ứng dụng của sai phân vào giải toán trong trường trung học phổ thông

Mục lục
Trang
Lời mở đầu...................................................................................................2
Chơng I. Một số kiến thức mở đầu..............................................................3
1.1 Sai phân................................................................................................3
1.1.1 Khái niệm sai phân.............................................................................3
1.1.2 Một số tính chất của sai phân............................................................3
1.2 Phơng trình sai phân............................................................................4
1.2.1 Phơng trình sai phân tuyến tính........................................................4
1.2.2 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1...............................................5
1.2.3 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 2...............................................6
1.2.4 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 3................................................8
1.3 Tuyến tính hóa......................................................................................9
Chơng II. Một số bài toán ứng dụng tính chất của sai phân ...................10
2.1 Bài toán tính tổng................................................................................10
2.2 Bài toán tìm giới hạn của dãy số........................................................15
Chơng III. ứng dụng của phơng trình sai phân.........................................21
3.1.Tìm số hạng tổng quát của dãy số.......................................................21
Kết luận......................................................................................................33
Tài liệu tham khảo.....................................................................................34


2

Lời mở đầu
Phơng pháp sai phân là phơng pháp đợc áp dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Sai phân có thể ứng dụng vào giải gần đúng phơng
trình các toán tử, đặc biệt đợc sử dụng để giải phơng trình vi phân và phơng
trình đạo hàm riêng. Bên cạnh đó lí thuyết sai phân còn có nhiều ứng dụng
khác trong giải tích chẳng hạn nh : tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới
hạn của dãy số....

Trong chơng trình toán phổ thông, các bài toán về dãy số nh : tìm số
hạng tổng quát của dãy số, tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số, tìm giới
hạn....hầu hết mới chỉ xem xét trên cấp số cộng, cấp số nhân. Tuy nhiên trong
các đề thi học sinh giỏi, các kì thi Olympic quốc gia và quốc tế... không chỉ
xét trên cấp số cộng, cấp số nhân mà còn xét trên các dãy số phức tạp khác, đó
là những bài toán khó đối với các phơng pháp sơ cấp thờng dùng. Sử dụng phơng pháp sai phân sẽ thể hiện tính u việt khi giải các bài toán này.
Dới góc độ một sinh viên chuyên ngành toán, em xin trình bày một số
phơng pháp giải bài toán liên quan đến sai phân nhằm đáp ứng cho nhu cầu
bồi dỡng giáo viên, bồi dỡng sinh viên và học sinh giỏi với chuyên đề ''ứng
dụng của sai phân vào giải toán trong trờng Trung học phổ thông".


3
Chơng I: một số kiến thức mở đầu
1.1 Sai phân
1.1.1 Khái niệm sai phân
Giả sử f : Ă Ă là một hàm số cho trớc và h = const .
Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại lợng f ( x) = f ( x + h ) f ( x )
Một cách tổng quát sai phân cấp n của f(x) là đại lợng
n f ( x) = n1 f ( x )
1.1.2 Một số tính chất của sai phân



( n 1)

Tính chất 1: là toán tử tuyến tính, nghĩa là , Ă ; f , g thì

( f + g ) = f + g
Tính chất 2: Nếu c = const thì c = 0

Tính chất 3:

+ n ( x n ) = n!h n

+ m ( x n ) = 0 ( m > n )

Tính chất 4: Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor
n
hi ( i )
P = P ( x + h) P ( x ) = . p ( x )
i =1 i !
n

Tính chất 5: f x + n h = C i i f ( x)
(
) n
i =0

Tính chất 6: Mọi sai phân đều biểu diễn qua các giá trị của hàm số
n

n f ( x ) = ( 1) Cni f ( x + ( n i ) h )
i

i =0

n
Tính chất 7: Giả sử f C [ a, b ] và ( x, x + nh ) [ a, b ]

Khi đó:
Hệ quả: Nếu

n f ( x )
n
= f ( ) ( x + nh )
n
h

( 0,1)

n f ( x)
thì khi h đủ nhỏ ta có: ( n )
f C [ a, b ]
f ( x)
n
n

h


4
Nhận xét: Với hàm f ( x ) , xác định trên tập số nguyên  và coi h =1;
kí hiệu

yk = f ( k ) ; k = 0,1,2...

