Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán có đáp án

ẹE THI THệ SO 35
Thigian:180phỳt(khụngkthigiangiao)

Cõu1(2,0im). Chohms y =- x3 + 3mx2 + 3(1- m2)x+ m3 - m (1)
a)Khosỏtsbinthiờnvvthcahms (1)khim=1.
b)Tỡmmthhms(1)cúhaiimcctrnm vcựngmtphớacangthng y=1
(khụngnmtrờnngthng).
Cõu2(1,0im).
Giiphngtrỡnh cos 2x+(1+ 2cosx)(sinx- cosx)= 0
Cõu3(1,0im).
Tỡmgiỏtrlnnhtvnhnhtcahms y =ex(x2 - x- 1) trờnon[02].
Cõu4(1,0im).
Chonlstnhiờnthamón 2Cn2 + 3An2+2 = 326.Tỡmhsca x6 trongkhaitrinnhthc
n

3 ử
ổ
Niutnca ỗ 2x2 - ữ ,x> 0.
xứ
ố

Cõu 5 (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho tam giỏc ABC vi A(1-12),
B(ư113),C(021).TớnhdintớchtamgiỏcABCvtỡmtachõnngcaoktAcatam
giỏcABC.
Cõu6(1,0im).Chohỡnhchúp S.ABCcúỏy ABCltamgiỏcvuụngtiA,mtbờnSABltam
giỏcuvnmtrongmtphngvuụnggúcvimtphng(ABC),giMlimthuccnhSC
saocho MC =2 SM .Bit AB =a , BC =a 3.TớnhthtớchcakhichúpS.ABCvkhongcỏch
giahaingthng ACv BM.
Cõu7(1,0im).TrongmtphngvihtoOxy,chotamgiỏcABCnitipngtrũn (T)
cúphngtrỡnh (x-1)2 + (y- 2)2 = 25.CỏcimK(ư11),H(25)lnltlchõnngcaoh
tA,BcatamgiỏcABC.Tỡmtacỏcnhcatamgiỏc ABCbitrngnhC cú honh

dng.
ỡù x2 + y + 3 = y2 - 3x + 7
Cõu8(1,0im). Giihphngtrỡnh ớ
ùợ y- 1+ 2y2 + 1= x + x2 + xy+ 3y

Cõu9(1,0im). Cho x,y,zlcỏcsthcthamón x2 + y2 + z2 = 9, xyzÊ0 .Chngminhrng
2(x+ y+ z)- xyzÊ 10.


TRNGTHPTễNGSNI
Kè THI KSCL TRCTUYNSINH NM 2015(LN1)
PNTHANGIMMễNTON
Cõu
Nidung
im
1a
Khosỏthmsvvthhms...
2,00
Khi m=1,tacúhms y =- x3 + 3x2
1)Tpxỏcnh: D = R .
0,5
2)Sbinthiờn:
*Giihn : lim y= lim(- x3 + 3x2)= +Ơ,lim y= lim(- x3 + 3x2)= -Ơ
xđ-Ơ

xđ-Ơ

xđ+Ơ

xđ+Ơ

*ohm y=ư 3x2 +6x ,y=0 x=0, x =2.
* Bngbinthiờn:
x
ư Ơ
0
2+ Ơ
y'
ư
0
+0
ư
Ơ
+
4

0,5

y
0
ư Ơ
ưHmsnghch bintrờn cỏckhong (ư Ơ 0)v(2+ Ơ ),ng bintrờn khong (02)
ưHmstcciti x=2,yC =4,tcctiuti x= 0, yCT =0.
3.th:thgiaovitrctungti
y
O(00),giaovitrchonhtiO(00)
A(3 0), nhn im un I(12) lm tõm i
4
xng
*imun:y=ư 6x +6,y=0 x=1

2
thhmscú1imun I(12)
O
1b

A
1 2 3

2b

0,5

x

Tỡmm thcú2cctr...
y'=-3x2 + 6mx+ 3(1- m2)

2,00
0,25

y'=0 -3x2 + 6mx+ 3(1- m2)= 0, y' cú D'= 9m2 + 9(1- m2)= 9> 0
Suyra y' luụncúhainghimphõnbit x1 = m- 1, x2 =m+ 1
Khiúhmscúhaicctrl y1 = y(x1)= 2(m- 1), y2 = y(x2)= 2(m+ 1)

