Tóm tăt nghiên cứu nhóm lượng tử su(2) trong vật lí hạt cơ bản

1
MỞ ĐẦU
Đối xứng là đặc tính phổ biến trong nhiều hệ vật lí. Việc tìm kiếm những đối
xứng và sự vi phạm nó một cách tuần tự kiểm soát được, cũng như việc tìm kiếm những
đại lượng bất biến trong vật lí là phương pháp chỉ đường phổ biến trong công cuộc khám
phá các định luật vật lí. Chẳng hạn, trong đối xứng gương P (Parity), không có gì cho ta
phân biệt được mọi hiện tượng ở ngoài gương và hình chiếu của nó ở trong gương, sự
hoán chuyển không gian

không làm chúng thay đổi, chúng bất biến. Hai nhà

vật lí Trung Quốc ở Mỹ L. D. Lee và C. N. Yang (giải Nobel Vật lí năm 1957) đã khám
phá ra là lực hạt nhân yếu vi phạm tối đa đối xứng gương P, trong đó Spin của electron
và của neutrino đều hoàn toàn quay về phía trái mà không quay về phía phải. Một thí dụ
khác là đối xứng vật chất – phản vật chất CP (Charge Parity), hoán chuyển vật chất –
phản vật chất, trước tiên là thay đổi dấu của điện tích

theo đó các định luật vận

hành của vật và phản vật phải giống hệt nhau. Trong bốn tương tác cơ bản thì ba lực hấp
dẫn, điện từ và hạt nhân mạnh đều tuân thủ phép đối xứng P và CP, chỉ lực hạt nhân yếu
mới vi phạm chúng, tối đa với đối xứng P, đôi chút với đối xứng CP, tương tác yếu của
hạt và của phản hạt khác nhau ở mức độ vừa phải. Có một đối xứng không hề bị vi
phạm, một đối xứng đặc trưng của vật lí lượng tử mang tên đối xứng chuẩn (Gauge
Symmetry). Đối xứng này đã mở ra một chân trời mới lạ và là nguồn gốc cho sự thành
công kỳ diệu của Mô hình chuẩn (Standard Model). Ta biết rằng bình phương của hàm
sóng

cho ta xác suất xảy ra đối với một đại lượng nào đó. Ta thấy ngay phép

hoán chuyển chuẩn

làm thay đổi

với bất kỳ hàm thực α(x) nào đều không
, cũng vậy nó không làm thay đổi các định luật của Mô hình chuẩn,

các đại lượng vật lí phải bất biến với hoán chuyển chuẩn. Chính vì vậy mà đối xứng
chuẩn chi phối toàn diện sự vận hành của các tương tác mạnh và điện-yếu. Phương trình
Maxwell của tương tác điện-từ tuân thủ phép đối xứng chuẩn, đối xứng này trở thành


2
nguyên lý chủ trì cho sự phát triển kỳ diệu của Điện động lực học lượng tử, những tính
toán trong lý thuyết này đã đưa ra nhiều tiên đoán được thực nghiệm kiểm định tới độ
chính xác cao hơn một phần tỷ (momen từ của electron là một ví dụ). Mẫu chuẩn đã
chứng tỏ là một lí thuyết tốt khi mà hầu hết các dự đoán của nó đã được thực nghiệm
khẳng định ở vùng năng lượng

200 GeV. Giải Nobel về Vật lí năm 2008 đã vinh tặng

ba nhà vật lí Nhật bản, đó là các giáo sư Yoichiro Nambu, Makato Kobayashi và
Toshihide Maskawa vì đã tiên đoán sự tồn tại của hạt Higgs, hạt tạo nên khối lượng cho
vật chất và tiên đoán về sự hiện hữu tất yếu của hai quark đỉnh (quark top) và quark đáy
(quark bottom), để giải thích sự bất đối xứng vật chất -phản vật chất trong Mô hình
chuẩn. Chương trình ưu tiên số một của máy gia tốc hạt hàng đầu thế giới LHC ( Large
Hadron Collider ) ở CERN là săn tìm hạt cơ bản Higgs để hoàn thành Mô hình chuẩn và
trả lời câu hỏi “Đâu rồi phản vật chất trong hoàn vũ bao la”?
Mặc dù vậy, Mô hình chuẩn vẫn còn nhiều hạn chế, trước hết là liên
quan đến các quá trình xảy ra ở vùng năng lượng cao hơn 200 GeV và vùng
năng lượng Planck, hơn nữa là chưa giải quyết được một số vấn đề lí thuyết
cơ bản của bản thân mô hình như số lượng và cấu trúc của các thế hệ

fermion, sự khác nhau về khối lượng của quark t so với các quark khác, sự
giãn nở của vũ trụ cũng như các vấn đề “vật chất tối” không baryon, “năng
lượng tối”… Những hạn chế này dẫn đến sự cần thiết phải nghiên cứu các
mô hình chuẩn mở rộng. Cho đến nay, đã có nhiều lí thuyết mở rộng mô
hình chuẩn như lí thuyết siêu đối xứng, lí thuyết thống nhất lớn, lí thuyết
dây, mô hình 3 - 3 – 1, lí thuyết nhóm lượng tử mà biểu diễn toán học của
nó là đại số lượng tử [1,2,3,] ...

