Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.66 MB, 44 trang )
5/30/2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
Bộ môn Cầu và Công trình ngầm
Website:
Website: />
PHƯƠNG PHÁP SỐ
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU
TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN
Website môn học: />Link dự phòng: />vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau
Hà Nội, 5‐2015
CHƯƠNG III
Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén
109
1
5/30/2015
Nội dung chương 3
• 3.1. Các ký hiệu và quy ước
• 3.2. Phần tử dầm (Beam)
• 3.3. Phần tử khung phẳng (Frame‐2D)
• 3.4. Phần tử khung không gian (Frame‐3D)
110
3.1. Các ký hiệu và quy ước
• Các ký hiệu địa phương
2
– Hệ trục tọa độ địa phương: o123
3
– Biến số trong các trục 1, 2, và 3
lần lượt là x, y, và z
– Các chuyển vị thẳng tại “Nút i"
theo hệ tọa độ địa phương ui1 , ui2 , và ui3
– Các chuyển vị xoay tại “Nút i"
theo hệ tọa độ địa phương ui11 , ui22 , và ui33
– Các lực tác dụng tại “Nút i” của phần tử theo phương của các
trục 1, 2, và 3 lần lượt là: fi1 , fi2 , và fi3
– Các lực là mô men tác dụng tại “Nút i” của phần tử theo
phương của các trục 1, 2, và 3 lần lượt là : fi11 , fi22 , và fi33
1
111
2
5/30/2015
Các ký hiệu và quy ước (t.theo)
–
–
–
–
–
Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ địa phương: [k]
Véc tơ chuyển vị nút tại “Nút j” của phần tử: {uj}
Véc tơ lực nút tại “Nút j” của phần tử: {fj}
Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {u}
Véc tơ lực nút của phần tử: {f}
• Các ký hiệu tổng thể
– Hệ trục tọa độ tổng thể: OXYZ
– Các chuyển vị thẳng tại “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao
gồm: UnX , UnY , và UnZ
– Các chuyển vị xoay tại “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao
gồm: UnXX , UnYY , và UnZZ
112
Các ký hiệu và quy ước (t.theo)
– Các lực tác dụng tại “Nút n” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: FnX ,
FnY , và FnZ
– Các lực là mô men tác dụng tại “Nút n” theo hệ tọa độ tổng
thể gồm: FnXX , FnYY , và FnZZ
– Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ
tọa độ tổng thể: [K]
1
j
–
–
–
–
Véc tơ chuyển vị nút của “Nút n” : {Un}
Véc tơ lực nút của “Nút n” : {Fn}
Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {U}
Véc tơ lực nút của phần tử: {F}
Y
i
O
X
Z
113
3
5/30/2015
Các ký hiệu và quy ước (t.theo)
– Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều
kiện biên: [Ks]
– Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới
điều kiện biên: {Us}
– Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện
biên: {Fs}
– Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện
biên: [Ko]
– Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều
kiện biên: {Uo}
– Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện
biên: {Fo}
114
3.2. Phần tử dầm
• Chọn đa thức xấp xỉ và ma trận hàm dạng
θj = uj33
2
– Khi bỏ qua biến dạng dọc
trục, mọi điểm trên phần
tử chỉ tồn tại chuyển vị
thẳng theo trục 2 và
chuyển vị xoay quanh
trục song song với trục 3.
vj = uj2
θi = ui33
vi
= ui
J, E
2
j
i
1
L
ui33
uj33
u i2
u j2
– Một điểm bất kỳ có tọa độ x (0 ≤ x ≤ L) trên phần tử sẽ có
chuyển vị thẳng v(x) theo trục 2 và chuyển vị xoay tương ứng
quanh trục 3 là θ(x) = dv/dx
115
4
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
– Số bậc tự do của phần tử
là 4, do đó số phần tử của
véc tơ tham số {a} cũng
là 4 và đa thức xấp xỉ là
bậc 3.
