Phát triển năng lực giải toán đại số tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ
TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC


Thái Nguyên, năm 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ
TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Giáo viên hướng dẫn: TS Đỗ Thị Trinh

3


Thái Nguyên, năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Chúng tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Đỗ Thị Trinh
đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học để chúng tôi hoàn thành đề tài.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ
phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên,
đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn
thiện đề tài
Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm khoa cùng các
thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Ban giám
hiệu cùng các thầy cô giáo trường THPT Đồng Hỷ, THPT Hiệp Hòa 3 – Bắc
Giang đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Chúng tôi xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.
Xin chân thành sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong và nhận
được và biết ơn các ý kiến đóng góp của thầy, cô giáo và bạn bè.
Thái Nguyên, tháng 03 năn 2015
Sinh viên

4


MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ.....................................................................................................i
Lời cảm ơn........................................................................................................ii
Mục lục............................................................................................................iii
Bảng các kí hiệu viết tắt....................................................................................v

5

BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

Các kí hiệu viết tắt

Giải nghĩa

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

ĐK

Điều kiện

BPT

Bất phương trình

VT

Vế trái

VP

Vế phải

ĐPCM

Điều phải chứng minh

BĐT

Bất đẳng thức

THPT

Trung học phổ thông

6


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trải qua hơn 20 năm đổi mới, nền giáo dục nước ta đã có những thay
đổi đáng kể. Tuy nhiên, để tiếp tục đẩy mạnh toàn diện công cuộc đổi mới,
nước ta phải thực hiện công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước gắn với việc
phát triển nền tri thức, tích cực chủ động tham gia học hỏi, hội nhập với nền
tri thức thế giới để đến năm 2020 nước ta trở thành nước công nghiệp theo
hướng hiện đại.
Những vấn đề trên đã đặt ra cho giáo dục và đào tạo nước nhà những
yêu cầu, nhiệm vụ, thách thức mới. Đào tạo nguồn nhân lực có trình độ đáp
ứng yêu cầu phát triển kinh tế tri thức đang là một dấu hỏi lớn cho ngành giáo
dục nói riêng và toàn Đảng toàn dân nói chung. Điều này đòi hỏi phải có định
hướng phát triển, có tầm nhìn chiến lược ổn định lâu dài cùng những phương
pháp, hình thức tổ chức và quản lí giáo dục, đào tạo cho phù hợp.

Trong Luật giáo dục Việt Nam, năm 2005, ở điều 24 khoản 2 đã viết:
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo cho học sinh, phù hợp với từng lớp học, môn học, cần phải bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; cần phải đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất
quan trọng. Bởi vì Toán học là môn học cơ bản và là công cụ để học nhiều
môn học khác. Môn Toán có vai trò to lớn giúp HS phát triển năng lực, phẩm
chất, trí tuệ và rèn luyện cho HS óc sáng tạo, năng lực lập luận, chứng minh,
tư duy logic; giúp HS hình thành và phát triển những phương pháp, phương
thức tư duy và hoạt động.
Bài tập toán, đặc biệt là những bài khó và hay thì trong quá trình tìm
tòi cách giải có tác dụng giúp HS phát triển tư duy, rèn luyện khả năng suy
luận, diễn đạt rõ ràng, chính xác, lập luận chặt chẽ và logic.

7


Thông qua việc giải bài tập HS phải thực hiện những hoạt động nhất
định đó là: hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến, hoạt
động trí tuệ chung, hoạt động ngôn ngữ. Việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các
hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp
HS tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải
quyết các tình huống trong thực tiễn và khoa học.
Lí thuyết Đại số tổ hợp là ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng
trong các lĩnh vực, được ứng dụng một cách rộng rãi và phong phú trong đời
sống hàng ngày. Tuy nhiên trong chương trình Toán phổ thông, Đại số tổ hợp
luôn được đánh giá là một môn khó, HS thường không hiểu một cách chính
xác về các mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn
ngữ GV khó có thể diễn đạt một cách đầy đủ để HS hiểu cặn kẽ vấn đề.

Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lí học, phương pháp dạy học… đã
khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kĩ năng trong dạy học môn
Toán nói chung và dạy học Đại số tổ hợp nói riêng cho HS. Kiến thức và kĩ
năng về chủ đề này có tầm quan trọng to lớn đối với các lĩnh vực khác.
Chính vì những lí do trên nên chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng
lực giải toán Đại số tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề phát triển năng lực giải toán cho HS THPT,
từ đó đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực giải toán
cho HS thông qua dạy học nội dung Đại số tổ hợp ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu và làm rõ một số vấn đề về việc phát triển năng lực giải
toán cho HS.
- Tìm hiểu thực trạng việc dạy và học chủ đề Đại số tổ hợp ở một số
trường THPT, từ đó xem xét và đánh giá vấn đề phát triển năng lực giải
toán cho HS thông qua chủ đề Đại số tổ hợp.
- Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực giải toán Đại số
tổ hợp cho HS.

8


4. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp với quá trình dạy
học chủ đề Đại số tổ hợp cho HS thì sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán,
phát triển tư duy và nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này ở trường THPT
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu có liên
quan đến phương pháp dạy học môn Toán, chủ đề Đại số tổ hợp, phát triển
năng lực giải toán cho HS và các tài liệu khác liên quan đến đề tài, …

- Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, phỏng vấn, phát phiếu điều tra,
thu thập ý kiến GV, HS ở các trường THPT trong dạy học chủ đề Đại số tổ
hợp.
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần “ Mở đầu ” và “ Kết thúc”, nội dung của đề tài được trình
bày trong 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Một số biện pháp nhằm phát triển năng lực giải toán Đại số
tổ hợp cho HS THPT.

9


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lý luận về dạy học giải bài Toán
1.1.1. Mục đích, vị trí, vai trò của bài tập Toán
G. Polya cho rằng [11]:“ Trong Toán học, nắm vững bộ môn Toán
quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung
nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy, cả trong trường trung học cũng
như các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những
kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ
nào đó nắm vững môn học. Vậy thế nào là nắm vững môn học? Đó là biết
giải toán!”. Trên cơ sở đó, ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, chức năng,
vai trò, ý nghĩa của bài tập toán ở trường THPT.
1.1.1.1. Mục đích
Để đào tạo những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hội ngày nay,
đó là những con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trí
tuệ, có khả năng lao động kĩ thuật cao… trong các trường THPT đã đặt ra
nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo.

Toán học có vai trò to lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công
nghệ hiện đại. Kiến thức Toán học là công cụ để HS học tập tốt các môn học
khác, giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Vì vậy, trong dạy
Toán nói chung, giải bài tập toán nói riêng cần xác định những mục đích cụ
thể, sát thực. Có thể thấy một số mục đích của bài tập ở trường phổ thông
hiện nay là:
- Phát triển ở HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biết
những tri thức khoa học của nhân loại và tiếp thu thành kiến thức của bản
thân, thành công cụ nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt
động cũng như trong học tập hiện nay và sau này.

10


- Làm cho HS từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc, có
hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, phù hợp với
thực tiễn và có năng lực vận dụng tri thức đó vào những tình huống cụ thể,
vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập và các bộ môn khoa học
khác.
- Thông qua việc giải bài tập, HS khắc sâu các kiến thức đã học, biết
xâu chuỗi các kiến thức với nhau. Ngoài ra, việc giải bài tập còn kích thích sự
tìm tòi, sáng tạo các kiến thức mới đối với HS. Qua đó rèn luyện tư duy logic,
sáng tạo, tính kiên trì, chịu khó, cần cù ở HS.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất
của người lao động mới.
1.1.1.2. Vị trí và vai trò của giải bài tập Toán
Trong dạy học Toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng
quan trọng, theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim [5]: “ Ở trường phổ thông, dạy
toán là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức
chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài tập toán ở trường THPT là một

phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS hình
thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải
Toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ Toán học ở trường phổ
thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò
quyết định đối với chất lượng dạy học Toán”.
Cũng theo GS.TS KH Nguyễn Bá Kim[5; tr.386] : “ Bài tập toán có
vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều quan trọng là bài tập có vai trò là
giá mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện
những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng, thể hiện định lý, quy tắc
hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí
tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt
động ngôn ngữ”.

