Kiến thức cơ bản và nâng cao hình học 12 NXB đại học sư phạm 2013

l<}o5T
NG6 LONG H^U - M A I

KIEN THUrC
ca BAN VA NANG CAO

nrsn HOC 12
Tdi ban Idn thit

nhdt

N H A X U A T B A N D A I H O C SlT P H A M


£^

ndi

ttdiL

Cu6'n sach Kien thiJtc ca ban vcl ndng cao Hinh hoc 12 nay nham
giiip cac em hoc sinh lop 12 nSm viing noi dung ca ban va nang cao kien
thiJc Hinh hoc.
Ke't ca'u cudn sach duac chia thanh 3 chuang:
Chuang I : Khoi da dien vd the tich ciia
Chirong I I : Mat non, mat tin, mat

chimg.

can.

Chuang I I I : Phuang phdp tga do trong kbong

gian.

Bai on tap cua cac chuang vd on tap ciioi nam duac ddnh so
tifddu cho den hit (1,2...,
148).

thi'nu

Wd'i ket ca'u tren, cuon sach chiia dung 2 noi dung chinh: Li tluiyet
- Bai tap va Huang dan gidi.
t

Trong m o i chuang gom 3 noi dung chinh:
A . Ly thuyet can
B.

nha;

Vidu;

C. De bai tap.
Trong m 6 i ph^n l i thuyet c6 cac muc 16n dugc k i hieu bang cac
chu so La M a ( I , I I , . . . ) , cac muc I6n nay iJng v6i $ 1 , $2,... trong sach
giao khoa H i n h hoc 12.
K h i lam bai tap a noi dung C, neu gap vu6ng m k , ban dpc nan xem
k i noi dung B, v i trong do cac tac gia da dua ra nhung v i du mau cung vdi
viec phan tich c6 tinh hudng d i n cho hoc sinh suy luan k h i giai cac bai
tap tuang tir.

Bai vay, cuon sach khong nhung giiip cho cac em hoc sinh c6 dieu
kien thuan Igfi trong viec hoc tap va on t h i H i n h hoc 12, ma con la t a i '
lieu tham khao t i n cay cho cac thAy c6 giao giang day mon hoc nay.
Cuon sach Kien thAc ca ban vd ndng cao Hinh hoc 12 tai ban Vkn
nay c6 chinh l i va bo sung, x i n duac g i ^ i thieu v6i cac em hoc sinh,
Cling cac v i phu huynh va t h i y c6 giao.
CAC

T A C GIA


Chuomg I

K H O I D A D I E N V A T H £ T I C H tuA C H U N G
i
A. L Y T H U Y E T C A N

NHCJ

I.
I. K H A I NifiM

K H 6 I DA DifiN

1. Hinh chop, hinh Idng tru, hinh chop cut la hinh da dien.
PhSn ban trong cua mo hinh da dien (ke ca hinh da dien) goi la khoi da
dien
2. Tong quat: Hinh da dien (goi tat la da dien) la hinh khSng gian dugfc
tao bcri mot s6' huu han mien da giac phang thoa man hai tinh chat sau:
a. Hai mi^n da giac phan hiti hoac khong c6 diem chung, hoac c6 mot

dinh chung, hoac c6 m6t canh chung.
b. M 6 i canh ciia m6t da giac nao cung la canh chung ciia dung hai mien
da giac.
3. M 6 i kh6'i da dien c6 th^ phan chia dugc thanh nhieu kh6'i tii didn
4. Kh6'i da dien l o i la khoi da dien c6 tinh chat doan thang noi hai diem
bat ky cua no luon thu6c ve khoi da dien 66, hoac la toan bo khoi da dien
luon nam ve mot phia d6'i vdi mat phang chiia m6t mat ctia khoi da dien.
II. K H O I DA DifiN D ^ U
1. Kh6'i da dien loi dugfc ggi la deu loai (a,b) ne'u m6i mat ciia no la mot
mien da giac deu a canh va dinh ctia no la dinh chung ciia dung b canh
2. Nguofi ta chiing minh dugc chi c6 5 loai khoi da dien deu.
Kh6'i 4 mat deu
Khoi 6 mat deu
K h o i 8 mat deu

(tii dien deu)
(Khoi lap phuong)

Loai (3,3)
Loai (4,3)
Loai (3,4)


Kh6'i 12 mat d^u
Khd'i 20 mat d^u

I

Loai (5,3)

b) 4 canh bdn, 4 canh day d6u la canh chung cual dung 2 mien da giac

Loai (3,5)

(tam giac va tii giac). Vay ca 2 tinh chat cua hinh da dien deu dugrc thoa

3. M6i khoi da dien deu lu6n t6n tai m6t mat c^u di qua cac dinh cua

Vi du 2:

khoi (mat ciu ngoai tiep khoi da dien deu).
III. T H £T I C H K H O I

an.
Chiing minh hinh ve trong hinh
2 khong la hinh da dien.

DA DifiN

1. Th^ tich cua khd'i da dien la m6t s6 duong thoa man cac tinh chat sau:
a. Kh6'i lap phuong c6 canh la mot don vi thi so V = 1
b. Hai khoi da dien bMg nhau se c6 s6 V nhu nhau
c. Neu khoi da dien diirac phan chia thanh hai khoi da dien thi tdng th^
tich hai kh6'i da ditn nho 66 bang the tich kh6'i ban dSu V, +
=V
2. The tich khoi hop chfi nhat bang tich ba kich thudc V = a. b. c
3. The tich khoi lang tru bang dien tich day nhan vdi chi^u cao V = B.h
4. Thi tich kh6'i chop bang ^ dien tich day nhan vdi chi^u cao V = ^ Bh
5. The tich khoi chop cut bang tong the' tich ba hinh chop c6 cung chieu
cao v6i chop cut, c6 day bang day Idti, day nho va trung binh nhan 2 day.

V = ^h(B + B'+V^^-)

a. Hinh 2 do ba miin da giac
ABCD, DCEF, EFMN hop thanh.
ABCD va EFMN khong giao nhau.
DCEF giao vdi 2 mi^n con lai
Of 1 canh chung, tinh chat a) duac
thoa man.
b. Tinh cha't b) khdng thoa man
vi cac canh AB, AD, BC, DE, CF,
FM, MN, NE chi la canh cua m6t
mien da giac.
V i du 3: Hinh dugc ve d hinh 3
cung kh6ng la hinh da dien vi AB
la canh chung cua 3 mien da giac,
ABCD, ABEF, ABMN. Cac canh
con lai la canh cua 1 mi^n da giac.
Tinh chat b) khong duoc thoa man.

Hinh 3

V i du 4. Trong cac hinh sau, hinh nao la hinh da dien? hinh nao kh6ng
la hinh da dien? Neu la hinh da dien hay de'm s6' dinh D, s6 canh C, s6' mat
M va tinh cac so X = D + M - C.

B. Vf DU
Vi du 1. Chtrng minh hinh
chop SABCD la mot da dien
a) Hinh SABCD c6
5mat - 5dinh - 8canh, do 5

mien da giac hop thanh trong do
mien tam giac hoac c6 1 dinh
chung, hoac c6 1 canh chung, cac
mien tam giac va mien tii: giac deu
CO 1 canh chung.
Hinh 1

Hinh 4

Hinh 5


Vi du 5. Cung cSu hoi trSn vdi cac hinh sau.

A

/

/

Hinh 7

Hinh 10
Khdng la khoi da dien

/

D = 12,C = I8,M = 8
=>X(f^) =2
Hinh 11

N

T

Hinh 12
Khong Id khoi da dien

/ 2
JL

Hinh 9
Hinh 4 la kh6'i da dien lOi cu th^ la hinh chop ngu giac ABCDEF
Co so dinh D = 6, s6 canh C = 10, s6' mat M = 6 => X(H) = 6 + 6 - 10 = 2
ffinh 5 la khd'i da dien I6i c6 D = 12 so canh C = 18, s6 mat M = 8,
X ( H ) = 12+8-18 = 2
i
f
ffinh 6 la khoi da dien kh6ng I6i, D = 9, C = 14, M = 8,
X(H, = 9+8-14 = 3
ffinh 7 khong la kh6'i da dien
ffinh 8 khong la kh6'i da dien

Hinh 13
Hinh 14
Hinh 15
Khd'i da dien khdng iSi Khoi da dien khdng Idi D = 16,C = 28,M = 14

Hinh 18
Hinh 16

Hinh 17
Khd'i da dien khdng iSi Khd'i da dien khdng loi D = 24.C = 48,M = 24


sau va dan lai thanh khd'i da dien diu:

V i du 7: Cho hinh tarn mat diu canh a. Tmh th^ tich khoi bat dien deu
do. Chung minh rang tarn cac mat cua hinh bat dien d^u la cac dinh ciia hinh
lap phuong. Tinh thi tich kh6'i lap phuong nay:
1. Hinh bat dien deu chinh la hai hinh chop tii giac deu chung day ABCD
CO dien tich day m6i chop la a^ (ABCD la hinh vu6ng canh a) ASCS'
cung la hinh vu6ng canh a nen SS' = a-\/2. Do do chieu cao cua m6i

Khoi 4 mat deu loai (3,3)

chop tu" giac deu la — a ^f2 . VSy th^ tich kh6'i 8 mat do la:
1 2 ay/2
V, = 2.^a

1
1
1

_ a 'V2
Kh6'i 6 mat diu loai (4,3)
2.

