42 bài tập giới hạn tổng hợp

Bài tập giới hạn tổng hợp
Làm 1 bài giới hạn ta cần xem đó thuộc dạng nào mà tìm cách làm hợp lí. Nhiều khi dùng
L’Hospital khá trâu bò nên ta cần xem xét kĩ bài toán trước khi dùng các phương pháp khử vô
định phù hợp. Vì ngoài L’Hospital còn có các phương pháp khác tính giới hạn cũng khá mạnh là
khai triển Maclaurin và các vô cùng bé tương đương.
Sau đây là một số bài giới hạn mà tôi tổng hợp được để các bạn luyện tập cho bài kiểm tra sắp
tới và bài thi cuối kì

 cos 3x 
2, lim 

x 0 cos 2 x



1
1, lim x .sin 3
x 0
x
1  sin x  cos x
3, lim
x 0 1  sin bx  cos bx
2

4, lim
x 0

cot 2 4 x

arcsin x  x
x 2 .arcsin x

1

1 x


x
1

x




6, lim
x 0 
e 



x  cos x
x 
x

5, lim

7, lim





1  sin x  cos x  .sin x
x 0 1  sin bx  cos bx  .arctan x

1  tan x  1  sin x .cot x

8, lim

2

x 0

sin x

9, lim  cos x  a sin bx 

1  cos x  sin 2 x  tan 3 x
10, lim
x 0
x arctan x
x
x
a b
12, lim
x 0
x

1
x

x 0

tan  a  x  .tan  a  x   tan 2 a
11, lim
x 0
tan x.arctan x
1
1
e x  cos
x
13, lim
x 
1
1 1 2
x
 1

 cos x 
 2
 x 1

15, lim
x 0 sin x.arcsin x

1
x

sin 2 x.sin
14, lim
x 0

arcsin x

1
 1x

x 1
16, lim x  e  e 
x 


2

1

 sin x  arcsin 2 x
lim
17,


x 0 arctan x


cos  x.e x   cos  x.e x   .cos x


19, lim
2
x 0
sin x.arcsin x

 3x  5 
18, lim 

x  3 x  1



e x  cos x
lim
21,
x 0
tan 2 x
 1
2 
23, lim  2  cot x 
x 0 x



 sin x
 sin x  x
 sin x 
22, lim 
x 0
 x

arcsin x  arctan x
24, lim
x 0

ln 1  x3 

2x

sin ax  sin bx
x 0
sin x

20, lim

1

2

1-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp
25, lim
x 0

esin x  e x
sin x  x

xx  x
x 1 ln x  x  1

26, lim

 x 2  3x  5 

lim
27, x   2

 x  2x  1 



29, lim tan x

x
2



x 1
1

28, lim  e3x  3x  x
x 0


x
2

30, lim(e  x)
x

x 0

1  tanx 

.ln 
31, lim

x 0 x 2
 x 

32, lim
x 0

arctan 2 x
x  0 sin x sin x  x



37, lim
x 3

3

x3  x arcsin 3x
2

x 0

x

2

36, lim  arctan x 
x  



x 3
2 . 5x  2  8
38, lim
x 2
x2  x  6
esin 2x  cos x
40, lim
x 0
sin 3x

1 x  1 x

x 0 5



1  cos x 3 cos 2x

34, lim x 1  3x 

33, lim
35, lim

1
x

1 x  5 1 x
2x  2. 3x  5  4

x 3

39, lim x    2 arctan  5x  1
x 
1 x



41, lim   arcsin x 
x 1
2


42, lim x
x 0

2-LNH

etan x 1




Bài tập giới hạn tổng hợp

Hướng dẫn giải bài và đáp số:
Một chú ý nhỏ là khi dùng L’Hospital thì khi mất dạng vô định rồi thì đừng đạo hàm nữa
ko tạch đấy!!!
1, lim x 2 .sin
x 0

1
x3

Dạng này dùng định lí kẹp là ok thôi
1
1

 1  x 2  x 2 sin 3  x 2 
3
1
x
x
x 2 .sin 3  0
 xlim
0
x

Mà lim x 2  lim   x 2   0
x 0
x 0


1  sin

cos 3x 
2, lim 

x 0 cos 2 x




cot 2 4 x

cos 3x 
Dạng 1 . Ta áp dụng công thức để làm thôi: lim 

x 0 cos 2 x



cot 2 4 x



 cos 3x 

cos 3x  cos 2 x cos 2 4 x
lim 
 1 .cot 2 4 x   lim
. 2
 lim
x 0
cos 2 x
sin 4 x x 0
 cos 2 x 
 x 0
5x 5x
x x



~ ; sin ~ ; sin 2 4 x ~ 16 x 2 
 Khi x  0 :sin
2
2
2 2


5x x
2. .
2
2 2 . cos 4 x  5
 lim
x 0 cos 2 x
16 x 2
32
cot 2 4 x

5

 cos 3x 
 lim 
 e 32

x 0 cos 2 x


1  sin x  cos x
3, lim
x 0 1  sin bx  cos bx

Học L’Hospital rồi thì ngại gì ko thử luôn
3-LNH

e

 cos3 x  2
lim 
1 cot 4 x


x0 cos 2 x

5x
x
sin
2
2
2 . cos 4 x
cos 2 x
sin 2 4 x

2sin


Bài tập giới hạn tổng hợp
1  sin x  cos x  L 
cos x  sin x
1
 lim


x 0 1  sin bx  cos bx
x 0 b cos x  b sin x
b

C1: lim

Tuy nhiên ta còn cách biến đổi theo kiểu cổ điển kết hợp VCB tương đương 
x
x
x
2sin 2  2sin cos
1  sin x  cos x
1  cos x  sin x
2
2
2
C2: lim
 lim
 lim
x 0 1  sin bx  cos bx
x 0 1  cos bx  sin bx
x 0
bx
bx
bx
2sin 2  2sin cos
2
2
2

x
x
x
x
x
x
2sin  sin  cos 
2  sin  cos 
1
2
2
2
2
2
2
 lim
 lim

x 0
bx  bx
bx  x0 bx  bx
bx  b
2sin  sin  cos 
2  sin  cos 
2
2
2
2
2
2

C3: Tử và mẫu ko phức tạp lắm, thử dùng khai triển Maclaurin xem :v
1  sin x  cos x
x 0 1  sin bx  cos bx

lim

x3
x2
 o  x3  , cos x  1   o  x 2  ,
3!
2!
3 3
2 2
bx
b x
sin bx  bx 
 o  x3  , cos bx  1 
 o  x2 
3!
2!
3

  x2

x
1   x   o x3   1   o x 2 
3!
1  sin x  cos x


  2!

