Áp dụng mathcad để giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng
MỤC LỤC

1. Lí do chọn đề tài

Ngày nay, với sự tiến bộ của khoa học - kỹ thuật , thì việc sử dụng
công nghệ thông tin vào dạy học là điều tất yếu và rất cần thiết. Có rất
nhiều công cụ để hổ trợ cho việc giảng dạy, và Mathcad là một trong số đó.
Trong khuôn khổ đề tài này, em xin trình bày việc : “Áp dụng Mathcad để
giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ”.
Mathcad là một phần mềm tính toán mạnh và có giao diện rất thân
thiện với word, nó dễ sử dụng và tính toán khá nhanh. Nó có thể giải các
Page 1


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

bài toán về phương trình, hệ phương trình, tính toán các đạo hàm và tích
phân một cách nhanh nhất. Bên cạnh đó, nó cũng cung cấp cho ta một công
cụ vẽ đồ thị một cách nhanh chóng và chính xác nhất. Chính vì vậy nó rất
thích hợp cho việc giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, hàm số là
một chủ đề không dễ dạy và nó được xem là then chốt trong chương trình
toán học giải tích 12, vẽ và khảo sát hàm số luôn được xem là một vấn đề
quan trọng và là một phần không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp và đại
học.
Nhằm tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thể giải dễ dàng và
nhanh chóng các bài toán khảo sát hàm số,em đã nghiên cứu đề tài này, đề

tài: “ Áp dụng Mathcad để giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số “.
2. Mục đích đề tài
Giới thiệu một trong các phương pháp hổ trợ giảng dạy toán học có
hiệu quả của máy tính là áp dụng phần mềm Mathcad để giải bài toán khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số.
2.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
•
Đối tượng nghiên cứu: Áp dụng phần mềm Mathcad để
giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
•
Phạm vi nghiên cứu: chương trình toán khảo sát đồ thị
hàm số trong chương trình giải tích 12.
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
•
thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy để học sinh thấy
được sự hấp dẫn, hứng thú với các dạng khảo sát hàm số.
•
Giúp học sinh thực hiện các bài toán khảo sát hàm số một
cách nhanh nhất và giúp rút ngắn bớt thời gian.
3. Các phương pháp nghiên cứu
•
Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng học sinh, nắm bắt
được kiến thức của học sinh,những khó khăn và thắc mắc của
học sinh đối với những bài toán khảo sát hàm số.
•
Phương pháp tổng hợp: kết hợp kinh nghiệm của bản thân với sự
góp ý của các thầy cô giáo cộng với thực tế diễn ra trên lớp học.
•
Phương pháp thực nghiệm: khi giảng dạy một dạng bài toán
khảo sát hàm số cần phải thử nghiệm qua các lớp khác nhau thì

mới rút ra những kinh nghiệm và cải tiến phù hợp cho lớp sau.
•
Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu, tìm hiểu
những kết quả thảo luận với các thầy cô giáo và tìm hiểu thêm
trên internet, qua sách vở.
4. Nội dung đề tài:

Page 2


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Chương 1: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN
1.1 Khảo sát hàm số

Để thực hiện một bài toán khảo sát hàm số, ta cần phải lần lượt
thực hiện qua các bước. Đầu tiên ta phải đi tìm tập xác định của
hàm số.
1.1.1 Tập xác định
Định nghĩa: tập xác định của hàm số y= f(x) là tập hợp tất cả các
số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
Page 3


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Ví dụ. tìm tập xác định của hàm số
3.x + 1
2
Giải. Biểu thức y= 4 x − 5 x + 1

3.x + 1
2
y= 4 x − 5 x + 1

có nghĩa khi 4x -5x+1 ≠ 0 tức khi x ≠ 1 và x
2

≠

1
4.