Goi tarn ciia 4 mat ben SAB, SAC, SCD, SDA la M , N , P, Q. Goi trung
die'm ciia AB, BC, CD, DA la M ' , N', F, Q'. Ap dung dinh ly Talet ta de
2

2 AC
dang suy ra M N = NP = PQ = QM = ^ M N ' =
M N P Q la hinh vu6ng nen MNPQ la hinh vu6ng canh

Khoi 8 mat deu loai (3,4)

. Do
aV2

Chirng

minh tuofng tu cac tam M " , N", P", Q" ciia SAB, S'BC, SCD, SDA cung
se tao thanh hinh vuong canh - ^ ^ ^ , MNN' M " cung vay suy ra 6 mat

3.

ciia MNPQ.M"N"P"Q" deu la hinh vu6ng. Vay MNPQM"N"P"Q" la
hinh lap phuong.
Khi do the tich ciia hinh lap
phuong la V = MN^ =

^V2

Khoi 12 mat deu loai (5,3)
2

a' ^2 don vi the tich
27
Ti so the tich hinh lap phuong va
kh6'i

8
mat
d^u
la:
'6

_

2V2a^
27

Khoi 20 mat deu loai (3,5)
Hinh 19

2
9•

V2a^-


V i du 8. Cho hinh lap phuomg A B C D A ' B ' C ' D ' canh a, bang g6. Got kh6'i lap

I

phuong de lay khoi 8 mat deu noi tiep no, nghia la dinh ciia khoi 8 mat
deu la tam cua 6 mat cua
khoi

lap phuong.

n

Tinh

o

the tich kh6'i 8 mat do.
Tinh the tich ph^n g6 bo
t—i—

tr

di.

\ \

a. Do tinh cha't cua hinh
lap phuong ta dl

C

\ y
\
\

dang

\

chumg minh O M = O N =

OP = OQ = O ' M = O ' N =

/

=

QM

"~ 3 V2 •

=

OA

A

Hinh

deu la

tam giac deu canh

V =

41

The

tich kh6'i

raV2

\

21

2

b. Th^ tich hinh lap phucfng la a^
c.

/

' ^/

=

8 mat ciia

khoi OMNPQO'

/

'

O'P = O'Q = M N = NP =
PQ

/

8

4a^
24

mat

diu

canh

a4i

theo v i du 4

se

la

Hinh 22

. The tich g6 bo d i la
C . BAI T A P

V i du 9. Hay phan chia h6p ABCD.A'B'C'D' thanh cac khoi t i i dien,
thuc hien theo 3 budc sau:
1. Chia hop ABCD. A ' B ' C ' D '

1.

a. Hay chiing minh kh6'i da dien c6 cac mat la nhirng hinh da giac c6 so
canh la le thi tong s6' cac mat phai la s6' chSn.

thanh 2 lang tru tam giac ABC.A'B'C va

b. Trong khoi da dien ne'u m6i dinh la dinh chung ciia mot s6' le mat thi

CBD.CD'B'.

tdng so cac dinh cua no phai la mot s6' chan.

2. Chia m6i lang tru thanh t i i dien va m6t hinh chop t i i giac.

2.

Chia kh6'i lap phuomg thanh 6 khoi tii dien bang nhau.

3. Chia hinh chop t i i giac thanh 2 tii dien. Vay se c6 6 hinh t i i dien.

3.

Chirng minh tam ciia cac mat cua tir dien deu lai la 4 dinh ciia mot t i i
dien d^u. T i m t i s6' the tich cua 2 kh6'i tii dien mdi va cu.


4.

5.

Cho khd'i tii dien ABCD, E va F iSn luot la trung di^m cua AB va CD.

Hai mat phang (ABF) va (CDE) chia kh6'i tii dien ABCD thanh 4 khoi tii
dien. Ke ten cac khoi tii dien va chiing minh th^ tich 4 khd'i tii ditn do
bang nhau, neu ABCD la khoi tii dien deu thi 4 kh6'i tu didn trdn c6 bang
nhau khong?
Cho chop S.ABC c6 ducmg cao SA = a. Day la tarn giac vu6ng can c6
AB = BC = a. Goi B' la trung diim SB, C la chan duomg cao A C cua
ASAC.
a. Tinh the tich cua khoi chop S.ABC.
b. Chiing minh SC vu6ng goc A B ' C .

6.

I.

c. Tinh the tich cua kh6'i chop S.AB'C
Hay chi ra each chia mot khoi tii dien thanh hai kh6'i tii dien sao cho th^
tich ciia hai khoi tii dien nay c6 ti so bang — > 0 cho tnrdrc
n
Cho kh6'i lang tru ABC.A'B'C c6 day la tarn giac deu canh a, dinh A'
each deu 3 dinh A, B, C canh ben A A ' tao vdri mat day goc 60°.
a. Tinh the tich khoi lang tru.
b. Chiing minh mat ben BCC'B' la mdt hinh chu nhat.
c. Tinh tong dien tich cac mat ben ciia lang tru (goi la dien tich xung
quanh ciia lang tru).

8.

12. Hay tim th^ tich kh6'i h6p n6u d6 dai canh ben la a, dien tich hai mat
cheo la S, va Sj, goc giffa 2 mat cheo la a.
13. Cho S.ABCD la chop deu, khoang each tir A den mat phang (SBC) la 2a,

goc giua mat ben va mat day la a. Tinh the tich V cua khoi chop, v6i a
bang bao nhieu thi V c6 gia tri nho nhat?
14. Cho tii dien ABCD, khoang each giCra AB va CD la a, a la goc giiia hai
1
ducmg thang do. Chiing minh VABCD = - AB.CD.a.sir\. a.
6
15. Tinh the tich kh6'i tii dien ABCD biet AB = CD = a, AC = BD = b va
A D = BC = c.
16. Cho khoi lap phucmg ABCD.A'B'C'D'. Cac diem E va F Hn luot la trung
diem cua C B ' va C D ' . Dung thie't dien ciia lap phuong bi cat bcri (AEF)
Tinh ti s6' the tich hai ph^n ciia kh6'i lap phucmg do mat phang (AEF)
cat ra.
17. Cho chop SABCD c6 day la hinh binh hanh. Goi B', D' lan luot la trung
diem ciia SB, SD. Mat phang (AB'D') cat SC tai C . Tim ti s6' the tich hai
khd'i chop SABCD' va SABCD.
18. Cho tii dien ABCD c6 didm O nam trong tir dien va each deu 4 mat cua
tii dien m6t khoang d. Goi hA, hg, he, ho la khoang each tilt cac dinh den
mat doi dien. Chiing minh:
1

Cho khoi chop SABC. Tren 3 canh SA, SB, SC lay 3 diem A', B', C khac

d

\&v S. Goi V la the tich chop SABC, V la thd tich chop S'A'B'C.

9.

. ^ V
SA SB SC

Chung minh — =
.— .
.
V
SA' SB' SC
Cho khoi lang tru diing ABC.A'B'C c6 day la tam giac vuong tai A,
ACB = 60° AC = b. BC tao v6i (AA'CC) goc 30°. Tinh d6 dai A C va
tinh the tich V cua khoi lang tru da cho:

10. Cho
A ^

hop

ABCD.A'B'C'D' c6 tat ca cac

=BAD = A ^

canh la a, cac

goc

= a (a < 90°). Hay tinh th^ tich cua h6p.

I I . Cho h6p ABCD.A'B'C'D' c6 day ABCD la hinh chii nhat canh la a, b,
hai mat ben (ABB'A') va (ADD'A') tao vdi day ABCD goc 45° va 60°.
Tinh th^ rich ciia h6p n^u canh ben A A ' la c.