lim
 lim
3
3
2
2
x 0 1  sin bx  cos bx
x 0

  b x

bx
1   bx 
 o x3   1 
 o x2 
3!
2!

 


Ta có sin x  x 

 

 

 

 

 x x2 
x 2 x3
x
1   
x 
 2 6  1
2
6
 lim
 lim
2
2
3
3
x 0
x 0
b x bx

b 2 x b3 x 2  b
bx 

xb 


2
6
2

6 


Chú ý rằng nếu ko thể dùng cách nào khác thì mới dùng cách 3. Vì cách 3 đạo hàm để
tìm khai triển cũng mệt. Lỡ sai chỗ nào thì chắc die luôn :v

arcsin x  x
x 2 .arcsin x
0
Dạng nên chắc ta xài L’Hospital thôi. Cơ mà dùng luôn thì trâu bò quá :v Biến đổi 1
0

4, lim
x 0

chút cho đơn giản đã:

arcsin x  x
arcsin x  x
 lim
 x  0 thi`arcsin x ~ x 
2
x 0 x .arcsin x
x 0
x3
1
1
 L
2
1  1  x2

x2
1
1

x
 lim

lim

lim

2
x 0
x 0
3x
6
3 x 2 . 1  x 2 x 0 3 x 2 . 1  x 2 . 1  1  x 2

lim



4-LNH




Bài tập giới hạn tổng hợp
Hoặc từ đây ta có thể dùng VCB tương đương
1

  x2  1
1 1 x
u
2
lim
 lim
 x  0 thi`1  x   1 ~ ux
2
2
2
2
2
2
x 0
x 0
x 0
6
3x . 1  x
3x . 1  x
3x . 1  x
Đến đây ta chú ý rằng, nếu x  0 thì ta chú ý dưới mẫu, trên tử có dạng tích (thương)
2

1
2 2

1  x 
 lim

1





nào có thể biến thành VCB tương đương được ko. Nếu biến được thì giới hạn sẽ đơn giản
hơn rất nhiều
x  cos x
x 
x

5, lim

Chú ý dạng này mà dùng L’Hospital thì ko được nhé. Vì lim cos x; limsin x ko tồn tại. Ta
x 

x 

biến đổi và để ý 1 chút để dùng định lí kẹp nhé:
x  cos x
cos x
 cos x 
 lim 1 
 1  lim

x 
x 
x 
x
x 

x


lim

Ta có :
1 1
1
 cos x  
x x
x
1
cos x  0
  lim
x

1
x
 1

Mà lim  lim     0
x 

x  x
 x

x  cos x
 lim
 1 0  1
x 

x
Ta có các dạng sau cách làm cũng tương tự:
x  cos x
x  cos x
x  sin x
lim
;
lim
;
lim
x  x  sin x
x  x  cos x
x  x  sin x
1  cos x  1 

1

1 x


x
1

x




6, lim
x 0 

e 



Dạng 1 . Có nhiều mũ nên dùng cách này sẽ hợp lí: lim a  x 
xx

b x 

lim b x .ln a  x 

 e x x o

o

1
1


1
x
1

x
ln
1

x
ln
1


x

x








1
1
1
1 x
 .  lim

1
.

lim

lim

Xét lim ln 


2
x 0

x 0
 e  x x 0 
x
x
2x
2
 x x 0


1

1 x


1
x
1

x




 lim
e2
x 0 
e 



7, lim
x 0





1  tan x  1  sin x .cot x
2

sin x

5-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp

lim



1  tan x  1  sin x
2

x 0

  lim 

1  tan x  1  sin x

x 0

sin x.tan x

x

3

  lim
x 0

 1

sin x 
 1

sin x 1  cos x
cos x 

 lim 3
 lim 
.
.
x 0
x 0  x
x2
x . 1  tan x  1  sin x
cos x.

1  sin x  cos x  .sin x

8, lim
x 0 1  sin ax  cos ax  .arctan x







1  tan x  1  sin x 

x3 .



1  tan x  1  sin x




1
1  tan x  1  sin x  4

1



Thay thế các VCB tương đương rồi rút gọn thì ta sẽ có giới hạn giống câu 3. Chẳng có gì
để bàn nữa!?

1  sin x  cos x  .sin x  lim 1  sin x  cos x  .x  lim 1  sin x  cos x   1
x 0 1  sin ax  cos ax  .arctan x
x 0 1  sin ax  cos ax  .x
x 0 1  sin ax  cos ax 
a

lim

1

9, lim  cos x  a sin bx  x
x 0

Dạng 1 . Theo kinh nghiệm thì có cosx thì ta sẽ dùng công thức để xuất hiện 1-cosx thì
 a  x  
đẹp. Do đó ta dùng công thức này: xlim
x 

b x 

lim b x .a  x  1

 e x x o

o

cos x  1  a sin bx
cos x  1
a sin bx
 x2

abx
C1: Xét lim
 lim
 lim
 lim
 lim
 0  ab  ab
x 0
x 0
x 0
x 0 2 x
x 0 x
x
x
x
1

 lim  cos x  a sin bx  x  eab
x 0

Nhưng đây là dạng 1 mà. Nhìn cũng dễ xơi :v Thử xơi bằng cách kia luôn xem cách nào
nhanh hơn :v
ln  cos x  a sin bx  L
 sin x  ab cos x
 lim
 ab
x 0
x

