De thi HSG toan dak lak 2013 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐẮK LẮK

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 NĂM HỌC 2013 -2014

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)

MÔN: TOÁN 12 – THPT
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể giao đề)
Ngày thi: 18/03/2014

Câu 1. (5,0 điểm).

x 2 + (1 − 2m ) x + 2m
Cho hàm số y =
có đồ thị là (Cm ) và đường thẳng ∆ : y = 1
x+m
1) Chứng minh rằng nếu (Cm ) cắt ∆ tại điểm có hoành độ x0 thì hệ số góc của
2 x − 2m
tiếp tuyến với (Cm ) tại điểm đó là k = 0
.
x0 + m
2) Xác định m để (Cm ) cắt ∆ tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với (Cm ) tại
hai giao điểm đó vuông góc với nhau.
Câu 2. (5,0 điểm)

x + y + z = 3

Giải hệ phương trình:  x + xy + xyz = 1 + 2 3 xyz


3
(1 + x )(1 + y )(1 + z ) = 1 + 3 xyz

Câu 3. (5,0 điểm).
Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi S1 , S2 , S3
lần lượt là diện tích của các tam giác OAB, OBC, OCA. Trên đáy ABC lấy điểm P bất
kỳ, gọi R1 , R2 , R3 lần lượt là diện tích của các tam giác PAB, PBC, PCA. Xác định vị

(

)

R12 R22 R32
trí của điểm P sao cho biểu thức T = 2 + 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
S1 S 2 S3
Câu 4. (5,0 điểm).
Cho α là số thực, f ( x) là một hàm số sao cho:

α 3 − α = [ f (α ) ] − f (α ) = 32014
3

Ta định nghĩa f n ( x) = f ( f ( f (... f ( x)...))) , n là số nguyên dương.
Chứng minh rằng

(f

n

n laàn f

3

(α ) ) − f n (α ) = 32014 .

---------------------- HẾT ----------------------

•
•

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh.........................................................Số báo danh..........................