ø
Ðñ ×
Ó
BC, CA, AB
ñ
ô
Ò
Ø Ñ
ô
Ø Ñ
ô
ABC º
Ó ÜÙ Ø Ô ôØ Ø
ô
Ò
ABC º
A, B, C
Ø Ñ
ABC º
Ø Ñ
ñ
ô
ô
Ø Ñ
R, r
ABC º
ôÒ
Ò
ôÒ
S(XY Z)
∀, ∃
Ò
Ò
Ò
Ì
Ò
ÜÙ Ø Ô ôØ Ø
ô
Ò
A, B, C
ØÙÝ Ò ÜÙ Ø Ô ôØ Ø
ô
Ò
A, B, C
ô
ØÖÓÒ
Ø
ØÖÙÒ
ØÖ Ò Ò Óõ Ø
ô
ÒØ
G, H, I, O
Ò Óõ Ø
Ô
ñ
ô
ô
ra , rb , rc
Ò
ABC º
ma , mb, mc
Ò
ñ
ô
õÒ
la , lb , lc
Ò ØÖÓÒ Øñ Ð Ù
ABC º
Ò
ha , hb, hc
ô
ô
Ù
Ô¸ Ò
Ø
Ò ØÖ Ò ñÒ Ø
Ô
Ø Ñ
ô
Ðñ ØÖ Ò
min, Ñ
Ñ
Ü
Ò
ظ
A, B, C
Ø Ñ¸ ØÖ
Ø Ñ¸ Ø Ñ
¸ Ø Ò Øõ º
ô ØÖ Ò
ô
º
Ø Ñ
ô
ABC º
XY Z º
Ôº
Î
ÔØ Ñ
ô ØÖ Ð Ò Ò
غ
Ò
ØÖ Ò Ò
Ø
Ô Úñ
ề
ề
è
ẵ
ẵ
ề
ỉ ủể ũ ẹ ỉ ì ủ ỉểụề
ỉệ
ỉệểề
ề
ễ ứề
ẹ ỉỳỉ é
ỉệ
ỉ
í
ề
ỉ
ẹX
ềỉ
ề ỉệ ề ẹ
f (X) M, X D
ĩ f (X) = M
X D : f (X ) = M.
ể
ỉ
àẹ
f
ễ ỉ
0
ắẻ
ỉ
ắẵ
ỉệểề
ừ
ẻ
ỉ
ề
éủ ẹ ỉ
ề
ủ
ỉ
ỉ
ỉ
ề
ủ ề
ề
ề
AB
|AB|
CD ỉ
ủ
ề
ể
ềữẹ ỉệ ề
ỉ
áề
ề
ữề
AB//CD
ẹ ẹ ỉ ềủể éủ
ẹ
éủ
ủ
ễ
éủ
ề
ệ
ủ
ỉ
éủ
ề
ỉ ứề
ú
ẹ
ề ỉệ ề
ỉ
ề
AB àá
ỉ
ễ
ề
ề
ỉệểề
ỉ ẻ
ỉ
ểừề ỉ ứề
ỉệ ề ẹ ỉ
ề
ẹ
ỉ
ẻ
ỉ
ẻ
ỉ 0
m, X D
X D : f (X ) = m.
0
0
ểừề ỉ ứề
ủ ề
ề
ẹ ỉ ễ ứề
ẹ ẹ ỉ ềủể éủ
éủ
D è
0
f (X)
min f (X) = m
à
ề
ỉ
ề
ủ
ỉ
ẹ
á
ể ỉ
ỉ
íẹ
ề
éủ AB
ỉ
ỉ
éủ
ỉ
AB
ạ
ề á
0
ẳ
í
ề
ỉí ềà ề
ề
ỉ ứề
ìểề
ề
ề
ềữẹ
ìểề ặ
AB
¹ À
Ú
Ø
Ò
Ô
Ø AB, CD
Ò
−→
−−→
AB ↑↑ CD º Æ Ù
Ò
Ò ¸
¹À
Ú
Ø
¹À
•
Ò
Ðñ
÷Ò
÷Ò
Ðñ
Ù Ú
Ø
Ò
Ò
Ò
Ò
Úñ
ñ
ÙÒ Ù
ÙØ
•È
Ô
Ñ
Ò
N
¾º¾
Ú
Ø
× Ó
−−→ −
→
Ó MN = a º
ô
Ô Ô ØÓôÒ Ú
È Ô
Ò
µ
Ò
Ø
Ø
−→ −−→
AB = CDº
Ò
Ù
Úñ
Ò
ñ ºÆ Ù
Ò
Úñ
Ò
ñ ºÆ Ù
Ø
Ó Ø
−
→
a ºÎ
Ó
Ô
ô
Ú
Ø ÒñÝ
ÓñÒ ØÓñÒ Üô
Ò
Ñ
Ô
Ñ
Ù
M¸ Ø
Ò
Ò
Ò Øõ
Ò Ù
òÒ Ðñ
ÙÝ Ò
Ø
Ú
Ø
ô
Ú
Ø º
Ò
º
Ó
−
→
a
Ú
Ø
Úñ
−
→
b
º Ä Ý Ñ Ø
Ò
Ðñ Ô Ô
Ò
• ÉÙÝ Øú
• ÉÙÝ Øú
Ñ
Ò
ABCD Ðñ
ñÒ
Ò
Ò
ñÒ
Ø
A
ØÙ
Ú
Ø º
−→ −−→ −→
AB + AD = AC.
¸ Ú
−
→
−
→
a Úñ b º
Ô ØÓôÒ Ø Ñ Ø Ò
−→ −−
→ −→
AB + BC = AC º
Ò
Ñ
Ú
Ø
µ ÉÙÝ Øú
º
Ò Ù
Ò ¸
Ò
→
−→ −
−−→ −
−→
AB = →
a Úñ BC = b º Î
Ø AC
Ðñ Ø Ò
−
→ −
→
−
→
→ −
Ì
ÙØ Ò
Ú
Ø a Úñ b Ðñ a + b º È
Ú
Ø
Ò
Ò Ù
Ú
Ø
−→
−−→
AB = −CD º
−→
AB
Ó ØÖ
º Ì
Óµº Å Ø Ú
Ø Ø
Ú
Ø
Ò
−→ −−→
AB Úñ CD
Ò
Ò
Ø
Ñ Ø Ú
Ø
Ó ØÖ
Ò
Ò
Ò
Ú
Ò º Î
Ø
→
− − →
−
→
−
a , b ,→
c ,−
x ,→
y ,...