Ta có

n

y = ( y
i

i =1

2

y1 ) + ( y3 y2 ) + ... + ( yn+1 yn ) = yn+1 y1

1.2 Phơng trình sai phân
1.2.1.Phơng trình sai phân tuyến tính
* Định nghĩa:
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp k là một hệ thức tuyến tính giữa sai
phân các cấp

F ( xn , xn , 2 xn ,..., k xn ) = 0

(1.1)

Trong đó xn là sai phân cấp 0 của hàm xn .
Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số
nên (1.1) có dạng

an xn+ k + an1 xn+ k 1 + ... + a1 xn+ 1 + a0 xn = f n

(1.2)

Trong đó ai , i = 0,1, 2...n với an 0, a0 0 là các hằng số hoặc các hàm
số của n; f n là hàm số của n; xn là giá trị cần tìm

Phơng trình (1.2) đợc gọi là phơng trình sai phân tuyến tính cấp n. Nếu
f n = 0 thì phơng trình (1.2) đợc gọi là phơng trình sai phân tuyến tính thuần

nhất cấp n an xn + k + an 1 xn + k 1 + ... + a1 xn +1 + a0 xn = 0

(1.3)

Để giải phơng trình (1.2) ngời ta thờng cho trớc n giá trị ban đầu

x0 , x1 ,..., xn 1 và tìm đợc xk = f (k ) với k = 0,1,2,... đợc gọi là nghiệm của phơng trình sai phân (1.2)
Phơng trình an n + an 1 n1 + ... + a1 + a0 = 0 (1.4) đợc gọi là phơng trình
đặc trng của phơng trình (1.3)
Nhận xét: Nếu xn là nghiệm của phơng trình (1.3) và xàn là một
nghiệm của phơng trình (1.3) thì xn + xàn với , là các hằng số tùy ý cũng
là nghiệm của phơng trình (1.3).
1.2.2 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1
* Định nghĩa.
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 là phơng trình có dạng


5

a xn + 1 + b xn = f n
(a, b - hằng số khác 0, fn - biểu thức của n)
* Nghiệm.
Nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng xn = xn + xn* ;

(2.1)

là nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính

trong đó: x
n

thuần nhất axn +1 + bxn = 0


x là một nghiệm riêng bất kỳ của phơng trình (2.1)
n

* Phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 1
Phơng trình axn +1 + bxn = 0 (a # 0),

Phơng trình đặc trng a + b = 0 =

(2.2)

b
a

Nghiệm tổng quát của phơng trình(1.1) có dạng xn = q n (q là hằng số)
* Một số dạng phơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
cấp một


a xn + 1 + b xn = f n

Dạng 1

(2.3)

Nghiệm tổng quát: xn = xn + xn*
Với

xn là nghiệm tổng quát của phơng trình (2.2)

xn* là nghiệm riêng của phơng trình (2.3)
Tìm xn* nh sau:
Nếu 1 thì xn* = g n là đa thức cùng bậc với f n
Nếu = 1 thì xn* = n.g n ; g n là đa thức cùng bậc với f n
n
Dạng 2: Phơng trình a xn +1 + b xn = Pm ( n )

( 0)

Nghiệm tổng quát xn = xn + xn*
Với

xn là nghiệm tổng quát của phơng trình (2.2)
xn* là nghiệm riêng của phơng trình (2.4)

(2.4)


6
xn* đợc xác định nh sau
xn* = Qm ( n ) n nếu

xn* = n.Qm ( n ) . n nếu =
Trong đó là nghiệm của phơng trình đặc trng
P ( n ) ; Q ( n ) các đa thức bậc m của n

m



m

Dạng 3: Phơng trình axn+1 + bxn = f n1 + f n2 + ... + f nk

(2.5)

Nghiệm tổng quát của phơng trình (2.5) có dạng
xn = xn + xn*1 + xn*2 + ... + xn*k
Trong đó xn*k tơng ứng là nghiệm riêng của phơng trình
axn +1 + bxn = f nk (k =1,2,....);

2.1.3. Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai
* Định nghĩa.
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai là phơng trình có dạng:

axn+ 2 + bxn+1 + cxn = f n

(3.1)

a,b,c: hằng số; f n : hàm số của n
Nếu f n 0 ta có phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai

axn + 2 + bxn +1 + cxn = 0

(3.2)

* Nghiệm.
Nghiệm tổng quát của phơng trình (3.1) có dạng xn = xn + xn*
Trong đó: xn là nghiệm của phơng trình sai phân tuyến tính thuần
nhất (3.2); xn* là một nghiệm riêng tùy ý của (3.1).
Phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai


Phơng trình a xn+ 2 + b xn +1 + c xn = 0;

(a 0)

Phơng trình đặc trng a 2 + b + c = 0
Nếu 1 , 2 là 2 nghiệm thực phân biệt thì: xn = A.1n + B.2n

( 3.2 )


7
Nếu 1 = 2 = (nghiệm thực kép) thì: xn = ( A + B.n) n
Nếu = x + iy = r (cos + i sin ) thì: = x iy = r (cos i sin ) cũng
là nghiệm của phơng trình đặc trng.
Khi đó: xn = r n ( A cos n + B sin n )
y
; (A, B là các hằng số)
x
* Một số dạng phơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai
Dạng 1.
(3.3)
axn+ 2 + bxn+1 + cxn = Pk (n)
Với: i 2 = 1; r = x 2 + y 2 ; = arctg

với a, b, c là các hằng số; a 0 ; Pk (n) là đa thức bậc k của n
Nghiệm tổng quát của phơng trình (3.3) : x = x + x*
n
n
n
Với: xn là nghiệm tổng quát của phơng trình (3.2)
xn* là một nghiệm riêng của phơng trình (3.3)
Cách tìm xn* :
Phơng trình đặc trng: a 2 + b + c = 0
Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm 1 thì: xn* = Qk (n)
Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm đơn = 1 thì xn* = nQk (n)
Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm kép = 1 thì xn* = n 2 Qk (n)
n
Dạng 2: a xn + 2 + b xn+1 + c xn = Pk ( n )

