Tuyển tập một số đề thi HSG môn Toán lớp 8 có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.45 MB, 49 trang )
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
ĐỀ 1
Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: a1a 2 .. . a 8 thỏa mãn 2 điều kiện a và b sau:
a) a1a 2a 3 = a 7a 8
2
b) a 4a 5a 6a 7a 8 a 7a 8
3
Câu 2 . Chứng minh rằng: ( xm + xn + 1 ) chia hết cho x2 + x + 1.
khi và chỉ khi ( mn – 2) 3.
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1.
Câu 3 . Giải phương trình:
1
1
1
...
2005.2006.2007
1.2.3 2.3.4
x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).
Câu 4 . Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các
đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC
tương ứng ở F và E. Chứng minh:
EF // AB
b). AB2 = EF.CD.
c) Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD
Và OBC
Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .
Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45.
ĐÁP ÁN
Câu 1 . Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2).
Từ (1) và (2) => 22 a7 a8 31
=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600.
( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6
do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng:
a) . a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 là số 57613824.
b) . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => số đó là 62515625
c) . a7a8 = 26 => không thoả mãn
câu 2 . Đặt m = 3k + r với 0 r 2
n = 3t + s với 0 s 2
m
n
3k+r
3t+s
3k r
r
x + x + 1 = x + x + 1 = x x – x + x3t xs – xs + xr + xs + 1.
= xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1
ta thấy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) và ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1)
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 1
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
vậy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1)
<=> ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) với 0 r ; s 2
<=> r = 2 và s =1
=>
m = 3k + 2 và n = 3t + 1
r = 1 và s = 2
m = 3k + 1 và n = 3t + 2
<=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)
mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)
=> (mn – 2) 3 Điều phải chứng minh.
áp dụng: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 3.
( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1)
( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1
Câu
3
.
Giải
PT:
1
1
1
.
x 1.2 2.3 2006.2007
2005.2006.2007
1.2.3 2.3.4
Nhân 2 vế với 6 ta được:
2
2
2
3
x 21.23 0 2.34 1 2006.20072008 2005
2005.2006.2007
1`.2.3 2.3.4
1
1
1
1
1
3
x
2006.2007
1.2 2.3 2.3 3.4
2 1.2.3 2.3.4 1.2.3 2006.2007.2008 2005.2006.2007
1
1003.1004.669
1
3
x 2.2006.2007.2008 x
5.100.651
1.2 2006.2007
Câu 4 .a) Do
AE// BC =>
BF// AD
OE OA
OB OC
O F OB
OA OD
A
E
B
O K
H
F
MặT khác AB// CD ta lại có
D
OA OB
OC OD
b).
nên
OE OF
OB OA
A1B1
=> EF // AB
ABCA1 và ABB1D là hình bình hành => A1C = DB1 = AB
EF
AB
=> AB 2 = EF.CD.
AB DC
1
1
1
1
c) Ta có: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD.
2
2
2
2
Vì EF // AB // CD nên
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 2
C
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
1
AH .OB
S1 2
AH
=>
;
1
S4
CK
CK .OB
2
1
AH .OD
S3 2
AH .CK
1
S2
CK .OD
2
=>
S1 S3
=> S1.S2 = S3.S4
S4 S2
Câu 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45
= x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4
= ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 4
Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi:
y- 1 = 0
=>
y=1
x- y- 6 = 0
x=7
--------------------------------------------ĐỀ 2
Câu 1: a. Rút gọn biểu thức:
A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1
b. Nếu x2=y2 + z2
Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2
x y z
0 (1) và
Câu 2: a. Cho
a b c
a b c
2 (2)
x y z
x2 y 2 z 2
0
a 2 b2 c2
ab
bc
ca
b. Tính : B = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
b c a
c a b
Tính giá trị của biểu thức A=
Câu 3: Tìm x , biết :
x·1 x 10 x 19
3 (1)
2006 1997 1988
Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình
chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
a.BM EF
b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.
Câu 5: Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
a
1
b
1
c
P= (a+ b+ c) ( ).
ĐÁP ÁN
Câu 1: a. ( 1,25 điểm) Ta có:
A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 3
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
= (22-1)(22+1) ......... (2256+1)
= (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1)
................
