Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
* Chuyên đề 1:

MộT Số DạNG TOáN CƠ BảN Về CĂN BậC HAI
A.Kiến thức cơ bản :
1.Khái nim: x là cn bc hai ca s không âm a x2 = a. Kí hiu: x = a .
2.iu kin xác nh ca biu thc A
Biu thc A xác nh( có nghĩa ) A 0 .
3.Hng ng thc cn bc hai
A khi A 0
A2 = A =
A khi A < 0
4.Các phép bin i cn thc
1) A.B = A. B ( A 0; B 0 )
2)

A
A
=
B
B

3)

A 2B = A B

( B 0)

4)

A 1

=
A.B
B B

( A.B 0; B 0 )

5)

6)
7)

C
A B
C
A B

=

C

=

( A 0; B > 0 )

(

A mB

A b

C

(

2

)

Am B
A B

(với A 0 và A B2 )

)

(với A 0 , B 0 và A B )

A 2 B = m 2 m.n + n =

(

m n

)

2

=

m n

m + n = A
vi
( m,n > 0 )
m.n = B
8) Nếu A 0 thì A = ( A ) 2 = A 2 = A
*Chú ý : Khi áp dụng các công thức trên ta thờng áp dụng một cách linh hoạt theo chiều
thuận hoặc đảo phù hợp với từng bài .

B.Một số dạng bài tập thờng gặp :
Dạng 1: Tính toán,thu gọn biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai số học
I.Một số ví dụ :
Ví dụ 1: Tính:
1) 12 3
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2006 - 2007,Ngày thi: 15/6/2006)
1


2)
3)
4)
5)
6)
7) (

CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
100 81
2. 8 -3
3 2+2 2
4 . 25

9+ 4
5+ 3

)(

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2006 - 2007, Ngày thi: 17/6/2006)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2007 - 2008, Ngày thi: 26/6/2007)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2008- 2009,Ngày Thi: 22/6/2008)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2009- 2010,Ngày thi: 08/7/2009)

5 3

)

8) 202 162
9) 3. 27 144 : 36

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2009- 2010 , Ngày thi: 10/7/2009)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth năm học 2010-2011,Ngày 01/07/2010)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth năm học 2010-2011,Ngày 03/7/2010)
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)

Giải :

1) 12 3 = 2 3 3 = 3
2) 100 81 = 10 8 = 2
3) 2 . 8 - 3 = 16 3 = 4 3 = 1
4) 3 2 + 2 2 = 5 2
5) 4 . 25 = 2.5 = 10
6) 9 + 4 = 3 + 2 = 5

7)

(

5+ 3

)(

5 3

) = ( 5) ( 3)
2

2

= 53 = 2

8) 202 162 = ( 20 16 ) ( 20 + 16 ) = 4 36 = 2.6 = 12
9) 3. 27 144 : 36 = 81 144 : 36 = 9 12 : 6 = 7
Ví dụ 2 : Tính: (áp dụng quy tắc khai phơng một tích )
1) 9.16
2) 250.360
3) 12,1.1960
4) 25 2 24 2
3

1)
2)
3)
4)

5)

1 14 63
.2 .2
16 25 81

5) 125.180

6)

7) 58 2 42 2
Giải :

9.16 = 9 . 16 =3.4 = 12
250.360 = 25.36.100 = 25. 36 . 100 = 5.6.10 = 300
12,1.1960 = 12,1.196.10 = 121.196 = 121. 196 = 11.14 = 154
25 2 24 2 = (25 24).(25 + 24) = 1.49 = 49 = 7
125.180 = 25.5.36.5 = 25 2.36 = 25 2 . 36 = 25.6 = 150

6) 3 1 .2 14 .2 63 = 49 . 64 . 225 = 49 . 64 . 225 = 7 . 8 . 15 = 14
16

25

81

16 25 81
16 25 81
4 5 9
3

58 2 42 2 = (58 42).(58 + 42) = 16.100 = 16 . 100 = 4.10 = 40

7)
Ví dụ 3: Tính ( áp dụng quy tắc nhân,chia các căn bậc hai ):
1) 12 . 3
6) 72
2

2) 75. 3
7)

18
0,5

3) 0,4 . 90
8)

4) 3 5 . 3 + 5
27 x
3x 3

5) 32. 1

2

( x > 0)

Giải :
2

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO 10 NĂM HỌC 2016-2017

1) 12. 3 = 12.3 = 36 = 6
2) 75. 3 = 75.3 = 225 = 15
3) 0,4. 90 = 0,4.90 = 36 = 6
4) 3 − 5 . 3 + 5 = (3 − 5 ).(3 + 5 ) = 32 − ( 5 ) 2 = 9 − 5 = 4 = 2
5) 32. 1 = 32. 1 = 16 = 4
2

2

6) 72 = 72 = 36 = 6
7)
8)

2
18

0,5
27 x
3x 3

2

18
= 36 = 6
0,5

=

27 x
=
3x 3

=

9
3 3
= =
2
x x
x

(v× x > 0)

VÝ dô 4 : TÝnh :
1) ( 3 − 2 ) 2
2) ( 2 − 1) 2 − ( 2 + 1) 2
5) 3 − 2 2 − 3 + 2 2

3) (3 − 2 2 )(. 3 + 2 2 )

4)

(

3−2

)

2

−

(

3+2

)

2

Giải:

1) ( 3 − 2 ) = 3 − 2. 3. 2 + 2 = 3 − 2 6 + 2 = 5 − 2 6
2) ( 2 − 1) 2 − ( 2 + 1) 2 = ( 2 − 1 + 2 + 1)(. 2 − 1 − 2 − 1) = 2 2.( − 2 ) = −4
3) (3 − 2 2 )(. 3 + 2 2 ) = 3 2 − ( 2 2 ) 2 = 9 − 8 = 1
2

4)

(

3−2

)

2

2

−

(

2

3+2

)