0,5

3
1
Theobiratacú ( y1 - 1)( y2 - 1) > 0 (2m - 3)(2 m + 1) > 0 m > , m < -
2

2
1ử ổ 3
ổ
ử
Vy mẻỗ - Ơ- ữ ẩ ỗ +Ơ ữ .
2ứ ố 2
ố
ứ

2a

0,5

0,5
0,5
0,25

Giiphngtrỡnhlogarit...
iukin: 0
1,00
0,5

10x- x2 = 16 x= 8,x= 2.Vyphngtrỡnhcúnghim x =2, x =8
Giiphngtrỡnhlnggiỏc...
cos 2x+(1+ 2cosx)(sinx- cosx)= 0 (sinx- cosx)(cosx- sinx+ 1)= 0

0,5
1,00
0,25

ộsinx- cosx= 0
ờ
ởcosx- sinx+ 1= 0

ộ
p ử
ổ
p
ộ
ờ 2sinỗ x- 4ữ = 0 ờ x= + kp
ố
ứ
4
ờ
ờ
ờ
p
pử
ổ
ờ
ờ 2sinỗ x- ữ = 1 ởờ x= 2 + k2p ,x= p + k2p
4ứ
ố
ở

0,5


3a

Vậyphươngtrìnhđchocónghiệm:
p
p
x = + kp , x = + k 2p , x = p + k 2p ( k ẻ Z)
4
2
Tỡmgiỏtrlnnht,nhnht.....

0,25
1,00

Tacú:y'=e (x + x- 2) nờn y'=0 e (x + x- 2)= 0 x = 1x = -2ẽ[02]
x

x

2

2

2

2

y(0)=-1, y(1)=-e, y(2)=e .Tútacú maxy = y(2)= e , miny = y(1)= -e.
[02]

3b

4a

1,00

n2 + 2n- 80= 0 n= 8,n= -10 (loi).

0,25
k

32- 5k
2

8
8
3 ử
ổ
ổ 3 ử
Tacúkhaitrin ỗ 2x2 -
ữ = ồ C8k(2x2)8- kỗ ữ = ồ C8k28- k.(-3)k.x
x ứ k= 0
x ứ
ố
ố
k= 0
32 -5k
Shngcha x6ngvi kthamón
= 6 k = 4
2
Vy hsca x6 l C84.24.(-3)4 = 90720
Tớnhxỏcsut...

10
Sphntcakhụnggianmul W = C40

Cú20tmthmangsl,4tmthmangschiahtcho10,16tmthmangschn
vkhụngchiahtcho10.
5
4 1
Gi Albincócho,suyra WA = C20
.C16
C4
VyxỏcsutcabincAl P(A)=
5

5
4 1
W A C20
.C16
C4 1680
=
=
10
W
C40
12617

Tớnhdintớch,tỡmtaim.........
AB=(-221), AC =( -13-1) ị[ AB,AC]= (-5-3-4)
1
1 2
5 2

DintớchtamgiỏcABC: SABC = [ AB,AC] =
5 + 32 + 42 =
2
2
2
Gi H(abc) lchõnngcaocatamgiỏcktA.
ỡa+ 1= k(0+ 1)
ù
Tacú BH =kBC ị ớb- 1= k(2- 1)
ùc- 3= k(1- 3)
ợ

6

0,5

[02]

Tớnhgiihn...
2sinx - 1 1+ x - 1
ộ e(sinx)ln2 - 1 sinx
ự
2sinx - 1
x
.Tacú lim
L= lim x
= limờ
.
.ln2ỳ = ln2
xđ0

x
đ
0
x
đ
0
ln(1+ x)
x
ở (sinx)ln2 x
ỷ
x
1+ x - 1
1+ x- 1
1
1
ln(1 + x)
1
lim
= lim
= lim
= ,lim
=1. Nờn L=ln 2xđ0
x
đ
0
x
đ
0
x
đ

0
x
2
x
x( 1+ x + 1)
1+ x + 1 2
Tớnhhstrongkhaitrin...
2Cn2 + 3An2+2 = 326 n(n- 1)+ 3(n+ 2)(n+ 1)= 326
8

4b

0,5

ỡa = -1+ k
ù
ớb= 1+ k ị AH = (k - 2k + 21- 2k)
ùc= 3- 2k
ợ
1
ổ 2 4 7 ử
DoAH ^ BC nờn AH.BC=0 k- 2+ k+ 2- 2(1- 2k)= 0 k = .Vy Hỗ - ữ
3
ố 3 3 3ứ
Tớnhthtớch,khongcỏch...
Gi HltrungimcaAB ị SH ^ AB.Do (SAB)^(ABC) nờn SH ^(ABC)

