Đề tài Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT

Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

MỤC LỤC
Chƣơng I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI ........................................... 1
1.1 VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ................................................................ 4
1.2 NHU CẦU NGHIÊN CỨU ............................................................. 5
1.3 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU ................................................................. 6
1.4 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ................................. 6
1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC ........................................................... 7
1.6 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU ........................................... 7
1.7 QUY TRÌNH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ...................... 7
1.8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN ............................................................... 9
TÓM TẮT CHƢƠNG 1 .................................................................................. 6
Chƣơng 2: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ........................... 10
2.1 NHU CẦU, ĐỊNH HƢỚNG ĐỔI MỚI PPDH MÔN TOÁN ......... 10
2.2 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ......................... 11
2.2.1 Lí luận về năng lực và năng lực giải toán của học sinh ................. 11
2.2.2 Vấn đề bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT ............. 18
2.2.3 Tình hình vận dụng toán cao cấp vào việc dạy học môn toán ở các
lớp chuyên THPT .................................................................................... 26
2.3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐÃ ĐƢỢC NGHIÊN CỨU CÓ LIÊN QUAN
ĐẾN ĐỀ TÀI ..................................................................................... 28
2.4 VẤN ĐỀ ĐẶT RA CHO LUẬN VĂN .......................................... 28
TÓM TẮT CHƢƠNG 2 ..................................................................... 29
3.1.1 Xây dựng bất đẳng thức từ tính chất của đạo hàm ........................ 30
3.1.2 Xây dựng bất đẳng thức từ tính chất của hàm lồi .......................... 43
1


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên

toán THPT

3.1.3 Xây dựng bất đẳng thức từ bất đẳng thức vectơ ............................ 50
3.2 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA VỀ VIỆC VẬN DỤNG TOÁN CAO
CẤP ĐỂ TÌM LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Ở THPT ............................................................................................. 53
3.2.1 Một số ví dụ về vận dụng tính chất hàm lồi để tìm lời giải một số
bài toán về bất đẳng thức ở THPT .......................................................... 53
3.2.2 Một số ví dụ về việc vận dụng bất đẳng thức véctơ để tìm lời giải
một số bài toán bất đẳng thức ở THPT ................................................... 74
3.2.3 Một số ví dụ về việc vận dụng bất đẳng thức Schwarz để tìm lời
giải một số bài toán về bất đẳng thức ở THPT ....................................... 84
3.2.4 Một số ví dụ minh họa về việc vận dụng bất đẳng thức hoán vị để
giải một số bài toán về bất đẳng thức...................................................... 91
3.3 VẬN DỤNG TOÁN CAO CẤP ĐỂ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ
NHANH LỜI GIẢI CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG
THỨC ................................................................................................ 96
3.3.1 Bất đẳng thức Cauchy - Giá trị lớn nhất và bé nhất của một biểu thức ..96
3.3.2 Vận dụng kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy để
kiểm tra đánh giá nhanh lời giải của học sinh......................................... 98
3.3.3 Vận dụng bất đẳng thức vectơ để kiểm tra, đánh giá nhanh lời giải
của học sinh trong dạy học bất đẳng thức ............................................. 103
3.3.4 Vận dụng bất đẳng thức Jensen để kiểm tra, đánh giá nhanh lời giải
của học sinh trong dạy học bất đẳng thức ............................................. 105
TÓM TẮT CHƢƠNG 3 ................................................................... 108
Chƣơng 4: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 109
4.1. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM ......................... 109
4.1.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................... 109
4.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ............................................................... 109

2


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

4.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM ................................................... 109
4.3. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM ..................................................... 109
4.4. GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM ...................................................... 110
4.5. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ..................................................... 118
4.5.1. Đề kiểm tra thực nghiệm ............................................................ 118
4.5.2. Về phƣơng pháp và khả năng lĩnh hội của học sinh ................... 119
4.5.3. Về kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm sƣ phạm ..................... 119
TÓM TẮT CHƢƠNG 4 .............................................................................. 117
KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN .................................................................. 121
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 122
PHỤ LỤC ..................................................................................................... 124

3


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

Chƣơng I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI
1.1 VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Đất nƣớc ta đang trong thời kì công nghiệp hóa, hiện đại hóa chuyển từ
kinh tế tập trung sang cơ chế thị trƣờng định hƣớng xã hội chủ nghĩa đòi hỏi
phải có một lực lƣợng lao động khoa học, kĩ thuật chất lƣợng cao. Hơn lúc
nào hết, việc phát hiện và bồi dƣỡng nhân tài cho đất nƣớc đƣợc coi là quốc

sách. Vấn đề này đƣợc thể hiện qua các nghị quyết số 14/NQTƢ (11/1979) và
đặc biệt là Hiến pháp nƣớc cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (1992, Điều
66, Điều 72) đã trực tiếp đề cập đến việc phát triển các trƣờng đào tạo tài
năng đặc biệt là các trƣờng chuyên. Đào tạo nhân tài là một trong những mục
tiêu quan trọng của ngành giáo dục mà các trƣờng chuyên là một trong những
mũi nhọn tiên phong trong quá trình đào tạo nhân tài cho đất nƣớc. Trong đó
bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh là hết sức cần thiết để đào tạo nhân
tài. Vì vậy, Hội nghị lần IV BCHTƢ Đảng khóa 7 (1/1993) đã ra nghị quyết
về “tiếp tục đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo”, nêu rõ bốn quan điểm chỉ
đạo của Đảng, trong đó có quan điểm thứ hai trực tiếp đề cập đến việc “nâng
cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dƣỡng nhân tài”.
Luật Giáo dục nƣớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã quy định
“Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, tƣ duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
của học sinh ” (Luật Giáo dục 1998, chƣơng I, điều 24). Quy định này đã trở
thành định hƣớng cho việc đổi mới phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta hiện nay,
có thể gọi tắt là định hƣớng hoạt động mà tinh thần cơ bản là: Phƣơng pháp
dạy học cần tạo cơ hội cho ngƣời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo.
Trong xu thế đổi mới phƣơng pháp dạy học thì việc vận dụng toán cao
cấp vào dạy học bất đẳng thức ở THPT là một việc làm cần thiết góp phần
4


