Đại cương về phương pháp nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng tia x

Chương 3. Đại cương về phương pháp nghiên cứu cấu trúc
tinh thể bằng tia X
3.1 Cách kí hiệu mặt phẳng nút. Chỉ số Miler.
3.1.1 Khái niệm mặt phẳng nút
Mặt phẳng nút là mặt phẳng đi qua ba nút mạng không thẳng hàng với nhau. Nên
nhớ rằng do phép tinh tiến thì mặt phẳng này khơng chỉ chứa ba nút kể trên mà nó
sẽ chứa vơ số các nút mạng khác.
Giả sử một mặt phẳng nút cắt ba trục tinh thể tại (các nút mạng) pa, qb, rc trong đó
p, q, r là các số nguyên. Thiết lập tỉ số kép cúa các thông số của mặt phẳng này với
mặt phẳng ‘đơn vị’ cắt ba trục tại 1a, 1b, 1c. Theo định luật Haüy tỉ số này là tỉ số
cúa các số nguyên đơn giản h : k : l
1a/pa : 1b/qb : 1c/rc = 1/p : 1/q : 1/r = h : k : l
Tỉ số h : k : l được xác định bằng cách qui đồng mẫu số của các phân số 1/p : 1/q :
1/r. Mặt mạng đó được đặc trưng bởi bộ số h, k, l và được kí hiệu là (hkl). Như
vậy mặt đơn vị là mặt (111). Các chỉ số h, k, l của mặt mạng được gọi là chỉ số
Miller. Bằng phép tịnh tiến, ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại vô số các mặt
phẳng tương đương với mặt (hkl). Chúng song song, cách đều nhau và. tạo nên
một họ mặt mạng hkl.
Ví dụ trong khơng gian hai chiều (hoặc xét các mặt phẳng nút (xy0) song song với
c) như mặt (320) trong hình dưới. Việc tịnh tiến mặt phẳng này theo các vectơ tịnh
tiến
và
sẽ cho ta họ mặt mạng (320). Bằng phép tịnh tiến, ta cũng thấy rằng
mọi mặt phẳng (hkl) đều đi qua gốc tọa độ.

Ý nghĩa của tỉ số miller là mặt phẳng gần gốc nhất trong họ hkl sẽ cắt các trục tinh
thể ở a/h, b/k, c/l. Mỗi họ mặt mạng được đặc trưng bởi khoảng cách giữa các mặt
dhkl . Nó chính bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng nút của họ mạng
gần gốc tọa độ nhất (cắt ba trục tinh thể ở a/h, b/k, c/l).

3.1.2 Khoảng cách giữa các mặt trong họ hkl
Bằng toán học người ta đã tính tốn được giá trị dhkl này và thấy rằng nó chỉ phụ
thuộc vào các thơng số mạng (a, b, c, α, β, γ) và chỉ số Miller. Biểu thức tổng quát
đối với hệ tinh thể tam tà là

Tuy nhiên đối với những hệ tinh thể khác có tính đối xứng cao hơn, tùy vào giá trị
a, b, c, α, β, γ tương ứng, công thức tính có thể đơn giản hơn nhiều. Ví dụ như:
Hệ đơn tà

Hệ trực thoi

Đối với hệ tứ phương

Đối với hệ lập phương

3.2 Hiện tượng nhiễu xạ tia X của tinh thể
Khi chiếu chùm tia X đi qua một tinh thể, tia X bị ‘tách’ thành những tia X thứ cấp
khác nhau. Vị trí và cường độ của chúng có thể được ghi lại bằng cách đặt một
phim ghi ảnh ở phía sau. Hiên tượng này, được biết đến là hiện tượng nhiễu xạ tia
X. Ảnh ghi được được gọi là ảnh nhiễu xạ của tinh thể. Hiện tượng nhiễu xạ của
tinh thể được quan sát đầu tiên và được giải thích bởi Max Von Laue vào năm
1912 (Nobel vật lí năm 1914)


