Phương pháp tuyến tính hoá trong giải tích phi tuyến

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS Nguyễn Bích Huy
và TS. Trần Đình Thanh vì đã giành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tôi trong
suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy cô Ban lãnh đạo và quí thầy cô Khoa
Toán, phòng sau đại học, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh vì sự giảng dạy
nhiệt tình và những kiến thức quí báo mà các thầy đã truyền đạt cũng như luôn tạo mọi
điều kiện để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên
tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................1
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...............................................................2
1.1. Đạo hàm của ánh xạ ..............................................................................................2
1.2. Ánh xạ Nemytscki ...............................................................................................11
1.3. Đạo hàm bậc cao .................................................................................................14
Chƣơng 2. ĐỊNH LÍ HÀM ẨN VÀ PHƢƠNG PHÁP LIÊN TỤC ........................20
2.1. Định lí hàm ẩn .....................................................................................................20
2.2. Định lí hàm ngược. Định lí ánh xạ mở ...............................................................23
2.3. Phương pháp liên tục. Định lí hàm ẩn toàn cục ..................................................27
Chƣơng 3. PHÉP CHIẾU LYAPUNOV-SCHMIDT ...............................................32
3.1. Sự phân nhánh .....................................................................................................32
3.2. Phép chiếu Lyapunov-Schmidt. Định lí Crandale-Rabinowitz...........................35
3.3. Ứng dụng cho thanh dẻo Euler ...........................................................................40
Chƣơng 4. ĐỊNH LÍ HÀM ẨN TRONG THANG KHÔNG GIAN ........................43
4.1. Bài toán về mẫu số nhỏ .......................................................................................43
4.2. Định lí hàm ẩn .....................................................................................................48
KẾT LUẬN ..................................................................................................................54

1

LỜI NÓI ĐẦU
Trong giải tích hàm, các phương trình với ánh xạ tuyến tính đã được nghiên cứu
đầy đủ nhờ các lí thuyết của Fredholm, Riesz, Hilbert-Schmidt. Chúng tìm được
những ứng dụng rộng rãi trong Vật lí, kinh tế,… Tuy nhiên, phần lớn các hiện tượng
của tự nhiên và xã hội lại được mô tả bằng các phương trình với ánh xạ phi tuyến. Để
khảo sát các phương trình này, đã hình thành bộ môn giải tích phi tuyến với các
phương pháp nghiên cứu khác nhau.
Phương pháp tự nhiên nhất và được sử dụng sớm nhất để nghiên cứu các phương
trình phi tuyến là phương pháp tuyến tính hóa. Nội dung của phương pháp này là thay
các phương trình phi tuyến bằng các phương trình tuyến tính gần với nó theo một
nghĩa nào đó. Tùy theo từng lớp phương trình phi tuyến và yêu cầu đặt ra khi nghiên
cứu chúng mà cách chọn các phương trình phi tuyến tương ứng có thể khác nhau. Do
đó các kĩ thuật trong phương pháp tuyến tính hóa cũng rất đa dạng.
Luận văn giới thiệu một cách hệ thống và chi tiết phương pháp tuyến tính hóa
trong nghiên cứu các phương trình phi tuyến với các kĩ thuật khác nhau như: sử dụng
định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược địa phương và toàn cục, phép chiếu LiapunovSchmidt, phân nhánh địa phương và toàn cục, định lí hàm ẩn trong thang không
gian,…
Luận văn gồm bốn chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm các định nghĩa, tính chất của
hàm khả vi Frechet và khả vi Gateaux, và mối liên hệ giữa chúng, định nghĩa không
gian Sobolev, định nghĩa ánh xạ Nemytscki, định nghĩa hàm Caratheodory, định nghĩa
đạo hàm bậc cao, công thức Taylor.
Chương 2 giới thiệu định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược, định lí ánh xạ mở phương
pháp liên tục, định lí hàm ẩn toàn cục.
Chương 3 trình bày phép chiếu Lyapunov-Schmidt, định lí Crandale-Rabinowitz
và các ứng dụng vào bài toán điểm phân nhánh.