1

1

1

1

+ —
hg + —
hp + hp

19. Cho chop S.ABC, M la mot diem nam trong day ABC, cac du5ng thang
qua M song song vdfi SA, SB, SC Mn luot cat (BCS), (CAS), (ABS) tai
A', B', C . Chung mmh

—ALSCS

Vs^c

^

^
SA

SA

^
SB

khong doi.
SC

20. Cho khd'i chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh binh hanh. Mat phang (P) cat
cac canh ben tai K, L, M , N. Chiing minh VgABCD =
. SA
SC
SB SD
va — +
=— + —
SK
SM
SL SN

VSACD = ^SABD = VSBCD-

21. Cho khdi chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh chff nhat, canh ben SA
vu6ng goc vdi day, mat phang (a) qua A va vuong goc SC cat SB, SC,
SDaB',C',D'.


a. Chiing minh AB'C'D' c6 2 goc dd'i dien la vudng
b. Chiing minh khi S chay trfen du6ng thing vu6ng goc vol day tai A thi
(AB'C'D') lu6n di qua mot du5ng thing cd dinh va cac di^m A, B, B', C,
C, D, D cung each m6t d'dm c6 dinh m6t khoang kh6ng d6i.
c. Gia sur goc giua SC va (SAB) la x. Tinh th^ tich cua chop S.AB'C'D' va
S.ABCD bid't AB = BC.
22. Cho tii dien ABCD:
a. Chiing minh neu chSn ducmg cao H cua tur dien xua't phat tiif A triing
vdfi true tarn tam giac BCD va AB vuOng goc AC thi AC vu6ng goc AD
va AD vuong goc vdfi AB.
b. Gia sit BC = CD = DB, AB = AC = AD. H la chdn duomg vudng goc

ha tir A de'n (BCD), J la chan ducmg vu6ng goc ha tiir H xudng AD. Dat
AH = h, HJ = d. Tinh th^ tich tii dien theo d va h.
c. Chiing minh neu AABC va AABD c6 dien tich bang nhau thi ducmg
vu6ng goc Chung cua AB va CD di qua trung di^m cua CD.
23. Cho hinh chop diu day la da giac diu n canh, canh day Ik a.
a. Tinh th^ tich va didn tich xung quanh neu goc giiia canh bSn va day
la a.
b. tinh th^ tich va dien tich xung quanh n^u g6c gitta mat ben wk diy
la]3.
24. Cho hinh chop cut d6u day la da giac d^u n canh, canh day la a, b (a > b).
a. Tinh the tich va dien tich xung quanh chop cut ne'u goc giiia canh ben
va day la a.
b. Tinh th^ tich va dien tich xung quanh chop cut n^u goc giiia mat ben
va day la p.
25. Day hinh chop SABCD la hinh chff nhat, c6 AB = a, AD = b, SA vu6ng
goc day va SA = 2a. La'y M e SA vdi AM = x (0 < x < 2a).
a. (MBC) cat hinh chop theo thie't dien gi? Tun dien tich thiet dien a'y.
b. Xac dinh x d^ (MBC) chia hinh chop ra hai phdn c6 th^ tich bang
nhau.
(DH Y Duoc Thanh ph6' H6 Chi Minh, nam hoc 1996, chucmg tiinh
phan ban;.

26. Cho tii dien ABCD, chiing minh:
a. Cac ducmg thang noi m6i dinh vdi trong tam mat doi diien dong quy
tai m6t die'm G.
b. Cac hinh chop dinh G c6 day la cac mat ciia tii dien c6 the tich bang
nhau.
27. Cho tii dien SABC c6 cac goc phang d dinh S deu vuong.
a. Chiing minh V3 SABC ^ SSAB + SSBC + ^SACb. Cho SA = a, SB + SC = k, SB = x. Tinh the tich tii dien theo a, k, x
va xac dinh SB, SC de the tich tii dien SABC lorn nhat. (DH Quoc gia

Thanh ph6' Ho Chi Minh, nam hoc 1996).
28. Cho hinh chop tii giac d^u SABCD c6 tat ca cac canh bang a.
a. Tinh the tich cua no.
b. Tinh khoang each tii tam day de'n cac mat ben.
(DH Da Nang, khdi D, nam 1997)
29. Cho hinh chop OABC vdi OA, OB, OC vu6ng goc vdi nhau tutng doi
m6t va OA = a, OB = b, OC = c.
a. Ke OH vu6ng goc vdi mat phang ABC. Chiing minh H la true tam tam
giac ABC.
b. Cho H la true tam tam giac ABC. Chiing minh OH vuong goc mat
phang ABC.
c. Tinh dien tich tam giac ABC theo a, b, c.
d. Chiing minh: a^ tgA = b^tgB = e^tgC
''
.
(DH Ngoai Ngfl Ha N6i, 1997, theo phan ban)
30. Cho hinh h6p ehff nhat ABCD.A'B'C'D' c6 A'A = a, AB = b, AD = e.
Tinh thd tich tii dien ACB'D theo a, b, c.
(Hoc vien Quan he qu6c te' nam 1997).
31. AB la du5ng vuong goc chung ciia hai dudfng thing cheo nhau x, y. Lay
A e X, B e y, AB c6' dinh va AB = d. Me x, N e y, M, N thay d6i va
AM = m, BN = n (m, n > 0). Gia sir c6 m^+ n^ = k > 0, k khong doi.
a. Xac dinh m, n d^ d6 dai doan thang MN dat gia tri Idn nhat, nho nhat.


b. Trong trilcmg x vu6ng y va mn ^ 0, hay xac dinh m, n theo k va d d^
the tich tii dien A D M N dat gia tri iom nha't va tinh gia tri do.
(DH Qudc gia Ha N6i, nam 1997, khoi A)
32. Cho tarn giac ABC can dinh A. Mot dilm M thay ddi tren duofng thang
vu6ng goc v6i mp (ABC) tai A (M

Chuang II

A).

M A T NON;M A T T R U ,M A T C A U

a. Tim quy tich trong tarn G va true tam H cua tam giac MBC.
b. Goi O la true tam tam giac ABC. Hay xac dinh vi tri cua M de the
tich tur dien OHBC dat gia tri Idn nha't.

I. M A T NON, HINH NON, K H O I NON

(DH Quoe gia Ha Noi, nam 1997, kh6'i B).
33. Cho hinh chop tii giac d6u S.ABCD c6 day ABCD la hinh vu6ng canh a
va SA = SB = SC = SD = a.
a. Tinh dien tich toan ph^n va the tich ciia hinh chop theo a.

A. LY T H U Y E T C A N

NH6

1. Su tao thanh m^t tron xoay
Trong khong gian cho mat phang a, chiia ducmg thang A va dudng r .

b. Tinh cosin cua goc nhi diSn [(&45), (&4Z)) .

Khi quay mat phang a xung quanh ducmg thang A thi tap hop cac diem cua

(DH Su pham TP Ho Chi Minh, khoi D - E - 2000).

duofng r tao nen mot mat tron xoay nhan ducmg thang A lam true. Ducmg

34. Cho hinh chop d^u SABCD. Day ABCD la hinh vu6ng c6 canh bang 2a.
Canh ben SA = aVs . Mat phang (P) di qua AB va vuong goc v6i mat
phang (SCD). (P) Ian lugft cat SC va SD tai C va D'.
a. Tinh dien tich ciia tii giac ABCD'.
b. Tinh the tich ciia hinh da dien A B C D O ' C
(Dai hoc Nong nghiep I - Kh6'i A - 2000).

r sinh ra mat tron xoay nen dugfc goi la ducmg sinh cua mat tron xoay.
2. Tinh chat ciia mdt tron xoay
* Ne'u cat mat tron xoay bed mot mat phang vuong goc vdi true A thi
giao tuyen la m6t ducmg tron c6 tam nam tren true A.
* M6i diem M thu6c mat tron xoay d^u nam tren mot ducmg tron thu6c
mat tron xoay va c6 tam tren true A.
(Cho nen ngudi ta con noi mat tron xoay la tap hgfp cac ducmg tron nam
tren cac mat phang vuong goc vdfi ducmg thang A c6' dinh va c6 tam nam
tren ducmg thang A ) .
3. Mat non tron xoay
Dinh nghia: Cho 2 ducmg thang d va A cat nhau tai O tao thanh goc cp
vdfi 0 < 9 < 90". Khi quay ducmg thang d xung quanh true A sao cho goc cp
khOng thay ddi thi tao ra mat non tron xoay (goi tat la mat non) (h.23).
O goi la dinh ciia mat non va goc is dinh bang 2(p, d goi la ducmg sinh
cua mat non.


B. Vf DU

4. Hinh non

Vi du 1: Mot hinh vuong canh a noi tiep trong day hinh non. Mat phang
qua dinh hinh non va canh hinh vuong cat hinh non theo m6t thiet dien la
tam giac can c6 goc a dinh bang a. Tim dien tich xung quanh ciia hinh non.
Giai
Ta

CO

=

ml 6 day r = AH, / = SA

ABCD la hinh vuong canh a suy ra
AC=aV5,AH=^ =
2

2

^

Goi I la trung di^m cua AB suy ra
Hinh 23

Hinh 24
lA = IB = I va SI vuong goc AB, (do

Cho tam giac vuong OAB vuong a A
Khi quay tam giac nay quanh canh OA thi ducmg gS'p khiic OBA tao

Hinh 25

tam giac SAB la tam giac can);
ASI = ^

thanh mot hinh tron xoay (con goi tk la hinh non). Hinh tron tam A do canh
AB tao ra trong khi quay goi la mat day ciia hinh non.

