Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố đà nẵng năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

Bài 1. (1,5 điểm)
3a + 9a - 3
a +1
a -2
+
với a ³ 0, a ¹ 1.
a + a -2
a + 2 1- a
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.

Cho biểu thức M =

Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình

x + 3 + 4 x - 1 + x + 8 + 6 x - 1 = 9.

ì
ï

x 2 + xy + xz = 48
ï
ï
ï
b) Giải hệ phương trình íxy + y 2 + yz = 12
ï
ï
ï
xz + yz + z 2 = 84.
ï
ï
î

Bài 3. (2,0 điểm)
a) Cho a = 14
2. 4
2...
2. 3
2 và b = 14
2. 4
2...
2. 3
2 . Chứng minh rằng a và b có
244
244
2016 thõa sè 2

3016 thõa sè 2

cùng chữ số hàng đơn vị.

b) Cho hàm số y = ax + a + 1 với a là tham số, a ¹ 0 và a ¹ -1. Tìm tất cả các
giá trị của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị
lớn nhất.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung
nhỏ BC lấy điểm M tùy ý. Đường tròn (M ; MB) cắt đoạn thẳng AM tại D.
a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều.
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm
trên một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O).
Bài 5. (1,0 điểm) Cho x + y + z = 0 và xyz ¹ 0. Tính giá trị của biểu thức:
1
1
1
.
P= 2
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
x +y -z
y +z -x
z +x -y
--- HẾT --Họ và tên thí sinh: .................................................
Chữ ký của giám thị 1: .........................................

Số báo danh: .............................................................
Chữ ký của giám thị 2: …….....................................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9

Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp 9. Các giám khảo thảo luận thống
nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. Tổ chấm có thể phân chia
nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu không được
thay đổi. Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc chấm phúc
khảo sau này được thống nhất và chính xác.
Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì bài
làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó.
Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo
tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT.
ĐỀ - HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI-Ý
Cho biểu thức M =

3a + 9a - 3

-

a +1

+

ĐIỂM

a -2

với a ³ 0, a ¹ 1.
a+ a -2
a + 2 1- a
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.

Bài 1

§ Ta có M =
1.a
§ Þ
(0,75đ)

M=

§ Þ

M=

(3a + 3 a - 3)
( a + 1)( a -1) ( a - 2)( a + 2)

+
( a -1)( a + 2) ( a -1)( a + 2) (1- a )( a + 2)
(3a + 3 a - 3) - (a -1) - (a - 4)
a +3 a +2
=
( a -1)( a + 2)
( a -1)( a + 2)

( a + 1)( a + 2)
a +1
=
( a -1)( a + 2)
a -1

a -1 + 2
2
= 1+
a -1
a -1
1.b
2
(0,75đ) § M nguyên Û
nguyên Û a -1 là ước của 2
a -1

§ Û

a -1 Î {-1;1; 2} Û a Î {0;4;9} (do

0,25

0,25
0,25

M=

§ Þ

1,50

0,25
0,25

a ³ 0)

0,25

a) Giải phương trình: x + 3 + 4 x - 1 + x + 8 + 6 x - 1 = 9 (1)
ì
ï
x 2 + xy + xz = 48
ï
ï
b) Giải hệ phương trình ïíxy + y 2 + yz = 12 (I)
ï
ï
ï
xz + yz + z 2 = 84.
ï
î

Bài 2

§ (1) Û
2.a
§
(1,00đ)
§
§

2,00

x -1 + 4 x -1 + 4 + x -1 + 6 x -1 + 9 = 9

Û

( x - 1 + 2)2 + ( x - 1 + 3)2 = 9

Û
Û

x -1 + 2 + x -1 + 3 = 9
x -1 = 2 Û x = 5

0,25
0,25
0,25
0,25

§ Cộng 3 phương trình của hệ ta được (x + y + z)2 = 144 Û x + y + z = ±12

ì
x(x + y + z) = 48
ï
ï
ï
§ Mặt khác: (I) Û í y(x + y + z) = 12 kết hợp với trên ta có hai tường hợp sau
2.b
ï
ï
(1,00đ)
ï
ï
îz(x + y + z) = 84
§ Với x + y + z = -12 hệ có nghiệm (x; y; z) = (-4; -1; -7)
§ Với x + y + z = 12 hệ có nghiệm (x; y; z) = (4;1; 7)

0,25

0,25
0,25
0,25

HDC-HSGTOAN-L9-2015-2016/ trang 1


.