= [(2256)2 –1] + 1
= 2512
b, . ( 1 điểm) Ta có:
(5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*)
Vì
x2=y2 + z2 (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2
Câu 2: . ( 1,25 điểm) a. Từ (1) bcx +acy + abz =0
ab ac bc
abz acy bcx
x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
4
Từ (2) 2 2 2 2 0 2 2 2 4 2
a
b
c
xy
xz
yz
a
b
c
xyz
b. . ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0 a + b = - c a2 + b2 –c2 = - 2ab
Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac
B=
ab
bc
ca
3
2ab 2bc 2ca
2
Câu 3: . ( 1,25 điểm)
(1)
x·2007 x 2007 x 2007
0
2006
1997
1988
x= 2007
A
Câu 4: a. ( 1,25 điểm) Gọi K là giao điểm CB với EM;
H là giao điểm của EF và BM
EMB =BKM ( gcg)
Góc MFE =KMB BH EF
b. ( 1,25 điểm) ADF = BAE (cgc) AF BE
Tương tự: CE BF BM; AF; CE
là các đường cao của BEF đpcm
Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có:
P=1+
Mặt khác
B
E
M
K
H
D
F
C
a a b
b c c
a b a c b c
1 1 3
b c a
c a b
b a c a c b
x y
2 với mọi x, y dương. P 3+2+2+2 =9
y x
Vậy P min = 9 khi a=b=c.
--------------------------------------Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 4
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
ĐỀ 3
Bài 1 (3đ):
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 7x + 12
b) a10 + a5 + 1
2) Giải phương trình:
x 2 x 4 x 6 x 8
98
96
94
92
Bài 2 (2đ):
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P
2 x 2 3x 3
có giá trị nguyên
2x 1
Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC )
1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
a) ABM đồng dạng ACN
b) góc AMN bằng góc ABC
2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F
là trung điểm của AK.
Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Bài 4 (1đ):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
x 2 2 x 2007
, ( x khác 0)
2007 x 2
ĐÁP ÁN
Bài 1 (3đ):
1)
a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1đ)
b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 )
+ (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 a+ 1 ) (1đ)
2)
x2 x4 x6 x8
98
96
94
92
x2
x4
x6
x8
+1) + (
+ 1) = (
+ 1) + (
+ 1)
(
98
96
94
92
1
1
1
1
( x + 100 )(
+ )=0
98 96 94
92
(0,5đ)
(0,25đ)
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 5
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Vì:
1
1
1
1
+ 0
98 96 94
92
Do đó : x + 100 = 0 x = -100
Vậy phương trình có nghiệm: x = -100
(0,25đ)
Bài 2 (2đ):
2 x 2 3x 3 (2 x 2 x) (4 x 2) 5
5
P=
x2
2x 1
2x 1
2x 1
(0,5đ)
x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên
để P có giá trị nguyên thì
=>
5
phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ)
2x 1
* 2x - 1 = 1 => x = 1
* 2x - 1 = -1 => x = 0
* 2x - 1 = 5 => x = 3
* 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5đ)
Vậy x = 1;0;3;2 thì P có giá trị nguyên. Khi đó các giá trị nguyên của P là:
x = 1 => P = 8
x = 0 => P = -3
x = 3 => P = 6
x = -2 => P = -1 (0,5đ)
Bài 3 (4đ):
1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ)
b) Từ câu a suy ra:
AB AM
AMN đồng
AC
AN
dạng ABC
AMN = ABC ( hai góc tương ứng) (1,25đ)
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H
(0,25đ)
BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)
mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác)
(0,5đ)
Suy ra:
CHA = CAH nên CAH cân tại C
do đó :
CH = CA
=> CH = BK và CH // BK
(0,5đ)
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 6
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
BK = CA
Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF
// AH hay EF // Ax ( đfcm)
(0,5đ)
Bài 4 (1đ):
A=
2007 x 2 2 x.2007 2007 2
x 2 2 x.2007 2007 2
2006 x 2
=
+
2007 x 2
2007 x 2
2007 x 2
( x 2007) 2 2006 2006
2007 2007
2007 x 2
2006
A min =
khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ)
2007
=
------------------------------------
ĐỀ SỐ 4
x2
6
1
10 x 2
:
x
2
3
x 2
x 4 x 6 3x x 2
Câu 1 ( 3 điểm ) . Cho biểu thức A =
a, Tìm điều kiện của x để A xác định .
b, Rút gọn biểu thức A .
c, Tìm giá trị của x để A > O
Câu 2 ( 1,5 điểm ) .Giải phơng trình sau :
x 2 4x 1
x 2 5x 1
2
x 1
2x 1
Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với
nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.