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

nâng cao chất lƣợng giáo dục nƣớc nhà. Hơn nữa, nó góp phần vào việc hình

thành và phát triển nhân cách cho học sinh THPT.
Toán cao cấp và toán THPT có mối liên hệ chặt chẽ. Nhƣng không ít
sinh viên khoa Toán ở các trƣờng sƣ phạm hiểu đây là hai lĩnh vực riêng độc
lập của môn Toán. Trên thực tế chúng có liên hệ với nhau : rất nhiều những
khái niệm toán cao cấp có nguồn gốc từ môn Toán ở THPT nhƣng mối liên hệ
đó bị che phủ, bị lu mờ. Điều này làm hạn chế việc vận dụng toán cao cấp vào
dạy toán ở THPT. Do đó cần tìm giải pháp thích hợp để vận dụng toán cao
cấp vào dạy mỗi nội dung trong môn toán THPT.
Việc vận dụng toán cao cấp vào dạy môn toán ở trƣờng phổ thông là
một đề tài đã và đang đƣợc rất nhiều giáo viên toán THPT quan tâm; song vẫn
còn đó những hạn chế và còn gặp nhiều khó khăn trong việc triển khai và thực
hiện đề tài ở các trƣờng phổ thông.
Hệ thống các lớp chuyên chọn đƣợc tổ chức một cách có hệ thống ở các
bậc học xong tài liệu giảng dạy dành cho các lớp chuyên chƣa đƣợc hoàn
thiện. Nếu các tài liệu đó đƣợc liên tục bổ sung thì sẽ tốt cho việc bồi dƣỡng
năng lực giải toán đối với học sinh chuyên toán THPT.
Từ đó vấn đề đặt ra là tìm hiểu khả năng vận dụng toán cao cấp vào
việc dạy học môn toán ở trƣờng phổ thông. Tuy nhiên trong khuôn khổ một
luận văn tác giả chỉ đi nghiên cứu, tìm hiểu khả năng vận dụng toán cao cấp
vào việc dạy nội dung bất đẳng thức trong chƣơng trình môn toán ở các lớp
chuyên toán THPT.
1.2 NHU CẦU NGHIÊN CỨU
Bất đẳng thức là một trong những nội dung khó trong chƣơng trình ở
bậc phổ thông. Chúng ta không có một chiến lƣợc giải chung, một quy tắc tựa
thuật giải chung cho tất cả các bài toán về bất đẳng thức thậm chí cho một lớp
các bài toán về bất đẳng thức. Để tìm lời giải cho một bài toán về bất đẳng
thức phải dựa trên những đặc điểm riêng có tính chất đặc thù của bài toán. Có

5

Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

nhiều bài toán về bất đẳng thức mà lời giải mang tính “thủ thuật”, đôi khi lời
giải có đƣợc không dựa trên các phƣơng pháp tƣ duy thƣờng dùng. Vì vậy
việc dạy và học nội dung bất đẳng thức gặp nhiều khó khăn cho cả học sinh
và giáo viên. Trong khi nội dung bất đẳng thức giữ một phần quan trọng trong
chƣơng trình môn toán ở bậc phổ thông. Hơn nữa, dạy học nội dung bất đẳng
thức còn tạo ra một môi trƣờng thuận lợi để giáo viên cung cấp tri thức
phƣơng pháp và phát triển tƣ duy cho học sinh.
Vì vậy việc nghiên cứu để nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung bất
đẳng thức ở bậc phổ thông là một nhu cầu thực tiễn.
1.3 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
Xuất phát từ nhu cầu thực tế của việc dạy và học nội dung bất đẳng
thức ở bậc phổ thông và trong khuôn khổ một luận văn đề tài đƣợc lựa
chọn là: “Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học
sinh chuyên toán THPT”.
1.4 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
a. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và khai thác khả năng vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội
dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT.
b. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu mối liên hệ giữa toán cao cấp và môn toán ở trƣờng phổ
thông nói chung, giữa toán cao cấp và nội dung bất đẳng thức trong
chƣơng trình môn toán phổ thông nói riêng
 Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
 Đề xuất một số giải pháp vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung
bất đẳng thức trong chƣơng trình môn toán ở các chuyên toán THPT.

6


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu bằng việc vận dụng các kiến thức của toán cao cấp GV dạy môn
Toán ở các trƣờng THPT có thể:
 Đƣa ra một hệ thống các bài toán về bất đẳng thức.
 Giải một số dạng toán về bất đẳng thức.
 Đánh giá nhanh lời giải của HS trong các bài toán về bất đẳng thức.
Thì việc dạy nội dung bất đẳng thức của GV môn Toán ở các trƣờng
THPT nói chung và ở các lớp chuyên toán THPT nói riêng sẽ đạt đƣợc hiệu
quả hơn. Hơn nữa, GV còn có thể xây dựng đƣợc các chuyên đề về bất đẳng
thức dùng làm tài liệu bồi dƣỡng học sinh giỏi.
1.6 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU
Đề tài nghiên cứu nằm trong khuôn khổ một đề tài đƣợc nhiều GV dạy
toán quan tâm đó là: “Vận dụng toán cao cấp vào việc dạy môn toán ở trƣờng
phổ thông”. Việc nghiên cứu đề tài này còn là mong muốn của tác giả góp
phần hƣởng ứng cuộc vận động đổi mới PPDH của Bộ Giáo dục và Đào tạo
đang diễn ra trong tất cả các ngành, bậc học.
1.7 QUY TRÌNH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
a. Quy trình nghiên cứu
Bước 1: Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Bước 2: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan và các kết quả đã đạt đƣợc về
vấn đề vận dụng toán cao cấp vào dạy học bất đẳng thức trong môn toán ở
trƣờng phổ thông
Bước 3: Đề xuất giải pháp thực tế khả thi thực hiện việc áp dụng toán cao cấp
vào dạy học nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT

7


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

Bước 4: Thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi của giải pháp
Bước 5: Viết luận văn, báo để bảo vệ và công bố kết quả
b. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận:


Nghiên cứu về nhu cầu và định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học.



