SKKN rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT thông qua việc dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan

DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀI
Viết tắt
BĐT
ĐPCM
GV
HS
CMR
PPCT
PPGD
SGK
SKKN
THPT
THTT

Viết đầy đủ
Bất đẳng thức
Điều phải chứng minh
Giáo viên
Học sinh
Chứng minh rằng
Phân phối chương trình
Phương pháp giáo dục
Sách giáo khoa
Sáng kiến kinh nghiệm
Trung học phổ thông
Toán học tuổi trẻ

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Luật Giáo dục sửa đổi của nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam ban
hành ngày 27/6/2015 điều 2.4 đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc
1


điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh”. Như vậy, cốt lõi của việc đổi mới PPDH các
môn học nói chung và môn Toán ở trường THPT nói riêng là làm cho HS học
tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Phải làm sao trong
mỗi tiết học HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều
hơn. Và sau một thời gian thực hiện chúng ta thấy rằng quan điểm về hướng đổi mới
PPDH đã và đang khẳng định được tính đúng đắn và rất cần thiết với thời kì
hiện nay của đất nước và càng thấy cấp thiết hơn đối với kì thi THPT quốc gia
lần đầu tiên được tổ chức trong năm học này.
Trong dạy học môn Toán, tư duy sáng tạo của HS phần lớn được hình
thành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này HS
phải hoạt động tích cực để tìm tòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới cho bản
thân. Cơ sở để HS hoạt động chính là vốn tri thức và kinh nghiệm mà bản thân
các em đã có, đã tích luỹ được.
Và trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho
rằng: “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài
toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất
quen thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, G.Polya đã nói rằng: “Thật khó mà đề ra
được một bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có
một điểm nào chung với một bài toán trước đó đã giải”. Trong thực tiễn giảng
dạy cho thấy, việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không phải là quá khó,
nhưng việc vận dụng chúng vào các bài toán có liên quan mới là điều thú vị.
Nếu GV không biết khơi dậy ở HS óc tò mò, sự tìm tòi khám phá những gì ẩn
sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy học trở nên rất
đơn điệu, tẻ nhạt. Do vậy, điều quan trọng là với mỗi bài toán, GV nên giúp HS

tìm được nhiều cách giải khác nhau và tạo cho HS thói quen khắc sâu bài toán
đã học để xây dựng được chuỗi bài toán có liên quan từ dễ đến khó một cách có
hệ thống giúp HS dễ dàng áp dụng khi cần thiết và các em có cơ hội đào sâu
kiến thức, kiến tạo nên một số bài toán mới, rèn luyện được năng lực tư duy
sáng tạo.
Với riêng chương trình môn toán lớp 10, đây là chương trình đầu tiên của
cấp THPT, nhiều kiến thức mới được đưa ra (như khái niệm véc tơ, phương
trình tổng quát của đường thẳng, đường tròn...) làm cho HS thường khó khăn khi
tiếp cận. Bởi vậy cần thiết phải giúp HS liên hệ những kiến thức mới với kiến
thức đã học, đặt HS luôn phải tư duy để lĩnh hội cái mới từ những cái tương tự
đơn giản hơn. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là:
“Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 THPT thông qua việc dạy
học theo hướng phát hiện và vận dụng bài toán gốc có liên quan”

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của đề tài.
1.1. Đổi mới phương pháp giáo dục .
Về PPGD, điều 4, luật GD 2003 quy định:
2


“ PPGD phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của
người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Trong hoạt động dạy toán ở trường THPT, rèn tư duy cho HS là giúp cho HS có
khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bàì toán nêu ra và cao hơn nữa là
tư duy sáng tạo ra các bài toán mới trên nền tảng kiến thức đã tích lũy được.
Về cách dạy, phương pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh. Xem đó như là động lực để phát huy tính tự giác,
tích cực, chủ động trong quá trình học tập của HS, đặc biệt là niềm vui, hứng thú
của một người tự mình tìm ra chân lí. "Nếu học sinh được độc lập quan sát, so

sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tượng thì các em sẽ hiểu sâu sắc
và hứng thú bộc lộ rõ rệt". Do đó, trong phương pháp giảng dạy, GV cần phải
“biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìm lấy kiến thức, phải
làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trưởng thành”(Tài liệu Bồi dưỡng
giáo viên 2005).
Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho
HS là một trong cách thức thực hiện có tính thực tiễn cao trong dạy học hiện
nay. Vậy “Tư duy sáng tạo là gì?”. Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm
khác nhau, trong đó Nguyễn Bá Kim cho rằng: “ Tính linh hoạt, tính độc lập và
tính phê phán là những điều cần thiết của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư
duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra
hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhưng nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là
coi nhẹ cái cũ” (Nguyễn Bá Kim – PPDH bộ môn toán)
1.2. Bài toán gốc.
1.2.1 Bài toán: Thuật ngữ “Bài toán” được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một
số định nghĩa sau:
G. Polya cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có
ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể
đạt được ngay”.
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ “Bài toán” như sau:
“Bài toán” là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán).
- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán).
- Các điều kiện của hành động (mối liên hệ giữa cái đã có và cái phải tìm).
Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,
không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Các hành
động của chủ thể trong giải Toán là: Phân tích bài toán, mô hình hoá và cụ thể
hoá các mối liên hệ bản chất trong bài toán, phát hiện hướng giải và xây dựng kế
hoạch giải bài toán, hành động thực hiện giải bài toán, kiểm tra đánh giá tiến
trình giải bài toán, hành động thu nhận kiến thức mới do bài toán đem lại.

1.2.2. Bài toán gốc.
Bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận
dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản. Đồng thời bài toán gốc phải
thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
3


- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài
toán khác.
- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải
các bài toán khác.
- Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.
1.2.3. Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam: “Bài toán nâng cao là bài toán
khi giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều
kiến thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một
dạng toán”.
1.2.4. Chức năng của bài toán và vai trò của bài toán gốc trong dạy học môn
Toán ở trường phổ thông..
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh
trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan
trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các
chức năng:
* Chức năng dạy học:
- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lí thuyết đã
học. Qua đó HS hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc
giải quyết các tình huống cụ thể.
- Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết.
Cho nên qua việc giải bài tập HS mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
* Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho HS thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của

người lao động mới.
* Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho HS,
đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư
duy khoa học.
* Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,
đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh.
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy khi giải một bài toán, ta luôn luôn
phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phương pháp hay kinh
nghiệm có được khi giải các bài toán đó. Hiển nhiên, những bài toán dùng tới,
phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có. Một bài toán, vấn đề có thể bắt
nguồn từ một bài toán, một vấn đề khác, cũng có thể là một bộ phận của một bài
toán, một vấn đề khác. Vì vậy, trong dạy học Toán, bài toán gốc có vai trò quan
trọng như:
- Bài toán gốc nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lí thuyết
đã học. Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán gốc là một hình thức rất tốt để
dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới.
- Khắc sâu được các định lí, khái niệm và mối quan hệ giữa chúng.
- Qua các bài toán gốc giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài toán liên
quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải được thu gọn hơn.
4