θj = uj33
2
vj = uj2
θi = ui33
vi
= ui
J, E
2
j
i
1
L
ui33
– Ta chọn đa thức xấp xỉ
uj33
để biểu diễn hàm chuyển
u i2
u j2
vị trong phần tử như sau:
v(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3
Góc xoay của mặt cắt ngang bất kỳ chính là đạo hàm của v(x)
θ(x) = 0 + a2 + 2a3x + 3a4x2
116
Phần tử dầm (t.theo)
– Thực hiện đồng nhất hàm chuyển vị tại các chuyển vị nút:
Tại nút i:
u2i vi v x 0 a1
ui33
uj33
i
i
u33
i
Tại nút j:
dv
dx
a2
u i2
j
u j2
x 0
u2j v j v x L a1 a2 L a3 L2 a4 L3
u33j j
dv
dx
a2 2a3 L 3a4 L2
xL
117
5
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
Nếu đặt: q1 u2i
θj = q4
y
i
q2 u33
q3 u
θi = q2
j
2
vi = q1
q4 u33j
thì:
vj = q3
J, E
j
i
q4
q2
q1 a1
x
L
q1
q3
q2 a2
q3 a1 a2 L a3 L2 a4 L3
q4 a2 2a3 L 3a4 L2
118
Phần tử dầm (t.theo)
– Hoặc viết dưới dạng ma trận
q1 1
q 0
2
q3 1
q4 0
0 a1
0 a2
L L2 L3 a3
1 2 L 3L2 a4
0
1
0
0
Trong đó:
1
0
A
1
0
0
0
L L2 L3
1 2 L 3L2
0
1
0
0
hay:
1
0
1
và A 32
L
2
L3
qe Aa
0
1
0
0
2
L
1
L2
3
L2
2
L3
0
0
1
L
1
L2
119
6
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
qe Aa
a A qe
1
– Hàm chuyển vị v(x) của dầm có thể được viết lại như sau:
v x P x a P x A
1
qe N x e qe
trong đó [N(x)]e là ma trận các hàm dạng của phần tử dầm:
N x e P x A
1
N x e 1 x
x2
1
0
3 3
x
2
L
2
L3
0
1
0
0
2
L
1
L2
3
L2
2
L3
0
0
1 N
1
L
1
L2
N2
N3
N4
120
Phần tử dầm (t.theo)
– Như vậy, hàm chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn là:
4
v x N e qe N i x qi
i 1
trong đó:
N1 1 3
x2
x3
2
L2
L3
N2 x 2
x 2 x3
L L2
N3 3
x2
x3
2
L2
L3
N4
x 2 x3
L L2
121
7
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
– Với giả thiết mặt phẳng dầm vẫn phẳng và chỉ bị xoay đi góc θ
dv
dx
do đó, chuyển vị dọc trục là u có
quan hệ với độ võng v như sau:
u y sin y
dv
dx
dv
dx
dv
dx
v
y
u y
dv
dx
122
Phần tử dầm (t.theo)
– Biến dạng dọc trục
du
d 2v
y 2
dx
dx
– Hàm chuyển vị v x N e qe , do đó biến dạng có thể
được viết lại như sau:
y
d 2 N e
dx 2
qe B qe
trong đó:
B y
d 2 N e
dx 2
N1 1 3
x2
x3
2 3
L2
L
N2 x 2
x 2 x3
L L2
N3 3
x2
x3
2 3
L2
L
N4
x2 x3
L L2
123
8
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
khai triển ma trận tính biến dạng [B]:
6 12 x 4 6 x 6 12 x 2 6 x
3 2 2 3 2
2
L L L L
L L L
L
B y
– Ứng suất tại mọi điểm trên dầm chịu uốn
E E B qe
– Ma trận độ cứng của phần tử dầm được xác định như sau:
k B
T
Ve
E B dV E B B dF dx
T
LF
124
Phần tử dầm (t.theo)
khai triển ma trận độ cứng phần tử [k] như sau:
u i2
i
u33
u2j
u33j
u2i
12 6 L 12 6 L
4 L2 6 L 2 L2
EI
k 3 33
12 6 L
L
Đối xứng
4 L2
i
u33
u2j
u33j
2
ui
u i2
33
i
u j2
uj33
j
1
I 33 y dF
trong đó: là
mô men quán tính của mặt cắt ngang
2
F
lấy đối với trục 3 (là trục z vuông góc với mặt phẳng chứa dầm)
125
9
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
– Do hệ tọa độ tổng thể trùng với hệ tọa độ địa phương nên:
U Yi
i
U ZZ
U Yj
U ZZj
12 6 L 12 6 L
4 L2 6 L 2 L2
EI
K k 3 33
12 6 L
L
Đối xứng
4 L2
U Yi
i
U ZZ
U Yj
U ZZj
Y
Ui
UiY
ZZ
UjY
UjZZ
j
i
X
126
Phần tử dầm (t.theo)
• Ví dụ 3.1.
Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ:
P
1
1
Lo/2
w
Eo, Io
Lo/2
2
2 Eo, 2Io 3
Lo
Eo = 200000MPa
Io = 20000mm4
Lo = 4000mm
P = 15000N
w = 4N/mm
– Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối
– Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ
127
10
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
Hệ có 6 bậc tự do:
– Bốn bậc tự do bằng 0 đã biết là: θ1, v1, v2 và v3
– Hai bậc tự do chưa biết là: θ2 và θ3
v1 = 0
θ1 = 0
v2 = 0
θ2
v3 = 0
θ3
– Quy ước dấu:
128
Bảng tra mômen cho một số phần tử mẫu
Phần tử dầm (t.theo)
129
11
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
Xác định lực nút phần tử dựa trên bảng tra nội lực phần tử mẫu:
– Phần tử 1
PL1
8
Mg
P
Mg
Mg
1
M 0.5
M 0.5
2
PL1
8
PL1
8
1
PL1
8
P
2
2
P
2
– Phần tử 2
w
Mg
Mg
wL22
12
Mg
2
M 0.5
3
M 0.5
wL22
24
wL22
12
2
wL22
12
wL
2
3
wL
2
130
131
12
5/30/2015
132
133
13
5/30/2015
134
135
14
5/30/2015
136
137
15
5/30/2015
138
139
16
5/30/2015
140
141
17
5/30/2015
142
143
18
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
75 N
200 N m
1
100 N m
2
1925N
2367N m
3
2
75 N
1925N
5333N m
w
7500N m
P
7500N m
5333N m
2
2
1
M 0.5
7500N
7500N
5333N m
3
M 0.5
8000N
8000N
144
Thuật toán sử dụng ma trận chỉ số [b] để thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [Ko]
Begin
[Ko] := [k]
(1). Tạo ma trận chỉ số nút [b]
(2). Xác định số ẩn số Sas.
(3). Tạo ma trận số không [k]
có kích thước là [Sas*Sas]
t := t + 1
i := 1
c t := j
‐
x := 1
i <= Spt
+
Đưa ra [Ko]
t := 0
i := i + 1
+
{c} := [0,0,0,0] T
[kk] := [K] i
{bi} := [b] (i) T
End
‐
x <= t
kbic
x
,bict
: kbic
x
,bict
‐
x < t
j := 1
kkcx ,ct
+
j <= 4
+
j := j + 1
bi j = 0
‐
‐
kbic ,bic : kbic ,bic kkct ,cx
t
x
t
x
x := x + 1
+
145
19
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
• Bài tập 3.1.
Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ:
P
1
1
2
Eo, Io
Lo/2
Lo/2
Eo = 200000MPa
Io = 20000mm4
Lo = 4000mm
P = 15000N
w = 4N/mm
w
2 Eo, 2Io 3
Lo
– Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối
– Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ
146
Phần tử dầm (t.theo)
• Bài tập 3.2.
Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ:
P
1
1
Lo/2
w
Eo, Io
Lo/2
2
2 Eo, 2Io 3
Lo
ko
Eo = 200000MPa
Io = 20000mm4
Lo = 4000mm
ko = 10kN/m
P = 15000N
w = 4N/mm
– Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối
– Vẽ biểu đồ mô men uốn trong hệ
147
20
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
• Trường hợp phần tử Beam có xét đến biến dạng dọc:
– Nếu kể đến biến dạng dọc trục trong phần tử dầm thì mỗi nút
thuộc phần tử có số bậc tự do là 3 => số bậc tự do của phần tử
là 6.