0

x
cos x  a sin bx

C2: Xét lim

1

 lim  cos x  a sin bx  x  eab
x 0

1  cos x  sin 2 x  tan 3 x
x 0
x arctan x

10, lim

Á đù. Lộ liễu quá :v Lại arctanx dưới mẫu
 1  cos x sin 2 x tan 3 x 
1  cos x  sin 2 x  tan 3 x
1  cos x  sin 2 x  tan 3 x
 lim

lim
 2  3 .x 

2
x 0
x 0
x 0
x arctan x

x2
x
x
 x


lim

1
1
1 0  
2
2
tan  a  x  .tan  a  x   tan 2 a
11, lim
x 0
tan x.arctan x
Chưa cần biến đổi gì cả, khi x  0 mà thấy tanx và arctanx thì cứ VCB tương đương đã


6-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp
tan  a  x  .tan  a  x   tan 2 a
tan  a  x  .tan  a  x   tan 2 a
 lim
x 0
x 0
tan x.arctan x

x2

lim

Ta có:
1
2
 cos 2 x  cos 2a  1  cos 2a
sin
a

x
.sin
a

x




sin
a
2
tan  a  x  .tan  a  x   tan 2 a 



cos  a  x  .cos  a  x  cos 2 a 1 cos 2 x  cos 2a 1  cos 2a



2
cos 2 x  cos 2a 1  cos 2a  cos 2 x  cos 2a  . 1  cos 2a    cos 2 x  cos 2a 1  cos 2a 



cos 2 x  cos 2a 1  cos 2a
 cos 2 x  cos 2a  . 1  cos 2a 


2 cos 2a 1  cos 2 x 
2 cos 2a  2 cos 2a cos 2 x
2 cos 2a.2sin 2 x


 cos 2 x  cos 2a  . 1  cos 2a   cos 2 x  cos 2a  . 1  cos 2a   cos 2 x  cos 2a  . 1  cos 2a 
tan  a  x  .tan  a  x   tan 2 a
2cos 2a.2sin 2 x
4cos 2a.x 2

lim

lim
x 0
x 0  cos 2 x  cos 2a  . 1  cos 2a  .x 2
x 0  cos 2 x  cos 2a  . 1  cos 2a  .x 2
x2

 lim


4cos 2a

1  cos 2a 

2

ax  bx
x 0
x

12, lim
Dạng

0
nên chắc ta dùng L’ Hospital luôn
0

a x  b x  L
a
 lim  ln a.a x  ln b.b x   ln a  ln b  ln
x 0
x

0
x
b

C1: lim

Ta cũng có thể dùng khai triển Maclaurin để giải quyết bài này:

C2: a x  1  x ln a  o  x  , b x  1  x ln b  o  x 

a  1  x ln a  o  x   1  x ln b  o  x  
o  x o  x 

ax  bx
a
lim
 lim
 lim ln a  ln b 

 ln

x 0
x 0
x 0
x
x
x
x 
b

Hoặc ta cũng có thể thêm bớt 1 để dùng công thức thì cũng xong:
a x  1   b x  1
a x  bx
a x 1
bx 1
a
 lim
 lim

 lim
 ln a  ln b  ln
C3: lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
b
1
1
e x  cos
x
13, lim
x 
1
1 1 2
x
Đặt đã. Nhìn cho đỡ ngứa mắt :v
1
1 1 t
e x  cos
t
x x lim e  cos t
lim
x 
t 0

1
1 1 t2
1 1 2
x
x

7-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp
Đến đây thấy có thể giải theo 3 cách. Ta thử cả 3 cách xem thế nào nhé 
0
rồi
0

C1: Dùng L’ Hospital vì có dạng

1  t 2  et  sin t  1
et  sin t
lim
 lim
 lim
   (vì et >0)
2
t 0
t 0
t

0
t

t
0
1 1 t
2
1 t
et  cos t

 L

C2: Dùng VCB tương đương kết hợp L’Hospital
lim
t 0

et  cos t
1 1 t2

 L

 lim

 lim
t 0

2  et  sin t 

t 0

2t

2  et  cos t 

et  cos t
 lim
 lim
t 0
t2
 t 0  1 . t 2


 1
2


et  cos t
1

2 2
 1  t 


 

C3: Dùng khai triển Maclaurin
t2
t2
t2
 o  t 2  , cos t  1   o  t 2  , 1  t 2  1   o  t 2 
2
2
2
2

2
 t

t
1  t   o t 2  1   o t 2 
t
2 t  t2  o t2  o t2
t  t2  o t2  o t2
2
2
e  cos t


lim
 lim
 lim
 lim
t 0
t 0
t 0
t2
 t2
t 2  2o t 2
1  1  t 2 t 0
2 
1  1   o t 
2
 2


et  1  t 

 

 

   



 

1
o t 2  o t 2  
2 1 2  2 
t
t
t 

 lim 
2
t 0
o t 
1 2 2
t

1 
2   1
 t   
1

Chú ý rằng nếu đã mất dạng vô định rồi mà vẫn vô tư đạo hàm thì sẽ die luôn đấy. Ví dụ
như trên đây ta đạo hàm tiếp thì kết quả sẽ là 2
lim
t 0

et  cos t
1 1 t2

 lim
t 0

et  cos t
1


 1  t 2  2  1



 lim
t 0

2  et  cos t 
et  cos t
 lim
t 0
1
t2
 .  t 2 

2

2  et  sin t   L 
2  et  cos t 
 lim
 lim
2
t 0
t 0
2t
2
1
sin 2 x.sin
x
14, lim
x 0
arcsin x
 L

Để ý rằng nếu đưa về VCB tương đương thì bài này lại quay về bài toán cơ bản của đinh
lí kẹp rồi