2

=

3 − 2 − 3 + 2 = 2 − 3 − ( 3 + 2) = 2 − 3 − 3 − 2 = −2 3

5) 3 − 2 2 − 3 + 2 2 = ( 2 − 1) 2 − ( 2 + 1) 2 = 2 − 1 − 2 + 1 = 2 − 1 − 2 − 1 = −2
VÝ dô 5 :TÝnh, trôc c¨n thøc :
1)
6)

2

2)

2
1
2 −1

5
2 3

3)

−2
3 +1

4)

6
3 2 −2 3

5)

1
2010 − 2009

(§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 n¨m 2005 - 2006, Ngµy thi 02/7/2005)

Giải:
2
1) 2 = ( 2 ) = 2

2)

2
5

2 3

=

2
5 3

2 3. 3

=

5 3 5 3
=
2.3
6

3


3)
4)

2
=
3 +1

(

6
3 2 2 3

2

CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017

(

3 1)

3 + 1)
=

1
2010 2009

)(

)

3 1)

)

=

2

(

3 1)

3 1

6.(3 2 + 2 3 )
(3 2 2 3 ).(3 2 2 3 )
=

) = 2 (

=

3 1)
2

) = 1

3

6.(3 2 2 3 ) 6.(3 2 2 3 )
=
=3 2+2 3
18 12
6

2010 + 2009
( 2010 2009 ).( 2010 + 2009 )

=

5)

2010 + 2009
= 2010 + 2009
2010 2009

Ví dụ 6 : So sánh các biểu thức sau ( không sử dụng máy tính ):
1) a= 20 + 5 và b = 4 5
2) a= 2 3 và b= 3 2
3) a= 2008 2007 và b= 2009 2010
4) a = 1997 + 1999 v b = 2 1998
Gii
1) a= 20 + 5 và b = 4 5
Ta có : a= 20 + 5
=2 5 + 5
= 3 5 < 4 5 vậy a < b
2) Ta có a = 2 3 = 22.3 = 12
b = 3 2 = 32.2 = 18
Vì 12 < 18 a < b
Hoặc:a= 2 3 và b= 3 2
Ta có : a2 = ( 2 3 )2 = 12
b2 = ( 3 2 )2 =18

Vì 12 < 18 nên a2 < b2 do đó a<b ( vì a > 0 , b > 0)
3) a = 2008 2007 và b= 2009 2010
Ta có : a= 2008 2007 >0 (1)
b= 2009 2010 <0 (2)
Từ (1) và (2) Suy ra :a > b
4) a = 1997 + 1999 v b = 2 1998
Ta có :
a = 1998 1 + 1998 + 1 =

(

1998 1 + 1998 + 1

)

2

= 2.1998 + 2 19982 1 < 2.1998 + 2 19982 = 2 1998
Vậy a < b.
* Chú ý : Để so sánh A và B trong đó A , B là các biểu thức chứa căn bậc 2 ta thờng làm nh
sau :
4


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
+ Thực hiện phép biến đổi A = C và B = D rồi so sánh B và D(B và Dso sánh đợc).
+Xét hiệu A-B rồi so sánh với 0.
+Sử dụng tính chất bắc cầu.
+So sánh A2 và B2 ( A,B > 0 ) từ đó so sánh A và B
IIIBài tập áp dụng (HS làm VN)
Bài 1 : Tính :
1) 12 + 27
2)3 2 + 5 8 2 50
3) 2 45 + 80 245
3
1
1
+
+

4
3
12
8)(3 5 + 2 )(3 5 2 )

4)3 12 27 + 108

6) 0,4 + 2,5

5)

7)( 2 + 72 18 ) 2

Bài 2 : Tính
1) 2 3 3 12

2) 2 2 5 + 18 20

4)2 27 6 48 + 4 75

5) 28 2 14 + 7 + 63

3)3 3 12 + 24
6) 3 5 + 4 20 2 125

Bài 3 : Tính :
1)( 12 + 27 3 ) : 3
4)( 4 16 + 25) 4

2) ( 27 + 12 108 ) : 3

5)(4 3 + 2)(4 3 2)

1
4

+ 3) : 3
3
3
6) ( 6 + 2)( 3 2 )

3) (

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau :
2) 2 + 6 2 5
1) 4 + 2 3

3) 3 + 5 3 5

4) 8 + 4 3 8 4 3

5) 9 4 5 9 + 4 5

6)

7) 16 6 7 16 + 6 7

8) 6 + 2 5 13 + 48

6+2 5
5 +1

Bài 5 : Rút gọn các biểu thức sau
1) G = 4 + 7 4 7
2) I = 9 4 5 9 + 4 5
3) N =

3+ 5 3 5
+
3 5 3+ 5

4) R = 3 + 13 + 48

Bài 6: Tính :

1) 3 5 3 5 .
2) 3 5 .( 10 2 ).(3 + 5 )
Bài 7 : Tính :
1
1
1
+
+ .............. +
1)A =
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
2010 2009 + 2009 2010
5


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
1

1
1
+
+ ....... +
1+ 2
2+ 3
2006 + 2007

2)B =

2+ 3+ 6+ 8+4

3) G =

2+ 3+ 4
3 8 2 12 + 20

4) H =

3 18 2 27 + 45

Bài 8 :

Chứng minh :

1
2 1

+

1
3 2

+

1
4 3

+ ... +

1
2005 2004

<2

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2005 - 2006)

Bài 9 : So sánh (không dùng máy tính )
1) 3+ 5 và 2 2 + 6
2) 2 3 + 4 và 3 2 + 10
3) 27 + 26 + 1 và 48
4) 105 101 và 101 97
5)
15 14 và 14 13
6) 5 3 và 3 5
7) 2009 + 2011 và 2010
1

8)

1

+

1
2

+ ...