1
Vậy TXD của hàm số là D=R\{ 4 ,1}.

bước thứ 2 là khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1.1.2 Sự biến thiên của hàm số
1.1.2.1 Định nghĩa hàm số đồng biến,nghịch biến
Định nghĩa. Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a,b).
•
Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng )trên khoảng
(a,b) nếu với mọi số thực x1 và x2 thuộc (a,b) ta có:
x1•
Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến (hay giảm) trên khoảng

(a,b) nếu với mọi số thực x1 và x2 thuộc (a,b) ta có:
x1>x2 ⇒ f(x1)>f(x2)
Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) là xét xem hàm
số đó đồng biến hay nghịch biến trên khoảng này.
Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng bảng gọi là
bảng biến thiên của hàm số.

Hàm số đồng biến trên (a;b)

Hàm số nghịch biến trên (a;b)
1.1.2.2 Tính đơn điệu của hàm số

Page 4


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Định lý. Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0) và đẳng thức chỉ xãy ra tại một điểm
trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng đó.
Ví dụ. Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số
y=x2-5x+4.
Giải.hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R.
5
Đạo hàm y’=2x-5 =2(x- 2 ) cũng xác định trên R.
5
 y ’> 0 khi x > 2
5

 y ’< 0 khi x < 2 .

Chiều biến thiên của hàm số được cho trong bảng sau gọi là bảng
biến thiên của hàm số:

5
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng ( 2 ;+ ∞ ) và nghịch biến trong
5
khoảng (- ∞ ; 2 ).

1.1.2.3 Điểm tới hạn
Định nghĩa.cho hàm số y=f(x) xác định trên các khoảng (a;b)và x0
∈ (a;b). Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x)
không xác định hoặc bằng 0.
3
Ví dụ. xét hàm số y = 3x+ x +5

TXD: (-).
Đạo hàm y’= = 0 khi x= và không xác định tại
x = 0 .Nhưng điểm 0 không thuộc tập xác định của hàm số.
Vậy hàm số đã cho chỉ có điểm tới hạn là x= .
Tiếp tục ta đi xét tính cực đại và cực tiểu của hàm số.
1.1.3 Cực đại và cực tiểu
1.1.3.1 Định nghĩa
Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0 ∈ (a;b)..
Page 5


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

a) Khoảng (x0- δ ; x0+ δ ) kí hiệu là V( δ ), trong đó δ >0 được gọi là một lân cận

của điểm x0.
b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y=f(x) nếu với mọi x thuộc lân
cận V( δ ) ⊂ (a;b) của điểm x0, ta có:

f(x) < f(x0) (x ≠ x0)
lúc đó ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x0;
• f(x0) được gọi là giá trị cực đại và kí hiệu fCĐ=f(x0)
• điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y=f(x) nếu với mọi x thuộc
lân cận V( δ ) ⊂ (a;b) của điểm x0, ta có
f(x) > f(x0) (x ≠ x0)
lúc đó ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0;
• f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu và kí hiệu fCT=f(x0)
• điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số.
Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị .
Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm
số đã cho.
Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Giả thiết hàm số y =f(x) lien tục trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b).

1.1.3.2

Định lý Fecma (pierre de Fermat 1601-1665).Nếu hàm số y=f(x) có
đạo hàm tại x0 và đat cực trị tại điểm đó thì f’(x0)=0.
1.1.3.3 Điều kiện đủ ( dấu hiệu ) để hàm số có cực trị

1.1.3.3.1 Dấu hiệu 1.

Định lý 1.Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên một lân cận của x0
(có thể trừ tại x0).
•

Nếu f’(x) > 0 trên khoảng ( x 0- δ ;x0); f’(x)<0 trên khoảng (x0;x0+ δ
) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

•

Nếu f’(x) < 0 trên khoảng ( x 0- δ ;x0); f’(x)>0 trên khoảng (x0;x0+ δ
) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Tóm lại: nếu khi x đi qua x0,đạo hàm đổi dấu thì x0 là một điểm
cực trị.
Page 6


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số.
Quy tắc 1
1. tìm f’(x)
2.Tìm các điểm tới hạn
3.Xét dấu đạo hàm
4.Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
4
Ví dụ. tìm điểm cực trị của hàm số y= 4.x+ x +1