11


Như vậy, bài tập Toán có vị trí, vai trò quan trọng trong dạy học và học
ở trường phổ thông. Vì vậy cần lựa chọn các bài tập toán sao cho phù hợp với
đối tượng và năng lực của HS, như thế mới phát huy được năng lực giải toán
của HS.
1.1.1.3. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán. Đối với HS có
thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải
toán có nhiều ý nghĩa. Cụ thể:
- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức
và rèn luyện kỹ năng. Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức rất
tốt để dẫn dắt HS tự mình đi tìm hiểu kiến thức mới.
- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn
đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới.
- Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho HS, phát

triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện cho HS về nhiều mặt.
1.1.2. Chức năng của bài tập toán
Ở một số nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền
thống của SGK thường có hai phần riêng biệt: Phần lý thuyết và tiếp sau đó là
phần bài tập. Ngay trong phần lý thuyết (định nghĩa, định lý, công thức, … )
chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bài tập áp
dụng. Dạy học các kiến thức lý thuyết luôn đóng vai trò trung tâm.
Cấu trúc này tương thích với mô hình dạy học truyền thống, theo đó
GV thường truyền thụ kiến thức trực tiếp cho HS, cho một vài ví dụ minh họa
và yêu cầu HS làm bài tập ứng dụng theo đúng mẫu mà GV đã trình bày. Nói
cách khác đây là “ kiểu cầm tay chỉ việc”.
Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm
khuyết, đồng nhất bài toán với bài tập và từ đó bó hẹp chức năng của các bài
toán, chỉ là: củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, kĩ
xảo hay kiểm tra kiến thức của HS.
12


Tuy nhiên những nghiên cứu khoa học về lịch sử Toán học đã chỉ rõ
ràng rằng: hầu hết các khái niệm và lý thuyết Toán học thường nảy sinh từ
nhu cầu giải quyết các bài toán trong thực tế cuộc sống, trong nội bộ Toán
học hay trong các ngành khoa học khác. Nói cách khác, tri thức Toán học
không phải có sẵn mà được xây dựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán.
Như vậy, quan hệ thứ tự kiến thức lý thuyết và bài toán không còn là :
Kiến thức lý thuyết → Bài tập áp dụng.
Mà chủ yếu là:
Bài toán→ Kiến thức áp dụng→ Bài toán mới
Những nghiên cứu tâm lý học đã cho thấy: Việc học tập chỉ thực sự nảy
sinh trong sự tác động qua lại của chủ thể (người học ) với môi trường, trong
đó người học thấy được nhu cầu giải quyết các bài toán.

Từ đó quan điểm hiện đại về dạy học Toán học đang được áp dụng trên
nhiều nước hiện nay là: Tập trung dạy học Toán trên hoạt động của HS (phù hợp
với quan điểm dạy Toán là dạy học hoạt động Toán học). Chính HS tự mình xây
dựng các kiến thức Toán học thông qua hoạt động giải các bài toán. Nói cách
khác, giải các bài Toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học.
1.1.3. Phương pháp chung giải bài tập toán theo tư tưởng G.Polya
1.1.3.1. Phương pháp giải toán
Phương pháp: Là con đường, cách thức thực hiện một nhiệm vụ nào đó,
nhằm đạt tới kết quả, đạt được mục đích đặt ra.
Phương pháp giải toán (hay phương pháp tìm tòi lời giải bài toán) là
cách thức và cách ứng xử của người làm Toán khi đứng trước một bài toán để
gây nên những hoạt động tư duy của bản thân nhằm tìm ra lời giải bài toán
đó.
Những hoạt động tư duy bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương
tự, quy nạp, phân tích, tổng hợp, so sánh,… đặc biệt là suy luận có lý.
1.1.3.2. Phương pháp giải bài tập Toán theo tư tưởng G.Polya

13


Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.Polya về cách thức giải một bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, GS.TSKH Nguyễn Bá Kim [5] đã nêu lên phương pháp chung để
giải một bài toán như sau:
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài Toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu hình vẽ để minh họa hỗ trợ cho việc
diễn tả đề bài. Kỹ năng tìm định hướng lời giải thể hiện rõ nét nhất trong

bước này.
Theo G.Polya, người giải toán phải tìm hiểu kỹ nội dung đề bài để tìm
hiểu: Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều
kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Phải
hiểu rõ nội dung bài toán người học mới có khả năng vận dụng các tri thức
Toán học vào việc định hướng lời giải của bài toán. Cụ thể là khả năng nắm
bắt và vận dụng những tri thức lí thuyết như các khái niệm, định nghĩa, tính
chất, mệnh đề, định lý và hệ quả đã tích lũy được vào việc định hướng lời giải
bài toán.
Như vậy khi phân tích bài toán và các dữ kiện trong bài toán, người học
có thể xác định được các kiến thức sinh ra bài toán. Từ đó xác định các kiến
thức liên quan để có thể vận dụng giải bài toán cũng như xác định được các
thao tác kỹ năng cần sử dụng khi định hướng giải bài toán để có được hướng
đi tốt nhất cho lời giải.
 Bước 2: Tìm cách giải.
- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh. Liên hệ cái đã
cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với