Trong đó: a,b,c là các hằng số a 0; 0
Pk (n) là đa thức bậc k của n
nghiệm tổng quát của phơng trình (3.4) có dạng xn = xn + xn*
Trong đó

xn là nghiệm tổng quát của phơng trình (3.2)
xn* là một nghiệm riêng của phơng trình (3.4)

Cách tìm xn*
Phơng trình đặc trng a 2 + b + c = 0

(3.4)

8
Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm

thì xn* = Qk ( n ) .n

Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm đơn = thì xn* = n.Qk ( n ) . n
Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm kép = thì xn* = n 2 .Qk ( n ) . n
1.2.4 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 3
*.Định nghĩa.
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 3 là phơng trình có dạng
a.xn+3 + bxn+ 2 + c.xn +1 + d .xn = f n.

(4.1)

Trong đó a,b,c,d là các hằng số a 0 ; f n biểu thức của n
*.Nghiệm.
*
Nghiệm tổng quát của phơng trình (4.1) có dạng xn = xn + xn

là nghiệm của phơng trình a.x + b.x + c.x + d .x = 0 (4.2)
Trong đó x
n+ 3
n+ 2
n+1
n
n

xn* là một nghiệm riêng của phơng trình (4.1)
*.Phơng trình tuyến tính thuần nhất cấp 3
Phơng trình có dạng a xn + 3 + b xn+ 2 + c xn+ 1 + d = 0

( a 0 ) (4.2)

Phơng trình đặc trng a 3 + b 2 + c + d = 0
Nếu phơng trình đặc trng có 3 nghiệm thực phân biệt: 1 , 2 , 3 thì:

xn = A.1n + B. n2 + C. 3n ( A, B, C là các hằng số)
Nếu phơng trình đặc trng có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn
thì : xn = ( A + Bn)1n + C. 2n

( A, B, C là các hằng số)

Phơng trình đặc trng có một nghiệm thực bội 3 thì:
xn = ( A + B n + C n 2 ) n ( A, B, C là các hằng số)
1.3 Tuyến tính hóa
Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta biến đổi dẫn về phơng
trình sai phân tuyến tính đợc gọi là tuyến tính hóa.
Trong công thức lặp: xn = ( xn1 , xn2 ,..., xnk ) , để giải phơng trình
f ( x) = 0 với các giá trị ban đầu x1 = 1 , x2 = 2 ,..., xk = k thuộc đoạn ta xét.


9
Giả sử phơng trình sai phân xn = ( xn1 ,..., xnk ) là tuyến tính hóa đợc. Khi đó
điều kiện cần là tồn tại các số a1 , a2 ,..., ak để: xn = a1 xn1 + a2 xn 2 + ... + an xn k
Để tìm ai (i = 1, k ) trớc hết ta theo các giá trị ban đầu: 1 , 2 ,..., k để
tính xk +1 , xk + 2 ,..., x2 k
xk +1 = (k , k 1 ,..., 1 )
xk +2 = (k +1, k ,..., 2 )
...............
x2 k = ( 2 k 1 , 2 k 2 ,..., k )

Thay x1 , x2 ,..., xk và các giá trị xk +1 , xk +2 ,..., x2 k vừa tìm đợc vào biểu
thức xn ta đợc hệ phơng trình đại số tuyến tính:
xk +1 = a1 xk + a2 xk 1 + ... + ak x1
x = a x + a x + ... + a x
k +2
1 k +1
2 k
k 2

.............
x2 k = a1 x2 k 1 + a2 x2 k 2 + ... + ak xk
Nếu hệ trên có nghiệm thì ta đợc: xn = a1 xn1 + a2 xn 2 + ... + ak xn k là
dạng tuyến tính hóa của xn = ( xn 1 , xn 2 ,..., xnk )
Kiểm tra điều kiện đủ bằng phép chứng minh quy nạp.
Chơng II: một số bài toán ứng dụng tính chất
của sai phân

2.1

Bài toán tính tổng

Các bài toán tính tổng thông thờng đợc yêu cầu đối với các dãy số đặc
biệt nh cấp số cộng, cấp số nhân... bằng các phơng pháp truyền thống nh quy
nạp toán học, sử dụng các phép biến đổi đại số, sử dụng đạo hàm...Tuy nhiên
đối với các tổng phức tạp và các số hạng của tổng không thuộc các dãy số đặc
biệt nh cấp số cộng, cấp số nhân, dãy đơn điệu...thì việc sử dụng các phơng
pháp truyền thống ở trên là rất khó. Khi đó các tính chất của sai phân là công
cụ hữu hiệu để giải bài toán này.
Bài toán 1 : Tính các tổng sau