Trong tam giac vuong SI A ta c6: SA =

O goi la dinh ciia hinh non, d6 dai doan OA goi la chieu cao, 66 dai

AI
sin

a

2sin —

doan OB goi la dudng sinh ciia hinh non.
Canh OB trong khi quay tao thanh mat xung quanh ciia hinh non

VayS, =7t.

tron xoay (goi tk la khd'i non).
Dinh, chi^u cao, ducmg sinh cua hinh non cung la dinh, chi^u cao,
dircmg sinh ciia khoi non do.
6. Dien tich xung quanh ciia hmh non, the tich cua khoi non
= u r/ (Sxq la dien tich xung quanh, r la ban kinh hinh tron day, / la
duomg sinh).

V = - 7t r'h (V la the tich, h la chieu cao, r la ban kinh hinh tron day).

a
2sin^

5. Khoi non tron xoay
Ph^n khong gian gidi han bdi hinh non va ca hinh non gpi la khoi non

aV2

4sin —
2

Vi du 2. Thiet dien qua true ciia
hinh non la mot tam giac deu canh a.
Tim dien tich xung quanh ciia hinh non
va the tich ciia khoi non.
Giai:
Cat hinh non dinh S, day la hinh
tron (O) bang mot mat phang qua true
SO, thiet dien la A SAB deu canh a
(h.26).

Hinh 26

T1


R6 rang ducmg sinh SB = / = a, ban kinh day r = ^

= ^

Theo cong thiic tinh dien tich xung quanh hinh non:
S,^ = ml suy ra S^^ =

TI

^ .a =

^

c. Tinh ti s6' th^ tich ciia hinh chop va hinh non.
40. Cho hinh chop tam giac deu SABC canh ben nghieng v6i day goc (p,
canh day AB = a. Mot hinh non dinh S c6 day la hinh tron noi tiep tam
giac ABC.

^.a^

a. Tinh dien tich xung quanh ciia hinh non theo a va 9.
SO la ducmg cao ciia tam giac deu canh a, nen SO = — y Theo cong thiic tinh the tich khS'i n6n:

b. Tinh ti s6' the tich cua khoi non va kh6'i chop da cho theo a va cp.
I I . MAT T R U , HINH T R U , K H 6 I T R U

V=-7tr'h

A. LY THUYET CAN NHCl

3

dday r = -a, h = SO=
2

flV3

Vay V =

2 _

1

-n
3

raV

^/3

24

1. Mat tru tron xoay
* Dinh nghia: Cho hai ducmg thang A va £ song song vdi nhau va each
nhau mot khoang r thi mat tron xoay sinh ra bcfi ducmg thang £ quay quanh

C. BAI TAP
35. Trong mat phang (P) cho O co dinh. Mot ducmg thang / thay doi lu6n di
qua O sao cho goc giiJa / va mat phing (P) luon bang cp kh6ng d6i.
Chiing minh rang / luon nam tren m6t mat tron xoay xac dinh.
36. Ducmg sinh cua hinh non c6 do dai 5m va tao v6i mat day mot goc bang
30°. Tinh dien tich thiet dien qua true cua hinh non a'y.

Agoi la mat tru tron xoay (goi tat la mat tru).
A goi la true ciia mat tru, £ goi la ducmg sinh cua mat tru do (h.27).

1||||P * cat mat tru boi m6t mat phang vuong goc vod A thi thiet dien la m6t
du5ng tron c6 tam nam tren A va c6 ban kinh r.
2. Hinh tru

37. Cho hinh non c6 thiet dien qua true la mot tam giac deu, ban kinh day
la R; tinh dien tich ciia thiS't dien qua hai dudng sinh tao thanh m6t
goc a.
38. Ban kinh day cua hinh non bang 3m, chieu cao bang 4m.
a. Tinh do dai ducmg sinh va goc tao hbi ducmg sinhvoi mat day.
b. Tinh dien tich xung quanh.
c. Tinh the tich cua khoi non.
39. Cho hinh vuong ABCD canh a noi tiep day hinh non c6 dinh S sao cho
goc SAB = 60°.
a. Chung minh rang SABCD la hinh chop tu: giac deu.

Hinh 27

Hinh 28

b. Tinh the tich hmh chop SABCD theo a.
23


Cho hinh chO nhat A B C D , k h i quay hinh chff nhat nay quanh canh A B
thi ducmg gap kJuic A D C B tao thanh mot hinh tru tron xoay (goi tat la hinh
tru) (hinh 28).

K h i quay canh A D va EC se sinh ra hai ducmg tron bang nhau goi la hai
mat day cua hinh tru.
K h i quay canh DC sinh ra mot mat tru tron xoay goi la mat xung quanh

Giai
a. Ke M M ' vuong goc vdi day dudi thi OO' song song M M ' nen goc tao
bdi M N va OO' la goc N M M ' = or va mp ( M N M ' ) vudng goc day.
Ke O I vudng goc M ' N suy ra 0 1 vudng goc ( M N M ' ) ne'u O I la khoang
each tur true den dudng thang M N .
Trong tam giae vuong M M ' N ta cd t a n a =

cua hinh tru.
A D = BC goi la Mn kinh day cua hinh tru.
A B la true cua hinh tru, d6 dai doan DC la d6 dai ducmg sinh cua hinh

Suy ra

MM'

M ' N = M M ' = M M ' tan a
M'N = atan«

tru, cung la c h i l u cao cua hinh tru.

3. Khoi tru trrjn xoay

Tam giae M ' O N can dinh O nen I la trung d i ^ m M ' N

Phan khong giain gidi han boi hinh tru va ca hinh tru goi la khoi tru trdn

S u y r a N I = — M ' N =—atana
2
2

xoay (goi tat la khoi tru)
Ban kinh day, dttdng sinh, chieu cao, mat xung quanh ctia hinh tru cung

A p dung dinh ly Pitago trong tam giae vudng N O I ta cd:

la ban kinh day, ducmg sinh, chieu cao, mat xung quanh cua kh6'i tru.

01=

4. Dien tich xung quanh hinh tru, the tich khoi tru
= 2 ;T rh (S^^, la dien tich xung quanh, r la ban kinh day, h la c h i l u
V = ;r r'h (V thd tich kh6'i tru)

^

B. V I DU:

A B . O K la dudng cao cua tam giae d^u BAO canh a nen K O =
c. Ke ir vudng day dudi thi 11' song

ducmg

song va bang O'O, I'F la hinh chie'u cua IF

cao

tren day dirdi ma IF vudng gdc FE (gt) nen

bang ban kinh day va bang a. La'y

I'F vudng gdc FE theo dinh l i ba dudng

M , N la diem thupc ducmg tron hai

vudng gdc:

day sao cho M N tao vdi true hinh
tru goc

b. Theo ddu bai thi A B C D la hinh vudng nen A B = a. Lap luan gidng
cau a thi O K la khoang each tuf true hinh tru den mp (P), vdi K la trung diem

cao cua hinh tru)

Mot hinh tru c6

-aV4-tan2a .
2

a.

a. Tinh khoang each tiif true

PFE
Hinh 29

hinh tru den du&ng thang M N
b. Mat phang (P) song song true, cat hinh tru theo m6t thie't dien la hinh
vuong. Ti'nh khoang each tOr true hinh tru den mp (P).
e. Mat phang (Q) khong song song vdi true hinh tru, cat no theo mot
thie't dien la hinh vu6ng. Tinh goc tao bcri true hinh tru va mp (Q).

= I v suy ra I'E la dudng kinh.

Do EF vudng gdc IF va I'F nen
EF 1 mp (H'F) suy ra mp (UEF) 1 m p d l ' F ) .
Ke I ' K 1 IF t h i I ' K l mp (UEF). K I la
hinh chie'u cua 11' tren Q nen gdc tao bdi
n' va Q la gdc FFE
tao bdi true O'O va Q.