14


một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liên
quan. Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng
minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích.
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được. Đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan.
- Tìm tòi những cách giải khác. So sánh chúng để chọn được cách giải
hợp lí nhất.
Trong bước tìm cách giải, việc định hướng tìm lời giải thể hiện ở khả

năng nắm bắt và vận dụng các thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán
đã được tích lũy để tìm ra cách giải bài toán. Tìm cách giải là bước có tác
dụng trực tiếp đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS.
Việc định hướng tìm lời giải bài toán được thấy rõ khi HS đã định
hướng được các kiến thức liên quan đến bài toán. Tiếp theo đó, HS sẽ định
hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải bài toán.
Việc xác định hướng đi cụ thể của bài toán giúp cho lời giải được thể
hiện rõ ràng hơn. Đây là một kỹ năng không thể thiếu vì nếu không định
hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải thì HS sẽ không thể đi đến lời
giải bài toán dù rằng HS đã định hướng được chính xác. Nhờ việc xem xét
hướng đi trước mà có thể giải toán bằng nhiều cách khác nhau, các cách giải
đặc trưng, các khả năng về kết quả. Mặt khác, đối với những bài toán mà việc
tìm đường lối giải không khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thì cái khó lại chủ yếu
thuộc về kỹ năng thuật giải. Do vậy việc nắm bắt và vận dụng những thao tác
kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được tích lũy vào việc định hướng
lời giải, đòi hỏi người giải toán không ít sự sáng tạo trong quá trình hoạt động
của mình. Sự sáng tạo nói trên còn thể hiện ở việc HS biết chọn thao tác kỹ
thuật nhanh nhất, hiệu quả nhất để xây dựng chi tiết việc tiến hành giải và thể
hiện lời giải tối ưu.

15


Một bài toán thông thường không chỉ có duy nhất một cách giải. Vì thế,
sau khi đã tìm được lời giải ta có thể định hướng để tìm tòi các cách giải khác.
Từ đó, so sánh các cách giải để tìm được cách giải tối ưu. Điều này sẽ giúp
HS nâng cao khả năng hiểu và vận dụng các kiến thức, kỹ năng khác nhau
trong giải một bài toán, giúp HS mở rộng tầm nhìn về toàn bộ hệ thống kiến
thức của bài toán, củng cố khả năng nắm vững các quan hệ ẩn tàng bên trong
các kiến thức kỹ năng khác nhau kiên quan đến bài toán.

 Bước 3: Trình bày lời giải
- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước
đó. Khả năng trình bày và hoàn thiện lời giải bài toán thể hiện ở khả năng sử
dụng ngôn ngữ, kí hiệu và các lập luận toán học nhằm đưa ra một lời giải
chính xác của bài toán. Thông thường quá trình suy nghĩ tìm tòi lời giải của
bài toán là quá trình “phân tích đi lên”, trong khi đó việc trình bày lời giải của
bài toán lại là quá trình “phân tích đi xuống”.
Thực tế cho thấy có nhiều HS mặc dù đã hiểu và nghĩ ra lời giải của bài
tập nhưng không thể trình bày và hoàn thiện chính xác lời giải đó. Điều đó
ảnh hưởng lớn tới kỹ năng giải toán của HS.
Như vậy việc rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải, nghiên cứu cách
trình bày lời giải những bài toán tương tự không những giúp HS định hướng
được cách trình bày lời giải mà còn giúp HS biết biết chọn ra cách giải nhanh
nhất, lời giải hay nhất và cách giải sáng tạo nhất.
Mặt khác khi xem xét tổng thể tất cả các lời giải khác nhau của bài
toán, HS có cách nhìn sâu sắc hơn về bài toán. Đồng thời HS tự nâng cao khả
năng giải toán của bản thân, bổ sung những kinh nghiệm hữu ích trong học và
giải bài tập. Khả năng trình bày lời giải thể hiện việc đảm bảo yêu cầu chung
của một lời giải, đó là: ngôn ngữ kí hiệu rõ ràng, chính xác, quy tắc suy luận
đúng, các bước suy luận hợp logic, cách trình bày ngắn gọn, đầy đủ không