Nhóm lượng tử và đại số lượng tử đóng vai trò quan trọng trong vật lí và
toán học bởi cấu trúc của đại số lượng tử phù hợp với nhiều vấn đề của vật lí như lí
thuyết tán xạ ngược lượng tử [4], với phương trình Yang – Baxter lượng tử [5]...Các


3
đại số này có thể được mô tả như là sự biến dạng của đại số Lie thông thường. Đề tài: “
Nghiên cứu nhóm lượng tử SU(2) trong vật lí hạt cơ bản” cũng nằm trong hướng
nghiên cứu này. Vì vậy, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu về đề tài này với mục
đích tìm biểu diễn dao động của đại số lượng tử SUq(2)
Nội dung chính của đề tài được thể hiện trong ba chương. Chương một chúng tôi
trình bày về đối xứng của các hạt tương tác mạnh, bao gồm đối xứng đồng vị SU(2), Đối
xứng SU(3) và các đối xứng cao hơn. Trong chương hai, chúng tôi trình bày về đại số
SU(2); ở đây, chúng tôi trình bày biểu diễn dao động của đại số SU(2) cụ thể là chúng
tôi biểu diễn các vi tử của đại số SU(2) theo các toán tử sinh, hủy dao động tử boson.
Chương 3, trên cơ sở lí thuyết q- số, chúng tôi khảo sát dao động tử điều hòa phi tuyến,
tìm được phổ năng lượng và xây dựng thống kê Bose – Einstein biến dạng q; tìm được
biểu diễn dao động của đại số lượng tử SUq(2) cho hệ dao động tử hai mode mà mỗi
mode độc lập với nhau và cho hệ dao động tử đa mode mà các mode không độc lập với
nhau.
Các kết quả chính đã đạt được của đề tài là 01 báo cáo khoa học tại Hội nghị
VLLT Toàn Quốc lần thứ 36, 02 bài báo đăng trên Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà

Nội 2. Hướng dẫn thành công 03 luận văn Thạc sĩ Vật lí và 05 khóa luận tốt nghiệp cho
sinh viên Khoa Vật lí.
Chương 1. ĐỐI XỨNG CỦA CÁC HẠT TƯƠNG TÁC MẠNH
Bài 1. ĐỐI XỨNG ĐỒNG VỊ SU(2)
Vào năm 1930, kết quả nghiên cứu thực nghiệm về lực hạt nhân của proton và
neutron đã dẫn đến suy nghĩ rằng: nếu như tách được điện tích của proton ra thì không
có cách nào phân biệt được proton với neutron vì chúng có khối lượng và cường độ
tương tác với các hạt khác xấp xỉ nhau. Trên quan điểm đó có thể xem proton với
neutron như hai trạng thái khác nhau của cùng một hạt – nucleon N. Để mô tả điều này,
Heisenberg đưa vào khái niệm spin đồng vị. Cũng tương tự như với spin thông thường,
hạt có spin đồng vị I có thể ở (2I+1) trạng thái khác nhau với các giá trị:


4
1
2

I 3 = I , I − 1,..., − I . Như vậy nucleon có spin đồng vị I = , proton ứng với giá trị

I3 = +

1
1
, còn neutron ứng với giá trị I 3 = −
Về sau khái niệm spin đồng vị được mở
2
2

rộng cho mọi hạt tương tác mạnh khác. Ví dụ meson π + , π 0 , π − được xem như ba trạng
+

0
thái khác nhau của cùng một hạt π , có spin đồng vị I = 1, π có I 3 = +1, π có I 3 = 0,

π − có

I 3 = −1, tương tự với meson k, các baryon Σ, Ξ,...
Đối xứng đồng vị được mô tả bằng ngôn ngữ toán học bởi nhóm các phép biến đổi

SU(2), đó là nhóm các phép biến đổi thực hiện bởi các toán tử U có dạng:
(1.1)

3

U ( ω) = e

i

∑ωa Ia
a=1

trong đó ωa là các thông số nhận các giá trị thực, các vi tử I a được đồng nhất với toán tử
spin đồng vị, hermitic I a + = I a và tuân theo các hệ thức giao hoán:

[ I a , Ib ] = iε abc I c

(1.2)

Dưới tác dụng của phép biến đổi đồng vị các toán tử trường biến đổi theo qui tắc
tổng quát:

ϕ ( x) → ϕ '( x) = e

i

∑ωa I a
a

ϕ ( x) e

−i

∑ωa Ia
a

(1.3)
Nếu có r hạt với các trường tương ứng ϕi ( x ) , i = 1, 2,..., r , biến đổi theo qui luật:
j

 −i ∑ωaTa 
÷ ϕ j ( x)
ϕi ( x ) =  e a

÷

 ≤i
trong đó Ta là các ma trận r × r , tuân theo hệ thức giao hoán như I a ,

(1.4)

5

[ Ta , Tb ] = iε abcTc

(1.5)

ta nói rằng r hạt này thực hiện biển diễn r chiều của nhóm SU(2), hoặc nói rằng chúng
tạo thành một đa tuyến đồng vị r. Rõ ràng rằng r = 2 I + 1 , trong đó I là spin đồng vị
của các hạt trong đa tuyến.
x
Có thể thử trực tiếp thấy rằng các ma trận Ta( ) thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Ta( x ) , Tb( x )  = iε abcTc( x )


Các hạt tương tác mạnh còn được đặc trưng bởi siêu tích Y, như nhau đối với các
hạt trong cùng một đa tuyến đồng vị. Điện tích, spin đồng vị và siêu tích thỏa mãn hệ
thức Gell-Nishijima.

