BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PTVÔ TỈ CHÚA THAM SỐ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
( Giải quyết bài toán biện luận số nghiệm của phương trình )
Trong chương trình hiện nay, khi không còn sử dụng ĐL đảo về dấu tam thức bậc 2,khi giải các bài toán về biện
luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến
tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong phần chúng ta sẽ xét một số dạng toán của
phương trình vô tỉ mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm,
nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… )

Bài toán : Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm hoặc có k trên D
A/ Dựa vào tính chất phương trình f(x)=g(m) có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số
( )y f x=
và
( )y g m=
có điểm chung. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số
( )y f x=
.
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng
( )y g m=
cắt đồ thị hàm số
( )y f x=
.
Chú ý : Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục trên D và
( )y f x=
có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D là m,M thì phương
trình :
( )y f x=
=k có nghiệm trên D khi
m k M≤ ≤

B. Khi đặt ẩn phụ t ta phải tìm tập giá trị của ẩn phụ t và giải quyết bài toán trên ẩn phụ t với tập xác định
chính là tập giá trị của t.

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
2 2
1 1x x x x m+ + − − + =
Xét :
2 2
( ) 1 1f x x x x x= + + − − +
có TXĐ :D=R.

2 2
2 2
2 1 2 1
'( )
2 1 2 1
'( ) 0 (2 1)( 1) (2 1) 1)
x x
f x
x x x x
f x x x x x x x
+ −
= −
+ + − +
= ⇔ + − + = − + +
2
2
1 2 1 1 1
( y > )
2 1 2 2

1
x x x
x ha x
x
x x
+ + +
⇔ = − <
−
− +
Bình phương hai vế, khai triển và ước lược ta có:
0x =
( loại )
'( ) 0:f x VN⇒ = '( ) 0f x⇒ =
không đổi dấu
Mà : f’(0)=1>0
'( ) 0,f x x R⇒ > ∀ ∈
x
−∞

+∞
f(x) 1
-1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm : -1<m< 1
Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

24
x x m− =
Xét
[
)

24
( ) 1 ( 0; )f x x x x= + − ∈ +∞
( )
( )
2 3
4
1
'( ) 0;
2
2 ( 1)
x
f x x
x
x
= − ∈ +∞
+
2 3 2 2
4
4
'( ) 0 ( 1) 1:
1 1
'(1) 0 '( ) 0, (0; )
2
2 8
f x x x x x x VN
f f x x
= ⇔ + = ⇔ = +
= − < ⇒ < ∀ ∈ +∞
x 0
+∞

f’(x)
f(x)

-
1

0
Phương trình có nghiệm :
0 1m
< ≤



Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

4
4
13 1 0x x m x− + + − =
44
4 4 3 2
1 1
13 1 0
13 (1 ) 4 6 9 1
x x
x x m x
x x m x x x x m
≤ ≤
 
− + + − = ⇔ ⇔

 
− + = − − − = −
 
Xét

( )
3 2
3 2
( ) 4 6 9 1
3
2
'( ) 12 12 9 '( ) 0
1
2
f x x x x x
x
f x x x f x
x
= − − ≤

=

= − − ⇒ =


= −


x -
∞

-1/2 1 3/2
+∞

f’(x) 1
+ 0 - + 0
f(x) 5/2

−∞
-11
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm :
1 5 / 2 3/ 2m m
− ≤ ⇔≥−
Ví dụ 3: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

12 ( 5 4 ) 0x x x m x x+ + − − + − =
Ta có :
( 12)( 5 4 )
12 ( 5 4 ) 0
0 4
x x x x x m
x x x m x x
x

+ + − − − =

+ + − − + − = ⇔

≤ ≤



( Do
5 4 ) 0, , 0 4x x x x− − − ≠ ∀ ≤ ≤
)
Xét :
( ) ( 12)( 5 4 ) ( 4)f x x x x x x x= + + − − − ≤
3 1 1 1
'( ) ( )( 5 4 ) ( 12( )
2
2 12 2 4 2 5
f x x x x x x x
x x x
= + − − − + + + −
+ − −


[ ] [ ]
'( ) 0, 0;4 5 4 , 0;4f x x do x x x> ∀ ∈ − > − ∀ ∈
x 0 4
f(x) 12
2 3( 5 2)−

Suy ra phương trình có nghiệm :
2 3( 5 2) 12m
− ≤ ≤

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

4 3 4 34
4 16 4 16 6x x x m x x x m− + + + − + + =
(1)

Đặt
4 34
4 16 ( 0)t x x x m t= − + + ≥

2
3( )
(1) 6 0
2
t loai
t t
t
= −

⇔ + − = ⇔

=



4 3 4 34
2 4 16 2 4 16 16t x x x m x x x m= ⇔ − + + = ⇔ − + − = −
Xét:
4 3
( ) 4 16 16f x x x x= − + −
; D=R

3 2 2
1
'( ) 4( 3 16) 4( 2) ( 1) 0
2

x
f x x x x x
x
= −

= − + = − + = ⇔

=

x
−∞
-1 2
+∞

f’(x)
f(x)

- 0 + 0 +

+∞

+∞


-27
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
27 27m m− > − ⇔ <
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình :
2
2m x x m+ = +

có hai nghiệm phân biệt.


2 2
2
2 ( 2 1 0, )
2 1
x
m x x m m x x R
x
+ = + ⇔ = + − > ∀ ∈
+ −
Xét hàm số
2
2 2 2 2
2 2
( ) ( ) '( )
2 1 2( 2 1)
x x
f x x R f x
x x x
− +
= ∈ ⇒ =
+ − + + −
2
2 2 2
2 2
'( ) 0 2
2( 2 1)
x

f x x
x x
− +
= ⇔ ⇔ = ±
+ + −
x
−∞

2−

2

+∞

f’(x)
f(x)

- 0 + 0 -

2
1

-1

2−

Phương trình :
2
2m x x m+ = +
có hai nghiệm phân biệt

2 1 1 2m v m− < < − < <

Bài tập đề nghị: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm.

2
2 2 24 4
37
1/ 9 9 : 3
4
6 2 9
2 / 3 6 (3 )(6 ) : 3
2
3/ ( 2 2 4) 4 2 4 : 1
x x x x m KQ m
x x x x m KQ m
m x x x x KQ m
+ − = − + + − ≤ ≤
−
+ + − − + − = ≤ ≤
+ + − − − = − >
CHÚC THÀNH CÔNG