PT vô tỉ chứa tham số ôn thi đh (1)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (12.06 MB, 68 trang )

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT
CHUYÊN ĐỀ

SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán:
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x
Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của

X.

.

Các bước giải tổng quát:
i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X.
ii) Bước 2: min f(x) g(m) max f(x) .
Chú ý:
i) Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem X

Df(x) (miền xác định của f(x)).

ii) Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng
bảng biến thiên (BBT) của f(x).
iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải
dùng BBT.
4i) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t).
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2x m
1) có nghiệm thực,
2) có 1 nghiệm thực,

2x

1 (1)
3) có 2 nghiệm thực phân biệt.

HƯỚNG DẪN GIẢI
(1)

1
2
2x

x
x2

Đặt y

3x2

6x

1 , với x

1
2

x
m

(2x

1)2

m

3x 2

6x

m

2.

1.

1
ta có:
2

Bảng biến thiên
x

1
2

1

y

2

5
4
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1) m

2,

2) m

5
4

m

2,

3)

5
4

1
x
2
HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình x

x

1
4

m (2) có nghiệm thực.

1

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT
Đặt t

1
4

x

0
1
4

2

t
Do t

0

1

2

t

2

t

2

1
, (2) trở thành:
4

t2

x

1
4

t

2

m

t

1

nên (2) có nghiệm m
4

Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình

1
4

t

m

t

m.

1
.
4
m

x2

16

2

1
2

16 x2
HƯỚNG DẪN GIẢI
m
4 0
t2
Đặt t
16 x2
t (0; 4] , (3) trở thành t
t
Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t, ta có 4 m 0 .

0 (3) có nghiệm thực.

4

4t

m.

Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0. Do đó nên lập BBT để tránh sai sót.

x 1
x
m
x 2
x
HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình

m
t

x 1
t (0;
) \ {1} , (4) trở thành t
x 2
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có 0 m 3 .
Đặt t

Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 m x
thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện: x 1 .
+ x = 1: (5) vô nghiệm.
+ x > 1: (5)

x
x

4

1
1

m4

x
x

1
1

2

2

0 (4) có nghiệm thực.

2

0

t2

1

2 4 x2

2t

1

m.

0 (5) có nghiệm

0.

x 1

2
4 1
t (1;
x 1
x 1
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3.
Đặt t

2
1

4

m
t

) , (5) trở thành t

2

0

t2

2t

m.

x m (6)
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình x2 2x 3

1) có nghiệm thực,
2) có 2 nghiệm phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI

x

Ta có (6)
Đặt y

x2

2

2x

2x

3

3

x

m.

x, x

1

y'

x
x2

x

3

1
2x

3

1

x

x2

1
x2

2x

2x
3

3

.

Bảng biến thiên
x
y’
y

–1

+

1
1

Dựa vào bảng biến thiên:

3

–
–3

2

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT

3

1)

m

1

m

1,

2) không có m.

x

Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

1

1

x

m (7).

HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số f(x)

1

x

1

x, x

1

f / (x)

[ 1; 1]

x

1

2 1

2

x

x

.

Bảng biến thiên
–1

x
f’(x)
f(x)

0

0
2

+

1
–

2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

2

2 m 2 : (7) vô nghiệm.
+ m
+ m = 2: (7) có 1 nghiệm.
+

2

m

2 : (7) có 2 nghiệm phân biệt.

9 x
x2 9x m (8) có nghiệm thực.
Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình x
HƯỚNG DẪN GIẢI
0 x 9
x

9 x 0
(8)
(9x x2 ) 2 9x x2 9 m.
9 2 9x x2
9x x2 m
Đặt t

x2

9x

0

x

t

(9
2

x)
t2

t2

Lập BBT của hàm số y

2t

9

, x
2
2t 9

[0; 9] , ta có (8) trở thành:
m.

9 trên [0 ; 9/2] ta có

9
4

Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình x 4 x 4 x
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
x 4 0
x t
4. Ta có (9) trở thành:
Đặt t

t2

4t
2

Lập BBT của hàm số y

t

4

2t

t2
6, t

Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình

t2
6.

4 t m
0 ta có m

x

6 x

9

x

m

10 .

x

4

m (9) có nghiệm thực.

2t

6

m.