Giải.hàm số xác định với mọi x ≠ 0,x ∈ R.
4 4.x 2 - 4 4.( x 2 − 1)
2
2
2
Đạo hàm của hàm số là: y’=4- x = x = x

y’ cũng xác định với mọi x ≠ 0 x ∈ R.Dấu của y’ là dấu của x2-1
chiều biến thiên được cho trong bảng biến thiên sau:

từ bảng biếm thiên ta thấy x=-1 là điểm cực đại và x=1 là điểm cực
tiểu của hàm số đã cho.
Dấu hiệu 2.
Định lý 2: giả sử hàm số y =f (x) có đạo hàm lien tục tới cấp 2 tại x 0 và
f’(x0)=0,f’’(x0) ≠ 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số. Khi đó,
• Nếu f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
• Nếu f’’(x0) <0 thì x0 là điểm cực đại.
Hay
• Nếu f’(x0) =0,f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
• Nếu f’(x0) =0,f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
1.1.3.3.2

Áp dụng dấu hiệu 1 ta có quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số.
Page 7


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Quy tắc 2
1.Tính f’(x).Giải phương trình f’(x)=0.Gọi xi(i=1,2…) là các nghiệm.
2.Tính f’’(x).
3.Từ dấu của f’’(x) suy ra tính chất cực trị của điểm xi theo dấu hiệu 2.
Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của hàm số
f(x)= x4-2.x3+x2
Giải. Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R.
1
1.f’(x)=4.x -6.x +2.x = 2.x(2x -3.x+1) = 0 ⇒ (x1= 0,x2= 1,x3 = 2 )
3

2

2

2.f’’(x) = 12.x2-12.x+2.
3.f’’(0) = 2>0 ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu
f’’(1) = 2>0 ⇒ x = 2 là điểm cực tiểu
1
f’’( 2 ) =

1
-1<0 ⇒ x = 2 là điểm cực đại

Kết luận: f(x) đạt cực tiểu tại 2 điểm x=0 và fCT=2;x=1 và fCT=2;
1
f(x) đạt cực đại tại điểm x= 2 và fCT= -1

Đối với các hàm số bậc 3, bậc 4ta thường phải xét thêm một bước rất quan

trọng đó là xét tính lồi lõm của hàm số.
1.1.4 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
1.1.4.1
Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
Xét đồ thị ABC của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới đây: Ta
giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho điều có tiếp tuyến.
Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn ở phía trên của cung AC.
Ta nói cung AC là một cung lồi. Nếu a là hoành độ của A, c là hoành độ của
C, thì khoảng (a;c) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị.
Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn ở phía dưới của cung CB. Ta
nói cung CB là một cung lõm. Nếu c là hoành độ của C, b là hoành độ của
B, thì khoảng (c;b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị.

Page 8


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn.
Chẳng hạn, điểm C của đồ thị trong hình trên là một điểm uốn.
Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
(a;b).
• Nếu f’’(x0) < 0 với mọi x ∈ (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên
khoảng đó.
•Nếu f’’(x0) > 0 với mọi x ∈ (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên
khoảng đó.

1.1.4.2

Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của
điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp hai khi
x đi qua x0 thì điểm M0 (x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Ví dụ. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số:
y=x3-3x2+x
Giải. Tập xác định: R
Ta có: y’=3.x2-6.x+1
y”=6.x-6;
y”=0 ⇔ x=1;
ta có bảng xét dấu:

Page 9


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Một vấn đề rất quan trọng đối với các hàm phân thức cũng cần được
xét đến là tiệm cận của đồ thị hàm số.
1.1.5 Tiệm cận
1.1.5.1 Định nghĩa
a) giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) và M(x,y) là một điểm thay
đổi trên (C).Ta nói (C) có một nhánh vô cực nếu ít nhất 1 trong 2 tọa
độ x,y của M(x,y) dần tới ∞ .
Khi đó ta cũng nói điểm M(x,y) dần tới ∞ .
Ký hiệu M → ∞ .