Q = I3 +

Y
2

(1.17)

trong đó điện tích Q tính theo đơn vị điện tích của positron e + ( proton), Y liên hệ với số
baryon B và số lạ S bởi hệ thức:
Y=B+S

(1.18)

Theo đó nucleon và K-meson có Y=1, Σ, π − meson, ∧,η − meson có
:

Y = 0, Ξ, K − meson có Y=-1.
Một hệ vật lí có tính đối xứng đồng vị có nghĩa là Lagrangian mô tả hệ, toán tử tán xạ
S,…phải bất biến đối với các phép biến đổi SU ( 2 ) I , tức là:

L ' ( x ) = U ( ω ) L ( x ) U −1 ( ω ) = L ( x ) ,
S ' = U ( ω ) SU −1 ( ω ) = S ,
hay:

(1.19)


6

 I a , L ( x )  = 0
[ Ia , S ] = 0

(1.20)

Hãy xét một ví dụ cụ thể. Giả sử ta cần lập Lagrangian bất biến đồng vị mô tả tương tác
giữa nucleon và meson π . Dạng đơn giản nhất của Lint ( x ) thỏa mãn (1.19), (1.20) là
Lagrangian tương tác dạng Yukawa như sau:
_

Lint ( x ) = g ∑ψ ( x ) γ 5τ aψ ( x ) Φa ( x )

(1.21)

a

Biển thức (1.21) ta cần hiểu là viết dưới dạng ma trận đối với cả các chỉ số spinor Dirac

α , β ,... và các chỉ số spinor đồng vị i, j ,... của trường nucleon ψ . Viết tường minh sẽ
là:

Lint ( x ) = g ∑ Ψ
a

αi

( x ) ( γ 5 ) α ( τ a ) i Ψ β j ( x ) Φa ( x )
β

j

(1.22)

Khai triển (1.22) và thay vào đó:

Φ1 =

1
i
Φπ + + Φπ − , Φ 2 =
Φ + − Φπ −
2

2 π

(

)

(

)

Ta có:

Lint ( x ) = g

{

}

2 Ψ pγ 5 Ψ n Φ π + + 2 Ψ nγ 5 Ψ p Φ π − + Ψ pγ 5Ψ n Φ π 0 − Ψ nγ 5Ψ n Φ π 0 (1.23)

Từ đây suy ra hệ thức giữa các hằng số liên kết Yukawa NN π như sau:

G pnπ + : Gnpπ − : G ppπ 0 : Gnnπ 0 = 1:1:

1
1
:−
2
2

Bài 2. ĐỐI XỨNG SU(3)

(1.24)


7
Vào năm 1960 số hạt cơ bản phát hiện được đã tăng rất nhiều so với 30 năm trước
đó, khi Heisenberg đề xuất ý tưởng về spin đồng vị. Mặt khác , những kết quả đẹp đẽ thu
được từ lí thuyết đối xứng đồng vị SU(2) đã gợi ra ý tưởng mở rộng nhóm đối xứng này,
tức là tìm một nhóm đối xứng rộng hơn có chứa SU(2) như một nhóm con. Lúc đó ta có
thể kết hợp nhiều đa tuyến đồng vị lại với nhau thành một đa tuyến lớn hơn thực hiện
biểu diễn của nhóm đối xứng mở rộng này. Sự tồn tại 8 hạt baryon spin

1+
quen thuộc
2

lúc đó:

p , n, Σ + , Σ 0 , Σ − , Λ , Ξ 0 , Ξ −
Cũng như 8 hạt meson spin 0− :
: 0

: −

K , K , π , π ,η , K , K
+

0

+

0

với khối lượng khác nhau không nhiều lắm gợi mở ý tưởng rằng tám baryon này, cũng
như 8 meson này tạo thành các tuyến tám của nhóm đối xứng mới. Gell-Mann là người
đầu tiên đề xướng ý tưởng mở rộng trên cở sở đối xứng SU(3) và lấy tên là “ Đối xứng
tám lối” ( Eightfold Way – Bát chánh đạo).
Nhóm các phép biến đổi SU(3) là nhóm các phép biến đổi Unita được thực hiện
bởi các toán tử U phụ thuộc 8 thông số và có dạng
8

i

∑ ωa M a

U ( ω ) = e a=1
trong đó

ωa

(2.1)

+
là các thông số thực, M a là các vi tử hermitic M a = M a , tuân theo các hệ

thức giao hoán:

[ M a , M b ] = if abc M c
f abc là các hằng số cấu trúc của nhóm SU(3) hoàn toàn phản xứng theo các chỉ số:

(2.2)


8

f abc = − fbca = − f cba = − f acb
Dưới tác dụng của phép biến đổi SU(3) các toán tử trường biến đổi theo qui tắc
tổng quát:
8

i

∑ ωa M a

ϕ ( x ) → ϕ ' ( x ) = e a=1

ϕ ( x) e

−i

8

∑ ωa M a
a =1

(2.4)

Cũng hoàn toàn tương tự như trường hợp SU(2), nếu có r hạt tương ứng với các trường

ϕi ( x ) , i = 1, 2,3,..., r biến đổi theo qui luật:
j

 − i ∑ ωaTa 
ϕ ' ( x ) =  e a=1 ÷ ϕ j ( x )

÷

i
8

(2.5)

trong đó: Ta là các ma trận r × r tuân theo các hệ thức giao hoán:

[ Ta , Tb ] = i f abcTc

(2.6)

thì ta nói rằng r hạt này thực hiện biểu diễn r chiều của nhóm biến đổi SU(3), hoặc nói
rằng chúng tạo thành một đa tuyến r.
Từ (2.4) và (2.5) suy ra:

[ M a , ϕi ] = − ( Ta ) ij ϕ j
Ví dụ đơn giản nhất là r = 1, Ta = 0 . Đó là trường hợp đơn tuyến SU(3), bất biến

(2.7)

ϕ' =ϕ ,

[ M a ,ϕ ] = 0 .
Trường hợp r=3 được gọi là biểu diễn cơ sở. Lúc này Ta là các ma trận 3 × 3 có dạng:

Ta =

λa
2

λa là các ma trận Gell-Mann, có các tính chất sau:


9

λb + = λa ,
Trλa = 0,
Trλa λb = 2δ ab ,

(2.9)

[ λa , λb ] = 2i f abc λc ,
{ λa , λb } = 2d abc λc +

4
δ ab
3

trong đó Tr ( Trace ) là ký hiệu lấy vết mà trận, d abc là các hằng số hoàn toàn đối xứng
theo các chỉ số và nhận các giá trị khác 0 như sau:
1
1

1
1
, d 247 = − , d355 = , d 558 = −
,
2
2
3
2 3
1
1
1
1
d146 = , d 256 = , d366 = − , d 668 = −
,
2
2
2
2 3
1
1
1
1
d157 = , d 338 =
, d177 = − , d 778 = −
,
2
2
3
2 3
1

1
1
1
d 228 =
, d 344 = , d 448 = −
, d888 = −
,
2
3
2 3
3
d118 =

(2.10)

Từ các công thức (1.9) ta suy ra rằng:

1
f abc = − Tr ( λa λb λc − λb λa λc )
4
1
d abc = Tr ( λa λb λc + λb λa λc )
4
Từ (2.2) và bảng giá trị

f abc

(2.11)

(2.3) ta thấy rằng ba vị tử M 1 , M 2 , M 3 tạo nên đại

số con SU(2) và do đó được đồng nhất với các toán tử spin đồng vị trước đây:

M a = I a , a = 1, 2,3.

(2.12)

Ngoài ra, ta thấy rằng M 8 giao hoán với tất cả M 1 , M 2 , M 3 . Do đó có thể đồng nhất ( tỷ
lệ) với toán tử siêu tích Y. Để phù hợp với các giá trị Y đã có trước đây của các hạt ta
cần đặt:


10

M8 =

3
Y
2

(2.13)

Như vậy, hệ thức Gell-Mann-Nishijima (1.17) tương ứng với sự đồng nhất toán tử điện
tích:

Q = M3 +

1
M8
3

(2.14)

Bài 3. CÁC ĐA TUYẾN HADRON
Trong bài này chúng ta sẽ nói về cách sắp xếp các hadron, cụ thể là các baryon
spin

1+
3+
, các meson spin 0− ,1− và các baryon cộng hưởng spin
trong các đa tuyến
2
2

SU(3).
3.1. Đa tuyến tám baryon

1+
2

Đó là đa tuyến gồm các hạt:

p , n, Σ + , Σ 0 , Σ − , Λ , Ξ 0 , Ξ −
Thực hiện biểu diễn tám tương ứng với các trường biến đổi theo qui luật ( 2.5) và (2.7)
với:

( Ta ) b = −i f abc
c

Tức là:

[ M a ,ψ b ] = i f abcψ c
3.2. Đa tuyến tám meson 0− .
Đó là các đa tuyến gồm các hạt:
: 0

: −

K , K , π , π ,η , K , K
+

0

+

0

(3.1)


11
Thực hiện biểu diễn tám tương ứng với các trường biến đổi giống như tuyến tám baryon
1+
.
2

1
2

[ M a , Φ ] = − [ λa , Φ ]

3.3. Đa tuyến tám meson 1− .
Đó là đa tuyến gồm các hạt:
:

:

K , K , ρ , ρ , ρ , Φ, K , K ∗−
∗+

∗0

+

0

−

∗+

Hoàn toàn tương tự như đa tuyến tám meson 0− .
3.4. Đa tuyến mười baryon

3+
.
2

Đó là đa tuyến gồm các hạt cộng hưởng:

3



∆ ++ ∆ + ∆ 0 ∆ −  I = , Y = 1 ÷
2


Σ∗+ Σ∗0 Σ∗− ( I = 1, Y = 0 )
1


Ξ∗0 Ξ∗−  I = , Y = −1÷
2


Ω − ( I = 0, Y = −2 )
Bài 4. CÔNG THỨC KHỐI LƯỢNG GELL-MANN-OKUBO
Nếu đối xứng SU(3) là một đối xứng chính xác thì khối lượng của tất cả các hạt
trong cùng một đa tuyến phải bằng nhau, và điều đó tương ứng với điều kiện toán tử
khối lượng M giao hoán với tất cả các vị tử

M a . Trên thực tế khối lượng của chúng có

khác nhau tuy không nhiều lắm. Từ đó có thể kết luận rằng đối xứng SU(3) chỉ là gần
đúng, hoặc nói cách khác đối xứng SU(3) bị vi phạm. Gell-Mann giả thuyết rằng sự vi
phạm này là tối thiểu với nghĩa rằng sự vi phạm đó không ảnh hưởng đến đối xứng đồng


12
vị SU (2) I và đối xứng siêu tích U (1)Y . Ta nói rằng đối xứng SU(3) rút xuống

SU (2) I × U (1)Y .

SU (3) → SU (2) I × U (1)Y
Lúc này toán tử khối lượng không giao hoán với tất cả các vi tử M a , nhưng vẫn giao
hoán với các vi tử I a của SU (2) I và vi tử

M8

( tỷ lệ với Y).

