Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 32 trang )
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA
I-KIẾN THỨC:
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
f ( x) 0
f ( x) g ( x) g ( x) 0
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
2
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
f ( x ) g ( x ) h( x ) g ( x ) 0
f ( x) g ( x) 2 f ( x).g ( x) h( x)
f ( x) 0
2 n f ( x) 2 n g ( x) g ( x) 0
(n N * )
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
2 n f ( x) g ( x)
(n N * )
2n
f ( x) g ( x)
2 n 1 f ( x) 2 n 1 g ( x) f ( x) g ( x)
(n N * )
2 n 1
f ( x) g ( x) f ( x) g 2n1 ( x) (n N * )
II-BÀI TẬP
: x 1 x 1 (1)
Bài 1:
x 1 0
x 1
x 1
2
x3
x
3
x
1
(x
1)
x
3x
0
: x 2x 3 0
HD: (1)
Bài 2:
2
x 0
x 0
x 0
2
x 1 x 3
HD:Ta có: x 2 x 3 0 2 x 3 x
2
2 x 3 x
x 2x 3 0
x 3
Bài 3:
: x 4 1 x 1 2x
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
1
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
HD: Ta có: x 4 1 x 1 2 x x 4 1 2 x 1 x
1 2 x 0
1 x 0
x 4 1 2 x 1 x 2 (1 2 x)(1 x)
1
1
1
x
x
1
1
1
2
x
2
x
2
2
2 x 1 0
2
x0
2
x0
2 x 1 2 x 2 3x 1
x2 7 x 0
(2 x 1) 2 2 x 2 3 x 1
x 7
: x 2 3 x2 4 0
Bài 4:
x 2 0
HD:ĐK:
x 2 (1)
2
x 4 0
x 2 3 ( x 2)( x 2) 0
PT x 2. 1 3 x 2 0
x 2
x2 0
x 17
1 3 x 2 0
9
Kế
(2)
ợ (1) và (2) a đ ợc:x = 2
Bài 5.
HD:Đk: 0 x 3 k
:
đó
3x x
đ c o
3x
đ
: x3 3x 2 x 3 0
3
3
1
10
10 1
x
x
3 3 3
3
Bài 6.
sau : 2 x 3 9 x2 x 4
HD:Đk: x 3
đ
:
x 1
x 3 1 3x
2
2
1 3 x 9x
x 5 97
x 3 1 3x
18
sau : 2 3 3 9 x 2 x 2 2 x 3 3 3x x 2
Bài 7.
HD: pt
Bài 8.
và
3
x 2 3 3x
u
3
2
0 x 1
: x2 4 x m
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
2
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
x m
x m
2
x 4 x 4xm m
2mx (m 4) 0
HD: Ta có: x 2 4 x m
– Nếu
= :
2
m 4
: x
Đ uk
2m
Nếu
Nếu
:– Nếu
:
:
2
4 2
4≤2
2
≤ –2 o c
– Nếu –2
Bài 9.
và
Bài 10.
và
HD: Đ u k : x
– Nếu
– Nếu =
– Nếu
2
v
2
– Nếu
Tó
2
≤
u
u
đ có
:x
m2 ≤ 4 0 m 2
2
m2 4 ≤ –2
2
≤ 2:
o c
o
2:
vớ
số
a
:
:
:
m2 4
2m
có
à
a
x
m2 4
2m
v
số: x 2 3 x m
: x x m m
v
à
đ c o
x ( x 1) 0 có a
đ
: x1 = 0, x2 = 1
vớ
x m 0
( x m)( x m 1) 0
x 1 m
Nếu
≤ 1:
có a
: x1 = m; x2 = (1 m)2
Nếu
1:
có
:x=
III-Bài tập áp dụng:
Bài 1:Gi các
sau:
1/ x x 1 13
2/ 3 x 34 3 x 3 1
3/ 2 x 5 3x 5 2
5/ x 3 5 x 2
6/ x 1 x 7 12 x
4/ 1 x x2 4 x 1
7/ x x 1 x 4 x 9 0
10/
5x 1 2
1
0
2
13/ 16 x 17 8x 23
Bài 2:
:
a) x 2 1 x 1
d) 3 x 6 x 3
g) x 9 5 2 x 4
8/
x 2 5 0
11/ 3 2 x 3
14/
9/ 3 = 6x x2
19
6
3x 1 2 x 3
b) x 2 x 3 0
e)
h)
3x 2 x 1 3
3x 4 2 x 1 x 3
12/
8
2
x 5 2 0
3
15/ 20 3 2 x 2 x 3
c) x2 x 1 1
f) 3 x 2 x 1
i) x 4 x 3 2
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
3
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Bài 3: T
đ
sau có
: x2 3x 2 2m x x 2
Bài 4: C o
: x2 1 x m
a)
k
=1
b) T
đ
có
Bài 5: Cho
: 2 x2 mx 3 x m
a)
k
=3
b) Vớ á ị ào của
có
Bài 6:
các
sau:
a/ x 7 x 3 9 0 d/ 1 x 1 9 x 1 3 x 1 17
x 2 6 x
g/
2
b/
2x 1 1
e/ x 3
2
x 4 7 x
h/ x 5 5 x 1 0
5
3
9 x 27
4 x 12 1
3
2
c/ 3x 7 x 4 0
i/ 5x 7 x 12 0