- Qua các bài toán gốc giúp HS huy động, kiến tạo ra được các bài toán mới.
- Qua bài toán toán gốc GV và HS có thể xây dựng thành chuỗi bài toán với
phương pháp giải đặc thù nhờ vào bài toán gốc.
2. Thực trạng của đề tài.
Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy bài tập SGK là hệ thống bài tập cơ
bản, nhằm củng cố kiến thức cho HS sau mỗi giờ học lí thuyết. Bài tập SGK
cũng chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua đó có thể mở rộng, xây
dựng được hệ thống các bài toán mới. Như vậy chúng ta có thể xem phần lí

thuyết và bài tập SGK là kiến thức cơ sở để vận dụng và giải quyết vấn đề trong
quá trình học Toán. Tuy nhiên khi dạy học theo hướng này còn tồn tại một số
thực trạng sau:
Đối với HS:
+ Tình trạng phổ biến của HS hiện nay là nắm kiến thức rất “mơ màng”.
Rất nhiều HS còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo:
Nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa
các yếu tố toán học, thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về
quen, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen
với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã
có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, HS
chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán. Do đó việc kiến tạo nên hệ thống
tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế.
+ Đa số HS thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình
đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em HS nào biết chủ
động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Vì
vậy khi đứng trước một bài toán mới, bài toán chưa có thuật giải hay những bài
toán nâng cao HS thường có tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của
mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc các kiến thức và liên kết những kiến
thức cũ để giải quyết vấn đề mới có liên quan. Do đó ảnh hưởng lớn đến việc
phát hiện và giải quyết vấn đề, hạn chế đến việc phát triển tư duy của HS.
Đối với GV:
Do thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri
thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học phải theo PPCT nên nếu dạy học môn
Toán lớp 10 theo hướng phát hiện và vận dụng các bài toán gốc liên quan thì
mất khá nhiều thời gian dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng. Do đó:
+ Hầu hết GV về phương pháp dạy học còn nặng về thuyết trình, trong dạy
học chưa phát huy hết được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của HS.
Nhiều GV chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trong
SGK mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát hiện nguồn gốc của bài toán hay việc

phát triển, mở rộng và tổng quát bài toán.
+ Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, GV chỉ tập trung chữa
bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố,
khắc sâu lý thuyết đã học. Nhiều GV chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi
bật lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến
5


thức đang học với những kiến thức trước đó. Khi dạy xong một chương GV
thường không hệ thống các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm rải
rác trong chương. Chẳng hạn khi học xong chương “Véc tơ” (Hình học lớp 10)
nhiều GV chưa tổng kết lại cho HS nắm vững được những phương pháp nào để
chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh một véc tơ bằng vec tơ – không.
+ Thường khi HS đã giải được một bài toán thì GV cũng thường bằng
lòng với lời giải đó mà chưa khuyến khích các em tìm ra các bài toán tương tự,
bài toán tổng quát hoặt đặt biệt hóa bài toán để tìm ra các bài toán mới.
Đối với sách giáo khoa hiện nay: Lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải,
các khái niệm, định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh. Dẫn
đến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí. Vì vậy còn tình trạng một số
GV ít dành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên
cứu mà chủ yếu để HS thừa nhận khái niệm, định lí, đưa ra quy tắc và yêu cầu
vận dụng giải bài tập, điều này ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập của HS
Do vậy, việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho HS nói chung và
năng lực tư duy sáng tạo cho HS phổ thông qua dạy học theo con đường phát
hiện và vận dụng là một yêu cầu cần thiết.
3. Các biện pháp tổ chức thực hiện.
3.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát hiện và vận
dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm.
Khái niệm là một hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh những mối
liên hệ và thuộc tính bản chất, phổ biến của một tập hợp các sự vật, hiện tượng

nào đó. Khái niệm đóng vài trò quan trọng trong tư duy khoa học nói chung, môn
toán nói riêng. Dạy học khái niệm là một trong những tình huống dạy học điển
hình, một khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng cố
như: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá,
đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học. Chính vì ý nghĩa và tầm
quan trọng đó của việc dạy học khái niệm mà GV cần phải quan tâm nhiều đến
việc đổi mới PPDH để HS có động lực phát hiện, khắc sâu khái niệm bằng chính
thực lực của mình. Một trong những cách thức như vậy chính là việc xây dựng
bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán để khắc sâu khái niệm sẽ góp
phần nâng cao được các hoạt động củng cố khái niệm. Chuỗi bài toán đóng vai
trò là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán mức độ khó khăn cao dần. Việc
giải được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lập được ở HS thói quen độc lập suy
nghĩ, giúp các em có cách nhìn các khái niệm toán học một cách có chiều sâu, có
hệ thống, điều đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của các em.
Việc học tập để khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy trình sau:

Các
dạng
toán

Bài
toán
gốc

Bài
Chuỗi
Khái
toán
bài
niệm

nâng
toán
Ví dụ 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS thông
cao qua việc xây dựng

bài toán gốc để củng cố khái niệm về vectơ – không:

6


Nắm vững được ý nghĩa, tầm quan trọng của việc vận dụng bài toán gốc
trong dạy học với những cơ sở lý luận nêu trên tôi đã không ngừng vận dụng
trong suốt quá trình dạy học nói chung, dạy học môn toán lớp 10 nói riêng. Sau
khi HS đã được học khái niệm về vectơ – không tôi đã tổ chức cho HS củng cố
khái niệm bằng cách giải các bài tập có liên quan và xây dựng chuỗi bài toán để
khắc sâu khái niệm. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, đan
xen hoạt động nhóm, cụ thể trong tiết dạy bài tập (sau tiết lý thuyết về vectơ) tôi
đã yêu cầu HS giải bài toán gốc sau đây để củng cố khái niệm về vectơ – không:
Bài toán 1 (Bài toán gốc): Cho ∆ABC với trọng tâm G.

