Đề cương ôn thi kỳ thi THPT quốc gia 2018

2016

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI
THPT QUỐC GIA 2016
Môn Toán

Biên Soạn: GV Lê Nam – 0981 929 363
Kỳ thi THPT Quốc Gia 2016 xắp đến gần, nhằm giúp
các em củng cố va tổng hợp lại những kiến thức cần tập
trung ôn thi Đại Học 2016. Vì vậy Thầy đã soạn bộ đề cương
này để giúp các em hệ thống kiến thức một cách nhanh nhất
và tốt nhất. Chúc các em ôn tập thật tốt để chuẩn bị cho kỳ thi
THPT Quốc Gia xắp tới.

Hãy theo đuổi “Đam mê” “Thành công ” sẽ theo đuổi bạn

Thầy liên tục tuyển sinh các lớp 10, 11, 12 và các lớp ôn thi
Đại Học cho cả lớp 12 và 13
Mọi chi tiết vui long liên hệ:
Thầy Nam – 0981 929 363 – Email:
Facebook: 0981 929 363 ; Zalo: 0981 929 363


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

PHẦN 1: HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
3
2
4
2
1) Khảo sát các hàm số: y = a.x + b.x + c.x + d , ( a ≠ 0 ) ; y = a.x + b.x + c, ( a ≠ 0 ) ;

y=

a.x + b
, ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) .
c.x + d

2) Các bài toán liên quan khảo sát hàm số như: tính đơn điệu của hàm số, cực trị, giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số, tiệm cận, khoảng cách, tiếp tuyến, tương giao…
3) Giải phương trình lượng giác.
4) Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng.
5) Giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
6) Số phức: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp của một số phức cho trước. Tìm tập hợp điểm
biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức. Giải phương trình trên tập hợp số phức.
7) Tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton.
8) Phương pháp tọa độ trong không gian: Lập phương trình mặt cầu, phương trình mặt phẳng,
phương trình đường thẳng. Tìm tọa độ điểm thỏa mãn các điều kiện cho trước.
9) Hình học không gian: Tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ. Tính diện tích hình nón, hình trụ,
mặt cầu. Tính thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu. Tính góc và khoảng cách giữa các đối tượng
trong không gian.
10) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Lập phương trình đường thẳng, đường tròn, elip. Tìm tọa
độ các điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
11) Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ, chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa mũ,
logarit.
12) Bất đẳng thức; Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

PHẦN 2: HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP THEO CÁC CHUYÊN ĐỀ
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
I . Khảo sát hàm số:
Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:

a) y = x3 + 3x 2 − 9 x − 7
b) y = − x3 + 3 x 2 − 2

c) y = x3 + 5 x − 4
d) y = −3x3 + 3x 2 − x + 2

Bài 2: Khảo sát các hàm số sau:
a) y = x 4 − 2 x 2 + 3

c) y = −2 x 4 + 4 x 2

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

2


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

1
4

1
2

b) y = x 4 + x 2 − 1

d) y = −3 x 4 − x 2 + 2

Bài 3: Khảo sát các hàm số sau:
a) y =

x+3
2x −1

b) y =

x
x+2

c) y =

−x + 2
x −1

II . Bài toán về tính đơn điệu của hàm số:
3
2
1) Tìm m để hàm số y = x − 3 ( 2m + 1) x + ( 12m + 5 ) x + 2 đồng biến trên R.
3
2
2) Tìm m để hàm số y = − x + ( 3 − m ) x − 2mx + 2 nghịch biến trên R

x 3 mx 2
−
− 2 x + 1 đồng biến trên ( 1; +∞ )
3
2
4) Tìm m để hàm số y = 2 x3 + 3 x 2 + 6 ( m + 1) x + 1 nghịch biến trên ( −2;0 )

3) Tìm m để hàm số y =

3
2
2
5) Tìm m để hàm số y = x + ( m − 1) x − ( 2m + 3m + 2 ) x + 1 đồng biến trên ( 2; +∞ )

6) Tìm m để hàm số y = x3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
x+m
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x−m
mx + 4
8) Tìm m để hàm số y =
nghịch biến trên ( −∞;1)
x+m

7) Tìm m để hàm số y =

III. Bài toán về cực trị:
Bài 1: Tìm m để hàm số y = x3 − 2 x 2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 2: Tìm m để các hàm số sau có cực trị:
a) y = x3 + 2mx 2 + mx − 1

b) y =

x 2 − 2mx + 5
x−m

Bài 3: Tìm m để hàm số y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 9 x − m đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn
x1 − x2 ≤ 2 .