Chương 4 giới thiệu định lí hàm ẩn trong thang không gian và ứng dụng vào bài
toán mẫu số nhỏ.


2

Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Đạo hàm của ánh xạ
Cho X , Y , Z là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng . X , . Y , . Z . Cho

U  X là một tập mở và ánh xạ f :U  Y .
Định nghĩa 1.1.1 (Khả vi Frechet)
Cho x0 U , ta nói f là khả vi Frechet (hay F -khả vi) tại x0 nếu tồn tại A  L( X , Y )
sao cho

f  x   f  x0   A  x  x0  Y 

 xx 
0 X

(1.1)

Có nghĩa là

  0   0 x, x  x0

X

  : f  x   f  x0   A  x  x0  Y   x  x0 .

Đặt f   x   A và gọi là đạo hàm Frechet ( hay F - đạo hàm ) của f tại x0 .
Nếu f là F - khả vi tại mọi điểm x U và ánh xạ x

f   x  là ánh xạ từ U vào

L  X , Y  liên tục tại x0 , thì ta nói f khả vi liên tục tại x0 . Nếu f khả vi liên tục tại
mọi điểm x U thì ta nói f khả vi liên tục trên U và kí hiệu f  C1 U , Y  .
Dựa vào định nghĩa ta có các kết quả sau:
1. Nếu f là F - khả vi tại x0 thì f   x0  là duy nhất.
2. Nếu f là F - khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0 .
3. Giả sử U  X , V  Y là các tập mở và f là F - khả vi tại x0 , và g là F khả vi tại f  x0  , và
f
g
U 
V 
Z

Khi đó

g

f   x0   g   f  x0   f   x0  .


3

Chứng minh
1. Giả sử tồn tại A, B  L  X , Y  cùng thoả mãn (1.1) thì

A  x  x0   B  x  x0  Y  f  x   f  x0   A  x  x0  Y

 f  x   f  x0   B  x  x0  Y
 2 x  x0

X

Vậy A  B  2 .
Cho   0 ta được A  B  0 . Vậy A  B .
2. Nếu f khả vi tại x0 thì do f   x0   L  X ,Y  nên là liên tục. Do đó từ (1.1) ta
suy ra f liên tục tại x0 .
3. Theo giả thiết :

f  x   f  x0   f   x0  x  x0     x  x0 
trong đó

  x  x0  

 xx 
0

và

g  y   g  y0   g  y0  y  y0     y  y0 
trong đó

  y  y0  
Từ đó ta có

 y y 
0

4

g

f  x    g f  x0   g  f  x    g  f  x0  

 g   f  x0    f  x   f  x0      f  x   f  x0  

 g   f  x0    f   x0    x  x0     x  x0     f  x   f  x0  
 g   f  x0    f   x0  x  x0  

 g   f  x0     x  x0      f  x   f  x0   .

Nhưng
g   f  x0     x  x0    g   f  x0   .   x  x0  

 xx 
0

và

lim

  f  x   f  x0  

x  x0

 lim
x  x0

x  x0

 lim
x  x0

  f  x   f  x0   . f  x   f  x0 
f  x   f  x0  . x  x0

  f  x   f  x0    f   x0  x  x0    x  x0  

0
f  x   f  x0 
x  x0

Suy ra

g

f   x0   g   f  x0   f   x0  .

Định nghĩa 1.1.2 (Khả vi Gateaux)
Cho x0 U , ta nói f là khả vi Gateaux ( hay G -khả vi ) tại x0 nếu

h  X , df  x0 , h   Y sao cho
f  x0  th   f  x0   tdf  x0 , h  Y  (t ) khi t  0
với mọi x0  th U . Ta gọi df  x0 , h  là đạo hàm Gateaux (hay G- đạo hàm) của f tại
x0 .