b)giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực ,cho đường thẳng d.
kí hiệu MH là khoảng cách từ M(x,y) ∈ ( C) đến đường thẳng d.
d được gọi là đường tiệm cận hay tiệm cận của ( C) nếu MH dần đến 0
khi M dần đến ∞ trên (C).
Nói cách khác, d là tiệm cận của ( C) ⇔ lim MH =0
M→ ∞
1.1.5.2 Cách xác định tiệm cận
1.1.5.2.1 Tiệm cận đứng

Định lý. Nếu
thì đường thẳng d có phương trình x = x 0 là một tiệm cận của đồ thị
(C).
3.x − 4
Ví dụ. Cho hàm số : y = x + 5.x − 6
2

Ta có:
Cho nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng là x=1 và x=6.
1.1.5.2.2

Tiệm cận ngang
Page 10


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Định lý .Nếu lim (fx)=y0 thì đường thẳng d có phương trình y =y 0 là
một tiệm cận ngang của đồ thị (C)

2x2 −1
2
Ví dụ. Đồ thị (C ) của hàm số y= x − 3.x + 2 có tiệm cận ngang là đường

thẳng y = 2

1.2 Phần mềm toán học Mathcad
1.2.1 Giới thiệu

1.2.2

Mathcad 7.0 là phần mềm về toán, có thể thực hiện các tính
toán một cách đơn giản và tiện lợi.Nó có thể được áp dụng trong
nhiều lĩnh vực như:
•
giải các bài toán của toán cao cấp: tính giá trị gần đúng
hoặc xấp xỉ, rút gọn –đơn giản biểu thức, tính tích phân,
đạo hàm, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình, hệ bất phương trình, vẽ đồ thị hàm số, tính diện tích,
thể tích…
•
Giải các bài toán trong lĩnh vực hóa học, cơ đất đá, cấu trúc
dữ liệu, điện,phương pháp số…
Mathcad có thể sử dụng để lập trình giải các bài toán phức
tạp không những tính toán trên số mà còn tính toán trên các kí
hiệu.
Với Mathcad 7.0 ta có thể giao lưu, trao đổi kinh nghiệm với
các người dung khác trên thế giới ( nếu có kết nối internet);
Mathcad còn có thể chuyển dữ liệu từ nó sang Excel và ngược lại
thông qua MathConnex.

Các phép tính toán trong Mathcad
Mathcad có rất nhiều các công thức toán học, nhưng trong
khuôn khổ đề tài này, em chỉ xin giới thiệu một vài công thức toán
học được Mathcad sử dụng trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số.
1.2.2.1
Giải phương trình và bất phương trình
a.
Cách giải
• Các dấu “ =, <, >, lần lượt được thực hiện từ bàn
phìm bằng các cách bấm sau : Ctrl-=, <, >, Ctrl-9,
Ctrl-0.
• nhấp biểu tượng

trong Math Palette, chọn Solve,
gõ biến, ấn Enter được kết quả.
Hoặc
Page 11


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

• Chọn biến
• Menu Symbolics / Variable / Solve.
b.

Ví dụ
giải phương trình x2+4x-5=0

x2

1.2.2.2

4. x

5 0 solve , x

1
5

Giới hạn hàm số tại một điểm
a.
Cách giải
• chọn từ dải Math Palette biểu tượng
lim

lim

lim

, chọn

hoặc
hoặc
.
• Điền biểu thức, biến, trị vào.
• Ctrl-., Enter.
Hoặc
• Gõ Ctrl-L hoặc Ctrl-A hay Ctrl-B.

• Điền biểu thức, biến, trị vào.
• Ấn Ctrl-.,Enter hoặc Menu Symbolics / Evaluate /
Symbolically.
Ví dụ
Tìm giới hạn bên phải của hàm số y = tại x = 2
x 1
1
lim
4
x 2+ x 2

b.