Bài 4: Tìm m > 0 để hàm số y = x3 −

3
( m − 2 ) x 2 − 3 ( m − 1) x + 1 có giá trị cực đại, cực tiểu lần lượt là
2

yCĐ, yCT thỏa mãn: 2yCĐ + yCT = 4.
3
2
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x − 1 có các điểm cực đại, cực tiểu cách

đều đường thẳng y = x −1 .
3
2
2
Bài 6: Tìm m để hàm số y = x + 2 ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x + 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao

cho

1 1 1
+ = ( x1 + x2 ) .
x1 x2 2

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

3


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016
3

2
2
Bài 7: Tìm m để hàm số y = − x + ( 2m + 1) x − ( m − 3m + 2 ) x − 4 có hai điểm cực trị nằm về hai

phía của trục tung.
3
2
Bài 8: Tìm m để hàm số y = x − 3 ( m + 1) x + 3m ( m + 2 ) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có

hoành độ dương.
3
2
2
2
Bài 9: Tìm m để hàm số y = − x + 3x + 3 ( m − 1) x − 3m − 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực

trị cách đều gốc tọa độ.
4
2
Bài 10: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA =

BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung.
Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành
tam giác đều.
4
2
2
Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của

một tam giác thỏa mãn một trong các điều kiện sau :

a) tam giác vuông

b) tam giác có một góc bằng 120°

c) tam giác nhận G(2;0) làm trọng tâm
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng 48 với O là gốc tọa độ.
1
Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 − x + m + 1 có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
3

các điểm cực trị là nhỏ nhất.
Bài 15: Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 2 cắt
đường tròn tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB
đạt giá trị lớn nhất.
IV . Bài toán về tiếp tuyến:
Bài 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :
1)
3)
4)

Tại điểm có hoành độ bằng (-1).
2) Tại điểm có tung độ bằng 2.
Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3.
Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9 x + 1

5)

Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = −

6)
7)

Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C).
Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( −1; −2 )

1
x+2
24

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

4


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016
3
2
Bài 2: Cho hàm số y = x + 3mx + ( m + 1) x + 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1

đi qua điểm A(1;2).
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

−x + 3
biết tiếp tuyến đó song song với
2x −1

đường phân giác của góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y =

2x + 3
biết d vuông góc với đường
x +1

thẳng y = x + 2 .
1
m
1
Bài 5: Cho hàm số y = x 3 − x 2 + có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng
3
2
3

( −1) . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5 x − y = 0
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

−x + 3
biết tiếp tuyến đó song song với
2x −1

đường phân giác của góc phần tư thứ hai của mặt phẳng tọa độ Oxy.
1
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x + 3 biết tiếp tuyến này cắt hai tia
3

Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2OA.
Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x
sao cho tiếp tuyến đó và hai tiệm

x −1

cận của đồ thị hàm số cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Bài 9: Tìm m để (Cm): y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D,
E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài 10: Cho hàm số (C): y =

−x +1
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt
2x −1

đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại
A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 sao cho tiếp tuyến của (C)
tại A và B song song với nhau đồng thời AB = 4 2
Bài 12: Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y =

2x +1
sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M
x −1

cắt hai đường tiệm cận của (C) tại A và B thỏa mãn tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất (với I là giao
điểm hai đường tiệm cận).
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

5


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 13: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = ( x − 1)

2

( x − 4)

mà qua đó ta chỉ kẻ được một tiếp

tuyến đến đồ thị hàm số.
Bài 14: Tìm các điểm trên đường thẳng y = -2 mà từ điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau đến đồ thị hàm số.
Bài 15: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2 . Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến tạo với đường thẳng

d : x + y + 7 = 0 một góc α , biết cos α =

1
.
26

V . Bài toán về tương giao:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 . Biện luận theo m số
nghiệm phương trình 4 x 3 − 6 x 2 − m = 0 .
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 . Tìm m để phương trình
3

2 x − 9 x 2 + 12 x = m có sáu nghiệm phân biệt.

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 4 . Tìm m để phương trình
3

x − 1 − 3 x − 1 − m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 3 . Tìm m để phương trình
x4
3
− x 2 + = m có đúng tám nghiệm phân biệt.
4
4
3
2
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2 x + ( 1 − m ) x + m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có

hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4 .
Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx 2 + 4 x + 4m − 16 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có
hoành độ lớn hơn 1.
Bài 7: Tìm m để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y =

2x +1
tại hai điểm phân biệt A,
x +1

B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

x2 − 1
y
=
−
x
+
m

Bài 8: Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm phân biệt A và B
x
sao cho AB = 4.
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

6


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2 x + m luôn cắt đồ thị hàm số
y=

x+3
tại hai điểm phân biệt M, N. Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
x +1

4
2
2
Bài 10: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − ( 3m + 4 ) x + m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có

hoành độ lập thành cấp số cộng.