Ta có

d
f  x0  th  |t 0  df  x0 , h  ,
dt
nếu f là G -khả vi tại x0 .


5

Theo định nghĩa ta có các kết quả sau:
1. Nếu f là G - khả vi tại x0 thì df  x0 , h  là duy nhất.
2. df  x0 , th   tdf  x0 , h  t 

1

.

3. Nếu f là G - khả vi tại x0 , thì h  X , y*  Y * , hàm   t   y* , f  x0  th 
khả vi tại t  0 , và   t   y* , df  x0  h  .
4. Giả sử f : U  Y là G - khả vi tại mọi điểm thuộc U , và đoạn

x

0

 th | t  0,1  U , thì
f  x0  h   f  x0  Y  sup df  x0  th, h  Y
0t 1

Chứng minh

Đặt

 y  t   y* , f  x0  th  t  0,1 , y*  Y *
*

Ta có

y* , f  x0  h   f  x0    y 1   y  0 
*

*

  y  t * 
*

 y* , df  x0  t *h, h 
với mọi t *   0,1 phụ thuộc vào y* . Kết quả suy ra từ định lí Hahn-Banch.
Định lí 1.1.3
Nếu f là F -khả vi tại x0 thì f là G -khả vi tại x0 , và

df  x0 , h   f   x0  h, h  X .
Chứng minh
Do f là F -khả vi tại x0 nên tồn tại A  L( X , Y ) sao cho

f  x   f  x0   A  x  x0  Y 
Nên

 xx 
0 X

6

f  x0  th   f  x0   tA  h  Y 

 th  khi t  0
X

Do đó f là G -khả vi tại x0 , và df  x0 , h   f   x0  h, h  X .
Chiều ngược lại của định lí thì không đúng, nhưng ta có:
Định lí 1.1.4
Giả sử f : U  Y là G -khả vi, và x U , A x   L  X ,Y  thỏa mãn

df  x, h   A x  h, h  X .
Nếu ánh xạ x

A x  liên tục tại x0 thì f là F -khả vi tại x0 , với f   x0   A x0  .

Chứng minh
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử đoạn x0  th | t  0,1  U . Theo định lí
Hahn-Banach, y*  Y * , với y*  1 , sao cho
f  x0  h   f  x0   A x0  h Y  y* , f  x0  h   f  x0   A  x0  h .

Ta có   t   y* , f  x0  th  .
Từ định lí giá trị trung bình,    0,1 sao cho

 1    0   y* , A  x0  h       y* , A  x0  h
 y* , df  x0   h, h   A  x0  h
 y* ,  A  x0   h   A  x0  h


 h ,

Có nghĩa là f   x0   A x0  .
Tầm quan trọng của định lí 1.1.4 thể hiện ở chỗ việc xác định F -đạo hàm của một
hàm cho trước một cách trực tiếp là rất khó, nhưng có thể được tính thông qua phép
tính G -đạo hàm của hàm một biến.


7

Ví dụ 1
Cho A  L  X ,Y  , f  x   Ax . Khi đó f   x   A, x.
Ví dụ 2
Cho X 

n

,Y 

m

, và 1 ,2 ,...,m  C1 

n

,

1

 . Đặt

 1  x  


f  x  
 , nghĩa là f : X  Y .
  x  
 m

Khi đó

   x  
f   x0    i 0  .
 x j 

mn
Ví dụ 3
Cho  

n

 

là một miền mở, bị chặn. Kí hiệu C  là không gian các hàm liên tục

trên  . Cho

 : 

 

1



1

,

 

là một hàm C 1 . Ánh xạ f : C   C  xác định bởi

u  x

  x, u  x   .

 

Khi đó f là F -khả vi, và u0  C  ,

 f  u .v   x     x, u  x .v  x 
0

u

0

 

v  C  .