Ú
Ó
Ò
−→ −−→
AB Úñ CD
Ú
Ø
ÙØ
Ò
÷Ò
Ò
ÙÒ Ù
Ó Ðñ Ñ Ø Ú
Ø ´Ú
Ø Ø
Ø
Ò
AB, CD Ò
−→
−−→
Ù AB ↑↓ CD º
−→ −−→
AB Úñ CD ¸
Ö ØÒ
Ø
Ø
Ø
Ú
Ø
Ú
Ø
Ò Ø
−→ −−→
AB Úñ CD
Ú
Ø
Ò
µÌ Ò
Ø Î
→
− −
−
→
a , b ,→
c ØÙ
Ú
Ø
¸Ø
−
→ −
→ →
−
→
a + b = b +−
a ´Ø Ò
Ø
Ó ÓôÒµ
−
→
−
→ →
→
→
→
(−
a + b )+−
c =−
a +( b +−
c ) ´Ø Ò
Ø
−
→ −
→ → −
−
→
a + 0 = 0 +−
a =→
a ´Ø Ò
Ø
Ú
Ø
È Ô ØÖ
µ
Ò
µ
Ò
º
−
→
−
→
a Úñ b º Ì
→
−
→ −
Ù a − b º
Ó
Ñ Ø Ú
Ø
Ò
Ú
Ø
Ò
Ú
º
ÕÙÝ
µÌ Ò
Ò µ.
¹
Ù
Ú
Ø
−
→
a Úñ
Ñ Ø× º
−
→
→
→
k = 0 Úñ Ú
Ø −
a = 0 º Ì
Ú
Ø −
a Ú
−
→
−
→
Ù Ðñ k a ¸
Ò
Ò Ú
a Ò Ùk >0¸Ò
−
→
ñ ÷Ò |k|| a | º
Ó×
k Ðñ Ñ Ø Ú
Ø ¸
−
→
Ú
a Ò Ù k < 0 Úñ
Ì
Ôµ
Ú
Ø º
−
→
−
→
→
a + (− b )¸
b Ðñ Ú
Ø −
−→ −→ −−→
µ ÉÙÝ Øú
º AC − AB = BC.
Ì
Ø
×
Ò
−
→ −
→ −
→
→
0−
a = 0¸k0 = 0º
غ
Ó
Ú
Ø
−
→
−
→
a Úñ b
Ø
¸ Ú
Ñ
×
Ø
h Úñ k
Ø
Ú
Ò
−
→
−
→
→
→
• k(−
a + b ) = k−
a +k b
→
→
→
• (h + k)−
a = h−
a + k−
a
→
→
• h(k −
a ) = (hk −
a)
→
→
→
→
• 1−
a =−
a , (−1)−
a = −−
a
Ì
Ú
µ
Ò
Ò
Ò
−
→
−
→
a Úñ b Ðñ Ñ
Ú
Ø º
º
−
→
−
→
a Úñ b
→
−
→−
Ù Ðñ a . b ¸
Ó
ô
Ú
Ø
Ú
Ø
Ø× ¸
Üô
Ò
−
→
0 º
Ì
Ò
Ø
× Ù
−
→
−
→
−
→
−
→
→
→
a . b = |−
a |.| b |. cos(−
a, b)
Ã
−
→
−
→
a = b Ø
Ø
Ú
Ò
−
→
→
a .−
a
Ù Ðñ
−
→
a2
Úñ ×
ÒñÝ
éủ
ề
ễ
ề
ề
ỉ
a á
ề
ỉ
a 2 = |
a |.|
a |. cos 0 = |
a |2 .
àè ề
ỉ ẻ
a , b ,
c
ỉ
ỉ
ủ ẹ
a . b = b .
a ỉ ề
ỉ
ể ểụềà
a .( b +
c)=
a.b +
a .
c ỉ ề
ỉễ
ì
kỉ
ềễ
à
(k
a ). b = k(
a.b)=
a .(k b )
àặ
ề ĩ ỉ è
ụ
ỉ ề
ỉ
ỉ
ề áỉ
ề
ẹ ề
1
1
a . b = [(
a + b )2 (
a b )2] = (|
a + b |2 |
a b |2 )
4
4
1
MA.MB = (MA2 + MB 2 AB 2)
2
AB.CD = AB.C1D1
C1 , D1 é
ềé
ỉ éủ
ề
C, D ỉệ
ề
AB à
D
C
C1
ắ
à
D1
a
B
ẹ
ẹ ỉ
ểừề ỉ ứề
ỉ
ểỉ
ì
ể ỉệ
OA k OB
MA = k MB OM =
(k = 1)
1k
ẵẳ
a
B
µ
Ó Ø Ñ
ÓõÒ
BC
¿º
Ø
C
M
M Ðñ Ñ Ø
Ñ ØÖ Ò
õÒ BC º Ã
MB
ÓØ × k =−
¸ Ó
MC
−→ MB −→
−−→ AB + MC AC
MC −→ MB −→
=
AM =
.AB +
.AC.
