Đề thi HKI môn Toán lớp 12-có đáp án

THPT Nguyễn Diêu ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC : 2009-2010
MÔN : TOÁN– LỚP : 12
Thời gian làm bài : 90 phút ( Không kể thời gian phát đề)
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm): :
Bài1(3điểm) Cho hàm số : y= x
3
+3x
2
+1 . Gọi
( )
C
là đồ thò của hàm số.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
2). Dựa vào đồ thò (C) , biện luận số nghiệm của phương trình sau đây theo m :
x
3
+3x
2
+m =0
Bài II (1điểm) Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
( )
2
2
ln 3y x x= − +
trên đoạn [0;2]
Bài III:(3đ) Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a , đường cao SA. Góc giữa đường thẳng SC và mp
đáy 60
0.

a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b)MNPQ là thiết diện của hình chóp với mp song song đáy (M ∈ SA , N ∈ SB,P ∈ SC , Q ∈ SD) .Đặt AM = x

Tính Sxq của hình trụ ngoại tiếp hình hộp CN có đáy là MNPQ và AM là cạnh bên. Xác đònh vò trí của M trên
SA để Sxq của hình trụ là lớn nhất .
B.PHẦN RIÊNG (3 điểm):
Bài IV (Dành cho thí sinh học chương trình nâng cao)
1) ( 1 điểm) Tính giá trò biểu thức A =
5log33log
2
1
5log1
52
4
416
+
+
+
2) (1 điểm) Cho hàm số:
2
1
1
x mx
y
x
+ -
=
-
.Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu nằm cùng phía so với Ox
3)(1 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
( )
 
+

= ∈ +∞
 ÷
 ÷
 
2
1
; 0;
x
x
y x
x
Bài V(Dành cho thí sinh học chương trình chuẩn)
1)(1 điểm) Giải bất phương trình :
2
2 4 2
1
log (3 ) log (3 ) log (2 1)
2
x x x
− < +
2)(1 điểm) Giải phương trình :
1
3 2.3 5 0
x x
−
+ − =

3)(1 điểm) CMR:
2 2
1 cos ; (0; )

2
x x x
π
− < ∀ ∈
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2009-2010
MÔN : TOÁN– LỚP 12
BÀI CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I 1
Hàm số : y= x
3
+3x
2
+1
+TXĐ : D=R
+Sự biến thiên :
Giới hạn :
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên :
= +
/ 2
3 6y x x

/
0
0
2

x
y
x
=

= ⇔

= −


BBT x
−∞
-2 0
+∞


y
/
+ 0 - 0 +
5
+∞
y CĐ CT

−∞
1
hàm số đồng biến trên :
( )
−∞ −; 2
và
( )

+∞0;
hàm số nghòch biến trên :
( )
−2;0

-Hàm số đạt cực đại tại x= -2 ,
=
CĐ
5y
-Hàm số đạt cực tiểu tại x= 0,
=
CT
1y

+Đồ thò
Gđ với Ox :
Gđ với Oy :(0 ;1)
điểm uốn -
= +
//
6 6y x
-
//
0 1y x= ⇔ = −
Xét dấu
//
y
: x
−∞
-1

+∞

y
’’
- 0 +

⇒
điểm uốn
( )
−1;3I


-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
1
-1

0

Nhận xét : Đồ thò hàm số nhận điểm uốn
( )
−1;3I
làm tâm đối xứng

0,25
0,25
0,25





0,25





0,25










0,25đ
0,5
2
Ta có x
3
+3x
2
+m =0
⇔
x
3
+3x
2
+1 =1-m .
Số nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của hai đồ thò hàm số y= x
3
+3x
2
+1 và
y=1-m
*
0
1 1
4
1 5
m
m
m
m

>
é - <
é
ê
ê
Û
ê
ê
< -
- >
ê
ê
ë
ë
pt có 1 nghiệm
*
0
1 1
4
1 5
m
m
m
m
=
é - =
é
ê
ê
Û

ê
ê
= -
- =
ê
ê
ë
ë
pt có 2 nghiệm
0,25





0,25
0,25

* 1< 1-m < 5
⇔
-4 < m < 0 pt có 3 nghiệm 0,25
II
2
'
2 2
4x x 4x 3
y 1
x 3 x 3
- +
= - =