16


thừa mà cũng không thiếu. Kết quả đúng kể cả các bước trung gian, lập luận
chặt chẽ, luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp
logic, lời giải đầy đủ, ngôn ngữ chính xác, trình bày rõ ràng đảm bảo mỹ
thuật, trình bày nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất, nghiên
cứu tình bày lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự.
Các kiến thức kỹ năng liên quan tới các bài tập đã cho luôn có quan hệ
với nhau và chúng tạo nên cơ sở tìm ra bài tập mới. Việc tìm bài toán liên
quan cần vận dụng thường xuyên khi giải bài tập. Vì khi giải một bài toán nào
đó thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: bài toán này có quan hệ gián tiếp
với kiến thức nào hay loại bài nào đó hay không? Trên cơ sở đó hoặc là quy
bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng
những kiến thức liên quan để giải bài toán đã cho. Từ đó cũng góp phần rèn
luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán cho các bài toán tiếp theo.
Việc rèn luyện khả năng sáng tạo các bài toán mới là một yêu cầu cần thiết
(tuy không dễ) nhưng rất bổ ích.
1.2. Lý luận về năng lực giải toán cho học sinh
1.2.1. Năng lực, năng lực giải toán
1.2.1.1. Năng lực
Đã có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực và do vậy, cũng có nhiều
khái niệm khác nhau. Có thể xem xét khái niệm năng lực từ nhiều phương
diện khác nhau.
Theo từ điển Tiếng Việt [10]: Năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tự
nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; là phẩm chất tâm lý và sinh
lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất
lượng cao. Nói cách khác: “Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của
17


con người đáp ứng được yêu cầu của một loạt hoạt động nhất định và là điều
kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó”[7-tr.87].
Tác giả Phạm Minh Hạc [4] cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp tâm lý
của một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết

quả của một hoạt động nào đấy”.
A.G.Côvaliôp cho rằng: “Năng lực là một tập hợp hoặc tổng hợp
những thuộc tính của cá nhân con người, đáp ứng những yêu cầu lao động và
đảm bảo cho hoạt động đạt được những kết quả cao” [theo 2].
Theo Xavier Roegiers [18]: “Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác
động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trước
để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra”.
Năng lực là một tổ hợp thuộc tính tâm lý phức tạp, là điểm hội tụ của
nhiều yếu tố: tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, sự sẵn sàng hành động và
trách nhiệm đạo đức*.
Như vậy, năng lực là một vấn đề trừu tượng của Tâm lý học, là hệ
thống những thuộc tính cá nhân của mỗi người, là khả năng hoàn thành tốt
một hoạt động nào đó của một cá nhân, là một tổ hợp thuộc tính tâm lí phức
hợp gồm kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và nghệ thuật cũng như thái độ của
chủ thể đối với đối tượng trong quá trình hoạt động.
Năng lực được hiểu theo hai hướng:
Thứ nhất: là năng lực hoạt động sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu
toán học với tư cách là khoa học. Người có năng lực sáng tạo toán học sẽ
cống hiến cho nhân loại những công trình toán học đầy ý nghĩa đối với hoạt
động thực tiễn của con người và đối với sự phát triển của khoa học toán học.
Thứ hai: là năng lực trong học tập, trong việc nắm vững các khái
niệm, định lí, quy tắc, hệ quả toán học với tư cách là môn học. Ở đây nguời
** Theo sách Lý luận dạy học hiện đại của tác giả Prof Bernd Meier thuộc CHLB Đức