=> nd cung la gdc

J'
0\


Tilr hai tarn giac vudng IFF va EFI' c6 cung canh goc vuong I' F, cho:
IF' - ir' = I'E' - EF' suy ra IF' - a' = 4a' - IF' » IF =

Suy ra cos I'FE = :—
TF = aVio

2

5

C. BAI T A P

41. Cho mat phang (P), mot di^m A nSm tren (P), m6t diem B nSm ngoai (P)
sao cho hinh chieu B' cia B tren (P) khOng triing v6i A. Mot di^m M
chay trong (P) sao cho luon c6 ABM = BMB'. Chiing minh rang diem
M luon nam tren m6t mat tru tron xoay c6 true la AB.
42. Mot hinh tru c6 chieu cao bang ban kfnh day, ngucri ta ke trdn hai day
ban kfnh lam thanh m6t goc 30". Tinh goc giua true ciia hinh tru va
ducmg thang n6'i hai diem miit cua hai ban kinh tren.
43. Chieu cao cua hinh tru bang 2m, ban kinh day bang 7m, mot hinh vuong
ndi ti6p hinh tru sao cho b6'n dinh cua no deu nam tren hai ducmg tron
day, tinh canh ciia hinh vuong.
44. Chiing minh rang hai tiep dien ciia hinh tru hoac song song hoac cat
nhau theo mot giao tuy6'n song song vdi true hinh tru.
45. Trong hinh chop tii giac deu, canh day bang a va goc nhi dien thu6c day
bang a, CO mot hinh tru noi tiep ma ducmg cao va ban kfnh ciia no bang
nhau. Chiing minh the tich hinh tru bang

Tia^ sin'

a
16V2sin' (a + 45°)*

III. MAT CAU
A. L Y T H U Y E T C A N

NH6

1. Mat c^u

Tap hgrp tat ca cac di^m M
trong kh6ng gian each diem O m6t
Ichoang bang r (r > 0) goi la mat
ciu tam O ban kinh r. Ki hi6u la
(O; r), CO khi viet la (O)
Nhu vay ( O ; r) = {M| O M = r'
Hinh 31
2. Diem ndm tren, ndm trong,
n^m ngoai mdt cau
Cho di^m M va mat c^u ( O ; r).
* N6'u OM = r thi M nam trdn mat cdu
* Neu OM < r thi M nam trong mat c^u
* Neu OM > r thi M nam ngoai mat cSu
3. Vi tri tuong doi gi&a mat c^u va mat phang
Cho mat ciu (O; r) va mat phang (P). Goi h la khoang each tir O den (P)
(OH ± (P), H e (P) va dat OH = h)
* Neu h > r thi (P) khdng cat mat cSu
* Ne'u h = r thi (P) va mat cdu c6 mot diem chung duy nha't H. Khi do ta
n6i (P) tie'p xuc vdi mat cau (O, r) tai H.
Die'm H goi la tie'p di^m, (P) goi la tie'p dien ciia mat c^u.
* Neu h < r thi (P) cat mat ciu theo m6t ducmg tron tarn H ban kinh
r= V P ^ .
Truomg hop dac biet khi h = 0, khi d6 (P) di qua O, mat phang (P) cat
mat ciu (O, r) theo ducmg tron tam O ban kinh r. Dircmg tron nay goi la
Mat phang di qua tam mat cSu goi la mat phang kfnh cua mat cSu do.


4. V i t r i tuong ddi giura mdt cAu va ducmg thdng
Cho mat cSu (O; r) va ducxng t h i n g A . Goi (P) la mat phang chiia A va

B . Vf D U

tam O. Goi duomg tron C la giao cua mat cau (O; r) va mat phang (P) di
nhien C la ducmg tron I6n (O; r)
Giao ciia du6ng t h i n g A va mat ciu (O; r) chinh la giao ciia dudng
t h i n g A va dudng tron C.

V i du 1 : Cho hinh non c6 ban kinh day bang r, ducmg sinh tao vdi day
tndt goc a. Mot hinh cau tam I nam trong hinh non va mat c l u tiep xiic vdi
mat xung quanh va day hinh non.

Goi d la khoang each tix O den A , ta c6 cac tnrcfng hgrp sau:

T i m dien tich ciia mat c i u va th^ tich ciia khdi ciu.

* Neu d > r thi A khong c6 diem chung vdi C suy ra A khong c6 diem

Giai:

chung vdi mat c5u (O; r)
* Neu d = r thi A tiep xiic vdi C tai H va H la di^m chung duy nha't cua
mat c^u va A . K h i do ta noi A la tiep tuyen cua mat cau, H la tiep diem.
* Neu d < r, A c i t C tai M va N thi hai diem nay chinh la giao diem cua
A va mat cSu (O; r).

A

Thiet dien qua true ciia hinh non la
tam giac can A B C va c i t hinh ciu tam I

theo dudng tron tam I ban kinh 10 = R
tiep xiic vdi 3 canh ciia AABC.
H i ^ n nhien I la giao ciia cac dudng
phan giac trong ciia AABC.

Dac biet neu A d i qua tam ciia C va c i t C tai hai diem A , B thi A B la
ducmg kinh ciia mat cau (O; r).
5. Nhan xet:
Qua mot diem M bat ky tren mat c^u c6 v6 s6' tiep tuyen ciia mat cau,
cac tiep tuyen nay deu vu6ng goc v6i O M . Cac tiep tuyen nay deu thuoc mot
tiep dien vuong goc v6i O M tai M .
Qua mat diem M n i m ngoai mat c^u (O; r) c6 v6 so tiep tuyen vdi mat

Trong tam giac vudng OIC, do C I
la

dudng

phan

6. Cong thijfc tinh dien tich mat cau va the tich khoi cau
S = 47tr'

cua

goc

C

Hinh

32

1
nen ICO = - C ma goc C la goc tao bdi

dudng sinh va day nen C = a

a
ICO = -a , O C = r n e n I O = R = r t a n — . '
2
2

Theo cdng thiic tinh dien tich mat cSu S = 4TtR^

ciu da cho cac tiep tuyen nay tao thanh mot mat non tron xoay dinh M , khi
do do dai doan t h i n g n6'i tCr A den tiep diem deu bang nhau.

giac

\

Vay S = 47t

a
rtan —
2

3

= 47:r^tan^-

rtan —
2

4

= — Tir

3

, a
tan —
2

V i du 2: Cho tam giac ABC thuoc mat phing (P) va A x ± (P). La'y S
tren A x . Goi H , K la hinh chieu vudng goc ciia A tren SB va SC.
a) Chiing minh cac diem A , B, C, H , K ciing nam tren mot mat c^u.
b) Tinh ban kinh mat c i u biet A B = 2, A C = 3, B A C = 60°.


48. Trong mat phSng (P), cho hinh vu6ng ABCD. Tren ducmg thang Ax
vuong goc vdi mat phang (P) lay diem S bat ky, dung mat phang (Q) di
qua A va vuong goc vdi SC. Mat phang (Q) cat SB, SC, SD lin luot tai
B', C , D'. Chiing minh rang cac diem A, B, C, D, B', C , D' cung nam
tren mot mat cau.

Giai
a) Gpi O la tarn ducmg tron ngoai
tiep tam giac ABC. Ke ducmg kinh AD ta

c6: BD ± AB ma SA ± (P) suy ra
(SAB) 1 (P), BD c (P) va BD 1 AB =>

49. Trong mp (P) c6 ducmg thang d c6 dinh va mot diem co dinh A g d. Goc

BD 1 (SAB) => BD ± A H , ta lai c6
A H 1 SB (-t) suy ra A H ±

xOy = Iv thuoc (P) quay quanh A, Ax va Ay cat d tai B, C. Cho d' 1

(SBD)

A H 1 HD. Chiing minh tuofng tu ta c6
Hinh 33

A K ± KD. Nhu vay cac diem A, B, C, H ,
K each O C O dinh m6t khoang bang

AD

(P) tai A. Lay S e d'. Goi H va K la cac hinh chie'u vuong goc cua A
tren SB va SC.
a) Chiing minh cac die'm A, B, C, H, K cCing nam tren m6t mat c^u.

khong doi. Vay chiing nSm tren mat c^u tam O bdn kinh

AD

b) Tinh ban kinh mat ciu bie't AB = 2, AC = 3, BAC = 60°.
(AD la ducmg

kinh ciia dudng tron ngoai tiep AABC).

. c) Cho AABC vuong tai A. Chiing minh mat c^u ngoai tiep kh6'i da dien
ABCKH luon di qua m6t ducmg tron c6' dinh khi S chay tren d'.

b) Ap dung dinh ly ham s6' cosin va han s6' sin vao AABC ta c6:

d) Tim quy tich tam I (tam mat c^u ngoai tiep tii dien SOAB khi goc

B C = A B ' + A C ' - 2AB . ACcosA

vuong xOy quay quanh O). Chiing minh mat c^u (I) luon lu6n di qua
? m6t dudng tron cd dinh.

= 2'.+ 3 ' - 2 . 2 . 3 c o s 6 0 °
= 7

0. Cho tii dien ABCD vdi AB = AC = a, BC = b. Hai mat phang (BCD) va

EC = V?

va —
= AD
sin A

(ABC) vuong goc vdi nhau va BDC = 90°. Xac dinh tam va ban kinh
VT"
V3

. _
2V2T
= AD=> AD =

vay ban kinh hinh c^u la: OA =

AD

V2T

C. BAI TAP

mat c^u ngoai tie'p tii dien ABCD theo a va b.
. Cho hai hinh chu nhat ABCD (AC la dudng cheo) va ABEF (AE la
"t; dudng cheo) khdng ciing nam trong mot mat phang va thoa man cac
I dieu kien AB = a, A D = AF = ayfl; dudng thang AC vudng goc vdi
dudng thang BP. Goi HK la dudng vudng goc chung cua AC va BF (H
thuoc AC, K thudc BF).
a) Goi I la giao diem ciia dudng thang DF vdi mat phang chiia AC va
song song vdi BF. Tinh ty so' — .

46. Tim the tich ciia m6t hinh lang tru diing c6 day la hinh thoi ma goc nhon
bang a, ngoai tie'p hinh cSu c6 th^ tich V.
47. Cho m6t tii dien c6 cac canh bang a. Tim ban kinh hinh c5u ti^p xiic vdd
tat c^ cac ranh ciia tii dien.