CMR: GA + GB + GC = O (SGK Hình học 10 trang 11, ban cơ bản)
Bằng việc dẫn dắt, gợi mở, tổ chức cho HS thảo luận thông qua các câu hỏi:
+ Điểm G có tính chất gì?
+ Nếu gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AB, CA thì các em
có được điều gì?
+ Thử vận dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành?
HS đã dễ dàng giải được bài toán trên, cụ thể lời giải như sau:
3

uuuu uuu uuuu

Lời giải: Ta có: GA + GB + GC = ( MA + PB + NC ) (với M, N, P lần
2
A

lượt là trung điểm của BC, AB, AC)
1
mà MA = MB + BA = CB + BA
P
N
2
G
1
PB = PC + CB = AC + CB
2
C
B
M
1
NC = NA + AC = BA + AC
D
2
3
3
Suy ra MA + PB + NC = (CB + BA + AC ) = CC = 0
2
uuu uuu uuuu  2
Vậy GA + GB + GC = 0 .
Đây là bài tập rất cơ bản trong SGK hình học 10, ban cơ bản và tôi xem
đây là bài toán gốc. Sau khi HS đã giải được bài toán trên tôi không dừng lại

mà tiếp tục nêu vấn đề đòi hỏi HS phải tư duy để trả lời, chẳng hạn một vấn đề
nêu ra đó là: Nếu cho C ≡ B thì các em có được điều gì? Hãy phát biểu bài toán
đó?
Bằng việc đặt HS đứng trước một khó khăn, thử thách mới ngay sau khi
các em đã giải quyết được khó khăn trước đó (giải Bài toán 1) HS đã phát hiện
ra mối liên hệ và tìm ra bài toán sau đây:
Bài toán 1.2: Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm. CMR MA + MB = 0 .
Như vậy thông qua việc dẫn dắt, gợi mở của GV mà HS dễ dàng nhận
thấy mối liên hệ giữa hai bài toán trên. Tuy vậy để rèn luyện tư duy sáng tạo,
tìm tòi phát hiện các vấn đề mới GV vẫn cần tiếp tục đặt vấn đề, dẫn dắt, gợi mở
để HS tìm ra các bài toán khác. Trong thực tiễn dạy học tôi đã đặt vấn đề: Giả

7


thiết của Bài toán1.2 có thể viết dưới dạng M là điểm thuộc đoạn AB thoả mãn
MA = MB. Thay đổi giả thiết này để có bài toán mới?
Câu trả lời mong đợi ở HS là việc tìm ra bài toán sau:
Bài toán 1.3: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm thuộc đoạn AB sao cho
MA=kMB (k là số thực). CMR MA + k MB = 0 .(Với bài toán trên k = 1)
Thông qua việc phát triển bài toán gốc để HS phát hiện các bài toán liên
quan thì GV không chỉ giúp cho HS củng cố, khắc sâu khái niệm vectơ – không
mà còn giúp HS hình thành thói quen tư duy tích cực, không ngừng phát hiện
tìm tòi cái mới. Tiếp tục đặt vấn đề: Quay trở lại với ví dụ ban đầu, nếu ta gọi I
là trung điểm của AM các em có được điều gì? ( AM = 2 IM ). Từ đó GV giúp HS
tìm được bài toán mới:
Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm
của AM. Chứng minh rằng 2 IA + IB + IC = 0 .
Tổng quát bài toán 1.4 ta có:
Bài toán 1.5: Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc BC, I là điểm thuộc

đoạn AM thoả mãn MB = kMC, IA = hIM . CMR : (k + 1) IA + h IB + hk IC = 0
.
Tùy theo từng đối tượng HS mà GV có thể phát triển, mở rộng bài toán
gốc ở những mức độ khác nhau. Đối với những đối tượng HS khá giỏi để phát
triển tư duy sáng tạo cho họ cần thiết GV phải khuyến khích, yêu cầu và định
hướng để HS tìm được những bài toán nâng cao có liên quan đến bài toán gốc.
Chẳng hạn từ Bài toán 1 tiếp tục khai thác theo hướng tìm điểm chia các cạnh
AB, BC theo một tỷ số khác để có các bài toán nâng cao mới:
Bài toán 1.6: (Bài toán nâng cao): Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc
AB, N là điểm thuộc đoạn BC thoả mãn MA = kMB và CN = kNB .Gọi G là
giao điểm của AN và CM Chứng minh rằng GA + k GB + GC = 0 .
GV đặt vấn đề nếu xem đoạn thẳng AB ở bài toán 1.2 là trường hợp riêng
của đa giác đều ta có bài toán mới:
Bài toán 1.7: Cho đa giác đều A1 A2 … An có tâm O. Chứng minh rằng
OA1 + OA2 + ... + OAn = 0 ...
Như vậy từ khái niệm vectơ - không ta có thể khai thác thành các bài toán
mới ở mức độ khó nâng cao dần. Nếu dừng lại ở bài toán ban đầu thì thật là
đáng tiếc, chúng ta đã bỏ phí đi một hệ thống bài tập cần phải khai thác. Hơn
nữa việc dừng lại ở một bài toán, không đặt ra yêu cầu để HS tìm cách phát triển
bài toán sẽ vô hình chung kìm hãm tư duy sáng tạo của HS. Trong ví dụ nêu trên
nếu việc phát triển, vận dụng bài toán gốc được GV khéo léo áp dụng trong thực
tiễn dạy học chắc chắn sẽ giúp HS vừa củng cố, khắc sâu khái niệm vừa giúp HS
hình thành thói quen làm việc tích cực, không bằng lòng với những gì đã đạt
được quá dễ dàng. Thói quen suy nghĩ, tư duy tích cực đó nếu được nhân lên
trong suốt quá trình học tập chắc chắn HS sẽ có được kết quả học tập tích cực.

8


3.2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát hiện và vận

dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc.
Các định lí, quy tắc cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung
cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt
là khả năng suy luận và chứng minh. Việc thể hiện định lí được rèn luyện thông
qua việc giải các bài toán của chuỗi. Trong chuỗi các bài toán nhằm củng cố
định lí chúng ta cố gắng xây dựng trên cơ sở khái quát hoá, tương tự hoá các bài
toán quen thuộc với cách thức nâng cao dần mức độ khó khăn, đồng thời để giải
các bài toán của chuỗi cũng cần phải đặc biệt hoá để đưa về các bài toán đơn
giản hơn. Điều đó sẽ giúp cho HS nhìn nhận những ứng dụng khá phong phú
của các định lí toán học, từ đó giúp các em hứng thú hơn trong học tập, phát huy
khả năng sáng tạo của các em.
Vận dụng “Bài toán gốc” trong dạy học định lí thường theo quy trình sau:

Khái
niệm,
định
lí

Dạng
toán
ứng
dụng

Quy
trình
giải

Xây dựng các
bài tập gốc
vận dụng quy

trình

Các
bài
toán
nâng
cao

Chúng ta giúp HS nắm được các hệ thống định lí và những mối liên hệ
giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lí vào các hoạt động giải Toán
cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Vì vậy trong quá trình dạy học
định lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lí trong mối liên hệ với các
đối tượng và định lí khác. Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ để thấy
được nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó.
Trong quá trình dạy học định lý GV phải tổ chức được các hoạt động nhận
thức cho HS, định hướng cho các em tự tìm ra định lí và khai thác định lí dưới
nhiều hình thức khác nhau, từ đó tìm ra những tính chất tổng quát hơn. Khi đó
các em sẽ thấy được tầm quan trọng của việc phát hiện, chứng minh và ứng
dụng định lí trong Toán học.
Ý thức được vai trò, ý nghĩa của việc dạy học định lí nêu trên tôi đã áp
dụng vào trong thực tiễn dạy học môn toán lớp 10, sau đây là một ví dụ cụ thể:
Ví dụ 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát
hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí cosin trong tam giác:
Xuất phát từ định lí cosin trong tam giác mà HS đã được học trong SGK
hình học lớp 10, sau khi học xong định lí tôi hướng cho HS xem như định lí là
bài toán gốc.
Bài toán 2 (Bài toán gốc): Với mọi tam giác ABC ta đều có:
2
a = b2 + c2 - 2bc cosA;
b2 = a2 + c2 - 2ac cosB;

c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
Trên cơ sở bài toán gốc là định lí cosin tôi đã hướng dẫn HS vận dụng, phát
triển thành một chuỗi bài toán, dạng toán có liên quan. Cụ thể sau khi HS đã
nắm được định lí cosin, GV có thể đặt vấn đề: Từ định lí cosin em hãy nêu công
9


thức tính cosin của một góc trong tam giác khi biết độ dài ba cạnh? Vấn đề nêu
trên dễ dàng được HS trả lời và rút ra được công thức (Bài toán 2.1):
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos B = a + c − b ; cos C = a + b − c ; cos A = b + c − a
2ac
2ba
2bc
Tiếp tục đặt vấn đề phát triển ta có các bài toán sau đây:
Bài toán 2.2. (Bài toán về nhận dạng tam giác) Cho tam giác ABC có độ
dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b hãy tìm điều kiện cần và đủ để tam giác đó
là tam giác tù, nhọn hay vuông?
Tóm tắt lời giải: Cho phép ta xét góc A (hoặc B, C) nhọn, vuông hay tù
thông qua các cạnh của tam giác. Cụ thể:
A nhọn ⇔ b2 + c2 > a2 ; A tù ⇔ b2+ c2 < a2; A vuông ⇔ b2 + c2 = a2 (hệ quả 2)
b 2 + c 2 > a 2

 2
2
2
∆ ABC có 3 góc nhọn ⇔  a + c > b (I)
 2

2 2
b + a > c

b 2 + c 2 < a 2

⇔  a2 + c2 < b2 (II)
∆ ABC có góc tù
 2
2 2
b + a < c
b 2 + c 2 = a 2

⇔  a2 + c2 = b2 (III)
∆ ABC vuông
 2
2 2
b + a = c

Tiếp tục phát triển định lí:
Viết công thức a2 = b2 + c2 - 2bccosA dưới dạng: a2 = b2+ c2 - 2bcsinAcot A
2
2
2
⇒ a2 = b2 + c2 - 4S. cotA ⇒ cotA = b + c − a .
4S
2
2
2
a +c −b
b2 + a 2 − c2

Tương tự ta cũng có cotB =
, cotC =
(Bài toán 2.3)
4S
4S
Thực chất Bài toán 2.2, 2.3 có thể xem là các hệ quả của định lí cosin
(bài toán gốc) các bài toán này lại có thể xem là những bài toán gốc để giải
quyết một loạt các bài toán, các dạng toán liên quan, cụ thể:
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức liên quan tới các đại lượng giữa góc và
cạnh trong tam giác.
Bài toán 2.4: CMR trong mọi tam giác ABC ta có a = bcosC + ccosB
Đây là bài toán trong SGK được đưa ra để HS vận dụng định lí cosin, hoặc
GV có thể giúp HS tự tìm ra bài toán từ Bài toán 2.1.
Tương tự như ở Bài toán 2.4 HS dễ dàng nhận thấy được kết quả:
Trong mọi tam giác ABC ta có: b = acosC + ccosA ; c = bcosA + acosB

10


GV tiếp tục đặt vấn đề: Hãy cộng các đẳng thức trên và biến đổi để có được các
bài toán mới?
Bằng các câu hỏi phù hợp với đối tượng HS kết hợp với sự hướng dẫn, gợi
mở GV có thể giúp HS tìm ra hàng loạt bài toán có liên quan. Hoặc nếu gặp một
bài toán liên quan HS có thể dễ dàng trong việc liên hệ giữa chúng với những
bài toán nêu trên. Sau đây là những bài toán mới GV mong muốn HS tìm ra
hoặc liên hệ được với bài toán gốc để tìm ra cách giải:
Bài toán 2.5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a/ a + b + c = (b + c)cosA + (c + a)cosB + (a + b)cosC.
b/ b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c - a(cosB + cosC)
Bài toán 2.6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a. a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB.
b. 2abc(cosA + cosB) = (a + c - b)(b + c - a) (a+b).
c. bc(b2 - c2)cosA + ac(c2 - a2)cosB + ab(a2 - b2)cosC = 0.
Dạng 2: Nhận dạng tam giác.
Từ Bài toán 2.2 GV có thể đưa ra hoặc giúp HS tìm ra các bài toán nâng
cao sau:
Bài toán 2.7: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam
giác ABC và a5 = b5+c5. CMR tam giác ABC nhọn.
GV tiếp tục đặt vấn đề để HS tìm được hay giải được bài toán tổng quát:
Bài toán 2.8: Cho an = bn + cn. CMR tam giác ABC nhọn với a, b, c là 3
cạnh của tam giác ABC, n ≥ 3.
Dạng 3: Các bài toán liên quan tới độ dài các đoạn thẳng.
Xuất phát từ các bài toán gốc (định lí cosin và các hệ quả) GV có thể giúp
HS tìm ra bài toán hay tìm ra cách giải các bài toán khác liên quan đến độ dài
các đoạn thẳng với các mức độ từ dễ đến khó. Chẳng hạn các bài toán sau đây:
Bài toán 2.9: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh
BC lấy điểm D sao cho BD = p (0 ≤ p ≤ a). Tính AD.
Bài toán 2.10 : Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh
BC lấy điểm D. Đặt BD = p, CD = n và AD = d. CMR : ad2 = pb2 + nc2 - pna.
Bài toán 2.11: Cho ∆ ABC có BC = a, AB = c, AC = b, trên cạnh BC lấy
m
n
mn
DB m
AC 2 +
AB 2 −
BC 2
= . CMR: AD2 =
điểm D sao cho
2