8-LNH

   
 


Bài tập giới hạn tổng hợp
1

1
x 2 sin
x  lim
x  lim x sin 1  0
lim
x 0
x 0
x 0
arcsin x
x
x
 1

 cos x 
 2
x 1

15, lim 
x 0 sin x.arcsin x
sin 2 x.sin

Cứ VCB tương đương đã rồi tính tiếp :v
 1

 1

 cos x 
 cos x 
 2
 2

1   x 2  1 cos x
x 1
x 1




lim
 lim
 lim
x 0 sin x.arcsin x
x 0
x 0
x2
x 2 .  x 2  1

Dạng

0
nên ta cứ L’Hospital mà fang, chầy cối thế nào cũng ra thôi =.=!
0

C1:

1   x 2  1 cos x  L 
sin x  x 2  1  2 x cos x  L 
cos x  x 2  1  2 x sin x  2cos x  2 x sin x
1
lim
 lim

 lim

2
2
2
3
2
2
x 0
x 0
x 0
2
x .  x  1
2 x  x  1  2 x
2  x  1  10 x

Ta cũng có thể thử dùng khai triển Maclaurin vì có xuất hiện cosx quen thuộc
 x2

2
1

x

1
1   o  x2  


2
2


2
 4

1   x  1 cos x
2

  lim  x  x  o  x    1
C2: lim

lim
2
2
2
x 0
x 0
x 0  2 x
2x
x  2
x 2 .  x 2  1
x 2 .  x 2  1



C3: Tách cũng ra được nè :v
lim

1   x 2  1 cos x
x 2 .  x 2  1

x 0

 lim
x 0

1  cos x  x 2 cos x
1  cos x
x 2 cos x

lim

lim
x 0
x 0 x 2 . x 2  1
x 2 .  x 2  1
  x0 x 2 .  x 2  1

 lim

1
cos x 1
1
 lim 2
 1  
2
x

0
x 1 2
2

2  x  1


1

1



16, lim x 2  e x  e x 1 
x 





Dạng .0 ta sẽ biến về

0

hoặc . Cơ mà số má như thế này mà đạo hàm cũng nản. Chắc
0


ko ra :3
1
1 x
1
 1x


x 1
.e 
.e x 1
2
 e  e   L
2
1
1
1 


 x  1
1 1
x3
  lim x
x 1
lim x 2  e x  e x 1   lim 
  x.e x 
.e

2
x 
x 

1
2
2 
x  1



 x 

2
3
x
x
2
2
3
3
1  1x 1 1x 3x  x  1  2  x  1 x  x  x  1 
 e  e 
  Math error : v
4

2 
x
 x  1

1

9-LNH

1


Bài tập giới hạn tổng hợp
Cách trên trâu bò quá =.=! Chắc ko ra. Nhìn ghê vch :v Nên chắc L’Hospital luôn chỉ
dành cho ai có cơ bắp :v. Tôi có 1 ý tưởng về VCB tương đương
1

1
 1x
 x11  


2 x
2  x 1
lim x e  1   e  1   lim x  e  1  lim x  e  1
x 

  x 
 x 


2

1

1
1
1
1
1
; e x 1  1 ~
vì x   thì  0;
0
x
x 1
x
x 1

Khi x   thì e x  1 ~

1
 1x 

x2
x2
1 
x2
1
2  x 1
21
lim x  e  1  lim x  e  1  lim  lim
 lim x  
 lim
1
  lim
x 
x 
x  x
x  x  1
x 
x

x

1
x  x  1
 x x 1 





1
x
2

Hoặc
1
 t ta có giới hạn mới như sau:
x
 t t 1 
t
t
t
t
t
e  1   e  1
t
t
t 1
e t  e t 1
e

1
e

1
t


  lim
t 1  1
lim
 lim
 lim 2  lim 2  lim t 2 1  lim
2
2
2
t 0
t

0
t

0
t

0
t

0
t

0
t

0
t
t

t
t
t
t
t2
Đặt

1

sin x  arcsin 2 x
17, lim 

x 0 arctan x



Thay VCB tương đương trước đã cho dễ:
1

1

 sin x  arcsin 2 x
 sin x  x2
lim 

lim



x 0 arctan x

x 0


 x 
sin x  x  L
cos x  1
 x2
1
 sin x  1
 1 . 2  lim

lim

lim

Xét lim 
3
2
2
x 0
x

0
x

0
x

0
x

3x
2.3x
6
 x
 x
1

1
 sin x  arcsin 2 x
 lim 
e6

x 0 arctan x



Hoặc ta dùng cách còn lại, thêm bớt 1 chút rồi dùng VCB tương đương như thế này:

 sin x 
lim 

x 0 arctan x


lim

sin x  x

 L

1
arcsin 2 x

lim

 sin x 
 lim 

x 0
 x 

cos x 1

 x2
lim 2
x0 3 x 2

1
x2

e

 sin x  1
lim ln 
.
 x  x2

x0

1

 e x0 x  e x0 3 x  e
e6
(vì khi x 0 thì ln(1+x) ~ x, 1-cosx ~ x2/2)
3

3x  5 
18, lim 

x  3 x  1



2

2x

10-LNH

e

 sin x
 1
lim ln 
11. 2
 x
 x

x0

e

 sin x  1
lim 
1. 2
x
x

x0 


Bài tập giới hạn tổng hợp
 3x  5 
ln 

36.x 2
36
3x  1   L 
 3x  5 

 lim
 lim
4
Xét lim ln 
 .2 x  lim
x 
x

x


x

1
 3x  5 3x  1
 3x  5 3x  1
 3x  1 
2x
x2
 3x  5 
4
 lim 
 e
x  3 x  1


cos  x.e x   cos  x.e x   .cos x

19, lim 
2
x 0
sin x.arcsin x
2x

Thấy có cos-cos trên tử. Ta biến về -2sin.sin. Mẫu dùng VCB tương đương nữa. Ta có :
x  e x  e x 

x  e x  e x 

2sin
.sin

cos x
cos  x.e x   cos  x.e  x   .cos x


2
2
lim
 lim
x 0
x 0
sin 2 x.arcsin x
x3
x  e x  e x  x  e x  e x 
2
.
cos x
e 2 x  e2 x  .cos x
cos x  e 2 x  1
cos x  e 2 x  1