MB
BC
BC
1+
MC
ô
ABC ¸
M
Úñ
º
½º
−
→
−
→
a Úñ b º Ã
−
→
→
|−
a | + | b | º øÒ Ø
−
→
→
||−
a | − | b || º øÒ
Ó
Ú
Ø
−
→
→
|−
a + b|
→
−
→ −
µ |a − b |
µ
Ò
µ
→ −−→
−→ −
−
→
a = AB ¸ b = BC Ø
Î
Ñ
µ
Ø
AC
AB + BC ¸ ×ÙÝ Ö
ÜòÝ Ö
Ñ
Ø
¾º Î
Ì
A, B, C
−
→ −→
−
→
a + b = AC º
⇔ A, B, C Ø øÒ ñÒ Ø Ó Ø
→ −→
−
→ −−
→
−
→ −→ −
−
→
Ø a = AB, b = AC Ø
a − b = CB º
Ø
Î
øÒ
Ø
Ñ Ò º
Ø
øÒ
−
→
→
⇔−
a ↑↑ b º
−
→
−
→
ÜòÝ Ö ⇔ a ↑↓ b º
ÜòÝ Ö
A, B, C ¸ Ø
ÜòÝ Ö
Ñ
Ø Ú Ý¸ Ø
CB
⇔ A, B, C
Ú
Ø
ñÒ
−
→
a ¸Ø
Ô
Ѻ
Ø
|AB − AC| ¸ ×ÙÝ Ö
Ø øÒ
ñÒ
−
→
a2
0º
ÙÔ ò
½½
Ò
Úñ
−
→
→
⇔−
a ↑↑ b º
Ô
Ѻ
−
→
→
A ∈ [BC] ⇔ −
a ↑↓ b º
øÒ
Ø
Ñ Ò ¸Ú
ÜòÝ Ö
−
→
→
⇔−
a = 0.
−
→
→
a 2 = |−
a |2 .
−
→
→
→
⇔ |−
a|=0⇔−
a = 0.
−
→
−
→
a Úñ b º Ã
¿º
Ó
Ú
Ø
→
−
→
−
→
−
→−
→
→
|−
a |.| b | º øÒ Ø
ÜòÝ Ö ⇔ −
a ↑↑ b º
µ a . b
→
−
→
−
→
−
→−
→
→
µ a . b
−|−
a |.| b | º øÒ Ø
ÜòÝ Ö ⇔ −
a ↑↓ b º
øÒ
Ø
Ò
µ Ì
ÜòÝ Ö
Ñ Ò º
−
→
−
→
→
−
−
→
→
→
a . b = |−
a |.| b |. cos(−
a, b)
Ô
Ѻ
øÒ
Ø
µÌ
Ö
Ø
ô
º½
Ò
Ø
ÜòÝ Ö
ÒØ
Ì ÑØ
Ð
Úñ
× Ó
Ó
1
¸ Ò Ò ×ÙÝ Ö
−
→
→
−
−
→
→
→
→
⇔ cos(−
a , b ) = 1 ⇔ (−
a, b)=0⇔−
a ↑↑ b º
→
−
−
→
−
→
→
−
→
−
→
→
→
a , b ) −1 ¸ Ò
a . b = |−
a |.| b |. cos(−
a , b ) Úñ cos(−
Ô
Ѻ
º
−
→
→
cos(−
a, b)
ÜòÝ Ö
Ò
øÒ
Úñ
−
→
→
−
−
→
→
→
→
⇔ cos(−
a , b ) = −1 ⇔ (−
a, b)=π⇔−
a ↑↓ b º
ØÖ º
Ò
Ò ×ÙÝ
Ѻ
Ò
º
Ó
n
Ñ
A1 , A2, . . . , An Úñ n ×
α1 + α2 + . . . + αn = 0º Ã
Ø Ò Øõ
ÙÝ Ò
Ø
Ø
Ñ
I
α1 , α2 , . . . , αn
Ø
ÑóÒ
−−→
−−→
−−→ −
→
α1 .IA1 + α2 .IA2 + . . . + αn .IAn = 0
Ñ
ô
×
Ò
Ì
I
Ò
Ú Ý
Ðñ Ø Ñ Ø
n
{α1 , α2 , . . . , αn}º
Ñ
{A1, A2, . . . , An}
Ñ Ò º
−−→
−−→
−−→ −
→
α1 .IA1 + α2 .IA2 + . . . + αn .IAn = 0
½¾
úÒ Ú
1 .IA1 + 2 .(IA1 + A1A2 ) + . . . + n .(IA1 + A1 An) = 0
(1 + 2 + . . . + n ).IA1 = 2 .A2A1 + 3 .A3A1 + . . . + n .An A1
2 .A2A1 + 3 .A3A1 + . . . + n .AnA1
IA1 =
, ( ể 1 + 2 + . . . + n = 0.)
1 + 2 + . . . + n
è
ỉ
ề
ìí ệ
ẹ
I
ĩụ
ề
ủ ỉ ề ỉừ
ủ
í ề
í ề
ỉ
ãè ẹỉ
ãè
ỉ
ụ
dỉ
ề
ể
2IB
ỉ
ề
ẹỉ ẹỉ
AB = 3a
ủ
ềủí
ẹ
ề
MA2 + 2MB 2 è ẹ
ề ỉ
ỉ
ữề
ụ
ề
ũ
ì
ểừề ỉ ứề
é ễỉ ề
ũ èệ
ẹ
ụ ề
ừềá ĩ ỉ
ỉ
ẹ éủ
ì
ứề
ẻ
ĩụ
ề
I
ỉ
d
ề
ẹ
I
ụ ỉệ ề
ì ể
ể
A ủ B á
ềữẹ
d
ỉ ứề
ề
ỉ
ẻ
ẹ
ẹ
ỉ
M
IA + 2IB = 0 IA =
ề
IA = 2a, IB = a.
