Tóm tắt nghiên cứu đường cong nóng chảy của đồng

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nóng chảy của tinh thể là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên, được
sinh ra ở nhiệt độ cao. Đã có nhiều công trình nghiên cứu về nóng chảy của tinh
thể và theo hai cách tiếp cận cơ bản khác nhau: theo cách tiếp cận thứ nhất,
nóng chảy xảy ra khi năng lượng tự do của pha rắn và pha lỏng bằng nhau.
Theo cách tiếp cận này cần phải biết cấu trúc của cả hai pha, tuy nhiên cấu trúc
của pha lỏng là rất phức tạp và thường phải xét gần đúng như giả tinh thể.
Cách tiếp cận thứ hai liên hệ với sự không ổn định của pha rắn ở nhiệt độ
nóng chảy. Nhiều lý thuyết về nóng chảy khác nhau theo hướng này đã được
đưa ra như: lý thuyết dao động, lý thuyết nhiệt động, lý thuyết cơ.... Tuy nhiên
cho đến nay vẫn chưa có kết quả nào mô tả đầy đủ về đường cong nóng chảy
của tinh thể. Việc nghiên cứu nhiệt độ nóng chảy của tinh thể dưới áp suất
(đường cong nóng chảy) vẫn đang thu hút sự nghiên cứu của các nhà khoa học.
Chính vậy em chọn đề tài “Nghiên cứu đường cong nóng chảy của đồng”
thuộc hướng nghiên cứu trên, còn mang tính thời sự, có ứng dụng trong thực
tiễn .
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm ra các phương trình đường cong nóng chảy của Đồng cho kết quả
tính số phù hợp với khảo sát thực nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các kết quả và các phương pháp nghiên cứu về nóng chảy của
tinh thể. Tìm hiểu về phương pháp thống kê moment (là phương pháp nghiên
cứu trong luận văn) - Vận dụng phương pháp thống kê moment để tính phương
trình đường cong nóng chảy của Đồng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu nóng chảy của tinh thể Đồng trong khoảng áp suất từ 0 đến
100kbar (10Gpa).
5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp thống kê moment.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đưa ra một phương trình đơn giản, mô tả định lượng khá tốt sự phụ thuộc
của nhiệt độ nóng chảy của Đồng vào áp suất.


2

CHƯƠNG 1: CÁC LÝ THUYẾT VỀ SỰ NÓNG CHẢY CỦA TINH THỂ
1.1. Lý thuyết dao động
Theo tiêu chuẩn do Lindermann đưa ra [3], nhiệt độ nóng chảy của tinh
thể đạt được khi bình phương trung bình của biên độ dao động của nguyên tử
tiến tới phân số giới hạn của thông số mạng. Phân số δ gọi là thông số
Lindermann.
Nhiệt độ nóng chảy Tm được Lindermann diễn tả bởi công thức:
2
Tm = CL MV 2 3υ E
,

(1.1)

trong đó υE là tần số đặc trưng Einstein, V là thể tích mol, M là khối lượng
nguyên tử, CL là hằng số được xác định theo kinh nghiệm. Sau đó, trong một số
công trình đã thay thế υ E bằng tấn số Debye θD . Định luật Lindermann là một
tiêu chuẩn đơn giản và cổ nhất của chất rắn nóng chảy. Đó là lý do tại sao nó
vẫn là chủ đề được tiếp tục nghiên cứu. Thông số Lindermann δ ở nhiệt độ
nóng chảy Tm được đưa ra bởi liên hệ:
9h Tm
< u2 >
2