+

1.2.2.3
Đạo hàm
 Đạo hàm cấp 1
a. Cách giải

Cách 1:
•
•
•

Đưa biểu thức cần tính đạo hàm
chọn biến
Menu Symbolics / Evaluate /Diferentiate.

Cách 2:

•
•
•
•

Nhấp biểu tượng
, chọn
, hoặc gõ ?
Gõ biểu thức và dấu hiệu đạo hàm.
Chọn biểu thức gồm cả dấu hiệu đạo hàm.
Menu Symbolics / Evaluate /Symbolically.

Page 12


luận văn tốt nghiệp
b.

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Ví dụ
d
2
3. x
dx

4x

6. x

5

4

Đạo hàm cấp n
Cách giải


a.

•
•
b.

Nhấp biểu tượng
, chọn
, hoặc gõ CtrlShift-?.
Điền vào các lổ trống, ấn Ctrl-., Enter.

Ví dụ
d2 . 2
3x
2
dx

4x

5

6

1.2.2.4 Vẽ đồ thị
a. Đồ thị dạng X-Y Plot

Để tạo vùng vẽ có thể thực hiện theo các cách sau:
• Từ thanh công cụ : chọn Insert/Graph/X-Y Plot
• Từ thanh Math
• Từ bàn phím

•

•

: nhấp vào biểu tượng
: nhấn @

Hình1 .vùng thể hiện đồ thị
Trong khung trống nằm dưới trục hoành (trục x) nhập giá trị đồ thị
muốn dựa theo. Giá trị này là thang đo đã xác định trước đó. Nếu
không xác định trước, Mathcad tự động xác định thang đo từ -10 đến
10.
Trong khung trống nằm bên cạnh trục tung (trục y), nhập biểu thức
muốn vẽ.

Lưu ý:

Page 13


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Có thể vẽ đồ thị theo phương trình bất kỳ dựa theo phương trình khác,
để chúng có thể dùng chung giá trị độc lập. Ngoài ra còn thể hiện được
nhiều đường biểu diễn trên cùng một đồ thị.
Hiệu chỉnh đồ thị
Để hiệu chỉnh đồ thị ta có thể làm các cách sau:
• Từ thanh công cụ chọn Format/Graph/X-Y Plot
• Nhấp đúp vào điều thị muốn hiệu chỉnh
Xuất hiện hộp thoại Formating currently selected X-Y Plot (hình
trên)
b.

Hình 2.
Sau khi đã suất hiện hộp thoại trên:
• Trong hộp thoại Axes Style ta chọn Crossed để có hệ trục tọa độ vuông
góc thong thường ,nếu chọn None thì
•Nếu chọn equal Scales thì đơn vị 2 trục tọa độ sẽ bằng nhau.
•Ở X-Axis ( hoặc Y-Axis)
 Nếu chọn Gride line: được lưới tọa độ
 Không chọn Auto grid để sửa lại số trong ô Number of
Grids- đó là số đoạn chia trên trục,chẳng hạn nếu ta chọn
sửa số 5 nghĩa là trong khoảng 0..10 có 5 đoạn chia.
•Nhấp Apply-OK
c. Đưa các tiêu đề vào đồ thị
• Chọn đồ thị: nhấp vào đồ thị
• Menu Format / Graph / X-Y Plot
Page 14

luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Chọn labels sau đó nhấp vào các cột như hình dưới đây:
• Title : đặt tên cho hình biểu diễn trên đồ thị, khi đó phải chọn để thể
hiện. Bạn có thể đặt tên ở trên () hoặc ở dưới đồ thị ().
• Axis labels : gán chú thích trên mỗi trục.