Nghiên cứu lí luận về năng lực và năng lực giải toán của học sinh.



Nghiên cứu các nội dung của Toán cao cấp có liên quan trực tiếp đến
môn Toán ở trƣờng phổ thông nói chung và có liên quan trực tiếp đến
nội dung bất đẳng thức nói riêng.



Nghiên cứu chƣơng trình, nội dung và các chuyên đề bồi dƣỡng ở các
lớp chuyên toán THPT.

Điều tra, quan sát:


Điều tra thực trạng việc vận dụng Toán cao cấp vào việc dạy môn toán
ở trƣờng phổ thông nói chung và ở các lớp chuyên toán của THPT nói
riêng.



Điều tra thực trạng vấn đề bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh
các lớp chuyên toán THPT.

Tổng kết kinh nghiệm:
Tổng kết các kết quả nghiên cứu về lí luận và những vấn đề điều tra
quan sát đƣợc dùng làm căn cứ cho việc viết luận văn.
Thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của các đề xuất nêu trong luận văn

8


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

1.8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn gồm có 4 chƣơng (không kể tới các phần mở đầu, danh mục
chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, phụ lục):
Chƣơng 1: Giới thiệu chung về đề tài
Chƣơng 2: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Chƣơng 3: Một số giải pháp thực hiện việc vận dụng toán cao cấp vào dạy
học nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT
Chƣơng 4: Thực nghiệm sƣ phạm
TÓM TẮT CHƢƠNG 1
Trong chƣơng này, luận văn đã trình bày một cách khái quát về đề tài
nghiên cứu “Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh
chuyên toán THPT” đó là: Nội dung nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, ý
nghĩa của việc nghiên cứu, quy trình và phƣơng pháp nghiên cứu.

9


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

Chƣơng 2: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.1 NHU CẦU, ĐỊNH HƢỚNG ĐỔI MỚI PPDH MÔN TOÁN
Trong văn kiện của Đảng và Nhà nƣớc đã từng đề cập tới vấn đề đổi
mới PPDH: “Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú
học tập của học sinh ” (Luật Giáo dục 2005).
Trong công cuộc hội nhập và đổi mới điều đầu tiên đó là hội nhập về
tri thức. Trong công cuộc hội nhập về tri thức ấy, lĩnh vực phải hội nhập trƣớc
nhất và quyết liệt nhất chính là lĩnh vực giáo dục.
Trƣớc những yêu cầu và nhu cầu của sự phát triển xã hội, kinh tế đòi
hỏi phải nâng cao chất lƣợng giáo dục. Nền giáo dục quốc dân phải tạo ra một
thế hệ mới những công dân có năng lực lao động một cách tự chủ, tích cực và
sáng tạo. Điều này đặt ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, đòi

hỏi có những thay đổi, điều chỉnh về nội dung dạy học, phƣơng pháp dạy học
và đƣơng nhiên cả mục tiêu dạy học một cách phù hợp.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện các mục tiêu giáo
dục phổ thông. Môn Toán góp phần hình thành và phát triển nhân cách. Song
song với việc tiếp thu tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học, môn Toán còn góp
phần phát triển các năng lực trí tuệ chung, rèn luyện một số đức tính và phẩm
chất cần thiết cho ngƣời lao động nhƣ: tính chính xác, khoa học, kỷ luật, sáng
tạo…Ngoài ra, môn Toán còn là công cụ giúp học sinh học tập các môn học
khác trong nhà trƣờng phổ thông, tạo cơ sở để học sinh học tiếp đại học, cao
đẳng, trung cấp chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Mục tiêu dạy học không chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học
tập, ở những tri thức và kĩ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là ở bản thân
việc học, cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quy

10


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

trình học tập một cách có hiệu quả. Nhƣ vậy, để học tập có hiệu quả thì hiểu
lý thuyết thôi chƣa đủ, ngƣời học cần vận dụng lý thuyết vào thực hành mà
trƣớc hết là vận dụng lý thuyết vào giải toán. Việc hƣớng dẫn học sinh tìm lời
giải bài toán không chỉ đơn thuần là dạy giải một bài toán cụ thể mà quan
trọng là thông qua bài toán đó GV dạy cho học sinh chiến lƣợc để giải toán.
Qua quá trình hƣớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán cụ thể, GV cần cài đặt
sẵn những tri thức phƣơng pháp giải toán trong đó. Dần dần học sinh lĩnh hội
và rèn luyện phƣơng pháp tìm lời giải cho một lớp các bài toán. Cao hơn nữa
học sinh tự mình giải quyết đƣợc các bài toán mới lạ.
2.2 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

2.2.1 Lí luận về năng lực và năng lực giải toán của học sinh
Phần này đƣợc viết dựa vào các tài liệu sau:[13], [15], [16], [17], [19].
2.2.1.1 Năng lực
Khái niệm năng lực đã từ lâu đƣợc rất nhiều nhà giáo dục học quan
tâm, nghiên cứu và cũng có rất nhiều cách quan niệm về khái niệm này.


Theo Từ điển Tiếng Việt 1995 NXB Đà Nẵng ([16]), năng lực là:
- Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một
hoạt động nào đó.
- Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con ngƣời khả năng hoàn thành
một loại hoạt động nào đó với chất lƣợng cao.