f) ( x 3) 10 x 2 x 2 x 12
II. PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
I-KIẾN THỨC:
Sử dụ
ằ
đẳ
f ( x) g ( x) ( f ( x) 0)
f ( x) g ( x) ( f ( x) 0)
ức sau: f 2 ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
II-BÀI TẬP:
Bài 1:
: x 2 4x 4 x 8 (1)
HD: (1) (x 2)2 8 x |x – 2| = 8 – x
– Nếu x 2: (1) 2 – x = – x (v
)
– Nếu x 2 : (1) x – 2 = 8 – x x = 5 ( o
) V y: x = 5
Bài 2:
: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 (2)
x 1 0
HD: (2)
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
x 1
(*)
x
1
1
|
x
1
3
|
2.|
x
1
1|
Đ y = x 1 (y
)
(*) đ c o
à : y 1 | y 3 | 2 | y 1|
– Nếu ≤ y 1: y 1 3 – y = 2 – 2y y = –1 ( o )
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y 1 3 – y = 2y – 2 y = 3
– Nếu y 3: y 1 y – 3 = 2y – 2 (v
)
Vớ y = 3 x + 1 = 9 x = 8 (tho
) V y: x =
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
4
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
: x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2
Bài 3:
HD:ĐK: x
5
2
PT 2 x 5 2 2 x 5 1 2 x 5 6 2 x 5 9 14
2x 5 1
2 x 5 3 14 2 x 5 5 x 15 (T o
) V y:x = 15
Bài 4:
: x 2 x 1 x 2 x 1 2
HD:ĐK: x 1
Pt x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 2 x 1 1 x 1 1 2
Nếu x 2 pt x 1 1 x 1 1 2 x 2 (Lo )
Nếu x 2 pt x 1 1 1 x 1 2 0 x 0 (Lu đú vớ x )
V y
của
à: S x R | 1 x 2
III-Bài tập áp dụng:
các
sau:
2
1/ x 2 x 1 5
2/ x 4 x 4 3
3/ x2 6 x 9 2 x 1
4/
5/ x2 2 x 1 x2 4 x 4 4
6/ x 2 x 1 x 4 x 4 10
7/ x2 6 x 9 2 x2 8x 8 x2 2 x 1
8/
9/ x 2 x 1 x 2 x 1 2
10/ x 3 2 x 4 x 4 x 4 1
11/ x 6 2 x 2 x 11 6 x 2 1
12/ x 2 2 x 5 x 2 3 2 x 5 7 2
13/ x2 2 x x2 2 x 1 5 0
14/ 2 x 4 6 2 x 5 2 x 4 2 2 x 5 4
15/ x2 4 x 4 2 x 10
16/ x2 2 x 1 2 x 8
17/
1
1
x x x 2
2
4
19/
x 2 x 1 x 2 x 1
18/
x3
2
21/ ( x 1) 4 4 x 1 x 1 6 x 1 9 1
x 4 x 4 5x 2
x2 4 x 4 x2 6 x 9 1
1 2
x x 1 6 2 5 0
4
20/ x2 4 x 4 2 x
22/ x 8 6 x 1 4
III. PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
5
GIA S TH KHOA TON H NI CHT LNG CAO
Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
v
u
k ca t u
a cú
c
v v ,
c ỳ
a u
ú o t
v c
N
xộ
x x 2 1. x x 2 1 1
t x x2 1
cú d
1
t
: t 2 t 1 . Thay vo
c x 1
: 2 x2 6 x 1 4 x 5
Bi 2.
HD: u k
x x2 1 x x2 1 2
:
Bi 1.
HD:iu kin: x 1
a cú
t f x v c ỳ ý u
c a
t qua
x
o o
: x
4
5
t2 5
T ay vo a cú
sau:
4
t 4 10t 2 25 6 2
2.
(t 5) 1 t t 4 22t 2 8t 27 0
16
4
(t 2 2t 7)(t 2 2t 11) 0
t 4 x 5(t 0) thỡ x
Ta
c
: t1,2 1 2 2; t3,4 1 2 3
Do t 0 ờ c
cỏc ỏ t1 1 2 2, t3 1 2 3
T ú
c cỏc
ca
ỡnh l: x 1 2 vaứ x 2 3
2 x2 6 x 1 0
Cỏch khỏc: Ta cú
a v ca
v u k
Ta c: x2 ( x 3)2 ( x 1)2 0 , ú a
c
a : 2 y 3 4 x 5 v a v
x
(Xem phn t n ph a v h)
Bi 3.
sau: x 5 x 1 6
HD: u k : 1 x 6
y x 1( y 0)
: y 2 y 5 5 y 4 10 y 2 y 20 0 (
v y 5) ( y 2 y 4)( y 2 y 5) 0 y
T ú a
Bi 4.
c cỏc
ỏ ca x
11 17
2
1 21
1 17
(loaùi), y
2
2
sau : x 2004 x 1 1 x
2
ng ký hc Toỏn lp 9 chun b ụn thi vo lp 10 | Tel: 0936.128.126
6
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
HD: ĐK: 0 x 1
Đ
ành: 2 1 y y 2 y 1002 0 y 1 x 0
y 1 x
2
sau : x 2 2 x x
Bài 5.