1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN
là hình chữ nhật.
3, Chứng minh P là trực tâm SQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Câu 4 ( 1 điểm):
Cho biểu thức A =
2 x 2 3x 3
2x 1
Câu 5 ( 1 điểm)
a, Chứng minh rằng
. Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
x 3 y 3 z 3 x y 3xy.x y z 3
3
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 7
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
b, Cho
1 1 1
0.
x y z
Tính A
yz xz xy
x2 y2 z 2
ĐÁP ÁN
Câu 1
a,
x 2 , x -2 , x 0
b , A =
x
2
1 6
:
x 4 2 x x 2 x 2
=
2
x 2x 2 x 2
6
:
x 2x 2 x 2
=
6
x2
1
.
x 2x 2 6 2 x
c, Để A > 0 thì
Câu 2 .
PT
ĐKXĐ :
1
0 2 x 0 x 2
2 x
1
x 1; x
2
x 2 4x 1
x 2 5x 1
x 2 3x 2 x 2 3x 2
1
1 0
0
x 1
2x 1
x 1
2x 1
1
1
2
x 2 3x 2
0 x 3x 2 3x 2 0 x 1x 23x 2 0
x 1 2x 1
x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3
Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ .
2
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = 1;2;
3
Câu 3:
1, ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác
vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD
( cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên AQR
là tam giác vuông cân. Chứng minh tợng tự ta
có: ARP= ADS
do đó AP = AS và APS là tam giác cân tại A.
2, AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác
vuông cân AQR và APS nên AN SP và AM
RQ.
0
PAN PAM = 45 nên góc
Mặt khác :
MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 8
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
3, Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR. Vậy
P là trực tâm của SQR.
1
2
4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = QR.
Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM =
1
QR.
2
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA=
NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trungtrực của AC
5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn
điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đờng trung trực của
AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.
Câu 4 . Ta có ĐKXĐ x -1/2
A = (x + 1) +
2
2x 1
vì x Z nên để A nguyên thì
2
nguyên
2x 1
Hay 2x+1 là ớc của 2 . Vậy :
2x+1 = 2 x=1/2 ( loại )
2x+1 = 1 x = 0
2x+1 = -1 x = -1
2x +1 = -2 x = -3/2 ( loại )
KL : Với x = 0 , x= -1 thì A nhận giá trị nguyên
Câu 5. a, , Chứng minh x 3 y 3 z 3 x y 3 3xy.x y z 3
Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh.
b, Ta có a b c 0 thì
a 3 b 3 c 3 a b 3aba b c 3 c 3 3ab c c 3 3abc
3
(vì a b c 0 nên a b c )
Theo giả thiết
khi đó A
1 1 1
1
1
1
3
0. 3 3 3
.
x y z
xyz
x
y
z
1
yz xz xy xyz xyz xyz
1
1
3
2 2 3 3 3 xyz 3 3 3 xyz
3
2
xyz
x
y
z
x
y
z
y
z
x
=====================
ĐỀ 5
Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 9
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
x2 1
1
2
4
2
x x 1 x 1
M =
4 1 x4
x
1 x2
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
4 x 3 3x 2 2 x 83
A=
x 3
Bài 3 : 2 điểm
Giải phương trình :
a) x2 - 2005x - 2006 = 0
b) x 2 + x 3 + 2 x 8 = 9
Bài 4 : (3đ) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax
vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K .
Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi .
b) AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC
c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC
không đổi .