x2 − 2 x + 2
Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số y =
tại hai điểm A, B đối
x −1

xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3 .
4
2
Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số y = x − ( 3m + 2 ) x + 3 tại bốn điểm phân

biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x 2 − 2 x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Bài 15: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 + mx + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.
VI. Một số bài toán khác:
Bài 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong
y = x 3 + 2 ( m − 1) x 2 + ( m 2 − 4m + 1) x − 2 ( m 2 + 1) .
3
Bài 2: Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho đồ thị hàm số y = mx + ( 1 − m ) x không đi qua

với mọi giá trị của m.
1
11
Bài 3: Tìm trên đồ thị hàm số y = − x 3 + x 2 + 3x −
hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua
3
3

trục tung.
Bài 4: Tìm trên đồ thị hàm số y = x 3 + 3x − 2 hai điểm đối xứng nhau qua M ( 2;18 ) .
Bài 5: Tìm trên đồ thị hàm số y =

x +1
hai điểm phân biệt A và B đối xứng nhau qua đường thẳng
x −1

d : x + 2y − 3 = 0 .
Bài 6: Tìm trên đồ thị hàm số y =

x
những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
x +1

d : 3x + 4 y = 0 bằng 1.
Bài 7: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =

x −1
sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa
x +1

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

7


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

độ là nhỏ nhất.
Bài 8: Tìm hai điểm trên hai nhánh của đồ thị hàm số y =

x−2
sao cho khoảng cách giữa chúng là
x −1

nhỏ nhất.

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

8


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Chuyên đề 2: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
I. Phương trình mũ và logarit:
Bài 1: Giải các phương trình sau
11) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0

x 2 +3 x −2

= 16 x +1
2
1
2) 3− x + 4 x =
243
x x −1 x − 2
3) 2 .3 .5 = 12

1) 2

4)

(

5+2

)

x −1

=

(

12)
13)
5 −2

5) 5.4 x +1 + 22 x −3 − 16
6) 2

x 2 −1

−3

2

x2

=3

x+4
2

x 2 −1

−2

)

x −1
x +1

15)

=3
x2 + 2

2

7) 4 x − 6.2 x + 8 = 0
8) 4 x +
9) 9

x2 − 2

x 2 + x −1

− 5.2 x−1+

− 10.3

14)

x 2 + x −2

−6 = 0

+1 = 0

10) 43+2 cos x − 7.41+cos x − 2 = 0

1
− 13.6 x

1
+ 6.4 x

=0

(
) (
)
( 3 + 5 ) + 16 ( 3 − 5 ) = 2
( 5+ 2 6) + ( 5− 2 6) = 2
x

2 −1 +

x

2 +1 − 2 2 = 0

x

x

x+3

sin x

sin x

8  
1 

16)  23 x − 3 x ÷− 6  2 x − x −1 ÷ = 1
2  
2 

17)

x2 −2

1
6.9 x

(

3− 2

18) 3x

2

−4

(

) +(
x

3+ 2

)

) =(
x

10

)

x

+ x 2 − 4 3x − 2 − 1 = 0

19) 3.25 x − 2 + ( 3 x − 10 ) 5 x − 2 + 3 − x = 0
20) 5

2 x −1
.2 x +1

x

= 50

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

9


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 2: Giải các phương trình sau:

(

1) log 2 ( 5 x + 1) = 4

(

)
− 5 x + 1) − log
( 4x

2) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2

)

(

3) log 2 x 2 − 1 = log 1 ( x − 1)

13) log1−2 x 6 x 2

2

4) log9 ( x + 8 ) − log 3 ( x + 26 ) + 2 = 0

14) 4

log ( 10 x )

−6

1−3 x

(

log 100 x 2

log x

= 2.3

2

)

)

− 4x +1 − 2 =

15)

log 3 ( x − 2 ) + log 2 ( x − 3) = 2
3
2
3
3
log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 0,25 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 )
2
4
4

5)

6) log

x + 1 − log 1 ( 3 − x ) = log 8 ( x − 1)

2

3

2

7) log 4 ( x + 1) + 2 = log

4 − x + log 8 ( 4 + x )

2

(

2

8) log 9 x − 5 x + 6
9) log 2+

3

(

(

)

2

2

1
= log
2

2

x +1 + x

)

)

2

3

3

(

(

10) log 2 4 x + 4 = x − log 1 2 x +1 − 3

(

x

x + 1 − x = 018)

)

)

( x + 3) log32 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16
log x + 5
x 3

= 105+ log x

19) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log 2 x

(

)

(

)

20) ln x 2 + x + 1 − ln 2 x 2 + 1 = x 2 − x

1

11) log 2 4 + 15.2 + 27 + 2log 2

4.2 x − 3
x + 2log 4 x x 2 = 3log 2 x x 3

12) 4log x

17)

)