10
k 2 + 3k + 1
S =∑
k =0 ( k + 2)!
n

1.1.
Ta cã

 k +2 
k 2 + 3k + 1 (k 2 + 4k + 4) − (k + 3)
k +2
k +3
=
=
−
= −∆ 
÷
(k + 2)!
( k + 2)!
(k + 1)! (k + 2)!
 ( k + 1)! 

 n +1+ 2
k+2 
0+2 
n+3
S = ∑  −∆ (

) ÷ = −
−
=2−
÷
(k + 1)! 
( n + 2)!
k =0 
 (n + 1 + 1)! (0 + 1)! 
n

k −1
k =1 k !
n

S =∑

1.2.

Ta cã:
 1 
1
1
k −1 k 1
=
− = −∆ 
= −
÷
(k − 1)! k !
k!
k! k!

 (k − 1)! 
n

S = −∑ ∆
k =1

n

1.3. S = ∑
k =1


1
1 
1
1
= −
−
=1−

n!
(k − 1)!
 (n + 1 − 1)! (1 − 1)!
1

k + k +1

Ta cã
1
k + k +1

=

k +1 − k
= k +1 − k = ∆ k
(k + 1) − k

n

S = ∑∆ k = n +1 − 1 = n + 1 −1
k =1

n

1.4. S = ∑ (k 2 + k + 1)k !
k =1

Ta cã: (k 2 + k + 1) k ! = (k + 1) 2 k !− k k ! = (k + 1)(k + 1)!− k k ! = ∆ (k k !)
n

S = ∑ ∆ (k k !) = (n + 1)( n + 1)!− 1
k =1

3k 2 − 3k + 1
2
3
k =2 (k − k )

2009

1.5. S = ∑


11
Ta có
3k 2 3k + 1 k 3 (k 3 3k 2 + 3k 1)
1
1
1
=
=

=

(k 2 k )3
k 3 (k 1)3
( k 1)3 k 3
(k 1)3

1
1
1
1
=

=1
3
3
3 ữ
(k 1)

(2 1)
20093
k =2
(2009 + 1 1)
Nhận xét : Các bài toán tính tổng nêu trên thờng đa về việc tính tổng
2009

S =

sai phân

n

y = y
i =1

i

n +1

y1 hoặc

n

y = y
i= k

i

n +1

yk ; ( k < n )

Trên cơ sở đó dễ dàng

tìm đợc giá trị cụ thể của tổng hoặc các bài toán liên quan nh tính giới hạn của
tổng, so sánh giá trị của tổng với một số cụ thể,so sánh giá trị của 2 tổng khác
nhau...
Bài toán 2: Tính các tổng lợng giác sau:
n

2.1 Sn = sin kx
k =1

1
1
x
Ta có : cos( k + ) x cos( k ) x = 2sin k x sin
2
2
2
x
+ Nếu sin = 0 x = 2k ( k  )
2
Thì sin kx = 0 suy ra
+ Nếu sin

n

S = sin kx = 0

k =1

( k = 1,2,...n )

x
0 x 2k Ta có:
2

1
1
1
1
cos(k + ) x cos(k ) x
=
( cos( k ) x)
2
2
sin kx =
x
2
x
2sin
2sin
2
2

Sn =

1
2sin

n

x
k =1
2

n +1
nx
1
1 1
x sin
x si n

cos (k ) x =
cos n + x cos ữ =
2
2
x 2 ữ
2
2
x
2sin

2

sin

2

12
x = 2k ( k  )

0
n +1
nx
sin
x
sin
Vậy: Sn =
2
2

x
sin


2

2.2

x 2 k ( k  )

n

Tn = cos kx
k =1

1

1
x


Ta có: sin k + ữx sin k ữx = 2cos k x sin
2
2
2


Hoàn toàn tơng tự trên ta tính đợc:
nếu
x = 2k ( k  )
n

n +1
nx

x k 2 (k  )
Tn = cos 2 x sin 2 nếu

x
sin


2
Mở rộng 1: Từ bài toán trên ta có thể tính đợc các tổng sau:
n

n

2.3 S n = k sin kx ;

2.4 Tn = k cos kx
k =1

k =1

Cách giải: Ta có:
n

n

n

k =1

k =1

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k sin kx = [ ( cos k x) ] = ( cos k x)
'

'

k =1

k.cos kx = (sin kx)' = ( sin kx)'
Trong đó các tổng

n

n

k =1

k =1

sin kx; cos kx

đã đợc tính ở trên,lấy đạo hàm

của tổng ta đợc tổng phải tìm.
Mở rộng 2: Từ bài toán trên và bài toán mở rộng 1 ta tính đợc các
tổng sau:
n

2.5 Sn = ak sin kx
k =1

n

2.6 Tn = ak cos kx
k =1

Trong đó a1 , a2 ,..., an là cấp số cộng công sai d
Cách giải: Ta có:


13
n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

S n = ak sin kx = [ a1 + (k 1) d ]sin kx = (a1 d ) sin kx + d k sin kx
n

Tn = ak cos k x =
k =1

Trong đó các tổng

n

n

n

k =1

k =1

[a + (k 1) d ]cos k x = ( a d ) cos k x + d k cos k x
1

k =1

n



1

sin k x,

k =1

n


k =1

n

n

k =1

k =1

cos k x, k sin k x, k cos k x

đã đợc tính ở trên, từ đó ta tính đợc các tổng phải tìm.
Bài toán 3: Cho cấp số cộng ( xn) với công sai d. Tính tổng sau:
3.1

n

Sn = sin xk
k =1

Do ( xn) là cấp số cộng công sai d nên xk = (k 1)d + x1
sin xk = sin [ (k 1)d + x1 ]
sin xk sin

d
d

= sin ( k 1) d + x1 sin
2
2

sin xk sin

1
3

1
d


= cos x1 + k ữd cos x1 + k ữd
2
2
2
2




sin xk sin
sin xk =

Sn =

Sn =

1

3
d

= cos x1 + k ữd
2
2
2


1


3

cos x1 + k ữd
d
2


2sin
2
1

2sin

n

3

cos x + k ữd
d
2


2

k =1

1

1
1
1

cos x1 + n ữd ữ cos x1 d ữ

d
2
2

2sin
2


14

n 1 nd

sin x1 +
d ữsin
2
2


Sn =
d
sin
2
Bài tập luyện tập:
Cho cấp số cộng ( xn) với công sai d. Tính tổng sau:
3.2

n

Tn = cos xk
k =1

Mở rộng 3: Từ bài toán trên ta tính đợc tổng:
n

n

3.3 Pn = k sin xk

3.4 Qn = k .cos xk
k =1

k =1

Trong đó { x1, x2 ,..., xn } lập thành cấp số cộng công sai d
Cách giải: Đặt

n

Sn = sin xk
k =1

Pn =

Khi đó

n 1



k =1

n 1

Sk + n Sn =

k



k =1 i =1

n

sin xi + n sin xk
k =1

áp dụng kết quả tính đợc ở trên thay vào biểu thức của Pn ta đợc
d
1


cos x1 ữ cos x1 + (k )d ữ sin( x1 + n 1 d )sin( n.d )
2
2


2
2
Pn =
+n
d
d
k =1
2sin
sin
2
2
n 1

d n 1

1
n 1
n
(1 n) cos ( x1 ) + cos[ x1 + ( k ) d ] + 2 n sin ( x1 +
d )sin ( d )
2 k =1
2
2
2
=
d
2sin
2
n

Hoàn toàn tơng tự ta tính đợc tổng Qn = k .cos xk
k =1

trong đó { x1, x2 ,..., xn } lập thành cấp số cộng công sai d
Bài toán 4: Tính tổng sau với ( xn) là cấp số cộng công sai d
n

1
k =1 sin xk .sin xk +1

4.1 Sn =

Vì (xn) là cấp số cộng công sai d nên xk +1 xk = d

15

cot g xk cot gxk +1 =

cos xk cos xk +1 sin( xk +1 xk )
sin d

=
=
sin xk sin xk +1 sin xk .sin xk +1 sin xk .sin xk +1

1
1
1
=
cot g xk
( cot g xk cot gxk +1 ) =
sin xk .sin xk +1 sin d
sin d

Sn =
=

1 n
1
cot g xk =
( cot gxn+1 cot gx1 )

sin d k =1
sin d

1
cot gx1 cot g ( nd + x1 )
sin d

=

sin nd
sin d sin x1 sin ( nd + x1 )

Bài tập luyện tập
Tính tổng sau với ( xn) là cấp số cộng công sai d
n

4.2

Tn =

k =1

1
cos xk cos xk +1

2.2 Bài toán tìm giới hạn của dãy số
Bài toán 1. Cho dãy số { xn } xác định bởi

xn2 + 2009 xn
xn+1 =
2010

x = 2

1

( n = 1,2,...)

n

xk
Sn
. Tính lim
n
k =1 xk +1 1

Thành lập { Sn } với Sn =
Giải: Ta có
xn +1 =

xn2 + 2009 xn
x 2 + 2010.xn xn xn ( xn 1)
= n
=
+ xn (n = 1,2...)
2010
2010
2010

Do x1 = 2 nên có ngay 2 = x1 < x2 < x3 < .... Vậy { xn } là dãy đơn điệu tăng
xn = L Khi đó
Giả sử { xn } bị chặn nên tồn tại L > 2 để lim
n
2