ỉ
M
H
I
A
è
B
MA2 + 2MB 2 = (MI + IA)2 + 2(MI + IB)2 = 3MI 2 + 6a2
h éủ
ểũề
ụ
ỉ
ẹ
I
ề
ề
MA2 + 2MB 2
ứề
ẻ í
ắ
ắẵ
ỉ
ĩũí ệ
M
éủ
ề
ỉ ứề
dỉ
3h2 + 6a2
ề
ể
ỉ
I
ĩ ề
ề
ỉ ứề
ỉệểề
ẹ ỉ ễ ứề
d
min(MA2 + 2MB 2 ) = 3h2 + 6a2
ỉì
ẹ
ểỉ ẹ
ỉ ỉệểề
ụ
ABC
ủ
ỉ ẹ
M
ẵ
éủ
ụ
ẹ
ỉ
ỉ ẹ
ụ
ỉ
àặ
Sa = S(MBC), Sb = S(MCA), Sc = S(MAB)
M
àặ
ề
M
ABC ỉ
Sa .MA + Sb.MB + Sc .MC = 0
ềữẹ ỉệểề
ỉ ẹ
ụ
Mỉ
Sa .MA Sb.MB Sc .MC = 0
ềữẹ ề ểủ ỉ ẹ
ụ
á
ứề
ừề
BAC
ỉ
ẹ ề
C
D
B1
E
C1
M
A
B
à èệ ề
ụ
ỉ
éủ
ề
ề
MA, MB é í
ụ
MC = MD + ME
ụ
ỉ
ủề
B1 , C 1 é
ềé
ỉ éủ
B1 BM C1 CD
ề
àề ề
ẹ
D, E
B, C ỉệ ề AM á ỉ
DC
CC1
Sb
ME
=
=
=
MB
MB
BB1
Sc
Sb
ME = .MB
Sc
Sa
ề ỉ MD =
.MA
Sc
Sb Sa
í MC =
.MB .MA á
Sc
Sc
ì ể
ể
ỉ
MDCE
í
ể
è
ẻ
à
ề
ẹ ề
ắắ ỉ ì
à èệ ề
ủề
ỉ
ẹ
ỉ
ề
ẹ
í
ỉ
ỉ ỉệểề
ỉ ẹá ỉệ
ỉ ẹá ỉ ẹ
ễỉ ẹ
G éủ ỉệ
Sa .MA + Sb.MB + Sc .MC = 0
ỉ ẹ
ề
ụ
ỉệ ề ề
ụ
ề
ỉ ẹ
ABC
ủ
GA + GB + GC = 0 .
ỉ ẹ
ụ
ẵ
ỉ
ễá ề ểừ ỉ
ễ ủ
•
H
Ñ
Ðñ ØÖ
Ø Ñ
Ø Ñ
ô
Ò
Ò
ABC
Úñ
−−→
−−→
−−→ −
→
tan A.HA + tan B.HB + tan C.HC = 0 .
•
I
Ñ
Ðñ Ø Ñ
Ò
ØÖ Ò Ò
Ø
ÔØ Ñ
ABC
ô
Úñ
−
→
−→
−
→ −
→
a.IA + b.IB + c.IC = 0 .
•
O Ðñ Ø
Ñ
Ñ
Ò
ØÖ Ò Ò Óõ Ø
ÔØ Ñ
ô
Ò
Ò
ABC
Úñ
−→
−
−→
−→ −
→
sin 2A.OA + sin 2B.OB + sin 2C.OC = 0 .
•
Ñ
•
•
Ø
Ô
A
Ø Ñ
ô
ABC
Úñ
Ñ
Ib Ðñ Ø Ñ
Ò ØÖ Ò ñÒ Ø
−→
−
−
→
−→ −
→
a.IbA − b.IbB + c.IbC = 0 .
Ô
B
Ø Ñ
ô
ABC
Úñ
Ñ
Ic Ðñ Ø Ñ
Ò ØÖ Ò ñÒ Ø
−→
−
−
→
−→ −
→
a.Ic A + b.IcB − c.IcC = 0 .
Ô
C
Ø Ñ
ô
ABC
Úñ
Ia
Ðñ Ø Ñ
ñÒ
Ñ Ò º
ôÔ
Ò
ØÖ Ò
ØÖ
Ø Ñ¸ Ø Ñ
ô
Ø
ØÖ Ò
−−→
−−→
−−→ −
→
−a.Ia A + b.IaB + c.IaC = 0 .
Ò
´⇒ µ
Ò
Ø Ù
Ò ØÖ Ò Ò
ÙÔ ò
÷Ò
Ø
Ò
⇐µ
ÙÒ
Ðõ
Ø
−
→
−→
−→ −
→
Ù a.IA + b.IB + c.IC = 0 Ø
I ′ Ðñ Ø Ñ
Ò
−→
−
→
−
→
−
→
a.I ′ A + b.I ′B + c.I ′ C = 0 . Ã
Ì
Ð ÒÐ
Ô¸ Ò Óõ Ø
´
Ò
ô
Ø Ú Ý¸
Ø
Ó
Ô¸
M
ñÒ Ø
ØÖ Ò
Ú
A¸ B ¸
Ô
I′ ≡ Iº Î
µ
Ý
I
Ðñ Ø Ñ
Ò
Ø Ñ¸
C
Ø Ñ
Ñ Ò º
Ò
I
Ñ Ò
Ø
Ðñ Ø Ñ
ØÖ Ò Ò
Ø
Ø
Ò
Ø
Ò
Ò
Ò
ØÖ Ò Ò
ÔØ Ñ
ô
Ù¸
øÒ
Ø
ABC
Ô
Ø
ØÖ Ò Ò
Ñ Ä ÑÓ Òº
½
Ø
Ôº
õÒ
△ABC.
−→ −
−→ −→
−→ −→
→
−
→
a.(I ′ A − IA) + b.(I ′B − IB) + c.(I ′C − IC) = 0
−
→ −
→
⇔(a + b + c)I ′ I = 0 .