Bài 5 : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120
chia hết cho 24
ĐÁP ÁN
Bài 1 :
a) M
=
( x 2 1)( x 2 1) x 4 x 2 1 4
x 4 1 x 4 x 2 1 x 2 2
2
2
x
+1-x
)
=
(
x 2 1
x 1
( x 4 x 2 1)( x 2 1)
b) Biến đổi : M = 1 -
3
3
. M bé nhất khi 2
lớn nhất x2+1 bé nhất x2
x 1
x 1
2
= 0 x = 0 M bé nhất = -2
Bài 2 : Biến đổi A = 4x2+9x+ 29 +
4
4
A Z
Z x-3 là ước của 4
x 3
x 3
x-3 = 1 ; 2 ; 4 x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7
Bài 3 : a) Phân tích vế trái bằng (x-2006)(x+1) = 0
(x-2006)(x+1) = 0 x1 = -1 ; x2 = 2006
c) Xét pt với 4 khoảng sau :
x< 2 ; 2 x < 3 ; 3 x < 4 ; x 4
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 10
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Rồi suy ra nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 5,5
Bài 4 :
a) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF
AEF vuông cân tại tại A nên AI EF .
IEG = IEK (g.c.g) IG = IK .
Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt
nhau tại trung điểm mỗi đường và
vuông góc nên hình EGFK là hình thoi .
b) Ta có :
0
KAF = ACF = 45 , góc F chung
AKI ~ CAF (g.g)
AF KF
AF 2 KF .CF
CF AF
d) Tứ giác EGFK là hình thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE
Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không
đổi) .
Bài 5 : Biến đổi :
B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120
Suy ra B 24
================================
ĐỀ 6
Câu 1: ( 2 điểm ) Cho biểu thức:
6x 1
6 x 1 x 2 36
.
2
2
2
x 6 x x 6 x 12 x 12
A=
( Với x 0 ; x 6 )
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với x=
1
94 5
Câu 2: ( 1 điểm )
a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A=
( với mọi x ;y)
x2
x x2 x 2
3
Câu 3: ( 4 điểm )
Cho hình chữ nhật ABCD . TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối
xứng của C qua P .
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 11
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
a) Tứ giác AMDB là hình gi?
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB .
Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng.
c)Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị
trí của điểm P.
d) Giả sử CP DB và CP = 2,4 cm,;
PD 9
PB 16
Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Câu 4 ( 2 điểm )
Cho hai bất phương trình:
3mx-2m > x+1 (1)
m-2x < 0
(2)
Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng một tập nghiệm.
ĐÁP ÁN
Câu 1 ( 2 điểm )
1) ( 1 điểm ) ĐK: x 0; x 6 )
6x 1
6 x 1 ( x 6)( x 6)
A=
.
2
x( x 6) x( x 6) 12( x 1)
=
=
6 x 2 36 x x 6 6 x 2 36 x x 6
1
.
x
12( x 2 1)
12( x 2 1)
1
1
.
2
x
12( x 1) x
1
x
2) A=
1
1
94 5
94 5
Câu2: ( 2 điểm )
1) (1 điểm ) x2+y2+1 x.y+x+y x2+y2+1 - x.y-x-y 0
2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0 ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) 0
(x-y)2 + (x-1)2+ (y- 1)2 0
Bất đẳng thức luôn luôn đúng.
2) (2 điểm )
(1) 3mx-x>1+2m (3m-1)x > 1+2m. (*)
+ Xét 3m-1 =0 → m=1/3.
(*) 0x> 1+
2
x .
3
+ Xét 3m -1 >0 → m> 1/3.
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 12
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
(*) x>
1 2m
3m 1
+ Xét 3m-1 < 0 3m <1 → m < 1/3
(*) x <
1 2m
.
3m 1
mà ( 2 ) 2x > m x > m/2.
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
1
1
1
m 3
m
m
3
3
1 2m m
3m 2 5m 2 0
(m 2)(m 1) 0
3m 1 2
m-2 =0 m=2.
Vậy : m=2.
Câu 3: (4 điểm )
a)(1 điểm ) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
→ AM //PO → tứ giác AMDB là hình thang.
b) ( 1 điểm ) Do AM// BD →
góc OBA= góc MAE ( đồng vị )
Xét tam giác cân OAB →
góc OBA= góc OAB
Gọi I là giao điểm của MA và EF → AEI cân ở I → góc IAE = góc IEA
→ góc FEA = góc OAB → EF //AC .(1)
Mặt khác IP là đường trung bình của MAC → IP // AC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra : E,F, P thẳng hàng.
c) (1 điểm ) Do MAF DBA ( g-g) →
d) Nếu
MF AD
không đổi.