Tia X

Tia nhiễu
xạ

Ảnh nhiễu

xạ

 Câu hỏi đặt ra là phải chăng có mối liên hệ giữa ảnh nhiễu xạ của một tinh
thể với cấu trúc của nó?
 Hai yếu tố có thể xác định bằng thực nghiệm của một ảnh nhiễu xạ là vị trí
và cường độ (được xác định bằng độ sáng của ảnh trên phim).
 Trong các phần sau, chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa hai yếu tố này với
cấu trúc của của một tinh thể.
3.2.1 Cơ sở của hiện tượng nhiễu xạ
a) Tương tác giữa tia X với nguyên tử.
Tia X mang bản chất sóng điện từ, khi tương tác với một nguyên tử nó chỉ bị
‘nhiễu xạ’ bởi lớp vỏ điện tử của nguyên tử đó.
Xét trường hợp đơn giản nhất là tương tác của tia X với một electron. Khi chiếu tia
X tới một electron, electron này trở thành tâm phát tia X thứ cấp, nó phát tia X có
cường độ như nhau theo mọi hướng. Tia X thứ cấp có tần số và pha bằng tần số và
pha của tia X tới.
Việc nhiễu xạ tia X của một nguyên tử phức tạp hơn nhiều. Khả năng nhiễu xạ tia
X phụ thuộc vào số electron trong lớp vỏ điện tử (số hiệu nguyên tử, Z). Các
nguyên tử nặng hơn sẽ nhiễu xạ tia X tốt hơn nên tia nhiễu xạ của chúng có cường
độ lớn hơn. Giống như điện tử, khi tương tác với tia X tới, nguyên tử cũng trở
thành nguôn phát tia X thứ cấp, phát tia X theo mọi hướng có pha và tần số giống
với tia tới. Do sự bố trí electron xung quanh hạt nhân là khơng cân đối dẫn đến các


tia thứ cấp có cường độ khơng như nhau và phụ thuộc vào hướng của chúng so với
tia tới. như vậy nếu biểu diễn hàm sóng của tia nhiễu xạ từ nguyên tử a là F a=
fa(sinωt + φ) thì giá trị của fa sẽ phụ thuộc vào bản chất (Z) của nguyên tử a và
hướng của tia nhiễu xạ theo biểu thức

Trong đó fa là thừa số nhiễu xạ nguyên tử a, ai, bi, c là hằng số Cromer-Mann phụ

thuộc vào Z. Các hằng số này có thể thu được từ thực nghiệm hoặc từ tính tốn lí
thuyết. ϑ là góc giữa tia tới và tia nhiễu xạ, λ là bước sóng của tia X.

Biên độ tia nhiễu xạ phụ thuộc
vào góc nhiễu xạ.
b) Nhiễu xạ tia X bởi tinh thể
Khi tia X chiếu qua tinh thể, mỗi nút mạng trở thành một tâm phát tia X thứ cấp và
chúng phát tia X thứ cấp theo mọi hướng trong không gian. Xét hai tia thứ cấp
song song với nhau (?), phát ra từ hai nút điểm cạnh nhau. Nếu hiệu đường đi giữa
chúng là số nguyên lần bước sóng, hai tia sẽ cùng pha (hay độ lệch pha bằng 2nπ),
chúng sẽ giao thoa với nhau và cho ảnh nhiễu xạ trên đetectơ


Hình ảnh nhiễu xạ của hai
nút điểm

Gọi khoảng cách giữa hai nút điểm là a.
Lo/a = cosφo

L1/a = cosφ1

Hiệu đường đi là: L1 – Lo = a(cosφ1 - cosφo)
Điều kiện nhiễu xạ hay cịn gọi là phương trình Laue cho không gian một chiều:
L1 – Lo = a(cosφ1 - cosφo) = nλ
Hay, cos φ1 = cosφo+nλ/a
 Như vậy nếu ta biết được φo (hướng của tia tới) λ và a ta sẽ biết mọi vị trí
(giá trị φ1) của tia nhiễu xạ.
 L1 = a.cosφ1 đúng cho mọi tia X nằm trên đường sinh của mặt nón làm với a
một góc φ1. Như vậy, ta khơng thu chỉ một tia nhiễu xạ mà ta thu được vô
số tia nhiễu xạ với góc lệch φ1 kể trên, chúng hợp thành mặt nón có góc ở

