Bài tập giới hạn (Lí thuyết+BT mẫu)

Giới hạn
A. Kiến thức sách giáo khoa
I. Giới hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn 0
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số
( )
n
u
có giới hạn 0, kí hiệu
( )
n
lim u 0=
(hay
n
lim u 0=
), nếu với mọi số dơng nhỏ bao
nhiêu tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dơng đó.
b. Tính chất:
( ) ( )
n
1 1
lim 0; lim 0 0 ; limq 0 | q | 1
n n

= = > = <
c. Định lí: Cho hai dãy số
( )
n n
n n n
n
| u | v

u , v : lim u 0
lim v 0



=

=


(1)
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a. Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số
( )
n
u
có giới hạn là số thực L, kí hiệu
n
lim u L=
, nếu
( )
n
lim u L 0 =
( )
n n
lim u L lim u L 0= =
b. Các định lí:
Cho (u
n
) mà u

n
= c, n :
n
lim u c=
limu
n
= L
n
3
3
n
lim | u | | L |
lim u L
=




=


Nếu
n n
lim u L, lim v M= =
thì:
( ) ( )
n
n n n n n
n
u

L
lim u v L M; lim u .v L.M; lim k.u k.L (k ); lim (M 0)
v M
= = = = Ă

( )
n n n
n
n n
v u w , n
lim u L
lim v lim w L L



=

= =


Ă
(2)
Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (v
n
) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn. (3)
c. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

n
2 n 1
n 1 1 1 1 1
1 q
S u u q u q ... u q u . ;
1 q


= + + + + =


n
2 n 1
1
1 1 1 1 n 1
u
1 q
S u u q u q ... u q ... limS lim u . ;
1 q 1 q


= + + + + + = = =

3. Dãy số có giới hạn vô cực
a. Dãy số có giới hạn
+
Ta nói rằng dãy (u
n
) có giới hạn +, kí hiệu limu
n

= +, nếu với mỗi số dơng tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dãy số, kể
từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dơng đó.
Kết quả:
3
lim n ;lim n ;lim n= + = + = +
b. Dãy số có giới hạn -
Ta nói rằng dãy (u
n
) có giới hạn là - , kí hiệu limu
n
= -, nếu với mọi số âm tùy ý cho trớc, mọi số hạng của dãy số, kể
từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
c. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc nhân
n
lim u
n
lim v
( )
n n
lim u .v
n
lim u
n
lim v
( )
n n
lim u .v

+

+ +

+
+
+
+

+



+

+


+


+
Quy tắc chia
n
lim u L 0=
có dấu
n n
lim v 0, v 0=
có dấu
n
n
u

lim
v
+ +
+
+



+


+
II. Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn hữu hạn
Cho
( )
0
x a; b
và f là hàm số xác định trên tập
( ) { }
0
a; b \ x
. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu
( )
0
x x
lim f x L

=

, khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
), nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong tập
( ) { }
0
a; b \ x
mà
n 0
lim x x=
, ta
đều có
( )
n
lim f x L=
Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
1
b. Giới hạn vô cực
( )
0
x x
lim f x

= +
nếu mọi dãy
( )
n
x
trong tập
( ) { }
0
a; b \ x
mà
n 0
lim x x=
thì
( )
n
lim f x = +
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
( )
a;+
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực L khi x dần đến
+, kí hiệu
( )
x
lim f x L
+
=
, nếu với mọi dãy số
( )

n
x
trong khoảng
( )
a;+
mà
n
lim x = +
, ta đều có
( )
n
lim f x L=
3. Các định lí
a. Định lí 1: Giả sử
( )
0
x x
lim f x L

=
và
( ) ( )
0
x x
lim g x M L, M

= Ă
. Khi đó:

( ) ( )

0
x x
lim f x g x L M

=


( ) ( )
0
x x
lim f x .g x L.M

=


( ) ( )
0
x x
lim k.f x k.L k

=

Ă

( )
( )
( )
0
x x
f x

L
lim M 0
g x M

=
b. Định lí 2: Giả sử
( )
0
x x
lim f x L

=
. Khi đó:

( )
0
x x
lim | f x | | L |

=
;

( )
0
3
3
x x
lim f x L

=

;
Nếu
( )
f x 0
với mọi
{ }
0
x J \ x
, trong đó J là một khoảng nào đó chứa
0
x
thì
L 0
và
( )
0
x x
lim f x L

=
.
c. Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{ }
0
J \ x
. Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )

( ) ( )
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L




=

= =


4. Giới hạn một bên
a. Định nghĩa:
Giả sử hàm f xác định trên khoảng
( )
0 0
x ; b , x Ă
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến
x
0
, kí hiệu:
( )

0
x x
lim f x L
+

=
, nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong khoảng
( )
0
x ; b
mà
n 0
lim x x=
, ta đều có
( )
n
lim f x L=
.
Giả sử hàm f xác định trên khoảng
( )
0 0
a; x , x Ă
. Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến
x
0
, kí hiệu:

( )
0
x x
lim f x L


=
, nếu với mọi dãy số
( )
n
x
trong khoảng
( )
0
a; x
mà
n 0
lim x x=
, ta đều có
( )
n
lim f x L=
.
Các định nghĩa
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x
+ +

= + = = + =
đợc phát biểu tơng tự nh trên.
b. Định lí:

( ) ( ) ( )
0
0 0
x x
x x x x
lim f x lim f x L lim f x L
+


= = =

( )
( )
0 0
x x x x
1
lim | f x | lim 0
f x

= + =
5. Quy tắc tìm giới hạn vô cực
a. Quy tắc nhân b. Quy tắc chia
( )
0
x x
lim f x

( )
0
x x
lim g x L 0

=
có dấu
( ) ( )
0
x x
lim f x .g x



( )
0
x x
lim f x L 0

=
có dấu
( )
0
x x
lim g x 0

=
g(x) có dấu
( )

( )
0
x x
f x
lim
g x


+
+
+
+ +
+
+


+



+


+



+

+

6. Các dạng vô định
Khi tìm
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x
lim ,lim f x g x ,lim f x g x
g x



khi
0 0 0
x x ; x x ; x x ; x ; x
+
+
ta gặp các dạng
vô địn, kí hiệu
0
, , 0. ,
0



, lúc đó ta không dùng đợc các định lí về giới hạn cũng nh các quy tắc tìm giới hạn vô
cực. Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định
B. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Phơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.
Ví dụ 1: Tìm:

2
3
2
8n 3n
lim
n

Giải:
Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
2
2
3
3
3
2
8n 3n 3
lim lim 8 8 2
nn

= = =
Ví dụ 2: Tìm:
2
2
2n 3n 1
lim
n 2

+
Giải:

2
2
2
2
3 1
2
2n 3n 1 2
n n
lim lim 2
2
1n 2
1
n


= = =
+
+
Ví dụ 3: Tìm:
(
)
2
lim n 1 n 1 +
Giải:
(
)
2
2
2
2n 2

lim n 1 n 1 lim lim 1
1 1
n 1 n 1
1 1
n
n

+ = = =
+ +
+ +
.
Dạng 2: Chứng minh
n
lim u 0=
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí:
Cho hai dãy số
( )
n n
n n n
n
| u | v
u , v : lim u 0
lim v 0



=

=

(1);
( )
n n n
n
n n
v u w , n
lim u L
lim v lim w L L



=

= =


Ă
(2)
Ví dụ: Chứng minh:
( )
n
1 cos n
lim 0
n

=
Giải:
Ta có:
( )

n
1 cos n
1
n n


và
1
lim 0
n
=
nên
( )
n
1 cos n
lim 0
n

=
Dạng 3: Chứng minh
n
lim u
tồn tại
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (v
n
) giảm và bị chặn dới thì có giới hạn.

Ví dụ: Chứng minh dãy số
( )
n
u
cho bởi
( )
n
1
u
n n 1
=
+
có giới hạn.
Giải:
Ta có
( ) ( )
( )
n 1
n
n n 1
u
1 n
. 1, n.
u n 1 n 2 1 n 2
+
+
= = <
+ + +
Do đó dãy
( )

n
u
giảm.
Ngoài ra,
( )
*
n
1
n : u 0,
n n 1
= >
+
Ơ
nêu dãy
( )
n
u
bị chặn dới. Vậy dãy
( )
n
u
có giới hạn.
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phơng pháp giải: Sử dụng công thức:
1
u
S ,| q | 1
1 q
= <

Ví dụ: Tính tổng
2 n
1 1 1
S 1 ... ....
2 2 2
= + + + + +
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
1
u 1=
. Vậy:
1
u
1
S 2
1
1 q
1
2
= = =


Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Phơng pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:

3
2
2n 4n 3
lim
3n 1
+
+
Giải:
Cách 1:
Ta có:
3
2 3
2
3
4 3
2
2n 4n 3
n n
lim lim
3 1
3n 1
n
n
+
+
=
+
+
Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101

3
Lại có
2 3 2
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
nn n n

+ = < + =
ữ ữ

và
( )
*
3
3 1
0 n
n n
+ > Ơ
nên suy ra:
3
2 3
2
3
4 3
2
2n 4n 3
n n
lim lim
3 1
3n 1

n
n
+
+
= =
+
+
Cách 2:
Ta có:
3
3
2 3
2 3
2
2
2
2
4 3
4 3
n 2
2
2n 4n 3
n n
n n
lim lim lim n.
1
1
3n 1
3
n 3

n
n


+
+
ữ

+

= =

+


+
+
ữ



Lại có
3
2 3 2 3
2
2 2
4 3 4 3
2 2
2 2n 4n 3
n n n n

lim n ;lim 0 lim lim n.
1 1
3 3n 1
3 3
n n

+ +

+
= + = < = =

+

+ +


Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Phơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1
lim x.sin
x