DoSAB ltamgiỏcucnh anờn SH =

a 3

. AC = BC2 - AB2 = a 2
2

1
1
a3 6
Thtớchkhichúp S.ABCl VS .ABC = SH.SABC = SH.AB.AC =
3
6
12

0,5

0,5
1,00
0,25

0,25

0,25
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
2,00
0,5
0,5

0,5

0,5
2,00
0,25
0,5
0,25


7 

Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại N  Þ  AC // MN  Þ AC //( BMN ) 
Ta có  AC ^  AB Þ AC  ^ (SAB )  mà  MN // AC Þ MN  ^ ( SAB ) Þ ( SAB ) ^ ( BMN ) 
Từ A kẻ  AK ^ BN ( K ΠBN ) 
S 
Þ AK ^ ( BMN ) 
Þ AK = d ( A, ( BMN )) = d ( AC , BM ) 
M 
N 
MC 2
AN  2 
Do 
= Þ
= 
K
SC 3
SA 3 
2
2 a 2 3 a 2  3 
Þ S ABN = S SAB  =
= 

3
3 4
6 
A 
7 a 2 
C 
BN 2 = AN 2 + AB 2 - 2 AN . AB cos 60 0  = 
9 
2 S 
a  7
a  21 
H 
,  AK  = ABN  = 
. 
Þ BN = 
3 
BN 
7
a  21 
B 
Vậy  d ( AC , BM ) = 
7
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác... 
(T) có tâm  I ( 1 ; 2 ) . Gọi Cx là tiếp tuyến của (T) tại 
A 
1 
· = · 
C. Ta có  HCx
ABC =  Sđ » 
AC (1) 

2 
x 
H 
Do  ·
AHB = · 
AKB = 90 0  nên AHKB là tứ giác nội 
I 
· (cùng bù với góc · 
tiếp Þ ·
AHK ) (2) 
ABC = KHC
· 
·
Từ (1) và (2) ta có  HCx = KHC Þ  HK // Cx . 
B 

K 

C 

0,25 

0,25 

0,25 

2,00 
0,25 

0,25 

Mà  IC ^ Cx Þ IC ^ HK  . 

Do đó IC có vectơ pháp tuyến là  KH  = (3 ; 4 ) , IC 
có phương trình  3 x + 4 y - 11 = 0 
Do C là giao của IC và (T) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
ì3 x + 4 y - 11 = 0 
ì x = 5  ì x = -3 
. Do  x C  > 0 nên  C (5 ; - 1 ) 
Þ í
; í
í
2 
2 
î( x - 1 )  + ( y - 2 )  = 25  î y = -1  î y = 5 
Đường thẳng AC đi qua C và có vectơ chỉ phương  là  CH  = (-3 ; 6 )  nên AC có phương 
trình  2 x + y - 9 = 0 . 
Do A là giao của AC và (T) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
ì2 x +  y - 9 = 0 
ì x = 1  ì x = 5 
Þ í
; í
(loại). Do đó  A ( 1 ; 7 ) 
í
2 
2 
î( x - 1 )  + ( y - 2 )  = 25  î y = 7  î y = -1 

8 

0,25 

Đường thẳng BC đi qua C và có vectơ chỉ phương  là  CK  = (-6 ; 2 )  nên BC có phương 
trình  x + 3 y - 2 = 0 . 
Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
ì x + 3 y - 2 = 0 
ì x = -4  ì x = 5 
(loại). Do đó  B (- 4 ; 2 ) 
Þ í
, í
í
2 
2 
î( x - 1 )  + ( y - 2 )  = 25  î y = 2  î y = -1 
Vậy  A ( 1 ; 7 ) ;  B (- 4 ; 2 ) ;  C (5 ; - 1 ) . 
Giải hệ phương trình... 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

0,25 

2,00 

ìï x 2  +  y  + 3 = y 2  - 3 x  + 7  ( 1 ) 
Ta có hệ phương trình í
ïî y - 1 + 2 y 2  + 1 = x  + x 2  + xy + 3 y  ( 2 ) 
Điều kiện:  y ³ 1 , x ³ 0 , y 2 ³ 3 x . 

