MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG HÌNH HỌC 7

BO CO KT QU
NGHIấN CU, NG DNG SNG KIN

MT S PHNG PHP CHNG MINH
HAI NG THNG SONG SONG
TRONG HèNH HC 7

1.Li gii thiu
-Sáng kiến kinh nghiệm :Một số phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng
song song trong Hình học 7 cũng là một chuyên đề mà tôi thực hiện tại trờng đối với học sinh đại trà.Thông qua chuyên đề ,qua thực tế khi đề cập
triển khai nội dung này tôi thấy học sinh rất hứng thú trong việc củng cố
kiến thức ,tìm ra các phơng pháp chứng minh về nội dung khác ,hứng thú
với môn học Hình học và giải bài tập Hình học mà hiện nay học sinh có tâm
lý thích học Đại số hơn Hình học .
1


-Qua đây tôi cũng thấy đợc rằng giáo viên biết gợi cho học sinh tìm tòi
,xây dựng phơng pháp chứng minh từ những vấn đề mà giáo viên đặt ra khi
đợc giải quyết học sinh sẽ có hứng thú trong học tập hình học nói riêng và
môn Toán nói chung .
2.Tờn sỏng kin kinh nghim:
Một số phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng
song song trong Hình học 7.

3. Tỏc gi sỏng kin:
- H v tờn:
- a ch : -.

4.Ch u t ra sỏng kin: Lờ Th Hnh
5. Lnh vc c ỏp dng: -Đề tài đợc áp dụng cho học sinh đại trà

giúp học sinh củng cố kiến thức ,hình thành phơng pháp học tập nói chung
,tự xây dựng cho mình phơng pháp chứng minh Hình Học hình thành hứng
thú học tập ,rèn đợc kỹ năng trình bày bài ,nâng cao năng lực ngời học
6. Ngy sỏng kin c ỏp dng ln u tiờn: Thỏng 9 nm 2015

7. Mụ t v bn cht ca sỏng kin:

- V ni dung : Trong phạm vi chuyên đề này tôi chỉ đề cập một số dạng
bài tập chứng minh hai đờng thẳng song song trong trong Hình học 7 và
Một số phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song trong
Hình học 7.Qua đó các em sẽ có những cách nhìn ,tự xây dựng và hình
thành phơng pháp học tập ,phơng pháp chứng minh các kiến thức khác .
- V kh nng ỏp dng:
Giúp học sinh khái quát kiến thức cơ bản tự hình thành Một số
phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song trong Hình học 7.
Biết vận dụng trình bày phơng pháp trên khi trình bày lời giải một số
bài tập chứng minh hai đờng thẳng song song trong Hình học 7
Trên cơ sở đó ,từ đó các em biết phát huy khả năng sáng tạo ,củng
cố ,khắc sâu mở rộng kiến thức và tích cực chủ động của học sinh .Hình
thành niềm say mê học Toán ,giải Toán ,giải quyết đợc những bài toán đặt ra
A.Cơ sở lý thuyết .
1.Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song : sở lý thuyết
Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a,b và trong các góc tạo thành
có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng
nhau ) thì a và b song song với nhau.(H.1)
A

2

B

c

a

b


2)Tiên đề ơ clít:
Qua một điểm ở ngoài một đờng thẳng chỉ có một đờng thẳng song
song với đờng thẳng đó (H.2)
M

a

3)Tính chất 1(Từ vuông góc đến song song )
Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau (H.3)
c
a

b
4)Tính chất 2(Từ vuông góc đến song song )
Một đờng thẳng vuông góc với một trong hai đờng thẳng song song thì nó
cũng vuông góc với đờng thẳng kia (H.3)
c
a

b

5)Tính chất 3(Từ vuông góc đến song song )
Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song với đờng thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau (H.4)
d
d
d

B.Một số phơng
phơng pháp chứng minh
hai đờng
đờng thẳng song song
1.Cách 1(Chỉ ra hai góc so le trong bằng nhau )
2.Cách 2 (Chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhau )
3.Cách 3(Chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhau)
A

c

a

3
B

b


4. Cách 4.Vận dụng tiên đề ơ clít

M

a

5.Cách 5.Vận dụng tính chất 1(Từ vuông góc đến song song )
c
a

b

6.Cách 6.Vận dụng tính chất 2(Từ vuông góc đến song song )
c
a

b

7.Cách 7.Vận dụng tính chất 3 (Từ vuông góc đến song song )

d
d
d

c.Một số bài toán vận dụng

.Bài toán 1:

Mục tiêu đề cập trong bài tập này của tôi không phải vấn đề đa ra bài tập
khó hay dễ mà là hớng dẫn và yêu cầu học sinh phải biết vận dụng và trình
bày tất cả các cách chứng minh về hai đờng thẳng song song

4

Cho hình vẽ bên .biết :
àA = 700 ; B
à = 1100 ; C
à = 700
1
1
1

a)Chứng minh rằng :a// b (bằng nhiều cách )
b)Chứng minh rằng :BE//CF;BE//CF
c)Chứng minh rằng :b//c(bằng cách vận dụng tiên đề ơ clít )
d)a//b hay không ,vì sao?
Giải:

a)Cách 1
d a = { A}



à
d b = { B} d a = { A} ; d b = { B} ; à
A1 ; B
1

à +B
à = 1800
1
là hai góc trongA1 cùng

phíabù nhau suy ra a//b(Theo dấu hiệu nhận biết hai

Ta có :

đờng thẳng song song -cách 3)

Cách 2.
Vì àA1 + Bả 2 = 1800 (Hai góc kề bù )
ả = 1800 B
à
B
2
1

5


ả = 1800 1100
B
2
ả = 700
B
2

Ta có :
d a = { A}

ả ;
d b = { B} d a = { A} ; d b = { B} ; à
A1 ; B

2

0
à
ả le
là hai góc
trong
A1 =so
B
2 = 70
bằng nhau suy ra a//b(Theo dấu hiệu nhận biết hai

đờng thẳng song song-Cách 1 )
b)
Giải:
Ta có :

d b = { B}

d c = { C}
à ả
d a = { A} ; d c = { C } ; C1 ; B2
0
à
ả
C1 = B2 = 70

là hai góc Eđồng
b; Fvịbằng
c nhau suy ra BE//CF(Theo dấu hiệu nhận biết hai

đờng thẳng song song-Cách 2 )
Giải:
Vì Cà1 + Cả 2 = 1800 (Hai góc kề bù )
ả = 1800 C
à
C
2
1
0
ả = 180 700
C
2

ả = 1100
C
2

Ta có :
d b = { B}



d c = { C}
ả à
d b = { B} ; d c = { C } ; C2 ; B1
ảC = B
à = 1100
2
1

' góc
b; F 'đồng
c vị bằng nhau suy ra BE//CF(Theo dấu hiệu nhận biết hai
là Ehai

đờng thẳng song song-Cách 2 )
c)
Giải:
Ta có :
BE//CF (chứng minh phần b) BE//c
(1)
BE//CF(chứng minh phần b) BE//c (2)
Từ (1);(2) theo tiên đề ơclit
suy ra EE//c hay b//c.
d)
Giải:
Ta có :
6


a//b (chứng minh phần a)
(3)
b//c(chứng minh phần c)
(4)
Từ (3);(4) suy ra a//c (Tính chất 3 .Từ vuông góc đến song song-Cách 7 )

Bài toán 2:

Cho tam giác cân ABC(AB=AC) .Trên các cạnh AB và AC lấy tơng ứng gọi

điểm D và E sao cho AD=AE.Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng :DE//BC.
Hớng dẫn
Ta có :AD=EA(gt) tam giác ADE cân tại A do đó
1800 àA (1)
ãADE =

A

2 A (gt) do đó
Tam giác ABC cân tại
(2)
1800 àA
ãABC =

Từ (1) và(2) suy ra 2 ãADE = ãABC
mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra
ãADE ; ãABC là hai góc đồng vị bằng nhau .
Vậy DE//BC(Theo dấu hiệu nhận biết hai
đờng thẳng song song-Cách 2 )

E

D

B

C

M

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC cân ở A.Trên tia đối
của tia AB lấy điểm D ,trên tia đối của tia
AC lấy điểm E sao cho AD=AE.
Chứng minh rằng:DE//BC
Hớng dẫn .
Ta có:AE=AD(gt).Tam giác AED cân ở A do đó
Tam giác ABC cân ở A (gt) do đó
(2)
ã
1800 BAC

B

ãACB =
2(Hai góc đối đỉnh) (3)
Mà EAD
ã
ã
= BAC
Từ (1);(2);(3) suy ra ãAED = ãACB
mà ãAED; ãACB là hai góc so le trong