2
lim xn+1 = lim xn lim xn + 2009.xn = lim x L + 2009 L = L
n
n
n
n
n
2010
2010


16
L = 0 (mâu thuẫn với
L > 2)
L = 1


Vậy { xn } có giới hạn vô hạn, hay
Ta có:

lim xn = +
n

x x
xn = 2010 n +1 n ữ
xn 1

( x 1) ( xn 1)
1
1

xn
1
= 2010 n+1
= 2010

ữ = 2010 x 1
xn+1 1
( xn 1) ( xn+1 1)
n
xn 1 xn+1 1
n
1
1
xk
1
S =
=

2010

= 2010

ữ
ữ
k =1 xk +1 1
k =1
xn+1 1 x1 1
xk 1
n

1
2010
lim S = lim 2010 1
= lim 2010
ữ
ữ = 2010
n
n
n
xn +1 1
xn +1 1



xn = + nên lim
( vì lim
n

2010
=0
xn +1 1

)

Bài toán 2. (Bài toán tổng quát)
Dãy { xn } đợc xác định nh sau

xn2 + mxn

xn +1 = m + m
0


x1 = a > m0 > 0

*
n = 1, 2....; m0 Ơ


n

Dãy

{ xn } đợc xác định nh sau:

xk
lim Sn
k =1 xk +1 m0 Tính: n

Sn =

Giải: Theo công thức xác định dãy { xn } ta có
xn2 + ( m + m0 ) xn m0 xn xn ( xn m0 )
=
+ xn
xn+1 =
m + m0
m + m0

17
Vì x1 = a > m0 Ơ * nên ta thấy ngay a = x1 < x2 < x3 < ....
Do đó { xn } là dãy đơn điệu tăng
Giả sử { xn } bị chặn trên suy ra tồn tại L > a sao cho lim xn = L Khi đó
n

2
2
lim xn+1= lim xn lim xn + mxn = lim xn L + m.L = L
n
n
n

m0 + m

L = 0
mâu thuẫn với
L = m (
0


m0 + m

n

L > a > m0 )

xn = +
Dãy { xn } không bị chặn trên tức là lim

n
Do đó ta có:
xn = ( m + m0 )

xn+1 xn
xn m0

xn
xn+1 xn
= ( m + m0 )
xn+1 m0
( xn m0 )( xn+1 m0 )
1

xn
1
= ( m + m0 )

ữ
xn+1 m0
xn m0 xn+1 m0
1
xn
= ( m + m0 )
ữ
xn+1 m0
xn m0
n
1

1
1
S = (m + m0 )

ữ = (m + m0 )
ữ
k =1
xn +1 m0 x1 m0
xk m0

1

1
= ( m + m0 )

ữ
a m0 xn+1 m0

v


18
1

1
lim S n = lim ( m + m0 )

ữ
n
n

a m0 xn+1 m0
( m + m0 )
m + m0
=
lim
a m0 n xn +1 m0
=

m + m0

a m0


(m + m0 )
=0 ữ
n x
n +1 m0


vì

lim

Bài tập luyện tập:
Bài toán 3. Cho dãy { xn } xác định nh sau:

xn2 + 2 xn
xn+1 =
5

x = 5
1
n

xk
Sn
; Tính lim
n
k =1 xk +1 3

Dãy { Sn } đợc xác định bởi S n =

Bài toán 4. Dãy { xn } đợc xác định nh sau
x1 = 8


( xn 5)3
(n = 1, 2...)
xn+1 = xn +
2010


Đặt S n

( x 5)
= 1
x2 5

2

( x 5)
+ 2
x3 5

2

( x 5)
+ .... + n

2

xn+1 5

Sn = ?
Tính lim
n

Giải: Theo công thức xác định dãy ta có: 8 = x1 < x2 < x3 < ...
Do đó { xn } đơn điệu tăng
Giả sử { xn } bị chặn trên suy ra tồn tại L > 8 sao cho lim xn = L Khi đó
n
3

xn 5 )
(
( L 5)3
lim xn+1 = lim xn lim xn +
=L
ữ = lim xn L +
n

n
n
ữ n
2010
2010



L = 5 (mâu thuẫn với L > 8 )
Dãy { xn }

không bị chặn trên hay lim xn = +
n


19

Từ giả thiết

xn +1 = xn

( x 5)
+ n

3

2010

( xn 5) = 2010 ( xn+1 xn )
3

( xn 5)
( xn+1 xn )
= 2010
( xn 5) ( xn+1 5)
( xn+1 5) ( xn 5 )
3

( xn 5)
( xn+1 5)
2

1

1
1
= 2010

ữ= 2010
ữ
xn 5 xn +1 5
xn 5

n

1
1
1
1
1
S = 2010

ữ = 2010
ữ = 2010
ữ
xk 5
k =1
xn+1 5 x1 5
3 xn+1 5


1
1
2010
lim Sn = lim 2010
= 670 lim
= 670

ữ
n
n
n x
n +1 5
3 xn+1 5

Bài toán 5. (Bài toán tổng quát)

Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau
m

xn a ) o

(
xn+1 = xn +
no


x1 = b > a > 0

*
mo , no Ơ



( n = 1,2...)