Gán chú giải vào trục x

Gán chú giải vào trục y

Hình 3.
d. Thay đổi kích thước của miền đồ thị
• Nhấp vào đồ thị để chọn miền
• Đưa mũi tên chuột vào các ô đen
• Rê ra/vào để thay đổi kích thước
e. Quan sát các điểm trên đường biểu diễn
• Muốn quan sát tọa độ bất kỳ của một điểm nào
đó trên trục biểu diễn ta làm như sau:
• Chọn đồ thị
• Menu/Format/Graph/Trace
Xuất hiện hộp thoại, chọn X-Y Trace
Page 15


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng
Trỏ chuột vào đường biểu diễn hoặc rê chuột thì
trong hộp sẽ thấy tọa độ tương ứng với vị trí dấu
+ ở khung X-value,Y-value.
• Muốn lấy tọa độ đưa vào mành hình của Mathcad
: chon X-copy (Y-copy) để copy vào clipboard
rồi dán vào màn hình x(y).
•

Chương 2: VẬN DỤNG MATHCAD ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.

khảo sát một số bài toán:
ví dụ 1: khảo sát hàm số y= -x3+3x+2
ta có thể áp dụng Mathcad để giải bài toán này như sau:
khao sat ham sô:

3

y ( x)

x

3 .x

2

TXD : D=R

Su bien thien:
s ( x)

d
y ( x)
dx

s ( x) 0 solve , x

2

3 .x

3

1
1

Tren các khoang (-∞;-1) và (1;+∞), y' < 0 nên hàm sô nghich bien
tren khoang (-1;1) ,y > 0 nên ham sô dông biên.

Page 16


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Cuc tri:
h ( x)

d2
y ( x)
2
dx

h( 1) = 6

6 .x
h( 1) = 6

y( 1) = 4

y( 1) = 0

Vi h(-1) = 6 > 0 nen ham so dat cuc tieu tai x = -1 và co gia tri cuc tieu
bang 4.
h(1) = -6 < 0 nên hàm sô dat cuc dai tai x= 1 va co gia tri cuc dai
bang 0.
Cac gioi han vô cuc:
lim

y ( x)
∞

x
lim
x

y ( x)

∞

∞
∞

Bảng biến thiên:

Ve do thi:
do thi y = -x^3 + 3x+2
Truc Oy

5

y( x)
5

0
5
x
Truc Ox

Page 17

5


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Ví dụ 2: khảo sát hàm số y=x3+4x2+4x
khao sat ham sô:

x3

y ( x)

2

4 .x

4 .x

TXD : D=R
Su bien thien:
s ( x)

d
y ( x)
dx

s ( x) 0 solve , x

2

3 .x

8 .x

4

2
3
2

Tren các khoang (-∞;-2) và (-2/3;+∞), y' > 0 nên hàm sô dông bien
tren khoang (-2;-2/3) ,y < 0 nên ham sô nghich biên.

Page 18


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Cuc tri:
h ( x)

d2
y ( x)
2
dx

h

2
=4
3

y

2
2
factor ,
3
3

6 .x

8

h( 2) = 4
32
27

y( 2) = 0

Vi h(-2/3) = 6 > 0 nen ham so dat cuc tieu tai x = -2/3 và co gia tri cuc
tieu bang -32/27.
h(-2) = -4 < 0 nên hàm sô dat cuc dai tai x= -2 va co gia tri cuc dai
bang 0.
Cac gioi han vô cuc:
lim

y ( x)
∞

x
lim
x

y ( x)
∞

∞
∞

Bảng biến thiên:

Page 19


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Ve do thi:
do thi y = -x^3 + 4x^2+4x
Truc Oy