[ M a , χ b ] = if abc χc
Với các hạt trong cùng đa tuyến SU(3) ta có:



M = a0 + a1Y + a2  I ( I + 1) − Y 2 
4 

1

(4.13)

Đó chính là công thức khối lượng Gell-Mann- Okubo.
Áp dụng cho tuyến tám baryon

1*
công thức này cho hệ thức:
2

mN + mΞ =

1
( 3mΛ + mΣ )
2

(4.14)

Hệ thức (4.14) phù hợp với các giá trị thực nghiệm với độ chính xác 1%
3*
+ Áp dụng cho tuyến 10 baryon
ta được quy tắc cách đều như sau:
2

mΩ − mΞ* = mΞ* − mΣ* = mΣ* − m∆

(4.15)

Hệ thức này cũng phù hợp tốt với các số liệu thực nghiệm.
+ Áp dụng cho các đa tuyến meson, như đã nói ở trên,

M

ở (4.13) phải hiểu là bình

phương khối lượng. Ngoài ra với meson thì hạt và phản hạt cùng vào chung một đa
tuyến nên không thể có số hạng tỷ lệ với Y( a1 = 0 trong (4.13)). Do đó, thay vì (4.13) ta
có:

m 2 = a + b  I ( I + 1) − 14 Y 2 

(4.16)

13
+ Áp dụng cho tuyến tám meson 0− ta được:

mK2 =

1
3mη2 + mπ2 )
(
4

(4.17)

Hệ thức này phù hợp thực nghiệm với độ chính xác khoảng 3%.
+ Áp dụng cho tám tuyến meson 1− ta có:

mK2 * = 14 ( 3mΦ2 + mρ2 )

(4.18)

Hệ thức này phù hợp với thực nghiệm ít hơn.
Bài 5. HỆ THỨC GIỮA CÁC BIÊN ĐỘ
Cách tìm hệ thức giữa các biên độ trong đối xứng SU(3) cũng tương tự như đã
làm cho đối xứng đồng vị SU(2). Để minh họa ta xét hai ví dụ:
Ví dụ 1. Phân rã:

3*
1*
Baryon → Baryon + meson0−

2
2
(tuyến 10)

(tuyến 8)

(5.1)

(tuyến 8)

Ví dụ 2. Tán xạ:

1*
1*
−
meson 0 + baryon → meson 0 + baryon
2
2
−

(5.2)

Lí thuyết bất biến đổi với các phép biến đổi SU(3) đòi hỏi Lagrangian L ( x ) và
toán tử tán xạ S phải bất biến SU(3), tức là

 M a , L ( x )  = 0
 M a , S ( x )  = 0

(5.3)
(5.4)

Toán tử S tương ứng với các quá trình (5.1) và thỏa mãn (5.4) có cấu trúc SU(3) như
sau:


14

S = gε ijkψ ilm Ψ +j l Φ k+ m

(5.5)

trong đó g là đại lượng bất biến SU(3), ε ijk là tensor Levi-Civita, ψ ijk xác định bởi
+l
+l
(3.14), ψ j và Φ j là phần tử ma trận hàng j cột l của ma trận ψ + và Φ + , và thu được

hệ thức giữa các độ rộng phân rã ( bỏ qua sự khác nhau về khối lượng):

1 1 1
Γ ( ∆ ++ → pπ + ) : Γ ( Σ *+ → Σ 0π + ) : Γ ( Σ *+ → Λ π + ) : Γ ( Ξ *+ → Ξ −π + ) = 1: : :
6 2 3

(5.9)

Tương tự, với các quá trình tán xạ (5.2) toán tử S có cấu trúc SU(3) như sau:
+
+
+ +
+
+

a1Ψ ΨΦ Φ + a2 Ψ Φ ΨΦ + a3Ψ ΦΨΦ + 
S = Tr 
+
+ +
+
+
+
+
+ a4 Ψ Φ ΨΦ + a5Ψ ΨΦΦ + a6Ψ ΦΦ Ψ 
+ bTr
Ψ + ΨTrΦ +Φ + b2Tr Ψ + ΦTr ΨΦ + + b3Tr Ψ +Φ +Tr ΨΦ
1

(5.10)

trong đó a,b là những đại lượng bất biến SU(3). Từ (5.10), ta có thể biểu diễn các biên
độ tán xạ (meson+proton) .
Bài 6. ĐA TUYẾN QUARK
Biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3) là biểu diễn ba chiều , còn gọi là SU(3)
spinor. Các hạt thực hiện biểu diễn này có tên là quark. Tất cả các biểu diễn khác có thể
tạo nên từ biểu diễn này. Hãy ký hiệu các toán tử tương ứng với các hạt quark là

qi ( x ) , i = 1,2,3 .
Dưới tác dụng của phép biến đổi SU(3) các toán tử qi ( x ) biến đổi theo qui luật:

q 'i ( x ) = e

q+i = e

i

i

∑

ωa M a

a

∑ ωa M a
a

qi ( x ) e

q + ie

−i

−i

∑

∑ ωa M a
a

a

ωa M a

 − i ∑ ωa λa

2
= e a



 − i ∑ ω a λa
2
=  q +e a



  − i ∑ ωa λa
÷ ≡ e a 2
÷ 
i 

j


÷ qj
÷
i
j


 − i ∑ ω a λa 
÷ ≡ q+ j  e a 2 ÷
÷

÷

i

i

(6.1)


15
Và
1
2
1
j
 M a , q + i  = q + i ( λ0 ) i
2
Từ đây và từ dạng của các ma trận λa ta suy ra:
j
[ M a , qi ] = − ( λ0 ) i q j

 1
− (τ q)
[ M a , qi ] =  2 a i
0

(6.2)

, i = 1,2

(6.3)

,i = 3




Hệ thức (6.3) chỉ rằng hai quark q1 và q2 tạo thành một spinor đồng vị  I =

1
÷
2

1
1
I 3 ( q1 ) = , I 3 ( q2 ) = − ,
2
2
Quark q3 là đơn tuyến đồng vị (I=0).
Để biết siêu tích của quark cần tính giao hoán tử [ Y , q1 ] . Ta có:
 1
, i = 1,2
− 3 qi
2
1
[ Y , q1 ] = [ M 8 , qi ] = − ( λ8q ) i = 
3
3
2 q
,i = 3
 3 i
1