: 1 x 0
HD:Đ u k
C ac
đ ợc: x 2 x
a vế c o x a
HD: x 0 k
=3 x
1
t x , a
x
đ ợc
à
,C ac
1
1
a vế c o x a đ ợc: x 3 x 2
x
x
1 5
1
, Ta có : t 3 t 2 0 t 1 x
2
x
Bài 7.
HD:Đ y =
P
1
1
3 . Đ
x
x
: x2 3 x4 x2 2 x 1
Bài 6.
Đ
1
3x 1
x
: 3x2 21x 18 2 x2 7 x 7 2
x2 7 x 7 ; y 0
có d
5
y
: 3y + 2y - 5 = 0
3 y 1
y 1
2
x 1
Là
x 6
Vớ y = 1 x2 7 x 7 1
của
đ c o
Nhận xét : Đố vớ các đ ẩ
ụ
ê c ú
ac ỉ
quyế đ ợc
,đ k
đố vớ t
quá k ó
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
C ú
a đ ế các
: u 2 uv v 2 0 (1) ằ các
ớ
à đ
2
Xét v 0
v0
à
u
u
: 0
v
v
ử ực ế
ợ sau cũ
Các ờ
đ a v đ ợc (1)
a. A x bB x c A x .B x
u v mu 2 nv 2
C ú
a y ay các u ức A(x) , B(x)
các
u
v ỉ od
ày
a) . Phương trình dạng : a. A x b.B x c A x .B x
ức v
ỉ
sẽ
đ ợc
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
7
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
N
nh Q x P x có
v y
ằ
á
ê
ếu:
P x A x .B x
Q x aA x bB x
Xuấ
á ừ đẳ
ức :
x 1 x 1 x x 1
3
2
x 4 x 2 1 x 4 2 x 2 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1
x4 1 x2 2x 1 x2 2x 1
4 x 4 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1
H y o a
Đ có
ữ
at bt c 0
“
2
Bài 1.
HD: Đ
v ỉd
ê ví dụ
: 4 x2 2 2 x 4 x4 1
đẹ , c ú
a
c ọ
số a, ,c sao c o
đẹ ”
: 2 x 2 2 5 x3 1
u x 1 (u 0) ; v x 2 x 1 (v
HD:Dễ
2
Ta v ế x 2 x 1 x 2 x 1 3
Đồ
3
)
2
u 2v
5 37
à : 2 u v 5uv
T đ ợc: x
1
u v
2
2
3 4
x x 2 1 (*)
: x 2 3x 1
3
4
2
4
2
ấy: x x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1
2
Bài 2.
c a
ấ vế á vớ (*) a đ ợc :
3 x 2 x 1 6 x 2 x 1 3
x
2
x
2
x 1 x 2 x 1
x 1 x 2 x 1
3
3
Đ : u x 2 x 1 u ; v x 2 x 1 v
à
Bài 3:
HD:Đk: x 1
4
4
:-3u+6v=- 3. uv u 3v
Từ đây a sẽ
sau : 2 x2 5x 1 7 x3 1 (*)
đ ợc x
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
8
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
N
xé : Ta v ế x 1 x 2 x 1 7
Đồ
x 1 x2 x 1
x 1 x2 x 1
ấ vế á vớ (*) a đ ợc : 3 x 1 2 x x 1 7
v 9u
Đ u x 1 0 , v x x 1 0 , a đ ợc: 3u 2v 7 uv 1
v u
4
Ta đ ợc : x 4 6
2
: x3 3x 2 2
Bài 4.
HD:N
xé : Đ
y x2 a
x 2
ế
3
6x 0
ê v pt
uầ
ấ
c 3 đố vớ x và y :
x y
.P có
x3 3x 2 2 y 3 6 x 0 x3 3xy 2 2 y 3 0
x 2 y
: x 2,
x 22 3
: 10 x3 1 3 x2 2
Bài 5:
HD:ĐK: x 1
u x 1
(u, v 0)
2
v
x
x
1
u 3v
:1 uv = 3(u2+v2) 3u v u 3v 0
v 3u
Pt 10 x 1. x2 x 1 3( x2 2) . Đ
P
à
Nếu u = 3v x 1 3 x2 x 1 9 x2 10 x 8 0 (v
)
x 5 33
Nếu v = 3u x 2 x 1 3 x 1 x 2 10 x 8 0
à
x 5 33
b).Phương trình dạng :
P
c o d
a vế
đ av
Bài 1.