5

y( x)
5

0

5

5

x
Truc Ox

Ví dụ 3. khảo sát hàm số y = -x4+8x2-1
4
2
khao sat ham sô:
y ( x)
x
8 .x

1

TXD :: D=R
D=R
TXD
Su bien thien:

s ( x)

d
y ( x)
dx

3

4 .x

16 .x

0
s ( x) 0 solve , x

2

2
Tren
cáccác
khoang
(-∞;-2)
vàvà
(0;2),
y' y'
> >0 0nên
Tren
khoang
(-∞;-2)
(0;2),
nênhàm
hàmsô
sôdông
dôngbien
bien
tren
biên.
trenkhoang
khoang(-2;0)
(-2;0)và
và(2;+∞)
(2;+ ∞),y,y<<00nên

nên ham
ham sô nghich biên.
Cuc tri:
h ( x)

d2
y ( x)
2
dx

h ( 0 ) = 16
y( 0) = 1

2

12 . x

16

h ( 2 ) = 32
y ( 2 ) = 15

h ( 2 ) = 32
y ( 2 ) = 15

Page 20


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Vì h(0) = 16 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x= 0 và có giá trị
cực tiểu bằng -1.
h(-2) = h(2) = -32 < 0 nên hàm sô dat cuc dai tai x=-2 và
x = 2 va co gia tri cuc dai bang 15.
Cac gioi han vô cuc:
lim

y ( x)
∞

x

lim
x

y ( x)
∞

∞
∞

Bảng biến thiên:

Ve do thi:
do thi y = -x^4+8x^2-1
Truc Oy

20

y( x)
5

0
20
x
Truc Ox

Ví dụ 4. khảo sát hàm số y=

Page 21

5


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

khao sát hàm sô :

x 2
x 1

y ( x)

ta có : x 1 0 solve , x
TXD D = R\ {-1}
khao sat su bien thiên

d
y ( x)
dx

1
(x

1

( x
1)

(x

2)
1)

2

3

factor , x
(x

1)

2

y ' xác dinh khi x = -1 ;y' luôn âm voi moi x # -1
vay ham so nghich bien trong cac khoang tu (-∞; -1) và (1;+∞)

Cuc tri
hàm sô da cho khong co cuc tri
Tiem cân
lim
y ( x)
∞
x
1
lim

1+

∞

y ( x)

x
Do do duong thang x = -1 là tiem cân dung
lim

y ( x)

1

y ( x)

1

∞

x
lim

x ∞
vay duong thang y= -1 la tiem can ngang
Bảng biến thiên:

Page 22


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Do thi :
y

1

x

1

4
y( x)
x

4

0

4
x, 1

Ví dụ 5: khảo sát hàm số y = x4 + x2 khao sát hàm sô :

y ( x)

ta có :
TXD D = R
khao sat su bien thiên
s ( x)

d
y ( x)
dx

s ( x) factor , x

1. 4
x
2

3

2 .x

2

1 .x

2 .x

2. x

3
2

2

x

0
s ( x) 0 solve , x

i

i
3
y ( 0 ) factor , 0
= 1.5
2
tren khoang (-∞;0) y'<0 nên hàm sô dong biên
tren khoang (0;+∞) , y' >0 nên hàm sô nghich biên

Page 23

4


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Cuc tri
h ( x)

d

2

d x2

y ( x)

2

6 .x

2

h( 0) = 2

3
= 1.5
2
vay : vi h(0) = 2 > 0 nen ham so dat cuc tieu tai x = 0 va gia tri cuc tieu
y = -3/2
ham so khong co cuc dai
y ( 0 ) factor , x

gioi han tai vo cuc
lim
y ( x)
x
∞
lim y ( x)
x ∞
Bảng biến thiên:

∞
∞

Page 24


luận văn tốt nghiệp

GVHD: Th.s Lê Thị Bích Hồng

Ve dô thi:
do thi y = x^4+2x-3/2
trucOy

4

y( x)
4

0
4

x
truc Ox

Ví dụ 6: khảo sát hàm số y = -2x3+5
khao sat ham sô:

y ( x)

3

2 .x

5

TXD :: D=R
D=R
TXD
Su bien thien:

s ( x)

d
y ( x)
dx

2

6 .x
0

s ( x) 0 solve , x

0

2
Vi y' = 6 . x voi moi x nên ham so nghich bien tren R.
Do do ham so khong co cuc tri.

gioi han tai vo cuc
lim

y ( x)
∞

x
lim
x

y ( x)
∞

∞
∞

Page 25

4