2
Hệ thức (6.4) chỉ rằng các quark q1 và q2 có Y = , quark q3 , có Y = − .
3
3

(6.4)

Để biết điện tích cần tính [ Q, q1 ] . Ta có:

[ Q, q1 ] =  M 3 +


Vậy quark q1 có điện tích

1
1 
1

 
M 8 , qi  = −   λ3 +
λ8 ÷q ÷ = − ( λ0 q ) i
2 
3
3  


2
1
, các quark q2 và q3 có điện tích − .
3

3

(6.5)


16
Các baryon được tạo nên từ ba quark, các meson từ một quark và một anti-quark.

1
Do vậy các quark phải mang các số baryon B = . Từ hệ thức Y=B+S ta suy ra q1 và q2
3
có số lạ S=0, q3 có S=-1. Cũng vì vậy người ta thường dùng ký hiệu:

q1 = u (up ), q2 = d (down), q3 = s ( strange) . Dĩ nhiên rằng vì thực hiện nhiều biểu diễn cơ
sở nên các quark đều có spin Lorentz bằng

1
.
2

1*
Căn cứ vào các đặc trưng của các hạt trong đa tuyến baryon
, meson 0− và
2

meson 1 − ta có thể suy ra cấu trúc quark của chúng như sau.
1*
 Đa tuyến tám baryon 2

p : ( uud )

Σ + : ( uus )

n : ( uud )

Σ 0 : ( uds )

Λ : ( uds )

Ξ 0 : ( uus )

 Đa tuyến mười baryon

∆ ++ : ( uuu )

Σ − : ( dds )

(6.7)

Ξ − : ( dss )

3*
:
2

∆ + : ( uud )

Σ*+ : ( uus )

∆ 0 : ( udd )

Σ*0 : ( uds )

Ξ*0 : ( uss )
Ω − : ( sss )
−
 Đa tuyến tám meson 0 :

∆ − : ( ddd )
Σ*− : ( dds )

Ξ*− : ( dss )

(6.8)


17
 :
 :
k+ : u s ÷
k0 : d s ÷
 
 
:
:
:
π + :  u d ÷
π 0 :  u u,d d ÷
 



:
:
:
η :  u u , d d , s s ÷


 : 
k0 :  s d ÷
 

:
π − :  d u ÷
 

(6.9)

 :
k − :  su ÷
 

:

:

 Đa tuyến tám meson 1− :
 :
 :
*0
k : u s÷
k : d s÷

 
 
:
:
:
ρ + :  u d ÷
ρ 0 :  u u ,d d ÷
 


:
:
:


Φ :  u u, d d , s s ÷


*+

 : 
k : sd ÷
 
:
*0

 :
ρ : du÷
 
−

(6.10)

 :
k :  su ÷
 

Chú ý rằng trong π 0 , ρ 0 chỉ có cấu trúc

:
*−

:

:

:

u u , d d mà không có cấu trúc s s vì spin

đồng vị của π 0 , ρ 0 bằng 1, trong khi đó spin đồng vị của s và

:

s bằng 0.

Bài 7. CÁC ĐỐI XỨNG CAO HƠN SU(3)
Năm 1974 và những năm tiếp theo một số meson mới được phát hiện. Các thí
nghiệm của Richer và Ting vào năm 1974 phát hiện meson ψ / J với khối lượng cỡ 9
Gev. Sự tồn tại các meson này với các tính chất rất đặc biệt không thể giải thích nổi

trong khuôn khổ đối xứng SU(3) với ba quark u,s,d và buộc phải đưa thêm vào những
quark mới nữa, cũng có nghĩa là phải mở rộng đối xứng cao hơn SU(3). Cho đến nay có
nhiều cơ sở lý thuyết và thực nghiệm để khẳng định rằng trong tương tác mạnh có các


18
đối xứng SU(4), SU(5) và SU(6). Các đối xứng cao này đòi hỏi phải đưa thêm vào quark
c(charm) với điện tích

2
1
, quark b(beauty, bottom) với điện tích − và quark t(truth,top)
3
3

với điện tích

2
. Như vậy, đến nay đã khẳng định được sự tồn tại của sáu quark, ba quark
3

với điện tích

2
1
gồm u,c,t và ba quark điện tích − gồm d,s,b. Sáu quark này cũng với
3
3

sáu Lepton được phân thành ba thế hệ như sau:

Thế hệ 1: (u,d) và (ν e , e

−

)

Thế hệ 2: (c,s) và (ν µ , µ )
−

Thế hệ 3: (t,b) và

(ν τ ,τ − )

Lúc này các hạt tương tác mạnh có thêm những đặc trưng nội tại mới: số duyên C, số
đáy B, số đỉnh T.
Với nhóm đối xứng SU(N) ta có N 2 − 1 ma trận Gell-Mann N × N λa , a = 1,2,..., N 2 − 1
thỏa mãn hệ thức giao hoán:

λc
 λa λb 
,
=
i
f
abc
 2 2 
2
Với

f abcv - hằng số cấu trúc của nhóm SU(N)

Từ các ma trận

λa

của nhóm SU(N-1) ta suy được dạng của chúng cho nhóm SU(N),

Các ma trận λa của SU(N) đều thỏa mãn hệ thức:


19

λa + = λa ,
Trλa = 0,
Trλa λb = 2δ ab ,

[ λa , λb ] = 2i f abcλc ,
{ λa , λb } = 2d abcλc +

4
δ ab ,
N

(7.4)

i
f abc = − Tr ( λa λb λc − λb λa λc ) ,
4
1
d abc = Tr ( λa λbλc + λbλa λc ) .