Chứng minh

 

h  C  , ta có

t 1  f  u0  th   f u0   x   u  x, u0  x   t  x  h  x   h  x  ,


8
trong đó   x    0,1 .   0, M  0,     M ,    0 sao cho

u  x,   u  x,    , x ,
khi  ,    M và       . Ta chọn M  u0  h , khi đó t    1 ,

u  x, u0  x   t  x  h  x    u  x, u0  x    
Từ đó suy ra df  u0 , h  x   u  x, u0  x   h  x  .

A  u  h  u  x, u  x    h  x  là toán tử tuyến tính liên tục, và

Chú ý toán tử nhân h

     là liên tục, theo định lí 1.1.4,

 

ánh xạ u  A  u  từ C  vào L C  , C 

f là

F - khả vi, và

 f u .v   x     x, u  x .v  x 
0

u

0

 

v  C  .

Ta nghiên cứu các toán tử phi tuyến khác trên các không gian tổng quát hơn. Cho



n

 

là tập mở bị chặn, và cho m là một số nguyên không âm,    0,1 . C m 

 

(và không gian Holder C m,  ) được định nghĩa là không gian hàm bao gồm các hàm

C m ( với liên tục   Holder , có đạo hàm riêng bậc m ).
Chuẩn được định nghĩa như sau:

u C  max   u  x  ,
m

x

 m

và
u

C m ,

 u

Cm

 max

x , y   m

 u  x     u  y 
x y



,

trong đó   1 ,2 ,...,n  là một bộ số ,   1   2  ...   n ,   x11 x22 ...xnn .
Ta định nghĩa m* là số các chỉ số   1 , 2 ,..., m  |   m và Dmu là tập hợp

 u |   m .



9



Giả sử r là số nguyên không âm, và   C  

r*

 . Định nghĩa hàm khả vi bậc

r:

f  u  x     x, Dr u  x  

   và C    C

 

Giả sử m  r , khi đó f : C m   C mr 

m ,

m r ,

  là F -khả vi.

Hơn nữa,

 f  u  h  x      x, D u  x . h  x ,


r

0

 r



0

 

h  C m  ,

trong đó  là đạo hàm riêng của  với cấp  .
Chứng minh tương tự ví dụ 3.
Ví dụ 4



Giả sử   C  

r*

 . Định nghĩa

 

f  u      x, D r u  x   dx u  C r  .


 

Khi đó f : C r  

1

là F -khả vi. Hơn nữa

f   u0  , h      x, D r u0  x    h  x  dx h  C r    .


  r

Chứng minh
Sử dụng dãy:

 , D u  
C r   
 C   
r



1

,

và kết hợp kết quả của ví dụ 1 và 3.
Đặc biệt, các hàm sau xuất htrong các phép toán nhiều biến  r  1, r*  n  1 . Giả sử

  x, u, p  là hàm có dạng:
  x, u, p  

1 2 n
p   ai  x  pi  a0  x  u ,
2
i 1


10
trong đó p   p1, p2 ,..., pn  , và ai  x  , i  0,1,..., n , là trong C    .
Đặt
n
2
1

f  u     u  x   ai  x  x u  a  x  u  x dx ,
0
2
i 1



i

Ta có




n

f   u  , h   u  x  h  x    ai  x  x h  x   a0  x  h  x dx






i

i 1

h  C1    .

Ví dụ 5
Cho X là không gian Hilbert, với tích  ,  . Tìm F -đạo hàm của chuẩn

f  x   x , khi x   .
Đặt F  x   x . Khi đó
2



t 1 x  th  x
2

2

  2  x, h   t h

2

,

Ta có dF  x, h   2  x, h  . Đó là hàm liên tục với mọi x , do đó F là F -khả vi, và

F   x  h  2  x, h .
1

Do đó f  F 2 , với qui tắc

F x  2 x  f '  x .
Khi x   ,
 x

f   x  h  

 x



, h  .