đỉnh ls 2φ1


3.2.2 Sự nhiễu xạ của một dãy nút mạng
Một dãy nút mạng có chu kì là a sẽ cho ảnh nhiễu xạ tương tự như hai nút mạng
xét ở trên. Điều khác biệt là cường độ ảnh nhiễu xạ sẽ lớn hơn bởi số lượng tia
nhiễu xạ cùng có góc nhiễu xạ φ1 nhiều hơn giao thoa với nhau.
Hãy xem xét một số ví dụ về nhiễu xạ tia X của các dãy nút mạng có chu kì mạng
a và góc của tia tới φo khác nhau Ta sẽ thấy số lượng tia nhiễu xạ (có vị trí khác
nhau) khơng phụ thuộc vào hướng của tia tới, chỉ phụ thuộc vào thông số mạng
hay cụ thể hơn phụ thuộc vào tỉ số giữa a/λ. Số lượng tia nhiễu xạ ggần đúng bằng
2a/λ



Điều kiện nhiễu xạ có thể được biểu diễn dưới dạng vecto như sau

Gọi

và

là các vecto đơn vị có hướng của tia X tới và tia nhiễu xạ.

Lo= a.cosφo =
L1 = a.cosφ1 =

.
.

Điều kiện nhiễu xạ được viết lại là

L1 – Lo =

.(

= hλ (h nhận các giá trị là các số nguyên)

3.2.3 Sự nhiễu xạ của tia X trong không gian hai chiều
Không gia hai chiều được tạo nên từ sự tịnh tiến một nút mạng theo hai chu kì
mạng (vecto cơ sở) , . Ta hãy xem xét sự nhiều xạ của hai dãy nút mạng a và
b này. Rõ ràng, các tia nhiễu xạ cần thỏa mãn đồng thời hai phương trình Laue đối
với hai dãy nút mạng, có nghĩa là
a(cosφ1 - cosφo1) = hλ
b(cosφ2 - cosφo2) = kλ

Hay

.(

= hλ

.(

= kλ


Các tia có hướng BR và BS
sẽ cho ảnh nhiễn xạ trên
phim

Ta có thể hiểu hình ảnh nhiễu xạ thu được trên phim bằng cách tưởng

tượng rằng: nếu ta có hai dãy nút mạng a, b nằm trên mặt phẳng giấy cịn phim ghi
ảnh (detecter) đặt song song ở phía sau mặt phẳng giấy. Tia X đi qua và vuông góc
với mặt phẳng giấy. (φo1 = φo2 = 90, giống với ví dụ ta đã xét cho trường hợp 1 dãy
nút mạng). Các mặt nón nhiễu xạ của dãy nút a, b cắt detecter theo hai họ đường
song song và vng góc với nhau. Giao điểm giữa chúng chính là những vị trí cúa
tia nhiễu xạ thoa mãn đồng thời hai phương trinh Laue.


3.2.4 Sự nhiễu xạ của tinh thể trong không gian ba chiều
Không gian tinh thể được tạo thành nếu tồn tại một dãy nút mạng thứ ba với chu kì
mạng c. Các tia nhiễu xạ phải thỏa mãn cả ba phương trình Laue mới cho ảnh
nhiễu xạ trên phim
.(

= hλ

.(

= kλ

.(

= lλ

Những mặt nón nhiễu xạ của dãy nút c (đối diện với phim) sẽ cho những vết tròn
trên phim. Những vị trí mà đường trịn này đi qua giao điểm của các đường thẳng
sẽ là những vị trí của ảnh nhiễu xạ bởi tinh thể.
Trong thực nghiệm, người ta cố định nguồn tia X, tinh thể được gắn trên sợi thủy
tinh mảnh và được gắn trên giá quay để đảm bảo có thể quay tinh thể theo ba
chiều khơng gian. Góc quay có thể thay đổi những giá trị rất nhỏ và chính xác. Ta