( xn a) m0 1
( x1 a) m0 1 ( x2 a) m0 1
Đặt Sn =
+
+ ... +
x2 a
x3 a
xn +1 a

Sn = ?
Tính lim
n
Giải: Từ công thức xác định dãysố { xn } ta có: b = x1 < x2 < ...
Do đó { xn } đơn điệu tăng
xn = L Khi đó
Giả sử { xn } bị chặn trên nên tồn tại L ; L > b sao cho lim

n


20
m

xn a ) o
(
( L a ) mo
lim xn+1 = lim xn lim xn +
=L
= lim xn L +
n
n
n
no
no

n

xn = +
L = a (mâu thuẫn với L > b > a ) Do đó lim
n
Từ giả thiết xn +1 = xn

( xn a )

m0

( x a)

+ n

mo

no

= n0 ( xn +1 xn )

( xn a) m0
( xn +1 xn )
= n0
( xn a)( xn+1 a)
( xn a)( xn +1 a)

( xn a )

mo 1

xn +1 a
n

Sn =
k =1


1
1
1
=

n

= no


ữ
0
ữ
x

a
x

a
x

a
n


n +1
n


( xk a )

mo 1

n

1
1
1
= no

ữ = n0
ữ
xk +1 a
xk a
k =1
xn +1 a x1 a

1
1
= no.

ữ
b a xn+1 a

n
no no
no
n
lim S n = lim o
=
lim
= o
ữ
n
n b a

xn+1 a b a n xn+1 a b a

xn = + lim
(vì lim
n
n

no
=0)
xn+1 a

Bài tập luyện tập:
Bài toán 6. Dãy { xn } đợc xác định nh sau:
x1 = 6


( xn 3) 2
x
=
x
+
(n = 1,2...)
n
n+1
2010


Tính

x 3 x2 3

x 3
lim 1
+
+ ... + n
ữ
n x 3
x3 3
xn+1 3
2


21
Bài toán 7: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau
xn =

1 2
n
+ + ... +
2! 3!
( n + 1) !

( n = 1,2...)

n
Tìm giới hạn sau lim n x1n + x2n + ... + x2009
=?
n

Chơng 3: ứng dụng của phơng trình sai phân
3.1 bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

Bài toán 1: Dãy số { un } đợc xác định nh sau:
u1 = 0
u = 14
2

u3 = 18
un +1 = 7un 1 6un 2 (n 3)

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì u p Mp
Giải:
Phơng trình sai phân

un +1 = 7un 1 6un 2

Phơng trình đặc trng 3 7 + 6 = 0
có 3 nghiệm phân biệt là 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3
Ta có nghiệm tổng quát có dạng un = c1 + c2 .2n + c3 ( 3) n
với n =1; n = 2; n = 3 ta có hệ sau:
c1 + 2c2 3c3 = 0

c1 + 4c2 + 9c3 = 14
c + 8c 27c = 18
2
3
1

c1 = 1

c2 = 1
c = 1

3

Vậy un = 1 + 2n + (3)n , n = 1, 2...
Vì p là số nguyên tố nên theo định lí Fecma ta có
2 p 1 1 (mod p) 2 p 2 ( mod p)
( 3) p 1 1 (mod p) ( 3) p 3( mod p)
u n = 1 + 2 p + ( 3) p (1 + 2 3) (mod p) 0 (mod p )

Vậy un Mp


22
Bài tập luyện tập:
Bài toán 2:

Dãy số { xn } đợc xác định nh sau

xn+1 2 xn 3 xn 1 = n + 2n ( n = 2,3...)

x1 = 0
x = 0
2
Tìm số hạng tổng quát của dãy số?

Bài toán 3: Cho dãy số { xn } thỏa mãn:
xn+ 2 2 xn+1 + xn = 2

x0 = 1 ; x1 = 0

( n = 0,1,...)

n

Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy x =?
Chứng minh rằng xn là một số chính phơng
Bài toán 4: Cho dãy số { un } xác định nh sau
uo = 0, u1 = 1

un +1 = 2un + (a 1)un 1 , n = 1, 2,...

Với a là số nguyên dơng cho trớc.Cho p0 > 2 là số nguyên tố cố định.
Tìm giá trị nhỏ nhất của a sao cho
1) Nếu p là số nguyên tố và p p0 thì u p Mp
2) nếu p là số nguyên tố và p > p0 thì u p Mp
Nhận xét: Trên đây là các bài toán tìm số hạng tổng quát của một dãy
số đã đợc cho trực tiếp dới dạng các phơng trình sai phân tuyến tính cấp
1,2,3,.. đã biết cách giải. Tuy nhiên trong nhiều bài toán khác chúng ta phải
sử dụng các phép biến đổi trung gian để đa bài toán đã cho về dạng phơng
trình sai phân tuyến tính. Một trong các phép biến đổi thờng sử dụng đó là
phép 'Đặt dãy ẩn phụ'. Ta xét một số bài toán cụ thể sau:
Bài toán 5: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau

xn+ 2 = xn5+1.xn6

x1 = 2
x = 8
2

( n = 1,2...)