Ó
ØÖ Ò
A
L
Ò
Ñ
Ò
Ø
Ì Ò
ÓØ
Ò
AA1, BB1, CC1
AA1, BB1, CC1
Ø
Ò
Ø
غ
Ðñ
Ò
Ò
× Ó
Ðñ
ô
Ò
ÕÙÝ Øõ Ñ Ø
Ó Ø Ñ
ô
ØÖÙÒ µº Ã
Ñ
L
ABC ¸ L Ðñ
L ØÖ
Ù
C
M
BC, CA, AB
Ø Ñ ô
ABC Ð Ý
ô
AC1
b2 BA1
c2 CB1
a2
Ó
= 2,
= 2,
= 2 ´
ô
C1 B
a A1 C
b B1 A
c
º ÌÖ Ò
ô
õÒ
A 1 , B1 , C 1
Ò
D
M’
B
Ò
Ñ ØÖÓÒ
ô
ABC
Úñ
L Ðñ ØÖ
−
→
−
→
−
→
−
→
a2 LA + b2 LB + c2 LC = 0 º
Ò
Ø Ñ
Ò
Ø øÒ
Ñ Ä ÑÓ Ò º
Ø Ñ
BC, CA, AB. Ã
Ø Ñ
Ðñ
ô
ô
º
L Ðñ
Ø Ñ
ô
H, K, N
Ñ Ä ¹ÑÓ Ò
HKN
Úñ
A
K
N
L
Ò
Ñ Ò º
−
→
−
−
e1 , →
e2 , →
e3 Ð
Ò
C
H
B
Ò
Ö
Ô
ÒÐ
Ø Ðñ
ô
Ú
Ø
Ò Óñ Ø Ñ
ô
Ò Ú ÚÙ Ò
ABC º
½
Ú
ô
õÒ
BC, CA, AB
Sa , Sb , Sc é
2
ề ẹ ề
2
2
ềé
ỉ éủ
L
ềỉ
éủ
ụ
ỉ ẹ
ẹ ạẹể ề
ụ
ỉ ẹ
LBC, LCA, LAB
ABC
ụ
ủ
a
b
c
=
= .
Sa
Sb
Sc
ỉ
ể
ụ
á ỉ
Lỉ
ể
ẹ
a.
e1 + b.
e2 + c.
e3 = 0 ìí ệ
a
b
c
.LH +
.LK +
.LN = 0 .
LH
LK
LN
ề ỉệểề ỉ ẹ ụ
ABC ề ề ỉ
Sa .LA + Sb.LB + Sc .LC = 0
ề
é
ểề ề
ẹá ỉ
ể í
a2 LA + b2 LB + c2 LC = 0
a2
b2
c2
=
=
Sa
Sb
Sc
2
2a
2b2
2c2
=
=
a.LH
b.LK
a.LN
a
b
c
=
=
LH
LK
LN
LH + LK + LN = 0
L éủ ỉệ
ể
ìí ệ
à
ụ
à
í ề
ỉ
1200
ẹ
CC1
ề
ếí ỉừ ẹ ỉ
à
ẹ ặ
ĩ
ụ
ừề
ề ỉ ứề
ụ
ẹ
T
T
ề
ẹ
ềé
ề
ỉ ẹ
ề
ẹ
í
ỉ ỉừ
ỉ
ề
éủ
ỉệ ề ề
ề
ụ
BC, CA, AB ỉ
HKN.
ỉ
éủ
ề
ễỉ ẹ
ẹ
ỉệ ề
ề
ề
ẵ
0
ề 120
ề
ề
ụ
ừề
ụ
BC, CA, AB
ỉ ẹ
ABC
ụ
ỉ
ụ
ABC
ễĩ
ụ
ề ỉ ứề
AA1, BB1,
ỉ ẹ
ABC
ệ ểề
ủề
ỉ
ỉừ
ụ
ề ếí ỉừ ẹ ỉ
ẹ èểệ
éé
A 1 , B1 , C 1
J
AA1, BB1, CC1
ụ
ụ
ABC
ụ
ỉ ề
ề
ỉ ẹ
ẹ ề
ểỉ ẹ
ệ ểề
BC, CA, AB é
ừề
ễ ũ
ẹ èểệ
éé
ỉ ề ỉừ
ề
ễ
ẹ
ụ
A 1 , B1 , C 1
ẹN
éủ
ẹặ
ỉ
ễ
ụ
ề
½º Ì Ñ
ØÖ Ò
Î
½º½º
Ó Ø Ñ
(O) ×
Ø Ù
ôÒ
ô
ô
Ò
Ó
Ó
Ù Ø
Ò
ñ Ú
Ø
ABC
× Ù
Ò
õØ
Ø
Ô
Ò
ô ØÖ Ð Ò Ò
ØÖ Ò
(O)º
ظ Ò
Ò
Ì Ñ
Ñ
M
Ø
−−→ −−→ −−→
T = |MA + MB − MC|.
ò º
A
I
M2
O
M1
C
B
M
I
Ðñ
Ò
Ø
Ø
Ò
Ò
ñÒ
ACBI ¸ Ø
−
→ −→ −→ −
→
IA + IB − IC = 0 .