ghi ảnh nhiễu xạ của từng vị trí của tinh thể, tập hợp các ảnh nhiều xạ này được
dùng để xác định cấu trúc của tinh thể
3.3 Phương trình Bragg và vị trí của các tia phản xạ
Từ các phương trình nhiễu xạ Laue cho thấy: Nếu ta biết hướng của tia tới
, các chu kì mạng tương ứng ta sẽ tính tốn được hướng của tia nhiếu xạ tương
ứng với mỗi bộ số h,k,l. Tuy nhiên việc xác định vị trí các tia nhiễu xạ dựa vào các
phương trình Laue rất phức tạp. Hai cha con gia đình Bragg (William Henry
Bragg – cha và William Lawrence Bragg – con, nobel vật lí 1915) đã đưa ra một
mơ hình khác, đơn giản hơn nhiều, để giải thích ảnh nhiễu xạ.
Theo Bragg, sự nhiễu xạ tia X được xem như là sự giao thoa giữa các tia X
phản xạ từ các mặt phẳng nút trong cùng một họ mặt hkl (??).
Trong phần trước, ta đã biết, tinh thể có thể được hiểu là tập hợp của những
họ mặt phẳng nút hkl khác nhau. Theo Bragg những mặt phẳng nút này có thể
phản xạ tia X giống như gương phẳng phản xạ ánh sáng.
Điều kiện để hai tia phản xạ có thể giao thoa cho ảnh nhiễu xạ là hiệu
đường đi phải bằng số nguyên lần bước sóng. Ta có thể chứng minh hiệu đường đi
giữa hai tia bất kì phản xạ trên hai mặt phẳng kề nhau chỉ phụ thuộc vào hướng
của chúng (góc θ với mặt phẳng nút) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Nên nhớ
rằng nếu tia tới tạo với mặt phẳng nút một góc bằng θ thì nó sẽ tạo với tia phản xạ
một góc 2θ.


Từ nhìn trên ta thây, hiệu quãng đường δ :

Ta có thể viết lại:

Mặt khác ta có
Hay d = A1A2. sin (θ + φ2)
do đó
do đó

Thay các biểu thức trên vào cơng thức tính δ ta có
δ = 2A1A2. sin (θ + φ2).sin(θ) = 2d . sin θ
Như vậy, điều kiện có ‘ảnh nhiễu xạ’ của các tia phản xạ bởi họ mặt phẳng nút hkl
là
2dhkl . sin θ = nλ hay 2(dhkl/n). sin θ = λ
Trong đó n được gọi là bậc phản xạ, d hkl là khoảng cách giữa các mặt nút hkl. Từ
cơng thức tính dhkl, ta dễ thấy dhkl = ndnh,nk,nl do vậy tia phản xạ bậc n của họ mặt
phẳng hkl sẽ trùng với tia phản xạ bậc 1 của họ mặt phẳng nh, nk, nl do vậy điều
kiện phản xạ bragg có thể viết lại là
2dhkl . sin θ = λ
Rõ ràng là trong tinh thể có vơ số họ mặt phẳng nút, tuy nhiên số mặt phẳng nút
cho tia phản xạ bị hạn chế bởi điều kiện 0=< sin θ <=1, như vậy chỉ có những mặt
hkl thỏa mãn
dhkl >= λ/2 mới cho tia phản xạ


Ta thấy rằng, nếu ta biết các thông số mạng a, b, c, α, β , γ ta có thể tính tốn được
mọi giá trị dhkl và từ đó, áp dụng phương trình Bragg, ta có thể tính được các giá trị
θ (nhớ rằng 2θ là góc giữa tia tới và tia phản xạ). Nói cách khác, nếu ta biết các
thông số mạng a, b, c, α, β , γ ta sẽ biết được vị trí của tia phản xạ hay vị trí của
các ảnh nhiễu xạ. Tuy nhiên, thực nghiệm u cầu ta giải bài tốn ngược. Có nghĩa
là từ ảnh nhiễu xạ, ta cần phải xác định các thông số mạng a, b, c, α, β , γ.
3.4 Sự thống nhất giữa mơ hình phản xạ Bragg và nhiễu xạ Laue
Sự phản xạ tia X của các mặt phẳng nút mạng được đề nghị bởi Bragg là một mơ
hình khơng có thực, song các kết qủa của nó lại hoàn toàn trùng khớp với các kết
qủ thu được từ các điều kiện nhiễu xạ của Laue. Các kết quả thu được từ phương
trình phản xạ Bragg lại rất rõ ràng, đơn giản, nó cho phép ta hiểu được bản chất
của ảnh nhiễu xạ, mối liên hệ giữa vị trí của các ảnh nhiễu xạ với các thơng số
mạng.
Việc chứng minh sự thống nhất giữa mơ hình phản xạ Bragg và nhiễu xạ Laue là