1
36

và 14

Dạng 2: tìm điều kiện xác định của căn thức
I .Kiến Thức cơ bản :
1.Định nghĩa : Với A là biểu thức đại số ,ta gọi
biểu thức lấ y căn hay biểu thức dới dấu căn .
2.Một số trờng hợp thờng gặp:
+) A xác định A 0
+) A 2 xác định với x R
+)
+)
+)

m
A
m

A là căn thức bậc hai của A.Khi đó A gọi là

A 0
A>0
A 0

xác định

A2

xác định A 0

m
xác định A 0
A

6


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
A 0

B 0
+) A.B xác định A.B 0
A 0

B 0

( ta có thể lập bảng xét dấu )

A 0

B>0
A
A
+)
xác định 0
B
B
A 0

B < 0

( ta có thể lập bảng xét dấu )

II.Một số ví dụ :
Ví dụ 1 :
a) Tìm x để x 2 có nghĩa. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2008- 2009,Ngày Thi: 22/6/2007)
b) Với giá trị nào của x thì x 5 có nghĩa?. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2007- 2008,
Ngày 28/6/2007)

Giải :

a) Ta có x 2 có nghĩa x - 2 0 x 2
b) Ta có x 5 có nghĩa x - 5 0 x 5

Ví dụ 2: Tìm x để các biều thức sau có nghĩa :
1) 2x
2) 15x
3) 2 x + 1
4) 3 6x

5)

1
2 x

6)

3
x 1
2

7) 2 x 2 + 3

5
x2 2

Giải :

1) 2x có nghĩa -2x 0 x 0
2) 15x có nghĩa 15x 0 x 0
3) 2 x + 1 có nghĩa 2x + 1 0 x

8)

1
2

1
2
x 0

1
x 0

5)
có nghĩa
2 x
x 4
2 x 0

4) 3 6x có nghĩa 3-6x 0 x

6)

x 1 > 0

x +1> 0
3
2- 1 > 0 ( x 1)( x + 1) > 0

có
nghĩa
x
x 1 < 0
x2 1

x + 1 < 0

x > 1

x < 1

7) 2 x 2 + 3 có nghĩa 2x2 + 3 0 Điều này đúng với mọi x.
7


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
Vậy biểu thức này có nghĩa với mọi x
8)

5
x 2
2

có nghĩa -x2 - 2 > 0. Bất đẳng thức sai với mọi x

Vậy biểu thức này vô nghĩa với mọi x (không có giá trị của x để BT có nghĩa)
III.Bài tập áp dụng(HS làm VN) :
Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau ):

1)
5)
9)

3x 1
1
7x 14
x+3
7x

10)

2)

x2 + 3

6)

x 2 3x + 7

3)
7)

5 2x
2x 1

4)

x2 2

8) x 2 9

6x 1 + x + 3

Dạng 3 : Rút gon biểu thức - phân thức - căn thức bậc hai và các bài toán phụ
I.Kiến thức cơ bản :
1.Các bớc cơ bản để làm bài toán rút gọn :
-Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức .
- Phân tích tử thức,mẫu thức thành nhân tử (nếu có ),giản ớc các nhân tử chung (nếu có ).
- Quy đồng mẫu chung ( nếu có )
-Thực hiện các phép toán thu gọn biểu thức .

*Chú ý : Nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính.
( ) [ ] { } . ; a n ì,: +,
và các phép tính về đơn thức, đa thức, phân thức, căn thức.
*Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cần nhớ :
1) x 2 x + 1 = ( x + 1) 2 ( với x 0 )
2) x 2 x. y + y = ( x + y ) 2 ( với x,y 0 )
3) x - y = ( x y )(. x + y ) ( với x,y 0 )
4)x x y y = x 3 y 3 = ( x y )(. x x. y + y ) ( với x,y 0 )
5) x y y x = xy ( x y ) ( với x,y 0 )
6) x 1 = ( x + 1)( x 1) ( với x,y 0 )

2.Một vài bài toán phụ thờng gặp :
2.1. Tính giá trị của biểu thức A(x) với x = m.
+ Hớng dẫn:
- Nếu biểu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn, ta biến đổi giá trị của biến về
dạng HĐT.
- Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu trớc khi thay vào biểu thức.
2.2 Tìm giá trị của x để : A(x) = a. ( a là hằng số )
+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải PT : A(x) = a.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
2.3. Tìm giá trị của x để : A(x) lớn hơn, hoặc bé hơn một số ( một biểu thức).
+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải BPT : A(x) > B(x) ( hoặc A(x) < B(x)).
8


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
2.4. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị nguyên.
+ Hớng dẫn: - Tách phần nguyên, xét ớc.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.

2.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đã rút gọn.
+ Hớng dẫn: Có thể đánh giá bằng nhiều cách, tuỳ bài toán cụ thể mà ta chọn cách nào đó
cho phù hợp.
2.6. So sánh biểu thức đã rút gọn với một số hoặc một biểu thức.
+ Hớng dẫn: Xét hiệu A - m so sánh với 0
- Nếu A - m > 0 thì A > m.
- Nếu A - m < 0 thì A < m.
- Nếu A - m = 0 thì A = m.

II.Một số ví dụ :
Ví dụ 1. (Đề thi vào 10 THPT năm 2011-2012 (01/7/2011)- Bắc Giang)

Rút gọn biểu thức

a+3 a
a 1

A =
2ữ
.
+ 1ữ, với a 0; a 1
ữ
a +3
a 1

(

)

a a +3

2 ữ.
Với a 0; a 1 ta có A =

ữ
a +3


=

Vậy A = a - 4
Ví dụ 2.

(

)(

a 2 .

(

Giải

)(

a 1

) + 1ữ

a +1

a 1

ữ


)

a +2 = a4

(Đề thi vào 10 THPT năm 2010-2011 (03/7/2010)- Bắc Giang)

3
3
Cho biểu thức P = 2a + 1 + 2a 1

a a +1 a + a +1

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P > 3.
a) Với a R ta có P = (

a + 1) ( a a + 1)

Giải:

2

a2 a + 1

= ( a + 1) ( a 1) (sai)

(với a R )

+

( a 1) ( a 2 + a + 1)
a2 + a +1

= a2 1

Vậy P = a 2 1
b) Với a R , p > 3 a 2 1 > 3
a2 > 4
a< -2 hoặc a > 2

Vậy với a< -2 hoặc a > 2 thì P > 3.