ữ

.
Giải:
Xét dãy

( )
n
x
mà
n
x 0, n
và
n
lim x 0=
. Ta có:
( )
n n n
n
1
f x x sin | x |
x
=
Vì
( )
n n
lim | x | 0 lim f x 0.= =
Do đó
x 0
1
lim x.sin 0
x


=
ữ

.
Ví dụ 2: Tính:
(
)
2
x
lim x x 1 x
+
+ +
Giải:
Ta có:
(
)
2 2
2
2 2
x x x x
2
1
1
x x 1 x x 1 1
x
lim x x 1 x lim lim lim
2
1 1
x x 1 x x x 1 x
1 1
x x
+ + + +

+
+ + +
+ + = = = =
+ + + + + +
+ + +
Ví dụ 3: Tính:
(
)
2
x
lim x 3x 1 x

+ + +
Giải:
Ta có:
(
)
2
2 2
x x x x
2
1 1
3 3
3x 1 3
x x
lim x 3x 1 x lim lim lim
2
3 1
x 3x 1 x x 3x 1
1 1

1
x x
x

+ +
+
+ + + = = = =
+ + + +
+ +

(Chú ý: khi
x
là ta xét x < 0, nên
2
x x=
)
Dạng 7: Chứng minh
( )
0
x x
lim f x 0

=
(Hoặc bằng L)
Phơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa
0
x
và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp
{ }

0
J \ x
. Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x J \ x : g x f x h x
lim f x L
lim g x lim h x L




=

= =


Ví dụ: Chứng minh:
2
4
x
x sin x
lim 0
1 x

+
=
+
Giải:
Ta luôn có:
( ) ( )
2 2 2 2
4 4 4 4
x sin x x x x
| f x | f x
1 x 1 x 1 x 1 x
=
+ + + +
2 2 2 2 2
2 2
4 4 4 4 4
x x x x x x x
4 4
1 1
x x x x x sin x
x x
lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0
1 1
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
1 1
x x
+ + + +
= = = = = = =
+ + + + +
+ +

.
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Phơng pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
4
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3
2
x x 1
f x
2x 3 x 1

<

=




với
với
. Tìm
( )
x 1
lim f x

Giải:
Ta có:

( )
( )
( )
( )
( )
2
2
x 1 x 1
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1
+ +

= = =
(1)
( )
( )
( )
3
x 1 x 1
lim f x lim x 1


= =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
x 1
lim f x 1

=
Ví dụ 2: Cho hàm số

( )
1
x 1
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi
khi

>


+
=



<

+
a. Tìm
( )
x 2
lim f x

b. Tìm
( )
x 1

lim f x

Giải:
a.
( )
x 2 x 2
1 1
lim f x lim
x 1 3

= =
+
b.
( )
x 1
lim f x

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 1 1
lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
1 x 2 1 x 2
+ + +


= = = =
+ +
suy ra không tồn tại
( )

x 1
lim f x

(Chú ý:
( )
0
x x
lim f x

tồn tại khi và chỉ khi
( ) ( )
0 0
x x x x
lim f x lim f x L
+

= =
thì
( )
0
x x
lim f x L

=
)
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Phơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính
2
x

lim 4x 1


Giải:
2 2
2 2
x x x
1 1
lim 4x 1 lim x 4 lim | x | . 4
x x


= =
ữ

Vì
x
lim | x |

= +
và
2
2
x x
1
lim 4 2 0 lim 4x 1
x

= > = +
Dạng 10: Khử dạng vô định

Phơng pháp giải
1. Khi tìm giới hạn dạng
( )
( )
0
x x
P x
lim
Q x

, với
( ) ( )
0 0
x x x x
lim P x lim Q x 0

= =
:
Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
0
x x
Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lợng liên hiệp.
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 2
x 9x 14
lim
x 2

+

Giải:
( ) ( )
( )
2
x 2 x 2 x 2
x 2 x 7
x 9x 14
lim lim lim x 7 5
x 2 x 2


+
= = =

Ví dụ 2: Tìm:
x 0
4 x 2
lim
4x

+
Giải:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x 0 x 0 x 0 x 0
4 x 2 4 x 2
4 x 2 4 x 4 1 1
lim lim lim lim
4x 16

4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2

+ + +
+ +
= = = =
+ + + + + +
Ví dụ 3: Tìm:
3
x 1
x 7 2
lim
x 1

+

Giải:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
3 3
3
3
3
x 1 x 1 x 1
2 2

3 3
3 3
x 7 2 x 7 2. x 7 4
x 7 2 x 7 2
lim lim lim
x 1
x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4

+ + + + +
+ +
= =

+ + + + + + + +
Nguyn Xuõn Th Trng THPT Lờ Hng Phong
in Thoi: 0914 379466; 031 3677101
5