Theo Từ điển Giáo dục (NXBGD)([15]) thì:
- Năng lực, khả năng đƣợc hình thành hoặc phát triển, cho phép một
con ngƣời đạt thành công trong một hoạt động thể lực, trí lực hoặc
nghề nghiệp.
- Năng lực đƣợc thể hiện vào khả năng thi hành một hoạt động, thực
hiện một nhiệm vụ. Năng lực chỉ có hiệu quả khi nó đƣợc chứng minh.
Trong trƣờng hợp ngƣợc lại nó chỉ là giả định hoặc không có thực.
11


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

- Năng lực có thể bẩm sinh hoặc do rèn luyện mà chiếm lĩnh đƣợc. Nó
phát triển bởi kinh nghiệm hoặc bởi việc học tập phù hợp với tính riêng

biệt của cá nhân.
- Năng lực đƣợc coi nhƣ khả năng của con ngƣời khi đối mặt với tình
huống mới, gợi lại đƣợc những tin tức và những kĩ thuật đã đƣợc sử
dụng trong những thực nghiệm trƣớc đây.


Hiện nay trên thế giới vẫn chƣa có một định nghĩa thống nhất về năng
lực. PGS.TS Trần Thúc Trình trong cuốn “Tƣ duy và hoạt động toán
học” ([13]) đã viết về năng lực nhƣ sau:

Ở Hoa Kỳ định nghĩa đƣợc sử dụng rộng rãi nhất (theo nghĩa có nhiều tài
liệu đề cập và nhiều hệ thống trƣờng học công nhận để hƣớng dẫn hành động của
mình) là định nghĩa của Sidney Marlan: “Trẻ em có năng khiếu và tài năng là
những trẻ em có những năng lực nổi bật, có khả năng đạt đƣợc những thành tích
cao đã qua thẩm định của các nhà chuyên môn giỏi. Đó là các trẻ em đòi hỏi một
chƣơng trình giáo dục chuyên biệt hay đƣợc giáo dục với nội dung vƣợt xa chƣơng
trình học bình thƣờng để có những đóng góp cho bản thân và xã hội” ([13]). Những
trẻ em có tiềm lực cho những thành tích cao trong một hay một số mặt sau:
- Năng lực trí tuệ chung.
- Năng khiếu hàn lâm riêng biệt.
- Tƣ duy sáng tạo hay phát triển.
- Năng lực lãnh đạo.
- Nghệ thuật quan sát hay trình diễn.
- Năng lực tâm vận


A.H.Passow định nghĩa tài năng nhƣ là khả năng đạt đƣợc thành tích
nổi bật trong bất kì lĩnh vực xã hội nào của con ngƣời, hạn chế ở lĩnh
vực hàn lâm của ngôn ngữ, khoa học xã hội, khoa học tự nhiên và toán
học, ở lĩnh vực nghệ thuật nhƣ âm nhạc, hội họa, tạo hình,…và ở lĩnh

vực quan hệ ngƣời với ngƣời.

12


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT


Nói chung năng khiếu là phải có thành phần sáng tạo, đó là quan điểm
đƣợc nhất trí bởi Gakkagher và Weiss (1979). Hai ông đã có nhiều cố
gắng tổng kết những đặc trƣng của trẻ em có óc sáng tạo: đó là những
em bé có năng lực nổi bật trong khái quát, nhìn nhận, trình diễn hay mô
tả tƣ tƣởng mới, quan điểm mới hay sản phẩm mới.



Các nhà triết học duy vật cho rằng:
- Con ngƣời có những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác
nhau. Tố chất là cơ sở tự nhiên ban đầu của năng lực, còn chƣa đƣợc
phát triển và chỉ đƣợc bộc lộ ra trong hành động. Đó chính là những
tính chất giải phẫu sinh lí. C.Mác chỉ ra rằng:

“Con ngƣời là một thực thể tự nhiên, lại là một thực thể tự nhiên sống.
Con ngƣời một mặt đƣợc phú cho những sức lực tự nhiên, những sức lực
sống, trong khi vẫn là một thực thể tự nhiên hoạt động, những sức lực ấy tồn
tại trong con ngƣời ở dạng những tố chất và năng lực, dƣới dạng những đam
mê…Tuy nhiên những sức lực tự nhiên ấy cần có môi trƣờng thuận lợi mới
phát triển đƣợc nếu không sẽ bị thui chột ”
- Muốn phát triển tố chất phải kiên trì lao động. “Thiên tài đó là 1%

hứng khởi và 99% mồ hôi” (Gioocgiơ Bupphông – Pháp, thế kỉ
XVIII)([13], tr48).
 Nhà tâm lí học Xô-Viết V.A.Kơrutecxki cho rằng:
Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động
nhất định của con ngƣời. Nó chỉ tồn tại một lọai hoạt động nhất định, vì
vậy chỉ trên cơ sở phân tích loại hoạt động đó mới thấy đƣợc biểu hiện
của năng lực


Năng lực là một cái gì động: Nó không những chỉ thể hiện và tồn tại
trong hoạt động tƣơng ứng mà nó còn đƣợc tạo nên trong hoạt động và
phát triển hoạt động
Trong các thời kì phát triển riêng biệt xác định của con ngƣời thì xuất

hiện các điều kiện thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển các loại

13


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

năng lực riêng biệt. Kết quả của hoạt động thƣờng phụ thuộc vào một lớp tổ
hợp năng lực ([19]). Nghiên cứu về lí thuyết năng lực của các tác giả đã nêu
trên có thể hiểu năng lực, khả năng đƣợc hình thành phát triển cho phép con
ngƣời đạt đƣợc thành công trong một hoạt động nào đó. Năng lực tiềm ẩn ở
mỗi con ngƣời nếu không có môi trƣờng thuận lợi để nó phát triển thì năng
lực sẽ bị thui chột. Năng lực của mỗi con ngƣời là khác nhau, có những con
ngƣời có năng lực cao đó là những thiên tài hay những ngƣời có năng khiếu.
2.1.1.2 Lí luận về năng lực toán học