HD:Ta đ
u v mu 2 nv 2
ày
ờ k ó“ á
“
đ ợc d
ê
: x2 3 x2 1 x4 x2 1
2
u x
:
u, v 0; u v k
2
v
x
1
d
đó
ê ,
à
ếu a
: u 3v u 2 v 2
hay: 2(u + v) - (u - v)= u v u v
Bài 2.
sau :
x 2 2 x 2 x 1 3x 2 4 x 1
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
9
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
HD:Đk x
x
2
1
2
B
2 vế a có :
2 x 2 x 1 x 2 1
Ta có
đ
x
u x 2 2 x
:
k
v 2 x 1
Do u, v 0 . u
2
2 x 2 x 1 x 2 2 x 2 x 1
đó a có
1 5
1 5
v x2 2x
2 x 1
2
2
: 5x2 14 x 9 x2 x 20 5 x 1
Bài 3.
HD:Đk x 5 C uy
số , đ : 2 x2
ồ
v y ak
u x 2 x 20
:
.
v x 1
đ
ay
ắ
x x 20 x 1
5x 2 x x 20 x 1
a đ ợc: 2 x 2 5x 2 5
vế
Nhận xét : K
N
:
1 5
v
u
2
uv u v
1 5
v
u
2
2
2
a có : x2 x 20 x 1 x 4 x 5 x 1 x 4 x 2 4 x 5
: 2 x 2 4 x 5 3 x 4 5 ( x 2 4 x 5)( x 4) Đế đây à oá
Ta v ế
đ ợc
quyế
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
x 1 1 x 1 x 2 0 ,
Từ ữ
íc
2x 3 x
2x 3 x 2 0
K a
và ú ọ a sẽ đ ợc ữ
k ó của
d
ày ụ u c vào
Từ đó c ú
a ớ đ
các
qua các ví dụ sau
Bài 1.
v
d
ỉk
íc
ày P
ầ
ờ
à a xuấ
á
c ú ào, đ
á
đ ợc
: x2 3 x2 2 x 1 2 x2 2
HD:Đ
t 3
t x 2 2 ; t 2 , ta có : t 2 2 x t 3 3x 0
t x 1
Bài 2
: x 1 x 2 2 x 3 x 2 1
HD:Đ : t x 2 2 x 3, t 2
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
10
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
K đó
Bây ờ a
ê
: x 1 t x 2 1 x2 1 x 1 t 0
ớ , đ đ ợc
c 2 o có c ẵ :
t 2
x 2 2 x 3 x 1 t 2 x 1 0 t 2 x 1 t 2 x 1 0
t x 1
: x 2 3 x 1 x 3 x 2 1
Bài 3:
HD:Đ
t x 2 1; t 1
t x
t 3
à : 2 - (x + 3)t + 3x = 0 (t - x)(t - 3) = 0
P
Nếu = x x2 1 x (Vô lý) -Nếu = 3 x2 1 3 x 2 2
V y: x 2 2
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
Xuấ
á ừ
số “đ số “ đẹ c ú
a có
o a đ ợc ữ
ỉ àk
óc ú
a đ
uẩ
ụ và
ố qua
ữa các ẩ
v
3
Xuấ
á ừ đẳ
ức a b c a3 b3 c3 3 a b b c c a , Ta có
v
ụđ đ a
a3 b3 c3 a b c a b a c b c 0
3
Từ
xé
ày a có
o a
ữ
v
ỉ có c ứa că
c a
7 x 1 3 x2 x 8 3 x2 8x 1 2
3
3x 1 3 5 x 3 2 x 9 3 4 x 3 0
Bài 1.
ng trình : x 2 x . 3 x 3 x . 5 x 5 x. 2 x
3
HD:ĐK: x 2
u 2 x ; u 0
Đ v 3 x ; v 1 , ta có :
w 5 x ; w 3
30
239
x
đ ợc: u
60
120
Bài 2.
u v u w 2
2 u 2 uv vw wu
2
3 v uv vw wu u v v w 3 ,
5 w2 uv vw wu
v w u w 5
a
sau : 2 x2 1 x2 3x 2 2 x2 2 x 3 x2 x 2
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
11
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
HD:Ta đ
Bài 3.
HD:Đ
a
b
:
c
d
2x2 1
x 2 3x 2
2x2 2x 3
a b c d
, k
đó a có :
2
2
2
2
a b c d
x 2
x2 x 2
sau : 4 x2 5x 1 2 x 2 x 1 9 x 3
các
2
a 4 x 5 x 1
2
b x x 1
a; b 0
a 2 4b 2 9 x 3
Ta đ ợc
:
a 2b 9 x 3
a 2b
a 1 2b
Từ đó a có: a2 - 4b2 = a - 2b (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0
Nếu a = 2 4 x 2 5 x 1 2 x2 x 1 x
1
( o
3
)
Nếu a = 1 - 2b 4 x2 5x 1 1 2 x2 x 1 (*)
Ta có : VT(*) 0 (1)
2
1
3
VP(*) = 1 2 x x 1 1 2 x 1 3 0 (2)
2 4
2
Từ (1) và (2) suy a
V y
(*) v
đ c o có
duy
ấ x
1
3
Bài tập áp dụng:
pt: x 4 x 1 x 4 1 x 1 x 4 x3 4 x 2 1 x
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
Đ u x , v x và
ố qua
ữa x và x ừ đó
đ ợc
u,v
3
Bài 1.