DF
2) Tinh do dai doan HK.
3) Tinh ban kinh mat cau ndi tiep tii dien ABHK.
(DHSP Ha Ndi - Khd'i A, 2001).

b) S chay tran Ax J- day tai A. Chiing minh mp AB'C'D' lu6n di qua mo;
ducmg thang cd dinh va bay di^m A, B, B', C, C, D, D' cung thupc mot
mat c^u cd dinh.

O N T A P cHiroNG i i

c) Goi a < Iv la goc tao boi SC va mp (SAB). Cho ABCD la hinh vu6ng,
hay tinh ti so the tich giua hai khdi chop SAB'C'D' va SABCD.
I . CAU H O I T R A C N G H I $ M

Cho hinh non dinh S, day la hinh tron (O; r), duomg sinh AB tao vdi day
m6t goc a.

cos a

b) Qua A dung mat phang (a) vudng goc vdi SC. Tinh den tich thiet
B . ^

cos a

C . ^
sin a

D . ^
sin a

53. The tich cua khdi non tao bcri hinh non tren la:
Tir^tana

7ir^

3

3sina

n

day nam tren (P) cd chieu cao h va ban kinh cung la R, (h < 2R),

r»

3cosa

3cotga

C. 37n-h

(x < 2R, X < h). Hay tinh tdng dien tich cua hai thidt dien do theo R, h va x.
D. 27rrh

3

B. Tir'h

C. 27n-'h

Cho tur dien ABCD cd AB = BC = CA = AD = BD = aV2 , CD = 2a.
D. -Tir^h

2

56. Mot hinh tru c6 ban kinh bang a, chieu cao bang b. M6t mat phang song
song vdi true each true mot khoang la c cat hinh tru theo m6t thi^t dien
CO dien tich bang bao nhieu?
A.b7c' - a'

B. ab

Bieu thu-c a'y con thich hop cho trudng hop h < x < 2R, neu ta keo dai
cac dudng sinh ciia hinh non de chiing cat mat phang (Q).

55. The tich khdi tru cho hai hinh tru or CSLU 54 bang:
A.-7tr'h

Ngudi ta cat hai hinh do bang mat phang (Q) song song vdi (P) dugc hai
thiet dien va goi x la khoang each giiia hai mat phang (P) va (Q)

Dien tich xung quanh ciia hinh non tr6n la:
B. -Trrh
2

dien tao bdi mat phang (a) va hinh chop.
59. Mot hinh cSu ban kinh R tiep xuc vdi mat phang (P). Mdt hinh non c6

54. M6t hinh tru c6 ban kinh day la r, chi6u cao la h.

A. Tirh

tam giac d^u.
a) Tim tam va ban kinh cua mat cSu ngoai tiep hinh chop.

52. Dien tfch xung quanh cua hinh non la:

A.JE1

58. Cho hinh chop deu S.ABCD c6 cac canh ben bang a va mat cheo SAC la

C. be

D. 2h^a^ - c'

a) Chiing minh AB 1 CD. Xac dinh dudng vudng goc chung ciia AB va CD.
b) Tinh the tich tir dien ABCD.
c) Xac dinh tam I mat c^u ngoai tiep tii dien ABCD.
d) H la hinh chie'u vudng gdc ciia I tren mp ABC. Chimg minh H la true
tam AABC.
(Trfch de thi vao trudng DH Su pham Quy Nhon nam 1979, khong phan ban).

I I . BAI T A P
57. Day hinh chop SABCD la hinh chfi nhat, canh ben SA vu6ng goc vdi
. day. Mat phdng qua A vuong goc SC, cat SB, SC, SD tai B', C, D'.
. a) Chiing minh tii giac AB'C'D' eo hai goc ddi dien la goc vu6ng.

61. Cho hinh chop tam giac deu S.ABC cd canh day bang 2^6 va dudng
cao SO = 1. Goi M, N Ian lugt la trung diem ciia AC, AB.
Tinh the tich hinh chop SAMN va ban kinh hinh cau ndi tiep hinh
chop do.
(Trich de thi vao DH Kinh te qudc dan, 1979).

33


62. Cho hinh tru c6 cac day la hinh tron tarn O vh tarn O', ban kinh ddy bang
chi^u cao va bang a.
Tren ducmg tron day tarn O la'y diem A, trdn ducmg tron day tarn O' la'y
diem B sao cho AB = 2a.
Tinh the tfch kh6'i tir dien OO'AB.
(Trich de thi Dai hoc - Khoi A - 2006).

ChUffng in
PHl/ONG P H A P T O A D O T R O N G K H O N G G I A N
I. Ht TOA DO TRONG KHONG GIAN
A. L t THUYfeT C A N N H 6
1. Toa do cua diem va cua vecta
/. He tog. do: Trong khong
gian CO ba true toa d6 vuong goe
vdi nhau doi mot va c6 dinh hudng
Ba true nhu vay duac goi la ht
toa d6 vuong goc trong kh6ng gian
Didm O goi la g6'c toa d6
- True hoanh, dinh hudmg
duang X Ox, c6 vecta don vi
i = (l;0;0)

o

Hinh 34

True tung, dinh hudng duong y'Oy, eo vecta dan vi

} =(0; 1;0)
f True cao, dinh hudng duang z'Oz, c6 vecta dan vi
^=(0;0;1)
- Cac mat phang xOy, yOx, xOz d6i m6t vudng goc vdi nhau duac goi
1^ cac mat phang toa dd.
Vi i , } , it la cac vecta dan vi tren true, ma cac true vu6ng goc nhau d6i
ni6t, nen ta cof
= 1


va

T.J =0; i.k

=0;

j . k

2. He qua

= 0

Trong khdng gian vori he toa dp O x y z con dupe gpi la khong gian O x y z

2 . Toa dp mot diem
Trong khong

gian O x y z

a, = b,, a2 = b2, a, = bj.

b)

0).

0

=

(0; 0;

cho

m6t diem M tuy y, m6i diem
hoan toan xac dinh boi vecta

a) a = h «

c) a va b ciing phuong

M

d) Trong khong

OM

gian

c6 mot so k: a, = kb,, aj = kbj, a, = kbj.
Oxyz

c6 A ( a , ; a2; a,) va B(b,; b2; b,) thi

.45 = ( b - a , ; b2-a2; b j - a j ) .

V i 3 vecto i , j , k la 3 vecta
khong dong phang nen c 6 b6 3 so

3 . T i c h v6 hudmg

duy nha't (x, y, z) sao cho:

1) Bieu thAc toq do
OM

=

X.

i +y.j

+ z.k
D i n h If. Trong khong gian O x y z tich v6 hudng cua hai vecto a (aj; a.^, a-,;

=

OM,

+OM3

+ OMj

Hinh

35

va A (b,; bj; h^) la m Or sty duac xac dinh bcfi cong thiic:

Nguoc lai vdfi (x, y, z) ta c6 didm M duy nhat trong khong gian thoa man
OM

=

X.

a .b = a,b| + a2b2 + ajbj

i + y.j + z.k

Bp ba so (x, y, z) gpi la toa dp cua diem M doi v6i he true Oxyz da cho
va k i hieu la M ( x , y, z) hoac M = (x, y, z)
3. Toq do cua

. .

.

2) Ifng

dung

* Do dai cua vecto

vecta

Trong khong gian Oxyz, cho vecto u , ta luon c6:

* Khoang each giua hai diem A
AB =

M

= a,, i +

3.2-j

7(XB

-

x^f

+ (ye - yj'

+ (z^ - z^f

.

+a3 k

Bp ba so (a,, a2, a,) xac dinh duy nhat va gpi la toa dp ciia vecto u, ki

* G p i 9 la goc giiia 2 vecta a va b

hieu la u (a,, aj, a,)

cos 9 =

2 . Bieu thirc toa do cua cac phep toan vecto

S ( b i ; b2; bj) k h i do
± b = (a,± b,; a2± bj; a j i b,)

b) k. a = (ka,; kaj; k-a,) = k(a,; di^; aj) (k la so thuc)

a,b, +a2b2 +a3b3
^/af+af+a^

-^/bf+bf+b

=> a J . b <=> aib] + a2b2 + a3b3 = 0

/. Dinh U. Trong kldong gian Oxyz cho cac vec ta a (a,; aa; aj)

d) a

A ( X A ; yA; Z A ) . B ( X B ; yg; Zg) la

4. T i c h CO hudng cua hai vecto (hay tich vecto)
/) Dinh

nghia:

Tich c6 hu6ng (hay tich vecto) cua hai vecta a (ai, a2, a,)

Va b (b„ b2, bj) la mot vecto duac k i hieu \di[a,b]

d6 duac xac dinh nhu sau:

hay a A 6 va c 6 toa


f
a, a, a, a,
Vb,b3 b3b, b,b, )
3

2) Tinh chat
[a,b]=0
{a,b]

o a =k.S
l a v a [ a , 6 ] I . 6 ( r a , b ] . a = 0; r a , b 1 . b = 0)

a,b = a

B. Vf DU

>

sin(a,b)