11

Trong những ứng dụng nổi tiếng của Phương trình đạo hàm riêng về phép toán nhiều
biến, không gian Sobolev được sử dụng rất thường xuyên. Chúng ta nghiên cứu toán
tử phi tuyến tính được định nghĩa trên không gian Sobolev .
1.2. Ánh xạ Nemytscki
Cho  là một tập mở con của

N

.

Định nghĩa 1.2.1
Cho p  1 và số nguyên m , không gian Sobolev bậc m, p được định nghĩa như sau

Wm, p    u  Lp   |  u  Lp   |   m ,
trong đó  u là đạo hàm suy rộng bậc  của u . Trên Wm, p   ta định nghĩa chuẩn

u

Wm , p


    u
  m

1

p
 .
Lp   

p

Trường hợp đặc biệt p  2 ta kí hiệu Wm,2   bởi H m   và bao đóng của C0  
với chuẩn như trên được kí hiệu bởi H0m   .
Định nghĩa 1.2.2
Cho  , B,   là không gian đo được. Ta nói  : 

N



1

là hàm Caratheodory

nếu
1. x , 
2.  

N

, x

  x,   là liên tục.

  x,   là  -đo được.

Định nghĩa 1.2.3
Trong không gian Sobolev, ánh xạ f : u

  x, u  x  gọi là ánh xạ Nemytscki.


12

  x, u  x   đo được. Thật vậy, tồn

Ta chứng minh nếu u là hàm đo được thì hàm x

tại dãy hàm đơn giản un  x  sao cho un  x   u  x  , theo (2) ta suy ra   x, un  x  


đo được và từ (1) , ta có   x, un  x      x, u  x   , do đó   x, u  x   là đo được.
Định lí 1.2.4
Cho p1 , p2  1, a  0 và b  Ldp     . Giả sử  là hàm Caratheodory thoả mãn
2

p1
p2

  x,    b  x   a 

  x, u  x   là ánh xạ liên tục bị chặn từ Ldp  ,

Khi đó f : u  x 
Ldp  ,

N

2

1

N

 vào

.

Chứng minh
Tính bị chặn được suy ra từ bất đẳng thức Minkowski:

f u 

p2

 b

trong đó  p là chuẩn trong Ldp  ,

N

.

p2

a u

p1
p2
p1

,

Tiếp theo chứng minh tính liên tục.

  sao cho f u   f u 

p
un 1 , u n  u trong L 1 , thì có một dãy con un


ni

i

trong

Lp . Thật vậy có thể tìm một dãy con un  của un  hội tụ hầu khắp nơi về u , theo đó
2

i

un  un

i

i 1

p1



1
, i  2,3,...; Vì vậy
2i


un  x     x  : un  x    un  x   un
i

1

i 2

i 1

i

 x .

Do đó  đo được, và
1

p


p

x
d




  un


1

1

Ta kết luận   Ldp     .
1



1

p1

  un  un
i 2

i

  ,

i 1

p1


13

Chú ý

 





f un   x, un  x     x, u  x   hầu khắp nơi,
i

i

và

   x   b  x   a    x 

f un

p1
p2

i

 

Theo định lí Lebesgue, ta có f uni  f  u 

 Ldp  , R N  ,
2

 0 . Điều này suy ra f liên tục.
p2

Hệ quả 1.2.5
Cho  

n

 : 



m*

là một tập hoàn toàn liên tục, và cho 1  p1 , p2   . Giả sử
là một hàm Caratheodory thoả
m

  x, 0 ,..., m   b  x   a  j

aj
p2

,

j 0

1

 1 m j 
p
m
trong đó  j   
 , a  0 , và b  L    . Khi đó f  u  x     x, D u  x  
n 
 p1
2

là một ánh xạ liên tục bị chặn từ W m, p    vào Lp    .
1

2

Hệ quả 1.2.6
Giả sử  

n

và  : 

1



1

và   x,   là các hàm Caratheodory. Nếu
2n

  x,    b  x   a  , trong đó b  Ln2    , a  0 , và r 
r

hạn chế là không cần thiết), khi đó hàm

f  u      x, u  x   dx


là F -khả vi trên H 1    , với F -đạo hàm

f   u  , v     x, u  x  .v  x  dx ,


n2
(nếu n  2 , thì sự
n2


14
trong đó , là tích trên H 1    .
Chứng minh.