δ =
=
,
r2
Mk Br 2θ2D

(1.2)

trong đó <u2> là trị trung bình của bình phương biên độ dao động, r là khoảng
cách gần nhất giữa các nguyên tử, h là hằng số planck chia cho 2π , kB là hằng
số Boltzmann, θD là nhiệt độ Bebye. Ta thấy rằng δ có những giá trị khác nhau
đối với các loại chất rắn khác nhau. Tuy nhiên, đối với các loại chất rắn cùng họ
thì δ gần như không đổi. Ví dụ như, đối với hợp chất kiềm loại NaCl thì
δ ≈ 0,15 . Trong khi đó, đối với hợp chất cesium thì δ ≈ 0,21 . Cần phải nói rằng
(1.2) được tính xấp xỉ theo Debye.
1.2.Lý thuyết nhiệt động
1.3. Lý thuyết cơ
1.4. Tính không ổn định nhiệt đàn hồi

CHƯƠNG 2


3

MÔ MEN VÀ CÁC BIỂU THỨC NHIỆT ĐỘNG CỦA TINH THỂ MỘT
LOẠI NGUYÊN TỬ CẤU TRÚC LẬP PHƯƠNG
Mô men cấp m của đại lượng Q của một hệ lượng tử được mô tả bởi toán
tử $ρ được định nghĩa như sau:
< Qm >= Sp{Qm $ρ} hay
< (Q− < Q >)m >= Sp{(Q − < Q >) m $ρ}

(2.1a)

Toán tử $ρ tuân theo phương trình Liouville lượng tử
$
∂ρ
µ $ρ] ,
ih
= [H,
∂t

2.1. Các công thức tổng quát về mô men
2.1.1. Xét một hệ lượng tử chịu tác dụng của các ngoại lực không đổi a i
theo hướng của các toạ độ suy rộng Qi khi đó Hamiltonian của hệ có dạng:
µ =H
µ o − ∑a Q
µ
H
i
i
i

(2.1)

µ o là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng. Giả sử hệ nằm ở
với H
trạng thái cân bằng nhiệt động, dưới tác dụng của ngoại lực a i hệ chuyển sang
trạng thái cân bằng mới và toán tử thống kê của hệ có dạng phân bố chính tắc:
µ
$ρ = exp  ψ − H ÷

 θ ÷



(2.2)

trong đó ψ là năng lượng tự do của hệ, $ρ thoả mãn điều kiện chuẩn hoá
Sp($ρ) = 1 , các ngoại lực ai được coi như các thông số. Lấy đạo hàm điều kiện

chuẩn hoá của toán tử thống kê theo a k, sử dụng các công thức toán tử do
Kirznitz đưa ra ta được biểu thức sau:
n
∞

1 ∂ψ 1 
1  ih 
(n )
+ < Q k >a + ∑
<
Q
>
k
a =0
 ÷
θ ∂a k θ 
(n
+
1)!
θ



n =1


(2.3)


4
µ
với < .... >a biểu thị giá trị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltonian H
và
Q

1
(n)
=
[..[Q,H]_...]_ H]_
k
(ih ) n

(2.4)

Với hệ cân bằng nhiệt động, ta có [H, ρ ] = 0 do đó Q(nk ) >= 0 , biểu thức (2.3)
đưa đến dạng:
∂ψ
< Q >a = −
k
∂a
k

(2.5)

Biểu thức (2.5) tương đương với
a
∆ψ = ψ(a) − ψ (0) = − ∑ ∫ < Q >a da
k
k0

(2.6)

trong đó thông số a là như nhau.
Lấy đạo hàm biểu thức giá trị trung bình của đại lượng F tuỳ ý theo a k, sử
dụng các công thức toán tử [4], bằng các biến đổi thích hợp đã thu được các hệ
thức chính xác sau:
2n

∞
1
∂ < F >a
B  ih 
∂F(2n )
< [F,Qk ]+ > a − < F >a < Q k >a = θ
− θ∑ 2n  ÷ <
>a
2
∂a k
(2n)!
θ
∂
a

 
n =0
k

(2.7)