0
ã
ãAED = 180 EAD (1)
2

E
A

C

D

là hai góc so le trong bằng nhau do đó DE//BC.( Theo dấu hiệu
nhận biết hai đờng thẳng song song-Cách 1 )
ãAED; ãACB

Bài tập 4: Cho ABC, AB = AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối
của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD
CMR: AB // DC
Bài tập
GT

ABC, AB = AC

7


KL

MB = MC, MA = MD
b) AB // DC

Chứng minh:
Xét ABM và DCM có:
AM = MD (GT) (1)

ã
ã
(Hai góc đối đỉnh )
AMB
= DMC
(2)
BM = MC (GT)
(3)

Từ (1);(2);(3)
ABM = DCM
(c.g.c)
ã
ã
ABM
(Hai góc tơng
= DCM
ứng ) Mà 2 góc này ở vị trí so le
ã
ã
trong ABM
là hai góc so le
; DCM
trong bằng nhau
AB // CD.( Theo dấu hiệu nhận biết
hai
đờng thẳng song song-Cách 1 )

A

B

M

C

D

Bài tập 5:

Vẽ ABC
- Qua A vẽ AH BC (H thuộc BC), Từ H vẽ KH AC (K thuộc AC)
- Qua K vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại E.
a. Chỉ ra 1 số cặp góc bằng nhau
b. Chứng minh rằng: AH EK
c. Qua A vẽ đờng thẳng m AH,
CMR: m // EK
Giải:
BC, HK BC
GT AH
KE // BC, Am AH
a) Chỉ ra 1 số cặp góc bằng nhau
KL b) AH EK
c) m // EK.

8


Chứng minh:
à =B

à (hai góc đồng vị của
a) E
1
1
EK // BC)
à =K
ả (hai góc đối đỉnh)
K
1
2

A

m

E

ả =H
ả (hai góc so le trong của EK
K
3
1

1

2
3

// BC)
b) Vì AH BC mà BC // EK AH

EK(Tính chất 2 .Từ vuông góc
đến song song Cách 6)
c) Vì m AH mà BC AH m //
BC, mà BC // EK m // EK(Tính
chất 3 .Từ vuông góc đến song song
Cách 7)

B

1

K
1

1

C

H

Bài tập 6:

Cho ABC , góc A = 900; AB = AC. Điểm K là trung điểm của BC.Từ C kẻ
đờng thẳng vuông góc với BC, cắt BA kéo dài tại E.
Chứng minh: EC // AK?

GT
KL

E

à = 900 , AB
ABC, A

= AC
KB = KC, CE BC
EC // AK,

A

B

K

C

Chứng minh:
. Xét AKB và AKC:
AB = AC (GT) (1)
AK là cạnh chung (2)
KB = KC (GT) (3)
ã
ã
Từ (1);(2);(3) AKB = AKC (c.c.c) AKB
= AKC
ã
ã
(Hai góc tơng ứng ) mà AKB
+ AKC
= 1800 (Hai góc kề bù)

0

180
ã
ã
AKB
= AKC
=
= 900 hay AK BC (4)
2
Mặt khác CE BC (GT) (5)
9


Từ (4);(5) EC // AK(Tính chất 1 .Từ vuông góc đến song song Cách 5)

Bài tập 7: (Bài 26-t118 SGK Hình học 7)

Xét bài toán :
Cho tam giác ABC ,M là trung điểm của BC.Trên tia đối của tia MA lấy
điểm E sao cho ME=MA.Chứng minh rằng AB//CE.
Dới đây là hình vẽ và giả thiết ,kết luận của bài toán :
GT
KL

A

ABC,MA=ME;MB=MC

AB // CE ,

C

B

M
E

Hãy sắp xếp lại năm câu sau đây một cách hợp lý để giải bài toán trên :
1)MB=MC (Giả thiết )
ãAMB = EMC
ã
(hai góc đối đỉnh )
MA=ME (Giả thiết )
2)Do đó AMB= EMC(c.g.c)
ã
ã
3) MAB
= MEC
AB // CE (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong )
ã
ã
4) AMB= EMC MAB
(Hai góc tơng ứng )
= MEC
5) AMB và EMC có :

Giải :
Thứ tự các bớc chứng minh nh sau :
5) AMB và EMC có :