0,25 

( 2 ) Û  y - 1 - x  + ( y 2 - 2 y + 1 ) - x 2  + ( y 2  - xy - y ) = 0 
Û 

y - 1 - x 
+ ( y - 1 ) 2 - x 2  + y ( y - x - 1 ) = 0 
y - 1 + x 

æ
Û  ( y - x - 1 ) çç
è

ö
1 
+ 2 y  - 1 + x ÷÷ = 0 
y  - 1 + x 
ø

æ
Û  y = x + 1 ç Do 
ç
è

0,5 

ö
1 
+ 2 y - 1 + x > 0 , "y ³ 1 , "x ³ 0 ÷
÷
y - 1 + x 
ø

+) Thế y vào (1) ta được  x 2 +  x + 1 - x 2  - x + 1 = 7  - 3  (3) 
Xét  f ( x ) =  x 2 + x + 1 - x 2  - x + 1 , 
2 x + 1 
2 x - 1 
2 x + 1 
2 x - 1 
f ' ( x ) = 
=
2
2 
2 
2  x  + x + 1  2  x  - x + 1 
( 2 x + 1 )  + 3 
( 2 x - 1 ) 2  + 3 
t 

Xét  g (t ) =

2

t +3

, g '(t ) =

3 
2

(t  + 3)3 

> 0, "t Î R  suy ra g(t) đồng biến trên  R 

Do  2 x + 1 > 2 x - 1  nên  g (2 x + 1 ) > g ( 2 x - 1 )  suy ra 
f '( x) = g (2 x + 1) - g (2 x - 1) > 0, "x ÎR . 
Do đó  f (x )  đồng biến trên  R , nên  (3 ) Û  f ( x ) = f ( 2 ) Û x = 2 Þ y = 3 
Vậy hệ đã cho có nghiệm  ( x ; y ) = ( 2 ; 3 ) 
9 

Chứng minh bất đẳng thức... 
Giả sử  x £  y £ z , do  xyz £ 0 nên  x £ 0 . 
2 

y 2  + z 2 
2 ( x +  y + z ) - xyz £ 2 x + 2  2 ( y 2  + z 2 ) - x . 
2 
2 
3 
x ( 9 - x  )  x  5 x 
= 2 x + 2  2 ( 9 - x 2 ) = + 2  2 ( 9 - x 2 ) 
2 
2  2 

0,25 

0,25 

0,5 

x 3  5 x 
3 
5  2  2 x 
+ 2  2 ( 9 - x 2 )  với  x Î [-3 ; 0 ]  Þ  f ' ( x ) = x 2  - 2  2 
2 
2  9 - x 2 

f ' ( x ) = 0 Û

3  2 5  2  2 x 
x  - = 0 Û 9 - x 2 ( 5 - 3 x 2 ) = -4  2 x 
2 
2 
2 
9 - x 

0,5 

Û  ( 9 - x 2 )( 5 - 3 x 2 ) 2  = 32 x 2  (Điều kiện  5 - 3 x 2 ³ 0 ) 
Û 9 x 6 - 111 x 4  + 327 x 2  - 225 = 0 Û x 2  = 1 , x 2  = 3 , x 2  =

Do  x 2 £ 

0,5 

2,00 

y 2  + z 2 
æ y + z ö
Do  x 2 + y 2 + z 2 = 9 Þ x 2  £ 9 Þ x Î [ - 3; 0].  Ta có  yz £ ç
, do đó 
÷ £
2 
è 2  ø

Xét  f ( x ) = 

0,5 

25 
3 

5 
nên  x 2 = 1 Û x = -1 , x = 1 (loại). 
3 

f ( - 3 ) = -6 ,  f ( -1 ) = 10 ,  f ( 0 ) = 6  2  suy ra  max  f ( x ) = f ( -1 ) = 10 
[ - 3 ; 0 ] 

0,25


Như vậy  2( x +  y + z ) - xyz £ f ( x ) £ 10 

ì x = -1 
ïï
ì x = -1 
Dấu bằng xảy ra khi  í y = z 
Ûí
î y = z = 2 
ï
2
2 
ïî y + z = 2( y + z  ) = 4
Vậy  2( x +  y + z ) - xyz £ 10 . Đẳng thức xảy ra khi (x; y; z) là một hoán vị của (­1; 2; 2) 
­­­­­­­­­­­­­­­­***Hết***­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Cảm ơn thầy Đào Trọng Xuân ( ) đã gửi tới www.laisac.page.tl

0,5