m+n
m+n
(m + n)
DC n
Trong bài toán 2.11 ta chọn

DB 1
= ta có được bài toán :
DC k

Bài toán 2.12: Cho ∆ ABC có BC = a, AB = c, AC = b trên cạnh BC lấy
k
k
k
DB 1
AC 2 +
AB 2 −
BC 2 .
= . CMR :AD2 =
điểm D sao cho
2
k +1
k +1
DC k
( k + 1)
Trên đây là một vài khai thác từ định lí cosin bằng việc vận dụng và phát
triển bài toán gốc ở nhiều góc độ khác nhau ta đã thu được những dạng toán, bài
11

toán khác nhau, điều này cho thấy được sự hấp dẫn của toán học. Như vậy định
lí cosin có thể xem như một gốc cây mà từ đó đẻ ra nhiều nhánh cây, cành cây
khác để được một cây hoàn chỉnh.
Như vậy trong dạy học định lí GV cần phải biết khéo léo đặt vấn đề, gợi
mở, dẫn dắt để HS luôn tư duy liên hệ giữa định lí đã học với bài toán hiện tại,
với những bài toán liên quan khác. Quá trình tư duy đó được phát triển chắc
chắn sẽ đồng nghĩa với tính sáng tạo, hiệu quả trong học tập của HS ngày càng
được nâng cao.
3.3. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát hiện và vận
dụng bài toán gốc trong dạy học giải bài tập.
Trong trường phổ thông có thể xem việc giải bài tập là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học đối với HS. Các bài toán là một phương tiện không thể
thay thế được trong quá trình giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình
thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải quyết các yêu cầu
thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục tiêu
dạy toán ở trường phổ thông.
Ta thấy rằng bài tập SGK được biên soạn khá công phu và có nhiều tiềm
năng để phát triển năng lực sáng tạo cho HS, tuy nhiên để làm tốt hơn việc này
thì cần phải bổ sung một lượng bài tập thích hợp nhằm phát huy được tối đa khả
năng sáng tạo của các em, trong đó phải có những bài tập khó dành riêng cho
HS khá và giỏi, đặc biệt là những bài tập có thể tương tự hoá, khái quát hoá, đặc
biệt hoá... GV là người tổ chức cho HS làm việc, hoạt động tìm tòi phát hiện
chân lí khoa học. Lớp học phải trở thành một cộng đồng xã hội trong đó có sự
hợp tác học tập của tất cả các thành viên sao cho mọi người được phát huy đầy
đủ năng lực và trách nhiệm của mình. Từ thực tiễn dạy học môn Toán lớp 10 tôi
xin đưa ra một vài ví dụ của việc xây dựng chuỗi bài toán để thấy rõ hơn vai trò
của chuỗi bài toán đối với việc nâng cao tư duy sáng tạo cho HS.
Ví dụ 3: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua phát hiện,
vận dụng và phát triển bài toán gốc là bài tập SGK.
Bài toán 3 (Bài toán gốc):

Cho x, y, z là ba số thực dương.CMR: ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ 8 xyz
(1)
(Bài 8-Sách Bài tập Đại số 10, NXB Giáo
Dục).
Bài toán trên có thể được đưa ra để yêu cầu HS giải trong tiết bài tập ngay
sau khi được học các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong chương trình Đại
số lớp 10. Có nhiều cách để chứng minh cho bài toán này, GV có thể định
hướng để HS giải bài toán bằng vận dụng bất đẳng thức CauChy (Bất đẳng thức
trung bình cộng, trung bình nhân), lời giải lời tóm tắt như sau:
+ Theo BĐT CauChy ta có

12


 x + y ≥ 2 xy > 0


 y + z ≥ 2 yz > 0
( x + y)( y + z )( z + x) ≥ 8 xyz

z
+
x
≥
2
zx
>
0



. Suy ra:
(ĐPCM).

Sau khi HS đã giải được bài toán để rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS, GV
có thể định hướng để HS phát hiện, tìm cách giải được các bài toán liên quan
dựa trên bài toán 3 (bài toán gốc). Chẳng hạn có thể đặt vấn đề:
Nếu ta đặt x = a + b - c; y = b + c – a; z = c + a – b với a, b, c là 3 cạnh của
một tam giác thì bài toán trên sẽ trở thành bài toán nào?
HS tư duy để trả lời câu hỏi của GV và kết quả mong muốn là họ tìm được
bài toán mới:
Bài toán 3.1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh
rằng: abc ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c )
(2)
Tiếp tục đặt vấn đề: Ta thử “đi tìm” cách chứng minh bài toán 3.1 khi a, b,
c là ba số dương và không là ba cạnh của một tam giác. Giả sử a, b, c không là
ba cạnh của một tam giác khi đó xảy ra ba khả năng: a ≥ b + c; b ≥ c + a; c ≥ a + b
. Với a ≥ b + c ta có: a + b − c ≥ b + c + b − c = 2b > 0 ;
b + c − a ≤ b + c − b − c = 0 ; c + a − b ≥ c + b + c − b = 2c > 0
⇒ ( b + c − a) ( c + a − b) ( a + b − c) ≤ 0 .
Suy ra abc > 0 ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) . Tương tự cho các trường hợp còn
lại. Từ đó có được bài toán:
Bài toán 3.2: Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
xyz ≥ ( y + z − x)( z + x − y )( x + y − z )
(3)
Đối với HS khá giỏi nếu dừng lại ở đây sẽ không phát huy hết được sự sáng
tạo, không tạo được thử thách đòi hỏi họ phải thực sự nỗ lực tư duy. GV cần
phải giúp HS mở rộng theo hướng nâng cao bài toán bằng cách sử dụng BĐT(1),
BĐT(2), BĐT(3) để “tạo ra” chuỗi bài toán:
Vận dụng và khai thác BĐT(1):
GV đặt vấn đề: Áp dụng BĐT (1) cho 3 số dương: sinA, sinB, sinC với A, B,

C là ba góc của một tam giác ta sẽ thu được điều gì?
Câu trả lời mong muốn ở HS:
(s inA + sinB)(s inB + sinC )(s inC + sinA) ≥ 8sin A sin BsinC
C
A− B
A
B −C
B
C−A
cos
cos cos
cos cos
2
2
2
2
2
2
A
A
B
B
C
C
≥ 64sin cos sin cos sin cos
2
2
2
2
2