9


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
x x 1 x x +1

3 x


Ví dụ 3. Cho biểu thức: A =
ữ: 1
ữ

x+ x ữ
x +1 ữ
x x


a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 6 2 5
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.

Giải :

a) ĐKXĐ : x > 0 và x 1

x x 1 x x +1 3 x
A =

ữ: 1
ữ
x+ x ữ
x +1 ữ
x x


3
3

x 1
x + 1 x + 1 (3 x )

A=

:

x ( x 1)
x ( x + 1)
x +1


( x 1)( x + x + 1) ( x + 1)( x x + 1 x + 1 3 + x
:

A=




x
(
x

1
)
x
(
x
+
1
)
x

+
1



( x + x + 1) ( x x + 1 2 x 2
:

A =

x +1
x
x



x + x + 1 x + x 1 2( x 1)
A=
:
x
x +1
2 x
x +1
A=
.
x 2( x 1)
A=

x +1
x 1

Vậy A = x + 1
x 1

b) Ta có : x = 6 2 5 = ( 5 1) 2 x = ( 5 1) 2 = 5 1 A = 5 1 + 1 =
5 11

Vậy với x = 6 2 5 thì A = 5 + 2 5
c) Ta có : A = x + 1 = x 1 + 2 = x 1 +
x 1

x 1

x 1

2
x 1

=1+

5
52

=5+2 5

2
x 1

Để A có giá trị nguyên thì 2 x 1 x 1 Ư(2) hay x 1 { 1;2}
+)Với x 1 = -1 x = 1 + 1 x = 0 x = 0 (loại vì không T/MĐK)

+)Với x 1 = 1 x = 1 + 1 x = 2 x = 4 (T/MĐK)
10


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
+)Với x 1 = -2 x = 2 + 1 x = 1 (loại)
+)Với x 1 = 2 x = 2 + 1 x = 3 x = 9 (T/MĐK)
Vậy với x { 4;9} thì A có giá trị nguyên.
x +1
=-3
x 1

d)Ta có : A= -3

x +1
x 1
x +1



+3=0
3( x 1)

=0
x 1
x 1
x +1+ 3 x 3 = 0

+

4 x =2
1
1
x = x=
2
4

Vậy A = -3 Khi x =

1
4
x +1
<-1
x 1

e) Ta có : A < -1

x +1



+1 < 0

x 1
x +1

x 1

<0
x 1

x 1
x +1+ x 1

<0
x 1
2 x

<0
x 1

+

x 1 < 0 (vì 2 x >0 do x>0)
x <1
x <1

Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc 0 < x < 1 thì A <-1
Vậy A<-1 khi 0 < x < 1
Ví dụ 4. Cho biểu thức


1
2
:
+
ữ
ữ
ữ
a 1 a a a + 1 a 1

A =

a



1

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A biết a = 4 +2 3
c) Tìm a để A < 0 .

Giải:

a) Điều kiện 0 < a 1


Khi đó ta có A =

a

a 1




a

(

ữ: 1 +
a 1 ữ a +1


1

)

(

2

)(

a +1


ữ
a 1 ữ


)

11


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
a 1
a +1

:
=
a ( a 1) ( a 1)( a + 1)

A=

=

(

a +1
a

(

)

):

(

)(

a 1

a +1

a ( a 1)

):

a +1
( a 1)( a + 1)

1
( a 1)

a + 1 ( a 1) a 1
.
=
1
a
a
a 1
Vậy A =
a
=

b) a = 4 +2 3 =

(

)

2+1

2

2 1+ 2 )
A = 2+2 2 = (

=2
2 +1

2 +1

Vậy với a = 4 +2 3 thì giá trị của biểu thức A bằng 2
c) Với 0 < a 1 thì A < 0

a1
a

< 0 a 1< 0 a < 1

Kết hợp với điều kiện ta có A< 0 khi 0 < a < 1
III.Bài tập áp dụng (HS làm VN):
Bài 1: (Đề thi vào 10 THPT năm 2009-2010 (10/7/2009)- Bắc Giang)
x+ x
x x

+ 1
1 với x 0; x 1
Rút gọn biểu thức A =
x +1
x 1


Bài 2:

(Đề thi vào 10 THPT năm 2008-2009(22/6/2008)- Bắc Giang)



2
+ 1 x :
+ 1 với -1 < x < 1
1+ x
1 x2



Rút gọn biểu thức: P =
Bài 3:

2

(Đề thi vào 10 THPT năm 2008-2009(20/6/2008)- Bắc Giang)

Rút gọn biểu thức: P = a + b 2 ab :
a b

1
a+ b

Bài 4: (Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(26/6/2007)- Bắc Giang)
Cho biểu thức: A = x + 2 x + 1 + x 1 x
x +1

1. Rút gọn A

x 1

6
2. Tìm x z để z

Bài 5:

A

(Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(28/6/2007)- Bắc Giang)

12


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
Rút gọn biểu thức: A = 2 + 2 2 2
2 +1

2 1

x 3
x 1 2

Bài 6: Cho biểu thức P =

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ).

c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
2
Bài 7: Xét biểu thức A = a + a 2a + a + 1.

a a +1

a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A .
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 8: Cho biểu thức C =

a

1
1
x

+
2 x 2 2 x + 2 1 x

a) Rút gọn biểu thức C.

4
9

b) Tính giá trị của C với x = .

1
c) Tính giá trị của x để C = .