– Ma trận độ cứng của phần tử dầm có xét biến dạng dọc được
kết hợp giữa ma trận độ cứng của phần tử thanh dàn (chỉ chịu
nén) và ma trận độ cứng của phần tử dầm (chỉ chịu uốn)
K K
truss
K
beam
148
Phần tử dầm (t.theo)
Y
K K
truss
UiY
UiZZ
K
beam
UiX
UjY
UjZZ
j
i
UjX X
U Xi U Xj
K
truss
AE 1 1
L 1 1
U Yi
K
beam
i
U ZZ
U Xi
U Xj
U Yj
U ZZj
12 6 L 12 6 L
4 L2 6 L 2 L2
EI
3 33
12 6 L
L
Đối xứng
4 L2
U Yi
i
U ZZ
U Yj
U ZZj
149
21
5/30/2015
Phần tử dầm (t.theo)
Ma trận độ cứng của phần tử dầm (trong hệ tọa độ địa phương,
OXY ≡ o12) có xét đến biến dạng dọc trục:
U Xi
U Yi
i
U ZZ
EA
0
0
L
12EI
6EI
2
L3
L
EI
4
L
K
Đối xứng
U Xj
U Yj
EA
L
0
0
0
EA
L
12EI
L3
6EI
L2
0
12EI
L3
U ZZj
0
6EI
2
L
2EI
L
0
6EI
L2
4EI
L
U Xi
U Yi
i
U ZZ
U Xj
U Yj
U ZZj
150
3.3. Phần tử khung phẳng 2D‐Frame
• Xét phần tử dầm chỉ chịu uốn
trong hệ tọa độ phẳng
– Trong hệ tọa độ địa phương
o12, chuyển vị v(x) của phần
tử dầm chịu uốn được biểu
diễn qua véc tơ chuyển vị
nút như sau:
v x N x q
trong đó:
q vi i
v j j q1
T
q2
q3
q4
T
151
22
5/30/2015
Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)
– Trong hệ tọa độ tổng thể OXY
các chuyển vị nút vi và vj có thể được
phân tích thành các thành phần theo
hai phương X và Y.
UjY = Q5
UjX = Q4
UiY = Q2
Khi đó, nếu gọi véc
tơ chuyển vị nút
phần tử trong hệ
tọa độ OXY là {Q}
thì:
Q U Xi
U Yi
Q Q1
Q2
α
Ui
i
U ZZ
Q3
X
U Xj
Q4
X
= Q1
U Yj U ZZj
Q5
T
Q6
T
152
Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)
– Quan hệ giữa {q} và {Q} như sau:
q1 sin Q1 cos Q2 m Q1 l Q2
q2 Q3
q3 sin Q4 cos Q5 m Q4 l Q5
q Q
6
4
UjY = Q5
UjX = Q4
trong đó:
UiY = Q2
α là góc nghiêng giữa
trục phần tử o1 với
trục nằm ngang OX.
α
Ui
X
= Q1
X
153
23
5/30/2015
Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)
Hoặc biểu diễn quan hệ {q}e và {Q}e dưới dạng ma trận:
m l 0
0 0 1
q
0 0 0
0 0 0
Q1
0 0 0 Q2
0 0 0 Q3
T Q
m l 0 Q4
0 0 1 q '5
q '6
q
T
Q
4 1 4 6 6 1
[T] được gọi là ma trận biến đổi trục tọa độ, trong đó l và m là các
cosin chỉ phương của trục phần tử o1 trong hệ tọa độ tổng thể.
m l 0 0 0 0 sin
0 0 1 0 0 0 0
T
0 0 0 m l 0 0
0 0 0 0 0 1 0
cos
0
0
0
0
1
0
0
0 sin
0
0
0
0
cos
0
0
0
0
1
154
Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)
Tương tự, quan hệ giữa lực nút trong hệ tọa độ địa phương
{f}e và lực nút trong hệ tọa độ tổng thể {F}e dưới dạng ma trận:
f
4 1
T F
4 6 6 1
– Xét phương trình cân bằng PT trong hệ tọa độ địa phương:
k q f
k T Q T F
T k T Q T T F
T
T
T k T Q F
T
K T k T
T
155
24
5/30/2015
Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)
– Ma trận độ cứng phần tử dầm trong hệ tọa độ tổng thể OXY là
[K]beam được xác định như sau:
K
beam
T k T
T
trong đó: [k] là ma trận độ cứng phần tử dầm trong tọa độ o12
u i2
i
u33
u2j
u33j
12 6 L 12 6 L
4 L2 6 L 2 L2
E I 33
k 3
12 6 L
L
Đối xứng
4 L2
2
u2i
ui2
i
u33
u
j
2
u33j
ui33
uj2
uj33
j
i
1
156
Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo)
Thực hiện các phép nhân ma trận: K
beam
T k T
T
Ta được ma trận độ cứng của phần tử dầm trong hệ tọa độ
tổng thể OXY như sau:
U Xi
K
beam
U Yi
i
U ZZ
12 m 2 12lm 6 L m
12l 2
6L l
4 L2
EI
3
L
Đối xứng
U Xj
U Yj
12 m 2
12lm
12lm
12l 2
6L m
6L l
12 m
2
12lm
12l 2
U ZZj
6L m
6L l
2 L2
6L m
6L l
4 L2
U Xi
U Yi
i
U ZZ
U Xj
U Yj
U ZZj
157
25