Vi du 1
Cho tii dien ABCD:
3i)Chvtngm\nh: AD+ BC = BD + AC
b) Goi M la die'm chia dudng trung tuyen AA, ciia mat phang ABC theo
so 3: 7 (
= — ). Chung minh rang:
MA, 7

3)Apdung
J. Tick dien tick cua hinh binh hanh va thetich khoi hdp
• A B C D la hinh binh hanh SABCD = A B . A D sin A
AB,AD

• A B C D A B C ' D ' la hinh

hop

• VABCD.A'B'C'D'= T A B , A D

.AA

Ba vecta a, c, bdong phang <=> a,b .c = 0
Ba vecta a, b, c khdng d6ng phing <» a,b
I

5. Phuong trinh mdt c^u
* Dinh li: Trong khong gian Oxyz,
mat cau (s) tarn I(a;b;c) va ban kinh r

CO phuong trinh:
(x-a)^ + ( y - b ) 2 + ( z - c ) 2 = r2.
Nhdn xet:
Phuong trinh
x ' + y ' + z ' + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0v6i:
' Hinh 36
A^ + B^ + - D > 0 la phuong trinh mat c^u tarn I(-A;-B;-C) va
r = ^A^ + B' + C' - D .

lai:
a)

DM = —DA + DB + DC
20
10
20
AD - AC = CD
BD - BC = CD

AD - AC = BD - BC

AD+ BC = BD +AC
)Cdchl. MA _ 3
MA, ~ 7 ^

D

AM =- MA.
AM = DM - DA
MA, = DA, - AM

Nensuy ra DM - DA = - (DA, - AM)
DA + — DA,
>DM = —
10
10 '
1
Ma DA, = -(DB
+ DC)
T>oA6 DM = — DA — DB + — DC.
10
20
20

X-^'-

-V-


Cdnh 2: Bien ddi ve phai:

= - - b+a
2

— DA ^ — DB ^ — DC
10
20
20

= - — b + a + -{c2
2

+ M^)+ —(Z)M+ MB)+—-{DM

= --(DM
10

20

+ MC)

20

_L DM + — DM +— Z)M +— M4 +— MB +— MC
10

20

20

10

20

= DM + — MA + — (MB + MC
10
20

10

MA + — M A i

,

1 MA^^ = MN^= - (a - b +cf=
4

= ld^^MN =
2

MN

0
•

20

2

2

—(a-b+c)

1
- {a^+ b+c+l{-a.b
4

+ a.c-b

c)

^

dV2

AB = d . Theo c6ng thiic ta c6:

M N . A B = M N . AB

VP = VT do la dieu phai Chung minh.
<»COS(MN, A B ) =

V i du 2:
Cho tur dien deu ABCD canh d,
M va N Ian luot la trung di^njL AG '
va BD.

cos ( M N . A B )
=> ( M N , A B ) = 45°.

3). M N . A C = - ( a - b + c)b = - ( a . b - b" + c.b) = 0 .

MNl

1) Tim do dai MN.
2) Tim goc giua MN va AB.

AC.

MN . B D = MN ( A D

3) Chiing minh M N l AC, MN 1 BD.

- AB)

= - ( a - b + c) (c - a)
2
\^ ^(c + a)(c - a) - b(c - a)

Giai.

21Hinh 38

Dat vecta AB = a, AC = b,
AD = c,

a)=

2) MN . AB = - ( a - b + c)a = - ( a ' - b . a + c . a] = y ,con
,c6

2MAi

= DM +

+ -(AD - AB)
2

:b

= - ( c ' - a' - b . c + b . a ) = 0

= d.
=> M N

a.b = c.a = b.c = a

cos 60"= -d\
2

1) MN = MA + AB+ BN
1 r - 1
= - - b +a+- BD
2
2

1BD.

Vi du 3.
U m toa d6 hinh chie'u cua die'm A ( l ; - 3 ; -5) trdn:
1) mp Oxy;

2) mp Oxz

3) mp Oyz;

4) True hoanh;

5) True tung

6) True cao.

A

1


Giai:

Vf du 6:

1) Tren mp Oxy thi do cao z = 0 nen toa d6 hinh chie'u cua diim A la

Cho a = (3; - 1 ; 5) va 6 = (1; 2; - 3 ) . Tim c thoa man cac di6u kidn

A,(l;-3;0).

sau: c ±Oz, ca = 9, cb = - 4 .

2) Tr6n mp Oxz thi tung d6 y = 0 nen toa do hinh chieu cua diem A la
A j d ; 0; - 5 ) .
3) Tren mp Oyz thi hoanh do x = 0 nen toa do hinh chieu ciia di^m A la

Giai: Goi c= (x. y, z). V i c 1 Oz o ck = 0 o

x .0 + y .0 + z .1= 0

=> z = 0 vi c a = 9 « 3x - y = 9 V i cc = 4 <=> X + 2y = - 4

A3(0; -3; -5).

4) Tren true hoanh Ox thi tung do y = 0, do cao z = 0 nen tea d6 hinh

chieucuaAlaA4(l;0;0).
5) Tren true tung Oy thi hoanh do x = 0, do cao z = 0 nen toa do hinli
chieu ciia A la A,(0; -3; 0).
6) Tren true cao Oz thi hoanh do x = 0, tung do y = 0 nen toa do hinh
chieu ciia A la A^iO; 0; -5).
Vi du 4: Cho A(-3; 2; -1). Tim toa do diem doi xiing cua A qua gdc toa

Giai he: P'^-y^^ ^
• [x + 2 y = - 4

1^ = 2
[y=-3

c , (2; - 3 ; 0)

Vi du 7.
Cho tii dien ABCD c6 A ( l ; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 11), D(-8; -2; 2).
ViS't phuang trinh mat ciu ngoai tie'p tii dien ABCD.
Giai:
Goi I(x; y; z) la tarn mat c&u ngoai tie'p tii dien ABCD, thi ta phai c6:

d6, qua eac true toa do, qua cac mat phang toa d6.
IA = IB = IC = ID
Giai: Qua gdc toa do: toa do diem doi xiJng ciia A la: (3; - 2 ; 1).
IA=IB
Qua true hoanh x' Ox: toa dd di^m ddi xiing ciia A la: (-3; 2; -1).
Qua true tung y'Oy: toa do di^m ddi xiing etia A la: (3; 2; 1).

IA=IC

(1)

IA=ID

Qua true cao z'Oz: Toa do di^m ddi xiing cua A la: (3; - 2 ; - 1 ) .
Qua mat phang Oxy: toa do diem ddi xiing ciia A la: (-3; 2; 1).
Qua mp Oyz: toa dd diem ddi xiing cua A la: (3; 2; -1).

lAJBJC,

lA

IB

IC, ID ,ID

lA = ( l - x ; - 2 - y ; - l - ? )

Qua mp Oxz: toa do di^m ddi xiing ciia A la: (-3; - 2 ; -1).
Vi du 5:

=> lA = ^il-xr+i2

Cho AB = (2; - 3 ; -1). Tim toa dd diem A, biet B ( l ; - 1 ; 2).

IB = (-5-x; 10-y; -1-z)

Giai:

+ yy+il + zr

=> IB

Goi A(x;y;z) ta c6: AB = (1-x; - 1 - y ; 2-z).

Suy ra

2=1-X

X

-3 = - 1 - y

y =2

-l = 2-z

z=3

IC=

=-1
A ( - l ; 2; 3)

(4-x; l - y ; l l - z )

IC = V ( 4 - ; c ) ' + ( ! - > ' ) ' + ( 1 1 - ^ ) '

A1

ID = ( - 8 - x ; - 2 - y ; 2-z)
ID

T a c o h a : • 18x - 22y - 5z = 0

( l - x ) ' + (2 + y ) ' +(1 + zf
( 1 - x ) ' + (2 + y ) ' +(1 + zf

x)^+(l-y)'+(ll-z)

= (8 + X ) ' + ( 2 + y ) ' + ( 2 -

Vidu9.
Cho cac die'm A ( 3 ; 0 ; l ) , B ( - l ; 4 ; l ) , C(5;2;3), D(0; - 5 ; 4 ) .

-2
^

Chirng minh rling b6'n diem A , B, C, D la 4 dinh ciia hinh t i i dien.

I (-2; 4; 5)

z = 5

I

Khoang each l A =

=

-^{l-xf

+ ( 2 + >;)' + ( l + z ) ' = 9. Mat e^u

ngoai tiep t i i dien A B C D c6 tarn I(-2;4;5) va c6 ban kinh r = l A = 9

Tinh ^AO (O la trong tam ciia mat BCD ciia hinh t i i dien).
G i a i : a. Neu bon d i ^ m A , B, C, D la b6n dinh cua m6t hinh tir diSn thi

ba vector A B , AC, AD khong ddng phang.