Ã
−−→ −−→ −−→
−
−
→ −
→
−
−
→ −→
−
−
→ −→
MA + MB − MC = (MI + IA) + (MI + IB) − (MI + IC
−
−→ −
→ −→ −
→
= MI + IA + IB − IC
−
−→
= MI
Æ
Ú Ý
M1 Ðñ
Ì
T
Ó
Ò
Ø
Ð ÒÒ
Ò
(O)¸ M2 Ø
ØÖ Ò
Æ
Ú
Ø⇔
Ò
Ù
−−
→
⇔ |MI| Ð
ÓõÒ
Ò
ÒÒ
ØÖ Ò
Ø
⇔ MI
Ð ÒÒ
(O)¸ M1 Ò÷Ñ Ò
M ≡ M2 º Î M2 Ðñ
Ó
⇔ M ≡ M1 º Î
Ø
Óñ
Ñ
ÓõÒ
OI º
OI Ú
OI º
Ò Ü Øº
µÎ Ø Ñ
µ
OI
Ñ
T
Ø
ô
ABC
ñ ØÓôÒ Ø Ò
Ò
ÒÒ Ò
I
ÐÙ Ò Ò÷Ñ Ò Óñ
ÕÙôغ
½
Ò
ØÖ Ò
(O)º
Ò
ñ
½º
Ó Ø Ñ
ô
Ò
ABC
Ò
α + β + γ = 0º Ì Ñ
−−→
−−→
β.MB + γ.MC| Ð Ò Ò Ø¸ Ò
× Ó
Ó
ò º
Á Ðñ Ø Ñ Ø
Ò
Ø
Ñ
Ò
Ô
Ò
ØÖ Ò
M
Ø Ù
(O)
Ñ
A, B, C
(O) Úñ
× Ó
Ó
α, β, γ
−−→
T = |α.MA +
ô
×
Ø
Ò
Ú
ô
α, β, γ Ø
×
−−→
−−→
−−→
−−
→ −
→
−
−
→ −→
−
−
→ −→
α.MA + β.MB + γ.MC = α(MI + IA) + β(MI + IB) + γ(MI + IC
−
−
→
−
→
−→
−
→
= (α + β + γ)MI + αIA + β IB + γ IC
−
−
→
= (α + β + γ)MI
T = |(α + β + γ)|.MI
Ó
M1 , M2 Ð
ÒÐ
Ø Ðñ
OI Ú
Ó
Ò ØÖ Ò (O, R)¸ ØÖÓÒ
IM1
IM2 Ø
T
Ð ÒÒ
T
Ò
Î
Ó
Ø
Ò
Ø
½º¾º
Ò
Ò
Ñ
ÓõÒ
M ≡ M1 º
Úñ
M ≡ M2 º
Úñ
Ó
Ò
ØÖ Ò
Ø øÒ
AB
Ò
M
CM
Ø
ÑóÒ
ñ Ò
(O, R) Úñ
úØ
Ù
Ò
Ñ Ô
Ò
(O, R)º ÌÖ Ò
Ò ØÖ
−−→ −→ −−
→
Ò CM = CA + CB º Ì
ظ Ð Ò Ò
غ
ò º
C1
C
O
C2
A
B
I
M
½
Ø
Ò
A, B
Ð Ý
Ñ Ú ØÖ
Ò
Ñ
× Ó
C
Ñ
Úñ
C
I
Ðñ ØÖÙÒ
Ã
Ù
C1 , C2 Ðñ
ô
IC1
Úñ
Ó
Î
AB
Ñ
Ø
Ó
IC
C
Ø
IC2º
CM
Î Ý
Î
Ò
IC
ô
IC
Ó
Ò
Ñ
Ø Ù
(O)¸ Ø
IC + CO
Å Ø
Úñ
Ò
−−→
−→
CM = 2CI º
OI
Ø øÒ
Ú
Ò
ØÖ Ò
(O)
IC2º
Ñ
Ó
I
′′
Ù
IO = OC2 + IC2
=′′ ÜòÝ Ö ⇔ C ≡ C2 º
IO + OC = IO + OC1 = IC1 º
IC1º
Ù
′′
Ò
Ø
⇔ C ≡ C2 ¸ CM
½º¿º
Ò
=′′ ÜòÝ Ö ⇔ C ≡ C1 º
Ó Ò
ØÖ Ò¸ Ø
Ò
Ð Ý
ô
Ñ
ØÖ Ò Ø Ñ
Ð ÒÒ
O¸
A, B, C
ô
Ø
⇔ C ≡ C1 º
Ò
Ò
M, N º
MN = 2º
Ò
Ñ Ò
ÌÖ Ò Ò
Ö÷Ò
−→ −−→ −→
|OA + OB + OC| > 1.
ò º
E
D
B
C
A
M
ò×
B
Ø Ù
ÙÒ
⌢
AC ¸
Ò
Ø Ó
OADC
õÒ
Î
AOC < 1800 Ò
Ò
Ì
Ø Ý
Ñ B Ø Ù
Ñ Ø ØÖÓÒ
−
−→ −−→ −−→
OE = OD + OB Ø OE Ðñ
Ò
ÜÙ Ø Ô ôØ Ø
Î Ý
Ò
Ò
N
O
Ò
÷Ò
−−→ −→ −−
→
OD = OA + OB Ø
OD Ðñ
Ò
Ó
1º
AOD = COD < 900.
Ò¸
Ó
Ò
º
ò×
Ó
OE > OB = 1º
−→ −−
→ −→
−−
→
|OA + OB + OC| = |OE| > 1º
¾¼
Ñ
Ò
Ò
B
Ø Ù
ñÒ
AOD ¸
OBED
Î
º
½º
Ø Ñ Ð Ò Ð
△ABC
ò ×
Ø Ðñ
G Úñ G′
Úñ
△A′ B ′ C ′
Ò º Ì Ñ
Ðñ
ô
Ø Ñ
ô ØÖ Ò
Ò
ô
Ø
Ý
Ø
¸
ØÖ Ò
Ø Ò
T = AA′ + BB ′ + CC ′
ò ºÎ
−→ −−
→ −→ −
→ −−→ −−→ −−→ −
→
GA + GB + GC = 0 Úñ G′ A′ + G′ B ′ + G′ C ′ = 0 Ò
Ò
−−→′ −−→′ −−→′
AA + BB + CC =
−→ −−→ −−→ −−
→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→
=AG + GG′ + G′ A′ + BG + GG′ + G′ B ′ + CG + GG′ + G′ C ′
−−→
−−→ −−→ −−→
−→ −−
→ −→
=3GG′ − (GA + GB + GC) + (G′ A′ + G′ B ′ + G′ C ′)
−−→
=3GG′
Ó
−−→
−−→
−−→
AA′ + BB ′ + CC ′ = |AA′ | + |BB ′ | + |CC ′|
−−→ −−→ −−→
|AA′ + BB ′ + CC ′|
−−→
= 3|GG′ | = 3GG′ .
øÒ
ÒñÝ Ø
Ø
⇔
ÜòÝ Ö
Ò
ô
Ú
Ø
¸
øÒ
−−→′ −−→′ −−→′
AA , BB , CC
õÒ Ô Ô Ø Ò
Ø
Î Ý
min(AA′ + BB ′ + CC ′) = 3GG′ º
Æ
Ò Ü Øº Ì
ô Ò
Ñ ØÖ Ò
Ò
Ø Ñ
Ò
Ò
´
øÒ
Ò
−→ (△ABC) = △(A′ B ′ C ′ ).