HD:Đ
K
đó
o
: x 3 35 x3 x 3 35 x3 30
y 3 35 x3 x3 y3 35
c uy
v
đ ợc ( x; y) (2;3) (3;2) Tức à
xy ( x y ) 30
,
3
3
x y 35
g trình sau:
của
ày a
à x {2;3}
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
12
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
HD:Đ u k
Đ
2 1 x 4 x
:
Bài 2.
1
2
4
: 0 x 2 1
2 1 x u
0u
4
x v
2 1,0 v 4 2 1
1
u 4 v
1
2
u v 4
2
sau:
2
u 2 v 4 2 1 1 v v 4 2 1
4 2
Ta đ a v
2
pt
1
ứ 2: (v 1) v 4 0 , ừ đó
2
Bài 3.
HD:Đ u k
Đ
2
av ồ
2
ay vào
của pt.
sau: x 5 x 1 6
: x 1
a x 1, b 5 x 1(a 0, b 5)
ađ av
sau:
2
a b 5
(a b)(a b 1) 0 a b 1 0 a b 1
2
b
a
5
11 17
V y x 1 1 5 x 1 x 1 5 x x
2
6 2x 6 2x 8
Bài 4.
:
5 x
5 x 3
HD:Đ u k : 5 x 5
Đ u 5 x , v 5 y 0 u, v 10 .
K
(u v)2 10 2uv
u 2 v 2 10
: 4 4
2 4
8
2(u v)
(u v) 1
3
u v
uv 3
đó a đ ợc
Bài 5.
HD:ĐK: 77 x 629
Đ
4
u 629 x
4
v 77 x
: 4 629 x 4 77 x 8
(u; v 0)
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
13
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
u v 8, u 4 v 4 706
Đ t = uv
t 2 128t 1695 0
t 15
t 113
Vớ = 15 x = 4
Vớ = 113 x = 548
Bài 6.
: x3 x 2 1 x3 x 2 2 3
HD:Vớ đ u k : x3 x2 1 0 x3 x2 2 0
Đ
u x3 x 2 1
Vớ v
v x3 x 2 2
P
(1)
à
Ta có h ph ng trình
(1)
u
u
v=3
uv 3
2
2
v u 3
uv 3
u v 3
u 1
v 2
(v u )(v u ) 3
v u 1
x3 x 2 1 1
x3 x 2 2 2
x3 x 2 1 1
3
2
x x 2 4
x3 x 2 2 0
( x 1)( x 2 2 x 2) 0
x 1 (do x 2 2 x 2 0 x)
V y ph
ng trình đ cho có t p nghi m là S = {1}
2
2
Bài 7.
: 1 x x
3
2
1 x 0
1 x 1
0 x 1
HD: Đi u ki n:
x0
x0
2
Vớ đi u ki n (*),đ
u x ;v
2
x , vớ u
3
(*)
, v
2
3
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
14
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
1 x2 1 u4
2
Ta có: 2
2
3 x v
Do dó a có
2
2
uv 3
uv
3
1 u 4 v2
u 4 v 4 1
2
2
uv
uv
3
3
2
u 2 v 2 2 2u 2 .v 2 1 u v 2 2u.v 2u 2 v 2 1
2
2
uv
uv
3
3
2
4 2u.v 2u 2 .v 2 1
2u 2 .v 2 16 u.v 65 0
9
9
81
2
u v 3
8 194
u.v
18
2
u v 5
8 194
u.v
18
u và v là nghi m của ph
2 2
8 194
0(a)
y y
3
18
y 2 2 y 8 194 0(b)
3
18
ng trình
(b) vô nghi
(a) có 2 nghi
1
y1
97
3
1
2
; y2
2
97
3
2
3
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
15
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
u y
u y
2
Do đó: 1 1 2
v1 y 2 v 2 y1
1
V u
ên ta chọ u y 2
1
x
97
1
3
2
x
3
97
3
2
3
97
3
2
3
2
1
ng trình đ cho có nghi m duy nhấ x 1
9
: 4 18 5x 4 64 5x 4
V y ph
97
3
2
2
Bài 8.