Năng lực nói chung chỉ tồn tại trong hoạt động, nói riêng năng lực toán
chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán
học mới thấy đƣợc biểu hiện năng lực toán học. Năng lực toán học cũng ở
trạng thái động, nó hình thành và phát triển trong hoạt động toán học theo
từng thời kì, có thời kì thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển năng
lực toán học, thƣờng vào lứa tuổi 12, 13, 14. Cũng thƣờng xảy ra các tổ hợp
năng lực toán học với triết học, toán học với ngoại ngữ…
 Năng lực toán học đƣợc hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ:
- Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học toán, đối với việc nắm giáo trình ở trƣờng phổ thông, nắm một
cách nhanh và tốt các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tƣơng ứng.
- Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực đối với
hoạt động sáng tạo toán học tạo ra những kết quả mới, khách quan có một
giá trị lớn đối với loài ngƣời ([19], tr13).
Bộ óc của con ngƣời có thiên hƣớng tách từ môi trƣờng xung quanh
những kích thích loại quan hệ không gian, quan hệ số lƣợng, quan hệ lôgic và
có thiên hƣớng làm việc hiệu quả với các kích thích thuộc loại đó.
Khuynh hƣớng toán học của trí tuệ đặc trƣng cho những ngƣời có năng
lực toán học là thƣờng tri giác nhiều hiện tƣợng qua lăng kính của các quan
hệ toán học, thƣờng nhận thức các hiện tƣợng đó trên phƣơng diện toán học.

14


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

 Theo Khinsin thì năng lực toán học thể hiện ở những nét sau:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic
- Khuynh hƣớng đi tìm con đƣờng ngắn nhất dẫn đến mục đích

- Phân tích chính xác kí hiệu
- Có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận
những khái quát không có suy luận, những phép tƣơng tự không có cơ sở…
 Theo Kônmôgôrôp thì trong thành phần của những năng lực toán học có:
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực
tìm kiếm con đƣờng giải phƣơng trình không theo quy tắc chuẩn, năng
lực tính toán
- Trí tƣởng tƣợng hình học hay trực giác hình học
- Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bƣớc đã đƣợc phân chia một cách
đúng đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kĩ năng vận dụng đúng đắn quy
nạp toán học là tiêu chuẩn của sự trƣởng thành lôgic hoàn toàn cần thiết
đối với nhà toán học.
 Theo Kơrutecxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những
thành phần sau:
- Thu nhận thông toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán
học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán
- Chế biến thông tin toán học:
+ Năng lực tƣ duy lôgic trong lĩnh vực quan hệ số lƣợng và không gian, hệ
thống kí hiệu số và dấu. Năng lực tƣ duy bằng kí hiệu toán học
+ Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tƣợng, quan hệ toán học
và các phép tính, phép toán
+ Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán
tƣơng ứng. Năng lực tƣ duy các cấu trúc rút gọn
+ Tính linh hoạt mềm dẻo của quá trình tƣ duy trong hoạt động toán học

15


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

+ Khuynh hƣớng vƣơn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của
lời giải
+ Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại các phƣơng hƣớng của quá
trình tƣ duy thuận sang tƣ duy đảo (trong suy luận toán học)
- Lƣu trữ thông tin toán học: Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các
quan hệ toán học, đặc điểm về loại, sơ đồ, suy luận và chứng minh;
phƣơng pháp giải toán; nguyên nhân tắc đƣờng lối giải toán)
- Thành phần tổng hợp khái quát hóa
- Khuynh hƣớng toán học của trí tuệ
Các thành phần nêu trên quan hệ biện chứng với nhau hợp thành một
hệ thống duy nhất, một cấu trúc toàn vẹn của năng lực. Ngoài ra, trong cấu
trúc năng lực còn có thể có các thành phần không bắt buộc nhƣ:
- Tốc độ của quá trình tƣ duy
- Năng lực tính toán
- Trí nhớ về chữ số, số, công thức
- Năng lực tƣởng tƣợng không gian
- Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc toán học trừu tƣợng.
Phân tích sơ đồ cấu trúc của năng lực toán học ta có thể chú ý rằng một
số yếu tố xác định trong đặc điểm của các mặt tri giác, tƣ duy, trí nhớ của
hoạt động toán học có một ý nghĩa chung. Chẳng hạn, việc tri giác hình thức
hóa bài toán đó là một sự tri giác đƣợc khái quát hóa, tắt, linh hoạt; trí nhớ
toán học đó là một trí nhớ về các hệ thống khái quát, tắt và linh hoạt. Nếu nhƣ
ta nói đến việc tri giác hình thức hóa (khái quát) bài toán thì cũng có thể nói
đến việc giải hình thức hóa (khái quát) và đến việc ghi nhớ hình thức hóa
(khái quát). Vì vậy sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực có thể biểu thị bằng
một công thức cô đọng hơn: Năng lực toán học đƣợc đặc trƣng bởi tƣ duy
khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống
các kí hiệu số, dấu và bởi khuynh hƣớng toán học của trí tuệ.

16


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

Đặc điểm của tƣ duy toán học dẫn đến việc tăng cƣờng tốc độ chế biến
thông tin toán học. Điều này liên quan đến việc thay thế một khối lƣợng thông
tin lớn bởi một khối lƣợng thông tin nhỏ do khái quát hóa và suy luận gọn, tắt
và vì vậy liên quan đến việc tăng cƣờng sức lực của trí tuệ.
Các năng lực đã nêu biểu hiện với mức độ khác nhau ở các em học sinh
giỏi, khá, trung bình, yếu. Ở các em có năng khiếu, các em giỏi thì các mối
liên tƣởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngƣợc và hệ thống trên tài liệu toán học
đƣợc tạo thành ngay tức khắc, sau đó một số ít bài tập. Ở các em kém thì mối
liên tƣởng đó đƣợc tạo thành hết sức khó khăn. Ở các em trung bình thì muốn
hình thành dần dần các mối liên tƣởng đó cần phải có cả một hệ thống bài tập,
cần phải có sự rèn luyện. Chính vì vậy, ngƣời giáo viên cần đánh giá năng lực
toán học của học sinh một cách đúng đắn để có thể giúp đỡ học sinh học toán
tốt hơn.