3
Bài 9: Xét biểu thức Q = 2 x 9 x + 3 2 x + 1 .
x 5 x +6

x 2

3 x

a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên.
x 2
x + 2 x2 2 x + 1

ữ
ữ
2
x 1 x + 2 x +1

Bài 10 Cho biểu thức: M =

a) Rút gọn M.
b) CMR nếu 0
c) Tính giá trị của biểu thức M khi x =
d) Tìm
e) Tìm
f) Tìm
g) Tìm
h) Tìm

4
.
25

giá trị của x để M = -1.
giá trị của x để M < 0 ( M > 0 ).
giá trị của x để M > -2 .
giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
giá trị của x để giá trị biểu thức M đạt GTLN.
----------------------------------

* Chuyên đề 2:
13


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017

Hàm số và đồ thị (Hàm số y = ax+b và y = ax2)
A.KIếN THứC CƠ BảN :
1. Hàm số: y = ax + b (a 0)
a)Tính chất :
* TXĐ : x R.
* Sự biến thiên :
+ Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R
+ Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R
b) Đồ thị: Là đờng thẳng song song với đồ thị y = ax .
- Nếu b 0. cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b.Trùng với đồ thị y = ax nếu b = 0
(b đợc gọi là tung độ gốc)
c) Cách vẽ đồ thị: Lấy hai điểm khác nhau thuộc đờng thẳng y = ax + b (a 0) Biểu diễn hai

điểm trên hệ trục Oxy kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
Cụ thể nh sau :
- Cho x = 0 y = b ta đợc điểm A ( 0 ; b) thuộc trục 0y
- Cho y = 0 x =

b
b
ta đợc điểm B ( ; 0) thuộc trục 0x
a
a

Vẽ đờng thẳng đi qua A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
* Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) còn gọi là đờng thẳng y = ax + b .
d) Chú ý :
- Đờng thẳng y = ax + b (a 0) có a gọi là hệ số góc.
- Ta có: tg = a (Trong đó là góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a 0) với chiều dơng
trục Ox)
- Nếu a > 0 thì : 0 < < 900
- Nếu a < 0 thì : 900 < < 1800
Minh Hoạ :
y
y
y = ax + b ( a > 0 )


0

x

0

x

y = ax + b ( a <0 )
e.Quan h gia hai ng thng.
Xột hai ng thng : (d1) : y = a1x + b1.
(d2) : y = a2x + b2.
a) (d1) ct (d2)
a1 a2.
b) (d1) // (d2)
c) (d1)

(d2)

d) (d1)

(d2)

a1 a2 = -1

f) im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x)

yA = f(xA).
14


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
2. Hàm số: y = ax2 (a 0)

a) Tính chất :
*TXĐ : x R.
* Sự biến thiên :
- Nếu a > 0 hàm số đồng biến với mọi x > 0 ; nghịch biến vứi mọi x < 0.
- Nếu a < 0 hàm số đồng biến với mọi x < 0 ; nghịch biến với mọi x > 0.
b)Đặc điểm của giá trị hàm số y = ax2 (a 0)
Khi a > 0 : Giá trị hàm số luôn > 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0 0 là giá trị nhỏ
nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0.
Khi a < 0 : Giá trị hàm số luôn < 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0 0 là giá trị lớn
nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0.
c) Đặc điểm của đồ thị hàm số : y = ax2 (a 0)
- Là đờng cong ( Parabol) đi qua gốc toạ độ nhận trục Oy là trục đối xứng.
* Nếu a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành. O là điểm thấp nhất của đồ thị.
* Nếu a < 0 đồ thị nằm phía dới trục hoành. O là điểm cao nhất của đồ thị.
Minh hoạ :
y

y
y=ax2 ( a > 0 )

0

x

0

x

y=ax2 ( a < 0 )
3. Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số.

*) Điểm thuộc đờng thẳng.
- Điểm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a 0) khi và chỉ khi yA = axA + b
- Điểm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a 0) khi và chỉ khi yB= axB + b
*) Điểm thuộc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a 0 )
- Điểm A(x0; y0) (P) y0 = ax02.
- Điểm B(x1; y1) (P) y1 ax12.
4. Tơng giao của đờng cong Parabol y = ax2 (a 0) và đờng thẳng y = bx + c
-Toạ độ giao điểm (Nếu có) của Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng
y = ax 2

(d) : y = bx + c là nghiệm của hệ phơng trình:

y = bx + c

- Hay phơng trình hoành độ giao điểm (nếu có) của ( P ) và ( d) là nghiệm của phơng trình :
ax2 = bx + c (1) Vậy:
+ Đờng thẳng (d) không cắt (P) phơng trình (1) vô nghiệm.
+ Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng cong(P) Phơng trình (1) có nghiệm kép.
+ Đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
B.MộT Số DạNG BàI TậP THƯờNG GặP :
Dang 1 : Tìm giá trị của tham số để hầm số là hàm số bậc nhất, đồng biến, nghịch biến :
1) Bài toán : Cho hàm số y = ax + b ( chứa tham số m ) .Tìm m để hàm số
y = ax + b là hàm số bậc nhất,đồng biến ,nghịch biến ?
Phơng pháp giải :
15


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
- Hàm số y = ax + b là hàm số bậc nhất a 0
- Hàm số y = ax + b đồng biến a > 0

- Hàm số y = ax + b nghịch biến a < 0
2) Ví dụ :
Ví dụ 1 : (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)
Tìm giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 3 đồng biển trên R.
Giải :

m2>0 m > 2
Hàm số y = (m - 2)x + 3 là hàm đồng biến
Vậy với m > 2 thì hàm số đã cho đồng biến.
Ví dụ 2 (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2009-2010,Ngày thi : 08/7/2009)
Hàm số y = 2009x + 2010 đồng biến hay nghịch biến trên R? vì sao?
Giải :
Vì hàm số có hệ số a = 2009 > 0 hàm số đã cho là hàm số đồng biến.
Ví dụ 3: (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2006-2007,Ngày thi : 17/6/2006)
Tìm m dể hàm số y = (2m-1)x + 3 là hàm số bậc nhất.
Giải :
Hàm số y = (2m - 1)x + 3 là hàm bậc nhất 2m 1 0 m
Vậy với m

1
2

1
thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
2

Ví dụ 4 : Cho hàm số : y = ( m-3)x + 2 ( tham số m )
a) Tìm m để hàm số đã cho là hàm bậc nhất ?
b) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến ?
c) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến ?