FA
AB
PD 9
BD PB
k → PD= 9k; PB = 16k.
PB 16
9
16
Do đó CP2=PB. PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2.
PD = 9k =1,8
PB = 16 k = 3,2
DB=5
Từ đó ta chứng minh được BC2= BP. BD=16
Do đó : BC = 4 cm
CD = 3 cm
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 13
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Câu4 ( 1 điểm )
x2
1
2
( x x 1)( x 2) x x 1
1
1
3
(x )2
2
4
1
3
1
1
Vậy Amax [ ( x+ ) 2 ] min x+ = 0 → x = 2
4
2
2
4
Amax là khi x = -1/2
3
Ta có A =
2
========================
ĐỀ 7
Bài1( 2.5 điểm)
a, Cho a + b +c = 0. Chứng minh rằng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0
b, Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)
Bài 2: ( 1,5 điểm).
Cho biểu thức: y =
x
; ( x>0)
( x 2004) 2
Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó
Bài 3: (2 ,5 điểm)
a, Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình: :
( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.
B, Giải bất phương trình: x 6 3
Bài 4: ( 3 ,5 điểm) Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với ox
; ID vuông góc với oy . Biết IC = ID = a. Đường thẳng kẻ qua I cắt õ ở A cắt oy ở b.
A, Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi.
CA OC 2
B, Chứng minh rằng
DB OB 2
8a 2
C, Biết SAOB =
. Tính CA ; DB theo a.
3
ĐÁP ÁN
Bài 1: 3 điểm
a, Tính:
Ta có:
a3 + a2c – abc + b2c + b3
= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2)
= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0
( Vì a+ b + c = 0 theo giả thiết)
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 14
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Vậy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0
( đpCM)
b, 1,5 điểm Ta có:
bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)
= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)
= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)
= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]
= b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a)
= d(a-b)(a-c)(b-c)
Bài 2: 2 Điểm
Đặt t =
1
2004 y
Bài toán đưa về tìm x để t bé nhất
Ta có t =
=
Ta thấy:
( x 2004) 2
x 2 2.2004 x 20042
=
2004 x
2004 x
x
2004
2
2004
x
=
x 2 2004 2
2
2004 x
(1)
Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
x2 + 20042 2. 2004 .x
x 2 2004 2
2
2004 x
(2)
Dấu “ =” xảy ra khi x= 2004
Từ (1) và (2) suy ra: t 4 Vậy giá trị bé nhất của t = 4 khi x =2004.
Vậy ymax=
1
1
Khi x= 2004
2004t 8016
2 Điểm
a, Nhân cả 2 vế của phương trình với 2.3.4 ta được:
(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4
(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8
Vế tráI là 4 số nguyên liên tiếp khác 0 nên các thừa số phảI cùng dấu ( +
)hoặc dấu ( - ).
Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8
(1)
Và (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8)
(2)
Từ phương trình (1) 12x -1 = 11 x = 1 ( thoả mãn)
Bài 3:
Từ phương trình (2)
12x -1 = - 8 x=
7
12
suy ra x Z.
Vậy x=1 thoả mãn phương trình.
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 15
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
b,
x6 < 3
Ta có
-3 < x – 6 < 3
3< x < 9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
S = { x R/ 3 < x < 9}.
Bài 4 : 3 Điểm
Ta có A chung ;
AIC = ABI ( cặp góc đồng vị)
(gg).
IAC ~ BAO
AC
IC
AO BO
Suy ra:
Tương tự:
BID ~
AC AO
IC
BO
(1)
BAO (gg)
OA OB
OA ID
ID BD
OB BD
AC ID
Từ (1) và(2) Suy ra:
IC BD
Suy ra:
(2)
Hay AC. BD = IC . ID = a2
Suy ra: AC.BD = a2 không đổi.
b, Nhân (1) với (2) ta có:
AC ID OA OA
.
.