HD:Vớ đi u ki n
18
18 5 x 0
x 5
18
64
x
64
5
5
64 5 x 0
x
5
Đ
u 4 18 5x , v 4 64 5x , vớ u
(*)
,v
u 4 18 5 x
Suy ra
4
v 64 5 x
Ph
ng trình đ cho t
ng đ
ng vớ h :
uv 4
uv 4
4
2
4
2 2
2
u v 82 u v 2(uv) 82
v 0, v 0
v 0, v 0
Đ A = u + v và P = u.v, ta có:
S 4
2
2
2
S 2 P 2 P 82
P 0, S 0
S 4
S 4
2
p 32 P 87 0 P 3 P 29
P0
P0
(1) Vớ S = 4, P = 3
u và v là nghi m của ph
ng trình:
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
16
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
y 1
y2 4 y 3 0
y 3
u 1 u 3
Do đó a có:
v
3
v 1
4
4 18 5 x 1
18 5 x 3
Suy ra
4 64 5 x 3
4 64 5 x 1
18 5 x 1 18 5 x 81
64 5 x 81 64 5 x 1
17
63
o mãn (*)
x x
5
5
(2) Vớ S = 4, P = 29 không tồ t
u và v
17
x1 5
ng trình đ cho có 2 nghi m là:
x 63
2 5
V y ph
5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
Ta y đ
uồ ốc của ữ
à oá
ằ các đ a v
xứ
o II
Ta xé
đố xứ
đ
Bây ờ a sẽ
ế
y x 2 1, k
à
các
x
2
a
ực o
ổ
c cao
ày
(2)
y f x sao c o (2) u
ađ
đú
,
ê và đ a v
2
x ay b
c2:
, a sẽ xây dự
2
y
ax
b
quá d
y ax b , k
sau : đ
ax b b
v c
: x 1 ( x 2 1) 1 x 2 2 x x 2
ự xé
các đ
(1)
2
: x2 2 x x 2
d
T
ằ
đó a có
V yđ
Bằ
o
2
x 1 y 2
II sau :
2
y 1 x 2
đố
đó a có
: x
n
a
n
ax b b
đ ợc
:
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
17
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Tó
ờ c od ớ d
k a
a
n
x p n a ' x b ' đ y n ax b đ đ a v
vế v d
:
, c ú ý v dấu của ???
V c c ọ ;
à c ọ đ ợc
Bài 1:
: x p n a ' x b '
HD:Đ u k
ờ
n
a c ỉ cầ v ế d ớ d
: x2 2 x 2 2 x 1
: x
1
2
Ta có
Đ
c ú
đ ợc v ế
à: ( x 1)2 1 2 2 x 1
2
x 2 x 2( y 1)
ađ av
sau: 2
y 2 y 2( x 1)
a đ ợc ( x y)( x y) 0
y 1 2x 1
T ừ a vế của
a a
đ ợc
của
à: x 2 2
2
2
2 x 1 t a 2 x 1 t 2at a
Cách 2: Đ
C ọ a = -1 a đ ợc: 2 - 2t = 2x - 2
kế
ợ vớ đầu à a có
ày a sẽ
Bài 2.
HD:Đ u k
Ta
Đ
2
x 2 x 2t 2
: 2
t 2t 2 x 2
x
đ ợc x
: 2 x2 6 x 1 4 x 5
5
4
sau: 4 x2 12 x 2 2 4 x 5 (2 x 3)2 2 4 x 5 11
ế đổ
2 y 3 4 x 5 a đ ợc
2
(2 x 3) 4 y 5
( x y )( x y 1) 0
sau:
2
(2
y
3)
4
x
5
Vớ x y 2 x 3 4 x 5 x 2 3
Vớ x y 1 0 y 1 x 2 x 1 4 x 5 (v
Kế u : N
của
à x 2 3
2
Bài 3:
:x x5 5
HD:ĐK: x 5
Pt x2 5 x 5 ; x 5 (*)
x 5 t a x 5 t 2 2at a 2
Đ
C ọ a = a đ ợc: 2 - 5 = x và kế ợ vớ (*) a đ ợc
)
:
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
18
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
x 2 5 t
ừ đây a sẽ
2
t 5 x
đ ợc
4x 9
( x 0) .