T−
GG′
ÓõÒ Ø øÒ ¸ Ø
ô
Ø
Ò
Ø Ñ
ô
º
• min(AA′ + BB ′ ) = 2GG′ .
• min(AA′ + BB ′ + CC ′ + DD′ ) = 4GG′ .
Î
½º
º
Ó Ø Ñ
ô
ABC
Úñ
M
Ðñ Ñ Ø
Ñ ØÖÓÒ
Sa = S(△MBC), Sb = S(△MCA), Sc = S(△MAB)º
Sa .MA, Sb.MB, Sc .MC
Ò
Ñ Ò º Ì
Ðñ
ñ
õÒ
Ñ Ø Ø Ñ
Ò
ô
º
−−→
−−→
−−→ −
→
Sa .MA + Sb.MB + Sc .MC = 0 Ò
−−→
−−→
−−→
Sa .MA + Sb .MB = −Sc .MC
¾½
Ò
Ñ Ò
Ø
Ö÷Ò
| Sc MC| = |Sa .MA + Sb .MB|
ể
Sc .MC Sa .MA + Sb .MB
í Sa .MAủ Sb .MB éủ
ụ
ỉ
ậí ệ
è ỉ
ỉệểề
ỉ
ặ
ứề
í
è
ề
ẻ í
ỉ
ỉệ ề
ề
ề ề ề
=
ĩũí ệ
Sa .MA < Sb .MB + Sc .MC, Sb .MB < Sc .MC + Sa .MA
ỉ
Sa .MA, Sb .MB, Sc.MC
ắ
ề
ề ễ
Sc .MC < Sa .MA + Sb .MB
ủ ỉ ễ ụễ
ủ
|Sa MA| + |Sb MB|
ủ
ừề
ẹ ỉỉ ẹ
ụ
ề
ểỉ ẹ
ẹ ỉ ỉ ẹ
éủ
ụ
ABC
ề
ẹ ề
ệữề
ma , mb , mc éủ
ủ
ừề
ụ
ũ
ụ
G éủ ỉệ
ẵ
M G
éủ
Sa = Sb = Sc
ủ
ụ
è
ừề
ỉ
ề
2
GC = mc éủ
3
àá ỉ
ẹ ỉỉ ẹ
G éủ ỉệ
ắ
ề
ề
ủ
ừề
ABC
ề
ụ
ẻ
ụ
ABC á ủ
é í
ẹ
ụ ỉệ ề
ể ỉ ẹ
M
ủ é ễ ỉ ề
ề
ỉệ ề
ề
GA + GB + GC = 0
2
2
GA = ma , GB = mb á
3
3
ỉ
ẹ ề
ẹ ỉỉ ẹ
ụề
ắẵ
ỉ ếũ
ụ
ỉ ẹ
ỉệ ềá ỉ
ề
2
2
2
GA = ma , GB = mb , GC = mc
3
3
3
ắ è ẹ
ỉệ ề
ụ
ABC á ụễ
ề ỉ ẹỉ ẹ
ễ
ụ
ề
ề
ỉ ứề
3MA2 + 2MB 2 è
ỉ
ũ
ắắ
ề
d
ẹ ỉệ
ề
ẹ
ế
M
C èệ
ỉ ề
ề
d
ừỉ
d
c
M
A
ò×
Ì
I
Ðñ
B
I
−
→
−→ −
→
3IA + 2IB = 0 Ø
Ñ× Ó
Ó
I
Ðñ
Ñ
Ò º
−
−→ −
→
−
−
→ −→
3MA2 + 2MB 2 = 3(MI + IA)2 + 2(MI + IB)2
= 5MI 2 + 3IA2 + 2IB 2
3MA2 + 2MB 2
Ó
Ø
Ò
Ò Ú
Î Ý
Ò
Î
ô
¾º¾º
Ø Ò
ò ºÌ
Ò
IMC = 900¸ Ø
3MA2 + 2MB 2
ØÖ Ò
Ò
Ò
ÌÖÓÒ
Ò
Ñ
Ò
IC
Ø
⇔ MI
Ò
Ò
Ðñ M Ø Ù
Ò
Ø
Ø
⇔ MI ⊥ d¸
Ò ØÖ Ò (C)
M
Úñ
Ðñ
Ó
Ò
Ñ
Ù ÒñÝ
IC º
Ò
d
Ú
º
Ø Ñ
ô
T = a2 + b2 + c2 Ð
ABC
Ò Ò
Ò
Ø
Ô
Ò
ØÖ Ò
(O, R)¸
Ø Ñ Ø Ñ
Ø
−−→
−→
−→
T = BC 2 + CA2 + AB 2
−→ −−→
−→ −→
−−→ −→
= (OC − OB)2 + (OA − OC)2 + (OB − OA)2
−→ −−→ −→ −→ −−→ −→
= 6R2 − 2(OC.OB + OA.OC + OB.OA)
−→ −−→ −→
= 9R2 − (OA + OB + OC)2 = 9R2 − 9OG2
Î
OG2
0Ò
Ò ×ÙÝ Ö
T
9R2º
øÒ
Ø
ÜòÝ Ö
¾¿
⇔ O ≡ G ⇔ ABC
Ðñ Ø Ñ
ô
Ùº
Î Ý ØÖÓÒ
ÑóÒ
Ø Ø
ò
ô
Ø Ñ
ABC Ò
¿º
ô
ÌÖÓÒ
Ô
(O, R) Ø
Ø Ñ
ô
ÙØ
Ò º
Ñ
Ø Ñ
ô
ABC
T = a+b+cÐ
Ø Ò
ò º
ôÔ
Ò
Ø
øÒ
ô
Ø Ò
Ò
Ñ
Ò
Ò
ô
Ò
Ø
ABC
ô
(O, R)¸
ØÖ Ò
óÝ Ø Ñ Ø Ñ
√
√
27R2 = 3 3R.