Những chỉ tiêu năng lực toán học cơ bản của UNESCO Pari (1973):
- Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép
toán, các khái niệm.
- Năng lực tinh nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu.
- Năng lực biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa ẩn
và các dữ kiện thành kí hiệu.
- Năng lực theo dõi một hƣớng suy luận hay chứng minh.
- Năng lực xây dựng một chứng minh.
- Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa.

- Năng lực giải một bài toán chƣa toán học hóa (toán có lời văn).
- Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng
để giải.
- Năng lực khái quát hóa toán học

17


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

2.1.1.3 Lí luận về năng lực giải toán của học sinh
 Năng lực giải toán của học sinh là một biểu hiện của năng lực toán học
có thể hiểu:
- Năng lực giải toán của học sinh là những đặc điểm tâm lí cá nhân đáp
ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng huy động các kiến thức, các
kĩ năng khoa học, các thủ pháp nhận thức, các cách giải quyết vấn đề trong
hoạt động giải toán, hƣớng đến việc tạo ra các phẩm chất tƣ duy có tính
mới mẻ có giá trị với bản thân học sinh.
- Học sinh có năng lực giải toán tức là khi cho biết đề bài toán học sinh tức
thì có thu nhận thông tin toán học của bài toán, chế biến các thông tin đó,
huy động trí nhớ toán học tìm ra phƣơng pháp giải bài toán đó đồng thời
cũng lƣu trữ thông tin đó sau khi đã tổng hợp khái quát hóa.
- Theo G. Polya học sinh có năng lực giải toán tức là phải biết giải toán,
không chỉ những bài toán thông thƣờng mà cả những bài toán đòi hỏi tƣ
duy độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo sáng tạo.
- Học sinh có năng lực giải toán ở THPT cũng vậy, các em biết tìm cách
giải và trình bày lời giải bài toán rõ ràng sáng sủa.
 Một vấn đề đặt ra là khi dạy bất đẳng thức ở THPT làm thế nào để biết
một học sinh có năng lực giải toán? Theo chúng tôi học sinh đó có thể:

- Giải nhanh các bài tập bất đẳng thức
- Nghĩ ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán bất đẳng thức
- Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa bài tập bất đẳng thức đã cho
- Biết trình bày lời giải bài toán một cách ngắn gọn, sáng sủa
- Ít mệt mỏi trong những giờ học bất đẳng thức, ngƣợc lại còn ham mê,
hứng thú.
2.2.2 Vấn đề bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT
Phần này đƣợc viết dựa vào các tài liệu sau: [3], [5], [11], [12], [17].

18


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

2.2.2.1 Ý nghĩa của bài tập toán trong dạy học môn toán
Dạy học giải bài tập toán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một
trong những vấn đề trung tâm của phƣơng pháp dạy học toán ở trƣờng phổ
thông. Đối với học sinh THPT và đặc biệt là các lớp chuyên toán THPT có
thể coi việc giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán. Việc
giải bài tập toán có nhiều ý nghĩa:
- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và
rèn luyện kĩ năng. Trong nhiều trƣờng hợp giải bài toán là một hình thức
để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới
- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề
cụ thể, vào thực tế, vào các vấn đề mới
- Đó là một hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra đƣợc năng lực học
sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng
kiến thức đã học
- Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát

triển trí tuệ và giáo dục rèn luyện cho con ngƣời về rất nhiều mặt.
Với ý nghĩa quan trọng nhƣ trên, trong việc lựa chọn hệ thống bài tập
toán và hƣớng dẫn học sinh giải toán, ngƣời giáo viên cần phải chú ý đầy đủ
đến tác động nhiều mặt của bài tập toán ([3]).
Trong chƣơng trình THPT một số các bất đẳng thức thƣờng dùng đó là
bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopski. Ngoài ra trong luận văn
tác giả bổ sung thêm một số các bất đẳng thức cung cấp cho HS trong quá
trình giải các bài tập bất đẳng thức ở trƣờng THPT. Qua đó HS có điều kiện
để phát triển năng lực giải toán.
2.2.2.2 Các bƣớc tiến hành để giải một bài toán theo G. Polya
Theo lí luận của các nhà khoa học V.M Bradixơ, Fanghaenel,
Faorekhop, G. Polya, Phạm Văn Hoàn, Đỗ Trung Hiếu,…có thể hiểu “Giải
bài toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới
mục đích của bài toán. Đó là một quá trình tìm tòi, sáng tạo, huy động kiến
19


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

thức - kĩ năng - thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết bài toán
đã cho”([12]).
Xuất phát từ đặc điểm các bài toán bậc phổ thông (tính vừa sức, tính
kết quả, tính liên thông môn đồng bộ thống nhất và tính phát triển) tiến trình
giải một bài toán (gọi tắt là TTGT) đƣợc hiểu là một quá trình lao động phát
minh của học sinh (theo nghĩa sáng tạo tái tạo) để chiếm lĩnh tri thức mới
“đồng hóa – điều tiết thích nghi với môi trƣờng có dụng ý sƣ phạm cùng với
các tình huống học tập lí tƣởng đƣợc tạo ra” ([5], tr 225, 226, 227).
 Phân tích - tổng hợp các quan niệm TTGT của G. Polya: Các nhà khoa
học GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, GS.TSKH Phạm Văn Hoàn, Hoàng

Chúng, Nguyễn Thái Hòe…đi đến nhận định chung:
- Có thể thiết kế một TTGT (một algôrit) theo các bƣớc cơ bản (tập hợp
các thao tác trí tuệ)
- TTGT phải tƣơng thích với hệ thống giáo dục hiện hành: chƣơng trình
SGK và đặc thù bậc học
- TTGT phải phát huy đƣợc năng lực sáng tạo – năng lực giải quyết vấn đề
của học sinh trong dạy học giải toán
- TTGT đảm bảo đƣợc tính khả thi, chất lƣợng và tính hiệu quả ([8])
Căn cứ vào tiến trình giải toán 4 bƣớc của G. Polya ([17]), nhiều giáo
viên đã đạt kết quả cao khi dạy học sinh TTGT theo hƣớng phát hiện và giải
quyết vấn đề theo các bƣớc sau:
Bước 1: Tìm hiểu đề bài toán
Bước 2: Xây dựng chƣơng trình giải bài toán
Bước 3: Thực hiện chƣơng trình giải bài toán
Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải toán, nghiên cứu lời giải
 Tìm hiểu bài toán