2
2
 lim
 lim
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0
x 0

x3
2x
2x
2x
cos x.  2 x 
cos x.  2 x 
 lim
 lim
 1  1  2
x 0
x

0
2x
2x
sin ax  sin bx
20, lim
x 0
sin x
0
sin ax  sin bx  L 
a cos ax  b cos bx
Dạng , do đó ta dùng L’Hospital luôn lim
 lim
 a b
x

0
x


0
0
sin x
cos x

C2: Ta có thể biến đổi và dùng VCB tương đương như sau:
sin ax  sin bx
 lim
x 0
x 0
sin x
x2
e  cos x
21, lim
x 0
tan 2 x

2cos

lim

ax  bx
ax  bx
ax  bx x  a  b 
sin
2cos
.
2
2
2

2
 lim
 a b
x 0
sin x
x

Dùng các VCB tương đương thôi :3

e x  1   cos x  1
e x  cos x
e x  cos x
ex 1
cos x  1
 1 3
lim

lim

lim

lim
 lim
 1    
2
2
2
2
2
x 0

x 0
x 0
x 0
x 0
tan x
x
x
x
x
 2 2
2

2

2

2

1

sin x
 sin x  x
22, lim 
 sin x 
x 0
 x


Xét thử cách chương 1 xem :v

11-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp
 sin x

 sin x  1

 L
x
  lim sin x  x sin x  x  lim cos x  sin x  x cos x  1
lim 
x 0
x 0
x 0 sin x  x  x  cos x  1
sin x  x
x  sin x  x 
 L

 sin x  cos x  cos x  x sin x 1

x 0 cos x  1  cos x  1  x sin x
2

 lim

1

 sin x
 sin x  x

 lim 
 sin x 
 e2
x 0
 x

1
sin x
 1 khi x  0 Giới hạn ban đầu trở thành lim 1  sin x  sin x  x
Có ý tưởng mới là thay
x 0
x
1
L
1
ln 1  sin x   
cos x
1
 lim 1  sin x  sin x  x  e 2
Xét lim
 lim

x 0
x 0
x 0  cos x  11  sin x 
sin x  x
2
1

sin x

1
1
1  sin x  1
sin x
1
x
sin
x

x
 lim
 lim
  lim 1  sin x 
 e2
Hoặc xét lim
x 0 sin x  x
x 0 sin x  x
x 0 sin x
x 0
2
1
x
 1

23, lim  2  cot 2 x 
x 0 x


Ta thử các hướng biến đổi sau:
C1 :

1 
1 
 1

 1

 1
 1
lim  2  cot 2 x   lim  2  1  cot 2 x  1  lim  2  1  2   1  lim  2  2 
x 0 x
x 0 x
sin x 
sin x 

 x 0  x
 x 0  x

1 
sin 2 x  x 2
sin 2 x  x 2
 1
Xet :lim  2  2   lim 2 2  lim
vì x  0 thì sin 2 x ~ x 2 

4
x 0 x
x  0 x sin x
x 0
sin
x

x


4 x 2
2
L
L
 
2  cos 2 x  1
sin 2 x  2 x  
2 cos 2 x  2
2  1
 lim
 lim
 lim
 lim
3
2
2
x 0
x

0
x

0
x

0
4x

12 x
12 x
12 x 2
3
1 2
 1

 lim  2  cot 2 x   1  
x 0 x
3 3


C2 :

12-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp

 tan x  x  .  tan x  x 
1 
tan 2 x  x 2
tan 2 x  x 2
 1

 1
lim  2  cot 2 x   lim  2 

lim


lim
 lim

2
2
2
4
x 0 x
x 0
x 0
tan x  x 0 x tan x
x
x 3 .x

 x 0  x
tan x  x
tan x  x
 lim
.lim
3
x 0
x

0
x
x
tan x  x
tan x

, lim

 1  lim
 11  2

x 0
x 0
1 2
x
x
 1

 cot 2 x   2. 
  lim

2
2
2
L

3 3
tan x  x
tan x  1  1
tan x 1  x 0  x

, lim
 lim
 lim

3
2
2

x 0
x 0
x 0 3 x
x
3x
3 
Ta sử dụng các VCB tương đương: x  0 thì

 ax 
sin x ~ x; tan x ~ x; 1  cos ax ~
2

arcsin x  arctan x
24, lim
x 0
ln 1  x3 

1
arcsin x  arctan x
lim
 lim
x 0
x 0
ln 1  x3 

arcsin x  arctan x  L 



 lim 1  x 2

x 0
3x

x3

2

2

1
x 1
2

 lim
x 0

x

2

 1  1  x 2

3x 2  x 2  1 1  x 2

Đến đây ta cũng có nhiều hướng giải quyết
C1: Ta nhân thêm lượng liên hợp:

lim

x

2

 1  1  x 2

 x  1  1  x 
 x  1 1  x  x  1 
2

2

3x 2  x 2  1 1  x 2

 lim

2

1  x2 

4
2
x  3x
x2  3
1
 lim
 lim

x 0
x 0
2

2
2 
2
2
2
2 
2
2
2
3x  x  1 1  x  x  1  1  x
3  x  1 1  x  x  1  1  x




C2: Sử dụng VCB tương đương
x 0

lim
x 0

3x  x  1 1  x
2

3x 2

2

2

2

1

 x2  1  1  x2
2

x 0

2

 lim
x 0

x 1 1 x
2

2

3x  x  1 1  x
2

2

2

 lim
x 0

x

2

3x  x  1 1  x 2
2

2

 lim
x 0

1  1  x 2  2

3x 2  x 2  1 1  x 2

 1 2 
 1 
x 
x2    x2 

x
 2 
 2  1
 lim
 lim
 lim
x 0
3x 2  x 2  1 1  x 2 x 0 3x 2  x 2  1 1  x 2 x 0 3x 2  x 2  1 1  x 2 2
2

esin x  e x
x 0 sin x  x

25, lim

0
nhưng nếu dùng L’Hospital luôn thì hơi dài vì bản chất của hàm ea  x  càng đạo hàm
0
càng phức tạp. Ta thử cách thêm bớt kết hợp vô cùng bé tương đương trước xem thế nào
C1 :
Dạng