2

)

x

(

16) log x 2 − x − 12 + x = log ( x + 3) + 5

x −1
+ log 3 x − 3
2

+ log 2−
2

3

=0

2

II. Bất phương trình mũ và logarit:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau
1)

(

)

x −1

−3 x − 2

2

5+2

2) 2 x

2

x

.3x

3) 2 + 2

x −1

≥

(

5−2

− 3 x −3

.5 x

+2

x −2

2 x2 − x

6)

(

)

2 +1

x

2 x2 − x

x +1

≥

(

−3 x − 4

< 3 −3

− 13.6
1
1
5)
<
x+2
2
3 x + 5 x −6 3
4) 6.9

2

)

x −1
x +1

≥ 12

x −1

+ 6.4

+3

2 x2 − x

7) 3
x −2

≤0

8) 32 x − 8.3x +
9)

)

2 −1

x
x −1

x − x −1

1
≥ ÷
3

x2 −2 x

(

)

5 +1

x+ 4

− x2 + x

− 9.9

+ 2− x

10) 4 x 2 + 3 x .x + 31+

2

x

x+ 4

+ x +1

>0

<3

(

)

5 −1

− x2 + x

< 2.3 x.x 2 + 2 x + 6

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

10


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
1) log 2

x2 + 8x − 1

≤2
x +1

)

7)

x−5
1
>−
6x
3

8)

(

2

2) log 1 x − 3 x + 2 ≥ −1
2

3) log x3

(

)

(

)

x−5
≥0
log 2 ( x − 4 ) − 1
1
log 1 2 x 2 − 3x + 1
3

(

>

1
log 1 ( x + 1)
3

)

log 9 3x 2 + 4 x + 2 + 1 > log 3 3 x 2 + 4 x + 2 9) log log 3x − 9  < 1
x
9

5) log 2 x + log 2 x 8 < 4
10) log 3 x− x2 ( 3 − x ) > 1
2
6) 4 x − 16 x + 7 log 3 ( x − 3) ≥ 0
4)

(

)

Chuyên đề 3: Hình học không gian
I. Thể tích khối đa diện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD), AB = SA = 1,
AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính

thể tích khối tứ diện ANIB.
·
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD
= 600 , SA vuông góc mặt

phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song với
BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp
S.AB′C′D′.
·
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a, BAD
= 900 , cạnh

SA = a 2 và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên

SB. Tính thể tích của tứ diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
·
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, ABC
= 60° , chiều cao SO

của hình chóp bằng

a 3
, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là
2

trung điểm của AD, mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích
khối chóp K.BCDM.
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

11


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a . Trên
a
2

cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SD và AC theo a.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a 2 . Gọi I là
trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
uur
uuur
IA = −2.IH . Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 600 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và

khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD =a,

DC= a (a > 0) và SA ⊥ (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 450 . Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) theo a.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2 2a . Hình chiếu
vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường
thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a
Bài 10: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt phẳng
( ABC ') tạo với đáy một góc 600 , khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC ') bằng a và

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC. A ' B ' C ' .

Bài 11: Cho lăng trụ ABCA′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a, AA′ vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa ( AB′C ) và ( BB′C ) bằng 600 . Tính thể tích lăng trụ
ABCA′B′C′ .
·
Bài 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ACB
= 120° và đường thẳng
A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách

giữa hai đường thẳng A ' B, CC ' theo a.
Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB và C′D′. Tính thể tích khối chóp B′.A′MCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
(A′MCN) và (ABCD).
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

12


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

II . Hình nón, hình trụ, hình cầu:
Bài 1: Cho hình nón (H) có chiều cao h, đường sinh tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60° .
Tính thể tích khối nón (H) và tính thể tích khối cầu nội tiệp hình nón (H).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ BC , DA ⊥ ( ABC ) . Gọi M và N theo thứ tự là chân đườn
vuông góc kẻ từ A đến DB và DC. Biết AB = AD = 4a , BC = 3a .
a)

Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, M, N cùng nằm trên một mặt cầu (S). Tính thể tích

mặt cầu đó.
b)
Gọi (S’) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ADMN. Chứng minh rằng (S) và (S’) giao nhau
theo một đườn tròn. Tìm bán kính của đườn tròn đó.
Bài 3: Cho hình trụ (H) có chiều cao bằng h, bán kính đường tròn đáy bằng R, gọi O và O’ là
tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O), CD là đường kính thuộc
đường tròn đáy (O’), góc giữa AB và CD bằng α với 0° < α < 90° . Tính tỉ số thể tích giữa
khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định α để tỉ số đó là lớn nhất.
Chuyên đề 4: Phương trình lượng giác
Giải các phương trình sau:

1)

cos 2 3x cos 2 x − cos 2 x = 0

(Khối A - 2005)

2) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos2 x = 0
3)

4)

(Khối B - 2005)