IC BD OB OB
mà IC = ID ( theo giả thiết) suy ra:
AC OA2
BD OB 2
C, Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có;
SAOB =
1
OA.OB mà SAOB =
2
8a 2
Suy ra: OA.OB =
3
8a 2
( giả thiết)
3
16a 2
Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =
3
16a 2
OA . OB =
3
16a 2
a + a( CA + DB ) + CA . DB =
3
2
16a 2
Mà CA . DB = a ( theo câu a) a(CA +DB) =
- 2a2
3
2
16a 2
CA.DB a 2
2a 2
2
10
a
CA + DB + 3
. Vậy:
10a 2
a
3
CA
DB
3
a
CA =
Giải hệ pt
và DB = 3a
3
a
Hoặc CA = 3a và DB =
3
====================
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 16
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
ĐỀ 8
x2
y2
x2 y2
Bài 1( 2 điểm). Cho biểu thức : P
x y1 y x y1 x x 11 y
1.Rút gọn P.
2.Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3.
Bài 2(2 điểm). Giải phương trình:
1
1
1
1
1
2
2
2
x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20 x 11x 30 8
2
Bài 3( 2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức:
M
2x 1
x2 2
Bài 4 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
1.Chứng minh CE vuông góc với DF.
2.Chứng minh MAD cân.
3.Tính diện tích MDC theo a.
Bài 5(1 điểm).
Chứng minh rằng :
Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c =
a2 + b2 + c2
3
.
2
3
.
4
ĐÁP ÁN
Bài 1. (2 điểm - mỗi câu 1 điểm)
MTC : x y x 11 y
1.
x2 1 x y2 1 y x2 y2 x y x y1 x 1 y x y xy
P
x y1 x1 y
x y1 x1 y
P x y xy .Với x 1; x y; y 1
2. Để P =3
thì giá trị biểu thức được xác định.
x y xy 3 x y xy 1 2
x 1 y 1 2
Các ước nguyên của 2 là : 1; 2.
Suy ra:
x 1 1
x 0
y 1 2
y 3
x 1 1
x 2
y 1 2
y 1
(loại).
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 17
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
x 1 2
x 3
y 1 1
y 0
x 1 2
x 1
(loại)
y 1 1
y 2
Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3.
x 2
x 3
Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định: x 4
x 5
x 6
x2 5 x 6 x 2 x 3
x2 7 x 12 x 3 x 4
Ta có :
x2 9 x 20 x 4 x 5
x2 11x 30 x 5 x 6
Phương trình đã cho tương đương với :
1
1
1
1
x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6
1
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x3 x2 x4 x3 x5 x4 x6 x5 8
4
1
1
1
1
x6 x2 8
x 6 x 2 8
x2 8x 20 0 x 10 x 2 0
x 10
thoả mãn điều kiện phương trình.
x 2
Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2.
Bài 3.(2điểm)
2
2
2 x 1 x2 2 x2 2 x 2 x 2 x 1
M
x2 2
x2 2
x
M
2
2 x 1
x2 2
2
x 1
1
2
x2 2
x 1 nhỏ nhất.
M lớn nhất khi 2
2
x 2
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 18
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Vì x 1 0x và x 2 0x
2
2
x 1 nhỏ nhất khi x 1 2 = 0.
nên 2
2
x 2
Dấu “=” xảy ra khi x-1 = 0 x 1 . Vậy Mmax = 1 khi x = 1.
Bài 4. . (3iểm)
a.
BEC CFD(c.g.c) C1 D1
CDF vuông tại C F1 D1 900 F1 C1 900 CMF vuông tại M
Hay CE DF.
b.Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có :
AEK BEC( g.c.g ) BC AK
AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M
1
KD AD AMD cân tại A
2
CD CM
FCD( g.g )
FD FC
AM
c.
CMD
2
S CMD CD
S
S FCD FD
Do đó :
Mà : S
FCD
2
CMD
CD
.S
FD
FCD
1
1
CF .CD CD 2 .
2
4
Vậy : S CMD
CD 2 1
. CD 2 .
2
FD 4
a
k
d
1
Trong DCF theo Pitago ta có :
1
5
1
DF 2 CD 2 CF 2 CD2 BC 2 CD2 CD2 .CD2 .
4
4
2
e
m
1
Do đó : S
MCD
CD 2 1
1
1
. CD 2 CD 2 a 2
5
5
5
CD 2 4
4
b
f
1
c
Bài 5 (1điểm)
2
1
1
1
Ta có: a 2 0 a 2 a 0 a 2 a
2
4
4
1
Tương tự ta cũng có:
b2 b
4
1
4
; c2 c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
a 2 b2 c 2
3
3
3
a b c . Vì a b c nên: a 2 b2 c 2
4
2
4
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 19
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
1
2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = .
=========================
ĐỀ 9
Câu 1. (1,5đ)
Rút gọn biểu thức : A =
1
1
1
1
+ +
+……….+
2.5 5.8 8.11
(3n 2)(3n 5)
Câu 2. (1,5đ) Tìm các số a, b, c sao cho :
Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4)
Câu 3 . (2đ) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
7
có giá trị nguyên.
x x 1
2
Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)
Câu 5 . Chứng minh rằng trong một tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác là O. Thì H,G,O thẳng hàng.
ĐÁP ÁN
Câu 1.
1 1 1 1 1
1
1
( - + - +…….+
)
3 2 5 5 8
3n 2 3n 5
1 1
1
n 1
= ( )=
3 2 3n 5
6n 10
A=
Câu 2. Chia đa thức x4 + ax + b cho x2 – 4
được đa thức dư suy ra a = 0 ; b = - 16.
Câu 3.
7
Z x2 –x +1 = U(7)= 1, 7
x x 1
2
Đưa các phương trình về dạng tích.
Đáp số x = 2,1,3 .
Câu 4. Từ giả thiết a < b + c a2 < ab + ac
Tưng tự
b2 < ab + bc
c2 < ca + cb
Cộng hai vế bất đẳng thức ta được (đpcm)
Câu 5. trong tam giác ABC H là trực tâm, G là
Trọng tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 20
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
tam giác.
GM 1 ·
·
= , HAG = OMG
AG 2
OM 1
= (Bằng cách vẽ BK nhận O là trung điểm chứng minh CK =
AH 2
- Chỉ ra được
- Chỉ ra
AH)
VAHG : VMOG (c.g.c)
H,G,O thẳng hàng.
======================
ĐỀ 11
3x 3 14 x 2 3x 36
Câu 1:Cho biểu thức: A= 3
3x 19 x 2 33x 9
a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định.
b, Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0.
c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2:
.a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=
( x 16)( x 9)
với x>0.
x
.b, Giải phương trình: x+1+: 2x-1+2x =3
Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi K,L,M,N lần lượt là các điểm thuộc
các cạnh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x.
.a, Xác định vị trí các điểm K,L,M,N sao cho tứ giác MNKL có diện tích mhỏ nhất.
.b, Tứ giác MNKL ở câu a là hình gì? cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MNKL là
hình chữ nhật.
Câu 4: Tìm dư của phép chia đa thức
x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
ĐÁP ÁN
Câu1 (3đ)
a.(1đ)
( x 3) 2 (3x 4)
Ta có A=
(0,5đ)
( x 3) 2 (3x 1)
Vậy biểu thức A xác định khi x3,x1/3(0,5đ)
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 21
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
b. Ta có A=
3x 4
do đó A=0 <=> 3x +4=0 (0,5đ)
3x 1
<=> x=-4/3 thoã mãn đk(0,25đ)
Vậy với x=-4/3 thì biểu thức A có giá trị bằng 0 (0,25đ)
c. (1đ)
Ta có A=
3x 4
5
= 1+
3x 1
3x 1
Để A có giá trị nguyên thì
5
phải nguyên<=> 3x-1 là ước của 5<=> 3x-11,5
3x 1
=>x=-4/3;0;2/3;2
Vậy với giá trị nguyên của xlà 0 và 2 thì A có giá trị nguyên (1đ)
Câu: 2: (3đ)
a.(1,5đ)
Ta có
144
x 2 25 x 144
=x+
+25 (0,5đ)
x
x
144
144
Các số dương x và
Có tích không đổi nên tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi x =
x
x
A=
x=12 (0,5đ)
Vậy Min A =49 <=> x=12(0,5đ)
b.(1,5đ)
TH1: nếu x<-1 thì phương trình đã cho tương đương với :-x-1-2x+1+2x=3=>x=-3<1(là nghiệm )(0,5đ)
TH2: Nếu -1x<1/2 thì ta có
x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(loại )(0,25đ)
TH3: Nếu x1/2ta có
x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (loại)(0,25đ)
Vậy phương trình đã cho x=-3 (0,5đ)
Câu 3: (3đ)
C
L
M
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
D
K
| Tel: 0936.128.126 22
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
D
N
B1
K1
A
Gọi S1,,S2, S3, S4 lần lượt là diện tích tam giác AKN,CLM,DMN và BKL.