13-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp
esin x  1   e x  1
esin x  e x
esin x  1
ex 1
sin x
x
lim
 lim
 lim
 lim
 lim
 lim
x 0 sin x  x
x 0

x

0
x

0
x

0
x

0
sin x  x
sin x  x
sin x  x
sin x  x
sin x  x
sin x  x
 lim
1
x 0 sin x  x
C2: Dùng L’Hospital
esin x  e x  L 
cos x.esin x  e x  L 
 sin x.esin x  cos 2 x.esin x  e x
lim
 lim
 lim
x 0 sin x  x
x 0

x 0
cos x  1
 sin x
sin
x
2
sin
x
sin x
3
 L
 cos x.e  sin x.e  sin 2 x.e  cos x.esin x  e x
 lim
1
x 0
 cos x
xx  x
26, lim
x 1 ln x  x  1
0
C1: Dạng . Dùng L’Hospital luôn thôi. Nhưng cách này khá cơ bắp đấy!?
0
Trước hết ta tính riêng đạo hàm của xx.
y'
y  x x  ln y  x ln x   1  ln x  y '  1  ln x  . y  1  ln x  .x x
y
x
x
Hay  x  '  1  ln x  .x
Bây giờ ta bắt đầu dùng L’Hospital

2
1  ln x  .x x  1  x.  x x1  1  ln x  .x x 
x 1  ln x  .x x  1  L
x x  x  L
lim
 lim
 lim
 2
x 1 ln x  x  1
x 1
x 1
1 x
1

C2: Cách trên khá là rắc rối vì đạo hàm của hàm x x khá là phức tạp. Ta có hướng mới. Đó là

dùng VCB tương đương. Để ý rằng x  1 thì x x   x  1  1 ~ x.  x  1 . Chúng ta thử nhé 
x

x x  1   x  1
xx  x
xx 1
x 1
lim
 lim
 lim
 lim
x 1 ln x  x  1
x 1
x 1 ln x  x  1

x 1 ln x  x  1
ln x  x  1

 x  1  1
 lim
x 1

1
x.  x  1
x 1
x 1
 lim
 lim
 lim
x 1 ln x  x  1
x 1 ln x  x  1
x 1 ln x  x  1
ln x  x  1

2.  x  1
2 x  x  1
 lim
 2
x 1 ln x  x  1
x 1
x 1
1
1

x

1
x
Nếu dùng đạo hàm thì nhiều dạng sẽ khá khó làm. Để ý tách VCB tương đương nhé. Một số bài
tương tự bài này để các bạn luyện tập
2
2
x x 1  x 3
x x x  x3
a, lim
b, lim
x 1 arcsin  x  1
x 1 arctan  x  1
 lim

 x  1

x

2

 L

 lim

 x 2  3x  5 
lim
27, x   2

 x  2x  1 

x 1

14-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp
Có lẽ cách sau đây là hợp lí nhất rồi 

 x 2  3x  5 
lim 

x  x 2  2x  1



x 1

e

 x2 3x  5 
lim 
1. x 1
x  x 2  2x 1 



 6 5x . x 1

e

 6  5x 
lim 
. x 1

x  x 2  2x 1 

lim

 ex

x2  2x 1

x2
x  2x 1

lim

 6 5x . x 1

2

x

e

x2

 e5

Tương tự ta có các bài tập dạng này:

 x 2  6x  3 
a, lim  2

t  x  3x  2



x

 2x 2  x  2 
b, lim  2

t  2x  3x  1



 ax 2  bx  c 
Ta sẽ nâng bài trên lên TQ: Dạng tổng quát là: lim  2

t  ax  b x  c

1
1 

3x  4

dx  e

e

d  b  b1 

1

28, lim  e3x  3x  x
x 0



lim e  3x
x 0

3x



1
x

e

e3 x 3x 1
x0
x
lim

lim 3.

 ex0

e3 x 1
3x
 lim
x0 x
3x

 e3  3  e 0  1

vì x  0 thì ex  1 ~ x
1

Tương tự:



29, lim tan x
x

Ñaët


2

1

a, lim  x  e2x  x

b, lim  x 5  e4x  x

t 0

t 0


x
2





x  a x  a
2
2
a

lim ln  cot a .a
 
a

lim  tan   a    lim  cota   e x0
a 0
a 0

 2

1
ln  cot a   L 
2a2

2a2
Xeùt lim ln  cot a  .a  lim
 lim sin a cos a  lim
 lim
 lim a  0
a 0
a0
a0
a  0 sin 2a
a  0 2a
a0
1
1
2
a
a


 lim  tan x  2
x

x


2

 e0  1


cot a  ' 1/ sin 2 a


1
2 


 Ta coù:  ln  cot a   ' 





cot a
cos a / sin a sin a cos a sin 2a 


1

x
30, lim(e  x) x
x 0

15-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp







1
lim (e  x)  e

x
x 0
x

lim
(e

x)
 e2

x 0
L
x
x
ln(e  x)
e 1

Xét lim
 lim x
 2
x 0
x

0
x

e x

Hoặc
1
x

x

1
x

lim

x

x 0

 e 1 x
x

lim

lim (e  x)  e x0
x

ln ex  x

x

x 0

 e 1 1
x

lim

 e x 0

x

 e11  e2

ex  1
vì lim
1
x 0
x
1  tanx 
31, lim 2 .ln 

x 0 x
 x 
Có thể nói bài này là bản sao của bài 17. Nếu ko để ý mà L’Hospital ln thì chắc die :))
 tanx 
 tanx