π 
π 3

cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷− = 0
4 
4 2

2 ( cos6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
2 − 2sin x

=0

(Khối D - 2005)
(Khối A - 2006)

x

5) cot x + sin x 1 + tan xtan ÷ = 4
2


(Khối B - 2006)

6) cos3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0

(Khối D - 2006)

2
2
7) ( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x (Khối A – 2007)

8) 2sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x

(Khối B – 2007)

2

x
x

9)  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2
2
 2

(Khối D – 2007)

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

13


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

1
+
10) sin x

 7π

= 4sin 
− x÷
3π 

 4

sin  x −
÷
2 

1

(Khối A – 2008)

11) sin 3 x − 3 cos 3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x

(Khối B – 2008)

12) 2sin x ( 1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2cos x

(Khối D – 2008)

13)

1 − 2sin x cos x
= 3
( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x )

(Khối A – 2009)

3
14) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 ( cos 4 x + sin x )

15)

3 cos5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0

(Khối B – 2009)
(Khối D – 2009)

π

1 + sin x + cos 2 x sin  x + ÷
1
16)
4

=
cos x
1 + tan x
2

(Khối A – 2010)

17) ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2cos 2 x − sin x = 0

(Khối B – 2010)

18) sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0

(Khối D – 2010)

1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2sin x.sin 2 x
1 + cot 2 x

(Khối A - 2011)

19)

20) sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x
21)

sin 2 x + 2cos x − sin x − 1
=0
tan x + 3

(Khối B - 2011)
(Khối D - 2011)

3 sin 2 x + cos 2 x = 2cos x − 1

(Khối A ,A1 - 2012)

23) 2 cos x + 3 sin x cos x = cos x − 3 sin x + 1

(

)

(Khối B - 2012)

24) sin 3x + cos3 x − sin x + cos x = 2 cos 2 x

(Khối D - 2012)

22)

Chuyên đề 5: Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng
I . Nguyên hàm:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau
2
1) ∫ 2 x( x + 1) dx

2014
2) ∫ sin x.cos xdx

2
4) ∫ x cos xdx

5) ∫ ( x + 1).ln xdx

3)
6)

∫x
∫

2

xdx
− 4x − 5

x ln( x + x 2 + 1)
x2 + 1

dx

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

14


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

7)

dx

∫ e (3 + e
x

−x

)

8)

∫ x.

ln x
dx
2 + ln x

2x
2
9) ∫ e .sin xdx

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

15


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) biết:
3
và F(1) = 4.
x
π 
f ( x ) = x + sin x và F  ÷ = 0
2
f ( x ) = 2 x3 −

a)
b)

II . Tích phân:
Tính các tích phân sau:
3

2.

∫x

2

− 4 x + 3 dx

5
4. ∫ ( 2 − 4sin x + cos x)dx
π cos x

2π

∫

5.

3.

1
dx
x+9 − x

∫
0

1

π
4

−

16

3

1 2
1. ∫ ( x + ) dx
x
1

1 − cos 2xdx

0

π

x
2

x
2

4

4
6. ∫ (sin − cos )dx
0

4

π
4

7. cos x + sin x.cos x dx
∫0 2 + sin x
( x + 1)dx
10. ∫ 2
x + x ln x
1
5
6
13. ∫ x x + 1dx
0

−π
4

9. sin x.cos 2 ( x − π )dx
∫

cos 2 x

sin x.cos xdx

4

0

12.

π
2

sin xdx

∫ cos x + sin x
0

1

x+2
dx
14. ∫ 2
x
+
4
x
+
7
0

3

15.

∫
0

π
3

0

2x +1
x2 + x + 1

dx

ln 2

cos3 x
17. ∫ 2 dx
π sin x

18.

∫ (3 + e ) e dx
x 5

x

0

6

1

2

2

dx
19. ∫
1 + x2
0

20.

∫

2 − x 2 dx

21.

1

x sin xdx
22. ∫
4 + cos 2 x
0

23.

∫ ln( x +

x + 1)dx
2

−1

π
4

0

1

28. ∫ x (e + x + 1)dx
2

2x

3

0

x3
dx
31. ∫ 4
x + 3x 2 + 2
0

26. ∫ x e dx
2 2x

1

dx
x2 − 1

π

sin 2 xdx
24. ∫ x
3 +1
−π
π
6

2

25. ln(1 + tan x) dx
∫

∫x
2

0

π

1

∫ cos 5x.sin 3x.dx

x 7 dx
11. ∫ 2
x +1
0

1

16. e
∫

8.

π
2

1

2

π
2

π
2

27. (1 − x) sin 3 xdx
∫
0

e5

ln x.ln(ln x)dx
29. ∫
x
e2
π
4

e

(ln x + 2013) 2
dx
30. ∫
x
1
3

32. x(1 + sin 2 x)dx
∫
0

33.