2
A− B
B −C
C−A
A
B
C
⇔ cos
cos
cos
≥ 8sin sin sin
2
2
2
2
2
2
Ta thu được bài toán sau:
Bài toán 3.3:
⇔ 8cos

13


A− B
B −C
C−A
A
B
C

cos
cos
≥ 8sin sin sin .
2
2
2
2
2
2
Rõ ràng nếu GV không rèn luyện cho HS tư duy liên hệ giữa bài toán này
với bài toán khác thì rất khó để HS dễ dàng nhận ngay ra được mối liên hệ rất
“mật thiết” giữa các bài toán nêu trên. Việc liên tưởng tới ba số dương sinA,
sinB, sinC như là một trường hợp đặc biệt của ba số dương bất kỳ a, b, c có thể
được xem như một sự sáng tạo. Tích cực khuyến khích để HS luôn mạnh dạn
tìm cách sáng tạo như vậy trong suốt quá trình dạy học sẽ giúp HS hình thành
thói quen tư duy sau khi giải xong mỗi bài toán.
Đến đây có thể GV không cần đặt vấn đề gợi mở như trên HS vẫn có thể tư
A
B
C
duy để tiếp tục vận dụng BĐT (1) nếu cho ba số dương: tan , tan , tan
2
2
2
với A, B, C là ba góc của một tam giác tam giác ta có:
A
B
B
C
C

A
A
B
C
(tan + tan )(tan + tan )(tan + tan ) ≥ 8tan tan tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
A
B
A
B
C
cos
cos
cos
sin sin sin
2
2
2
2
2
2 ⇔ sin A sin B sin C ≤ 1

⇔
≥8
B
A
B
B
C
C
A
A
C
2
2
2 8
cos cos cos cos cos cos
cos cos cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ta thu được bài toán quen thuộc sau:
Bài toán 3.4: Cho ∆ ABC. CMR: sin A sin B sin C ≤ 1 .
2
2
2 8

Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: sin2 A, sin2B, sin2C với A, B, C là
Cho ∆ ABC. CMR: cos

ba góc của tam giác nhọn ABC ta có:
(sin 2 A + sin 2 B)(sin 2 B + sin 2C )(sin C + sin 2 A) ≥ 8sin 2 A sin 2 B sin 2C
cos( A − B)cos( B − C )cos(C − A)
≥8
cos A.cos B.cos C
Ta thu được bài toán sau:
cos( A − B)cos( B − C )cos(C − A)
≥8
Bài toán 3.5: Cho ∆ ABC nhọn. CMR:
cosA.c osB.cos C
Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương cho ba số dương: p − a, p − b, p − c ;
a+b+c
trong đó a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p =
ta có:
2
⇔

( p − a + p − b)( p − b + p − c)( p − c + p − a) ≥ 8( p − a)( p − b)( p − c)
⇔ abc ≥ 8( p − a)( p − b)( p − c) ≥ 16S 2
1
1
1
⇔ a 2 (b2 + c2 ) + b2 (c 2 + a 2 ) + c 2 (a 2 + b2 )
2
2
2

2 1
2
1
2 1
≥ 16S 2 + a2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c2 ( a − b )
2
2
2
2 1
2
1
2 1
⇔ a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ≥ 16S 2 + a 2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c 2 ( a − b )
2
2
2
Ta thu được bài toán sau:
14


Bài toán 3.6: Cho ∆ ABC có diện tích S . Đặt BC = a, CA = b, AB = c . CMR
2 1
2
1
2 1
a 2b2 + b2c 2 + c 2a 2 ≥ 16S 2 + a 2 ( b − c ) + b 2 ( c − a ) + c 2 ( a − b )
2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi nào? ”

( Bài T7/376- THTT năm 2008).

Vận dụng và khai thác BĐT(2):

abc
8 pr
2
8
S
4 R ⇔ R ≥ 2r .
(2) ⇔ abc ≥ 8( p − a)( p − b)( p − c) ⇔ abc ≥
⇔ abc ≥
p
p
Đối với BĐT (2), GV có thể đặt vấn đề để HS khai thác và phát triển thành
bài toán:
Bài toán 3.7: Cho ∆ ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường
tròn nội tiếp lần lượt là R, r . CMR: R ≥ 2r .
Tiếp tục “khai thác” ta có:
BĐT(2) ⇔ abc(a + b + c) ≥ (a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)
⇔ abc(a + b + c) ≥ 16 p( p − a)( p − b)( p − c) ⇔ abc(a + b + c) ≥ 16S 2

⇔ (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) ≥ 16S 2 (*)
Ta áp dụng BĐT quen thuộc ( x + y + z ) 2 ≥ 3( xy + yz + zx) cho ba số dương
ab, bc, ca ta được BĐT ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 3  (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab)  . Kết
hợp với (*) ta có ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 48S 2 ⇔ ab + bc + ca ≥ 4 3S .
Từ đó ta thu được bài toán:
Bài toán 3.8: Cho ∆ ABC có diện tích S . Đặt BC = a, CA = b, AB = c .CMR:
ab + bc + ca ≥ 4 3S .
Thêm một bước biến đổi cho BĐT thu được trong bài toán 3.8 như sau:

ab + bc + ca ≥ 4 3S
2 1 
2 1
1
2
⇔  a 2 + b2 − ( a − b )  + b2 + c2 − ( b − c )  + c 2 + a 2 − ( c − a )  ≥ 4 3S
2

 2
 2
2 1
2 1
1
1
1
1
2
⇔ a 2 + b2 + b2 + c2 + c 2 + a 2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )
2
2
2
2
2
2
2 1
2 1
1
2
⇔ a 2 + b2 + c2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) .
2

2
2
BC
= a, CA = b, AB = c .
Bài toán 3.9: Cho ∆ ABC có diện tích S . Đặt
2 1
2 1
1
2
CMR: a 2 + b2 + c 2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )
2
2
2

(

) (

) (

)

Vận dụng và khai thác BĐT(3):

15


(

)(

)(

2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Ta có: a b c ≥ b + c − a c + a − b a + b − c

)

⇔ a 2b2c 2 ≥ 2bccosA.2cacosB.2abcosC ⇔ cos A cos BcosC ≤

1
8

Ta có bài toán quen thuộc sau:
1
Bài toán 3.10: Cho ∆ ABC . Chứng minh rằng: cos A cos BcosC ≤ .
8
Tiếp tục áp dụng BĐT (3) cho ba số dương: p − a, p − b, p − c ; trong đó
a + b + c 3 ta có:
a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p =
=
2
2
( p − a) ( p − b) ( p − c ) ≥ ( p − b + p − c − p + a ) ( p − c + p − a − p + b) ( p − a + p − b − p + c )
⇔ ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ≥ ( 2a − p ) ( 2b − p ) ( 2c − p )
3 
3 
3
3