khá phức tạp. Ta sẽ chứng minh
 Nếu tia tới và tia nhiễu xạ thỏa mãn các phương trình nhiễu xạ Laue thì
chúng sẽ phản xạ trên một mặt phẳng hkl của Bragg
 Hướng của tia tới và khoảng cách giữa các mặt phẳng trong họ mặt hkl nói
trên sè thỏa mãn phương trình Bragg.
1. Nếu tia tới và tia nhiễu xạ thỏa mãn các phương trình nhiễu xạ Laue thì chúng
sẽ phản xạ trên một mặt phẳng hkl của Bragg

Gọi
là vectơ đơn vị có hướng là hướng của tia tới và tia nhiễu xạ, chúng sẽ
thỏa mãn ba phương trình Laue
.(

= hλ ⇒ (

/ ).(

= λ (1)

.(

= kλ ⇒ ( / ) . (

= λ (2)

= lλ ⇒

.(

( / ).(

= λ (3)

Thiết lập các hiệu của phương trình (1) – (2), (2) – (3) và (3) – (1) ta có
(

/ −

/ ).(

=0

( / −

/ ).(

=0

( / −

/ ).(

=0


vng góc đồng thởi với các vectơ (

Do đó ta có vectơ (

/ −

/ ), (

/ − / ) và ( / − / ) do vậy vectơ sẽ vuông góc với mặt phẳng hkl gâng
gốc toa độ nhất trong họ hkl (cắt các trục tương ứng ở a/h, b/k và c/l). Điều này
đồng nghĩa với việc tia phản xạ của

trên mặt (hkl) chính là

.

2. Hướng của tia tới và khoảng cách giữa các mặt phẳng trong họ mặt hkl nói
trên sè thỏa mãn phương trình Bragg
Thiết lập tổng của các phương trình (1), (2) và (3) ta có
(

/ +

/ +

/ ).(

= 3λ

Khi
là các vectơ đơn vị (có độ lớn bằng 1) thì vectơ
là vectơ
pháp tuyến của mặt hkl (hướng vng góc với hkl) và có độ lớn bằng 2sinθ trong
đó θ là góc phản xạ.
Tích vơ hướng (

của của vectơ (

/ +

/ +

/ +

/ +

/ ). (
/ ) lên hướng (

bằng tích số độ dài hình chiếu
và độ dài của vectơ (

. Các bạn hãy tự chứng minh rằng độ dài hình chiếu của của vectơ (
+ / + / ) lên hướng (
mặt hkl gần nhất).

/

bằng 3dhkl (khoảng cách từ gốc tọa độ đến

Kết hợp ta có
(

/ +

/ +

/ ).(

= 3λ ⇒

3dhkl . 2sinθ = 3λ hay 2dhkl . sinθ = λ (phương trình Bragg)
3.5 Xác định hệ tinh thể
Rõ ràng là, ứng với mỗi ảnh nhiễu xạ, ta hồn tồn có thể đo được bằng thực
nghiệm góc giữa tia X tới và tia phản xạ. Giá trị góc này chính bằng 2θ, do vậy ta
sẽ biết được các giá trị θ trong phương trình Bragg và ta hồn tồn có thể tính tốn
được các giá trị dhkl tương ứng
Ta biết rằng có thể xem dhkl là một hàm của h, k, l trong đó những ẩn số này chỉ
nhận các giá trị nguyên, các thông số mạng a, b, c, α, β , γ đóng vai trị là các hệ
số trong phương trình tính dhkl. Trên ngun tắc, ta có thể tìm các thơng số này
bằng các phép thử. Ta thay đổi những khoảng nhỏ các thông số này cho đến khi có
thể tìm được những bộ số h,k,l tương ứng với mỗi giá trị d hkl. Số lượng những
phép thử sẽ là khổng lồ, ngay cả khi chấp nhận sai số (khoảng thay đổi) là đáng


kể. Tuy nhiên, với hệ có tính đối xứng càng cao thi phương trình tính d hkl càng đơn
giản và số lượng các hệ số cần xác định càng ít
Ví dụ đối với hệ lập phương