ĐỀ - HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI-Ý

ĐIỂM

a) Cho a = 144
2. 2...
2. 3
2 và b = 144
2. 2...
2. 3
2 . Chứng minh rằng a và b có
244
244
2016 thõa sè 2

Bài 3
2,0 đ

3016 thõa sè 2

cùng chữ số hàng đơn vị.
b) Cho hàm số y = ax + a + 1 với a là tham số, a ¹ 0 và a ¹ -1. Tìm tất cả các giá
trị của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị lớn
nhất.
1,0 đ
§ Nhận xét:

2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 16 (8 thừa số

2)

0,25

§ 2016 chia hết cho 8 được 252 như vậy có thể phân số a thành 252 nhóm, mỗi nhóm có
giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 252 nhóm này cũng có hàng đơn vị là 6
3.a
(1,00đ) § 3016 chia hết cho 8 được 377 như vậy có thể phân số b thành 377 nhóm, mỗi nhóm có
giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 377 nhóm này cũng có hàng đơn vị là 6

0,25

0,25
§ Kết luận
æ a + 1 ö÷
§ Đồ thị hàm số cắt các trục tọa độ tại: A çç; 0÷÷ và B (0; a + 1) do a ¹ 0 và a ¹ -1
çè
ø
a
nên A, B phân biệt và đều khác gốc toa độ O.
§ Tam giác vuông OAB tại O nên nếu gọi h là khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số thì
1
1
1
a2
1
a 2 +1
=
+
=
+
=

(*)
h 2 OA 2 OB2 (a + 1)2 (a + 1)2 (a + 1) 2

(a + 1)
(**)
a 2 +1
2a
a 2 + 2a + 1
2a
2
§ Þ
h =
=
1
+
£
1
+
£ 2 dấu đẳng thức xảy ra khi a = 1
3.b
2
2
2
1
+
a
1
+
a
1

+
a
(1,00đ)
§ Vậy khi a = 1 thì khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số là lớn nhất
§ Þ

h2 =

0,25

0,25

0,25

2

0,25

0,25

§ Chú ý: ý (*) và (**) có thể thay bằng hai ý sau:
1
1 a +1
1 (a + 1)2
Diện tích tam giác vuông OAB là S = OA.OB = a +1 =
2
2
a
2
a

(a + 1)2
a +1
+ (a + 1)2 =
1+ a 2
2
a
a
a +1
2S
Þ khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số là: h =
=
AB
1+ a 2
Cạnh huyền AB = OA 2 + OB2 =

0,25
0,25

Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC lấy
điểm M tùy ý. Đường tròn (M ; MB) cắt đoạn thẳng AM tại D.
Bài 4

a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều.
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm
trên một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O).
3,5 đ
HDC-HSGTOAN-L9-2015-2016/ trang 2

ĐỀ - HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI-Ý

ĐIỂM

§ Hình vẽ phục vụ hai câu a và b

A

a) Chứng minh BDM là tam giác đều
§ MB = MD (bán kính đường tròn (M))
· = BCA
· = 60o (cùng chắn AB)
»
§ BMD

I

D

§ Nên tam giác BDM đều
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
Hai tam giác ABD và CBM bằng nhau
vì AB = CB; BD = BM
· = 60o - DBC
· = CBM
·
và ABD

O
B

4

C

§ Þ DA = MC

§ Þ MA = MD + DA
§ Mà MD = MB
M
§ Vậy MA = MB + MC
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm trên
một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O).
§ Gọi I là giao điểm của (O) với phân giác CO (trong tam giác đều ABC)
» và I là điểm cố định thuộc (O)
Þ I là điểm chính giữa của cung nhỏ AB
§
§
§
§
Bài 5

· (góc nội tiếp chắn cung AB
» của đường tròn (O))
Þ MI là phân giác BMD
Þ MI là trung trực đoạn thẳng BD vì BDM là tam giác đều
Þ ID = IB

Þ D luôn thuộc đường tròn (I ; IB) cố định có tâm thuộc (O)
Cho x + y + z = 0 và xyz ¹ 0. Tính giá trị của biểu thức:
1
1
1
.
P= 2
+ 2
+ 2
2
2
2
2
2
2
x +y -z
y +z -x
z +x -y

0,50
0,75
0,25
0,25
0,25
1,00

0,25
0,25
0,25
0,25

1,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

1,00

§ Ta có x + y + z = 0 Þ x = -(y + z) ; y = -(z + x) và z = -(x + y)
§ Þ x 2 = (y + z)2 ; y2 = (z + x)2 và z 2 = (x + y)2
1
1
1
§ Þ P= 2
+ 2
+ 2
2
2
2
2
2
x + y - (x + y)
y + z - (y + z)
z + x - (x + z) 2
1
1
1
§ Þ P=
+

+
-2xy -2yz -2xz
x+y+y
§ Þ P=
=0
-2xyz

0,25
0,25
0,25
0,25

--- Hết ---

HDC-HSGTOAN-L9-2015-2016/ trang 3