Kẻ BB1AD; KK1AD ta có KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB
SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5đ)
Tương tự S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S (0,25đ)
Tương tự S3+S4= x(1-x)S
S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25đ)
SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S1/2S(0,25đ)
Vậy SMNKL đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1/2S khi x=1/2 khi đó M,N,K,L lần lượt là
trung điểm các cạnh CD,DA,AB,BC (0,25đ)
b.(1,5đ)
tứ giác MNKL ở câu a là hình bình hành (1đ)
tứ giác MNKL ở câu a là hình chữ nhật khi BDAC (0,5đ)
Câu 4: (1đ)
Gọi Q(x) là thương của phép chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1
ta có x99+x55+x11+x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*)
trong đó ax+b là dư của phép chia trên
Với x=1 thì(*)=> 11=a+b
Với x=-1 thì(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7
Vậy dư của phép chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 là 4x+7
==========================
ĐỀ 12
Bài 1: (3đ)
Cho phân thức : M =
x 5 2 x 4 2 x 3 4 x 2 3x 6
x 2 2x 8
a) Tìm tập xác định của M
b) Tìm các giá trị của x để M = 0
c) Rút gọn M
Bài 2: (2đ)
a) Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy ta
được 242.
b) Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B.
A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n
Bài 3: (2đ)
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 23
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
a) Cho 3 số x,y,z Thoã mãn x.y.z = 1. Tính biểu thức
M=
1
1
1
1 x xy 1 y yz 1 z zx
b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1
a bc bca c a b a b c
Bài 4: (3đ)
Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB,
BC, CA tỉ lệ với 4,7,5
a) Tính NC biết BC = 18 cm
b) Tính AC biết MC - MA = 3cm
c) Chứng minh
AP BN CM
.
.
1
PB NC MA
ĐÁP ÁN
Bài 1:
a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) 0 x 2 và x - 4
TXĐ = x / x Q; x 2; x 4
b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1)
= 0 khi x=2; x= 1.
x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0
x2+ 2x- 8 0
Vậy để M = 0 thì x = 1.
(0,5đ)
0,2đ
1,0đ
0,2đ
Để M= 0 Thì
c) M =
( x 2)( x 2 3)( x 2 1) ( x 2 3)( x 2 1)
( x 2)( x 4)
x4
0,5đ
0,3đ
0,3đ
Bài 2:
a) Gọi x-1, x, x+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp Ta có: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242
(0,2đ)
Rút gọn được x2 = 81
0,5đ
Do x là số tự nhiên nên x = 9
0,2đ
Ba số tự nhiên phải tìm là 8,9,10
0,1đ
3
2
2
b) (n +2n - 3n + 2):(n -n) được thương n + 3 dư 2
0,3đ
Muốn chia hết ta phải có 2 n(n-1) 2 n
0,2đ
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
| Tel: 0936.128.126 24
GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
– Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Ta có:
n
1
n-1
0
n(n-1) 0
loại
-1
-2
2
2
1
2
-2
-6
-3
loại
0,3đ
0,2đ
Vậy n = -1; n = 2
Bài 3:
a) Vì xyz = 1 nên x 0, y 0, z 0
0,2đ
1
z
z
1 x xy z (1 x xy ) z xz 1
0,3đ
1
xz
xz
1 y yz (1 y yz ) xz xz 1 z
0,3đ
z
xz
1
1
z xz 1 xz 1 z 1 z xz
0,2đ
M=
b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên
a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0
0,2đ
1 1
4
với x,y > 0
x y x y
1
1
4 2
a b c b c a 2b b
1
1
2
bc a c a b c
1
1
2
c a b a bc a
0,2đ
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta được điều phải chứng minh.
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c
Bài 4: a)
A
0,2đ
B
0,2đ
0,2đ
C
N
AN là phân giác của Aˆ Nên
NB AB
NC AC
Đăng ký học tập môn Toán lớp 8 cơ bản và nâng cao
0,3đ
| Tel: 0936.128.126 25