1)MB=MC (Giả thiết )
ãAMB = EMC
ã
(hai góc đối đỉnh )
MA=ME (Giả thiết )
2)Do đó AMB= EMC(c.g.c)
ã
ã
4) AMB= EMC MAB
(Hai góc tơng ứng )
= MEC
ã
ã
3) MAB
= MEC
AB // CE (có hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong Cách 1)

Bài tập 8: (Bài 8-Tr109 SGK Hình học 7)

Cho tam giác ABC có Bà = Cà = 400 .Gọi Ax là tia phân giác của góc ngòai ở
đỉnh A .Hãy chứng tỏ rằng Ax//BC.
Giải :
10


GT
KL

D

à =C
à = 400
ABC, B
ã
ã
xAD
= xAC

A

Ax // BC ,

x
C

B

Ta có :
ã
Vì CAD
là góc ngoài của ABC tại đỉnh A nên :
ãACD = B
à +C
à = 400 + 400 = 800 (Theo tính chất góc ngoài của tam giác)
Vì Ax là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A (GT) nên:
ảA = 1 CAD
ã
= 800 : 2 = 400 (Theo tính chất tia phân giác của một góc ) (1)
2
2

Mặt khác Cà = 400 (GT) (2)
Từ (1) và (2) ảA2 = Cà mà ảA2 ; Cà là hai góc ở vị trí so le trong ảA2 ; Cà là hai

góc so le trong bằng nhau nên Ax//BC.( Theo dấu hiệu nhận biết hai
đờng thẳng song song-Cách 1 )

Bài tập 9:

Tại sao sử dụng tiên đề Ơclit thì suy ra đợc tính chất Hai đờng thằng phân
biệt cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau
Hớng dẫn :
GT
KL

a

a//c
b//c
a// b

M

b
c

Cách suy luận nh sau :
Giả sử hai đờng thẳng phân biệt a và b không song song với nhau thì chúng
phải cắt nhau tại một điểm gọi điểm đó là M.Khi đó qua M vừa có a//c,vừa
có b//c ,điều đó trái với tiên đề Ơclit.
Vậy điều giả sử trên là sai ,ta có a//b.

Bài tập 10:

ã
ã
Cho hình vẽ bên ,biết CAx
= 500 ; CBy
= 400 ; ãACB = 900 .
Hãy chứng tỏ rằng Ax//By.
A

x
C

11
B

D

y


Phân tích .Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai
đờng thẳng song song ,đề chứng minh
A
x
ã
Ax //By trớc hết ta đi tính ADB rồi so sánh
ã
ãADB với DAx

.
C
Giải :
Xét tam giác BCD.Ta có :
ã
Vì BCA
là góc ngoài tại đỉnh C
ã
à + BDC
ã
của tam giác BCD BCA
B
y
D
=B
(Tính chất góc ngoài của tam giác )
ã
ã
à BDC
ã
ã
nên : BDC
= BCA
B
= 900 400 = 500 hay BDA
= 500 (1)
ã
Mặt khác ta lại có: DAx
=500 (GT)
(2)

ã
ã
ã
ã
Từ (1) và (2) BDA
mà BDA
là hai góc ở vị trí so le trong
; DAx
= DAx
ã
ã
là hai góc so le trong bằng nhau nên Ax//By(Dấu hiệu nhận biết
BDA
; DAx
hai đờng thẳng song song Cách 1)

Bài tập 11: (Bài 24-Tr129 Luyện giải và Ôn tập Toán 7 .T1)
Xem hình vẽ bên
a)Tại sao a//b
b) Đờng thẳng c có song song
với đờng thẳng b không ?

Giải:

a)Ta có :
a d = { A} (1)
b d = { B} (2)
Từ (1) và (2) a//b

d

A
a

D
B

b

E
C

c
G
(Tính chất 1.Từ vuông góc đến song song-Cách
5 ) (3)
0
0
0
à ;G
à là hai góc trong cùng phía D
à ;G
à là
à +G
à = 50 + 30 = 80 mà D
b)Ta có D
hai góc trong cùng phía bù nhau a//c
(Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song Cách 3 ) (4)
Từ (3) và (4) c//b(Tính chất 3.Từ vuông góc đến song song cách 7)

x

Bài tập 12:

A

Xem hình vẽ bên .Giải thích tại sao Ax//Cy
B
12
y

C


Giải:
Qua B vẽ đờng thẳng Bz //Ax (I)
Vì Bz //Ax Theo tính chất về hai đờng thẳng x
à và à
song song nên ta có B
A
1
là hai góc trong cùng phía
à + àA = 1800
bù nhau B
1
à = 1800 àA
B
1
à = 1800 600 = 1200
B
1

z

Ta lại có :

y

à +B
ả = 1800 (Hai góc kề bù )
B
1
2

A

B
C

ả = 1800 B
à
B
2
1
ả = 1800 1200 = 600
B
2
à
ả = 1100
B +B
3

2

à = 1100 B
ả
B
3
2
à = 1100 600 = 500
B
3

Ta có :

à = 500
B
à à
3
B3 = C (1)
à = 500
C

à ;C
à là hai góc ở vị trí so le trong B
à ;C
à là hai góc ở vị trí so le
Mặt khác B
3
3

trong bằng nhau Bx//Cy (Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song songCách 1 )
(II)
Từ (I);(II) Ax//Cy(Tính chất 3.Từ vuông góc đến song song Cách 7)

Bài tập 13:

13


Cho tam giác ABC ,M và N lần lợt là trung điểm của AB và AC.Trên tia đối
của tia MC lấy điểm D sao cho MD=MC.Trên tia đối của tia NB lấy điểm E
sao cho NE=NB .Chứng minh rằng :DE//BC.

GT
KL

ABC
MA=MB;NA=NC
MD=MC;NE=NB
DE//BC.

A

D
M

E
N

B

C

Giải :
Xét AMD và BMC có:
MA=MB(GT) (1)
ãAMD = BMC
ã
(Hai góc đối đỉnh ) (2)
MD=MC(GT)
(3)
ã
ã
Từ (1);(2);(3) AMD = BMC(c.g.c) DAM
(Hai góc tơng ứng)
= CBM
ã
ã
ã
ã
mà DAM
ở vị trí so le trong DAM
ở vị trí so le trong bằng
; CBM
; CBM
nhau AD//BC (Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song-Cách 1 )
(I)
Xét ANE và CNB có:
NA=NC(GT) (4)
ãANE = CNB

ã
(Hai góc đối đỉnh ) (5)
NE=NB(GT)
(6)
ã
ã
Từ (4);(5);(6) ANE = CNB (c.g.c) EAN
(Hai góc tơng ứng)
= BCN
ã
ã
ã
ã
mà EAN
ở vị trí so le trong EAN
ở vị trí so le trong bằng nhau
; BCN
; BCN
AE//BC (Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song Cách 1)
(II)
Từ (I) và (II) AD và AE cùng song song với BC nên theo tiên đề Ơclit
DE//BC(Cách 4)

8. Nhng thụng tin c bo mt: khụng.
9. Cỏc iu kin cn thit ỏp dng sỏng kin:

-Đề tài đợc áp dụng cho học sinh đại trà giúp học sinh củng cố kiến thức
,hình thành phơng pháp học tập nói chung ,tự xây dựng cho mình phơng
pháp chứng minh Hình Học hình thành hứng thú học tập ,rèn đợc kỹ năng
trình bày bài ,nâng cao năng lực ngời học

14


10. ỏnh giỏ li ớch thu c ho d kin cú th thu c do
ỏp dng sỏng kin theo ý kin ca tỏc gi v theo ý kin ca t
chc , cỏ nhõn ỏp dng sỏng kin ln u:

Sáng kiến kinh nghiệm :Một số phơng pháp chứng minh hai đờng
thẳng song song trong Hình học 7 cũng là một chuyên đề mà tôi thực
hiện tại Trờng đối với học sinh đại trà.Thông qua chuyên đề ,qua thực tế khi
đề cập triển khai nội dung này tôi thấy học sinh rất hứng thú trong việc củng
cố kiến thức ,tìm ra các phơng pháp chứng minh về nội dung khác ,hứng thú
với môn học Hình học và giải bài tập Hình học mà hiện nay học sinh có tâm
lý thích học Đại số hơn Hình học .
-Qua đây tôi cũng thấy đợc rằng giáo viên biết gợi cho học sinh tìm tòi
,xây dựng phơng pháp chứng minh từ những vấn đề mà giáo viên đặt ra khi
đợc giải quyết học sinh sẽ có hứng thú trong học tập hình học nói riêng và
môn Toán nói chung .

Ngy 15 thỏng 02 nm 2016
Hiu trng

Ngy 12 thỏng 02 nm 2016
Tỏc gi sỏng kin

Bựi Quang Ba

Lờ Th Hnh

15


16