4
Kết luận chương 1: Trong chương một, chúng tôi trình bày về lí thuyết đối xứng của
các hạt tương tác mạnh, bao gồm đối xứng đồng vị SU(2), Đối xứng SU(3) và các đối
xứng cao hơn. Từ biểu diễn của nhóm đối xứng, các hạt cơ bản được sắp xếp theo các
đa tuyến. Đặc biệt, từ biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3) lập nên đa tuyến các
quark, với đặc điểm là tất cả các biểu diễn khác có thể tạo nên từ biểu diễn này, do vậy
các nhà vật lí đã kết luận rằng các hạt cơ bản được tạo nên từ các quark. Cho đến nay,
vẫn chưa có thí nghiệm nào phát hiện được các quark ở trạng thái tự do, vì chúng bị chi
phối bởi “nguyên lý cầm tù”, nhưng có nhiều kết quả thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại
của các quark. Các hệ thức về khối lượng Gell – Mann – Okubo, hệ thức độ rộng phân
rã, biên độ tán xạ của các quá trình đối với các hạt cơ bản cũng được trình bày.
Chương 2. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG CỦA ĐẠI SỐ SU(2)
Bài 8. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá
trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng một
lượng tử năng lượng

hω .Trong vật lý lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử

điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng hω [1], [3],
[5].


20
Chúng ta thiết lập được các công thức sau:
ˆ n = n n , aˆ n = n n − 1 , aˆ n = n + 1 n + 1 , n = 1 aˆ 0
N
n!
+n

+

(8.13)

ˆ = aˆ aˆlà toán
Các toán tử aˆvà aˆ gọi là toán tử hủy hạt và sinh hạt, tương ứng, toán tử N
+

+

tử số hạt, n là véc tơ trạng thái có n hạt.
Bài 9. BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG CỦA ĐẠI SỐ SU(2)
9.1.Hệ dao động tử boson đa mode
Xét hệ dao động tử boson đa mode, hệ thức (8.7) đối với các dao động tử boson
đơn mode được tổng quát hóa cho các dao động tử boson đa mode như sau:
 , + =
ˆ i aˆ j  δij
a

 , =0
ˆ i aˆ j 
a

(9.1)

Toán tử số dao động tử mode i biểu diễn theo các toán tử

Nˆ = aˆ aˆ

aˆ , aˆ

i

+
i

qua công thức

+

i

i

Trạng thái có

n1 dao động tử mode 1, n2

(9.2)

i

dao động tử mode 2, v.v… được mô tả
n

bởi vectơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử

n

=

n , n ,..., n
1

2

aˆ2+

i =1

n2

... aˆk+

nk

0

n1 !n2 !...nk !

Tác dụng của toán tử

Nˆ

i

và có dạng:

k

( ) ( ) ( )

=
n1

aˆ1+

Nˆ = ∑ Nˆ i

(9.5)

lên véc tơ trạng thái n là:

Nˆ n
i

= ni

9.2.Biểu diễn dao động của đại số SU(2)

n

.

(9.6)


21
Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) được thực hiện bởi hệ dao động tử hai

Jˆ , Jˆ , Jˆ

mode. Các vi tử

Jˆ

1

=

1
2

1

2

( aˆ aˆ + aˆ aˆ ) , Jˆ
+

1

+

2

2

1

2

=

3

của đại số SU(2) được biểu diễn theo các toán tử boson

1
2i

( aˆ aˆ − aˆ aˆ ) , Jˆ
+

1

+

2

2

1

3

=

1
2

( aˆ aˆ − aˆ aˆ ) .

+

1

+

1

2

2

(9.9)

Ta tìm được hệ thức giao hoán của các vi tử Jˆ i , còn gọi là các biểu thức của đại
số SU(2):
 ˆ , ˆ =i
 J i J j  ε ijk Jˆ k

trong đó

ε

ijk

(9.10)

hoàn toàn phản đối xứng với các chỉ số và

ε

123

= 1.

Để thuận tiện đôi khi người ta còn dùng các vi tử của đại số SU(2) là tổ hợp của
các vi tử trên như sau:

Eˆ ≡ Jˆ+ ≡ Jˆ1 + iJˆ2 = aˆ1+ aˆ2 ,
Fˆ ≡ Jˆ− ≡ Jˆ1 − iJˆ2 = aˆ2+ aˆ1 ,
Hˆ ≡ 2 Jˆ3 ≡ aˆ1+ aˆ1 − aˆ2+ aˆ2 = Nˆ 1 − Nˆ 2 .

(9.11)

Khi đó, các vi tử trên thực hiện đại số SU(2) đóng kín có dạng như sau:

 Eˆ , Fˆ  = Hˆ ,  Hˆ , Fˆ  = 2 Eˆ ,  Hˆ , Fˆ  = −2 Fˆ







 Jˆ3 , Jˆ+  = Jˆ+ ,



Hoặc:

 Jˆ3 , Jˆ−  = − Jˆ− ,



 Jˆ+ , Jˆ−  = 2 Jˆ3



(9.13)

Không gian của biểu diễn SU(2) là không gian Fock với các cơ sở là các véc tơ
trạng thái riêng của toán tử số dao động tử

n

=

n ,n =
1

2

( ) ( )
aˆ1+

n1

aˆ2+

n1 !n2 !

n2

0

(9.14)


22
Từ không gian biểu diễn này, các không gian con bất khả quy của biểu diễn được
xác định như sau:
Xét toán tử Casimir
2