tan x
ln 
ln 
 1  1


1
x
x
 tanx 
1
tan x  x

  lim 
  lim x
lim 2 .ln 

lim
 lim

2
2
2
x 0 x
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x3
 x  x 0
L

tan 2 x  1  1

tan 2 x 1

l
im

x 0
x  0 3x 2
3
3x 2
 tanx
 tanx
tanx
vì x  0 thì
 1  0  ln 
 1  1 ~
1
x
x
 x

 lim

32, lim



1  cos x 3 cos 2x



x 3  x arcsin 3x
x2
Chú ý rằng 1  cos x ~ , arcsin 3x ~ 3x khi x  0
2
x 0





Áp dụng VCB tương đương đó vào bài toán nà y ta có: 1  cos x 3 cos 2x ~
Ta có:





x 2 . 3 cos2 2x
1  cos x cos 2x
1
x 2 . 3 cos2 2x
2
lim 3
 lim 3
 lim 3
x 0
x  0 x  x arcsin 3x
2 x 0 x  x arcsin 3x
x  x arcsin 3x
3

cos2 2x
1
cos2 2x 1 1 1
chia cả tử và mẫu cho x 2  . lim
 . 
arcsin 3x
3x
2 x 0
2 3 6
x
x
x
x
2
arctan x
33, lim
x  0 sin x sin x  x





1
lim
2 x 0

3

3





16-LNH

x 2 . 3 cos2 2x
2


Bài tập giới hạn tổng hợp
 
arctan 2 x
x2
x
1
lim
 lim
 lim
 lim

x 0 sin x sin x  x
x 0 x sin x  x
x 0 sin x  x
x 0 cos x  1




L

34, lim x 1  3x 

2

x 0

Chưa thấy dạng gì đặc biệt. Ta viết lại như sau
1

2 x
lim 1  3x  

x 0 


À ha. Dạng 1 rồi. Ta xử lí như sau:
ln 13x 2 
 
 
lim 
x0
x

1
x

2
lim 1  3x    e


x 0 

Tương tự ta có bài sau:

2 ln 13x 
x

e

lim

x0

2. 3x 
x



 e6 vì x  0 thì ln 1  3x  ~ 3x



1

lim x cos x

DS: e 2

x 0

35, lim

e

lim

x0

1 x  1 x

1 x  5 1 x
C1: Nhìn thế này có lẽ hướng nghĩ đầu tiên là nhân thêm lượng liên hợp:
x 0 5

lim

x 0 5

1 x  1 x
1 x  5 1 x

1  x  1  x  .  1  x 
5

 lim



 lim

1  x 

4

3
2
2
3
4 
 5 1  x  . 5 1  x  5 1  x  . 5 1  x   5 1  x. 5 1  x   5 1  x  

1  x  1  x  1  x  1  x



x 0

5

4



 5 1  x  . 5 1  x  5 1  x  . 5 1  x   5 1  x. 5 1  x   5 1  x 
3

2

2

3

1 x  1 x

x 0

5
2
C2: Dùng L’Hospital:


1
1

1
1
1
1
1  x  2  1  x  2
.1  .1

1 x  1 x
2
2 5
lim
 lim 2
2
4
4
5

x 0 5
x 0 1
1
1
2
1
1 x  1 x
.1  .1
1  x  5  1  x  5

5
5
5
5
C3: Dùng VCB tương đương. Cách này có lẽ là hơi dài vì ta cần tách 2 lần:

L

17-LNH

4


Bài tập giới hạn tổng hợp
x
x

2
2
lim

 lim
 lim
 lim
 lim
5
5
5
5
x 0 5
x 0 5
x 0 5
x 0 5
x0 5
1 x  1 x
1 x  1 x
1 x  1 x
1 x  1 x
1 x  5 1 x
x
1
1
 lim
 lim
 lim
x 0 5
1  x  5 1  x x0 5 1  x  5 1  x x0 5 1  x  1 5 1  x  1

x
x
x

1
1 5
 li m
 
x 0 x
x 2 2

5 5 5
x
x
C4: Dùng khai triển Maclaurin. Các bạn tự làm nhé 
Ta có 1 số bài tập tương tự:
1 x  1 x

a, lim

x 0 3

1  x 1

1  x 1

1 x  1 x

b, lim

1  4x  1  2x
3

x 0

1  3x  1  4x
4

1  2x  4 1  x

m

1  ax  n 1  bx

x 0 k

1  cx  1  dx

TQ: Như vậy ta thấy dạng tổng quát của bài toán này là: lim

t



kp  dt
ma  nb

x

2

36, lim  arctan x 
x  




Dạng 1 . Nhưng ta sẽ xử lí theo cách nào???
b x 

lim b x .ln a  x 

Chú ý rằng nếu ta dùng công thức này lim  a  x    e xx o
thì không xử lý được vì biểu
xx o
thức trong dấu ln(..) quá cồng kềnh. Không thể xử lí được ngay. Nếu dùng theo công thức này thì
ta lại phải đặt ẩn phụ rồi dùng VCB tương đương 1 lần mới có thể giải quyết được!!
Nên ta sẽ dùng công thức này lim  a  x  
xx o
x

2

b x 

lim b x .a  x  1

 e x x o



lim  arctan x 1.x
2

x


lim  arctan x   e  
x  


Xét
2

 2 arctan x   
lim  arctan x  1 .x  lim 
 .x
x  
x 






 Daïng

0. 