20


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

Để hiểu một bài toán trƣớc hết phải hiểu đề bài toán và hơn nữa phải có
hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên ngƣời thầy giáo cần chú ý
hƣớng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò lòng ham muốn giải toán
của học sinh giúp học sinh hiểu bài toán phải giải.
Thực chất của bƣớc “tìm hiểu bài toán” là tiếp nhận bài toán, tri giác
vấn đề hay là giai đoạn chuẩn bị của quá trình sáng tạo đƣợc thể hiện nhƣ sau:
- Tạo tâm lí hứng thú giải toán, khêu gợi trí tò mò, gợi mở trí sáng tạo,

lòng ham muốn và khát vọng giải bằng đƣợc bài toán, tạo môi trƣờng có
dụng ý sƣ phạm cùng các tình huống học tập lí tƣởng
- Hiểu và phân tích bài toán, nhìn bài toán dƣới nhiều góc độ khác nhau,
biểu diễn hình học hoặc đồ thị, biểu thức đại số…đối với từng loại bài
toán. Tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi ngay vào các chi
tiết. Cần tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét các yếu tố chính
nhiều lần và ở nhiều mặt. Nếu là bài toán chứng minh thì yếu tố chính là
giả thiết và kết luận. Nếu là bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái
cần tìm, cái chƣa biết), là dữ kiện (những cái đã biết) và điều kiện (mối
liên hệ giữa cái cần tìm và cái đã cho) của bài toán.
- Chuyển dịch ngôn ngữ tự nhiên trong bài toán sang ngôn ngữ kí hiệu
toán học
 Xây dựng chƣơng trình giải toán (giai đoạn ấp ủ của quá trình sáng tạo)
Tìm tòi lời giải là một bƣớc quan trọng trong hoạt động giải toán. Nó
quyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh
hay chậm của việc giải toán. Điều cơ bản ở bƣớc này là biết “định hƣớng
đúng” để tìm ra đƣợc đƣờng đi đúng.
- Phát biểu các mối quan hệ định hƣớng định tính và định lƣợng của bài
toán. Huy động các lực lƣợng tâm lí tiềm thức, vốn tri thức, lƣợng thông
tin, kĩ năng và thủ thuật, kinh nghiệm về giải toán.

21


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

- Lựa chọn cách giải: Theo lí luận dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
thì “xây dựng chƣơng trình giải” nằm trong bƣớc 2 “giải quyết vấn đề” khi
thực hiện dạy học giải quyết vấn đề cần:

+ Phân tích, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm
+ Đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí bác
bỏ và chuyển hƣớng khi cần thiết. Trong khâu này thƣờng hay sử dụng
những quy tắc tìm đoán và chiến lƣợc nhận thức nhƣ sau: quy lạ về quen,
đặc biệt hóa, chuyển qua trƣờng hợp suy biến, xem xét tƣơng tự, khái quát
hóa, xét mối liên hệ phụ thuộc, suy ngƣợc (tiến ngƣợc, lùi ngƣợc) và suy
xuôi (khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hƣớng đi đúng [5]).
- Không có một thuật toán nào để giải đƣợc mọi bài toán cả. Những ngƣời
có kinh nghiệm giải toán đã có lời khuyên nhƣ sau:
+ Sử dụng bài toán đã giải
Việc tìm ra con đƣờng đi đúng trong việc giải một bài toán nhiều khi
khá thuận lợi nếu ta nhớ lại đƣợc là ta đã từng tìm ra con đƣờng đi đến cách
giải một bài toán tƣơng tự hoặc gần giống với bài toán cần giải. Thực tế khó
mà đặt ra đƣợc một bài toán hoàn toàn mới, không giống hay không liên quan
đến bài toán đã có. Mặt khác, cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến
bài toán đang giải. Cần phải lựa chọn đƣợc một hay một số bài toán trong đó
mà thực sự có lợi. Hãy xét kĩ lại cái chƣa biết hay một cái chƣa biết tƣơng tự.
Hãy nhớ lại một bài toán đã đƣợc giải và gần giống với bài toán đang xét. Cần
phải lợi dụng bài toán đã giải này về phƣơng pháp giải, về kết quả, về kinh
nghiệm giải toán ([11 ], tr 6). Điều đó chính là “quy lạ về quen”, “xem xét
tƣơng tự” khi giải quyết vấn đề.
+ Biến đổi bài toán
Để đi đến cách giải một bài toán cần phải huy động và tổ chức những
kiến thức đã học từ trƣớc. Cần phải nhớ lại và vận dụng những yếu tố cần
thiết cho việc giải toán. Có thể dùng định nghĩa hay định lí đã biết để thay thế