 3
 3
 
⇔  − a ÷ − b ÷ − c ÷ ≥  2a − ÷ 2b − ÷ 2c − ÷
2 
2 
2
2
 2
 2
 
27 9
3
⇔ − ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) − abc
8 4
2
9
27
≥ 8abc − 6 ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) −
2
8
⇔ 5 ( ab + bc + ca ) ≥ 6abc + 9 ⇔ 5 ( 1 − a − b − c + ab + bc + ca − abc ) ≥ abc − 1
⇔ 5 ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) ≥ abc − 1 .
Ta thu được bài toán mới sau
Bài toán 3.11: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3. Đặt BC = a, CA = b, AB = c .
Chứng minh bất đẳng thức: 5(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≥ abc −1 .
Ví dụ 4: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua vận dụng, phát
triển bài toán gốc có sự liên hệ giữa hình học và giải tích.
Bài toán 4 ( Bài toán gốc ): Cho đường tròn ( C ) tâm I bán kính R, H là một
điểm nằm ngoài đường tròn ( C ) . Tìm điểm M nằm trên đường tròn ( C ) sao cho:

a) Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.
b) Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.
Lời giải: Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm I và H.
Giả sử A, B là các giao điểm của đường tròn ( C ) và
đường thẳng d sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và H.
Khi đó, với điểm M bất kỳ nằm trên đường tròn ( C )
ta luôn có: BH ≤ MH ≤ AH
Thật vậy:
+) Ta chứng minh: MH ≤ AH .
- Khi điểm M trùng điểm A ta có: MH = AH
- Khi điểm M không trùng điểm A ta có:
·
·
AMH
> AMB
= 900 suy ra AMH
·
là góc tù.
16


·
Từ đó, trong tam giác AMH ta có: ·AMH > MAH
suy ra AH > MH.
Như vậy, khi điểm M nằm trên đường tròn ( C ) ta luôn có:
MH ≤ AH , MH = AH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm A.
+) Ta chứng minh: MH ≥ BH
- Khi điểm M trùng điểm B: MH = BH
·
- Khi điểm M không trùng điểm B: Trong tam giác MBH ta luôn có, MBH

là
·
·
góc tù tức là ta có MBH
> BMH
. Suy ra MH > BH.
Từ đó, khi điểm M nằm trên đường tròn ( C ) ta luôn có:
MH ≥ BH , MH = BH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm B.
Vậy, với điểm M bất kỳ nằm trên đường tròn ( C ) ta luôn có: BH ≤ MH ≤ AH ,
+ MH = BH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm B.
+ MH = AH khi và chỉ khi điểm M trùng điểm A.
Bài toán 4 là bài toán đơn thuần trong hình học phẳng nếu ta chỉ dừng lại ở
đó nhưng nếu ta gắn các yếu tố của bài toán vào mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy
thì ta sẽ có bài toán mới về hình học giải tích như sau:
Bài toán 4.1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có
phương trình x 2 + y2 − 4x + 6y + 8 = 0 và điểm H= (4;1). Tìm tọa độ điểm M

nằm trên đường tròn ( C ) sao cho:
a)
Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.
b)
Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.
Tóm tắt lời giải:
Đường tròn ( C ) có tâm I = ( 2; −3) , bán kính R = 5 .
Ta có: IH = ( 4 − 2 ) 2 + ( 1 + 3 ) 2 = 20 = 2 5 > R .

Suy ra, điểm H nằm ngoài đường tròn ( C ) .
Gọi d là đường thẳng
uuuđi qua hai điểm I và H. Khi đó, đường thẳng d có
một vectơ chỉ phương là IH = ( 2;4 ) , suy ra đường thẳng d có một vectơ pháp

uuu
n
tuyến là d = ( 2; −1)
=> phương trình của d là: 2 ( x − 2 ) − ( y + 3) = 0 hay: 2x − y − 7 = 0 .
Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ( C ) là nghiệm của
hệ phương trình:
2x − y − 7 = 0
x = 3
x = 1
 y = 2x − 7
⇔
⇔
 2

hoặc


2
2
 y = −5
 y = −1
 x + y − 4x + 6y + 8 = 0
 x − 4x + 3 = 0

Vậy đường thẳng d cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm A = ( 1; −5 ) và B = ( 3; −1) .
Ta có: AH = ( 4 −1) 2 + ( 1 + 5 ) 2 = 45 = 3 5 > IH

2
2
BH = ( 4 − 3) + ( 1 + 1) = 5 < IH. Suy ra, điểm B nằm giữa A và H.

17


Áp dụng kết quả bài toán 4, ta có:
a) Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất bằng BH = 5 khi M ≡ B = ( 3; −1) .
b) Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất bằng AH = 3 5 khi M ≡ A = ( 1; −5 ) .
Nếu chỉ yêu cầu HS tìm cách giải bài toán này và dừng lại khi HS đã giải
được bài toán thì GV đã không thể khai thác hết được những tác dụng mà bài
toán mang lại cho việc phát triển tư duy sáng tạo cho HS. Đối với bài toán trên
GV có thể yêu cầu HS tìm cách phát biểu lại bài toán từ đó giúp HS tìm ra các
bài toán mới thực chất cũng là bài toán ban đầu nhưng được phát biểu khác đi:
Bài toán 4.2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có
phương trình: x 2 + y2 − 4x + 6y + 8 = 0 và điểm H= (4;1). M là một điểm nằm
trên đường tròn ( C ) . Chứng minh rằng: 5 ≤ MH ≤ 3 5
Bài toán 4.2 là bài toán đơn thuần trong hình học giải tích nhưng nếu ta bỏ
đi các yếu tố về điểm và đường tròn với hệ tọa độ Oxy thì ta được bài toán mới
về bất đẳng thức đại số:
Bài toán 4.3. Cho hai số thực a, b thỏa mãn: a 2 + b2 − 4a + 6b + 8 = 0
2
2
Chứng minh rằng:
5 ≤ ( a − 4 ) + ( b − 1) ≤ 3 5

Lời giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi điểm M = ( a;b ) . Từ giả
thiết, a 2 + b2 − 4a + 6b + 8 = 0 suy ra điểm M nằm trên đường tròn ( C ) có
phương trình: x 2 + y2 − 4x + 6y + 8 = 0 .
Khi đó, ta có:

HM =

2
2
( a − 4 ) + ( b −1) với điểm H = ( 4;1) .