Giải :


a) Hàm số đã cho là hàm bậc nhất
m-3 0 m 3
b) Hàm số đã cho đồng biến m - 3 > 0 m > 3
c) Hàm số đã cho nghịch biến m - 3 < 0 m < 3
* KL : ...
Dang 2 : Tính giá trị của hàm số:
1) Bài toán : Cho hàm số y = ax + b (a 0) và y = ax2 (a 0)
Tính giá trị của hàm số tại x = k.
Phơng pháp giải :
Thay x = k vào hàm số để tìm y.
2) Ví dụ :
a) Cho hàm số y = x - 1. Tại x = 4 thì y có giá trị bằng bao nhiêu (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm
2009- 2010 , Ngày thi: 10/7/2009)

b) Cho hàm số f(x) = 2x2 . Tính f(1); f(-2). (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth
01/07/2010)

năm học 2010-2011,Ngày

Giải:
a) Thay x = 4 vào hàm số y = x- 1 ta đợc y = 4-1=3. Vậy tại x = 4 thì y có giá trị bằng 3.
b) Ta có f(1) = 2.12 = 2
f(-2) = 2.(-2)2 = 2.4 = 8.
16


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017

Dang 3 : Viết phơng trình đờng thẳng ( xác định hàm số ) y = ax + b biết đờng thẳng ( đồ
thị hàm số ) thoả mãn các điều kiện cho trớc :
- Nhận xét : Thực chất việc viết phơng trình đờng thẳng ( xác định hàm số )
y = ax + b biết đờng thẳng ( đồ thị hàm số ) thoả mãn các điều kiện cho trớc chính là đi tìm
a,b.
1)Bài toán : Xác định hàm số y = ax + b biết :
a) Hệ số góc a và đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 )
b) Đồ thị của nó song song với đờng thẳng y = ax + b và đi qua A( x0 ;y0 )
c) Đồ thị của nó vuông góc với đờng thẳng y = ax + b và đi qua A( x0 ;y0 )
d) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và B( x1;y1 )
e) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x1
f) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y1
Phơng pháp giải :
a) Thay hệ số góc vào hàm số ,Vì đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) nên thay x = x0 ; y = y0 vào
hàm số ta tìm đợc b.
b) Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đờng thẳng y = ax + b nên a = a thay a = a
vào hàm số rồi làm tơng tự phần b.
c) Vì đồ thị hàm số y = ax + b vuông với đờng thẳng y = ax + b nên ta ta có a.a = -1 ta
tìm đợc a = -

1
1
,thay a = - vào hàm số rồi làm tơng tự phần b.
a'
a'

d) Vì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B( x1;y1 ) nên ta có hệ phơng trình :
y 0 = ax 0 + b
(1) ; Giải hệ phơng trình (1) ta tìm đợc a và b.

y1 = ax 1 + b
e) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x 0 ;y0 ) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x 1
tức là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B ( x1;0 ).Sau đó làm tơng tự phần d.
f) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x 0 ;y0 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y 1 tức
là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B ( 0; y1) .sau đó làm tơng tự phần d.
2) Ví dụ :
Ví dụ 1: Xác định phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
b) Đờng thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với đờng thẳng:
(d): y = -

1
x+3
2

c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7
Giải :
Gọi đờng thẳng (d): y = ax + b ( a, b là các số )
a) Vì (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
7

a=
3
2
b=

3

a + b = 3


nên ta có:
2 a + b = 4


17


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
Vậy phơng trình đờng thẳng (d): y = -

7
2
x+
3
3

1
7
x + 3 a =2
3
7
14
1
(d): y = - x + b mà (d) đi qua M (-2; 5) nên ta có: 5 =
+b b =
3
3

3
7
1
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y = - x +
3
3

b) Vì (d) song song với đờng thẳng: (d): y = -

c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7
1
3
5
và 4 = + b b =
2
2
2
1
5
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y = - x +
2
2

nên ta có: a.2 = -1 a = -

Ví dụ 2 : Cho hàm số y = (m2 2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết:
a) Đồ thị (d) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2
b) Đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đờng thẳng y = -3x -2
c) Đồ thị (d) đi qua điểm A (2; 3)
Giải

a) Vì đồ thị (d) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2
m = 5
m 2 2 = 3

m = 5
3
m
+
2

2
m

0


Vậy m = 5

Nên ta có:

b) Vì đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đờng thẳng : y = -3x -2
7
Nên ta có: (m2 - 2 ).(- 3) = -1 3m2 -6 = 1 m2 = m = 5
3

Vậy m = 5
c) Vì đồ thị (d) đi qua điểm A( 2; 3) nên ta có :
3 = 2m2 - 4 + 3m + 2
2m2 +3m -5 = 0
Ta có a + b + c = 0 theo hệ quả định lí Viet phơng trình có hai nghiệm :

m1 = - 1; m2 = -

5
5
Vậy m1 = - 1; m2 = 2
2

Dang 4: Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng, của đờng thẳng và Parabol.
1) Bài toán 1 : Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax + b (d) (với a a).
Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d).
Phơng pháp giải :
- Cách 1 : Vẽ đồ thị hai hàm số y = ax + b (d) và y = ax + b (d) trên cùng một hệ trục toạ
độ Oxy,sau đó tìm toạ độ giao điểm ( nếu có )
- Cách 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (d) là nghiệm của phơng trình :
ax + b = ax + b (1)
Giải phơng trình (1) tìm x = x 0 sau đó thay x = x 0 tìm đợc vào (d) hoặc (d) tìm y= y 0 . Toạ
độ giao điểm là A (x 0 ; y 0 )
- Cách 3 : Toạ độ giao điểm của y = ax + b (d) và y = ax + b (d) là nghiệm của hệ phơng
trình :
18


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
y = ax + b
(2)

y
=
a'
x

+
b'

Giải hệ phơng trình (2) tìm đơc x = x 0 ;y = y 0 Toạ độ giao điểm là A (x 0 ; y 0 )
2) Bài toán 2:
Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và parabol y = ax2 (P) .Tìm toạ độ giao điểm của (d) và
(P).
Phơng pháp giải :
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình :
ax + b = ax2 (1)
Giải phơng trình (1) tìm x sau đó thay x tìm đợc vào (d) hoặc (P) tìm y tơng ứng, Toạ độ giao
điểm là A (x ; y).
3) Ví dụ :
Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.
*Nhận xét : Gặp dạng toán này học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao
điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ thị
sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x; y
Giải:
a) Vẽ đồ thị hai hàm số ( HS tự vẽ )
b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:
x + 3 = 2x + 1
2x x = 3 1
x = 2 Thay x = 2 vào y = x + 3 ta đợc y = 3 + 2 = 5
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (d) là A ( 2;5 )

Dang 5: Tìm điều kiện của tham số để 3 đờng thẳng đồng quy :
1)Bài toán : Cho ba đờng thẳng: y = ax+ b (d) ; y = ax+ b (d) và y = ax+ b (d)
Trong đó y = ax + b chứa tham số m.