2n

Định lí phép nhúng Sobolev phát biểu rằng đơn ánh i : H 1     Ln2    là liên tục,
2n
n 1

vì vậy có ánh xạ đối ngẫu i : L
*

2n
n2

Theo định lí 1.2.3,  ,  : L

    H 1   

*

2n
n 2

L

.

là liên tục. Do đó, đạo hàm Gateaux

df  u, v      x, u  x    v  x  dx v  H 1  


là liên tục từ H 1    vào  H 1    . Áp dụng định lí 1.1.4, ta kết luận f là F -khả vi
*

trên H 1    . Chứng minh hoàn tất.
Hệ quả 1.2.7
Trong hệ quả 1.2.5, ánh xạ đạo hàm
f  u  x      x, Dmu  x  

từ C l ,    vào C l m,   , l  m,0    1 là F -khả vi, với

 f  u  h   x      x, D u  x  h  x 
m

0

 m





h  C l ,    .

1.3. Đạo hàm bậc cao
Đạo hàm bậc hai của f tại x0 được định nghĩa bởi đạo hàm của f   x  tại x0 . Do đó

f  : U  L  X ,Y  , nên f   x0  thuộc L  X , L  X ,Y   . Tuy nhiên, nếu ta đồng nhất
không gian các ánh xạ song tuyến tính bị chặn với L  X , L  X ,Y   , và f   x0  là một
ánh xạ song tuyến tính đối xứng, sẽ thấy trong định lí 1.3.1 bên dưới, thì ta có định
nghĩa tương đương của đạo hàm cấp hai f   x0  như sau:

15
Cho f : U  Y , x0  U  X , nếu tồn tại một ánh xạ song tuyến tính f   x0 ,  của

X  X  Y thoả
f  x0  h   f  x0   f   x0  h 

1
f   x0  h, h  
2

h 
2

h  X , khi h  0 ,

thì f   x0  gọi là đạo hàm bậc hai của f tại x0 .
Tương tự, định nghĩa đạo hàm bậc thứ m tại x0 : f 

m

 x0  : X  ...  X  Y

là ánh xạ

m -tuyến tính thoả
m

f  x0  h   

j 0

f  j   x0  h,..., h 

j!

 h ,
m

khi h  0 . Khi đó f gọi là đạo hàm bậc m tại x0 .
Tương tự cho các hàm vectơ hữu hạn chiều, ta có:
Định lí 1.3.1
Cho f : U  Y là khả vi bậc thứ m tại x0 U . Khi đó, với bất kì hoán vị  của

1,...,m , ta có





f  m  x0  h1 ,..., hm   f  m  x0  h 1 ,..., h  m .

Chứng minh
Ta chỉ chứng minh với m  2 , nghĩa là

f   x0  ,   f   x0 ,   ,  X .
Thật vậy y*  Y * , ta xét hàm

  s, t   y* , f  x0  t  s  .
Đạo hàm bậc hai tại t  s  0 :

16

2
2
  0,0 
 0,0 .
ts
st
Do f   x0  t  s  là liên tục khi t , s nhỏ, ta có


  t , 
s

s 0

 y* , f   x0  t  ;

và khi đó,

2
  t , s  t s0  y* , f   x0  ,  .
ts
Tương tự

2
  t , s  t s0  y* , f   x0  ,  
st

Chứng minh xong.
Định lí 1.3.2 (Công thức Taylor)
Giả sử f : U  Y là khả vi liên tục bậc m . Cho x0  th | t  0,1  U . Khi đó
m

f  x0  h   
j 0



1  j
f  x0  h,...h 
j!