2

2
Cˆ = Jˆ1 + Jˆ 2 + Jˆ 3

(9.15)

Đặt

1 ˆ
ˆ
Jˆ = 2 ( N
1 + N 2)

(9.16)

Chúng ta có thể biểu diễn toán tử Casimir theo toán tử Jˆ như sau:

ˆ = Jˆ ( Jˆ + 1 )
C

(9.17)

Đối với biểu diễn bất khả quy, toán tử Casimir có giá trị riêng xác định, cho nên
từ dạng (9.17) chúng ta thấy rằng có thể đặc trưng cho biểu diễn bất khả quy của đại số
SU(2) bởi các giá trị riêng của toán tử Jˆ .
ˆ và từ công thức (9.16) chúng ta
Theo định nghĩa của toán tử số dao động tử N
i

có:

Jˆ n = j n ,

(

)

1 ˆ
N1 + Nˆ 2 n = j n ,
2
1
( n1 + n2 ) n = j n .
2

(9.18)

Từ đây, chúng ta suy ra:

j = 1 (n + n )
2
1

trong đó

2

(9.19)

n1 , n2 là các số nguyên, suy ra j là một số nguyên hoặc bán nguyên, không âm.


23
Để xác định các véc tơ riêng của không gian con của không gian Hilbert, tức là
tìm biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2) ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác
định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung được xác định bởi hai số n1 và n2). Ta
nhận xét rằng toán tử Jˆ 3 giao hoán với Jˆ nên Jˆ 3 có giá trị riêng xác định, ký hiệu trị
riêng này là m và từ định nghĩa của Jˆ 3 ở (9.9), ta có:

m=

1(
n −n)
2
1

(9.20)

2

Vậy biểu diễn bất khả quy của SU(2) trong không gian các véc tơ cơ sở (9.14) có
thể đặc trưng bởi các trị riêng j và m liên hệ với n1 và n2 như sau:

n = j + m , n2 = j − m ,

(9.21)

1

Không gian con với các véc tơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2)
là:

j ,m

=

( aˆ ) j + m ( aˆ ) j + m
( j + m )! ( j − m )!
+

+

1

2

0

(9.22)

Từ (9.20) và (9.19) ta thấy rằng với một giá trị j xác định thì m có 2j+1 giá trị như
sau:

m

=

j , j −1 ,........, − j + 1 , − j

(9.21)

Do đó, không gian biểu diễn bất khả quy có 2j + 1 chiều. ta có phương trình:

Nˆ j , m = n j , m

.

(9.26)

Nˆ j , m = n j , m

.

(9.28)

1

1

2

2

Hơn nữa, từ biểu thức:

1
Jˆ = 2 ( Nˆ − Nˆ
3

1

2

).

(9.29)


24
chỳng ta suy ra cỏc vi t J3 , J+ , J ca i s SU(2) tỏc dng lờn vộc t trng thỏi

j , m trong khụng gian con ca biu din bt kh quy theo cỏc phng trỡnh sau:

J j , m = ( j + m + 1 ) (
J j , m = ( j m + 1 ) (
J j , m = m j , m ,

+

j m ) j ,m

,



j + m ) j ,m

.

(9.30)

3

Kt lun chng 2: Trờn c s hỡnh thc lun dao ng t iu hũa tuyn tớnh, vi
cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t v toỏn t s ht; chỳng tụi
i n biu din cỏc vi t ca i s SU(2) theo cỏc toỏn t sinh, hy boson v trỡnh by
v biu din bt kh quy ca nhúm SU(2) trong khụng gian con 2 j + 1 chiu.
CHNG 3. BIU DIN DAO NG CA I S LNG T SUq(2)
Bi 10. Lí THUYT q S
Chỳng ta a vo nh ngha q- s tng ng vi s thụng thng x nh sau:
[x] =
q

q q
qq
x

x

(10.1)

1

Vi q l mt tham s, nu x l mt toỏn t cng cú nh ngha ging nh biu
thc (10.1).
Bi 11. DAO NG T BOSON BIN DNG q
11.1. Dao ng t Boson bin dng q
+

Dao động tử boson biến dạng q đợc định nghĩa theo các toán tử sinh hạt aq , toán tử hủy
hạt

aq và toán tử số hạt

N thỏa mãn các hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham số biến dạng

q:


aq aq + qa q + a q = q N

(11.1)


25

Liên hệ giữa các toán tử sinh hạt

aq + , toán tử hủy hạt aq

và toán tử số hạt N đợc

diễn tả bởi hệ thức

a +q aq = N ; aq a q+ = N + 1
q
q

(11.2)

Cơ sở của không gian Fock đợc xác định bởi sự tác động liên tiếp của toán tử sinh
a +q lên trạng thái chân không đã bị hủy bởi aq , ta có.

aq 0 = 0, aq n =
n

q

=

( a + )

[ n] q

n 1 , a +q n =

[ n + 1] q

n +1

n

[ n] q !

(11.3)

0

Hamiltonian của dao động tử điều hòa biến dạng q:
p 2 m 2 2 h

H=
+
q =
aq a +q + a q+ aq )
(
2m
2
2

=

{

h
N + N + 1
q

2 q

}

(11.6)

Ta thu đợc phổ năng lợng của dao động tử điều hòa biến dạng q

En =

{

}

h
[ n ] q + [ n + 1] q .
2

(11.7)

11.2. Phõn b thng kờ Bose-Einstein bin dng q
Biểu thức tính giá trị trung bình của đại lợng vật lý F là:

F =

(

Tr e

(

H à N

Z

)
F

)

(11.8)