Vay phuong trinh mat cau la:

A B = (-4;4;1), AC = (2;2;2) = 2 ( 1 ; 1 ; 1 ) , A D = ( - 3 ; - 5 ; 3 )

(x+2)' + ( y - 4 ) ' + ( y - 5 ) '

=81

Cdch I: Xet bieu thirc

Vidu8
Cho a = (3,;2;2)va 6 = (18;-22;-5). T i m cbie't

= 14,c 1 a,c

c tao vdfi true tung goc t u .

±bva

-4

1

1

-5

3

+ 4

1

1

3

-3

[AC,AD].AB

+

1

1

-3

-5

= -4.8 - 4.6-2 = -58 9^ 0 (dpcm)

Giai

Cdch 2. Ta khong tim dugc cap so x, y thoa man A B = xAC

Goi c = (x; y; z)
V i : fl 1 c

< 0 < = > y < 0 nen chon y = - 6

Dap so: c = (-4; -6;12)

- 2 y + 10 = 0

3x-z + ll = 0
y = 4

z = -2y
y = ±6

V i c tao vdi true tung goc til nen c.j

zf

<»<{x + y + 4 z - 2 2 = 0

X =

»

x ' + y ' + z ' = 14'

= (5 + X ) ' +(10 - y ) ' +(1 + z)

(1) c> ( 1 - x ) ^ + ( 2 + y ) ' + ( l + z)^ = ( 4 +

X

2

3x + 2y + 2z = 0

nghia la he sau v6 nghiem:

= 0 <=> 3x + 2y + 2z
^ 1 c o

^ = 0 »

=0

18x - 22y - 5z = 0

= 1 4 c : > x ' + y W = 14'

- 4 = X - 3>'

4 = X - 5y ^
1=

X

+ 3y

he nay v6 nghiem

+ yAD,


67. Toa d6 trung diem cac canh cua tam giac ABC la (1;3;2), (0;2;0).
(2; -2; 4). Tim toa do cua cac dinh tam giac ABC.

b. Goi 0(x, y, z) ta c6:
AO = AB + BO

68. Tim tren true hoanh mot diem each deu hai diem A(l; -3;7) va B(5;7;- -5).
AO = AC + CO
69. AABC CO A(l;2; -1), B(2; -1;3), C(-4;7;5). Tim d6 dai ducmg phan
AO=AD+DO

giac trong BD.

3AO = AB + AC + AD-(OB + OC + OD).
Vi O la irong tarn tarn giac BCD ntn OB + OD + OC = 0.
1
1
Suyra: AO =-{AB + AC + AD) =-(-5;l;5)

70. AABC CO A(-4; -1;2), B(3;5; -10). Tim toa d6 dinh C bie't trung di^m
canh AC thu6c true tung,^ trung diem canh BC thu6c mpOxz.
71. AABC CO A(6;2;3), goc toa d6 la trung diem canh AC. Trong tam G ciia
AABC thu6e true tung. Tim toa do B, C.

VsT

A0\ ^^i-5y+l'+5'

72. AABC CO A(-l;2;3), trong tam G trung vdi g6c toa do, Be Ox,

= ^

C e mpOyz. Tim toa d6 B, C.
73. Tim the tich tii dien ABCD biet toa d6 cac dinh A(2; -1;1), B(5;5;4),

C. BAI TAP

C(3;2;-1),D(4;1;3).
74. Cho hinh hop ABCD.A'B'C'D', biet A(-1,0,1), B(2;l;2), D(l;l;2),

63. Cho tii dien ABCD. Tim diem O sao cho:

C'(4,-5;l).

OA + OB + OC + OD = 0.

a) Tim toa d6 cac di^m eon lai ciia hinh h6p.

Chiing minh di^m O la dilm duy nha't.

b) Tim the tich hinh hop tren.

64. Cho tii dien ABCD. Goi A', B', C , D' la cac di^m theo thir tu chia cac
doan thang AB, BC, CD, DA theo ty s6 k:

75. Cho lang tru diing ABCA,B,C, c6 day ABC la tam giac vudng
AB = A C = a, AA, =. aV2 . Goi M, N 1^ lugt la trung diem ciia doan

A'A

BB

CC

DD

AB

BC

CD

DA

AA, va BC,. Chiing minh MN la dirdng vu6ng goc chung cua cac ducmg

=k

1. CMR vdfi moi di^m O bat ky trong kh6ng gian, ta lu6n c6:
OA + OB + OC + OD = OA' +OB+OC'

+OD'

2. Vol gia tri nao ciia k thi b6'n diem A',B',C,D' d6ng phing?
65. Cho a = S,b

=l,(a,6) = 30". Tinh goc tao bdi tdng va hifu hai

thing AA,va BQ.Tinh

VMA,BC, •

76. Trong khong gian toa d6 Oxyz cho 0(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 1; 0),
O' (0,0,a) la bon dinh ciia hinh hop chu nhat OBCD.O'B'CD'.
Tim add 'BD

L^T:.

(Trich d6 thi DHXD, 1999).
77. Trong kh6ng gian toa d6 Oxyz cho hinh tii dien ABCD, bie't toa d6 cac

vecta a,b.
66. Tarn giac ABC c6 toa d6 cac dinh A(3; -1;6); B(-l;7; -2), C(l; -3;2).
Chiing minh tam giac ABC la tam gidc vu6ng.

dinh A(2; 3; 1), B(4; 1; -2). C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8).
Tinh do dai ducmg cao ciia tii dien xua't phat tur A.
(Trieh de thi DH Duoc, 1999).

II. M A T P H A N G

A. THUYfeT CAN NH6
1. Phuofng trinh long quat cua mat phdng
* Vector phap tuyen: Vecta n^O vu6ng goc vol mat phang («) goi la
vecta phap tuyen cua mat phang (a).
Dinh ly: Trong kh6ng gian Oxyz ne'u m|t phang (a) c6 cap vecto chi
phaang la a (a,; a^, a,) va b (b,; h^, b,) thi ( a ) c6 m6t vecta phap tuy^fn
CO

toa do n =

V

>

J

Kh6ng CO mat x va y (A = 0, B = 0) thi mat phing do song song hoac
Itrung voi mat phang Oxy. Tuong tu mat phang Ax +D = 0 song song hoac
ttrung vdi mat phang Oyz, mat phang By + D = 0 song song hoac triing v6i
lat phang Oxz
f

* Ne'u A,B,C,D khac 0, bang each dat a = - — , b = - — , c = - — ta c6
A.
B
C

\ dua (1) \i dang: - + ^ + - = 1(2)

a b e

Khi do mat phang (a) cat cac true Ox, Oy, Oz \in luat tai cac di^m:
(a;0;0); (0;b;0); (0;0;c).
Phuomg trinh (2) la phuang trinh ciia mat phang theo doan chan.
2. Vi trf tuong doi cua hai mat ph^ng
Cho hai mat phang (or,): A,x + B,y + C,z + D, = 0

= (ajbj - ajbj-, ajb, - a,b3;a,b2 - a^hi)
•
Nhuvay n =
Dinh nghia: Phuong trinh c6 dang Ax + By + Cz + D = 0 trong d6 A, B, C
(«2):A2X + B2y +C2Z + D2 = 0
khong d6ng thcri bang 0 (A^+ B^+
0) dugrc goi la phuong trinh t6ng quat
cua mat phang.
1. ( a , ) n ( a 2 ) ? i ^ o A,:B,:C, ^ A2:B2:C2
* Nhan xet
B, C, A
* Neu mat phang ( a ) c6 phirong trinh t6ng quat laAx + By + Cz + D = ti
2. (a,)songsong{a.^)<^ A.i ! L - i ^ - C
thi vecta phap tuyen cua no la n (A,B,C)
* Phuomg trinh mat phang di qua di^m M„(Xo,yo'Zo) nhan vecto i
A, B, C2 A
n (A,B,C) 0 lam vecto phap tuySn la:
ngoaira(a,)±(a2)<»A,A2+BiB2+C,C2= 0
A(x - Xo) + B(y - yo) + C(z- ZQ) = 0
3. Khoang each tiir mot diem den mot mat phang

* Cac truorng hop rieng
* Cho mat phang ( a ):Ax + By + Cz + D = 0 va Mo(Xo;yo;Zo). khoang
Trong khong gian Oxyz cho (or): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
each tiir diem MQ de'n mat phang a, duac tinh theo c6ng thiic:
* Neu D = 0 thi (or) di qua gd'c toa do va ngugfc lai.
* Neu trong phuomg trinh (1) khong c6 mat x(A = 0) thi mat phang
AXQ + Byo +Czo+D
tuong ung se song song hoac chiia true Ox.
d(Mo,a) =
^A'+B'+C
Tuomg tu vdri y va z.
* Khoang each gifia hai mat phang song song la khoang each tiir m6t.
* N6'u plijong trinh mat phang c6 dang Cz + D = 0
diim bat ky cua mat phang nay den mat phang kia.
49