1 + ln(1 + x)
dx
x2
1

∫

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

16


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016
1

2

x2 −1
34. (A-13) ∫ 2 ln xdx
x
1

1

( x + 1) 2
dx
36. ∫ 2
x +1
0

2
35. ∫ x 2 − x dx
0

III . Ứng dụng:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

1) y = x 2 − 2 x , trục hoành, x = −1 , x = 2.
2) y =

−3 x − 1
và hai trục tọa độ.
x −1

x2
x2
6) y = 4 −
và y =
4 2
4
2
7) y = x − 4 x + 3 và y = x + 3

3) y = − x 3 − 3x 2 và trục hoành.

8) y 2 = 2 x và 27 y 2 = 8 ( x − 1)

4) y = x 2 − 2 x và y = − x 2 + 4 x

3

9) y 2 − 2 y + x = 0 và x + y = 0

5) y = ( e + 1) x và y = ( 1 + e ) .x
x

10) y =

27
x2
, y = x 2 và y =
x
27

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = x 2 − 3x + 5 và các tiếp
tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(2;4)
Bài 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi
quay quanh trục Ox:
1
3

3
2
1) y = x − x , y = 0 , x = 0 và x = 3

2) y = x.e x , x = 1 và trục hoành.
3) y = x.ln x , y = 0 và x = e (KB -07)
4) y = 4 − x 2 và y = x 2 + 2
5) y = cos 2 x + x.sin x , x = 0 và x =

π
2

Bài 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi
quay quanh trục Oy:
1) y = 2 x − x 2 và y = 0
2) y 2 = ( x − 1) và x = 2

3

3) 4 y = x 2 và y = x
Chuyên đề 6: Số phức
I . Thực hiện các phép toán trên số phức. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

17


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

1) A = ( 2 − 3i ) ( 1 + 2i ) +
4) D =

4−i
3 + 2i

2

2) B =

( 3 − 2i ) ( 4 + 3i ) − ( 1 + 2i ) 

( 1 + 2i ) − ( 1 − i )
6) F =
3
2
( 3 + 2i ) − ( 2 + i )

3

3) C = ( 2 − 5i ) +

1+ i

5) E = ( 1 − i ) ( 5 + 3i ) −

5 − 4i

2

( 3 − 2i ) ( 1 − i )

1+ i 2
2+i 3

1
1
( 1 − i ) ( 5 + 3i ) −
3 − 2i
3 − 2i
2015

1− i 
8) H = 
÷
1+ i 

(2 + i)3 + (2 − i) 3

7) G =
(2 + i )3 − (2 − i )3

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và modun của số phức z, biết:

( 1 + 2i ) − ( 1 − i )
1) z =
3
2
( 3 + 2i ) − ( 2 + i )
2

3

2) z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 .

3) ( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = − ( 1 + 3i )

2

4) z =

(

2 +i

) (1−
2

2i

)

5) ( 2 z − 1) ( 1 + i ) + ( z + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i

6) z 2 = z + z

7) z = 2 và z 2 là số thuần ảo

8) ( 1 + 2i ) z + z = 4i − 20

2

2

3

1+ i 3 
9) z = 
÷
 1+ i 

10) z −

5+i 3
−1 = 0
z

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1 + i ) ( z − i ) + 2 z = 2i .
Tính modun của số phức w =

z − 2z + 1
.
z2

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn

5( z + i)
= 2 − i . Tính modun của w = 1 + z + z 2 .
z +1

II . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức:
Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các
điều kiện sau:
1.

z =1

5. z − 2i = 3
9. 1 ≤| z + 1 − i |≤ 2

2. z < 2

3. 1 < | z – 1 | < 2

4. | z – 1 | ≤ 2

6. z + 3 ≤ 1

7. 1 < z − 1 < 2

8. z − z + 5 − 2i = 4

10.

z −i
=1
z+i

11. z = z − 3 + 4i

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

18


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

III . Giải phương trình trên tập hợp số phức:
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
2. ( 3 − 2i ) ( z + i ) = 3i
2

1. (3 − 2i ) z + 4 + 5i = 7 − 3i
3.