Áp dụng kết quả bài toán 4.2, ta có:
BH ≤ MH ≤ AH tương đương với

5≤

2
2
( a − 4 ) + ( b −1) ≤ 3 5

2
2
( a − 4 ) + ( b − 1) = 5

khi và chỉ khi

2
2
( a − 4 ) + ( b −1) = 3 5

khi và chỉ khi

a = 3
,

 b = −1
a = 1

.

 b = −5

Bằng cách phát hiện và vận dụng bài toán gốc số 4 và sự liên hệ giữa bài
toán hình học và đại số, giải tích mà việc chứng minh bài toán BĐT 4.3 rất
nhẹ nhàng và nhanh gọn. Thông qua các ví dụ nêu trên một lần nữa khẳng
định rằng các bài toán không ngẫu nhiên xuất hiện, không tồn tại cô lập mà
có liên hệ với nhiều bài toán khác. Nhiều bài toán hình học đơn thuần có thể
giải quyết bằng chuyển đổi ngôn ngữ sang bài toán đại số, giải tích và ngược
lại. Chính vì vậy trong quá trình dạy học GV cần không ngừng rèn luyện cho
HS tư duy để liên hệ giữa các bài toán với nhau, việc vận dụng khai thác,
phát triển bài toán gốc chính là một hình thức hữu hiệu để rèn luyện quá trình
tư duy đó.
18


4. Kết quả thực nghiệm của đề tài
Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt được
những kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau:
4.1. Kết quả định tính.
Về ý kiến của giáo viên dự giờ thực nghiệm:
- Đa số các GV nhất trí với nội dung thực nghiệm, đặc biệt ủng hộ các
giải pháp và phương thức đã nêu trong đề tài vì cách thức thực hiện đề tài phù
hợp với phương pháp dạy học tích cực mà Đảng và nhà nước ta đang tiến hành
thực hiện trong giai đoạn hiện nay. Các thầy cô đều đồng tình với phương thức
tổ chức dạy học định lí, khái niệm theo hướng vận dụng và phát hiện bằng các
phương pháp dạy học tích cực giúp HS hoạt động nhiều, học tập tích cực, chủ
động , sáng tạo, linh hoạt hơn. Rèn tư duy sáng tạo, tạo cho HS thói quen làm
việc có tính khoa học, có tính hệ thống, biết xem xét các vấn đề trong mối quan

hệ biện chứng với nhau.
Về ý kiến của học sinh ở lớp dạy thực nghiệm:
Qua quan sát bằng phiếu điều tra sau mỗi tiết dạy thực nghiệm đối với
HS, tôi rút ra những ý kiến phản hồi từ phía các em về: nội dung bài học; lượng
kiến thức; mức độ tiếp thu bài học như sau:
+ Trong các tiết học các em chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn, các
em được hoạt động, được suy nghĩ, được tự do bày tỏ quan điểm, được tham gia
vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhiều hơn; được tham gia vào quá
trình khám phá và kiến tạo kiến thức mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ.
+ Khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt
hóa, hệ thống hóa của học sinh tiến bộ hơn. Các em biết quy lạ về quen, biết vận
dụng các kiến thức đã có vào các bài toán nâng cao một cách linh hoạt, nhuần
nhuyễn. Vì vậy sau những tiết học theo hướng phát hiện và vận dụng các bài
toán gốc có liên quan, phần lớn các em không còn lo sợ, thiếu tự tin khi giải các
bài toán khó chưa có thuật giải. Điều này cũng giúp cho việc tự nghiên cứu, tự
học bài ở nhà có hiệu quả hơn.
4.2. Kết quả định lượng.
Trong năm học 2014 - 2015 tôi đã tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá
hiệu quả của đề tài tại lớp 10C6 và lớp 10C7 - Trường THPT Yên Định 2. Kết
quả học tập môn Toán của hai lớp là tương đương (đánh giá qua quá trình trực
tiếp giảng dạy). Cụ thể tôi tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) cho học
sinh hai lớp 10C6 và 10C7. Tôi chọn lớp 10C7 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử
dụng đề tài), lớp 10C6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài). Sau
khi dạy thực nghiệm và đối chứng tôi tiến hành cho HS hai lớp làm bài kiểm tra
45 phút và đã thu được kết quả thống kê theo bảng sau:
Lớp
Sĩ
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu

Kém
số
SL
%
SL
%
SL %
SL
%
SL %
10C6 45
8
17,8 10
22, 24 53,3 3
6,7 0 0
2
10C7 47
14
29,8 15
31, 16 34
2
4,3 0 0
19


9
Từ những kết quả cả về định tính, định lượng nêu trên có thể khẳng định
phương án tổ chức các tình huống dạy học định lí, khái niệm, bài tập toán theo
hướng vân dụng và phát triển bài toán gốc cho HS là khả thi và hoàn toàn có thể
áp dụng trong thực tiễn dạy học. Thực hiện các biện pháp đó sẽ góp phần phát

triển tư duy sáng tạo cho HS, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán cho
học sinh lớp 10 nói riêng, học sinh THPT nói chung.

III. KẾT LUẬN
Đề tài đã thu được một số kết quả như sau:
- Đưa ra được một số quan niệm, cơ sở lý luận về PPDH tích cực, dạy học
theo hướng rèn tư duy sáng tạo cho HS, về bài toán, bài toán gốc, bài toán nâng
cao.
- Nêu bật lên được vai trò của bài toán gốc đối với dạy học bộ môn toán nói
chung, dạy học môn toán lớp 10 nói riêng.
- Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát hiện và vận dụng các bài
toán mới, chuỗi bài toán thông qua việc khai thác bài toán gốc ở trường THPT.
- Đã minh chứng bằng những ví dụ cụ thể về việc vận dụng, phát triển bài
toán gốc có liên quan chặt chẽ đến việc rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho
HS.
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp được đề xuất.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu, thực hành rồi hoàn
thành đề tài song đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất
mong các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để tôi hoàn thiện hơn đề tài
của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15/5/2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của tôi không sao chép nội dung
của người khác.
Tác giả

Trịnh Thị Huê

20


21


MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận của đề tài
2. Thực trạng của đề tài
3. Các biện pháp tổ chức thực hiện
3.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát hiện
và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu khái niệm.
3.2. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát hiện
và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc.
3.3. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát hiện
và vận dụng bài toán gốc trong dạy học giải bài tập.
4. Kết quả thực nghiệm của đề tài
III. KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
1-4
4
5

5-7
8 - 11
11 -17
18 - 19
19
21

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1

3

Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường
phổ thông, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Phạm Thị Bích Ngọc, Đoàn Quỳnh,
Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, Đại số 10 (Sách chỉnh lí hợp nhất
năm 2000), Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn

4

Văn Đoành, Trần Đức Huyên (2007), Hình học 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Trần Bá Hoành (2007), Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình và

5

sách giáo khoa, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học

6
7
8
9

Sư phạm, Hà Nội.
Polya G. (1997), Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Polya.G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Polya.G (1995), Toán học và những suy luận có lí, Nxb Giáo dục, Hà Nội..
Đào Tam (2000), “Bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở THPT năng lực huy

10

động kiến thức khi giải các bài toán”, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục
Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học

11

phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Vũ Tuấn(chủ biên), Đoàn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng,

12

Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Ngoài ra đề tài còn tham khảo các đề thi, các tạp chí, một số tài liệu lấy

2

từ một số websise trên mạng internet
.

23