28
: 7x2 + 7x =
Bài 4:
4x 9
4x 9 2
ta
t 2at a 2
28
28
1
4x 9 2
1
1
C ọ a a đ ợc:
t t 7t 2 7t x
2
28
4
2
1
2
7 x 7 x t 2
Kế ợ vớ đầu à a đ ợc
:
7t 2 7t x 1
2
HD:Đ
ê
a
đ ợc
Bài tập áp dụng:
: 2 x2 2 x 1 4 x 1
IV. PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I-KIẾN THỨC:
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
C o a
số : ( a , ), (x , y)
a có: (ax + by)2 (a2 b2 )( x2 y 2 )
a
x
Dấu ‘‘=’’ x y a
b
y
2.Bất đẳng thức côsi:
a) Vớ
a số a,
0 thì ta có:
ab
ab
2
Dấu ‘‘=’’ x y a a b
b) Vớ
a số a, b, c 0 thì ta có:
abc 3
abc
3
Dấu ‘‘=’’ x y a a b = c
c) Vớ
ố số a, b, c, d 0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ x y a a b = c = d
) Vớ
số a1, a2,…, an 0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ x y a a1 a2 ... an
3.GTLN,GTNN của biểu thức:
a/ A = m + f2(x) m
abcd 4
abcd
4
a1 a2 ... an n
a1.a2 ....an
n
b/ A = M - g2(x) M
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
19
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Am
AM
MinA m
MaxA M
Dấu ''='' x y a f(x) = 0
Dấu ''='' x y a g(x) = 0
4. Dùng hằng đẳng thức :
Từ ữ đá
á
Từ
ak a
2
5x 1 2 x
: A2 B2 0 , a xây dự
2
9 5x 2 x 1 0
: 4 x 2 12 x 1 4 x 5 x 1 9 5 x
a có
A2 B2 0
d
5. Dùng bất đẳng thức
M
số
đ ợc o a ừ dấu ằ
ếu dấu ằ
(1) và (2) cù
đ đ ợc
Ta có : 1 x 1 x 2 Dấu ằ
k
và c ỉ k
Đ
k
x=
V y a có
số
đ ợc
A f x
A B
B f x
Nếu a đoá
u à
g á đ ợc
ớc đ ợc
à v ỉ v c đoá
của ấ đẳ
x0 thì x0
A m (1)
B m (2)
ức:
à
A B
của
1
2 , dấu ằ
x 1
1
1 x
: 1 2008 x 1 2008 x
x 1
A f x
o a ừý
:
k đó :
B f ( x)
k
và c ỉ k
x 0 và
x 1
v c dù
ấ đẳ
ức dễ dà
k
đ ợc, a vẫ dù
ấ đẳ
,
có
ức đ đá
II-BÀI TẬP:
:
Bài 1.
2 2
x x9
x 1
HD:Đk: x 0
2
2 2
x 2 2
Ta có :
x 1
2
2
1
x
x 1
x9
x 1
x
1
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
20
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Dấu ằ
2 2
x 1
Bài 2.
HD:Đk: 1 x 1
B ế đổ
Á dụ
1
1
x
7
x 1
: 13 x2 x4 9 x2 x4 16
a có : x 2 13 1 x 2 9 1 x 2
ấ đẳ
ức Bu
2
256
aco xk :
13. 13. 1 x 2 3. 3. 3 1 x 2
13 27 13 13x 3 3x 40 16 10 x
2
2
2
2
2
Á dụ
Dấu ằ
16
ấ đẳ
ức C s : 10 x 16 10 x 64
2
2
x
1 x2
2
5
1 x
3
2
10 x 2 16 10 x 2
x 5
2
2
Bài 3.
: x3` 3x2 8x 40 8 4 4 x 4 0
2
HD:Ta c ứ
: 8 4 4 x 4 x 13 và x3 3x 2 8x 40 0 x 3 x 3 x 13
Bài 4:
: 7 x x 5 x2 12 x 38
HD:Ta có :VT2=( 7 x x 5 )2 (1 + 1).(7- x + x - 5) = 4
Nên : 0 < VT 2
M k ác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 2
T o
ế dấu ''='' x y a k và c ỉ k :x = 6
V yx=6 à
duy ấ của
đ c o
2
Bài 5:
: x 3x 2 x 1 2
HD:ĐK: x 1; 2 (1)
PT x2 3x 2 2 x 1 (2)
Từ (2) a có:
2 x 1 0
x 1 2
x 1 2
x 1 (3)
Từ (1) và (3) Ta có x = 1
ế vào (2)
o
V y :x = 1
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
21
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Bài 6:
:
HD: Đ u k
Á dụ
x
ấ đẳ
x
4x 1
T o
x
4x 1
2
x
4x 1
1
4
ức c s a có:
4x 1
2
x
ế dấu ằ
x
4x 1
x y ak
4x 1
2.
x
và c ỉ k :
x
4x 1
x
4x 1
x 2 4x 1 0
(x 2) 2 3
x 2 3
Dấu “=” x y a x 4x 1 x 4x 1 0
x 2 4x 4 3 0 (x 2)2 3 x 2 3 x 2 3 (T o
V y :x 2 3
Bài 7:
: x 1 5x 1 3x 2
HD: Các 1 đ u k x 1
Vớ x 1 : Vế á : x 1 5x 1 vế á u â
Vế
: 3x 2 1 vế
u
V y:
đ c ov
Các 2 Vớ x 1, a có:
2
)
d
x 1 5x 1 3x 2
x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)
2 7x 2 (5x 1)(3x 2)
Vế á u
à
số â vớ x 1, vế
d
vớ x 1
Bài 8:
: 3x 2 6x 7 5x 2 10x 14 4 2x x 2 (1)
v
HD: Ta có (1) 3 x 2 2x 1 5 x 2 2x 1 (x 2 2x 1) 5
3
5
4
9
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)
4 9 2 3 5 Dấu “=” x y a x = –1
Ta có: Vế á
Vế
≤ 5 Dấu “=” x y a x = –1
V y:
đ c o có
x = –1
2
2
2
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
22
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Bài 9:
HD: đ u k
Dễ
x7
8 2x 2 2x 1
x 1
:
x
1
2
ấy x = 2 à
– Nếu
của
1
x 2 : VT =
2
– Nếu x > 2: VP = 2x2 +
6
8 8 3 . Mà: VP > 8 3
x 1
2
2x 1 > 2.2 + 3 = 8 3 . VT < 8 3
1
x 2 x 1 2 1
1
6
6
1
3
x 1
2 1
V y:
đ c o có
Bài 10:
2 Bằ
đó à
ấ àx=2
6
8
6
3 x
2x
:
HD: ĐK: x
duy
các
ử, a
duy
ấ
ấy x =
T
3
2
à
của
v y:Vớ x
3
:
2
Ta cầ c ứ
6
2 và
3 x
8
4
2x
6
8
6.