2+i
−1 + 3i
z=
1− i

2+i

4. z 2 + 4 z + 10 = 0
2
6. z + ( 3 + 2i ) z − 7 + 17i = 0

5. 2 z + 3 z = 2 + 3i
2

7. z 2 + z = 0

8. | z | - iz = 1 – 2i

9. z2+3(1+i)z - 6 - 13i = 0

10. ( 2 − i ) z + 3 + i   iz +

11. z4 – 3z2 + 4 = 0

2
12. ( z + 3i ) ( z − 2 z + 5 ) = 0

13. z 3 + 3z 2 + 3z − 63 = 0

3
2
14. z − ( 1 + i ) z + ( 3 + i ) z − 3i = 0

1
2

1
2




1
2

1
÷= 0
2i 

3
2
15. z + z + z − = 0

16. z 4 − z 3 + 6 z 2 − 8 z −16 = 0

17. ( z + 2i ) + 2 ( z + 2i ) − 3 = 0

18. ( z 2 + 2 z ) − 6 ( z 2 + 2 z ) − 16 = 0
2

2

Bài 2: Cho z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2 − 4 z + 11 = 0 .
2

Tính giá trị của biểu thức

z1 + z2

2

( z1 + z2 ) 2

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

19


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian
I . Lập phương trình mặt cầu:
Bài 1: Cho hai mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 5 = 0 và ( Q ) : x + 2 y − 2 z − 13 = 0 . Lập phương
trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A ( 5;2;1) và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng
(P) và (Q).
Bài 2: Cho A(0;0;3), M ( −2; −3; −6 ) . Lấy điểm M’ sao cho mp(Oxy) là mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng MM’. Gọi B là giao điểm của AM’ với mp(Oxy). Viết phương trình mặt cầu
(S) có tâm B và tiếp xúc với mp(Oxz).
Bài 3: Cho ( P) : 2 x − y − 2 z + 3 = 0,

( Q ) : 2 x − 6 y + 3z − 4 = 0

và d :

x y +3 z

=
= . Viết
1
−1
2

phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và
(Q)
Bài 4:
Trong

không

gian

với

hệ

tọa

A ( 1; −1;2 ) , B ( 1;3; 2 ) , C ( 4;3;2 ) , D ( 4; −1; 2 ) và

độ

Oxyz,

( P) : x + y + z − 2 = 0 .

cho

4

điểm

Gọi A’ là hình chiếu

của A trên (Oxy) và (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và tính bán
kính đường tròn (C) là giao của (P) với (S).
Bài 5: Cho d :

x −1 y + 3 z − 3
=
=
và
−1
2
1

( P ) : 2 x + y − 2 z + 9 = 0, ( Q ) : x − y + z + 4 = 0 .

Viết

phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một đường tròn có
chu vi bằng 2π .
II . Lập phương trình mặt phẳng:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( −2;1;3) và cắt các trục tọa độ tại A, B,
C sao cho M là trực tâm tam giác ABC.
x = t


Bài 2: Cho đường thẳng d :  y = −1 + 2t và điểm A ( −1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng
z = 1


(P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) bằng 3.
Bài 3: Cho ( P ) : x − y − z − 1 = 0 và ( Q ) : 2 x − y + z = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( α )
vuông góc với (P), (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( α ) bằng 14 .
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

20


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 4:
Cho

mặt

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 4 y + 2 z − 16 = 0 ,

cầu

hai

đường

thẳng

x = 3 + t

x −1 y + 1 z −1

d1 :
=
=
và d 2 :  y = 2t
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với
−1
4
1
 z = −1 + 2t


d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(P) bằng 3.
Bài

5:

Cho

mặt

cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 16 = 0

và

mặt

phẳng

( Q ) : 2 x + 2 y + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) và cắt (S) theo
một đường tròn có diện tích bằng 16π .
Bài 6: Cho hai đường thẳng d1 :

x
y z
x −1 y + 1 z −1
=
= , d2 :
=
=
. Viết phương trình mặt
1 −2 1
1
−1
3

phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và tạo với d1 một góc 30° .
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng

( Q ) : 5 x − 2 y + 5 z = 0 và tạo với mặt phẳng ( R ) : x − 4 y − 8 z + 6 = 0 một góc 45° .
Bài 8: Cho điểm A ( 10;2; −1) và đường thẳng d :

x −1 y z −1
= =
. Viết phương trình mặt
2
1

3

phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d đến (P) lớn nhất.
III . Lập phương trình đường thẳng:
Bài
d1 :

1:

Cho

mặt

phẳng

( P) : x − y − z + 4 = 0

và

hai

đường

thẳng

x y z −1
x y z
= =
, d 2 : = = . Viết phương trình đường thẳng d song song với (P) và cắt
1 1

1
1 1 2

d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho AB = 2 .
Bài 2: Cho hai đường thẳng d1 :

x +1 y + 2 z
x − 2 y −1 z −1
=
= , d2 :
=
=
và mặt phẳng
1
2
1
2
1
1

( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), cắt d1,
d2 lần lượt tại A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 :

x + 4 y −5 z +7
x − 2 y z +1
=
=
=
=

và d 2 :
.Viết phương
1
−1
1
1
−1 − 2

trình đường thẳng ∆ đi qua M ( −1;2;0 ) , vuông góc với d1 và tạo với d2 một góc 60° .
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