Phơng pháp giải :
y = ax + b
- Toạ độ giao điểm của (d) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
(1)
y
=
a'
x
+
b'

Giải hệ phơng trình (1) tìm đơc x = x 0 ;y = y 0 Toạ độ giao điểm là A (x 0 ; y 0 )
- Để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy thì (d) phải đi qua A (x 0 ; y 0 ).
- Thay A (x 0 ; y 0 ) vào phơng trình đờng thẳng (d) ta đợc phơng trình ẩn m,giải phơng trình
tìm m .
- Kết luận :...................
2.Ví dụ : Cho 3 đờng thẳng lần lợt có phơng trình:
(d1) y = x + 1
19


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017

(đ2) y = - x + 3

(d3) y= (m2-1)x + m2 - 5 (với m 1)
Xác định m để 3 đờng thẳng (d1) ,(d2), (d3) đồng quy.
Giải:
- Vì 1 - 1 nên (d1) và (d2) cắt nhau . Hoành độ giao điểm A của (d 1) ,(d2) là nghiệm của phơng trình : -x + 3 = x + 1 x = 1
thay x = 1 vào y = x+1 y = 2 A (1;2) để 3 đờng thẳng đồng quy thì (d3)

phải đi qua điểm A nên ta thay x = 1 ; y = 2 vào phơng trình (d3) ta có:
2 = (m2-1)1 + m2 - 5 m2 = 4 m = 2
Vậy với m = 2 hoặc m = -2 thì 3 đờng thẳng (d1) ,(d2), (d3) đồng quy.
Dang 6: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung, cắt
nhau tại một điểm trên trục hoành.
6.1: Điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Cho (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2
a a

(1)

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì 1 2
b1 = b2 (2)
Giải (1)
Giải (2) và chọn những giá trị thoả mãn (1).
6.2: Điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
Cho (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2
a1 a2 (1)

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành thì b1 b2
(2)
a = a
1
2

* MộT Số BàI TOáN LIÊN QUAN ĐếN HàM BậC HAI
Bài toán 1: Cho (P): y = ax2 (a 0) và (d): y = bx + c . Tỡm ta giao im ca
(d) v (P).
Phơng pháp giải :
Cách 1 : Dùng đồ thị ,vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 (a 0) và y = bx + c trên cùng một mặt phẳng

toạ độ .sau đó tìm toạ độ giao điểm .
Cách 2 : Dùng phơng trình hoành độ :
-Hoành độ giao điểm nếu có của (P) và (d) nếu có là nghiệm của phơng trình :
ax2 = bx + c (*)
Giải phơng trình (*) tìm nghiệm
- Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = bx +c hoc y = ax2 tỡm tung giao
im.
20


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
* Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (*) l s giao im ca (d) v (P).
Bài toán 2: Cho (P): y = ax2 (a 0) và (d): y = bx + c . ( chứa tham số m )
Tỡm m để:
a) (d) v (P) ct nhau

phng trỡnh (V) cú hai nghim phõn bit.

b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau

phng trỡnh (V) cú nghim kộp.

c) (d) v (P) khụng giao nhau
phng trỡnh (V) vụ nghim .
Phơng pháp giải :
-Hoành độ giao điểm nếu có của (P) và (d) nếu có là nghiệm của phơng trình :
ax2 = bx + c (*)
a) (d) v (P) ct nhau

phng trỡnh (*) cú hai nghim phõn bit.

b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau
c) (d) v (P) khụng giao nhau

phng trỡnh (*)cú nghim kộp.
phng trỡnh (*) vụ nghim .

Bài tập áp dụng :
Bài 1: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất? Xác định a, b và tính đồng biến,
nghịch biến của hàm số đó.
1) y = 2 - 0,3 x
2) y = 3 - 2 x 2
3) y = 2( x 2)
4) y = -2,5x
5)y = ( 2 1) x + 3
6)y + 5 = x - 3
Bài 2: Tìm ĐK của tham số để một hàm số là hàm số bậc nhất.
1)y = (m - 3)x +5

2) y = (2 - 4m)x - 1

3)y = (1 - 2m)x +
m+2

1
2

4)y = mx - 2 x + 3
5) y = 7 m (x -1)
6)y =

x 100
m2
Bài 3: Cho hàm số y = (m + 1)x - 5 ; y = (6 - 2m)x + 2
a) Tìm m để hàm số đồng biến.
b) Tìm m để hàm số nghịch biến.
Bi 5: Cho hm s : y = ( m 1).x + m (d)
a)Tỡm m hm s ng bin, nghch bin ?
b)Tỡm m th hm s song song vi trc honh.
c)Tỡm m th hm s i qua im A( - 1 ; 1)
d)Tỡm m th hm s song song vi ng thng cú phng trỡnh: x 2y = 1
e)Tỡm m th hm s ct trc honh ti im A cú honh bằng 3.
Bài 6: Cho hàm số: y = ax - 3 . Hãy xác định giá trị của a để:
a)Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = - 2x.
b)Khi x = 4 thì hàm số có giá trị bằng 1.
c)Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;2)
21


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
Bài 7:
a)Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;3)và song song với đờng thẳng y= x.
b)Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2) và B(2;3).
Bài 8: Cho hàm số: y = -x + m . Hãy xác định m biết:
a)Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
b)Đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1;2).
c)Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1.
Bài 9 : Cho hàm số y = (m - 1)x + m.
a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đồ thị y = mx + 3?
b)Tìm m để đồ thị hàm số vuông góc với đồ thị y = -mx + 1?
1

2

Bài 10 : Cho parabol (P) : y = x 2
a)Vẽ parabol (P).
b)Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A(-2; -2) và tiếp xúc với (P).
Bài 11: Cho parabol (P): y = -x2 và đờng thẳng (d); y = 2x + m
a)Vẽ parabol (P).
b)Tìm giao điểm của (P) và (d) khi m = -15.
c)Xác định m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt? (d) tiếp xúc với (P)?
d)Xác định m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 3.
2
Bài 12*:Cho Parabol ( P) y = x . xác định điểm M trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến

gốc tọa độ là 3 .