 2 arctan x   
2 1
. 2


L


2x 2
2
2



x

1
 lim
 lim
 lim 
 lim 

2
2
x 
x

x

x

1
1

 x 1
 x 1
2
x

x
x2



x

2
2

Do đó lim  arctan x   e 
x  



18-LNH








Bài tập giới hạn tổng hợp
37, lim

3

x 3

2x  2. 3x  5  4
x 3

2x  2. 3x  5  4
x 3
x 3
Ñaët x  3  t  x  t  3 ta coù

lim

lim

3

2  t  3   2. 3  t  3   5  4

3

t

t 0

3

 lim
t 0





 lim 
t 0

2t  8. 3t  4
1
2t  8. 3t  4  4
4
 lim
t 0
t
t
4

 3t

3t
2t
2t
 1  1  3  1  1
 1  1  3  1  1


 4

4
8
8



 lim 
t 0
t
t
4
4
3

 lim
t 0

3


2t
3
2t
3t

1.

 1.
1 1

8
8
4

 lim
t 0

t
4

3t
2t
1 3t
1 2t
 1  1
3
1 1
.
.

4
  lim 8
2
4
3
8  11
 lim
 lim
t 0
t 0
t 0
t
t
t
t
6
4

4
4
4

x  5. 2x  3  6
x 3
x 3
2 . 5x  2  8
38, lim
x 2
x2  x  6
Chưa thể giải quyết được ngay với bài toán này. Cũng giống như bài trên, bài này tađổi biến để
biến mới tiến đến 0. Ta giải quyết như sau:
Tương tự: lim

3

x 3

2 x. 3 5x  2  8
x 2
x2  x  6
Ñaët x  2  t, ta coù:

lim

 5t  8  t
t
5t  8
2

.
 1  2  1
3
2.
1


t 2 3
2 . 5t  2  2  8
8
2 . 5t  8  8
8


lim

lim

lim

lim
2
2
2
2
t 0
t 0
t

0

t

0
t  5t
t  5t
t  5t
t  2  t  2  6
8
8
 5t

 5t 1 
2t.  3  1  1
2t.  . 
 8

t
  lim 2  1  lim  8 3   lim t.  ln 2   8.  1  ln 2 
 lim  2


t 0
t  0 t 2  5t
t 0
t  0 t 2  5t
5 
t  5t
t 2  5t
 24
8

8
8
8
Tương tự ta có 1 số bài đổi biến như sau:
t 3

t 2 3

19-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp
1, lim
x 1



sin 2 .2 x



2, lim 1  x 

  

ln cos .2 x

cos

x

2

3, lim
x 1

x 1

 
sin  x 

sin x 4
9

39, lim x    2 arctan  5x  1
x 
Không khó khăn lắm khi ta đã nhận dạng được giới hạn là 0. . Nhẩm đạo hàm 1 chút, để arctan
ở trên tử đạo hàm sẽ ra phân thức bậc 2 dưới mẫu. Do đó ta sẽ biến đổi như sau
10
  2 arctan  5x  1  L 
 5x  1  1  lim 10x2


lim x    2 arctan  5x  1   lim
 lim
2
x 
x 
x 
x 
1

1
 5x  1  1
 2
x
x
10
10 2
 lim


2
x 
25
5
5x

1

1


2

x2

esin 2x  cos x
40, lim
x 0
sin 3x
Có quá nhiều hướng cho bài này. Tôi sẽ dùng VCB tương đương để tiếp cận bài toán 1 cách tự

nhiên nhất
esin 2x  cos x
esin 2x  cos x
lim
 lim
 vì x  0 thì sin 3x ~ 3x 
x 0
x 0
sin 3x
3x
 lim

esin 2x  1 



  lim e

cos x  1

3x
Ta coù:x  0 thì
x 0

x 0

sin 2x

3x

1

 lim
x 0

cos x  1
3x

esin 2x  1 ~ sin 2x ~ 2x
1


x
x 2
1
x
x2
cos x  1  1  2 sin 2  1   1  2 sin 2   1 ~ 2. sin 2 ~ 
2
2
2
2
4

 2x x 2  2
esin 2x  1
cos x  1
Do ñoù:lim
 lim
 lim  


x 0
x 0
x  0 3x
3x
3x
4.3x  3

1 x



41, lim   arcsin x 
x 1
2

0
Dạng 0 . Dùng công thức là ok. Ta sẽ mường tượng trước đạo hàm để có thể làm 1 cách chính
xác nhất.
1 x



lim   arcsin x 
x 1
2


e



lim ln   arcsin x 1 x 
2


x1

20-LNH


Bài tập giới hạn tổng hợp


Xét giới hạn lim ln   arcsin x  1  x  ta có:
x 1
2

1


3
2
ln   arcsin x   L 
2
2

1

x


1

x




2


  lim 1  x  lim
lim ln   arcsin x  1  x   lim 
 lim
0
x 1
x

1
x 1
x 1
x 1
1
1
1 x
2

1  x2
2
1  x 

1  x 
1 x



Vậy lim   arcsin x 
x 1
2


42, lim x e

tan x

 e0  1

1

x 0

Dạng 0 như bài trên. Ta có lim x
0





x 0

etan x 1

e





lim ln x. etan x 1

x0

.

Xét lim ln x etan x  1
x 0

Dạng 0.  . Ta sẽ sử dụng VCB tương đương kết hợp L’Hospital để xử lí bài toán đơn giản nhất
có thể
1
L
ln
x
ln
x
lim etan x  1 .ln x  lim
 lim
 lim x  lim  x   0 vì x  0 thì e tan x  1 ~ tan x ~ x
x 0
x 0
x


0
x  0 1
x 0
1
1
x
etan x  1
x2
tan x
 lim x e 1  e0  1







x 0

Lời giải trên đây đa phần là theo ý kiến chủ quan của cá nhân. Nên có thể
nhiều bài chưa giải được bằng cách hay nhất. Rất mong nhận được sự góp ý
của mọi người để bài giải được hoàn thiện hơn!!!

21-LNH