23
Tìm công thức của số hạng tổng quát xn = ?
Giải:

Dựa vào công thức truy hồi của dãy số ta thấy rằng

2 = x1 < x2 < x3 < ... < xn < ... suy ra dãy { xn } là dãy số dơng ( n 1,2...)

Do đó: xn+ 2 = xn5+1.xn6 tơng đơng với log 2 xn+2 = 5log 2 xn+1 6log 2 xn
Đặt yn = log 2 xn suy ra y1 = log 2 x1 = log 2 2 = 1 ; y2 = log 2 x2 = log 2 8 = 3 ;
Khi đó dãy { yn } đợc xác định nh sau:

yn+ 2 = 5 yn +1 6 yn

y1 = 1
y = 3
2

(n = 1, 2...)

Xét phơng trình sai phân: yn+ 2 5 yn+1 + 6 yn = 0
= 2
Có phơng trình đặc trng 2 5 + 6 = 0
= 3
Nghiệm tổng quát của phơng trình trên có dạng

yn = 2n A + 3n B;( A, B Ă , n = 1,2...)
Theo giả thiết : y1 = 1, y2 = 3 nên ta có hệ sau
A = 0
2 A + 3B = 1

1 (n=1,2,...)
B
=
4 A + 9 B = 3

3


Do đó

yn = 3n1
n 1

Mà yn = log 2 xn xn = 2 yn = 23

( n = 1,2,...)
n 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: xn = 23

(n = 1, 2,...)

Bài toán 6:Cho dãy số { un } đợc xác định nh sau:
u1 = 0

n( n + 1)

un +1 = ( n + 2)(n + 3) (un + 1)


Tìm số hạng tổng quát của dãy.
Giải:

(nƠ )


24

Ta có: un +1 =

n(n + 1)
(un + 1)
(n + 2)(n + 3)

(3.6.1)

n(n + 1) 2 (n + 2)
u n +1 =
(un + 1)
(n + 1)(n + 2) 2 (n + 3)

(3.6.2)

(n + 1) (n + 2) 2 (n + 3) un +1 = n (n + 1) 2 (n + 2) un + n ( n + 1) 2 (n + 2)

Đặt xn = n(n + 1) 2 (n + 2)un x1 = 0
Phơng trình (3.6.2) trở thành

xn +1 xn = n (n + 1) 2 (n + 2)

Phơng trình đặc trng 1 = 0

+ x*
Nghiệm tổng quát của phơng trình xn = x
n
n
=(với là hằng số)
x
n

Trong đó

xn* = n(an 4 + bn 3 + cn 2 + dn + e)

Thay xn* vào phơng trình (3.6.2) ta đợc
a (n + 1)5 + b(n + 1) 4 + c(n + 1)3 + d (n + 1) 2 + e(n + 1) (an 5 + bn 4 + cn 3 + dn 2 + en) =
n(n + 1) 2 (n + 2)

Đồng nhất các hệ số ta đợc

5a = 1
10a + 4b = 4

10a + 6b + 3c = 5
5a + 4b + 3c + 2d = 2

a + b + c + d + e = 0

1
5

1
2

1
2

1
5

1

a = 5

b = 1

2

c = 0

1
d =
2


1
e =

5


1
5

1
2

1
2

1
5

vậy xn* = n 5 + n 4 n 2 n ; xn = + n5 + n 4 n 2 n
mà x1 = 0 nên = 0


25
2 n4 + 5 n3 5 n 2 (n 1) n (n + 1) (2 n + 1) (n + 2)
)=
10
10
(n 1) n (n + 1) (2 n + 1) (n + 2) (n 1) (2 n + 1)
un =
=
10 n (n + 1) 2 (n + 2)
10(n + 1)
xn = n (

Bài toán 7:Xác định số hạng tổng quát của dãy số sau
x1 = 8

3( n +1)3 +1 2010

xn +1 = (3n 3 + 1) 2010 xn


(n=2,3,...)

Giải:
3(n + 1)3 + 1 2010
xn +1 =
xn
(3n3 + 1) 2010

Ta có

xn +1
xn2010
=
3(n + 1)3 + 1 (3n3 + 1) 2010

Đặt vn =

(3.7.1)

xn
khi đó phơng trình trở thành

3n3 +1

vn +1 = vn2010 suy ra ln vn +1 = 2010 ln vn
Đặt

un = ln vn u1 = ln v1 = ln

(3.7.2)

x1
8
= ln = ln 2
3
3.1 + 1
4

khi đó (3.7.2) trở thành un +1 2010.un = 0
un = 2010n 1 ln 2

vn = e2010

n 1

ln 2

xn = (3n3 + 1)e 2010

n 1

ln 2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: xn = (3n3 + 1)e 2010

n 1

.ln 2

Nhận xét: ta có thể tổng quát hóa bài toán 7 nh sau
Xác định số hạng tổng quát của dãy số đợc cho nh sau:
x1 = a > 0

f ( n +1) k

xn +1 = f k (n) xn


Trong đó

f ( n) > 0

n, k Ơ *