22


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên

toán THPT

điều phải chứng minh hay cần tìm bằng cái tƣơng đƣơng, phát biểu bài toán
một cách khác. Việc biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, những khả
năng mới, gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan đến bài toán đang xét.
 Thực hiện chƣơng trình giải
Sau khi đã tìm đƣợc cách giải rồi tiến hành thực hiện chƣơng trình giải.
Việc tiến hành thực hiện này là công việc chủ yếu, là kết quả để đánh giá
công việc giải toán. Khi đã tìm thấy cách giải rồi thì việc thực hiện giải không
khó khăn nhƣ trƣớc nữa nhƣng tính chất công việc có khác nhau.
Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm dự đoán và không
ngại gì mà không dùng một cách lập luận “tạm thời”. Nhƣng khi thực hiện
chƣơng trình giải thì phải thay đổi quan niệm đó và chỉ đƣợc thừa nhận những
lí lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Một điều quan trọng trong
việc trình bày lời giải là trình tự các chi tiết nhất là đối với các bài toán phức
tạp. Phải trình bày sao cho tƣờng minh sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng
giai đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy. Trình tự mà ta trình bày
trong lời giải có thể rất khác với trình tự mà ta đã theo để tìm lời giải.
Thực hiện chƣơng trình giải: Học sinh có thể đồng hóa hay điều tiết để
thực hiện kế hoạch. Sử dụng các thao tác tƣ duy và các phƣơng pháp suy luận
trong dạy học giải toán. Lựa chọn từ các phƣơng án để có cách giải tối ƣu.
Việc trình bày lời giải cũng cần phải hết sức chú ý, trình tự trình bày các chi
tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa.
Hiện nay, học sinh các lớp chuyên toán là những em có tố chất, năng
lực về toán nhƣng ngƣời thầy giáo cũng cần rèn luyện cho các em trong việc
trình bày lời giải. Không những nó giúp cho học sinh trình bày lời giải của bài
toán tốt hơn mà nó còn giúp các em phát triển về ngôn ngữ rất tốt. Vì vậy,
nhận thức rõ điều này ngƣời thầy giáo cần có kế hoạch dài hơi, nghiêm túc
trong việc rèn luyện học sinh trong trình bày lời giải, yêu cầu cao, có thái độ
nghiêm khắc trong mọi giờ học đối với mọi bài làm của học sinh.

 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

23


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

Học sinh thƣờng có thói quen không tốt là khi đã tìm đƣợc lời giải của
bài toán thì thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lời giải xem có sai lầm hay thiếu sót
gì không, ít đi sâu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì vậy cần tránh những
thói quen đó của học sinh và cần rèn luyện những thói quen tốt cho học sinh
chuyên toán, tránh những yếu điểm nhƣ đã nêu ở trên.
2.2.2.3 Một số biện pháp thƣờng dùng để bồi dƣỡng năng lực giải toán
cho học sinh THPT
 Cơ sở lí luận để xây dựng các biện pháp nhằm phát triển năng lực giải
toán cho học sinh chuyên toán THPT.
- Những cơ sở của tâm lí học và giáo dục học.
Quá trình dạy học đƣợc tiến hành bằng sự phối hợp giữa hoạt động dạy
của thầy giáo và hoạt động học của học sinh, cho nên các biện pháp sƣ phạm
phải thông qua hoạt động dạy tác động vào hoạt động học của học sinh, làm
cho học sinh có “động cơ hoàn thiện tri thức”. Bản chất của hoạt động học là
quá trình tự tổ chức, tự điều khiển, điều chỉnh hoạt động nhận thức của mình
đồng thời ngƣời học chủ động trong hoạt động học. Mặt khác, nhân cách của
học sinh trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lƣợng sản phẩm mà nhà
trƣờng đào tạo cho xã hội. Vì vậy, cần chú ý đến hoạt động học, các biện
pháp tập trung vào phát triển các hoạt động học, các biện pháp tập trung vào
tăng cƣờng các hoạt động nhằm bồi dƣỡng, nâng cao năng lực giải toán cho
học sinh (năng lực nhận thức, năng lực thực hành, năng lực tổ chức hoạt
động, năng lực tự kiểm tra, đánh giá.

- Lí luận về phƣơng pháp dạy học bộ môn toán.
Theo [3] và [5], phƣơng pháp dạy học toán ở trƣờng phổ thông phải
luôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc giáo dục rèn luyện
con ngƣời, với việc bồi dƣỡng và phát triển năng lực của học sinh.
 Căn cứ vào nhiệm vụ dạy học bộ môn: bên cạnh việc truyền thụ kiến
thức, rèn luyện kĩ năng thực hành toán học, học sinh còn phải rèn luyện
năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn, cụ thể là trau dồi cho học

24


Đề tài: Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên
toán THPT

sinh khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các
môn học khác, vào thực tiễn cuộc sống…Do đó, cần thiết xây dựng các
biện pháp nhằm rèn luyện các kĩ năng giải toán cho học sinh nhằm bồi
dƣỡng, nâng cao năng lực giải toán, góp phần thực hiện nhiệm vụ dạy
học bộ môn. Các biện pháp này đƣợc dựa trên quan điểm hoạt động với
4 tƣ tƣởng chủ đạo ([5], tr 73):
- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành
phần tƣơng thích với nội dung và mục đích dạy học.
- Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động.
- Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phƣơng pháp nhƣ phƣơng tiện và
kết quả hoạt động.
- Phân bậc hoạt động làm chỗ dựa cho việc điều khiển quá trình dạy học.
 Nội dung biện pháp bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh chuyên
toán THPT.
Theo các yêu cầu rèn luyện, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh
trên cơ sở lí luận tâm lí học và giáo dục học đã trình bày ở trên: biện pháp bồi

dƣỡng năng lực thực hành cho học sinh nói chung và bồi dƣỡng năng lực giải
toán cho học sinh nói riêng phải nhằm vào việc biến kiến thức và kĩ năng cơ
bản trong từng phần kiến thức một thành kiến thức và kĩ năng cơ bản tổng
hợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập, lao động nghề nghiệp
cho cả cuộc sống theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp và hƣớng nghiệp
dạy nghề qua môn toán ở THPT.
Một số biện pháp bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh:
Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ các kiến thức về môn toán.
Để đảm bảo cho việc học tập môn toán đƣợc tốt, trƣớc hết cần đảm bảo
cho học sinh nắm vững và có hệ thống các kiến thức trong chƣơng trình. Từ
đó ngƣời thầy giáo chọn lọc các kiến thức và kĩ năng từ cơ bản đến nâng cao,
từ đơn giản đến phức tạp để dạy cho học sinh sao cho đảm bảo 50% đến 75%
thời gain cho luyện tập kĩ năng.
25