+ +
[ ]
'
x 1
y 0
x 3 0;2
é
=
ê
= Û
ê
= Ï
ê
ë
f(0)= -2 ln3 ;f(1)= 1 - 4 ln2 ;f(2) =2 -2ln7
[ ] [ ]
∈ ∈
= = − = = −
x 0;2 x 0;2
max y f(1) 1 4 ln 2 ; min y f(0) 2 ln 3
0,25
0,25
0,25
0,25
III Hình vẽ đúng giải được câu a
60
0
A D
B
C

S
M
Q
N
P
0,5
a
XĐ được góc giữa đường thẳng SC và mp đáy là
·
0
SCA 60=
V
SABCD
=
1
.
3
S SA
ABCD
Tính được SA=
a 6

2
=S a
ABCD
⇒
V
SABCD
=
3

a 6
0,25
0,25
0.25
0,25
b
Sxq = 2 πRh
CM:MNPQ là hình vuông
Tính được MP=
SM.AC a 6 x
SA 3
-
=
, R =
MP a 6 x
2 2 3
-
=
; h=AM=x
Sxq =
(a 6 x)x
3
p
-
Sxq lớn nhất ⇔ x.(
a 6
-x) lớn nhất ⇔ x =
a 6
2

⇔
M là trung điểm của SA
0,25
0,5





0,25
0,5
IV
1
- Biến đổi được: A =
2
4
1
log 3
log 5 3
2
16.16 4 .4+
- Biến đổi được: A = 16.5
2
+ 3.4
3
- Tính đúng : A = 592
0,25
0,5
0,25
2

2
1
1
x mx
y
x
+ -
=
-
TXĐ: D=R\
{ }
1
,
- + -
=
-
2
'
2
2 1
( 1)
x x m
y
x
hàm số có cực đại ,cực tiểu nằm cùng phía so với Ox
⇔
ì
ï
=
ï

í
ï
ï
ỵ
'
0 ã 2 nghiƯm ph©n biƯt
y=0 ã 2 nghiƯm ph©n biƯt
y c
c

0,25
0,25
⇔
ì
ï
= - + - = ¹
ï
í
ï
+ - = ¹
ï
ỵ
2
2
g(x) x 2x 1 m 0cã 2 nghiƯm ph©n biƯt 1
h(x)=x mx 1 0cã 2 nghiƯm ph©n biƯt 1

⇔
ì
ï

D = >
ï
ï
ï
=- ¹
ï
ï
í
ï
D + >
ï
ï
ï
ï
= ¹
ï
ỵ
'
2
g m 0
g(1) m 0
h =m 4 0
h(1) m 0
⇔
m>0
0,25
0,25
3 + Lấy lôgaríc cùng cơ số e hai vế của (1) :
2
1

ln ln
x
x
y
x
 
+
=
 ÷
 ÷
 
( )
 
= + −
 
 
2
1
ln 1 ln (2)
2
x x x

+Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta được :
( )
/
2
2
1 1
ln 1 ln
2 1

y x
x x x
y x x
   
= + − + −
 ÷
 
+
   
2 2
/
2
1 1 1
ln
1
x
x x
y
x x x
 
   
+ +
 
⇔ = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
 
   
 

0,25
0,5
0,25
V
1 ĐK:x >0
2 2
2 4 2 2 2
2 2
1
log (3 ) log (3 ) log (2 1) log (3 ) log (2 1)
2
1
3 2 1 2 3 1 0
1
2
x x x x x
x
x x x x
x
− < + ⇔ < +
>


⇔ < + ⇔ − + > ⇔

<

Đối chiếu với đk ta được tập nghiệm của bất phương trình là T=
1

(0; ) (1; )
2
È +¥
0,25
0,25
0,25
0,25
2
b)
1
3 2.3 5 0
x x−
+ − =
2
3
3 2. 5 0 (3 ) 5.3 6 0
3
x x x
x
⇔ + − = ⇔ − + =
Đặt t=3
x
, t > 0. Phương trình trở thành
2
3
5 6 0
2
t
t t
t

=

− + = ⇔

=

Với t=3, ta có 3
x
=3 ⇔ x=1
Với t=2, ta có 3
x
=2 ⇔ x=
3
log 2
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là T=
{ }
3
1;log 2
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Xét hs:
2 2
( ) cos 1; 0,
2
f x x x x
π

 
= + − ∈
÷

 
Cm
p
ỉ ư
÷
ç
> " Ỵ
÷
ç
÷
ç
è ø
'
y 0 x 0;
2

Hs liên tục trên
0,
2
π
 
÷

 

⇒

f(x) đồng biến /
0,
2
π
 
÷

 
CM:x > 0
⇒
f(x) > f(0)
⇒
đpcm.
0,25
0,25
0,25
0,25