3(a2 + b2 + c2 )
Ø Ñ
Ô
Ô
Ø
ÜòÝ Ö
√
= 3 3R ⇔ △ABC
Î Ý Ñ ÜT
º ÌÖÓÒ
Ø
º ºË¸ Ø
øÒ
ñ
Ò
Ò Ò
Ø
a+b+c
Ðñ Ò
Ø
ñ ØÓôÒº
ñ Ø Ô ôÔ
ñ
ô
⇔ a = b = c ⇔ △ABC
Ùº
Ùº
Ò
Ø
ÓòÒ
Ô
ô
Ò
Ø
(O, R)¸
ØÖ Ò
Ø Ñ
Ò
ØÖ Ò
óÝ Ø Ñ Ø Ñ
Ò
ô
õÒ
غ
ò º
a
dc R
db
O
da
B
da , db , dc
Ð Ò Ð
BC, CA, AB
d2a
+
Ø Ñ
d2b
+
d2c
C
Ø Ðñ
ô
ÓòÒ
ABC º Ì
ô
Ø
Ø Ñ
Ò
ØÖ Ò
a2
b2
c2
2
2
= R −
+ R −
+ R −
4
4
4
1
= 3R2 − (a2 + b2 + c2 )
4
1
3R2
2
2
3R − .9R =
.
4
4
2
¾
Ò
ô
õÒ
øÒ
Î Ý
min(d2a + d2b + d2c ) =
ñ ØÓôÒ Ø Ò
ñ
Ú
Ñ
×
3R
⇔ △ABC
4
ô
ABC
Ø
Ò
α, β, γ ¸ Ø
2
2
2
Ò
Ø
αa + βb + γc
Ò
ÜòÝ Ö
⇔ △ABC
Ùº
Ùº
ÕÙôغ
Ó Ø Ñ
º
Ø
2
Ñ Ò º Ì
Ô
Ò
Ø
øÒ
ØÖ Ò
Ø
(O, R)º
Ò
Ñ Ò
Ö÷Ò
(αβ + βγ + γα)2 2
.R
αβγ
−−→
−→
−→
αa2 + βb2 + γc2 = αBC 2 + β CA2 + γ AB 2
−→ −−→
−→ −→
−
−→ −→
= α(OC − OB)2 + β(OA − OC)2 + γ(OB − OA)2
−→ −−
→
−→ −→
−−
→ −→
= 2(α + β + γ)R2 − 2(αOC.OB + β OA.OC + γ OB.OA)
−→ −
−→ −→ −→ −→ −−→
OC.OB OA.OC OA.OB
2
= 2(α + β + γ)R − 2αβγ
+
+
βγ
αγ
αβ
−
→
−
−
→
−
→
(αβ + βγ + γα)2 2
OA OB OC 2
=
.R − αβγ
+
+
αβγ
α
β
γ
(αβ + βγ + γα)2 2
.R
αβγ
Å Ø
Ø
ô
Ø
ÜòÝ Ö
Î
Ò
Ò
¾º¿º
Ø
Ðõ
−→ −−
→ −→
OA OB OC −
→
øÒ Ø
ÜòÝ Ö ⇔
+
+
= 0
α
β
γ
−→
−−
→
−→ −
→
sin 2A.OA + sin 2B.OB + sin 2C.OC = 0 Ò Ò øÒ
⇔ α. sin 2A = β. sin 2B = γ. sin 2C.
Ó
Ñ
Ù Ø
M
Ò÷Ñ ØÖÓÒ
Ñ Ø Ô øÒ
Ø Ñ
T = MA2 + MB 2 + MC 2 .
¾
ô
ABC º
Ì Ñ
ô ØÖ
G Ðñ ØÖ
ò º
Ò
Ø Ñ
△ABC ¸ Ø
−−→ −→
−−→ −−→
−−→ −→
T = (MG + GA)2 + (MG + GB)2 + (MG + GC)2
−−→ −→ −−→ −→
= 3MG2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + 2MG.(GA + GB + GC)
−→ −−
→ −→ −
1
→
= 3MG2 + (a2 + b2 + c2 ) ( Ó GA + GB + GC = 0 )
3
1 2
(a + b2 + c2 ).
3
øÒ
ñ ØÓôÒ Ø Ò
º
α, β, γ
ÜòÝ Ö
1
min T = (a2 + b2 + c2 ) ⇔ M ≡ G.
3
Î Ý
ñ
Ø
Ó
Ø
ÕÙôغ
Ñ
ÑóÒ
⇔ M ≡ G.
M
Ò÷Ñ ØÖÓÒ
Ñ Ø Ô øÒ
α + β + γ > 0. Ì
Ñ
Ø Ñ
ô ØÖ Ò
ô
Ò
ABC
Ø
Úñ
ô
×
Ù Ø
Ø
Ø
T = αMA2 + βMB 2 + γMC 2.
ñ
º
α, β, γ
Ó
Ø
Ñ
ÑóÒ
M
Ò÷Ñ ØÖÓÒ
Ñ Ø Ô øÒ
α + β + γ < 0.Ì
Ñ
Ø Ñ
ô
ô ØÖ Ð Ò Ò
Ø
ABC
Úñ
ô
×
Ù Ø
T = αMA2 + βMB 2 + γMC 2.
ò ºÎ
Ã
Ø
−
→
−→
−
→ −
→
α + β + γ = 0 Ø ∃!I × Ó
Ó α.IA + β.IB + γ.IC = 0 º
−
→
−→
−
→
(α.IA + β.IB + γ.IC)2 = 0
À Ý
−
→ −→
−→ −→
−
→−
→
α.IA2 + β.IB 2 + γ.IC 2 + 2αβ IA.IB + 2βγ IB.IC + 2γαIC.IA = 0
⇔α.IA2 + β.IB 2 + γ.IC 2 + 2αβ(IA2 + IB 2 − AB 2 )+
2βγ(IB 2 + IC 2 − BC 2) + 2γα(IC 2 + IA2 − CA2) = 0
⇔(α + β + γ)(α.IA2 + β.IB 2 + γ.IC 2) = αβc2 + βγa2 + γαb2
αβc2 + βγa2 + γαb2
⇔α.IA + β.IB + γ.IC =
.
α+β +γ
2
2
2
¾