Chỉ duy nhât một hệ số a cần tìm.
Tuy nhiên, việc xác định a, b, c cũng khá đơn giản bởi các phản xạ có góc θ nhỏ
nhất (dhkl lớn nhất) sẽ tương ứng với d100 = a, d010 = b và d010 = c. Khoảng hơn mười
năm về trước, việc xác định thông số mạng từ một số ảnh nhiễu xạ ban đầu đóng
vai trị quan trọng bởi lẽ từ các thơng số mạng này, người ta có thể xác định được
vị trí của các phản xạ khác. Từ đó người ta xoay tinh thể đến những vị trí sẽ cho
ảnh nhiễu xạ (đã xác định trước) rồi chiếu tia X qua tinh thể và đo cường độ của

các tia phản xạ. (chú ý, nguồn tia X và detecter được đặt cố định còn tinh thể có
thể xoay ba chiều trong khơng gian). Ngày nay, quá trình đo nhiễu xạ tia X được
tự động hóa, thời gian ghi ảnh nhiễu xạ cũng nhanh hơn rất nhiều, nên tinh thể
được xoay theo mọi vị trí và ảnh nhiễu xạ của mỗi vị trí đươc ghi lại tự động và
được xử lí bằng máy tính.
3.6 Cường độ của tia nhiễu xạ
Trong phần trước, ta đã đề cập đến hai yếu tố có thể xác định từ thực
nghiệm của ảnh nhiễu xạ là vị trí và cường độ. Nhiệm vụ đặt ra là tìm ra mối liên
hệ giữa hai yếu tố này với cấu trúc của tinh thể. Đến đây, ta đã chứng minh rằng vị
trí của các ảnh nhiễu xạ được quyết định bởi các thông số mạng a, b, c, α, β , γ .
Trong phần sau ta sẽ tìm hiểu mối liên hệ giữa yếu tố cường độ của ảnh nhiễu xạ
với cấu trúc tinh thể.
3.6.1 Sự tổ hợp sóng
Trong trường hợp chung, nút mạng chỉ là các nút điểm toán học sự phản tia
X trên các mặt phẳng nút cho ta thông tin về hướng của tia phản xạ có khả năng
cho ảnh (phương trình Bragg) chứ khơng cho ta thơng tin về cường độ của chúng.
Cường độ của tia phản xạ hkl quyết định bởi sự tổ hợp của các sóng nhiễu xạ của
các nguyên tử trong ô mạng cơ sở theo hướng tia phản xạ hkl. Nhớ rằng song phản
xạ theo hương hkl của các nguyên tử khác nhau sẽ có cùng tần số với tia X tới
(So), nhưng có biên độ và pha khác nhau (xem lại mục 3.2.1. a).
Để hiểu được sự tổ hợp các sóng điện từ này, ta sẽ bắt dầu bằng việc khảo
sát sự tổ hợp của hai sóng W1 và W2 cùng tần số nhưng biên độ và pha khác nhau.


Sóng tổng hợp W được viết lại

Nếu muốn biểu diễn sóng W dưới dạng
W=
Khai triển biểu thức ta có
Đồng nhất hai biểu thức ta có

Như vậy tổ hợp hai sóng cùng tần số nhưng khác pha sẽ cho một sóng có cùng tần
số và có biên độ là:

Và có pha là:
Như vậy nếu tổ hợp của 3 sóng W1, W2 và W3 sẽ quay về bài tốn tổng hợp hai
sóng là W và W3, tương tự ở trên. Giả sử thu được sóng W’ = F’ cos(ϖt − φ') thì ta
có
F’ cos(φ') = F cos(φ) + f3 cos(φ3) = f1 cos(φ1) + f2 cos(φ2) +f3 cos(φ3)
F’ sin(φ') = F sin(φ) + f3 sin(φ3) =f1 sin(φ1) + f2 sin(φ2) +f3 sin(φ3)
tan(φ') = (f1 sin(φ1) + f2 sin(φ2) +f3 sin(φ3))/f1 cos(φ1) + f2 cos(φ2) +f3 cos(φ3)
Tổng quát, việc tổ hợp n sóng cùng tần số ϖ, khác pha và biên độ sẽ cho sóng
W = F cos(ϖt − φ)
trong đó
F cos(φ) = f1 cos(φ1) + f2 cos(φ2) +.... + fn cos(φn)
F sin(φ) = f1 sin(φ1) + f2 sin(φ2) +... + fn sin(φn)
tan(φ) = (f1 sin(φ1) + f2 sin(φ2) +... + fn sin(φn))/f1 cos(φ1) + f2 cos(φ2)(φ2) +.... + fn
cos(φn)
Một cách đơn giản hơn cho việc tổng hợp hàm sóng là vệc biểu diễn nó dưới dạng
hàm ảo