3 x
2x
T
ng tự vớ
Bài 11:T
3
< x < 2:
2
6
8
6
3 x
2x
uyê d
1
1
1
1
1.2 2.3 3.4
x. x 1
của
:
4 x 4
4 x 5
HD:ĐK: x 4 (1)
1
1
1
x 1
4 x 5
4 x x 4 (*)
Ta có: VP(*) = x 4 0 x 4 (2)
Ta có: 1
Từ (1) và (2) a có:x = 4 à
III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
các
duy
ấ
sau :
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
23
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
1 2x 1 2x
1 2x
1 2x
1 2x
1 2x
2 x4 8 4 4 x4 4 x4 4
1
1
4x
2
x
x
16 x 4 5 6 3 4 x3 x
x3` 3x2 8x 40 8 4 4 x 4 0
4
2 x2 2
8 x3 64 x3 x 4 8x 2 28
x 3 5 x x2 8x 18
x 4 1 x x 1 x 2 4 8
Bài 2:
các
sau :
1/ x - 2 + 6 - x = x 2 - 8x + 24
3/ 6 x x 2 x2 6 x 13
5/ 2 x 3 5 2 x 3x2 12 x 14
2/ x 4 6 x x2 10 x 27
4/ 1 x 4 x 3
6/ x 2 10 x x2 12 x 40
V. PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụ các í c ấ của à số đ
àd
oá k á qu
Ta có 3 ớ á dụ sau đây:
Hướng 1: T ực
o các ớc:
Bước 1: C uy
v d : f ( x) k
Bước 2: Xé à số y f ( x)
Bước 3: N
xé :
Vớ x x0 f ( x) f ( x0 ) k do đó x0 à
Vớ x x0 f ( x) f ( x0 ) k do đó
v
Vớ x x0 f ( x) f ( x0 ) k do đó
v
V y x0 à
duy ấ của
Hướng 2: T ực
o các ớc
Bước 1: C uy
v d : f ( x) g ( x)
Bước 2: Dùng
u k ẳ đị
ằ
í c ấ á
f ( x) và (x) có ữ
xác đị x0 sao cho f ( x0 ) g ( x0 )
Bước 3: V y x0 à
duy ấ của
Hướng 3: T ực
o các ớc:
f (u) f (v)
Bước 1: C uy
v d
Bước 2: Xé à số y f ( x) , dù
u k ẳ đị
à số đ đ u
Bước 3: K đó f (u) f (v) u v
Ví dụ:
u c
ợc
au và
: 2 x 1 2 4 x 2 4 x 4 3x 2 9 x 2 3 0
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
24
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
HD:pt 2 x 1 2
Xé
2 x 1
2
3x
ế
số f t t 2 t 2 3 , à à
à
3 3x 2
đồ
2
3 f 2 x 1 f 3x
ê R, a có x
Ví Dụ 2:
: 3 x6 3 x2 3 x3 0
HD:
ấy x = -2 à
của
ng trình
3
3
3
Đ
f x x 6 x 2 x 3
Vớ x1 x2 f x1 f x2 v y à số f(x) đồ
ế ê R
V y x = -2 à
duy ấ của
Bài tập áp dụng:
:
2
c) x 1 3 x x2
e)
a) 4 x 1 4 x 1 1
b) x 1 x3 4 x 5
d) x 1 2 x 2 x2 x3
f)
1
5
x 1 x 2 3
2 x 1 x2 3 4 x
VI. PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
M
số
v đ ợc d
v
íc
A x 0 v
ỉ a có
x x0 A x 0
ẩ
đ ợc
a có
x0
v y
A x 0
u
đ a
o cc ứ
, chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
A x 0 vô nghiệm
Bà 1:
: x x 2 x x 1 2 x 2 (1)
HD: C1: ĐK x 2; x 1
1
x2 x x2 2x
x x 1 x x 2
3x
x x 1 x x 2
2x
2x
2
3
3
x x 1 x x 2 2
2 x x 1 2 x
Nếu x 1 ta có
2
x x 1 x x 2 2 x
G
(3) a
3
đ ợc x
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126
25