18


học có năng lực học toán sẽ nhanh nhạy trong việc tiếp thu các kiến thức toán
học và thực hiện thành thạo các kĩ năng, kĩ xảo tương ứng. Có thể khẳng định
có năng lực toán học là điều kiện cần của năng lực sáng tạo toán học. Bởi vì

năng lực sáng tạo toán học có thể xuất phát từ việc tạo lập ra một định nghĩa
mới hay một định lí mới, nó hoàn toàn khác so với năng lực hiểu được những
định lí toán học đã được chứng minh và thừa nhận trước đó.
Tâm lí chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và
năng lực chuyên môn.năng lực được chia thành 3 mức độ: năng lực, tài năng
và thiên tài.
Theo A.N.Kômôgôrôp, trong thành phần của những năng lực toán học
gồm:
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực
tìm được con đường giải các phương trình không theo các quy tắc chuẩn hoặc
như các nhà toán học quen gọi các năng lực tính toán hay năng lực
“angôritmic”.
- Trí tưởng tượng hình học hay là “trực giác hình học”.
Tóm lại năng lực Toán học gắn liền với hoạt động trí tuệ của HS, giúp
HS nắm vững và vận dụng tốt tri thức, kĩ năng và kĩ xảo của mình trong học
tập môn Toán.
1.2.1.2. Năng lực giải toán
Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải
quyết một vấn đề có tính định hướng cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy
tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả sau một số bước thực hiện.
Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó
nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết
quả cao hơn, tốt hơn so với trình độ trung bình của người khác cũng tiến hành
hoạt động giải toán trong những điều kiện và hoạt động tương đương.
Trên cơ sở tán đồng thuyết đa trí tuệ do Gardner đề xướng và lí
thuyết tương tác văn hóa xã hội của Vư-gốt-x-ki và các nghiên cứu của
19


Korutecski có thể coi những năng lực sau đây là những năng lực toán học phổ

thông cần hướng tới:
+ Năng lực thu nhận thông tin toán học: năng lực tri giác hình thức hóa tàì
liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thành cấu trúc bài toán.
+ Chế biến thông tin toán học:
- Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không
gian, hệ thống kí hiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học.
- Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán
học và các phép toán.
- Năng lực rút gọn qua suy luận toán học và hệ thống các phép toán
tương ứng. năng lực tư duy bằng các cấu trúc.
+ Lưu trữ thông tin toán học:
Trí nhớ toán học(trí nhớ khái quát về: quan hệ toán học, đặc điểm về
loại, sơ đồ suy luận và chứng minh, phương pháp giải toán, nguyên tắc,
đường lối giải toán).
+ Năng lực vận dụng toán học vào giải quyết vấn đề:
- Năng lực vận dụng tri thức Toán (chủ yếu là tri thức chuẩn) như công
cụ trong học tập.
- Năng lực giải một số bài toán có tính thực tiễn điển hình.
- Năng lực vận dụng tri thức Toán, phương pháp tư duy toán vào thực tiễn.
- Khả năng toán học hóa các tình huống rút gọn chính là khả năng giải
quyết các bài toán hay nói một cách chính xác là khả năng giải quyêt tình
huống trong toán bao gồm các dạng bài đã có mô-tip giải, các dạng chưa có
hoặc phải biến đổi, vận dụng các kiến thức khác. Đây là yếu tố bộc lộ sự nhanh
nhẹn, sáng tạo, linh hoạt, mềm dẻo, biết khai thác đối với bài toán của HS.
1.2.2. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh
Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực giải toán. Vậy để
phát triển năng lực giải toán cho HS chúng ta cần phải làm gì ?
Để phát triển năng lực giải toán cho HS chúng ta cần làm những việc sau:
20

Thứ nhất, cần trang bị tri thức kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng
toán học:
Ta biết môn Toán cần cung cấp cho HS những kiến thức, kĩ năng,
phương pháp Toán học phổ thông cơ bản, thiết thực (chương trình Giáo dục
học năm 2002,tr.2 và tr.6).
HS kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các
mục tiêu về các phương diện khác. Để đạt được mục tiêu quan trọng này môn
Toán cần trang bị cho HS một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng,
phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn Việt Nam,
theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp; đồng thời bồi dưỡng cho họ khả
năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác,
vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật.
Thứ hai, cần phát triển năng lực trí tuệ cho HS:
Môn Toán cần góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,
hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống
(chương trình giáo dục học năm 2002, tr.2 và tr.6).
Môn Toán có khả năng góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho HS.
Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế
hoạch chứ không phải là tự phát. Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý thức
đầy đủ về các mặt sau:
+ Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác.
+ Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng.
+ Rèn luyện những trí tuệ cơ bản.
+ Những phẩm chất trí tuệ (tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng
tạo…)
Thứ ba, cần giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao
động khoa học:

21

Môn Toán cần góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong
cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học
thường xuyên(chương trình gáo dục học năm 2002,tr.2 và tr.26).
Để thực hiện mục tiêu này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp
phần bồi dưỡng cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho họ
những phẩm chất và phong cách lao động khoa học trong học tập như làm
viêc có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kiểm tra, tính cẩn thận, kỉ
luật, chính xác, có óc thẩm mĩ…
Thứ tư, tạo cơ sở để HS tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.
1.3. Thực trạng dạy học chủ đề Đại số tổ hợp ở trường THPT
1.3.1. Nội dung dạy - học chủ đề Đại số tổ hợp
1.3.1.1. Nhắc lại về tập hợp
Lý thuyết tập hợp là ngành Toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù
bất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, lý thuyết tập hợp
được dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toán học.
Theo Bách khoa toàn thư mở Widipedia: “Trong toán học, tập hợp có
thể hiểu tổng quát là một sự tụ tập của một số hữu hạn hay vô hạn của các
đối tượng nào đó. Người ta khẳng định đối tượng này được gọi là các phần tử
của tập hợp. Tập hợp là một khái niệm nền tảng và quan trọng của toán học
hiện đại. Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp là lý thuyết tập hợp”.
Trong lý thuyết tập hợp, người ta xem tập hợp là một khái niệm nguyên
thủy, không định nghĩa. Nó tồn tại theo các tiên đề được xây dựng một cách
chặt chẽ. Khái niệm tập hợp là nền tảng để xây dựng các khái niệm khác
như số, hình, hàm số... trong toán học.
Nếu a là phần tử của tập hợp A, ta ký hiệu a A. Khi đó ta cũng nói rằng
phần tử a thuộc tập hợp A.
Một tập hợp có thể là một phần tử của một tập hợp khác. Tập hợp mà
mỗi phần tử của nó là một tập hợp còn được gọi là họ tập hợp.

22


Lý thuyết tập hợp cũng thừa nhận có một tập hợp không chứa phần tử
nào, được gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là . Các tập hợp có chứa ít nhất một
phần tử được gọi là tập hợp không rỗng.
Ngày nay, một phần của lý thuyết tập hợp đã được nhiều nước đưa
vào giáo dục phổ thông, thậm chí ngay từ bậc tiểu học.

Hình ảnh của tập hợp
a. Biểu diễn tập hợp
Không phải mọi tập hợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự nào
đó. Chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng mà nhờ chúng có
thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không. Có thể
biểu diễn tập hợp theo một số cách sau:
Cách 1:Tập hợp có thể được xác định bằng lời:
Ví dụ 1.1: A là tập hợp bốn số nguyên dương đầu tiên.
B là tập hợp các màu trên quốc kỳ Việt Nam.
Cách 2: Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của
chúng giữa cặp dấu { }.
Ví dụ 1.2: C= {4, 2, 1, 3}
D = {Đ;O;T;R;A;N;G;X;H}

23


Cách 3: Các tập hợp có nhiều phần tử có thể liệt kê một số phần tử.
Ví dụ 1.3: Tập hợp 1000 số tự nhiên đầu tiên có thể liệt kê như sau: {0, 1, 2,
3,..., 999},

Tập các số tự nhiên chẵn có thể liệt kê: {2, 4, 6, 8,... }.
Tập hợp F của 20 số chính phương đầu tiên có thể cho như sau:
F = { n2 n là số nguyên và 0 ≤ n ≤ 19}
b. Quan hệ giữa các tập hợp
* Quan hệ bao hàm
Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập
hợp B thì tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B, ký hiệu là A

B,

và tập hợp B bao hàm tập hợp A.

Quan hệ bao hàm: A B
Quan hệ A B còn được gọi là quan hệ bao hàm. Quan hệ bao hàm là
một quan hệ thứ tự trên các tập.
Ví dụ 1.4:
: Tập hợp số tự nhiên
: Tập hợp số nguyên
: Tập hợp số hữu tỉ
= : Tập hợp số vô tỉ
: Tập hợp số thực
Ta có:

24


Các tập hợp số
* Quan hệ bằng nhau
Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B
và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B.

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là
tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là
rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu
tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A
không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự hay tập con chân chính của
tập A.
c. Các phép toán trên tập hợp
Các định nghĩa:
Hợp: Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất
một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A B

Ta có A B = {x | x A hoặc x B}
Giao : Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa
thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A B

25