Hàm tổng cộng cũng sẽ có dạng
F = f1 + f2 = F cos(φ) + iF sin(φ)

Hình dưới mơ tả sự tổng hợp hai sóng dưới dạng tổng hợp vectơ ảo

Do mối liên hệ

Nên hàm sóng cịn thường được biểu diễn dưới dạng

Do vậy việc tổ hợp n sóng chỉ đơn giản là

Hay

3.6.2 Cường độ của ảnh nhiễu xạ
Cường độ của ảnh nhiễu xạ hkl có được là do sự tổ hợp các tia nhiễu xạ từ các
nguyên tử trong ô mạng với tia phản xạ hkl. Giả sử có một nguyên tử i tại vị trí (x i,
yi, zi) trong ô mạng. Vecto ri từ gốc tọa độ đến nguyên tử i được biểu diễn


r i = xi

+ yi

+ zi

xét độ lêch pha giữa sóng phản xạ từ nguyên tử i với nút nằm ở gốc tọa độ (nên
nhớ lại rằng mọi mặt nút hkl đều chứa nút ở gốc toạ độ). Xét vecto tia tới và tia
nhiễu xạ tương ứng là So và S. Hiệu quãng đường δi được tính bằng:
δi = L1 – Lo =
δi = xi

(

= (xi

(

+ yi

+ yi

(

+ zi
+ zi

).(
(

điều kiện để S cho ảnh nhiều xạ là
.(

= hλ

.(

= kλ

.(

= lλ

Do vậy hiệu quang trình được viết lại

Độ lệch pha của tia nhiễu xạ bởi nguyên tử i với tia phản xạ hkl tương ứng là ∆φi
∆φi = (2π/λ)( δi) = 2π ( hxi + kyi + lzi)
Nhớ rằng độ lệch pha của hai sóng mới ảnh hưởng đến sóng tổng hợp. Nên ta hồn
tồn có thể giả thuyết pha của sóng hkl tại gốc tọa độ là 0. Như vậy pha của sóng

nhiễu xạ tại nguyên tử ở vị trí (xi, yi, zi) sẽ là
φi = (2π/λ)( δi) = 2π ( hxi + kyi + lzi)
Xét trường hợp tổng qt, trong ơ mạng có n ngun tử khác nhau, sóng phản xạ
hkl sẽ là sóng tổng hợp của n tia nhiễu xạ từ n nguyên tử trong ô mạng. Do đó

Trong đó
 fj là biên độ sóng nhiễu xạ của nguyên tử j theo hướng phản xạ hkl, nó tỉ lệ
thuận với số hiệu nguyên tử hay nói cách khác là phụ thuộc vào bản chất
của từng loại nguyên tử.
 φi là pha của sóng nhiễu xạ của nguyên tử j, nó phụ thuộc vào vị trí của
ngun tử trong ô mạng


 F(hkl) là sóng tổ hợp tương ứng với tia phản xạ hkl, nó được gọi là thừa số
cấu trúc
Ta có thể biểu diễn F(hkl)

Trong đó

Giá trị bình phương biên độ sóng của tia phản xạ hkl tỉ lệ thuận với cường độ ảnh
nhiễu xạ hkl đo được bằng thực nghiệm trong đó

Đến đây, ta đã trả lời được mối liên hệ giữa cường độ ảnh nhiễu xạ với cấu trúc
tinh thể. Nó phụ thuộc vào bản chất các nguyên tử có trong tinh thể và vị trí của nó
trong ô mạng cơ sở.