2

* Chuyên đề 3:

Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
A. kiến thức cơ bản :
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
1. Khái niệm hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phơng
ax + by = c
trình bậc nhất hai ẩn
(I)
a'x + b'y = c'
2. Nghiệm của hệ phơng trình.
22

CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
- Nếu hai phơng trình ấy có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) đợc gọi là một nghiệm của hệ
phơng trình (I). Nếu hai phơng trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ phơng trình (I) vô
nghiệm.
- Chú ý : Nếu một trong hai phơng trình của hệ vô nghiệm thì hệ vô nghiệm.
3. Định nghĩa về giải hệ phơng trình:
- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
4. Định nghĩa hệ phơng trình tơng đơng.
- Hai hệ phơng trình gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
5.Các phơng pháp giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn thờng dùng :
- Phơng pháp thế
- phơng pháp cộng đại số
- phơng pháp đặt ẩn phụ
...
* Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
a. Qui tắc thế (SGK toán 9 tập 2, trang 16)
b. Tóm tắt cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
1) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới, trong đó
có một phơng trình một ẩn.
2) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho.
* Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số.
a. Qui tắc cộng đại số: (SGK toán 9 tập 2, trang 16)
b.Tóm tắt cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số.
1) Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của
một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
2) áp dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một
ẩn.
3) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho.

6. Giải hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai hai ẩn.
Thờng dùng phơng pháp thế.
7.Một số bài toán liên quan đến hệ phơng trình chứa tham số :
ax + by = c (1)
(I)
a ' x + b' y = c ' (2)

Bài toán : Cho hệ phơng trình

a/ Chứng minh hệ luôn có nghiệm
b/Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
c/Tìm m để hệ vô nghiệm
d/Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc.
Phơng pháp giải :
*Cách 1:
a/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là phơng trình bậc nhất 1 ẩn.Ta chứng minh phơng trình (3) luôn có nghiệm.
b/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
Hệ (I) có nghiệm duy nhất phơng trình (3) có nghiệm duy nhất.
c/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
Hệ (I) vô nghiệm phơng trình (3) vô nghiệm.
d/ Dựa vào điều kiện cuẩ đề bài ta có phơng pháp giải phù hợp.
*Cách 2: (Dựa vào vị trí tơng đối của hai đờng thẳng)
ax + by = c
(a, b, c, a, b, c khác 0)

a' x + b' y = c '
23


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017

a b c
= =
a' b ' c '
a b
c
+ Hệ vô nghiệm nếu
=
a' b' c '
a b
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a' b'

+ Hệ có vô số nghiệm nếu

B.Một số ví dụ :

Dạng1: Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1: Giải các HPT sau:
2 x y = 3
3 x + y = 7

2 x + 3 y = 2
5 x + 2 y = 6

a.

b.

Giải:

2 x y = 3

3 x + y = 7

a. Dùng PP thế:

y = 2x 3
y = 2x 3 x = 2
x = 2




3 x + 2 x 3 = 7
5 x = 10
y = 2.2 3 y = 1
x = 2
y =1

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:

2 x y = 3
5 x = 10
x = 2
x = 2



3 x + y = 7
3x + y = 7

3.2 + y = 7
y =1

Dùng PP cộng:

x = 2
y =1

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:

-Nhận xét : Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
2 x + 3 y = 2
10 x + 15 y = 10
11 y = 22
y = 2
x = 2





5 x + 2 y = 6
10 x + 4 y = 12
5 x + 2 y = 6
5 x + 2.(2 = 6)
y = 2
x = 2
Vậy HPT có nghiệm là
y = 2

Bài 2 :

2 x + 3 y = 13
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)
x 2 y = 4
2 x y = 3
b)
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2010-2011,Ngày thi : 01/7/2010)
3 x + y = 2
x + y = 5
c)
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2009-2010,Ngày thi : 10/7/2009)
x y = 3

a)

Giải:

24


CNG ễN THI VO 10 NM HC 2016-2017
2 x + 3 y = 13
7 y = 21
y = 3
y = 3

2 x 4 y = 8
2 x 2.3 = 4
2 x = 2
x = 1
x = 1
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
y = 3

a)

2 x y = 3
3 x + y = 2

5 x = 5
x = 1
x = 1



3 x + y = 2
3.1 + y = 2
y = 1
x = 1
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
y = 1

b)

x + y = 5
x y = 3

2 x = 8
x = 4
x = 4



x + y = 5 4 + y = 5 y = 1
x = 4
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
y =1

c)

Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
2
x +1 +

a/
2 +
x + 1

3
= 1
y
5
= 1
y

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK: x 1, y 0 .

2
x +1 +


2 +
x + 1

3
2
= 1
1
3
y =1
y =1


y =2
y



x +1 =
x =

2
2

2
2
5

5
2
5
+ =1
= 4




= 1
+ = 1 x +1 1
y =1
y =1
x +1
x + 1 y
y

3

x =
Vậy HPT có nghiệm là
2
y = 1

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ.
Đặt

ĐK: x 1, y 0 .

1

1
= b . HPT đã cho trở thành:
=a ;
y
x +1

1
3

x + 1 = 2
2a + 3b = 1 2a + 5b = 1 2a + 5.1 = 1 a = 2
x =





2 (TMĐK)

1
2a + 5b = 1
2b = 2
b = 1
b = 1
=1
y = 1
y
3

x =

Vậy HPT có nghiệm là
2
y = 1

*Lu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
25