21


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( 1; −1;0 ) cắt đường thẳng
d:

x−2 y z+2
= =
và tạo với mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − z + 5 = 0 một góc 30° .
2
1
1

Bài 5: Cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 2 z + 5 = 0 và hai đường thẳng d1 :

d2 :

x + 1 y − 3 z −1
=
=
,
2
1
1

x + 3 y z +1
=
=
. Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2, song
3
−1
1

song với (P) và cách (P) một khoảng bằng
Bài 6: Cho đường thẳng d :

6.

x +1 y z − 2
= =
, mặt phẳng
1
2
1

( P) : x + y − 2z + 5 = 0

và điểm

A ( 1; −1;2 ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ căt đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt tại
M và N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN.
IV . Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước:
Bài 1: Cho A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) và đường thẳng ∆ :

x +1 y −1 z
=
= . Tìm tọa độ điểm M trên
2
−1
2

∆ để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 ) và mặt phẳng ( P ) : x − y − z − 4 = 0 . Tìm trên mặt phẳng
(P) điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.
Bài 3: Cho ba điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;3;2 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + 2 = 0 . Tìm
tọa độ điểm M biết rằng M cách đều ba điểm A, B, C và mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho hai đường thẳng d1 :

x y z
x + 1 y z −1
= = , d2 :
= =
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d1
1 1 2
−2
1
1

và N thuộc d2 sao cho MN song song với ( P ) : x − y + z + 2015 = 0 và MN = 2 .
Bài 5: Cho hai điểm A ( −1;2;0 ) , B ( 1;2; −5 ) và đường thẳng d :

x −1 y − 3 z
=
=
. Tìm tọa độ
2
2
−1

điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
 x = −3 + 4t

Bài 6: Cho hai điểm A ( 1; −5;2 ) , B ( 3; −1; −2 ) và đường thẳng d :  y = 2 + t . Tìm tọa độ
 z = −3 + 2t


điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

22


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Bài 7: Cho đường thẳng d :

x + 3 y +1 z − 3

=
=
và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Gọi A
2
1
1

là giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm B có hoành độ dương thuộc đường thẳng d và
điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho BA = 2 BC = 6 và ·ABC = 60° .
Bài 8: Cho hai điểm A ( 1; −1;0 ) , B ( 2;0;3) và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z + 4 = 0 . Tìm tọa độ
điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM = 15 và MB ⊥ AB .
Bài 9: Cho đường thẳng d :

x +1 y − 3 z − 2
=
=
, mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z − 5 = 0 và điểm
2
−2
1

A ( 0; −1;1) . Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d và điểm N trên mặt phẳng (P) sao
cho mặt phẳng (AMN) vuông góc với đường thẳng d và tam giác AMN cân tại A.
Bài 10: Cho ∆ :

x + 2 y −1 z + 5
=
=
và A ( −2;1;1) , B ( −3; −1;2 ) . Tìm điểm M thuộc ∆ sao
1

3
−2

cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 .

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

23


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

Chuyên đề 8: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
I . Lập phương trình đường thẳng:
Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y − 2 = 0 và d 2 : x + 2 y − 2 = 0 . Giả sử
d1 cắt d 2 tại I . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M (−1;1) cắt d1 và d 2 tương ứng tại
A, B sao cho AB = 3IA .

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P(−7;8) và hai đường thẳng
d1 :2 x + 5 y + 3 = 0 ; d 2 :5 x − 2 y − 7 = 0 cắt nhau tại A . Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua

P tạo với d1 , d 2 thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng 14,5 .
2
2
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : x + y − 6 x + 2 y + 6 = 0 và điểm

A(1;3) ; Một đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C). Lập
phương trình của d sao cho AB + AC nhỏ nhất.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:
2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD: x + y −1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC.

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):

( x − 1)

2

+ ( y + 1) = 25 , điểm
2

M ( 7;3) . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
MA = 3MB.
II . Lập phương trình đường tròn:
Bài 1: Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: y = 3 . Gọi (C) là đường tròn cắt d tại 2
điểm B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C cắt nhau tại O. Viết phương trình đường tròn
(C), biết tam giác OBC đều.
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng
∆ : x − y + 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ∆ ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho

∆MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2.
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 2
trục toạ độ và đường thẳng có phương trình 8x + 15y - 12 = 0.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0).
Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và

d2: x + 2y – 7 = 0.

Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG.
Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − 2 y + 3 = 0 , d 2 : 4 x + 3 y − 5 = 0 . Lập
Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

24


Đề cương ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2016

phương trình đường tròn (C) có tâm I trên d1, tiếp xúc d2 và có bán kính R = 2.

Biên Soạn: Thầy Nam – 0981.929.363 – Lớp Bồi Dưỡng Kiến Thức Môn Toán Thầy Nam

25