1 1
m
1  t  f  m1  x0  th  h,...h  dt

m! 0

Chứng minh

y*  Y * , ta xét hàm:
  t   y* , f  x0  th  .
Theo định lí Hahn-Banach và công thức Taylor cho hàm một biến:

1  j
1 1
m
 1     0    1  t    m1  t  dt ,

m! 0
j 0 j !
m

Ta được công thức Taylor cho ánh xạ giữa hai không gian Banach.


17

Ví dụ 1
Cho X 

n

,Y 

1

. Nếu f : X  Y khả vi liên tục bậc hai, thì

 2 f  x  

f  x  H f  x  
.
 xi x j 

i , j 1,...,n
Ví dụ 2
X  C1  ,

N

, Y 

1

. Giả sử g  C 2  

N

,

1

.

Đặt

f u  

1
2
u   g  x, u  x  

2


với u  X . Theo định nghĩa, ta có

f   u      u  x    x   gu  x, u  x    x  dx ,



và

  x, u  x    x   x  dx .
f   u  ,      x    x   guu


 :
Với điều kiện cho guu
4
guu  x, u   a 1  u n2  , a  0 u  R N ,



f khả vi bậc hai trên H01  , R N  . Ánh xạ từ H01  , R N  vào chính nó,
 , u   .
f   u   id     guu
1

  x, u  x   xác định trên L2 là tự liên
là tự liên hợp, hoặc tương đương toán tử   guu
hợp với miền xác định H 2  H01  , R N  .


18

Ví dụ 3
Cho X  H01  ,

3

 , trong đó  là miền phẳng. Xét hàm thể tích
Q  u    u  ux  u y  .


Ta có

Q  u        ux  u y   u   x  u y    ux   y 


và

Q  u  ,      x  u y    ux  y    x  u y    ux   y 


u  x  y    x   y  ,
 ,  H01  ,

3

.

Rộng hơn ta có thể xem u  C 2  ,

3

 , áp dụng tích phân từng phần và tính phản đối

xứng của phép nhân ngoài, ta có

 u 

x



  y      u y   ux    uxy   u


   ux  u y      uxy   u,




và

 u u



x

  y     u y  ux     u  uxy   


    ux  u y      uxy  u




Do đó,

Q  u   3    ux  u y  .


Tương tự, ta thu được


19

Q " u  ,   3 u  x  y    y  x 


C
Về phương diện hình học, cho u :  

2

thể tích của vật thể được bao quanh bởi mặt.

3

là một mặt tham số trong

3

; Q U  là

20

Chƣơng 2. ĐỊNH LÍ HÀM ẨN VÀ PHƢƠNG PHÁP LIÊN TỤC
2.1. Định lí hàm ẩn
Định lí 2.1.1 (Định lí hàm ẩn)
Cho X , Y , Z là không gian Banach, U  X  Y là tập mở. Giả sử f  C U , Z  có F đạo hàm theo biến y, và f y  C U , L Y , Z   . Cho  x0 , y0  U , nếu

f  x0 , y0    ,
f y1  x0 , y0   L  Z , Y  ;
thì r , r1  0, !u  C  Br  x0  , Br  y0   , sao cho
1

 Br  x0   Br  y0   U ,

u  x0   y0 ,

 f  x, u  x     x  Br  x0  .
1

Hơn nữa, nếu f  C1 U , Z  , thì u  C1  Br  x0  , Y  , và

u '  x    f y1  x0 , u  x0   f x  x, u  x   x  Br  x0  .
Chứng minh
(1) Bằng cách thay f bởi

g  x, y   f y1  x0 , y0  f  x  x0 , y  y0  ,
Ta có thể giả sử x0  y0   , Z  Y và f y  ,   idY .
(2) Ta tìm nghiệm y  u  x   Br   của phương trình
1

f  x, y    x  Br   .
Đặt

R  x, y   y  f  x, y  ,

(2.1)