6 x

9

x

m
6

(10) có

nghiệm thực.
Đặt t

x
t2

9

0

x

6t

9

t2

+ Lập BBT của hàm số y
+ Do 18

2

t

27

HƯỚNG DẪN GIẢI
t2 9 . Ta có (10) trở thành:
t2 9 m
6t 9
6 t 3
t
6
t2 12t 9 m, t 3 (*)

t2

3

t2

27

m, 0

12t

9, t

3 ta suy ra (*) có nghiệm thực

t

t2

9

m

3 (**)

18
27, t [0; 3) nên (**) có nghiệm thực
Vậy với m 27 thì (10) có nghiệm thực.

m

m

27 .

27 .
3

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT

x

Bài 11. Tìm m để phương trình
Đặt t

x

1

3

x

Mặt khác t2
2 2 x
Ta có (11) trở thành:

1
3 x
(x 1)(3 x) m (11) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
2
t

2 2 x 1. 3 x 2
t
2.

0

1. 3
t

x

2

t2

2

[(x

2

1 2
t
t 1, t
2
x 1
3
Chú ý: Nên lập BBT của t

Đáp số: 3

9

m

1

4

x4

x)]
t

4

1

2

t

2.

m.

2; 2 ta có 1

m

2.

x để tìm miền giá trị t.

8

x

(1

x)(8

x)

m có nghiệm thực.

6 2
.
2

4x

m

4x m 4 x4 4x
HƯỚNG DẪN GIẢI

x4

Bài 13. Tìm m để phương trình

Đặt t

x

(3

1 2
t
2

m

Lập BBT của hàm số y

Bài 12. Tìm m để phương trình

1)

m

6 (13) có nghiệm thực.

0. Ta có:

t2 t 6
(13)
Lập BBT của hàm số y

0
x4

4
2
x4 4x m 2
ta có m 19 .
16 trên

t
4x

x4

4x

16

m.

3
m (14)
Bài 14. Tìm điều kiện của m để phương trình 1 x2 2 1 x2
1) có nghiệm thực duy nhất,
2) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
1) Nhận thấy nếu x0 là nghiệm của (14) thì – x0 cũng là nghiệm của (14).
Suy ra x0
x0
x0
0 là nghiệm duy nhất của (14).
Thế x0 = 0 vào (14) ta được m = 3. Thử lại ta thấy (14) có nghiệm duy nhất.

Vậy m = 3.

6

2) Đặt t

1

m.
x2
0 t 1 . Ta có (14) trở thành t3 2t2
3
2
2t trên [0 ; 1] ta suy ra 0
Lập BBT của hàm số y t

Bài 15. Chứng tỏ rằng phương trình

3x2

1

2x

1

2x

1

m

3.

mx (15) luôn có nghiệm thực với mọi

giá trị của m.

2x
(15)

x

0

3x2

1

2x

1

3x

2

Xét hàm số f(x)
Mặt khác lim

1

2x
3x
2x

2
1

HƯỚNG DẪN GIẢI
1
x
2
3x2 2x
1 mx

1

2x

1
2

, x

f / (x)

, lim

Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là

x

2x
3x

1
2

3x
2x

(2x

2
1

1
1

1) 2x

x
mx

1

3x

1

2

2x

2
1

.

m

.

.

. Vậy (15) luôn có nghiệm thực với mọi m.
4

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT
Bài 16. Tìm m để phương trình (x

3)(x

1)

4(x

x
x

3)

1
3

m (16) có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện

x
x

+ Với x
Đặt t

1
0
3
1 : (16)

(x

+ Với x

3)(x

x

1

(x

3)(x

1)

3 : (16)

1

f / (x)

0

3

lim f(x)

1

lim

3)(x

1)

m.

1 , (16) trở thành t2

4t

m

m

4 (x 3)(x 1)
Vậy m
4.

m

m

0.

x

f / (x)

(1

x)2

x

3

x

3

1
3

1
3

x

(1

x)2

3

1
2

(1

x)

x)2

(1

3

1

3

x

1

x2

x)2

(1

0

3

x)2

(1

3

x2

1
3

f(0)
3

x

2

1
x

3

1

3

Suy ra tập giá trị của f(x) là (0; 2]. Vậy 0

1
x2

m

1

(1

x)2

0.

2

1
x

3

2.

x)2

(1

2

lim

x

4.

x 31 x
m (17) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI

1

1

3

4 (x

1)

3

3

x

x

1)

3)(x

Bài 17. Tìm m để phương trình
3

3.

0, x

(x

Xét hàm số f(x)

x

1

2.

Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:

m

Đặt t

x2

1

1

x

1

2

1

x2

2

2

x,
t'

t( 1)
(18) trở thành m(t
Xét hàm số y

2)

t2

2

x2

1

1

HƯỚNG DẪN GIẢI
x 1

x

1

x2

1

x2 . 1

2, t(0)
t2

t 2
t 2

x4

2 1

t

y'

0
m

x2

1

t2

t2 4t
(t 2)2

0

x2

t

0;

x2 (18) có nghiệm thực.

1

x

2 , x

0

1; 1 .

t 2
.
t 2

0, t

0; 2 .

Bảng biến thiên
x
y’

y

0
0
1

2
–

2
Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực

1

2

1

m

Bài 19. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m x2

1.
2

x

m (19).
5

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TOÁN THPT

x2

m

(19)

2

1

HƯỚNG DẪN GIẢI
x
m
do
x2 2 1

x

x2

2

1

0, x

.

x

Xét hàm số y

x2

2

1

x2

2

1

x2
x2

y'
x
Giới hạn lim y

2

2

x

x

lim

x

2

1

x

x

2
x2

1

x2

2

2
2

2

x

lim y

1
x

2

2

2

1

2

0

x

2.

1.

x

Bảng biến thiên
x
y’
y –1

2
0

–

2
+

–

0

2
2

1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có
+ m
+ 1
+

2

m
2

m

m

1

2 : (19) vô nghiệm.
2 : (19) có 1 nghiệm.

m
1

1

m

2 : (19) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài toán 20. Tìm m để phương trình

Điều kiện 2x2

x

Ta có (20)

2x2
x

3

0
x

1

Lập BBT của hàm số y

x

3

mx

m (20) có nghiệm thực x

1.

HƯỚNG DẪN GIẢI
3
1 x
(x
1) .
2

x

3

2x2

m.
2x2
x

x
1

3

ta suy ra m

2

0

m

2.

Bài 21. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:

2m x(1 x) 2 4 x(1 x) m3 (21).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Nhận thấy x0 là nghiệm của (21) thì 1 – x0 cũng là nghiệm của (21). Từ đó, để (21) có nghiệm duy
1
1 x0
x0
m3
m
m 0 m
1.
nhất thì x 0
2

t2 1
4
x
1 x 0, 0 x 1
x(1 x)
Đặt t
.
2
(21) trở thành 2(t2 1) mt2 t m3 m .
1
1
2(t2 1) t
t2
2
x(1 x)
x
+ m = 0: (21)
(nhận).
2
2
2(t2 1) t2 t 2
2(t2 1) (t 1)(t 2)
+ m = 1: (21)
x

1

x

6

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT

t
2(t
t

1)(t

1)

1 : (21)

1)2 (t

(t

1
t 1
(t

+ m

t

1

t

3)(t2

2)

0

2(t2

1)

(t

0

t

3

3t

t

2

1)(2

t)

2t

6

x2

Điều kiện x
Xét hàm số f(x)
Giới hạn

x
x

0

x2

x

lim f(x)

lim

x

x

lim

x

x

x
f(x)

x 1

2

6
x

0
1
2

0
0
1
(loại).
2
1

x
x

1
(nhận).
2

x

1.

x

1
, x
2

1

2x

x

1

1

x

x

x

x(1
lim

1
x2

1

x

lim

x

x

x 1
x2

Vậy (22) có nghiệm thực
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất :

x 2  2m  mx 2

2

0, x

.

1

x

1

1
x

x

2 x

1

x2

x

x

x)

2 x2

x2

x

lim f(x)

x(1

m

f / (x)

1

lim x

x

x)

2t

x2 x 1 m (22) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
x2 x 1
x
x
.

x

1

0

3t2

x(1

t

0

Vậy m
Bài 22. Tìm m để phương trình

t3

1

2
2

t

2)2

1
t 1

1

x
m

1

1
1
x

1

1
)
x
1
x

1
x2

2
, x
2

1
x2

1
2

.

2
.
2

(1)

Giải

Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x  xo , suy ra  xo cũng là nghiệm của (1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi:

xo   xo  xo  0
Thay xo  0 vào (1), ta được : m = 0
Điều kiện đủ: Giả sử m = 0, khi đó (1) có dạng :

x 2  0  x  0 là nghiệm duy nhất của bất phương trình
Vậy với m = 0 bất phương trình có nghiệm duy nhất

III.BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài tập 1: Cho bất phương trình:

m 2 x2  7

xm
7

www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT
a.Giải bất phương trình với m 

1
2

b.Xác đònh m để bất phương trình nghiệm đúng với  x

8