21
Ta tìm điểm bất động của R  x,  x  Br   .
Áp dụng nguyên lí ánh xạ co cho ánh xạ R  x,  .
Trước tiên, ta chứng minh R  x,  là ánh xạ co:

R  x, y1   R  x, y2   y1  y2   f  x, y1   f  x, y2 
1

 y1  y2   f y  x, ty1  1  t  y2  dt   y1  y2 
0

1

  idY  f y  x, ty1  1  t  y2  dt   y1  y2  .
0

Do f y : U  L  X , Y  liên tục nên r, r1  0 sao cho

R  x, y1   R  x, y2  

1
y1  y2

2

(2.2)

  x, yi   Br    Br   , i  1, 2 .
1

Tiếp theo, ta có R  x,  : Br    Br   . Thật vậy,
1

1

R  x, y   R  x,   R  x, y   R  x, 
 f  x,  

1
y.
2

Chọn r  0 , để

1
f  x,   r1 , x  Br   ,
2

(2.3)

Suy ra R  x, y   r1 ,   x, y   Br    Br1   . Khi đó, do R  x,  là ánh xạ co nên có
điểm bất động duy nhất. Do đó x  Br   , ! y  Br   thoả f  x, y    . Kí hiệu
1

y  u  x  là nghiệm.


22
(3) Ta cần chứng minh u  C  Br , Y  . Do

u  x   u  x   R  x, u  x    R  x, u  x  
 R  x, u  x    R  x, u  x    R  x, u  x    R  x, u  x  


1
u  x   u  x   R  x, u  x    R  x, u  x   ,
2

Ta được
u  x   u  x   2 R  x, u  x    R  x, u  x   .

(2.4)

Do R  C U , Y  nên ta có
R  x, u  x    R  x, u  x   khi x  x .

Do đó

u  x  u  x  khi x  x .
(4) Nếu f  C1 U , Y  , ta cần chứng minh u  C 1 . Trước tiên do (2.2), (2.4) ta có

u  x   u  x   2 f  x, u  x    f  x, u  x  
1

 2 f x  tx  1  t  x, u  x   dt  x  x
0

Do đó u  x  h   u  x   O  h  khi h  0.
Từ

f  x  h, u  x  h    f  x, u  x     ,
Suy ra
f  x  h, u  x  h    f  x, u  x  h     f  x, u  x  h    f  x, u  x     ;

Lại có

f x  x, u  x  h   h 

 h   f  x, u  x  u  x  h   u  x    h    .
y


23

Do đó

u  x  h   u  x   f y1  x, u  x   f x  x, u  x  h   h 

 h ,

Nghĩa là u  C1 , và

u  x    f y1  x, u  x   f x  x, u  x   .

Hệ quả 2.1.2
Trong định lí 2.1.1, không gian X có thể được giả sử là không gian topo. Thật sự, ánh
xạ tuyến tính và tính chất của chuẩn không được sử dụng.
2.2. Định lí hàm ngƣợc. Định lí ánh xạ mở
Định lí 2.2.1 (Định lí hàm ngƣợc)
Cho V  Y là tập mở, và g  C1 V , X  . Giả sử y0 V và g  y0   L  X ,Y  . Khi đó
tồn tại   0 sao cho B  y0   V và

g : B  y0   g  B  y0  
là đồng phôi. Hơn nữa

 g   x   g  y  , với
1

1

0

0

x0  g  y0  .

(2.5)

Chứng minh
Đặt

f  x, y   x  g  y  , f  C1  X  V , X  .
Áp dụng định lí hàm ẩn cho hàm f , tồn tại r  0 và duy nhất u  C1  Br  x0  , Br  y0  
thoả

f  x, u  x   

Tức là
x  g u  x   