B2n - hệ số Bernouilli.
Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F bất kỳ và
toạ độ Qk thể hiện trong mô men tương quan cấp 2 <F, Qk>a hoặc <Qk,F>a.
∂F(2n )
>a
Đại lượng < F >a có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, <
∂a k

xác định từ các phương trình động học.
Khi F ≡ Q k ta có biểu thức đối với phương sai:
(2n)
∂ < Q >a
B  ih 2n ∂Q
∞
2
k
k
< (Q − < Q >a ) >a =
− ∑ 2n  ÷ <
>a
k
k
∂a
(2n)!  θ 

∂a
n
=
0
k
k

(2.8)


5

Ngoài ra, trong [4] còn thu được các công thức mô men sau:
2m
(2m+n)
∞ B2n  ih 
1
∂F
(n)
n
+
1
< [F,Q ]+ >a = (−1)
θ ∑
>a
 ÷ <
k
2
∂a
n =0 (2n)!  θ 

(2.9)

Trường hợp riêng khi F ≡ Q k ta có:
(2m+1)
2m
∂
Q
B
∞
i
h


2m
k
< Q 2 >a = θ ∑
>a
 ÷ <
k
∂a
m=0 (2m)!  θ 
k

(2.10)

Đưa vào định nghĩa toán tử tương quan cấp n như sau [4]
Kn =

1

[...[Q ,Q ] + Q ] + ...] + Q n ]+
1 2
3
2n −1

(2.11)

Thay F = Kn vào (2.7) ta được công thức truy chứng đối với các mô men
tương quan:
< K n +1 > a =< K n >< Qn +1 > a
2m

∞
∂ < K n >a
B2m  ih 
∂K (2m)
n
+θ
− θ∑
>a
 ÷ <
∂a n +1
(2m)!
θ
∂
a


m =1
n +1

(2.12)

Đây là công thức tổng quát của mô men, nó cho phép xác định mô men
cấp cao qua mô men cấp thấp hơn. Trong trường hợp cổ điển, công thức (1.12)
trở thành kín:

> =< K n >a < Q
> +θ
n +1 a
n +1 a

∂ < K n >a
∂a n +1

(2.13)

có nghĩa là từ các điều kiện cân bằng tìm được các đại lượng < Q k >a và do đó
có thể tìm được tất cả các mô men tương quan.
2.1.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do theo phương pháp mô
men:
Giả sử Hamiltonian H của hệ lượng tử có thể mô tả dưới dạng:
H = H o − αV

(2.14)


6

trong đó α là thông số và V là toán tử tuỳ ý. Khi đó năng lượng tự do của hệ
được xác định theo công thức [4]:
α
ψ(α) = ψ o − ∫ < V >αdα
0

(2.15)

ψ o là năng lượng tự do của hệ Hamiltonian H o được xem như đã biết, < V >α

xác định từ các công thức mô men.
Nếu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì tách nó thành:

sao cho

µ =H
¶ − ∑α V
µi
H
o
i
i
µ o −α V
µ >> α V
µ 2 ...
H
1

1

2

rồi tìm ra năng lượng tự do ψ1 ứng với
µ1=H
µ o −α V
µ
H
1 1,

sau đó tìm năng lượng tự do ψ 2 ứng với hệ
µ 2 =H
µ 1 −α V
µ 2 ....
H
2
cuối cùng, ta sẽ tính được năng lượng tự do ψ của hệ.
ψ = Uo + ψ o
2γ
X
θ2
+3N{ [ γ X o2 − 1 (1 + o )] +
3
2
k2 2
X
2θ3 4 2
+
[ γ 2Xo (1 − o )
2
k4 3

X
−2( γ 2 + 2γ γ )(1 + o )(1 + X o )]}
1
1 2
2

trong đó:
Uo =

N
N
∑ ϕoi (a i ) = u o ,
2 i
2
u o = ∑ ϕ (a )
i oi i

(2.16)


7
1
∂ 2ϕoi (a i )
k = ∑(
)eq ,
2 i
∂u ix2
1
∂ 4ϕoi (a i )
(

∑ ∂u 4 )eq ,
48 i
ix

γ1 =

(2.17)

6
∂ 4ϕoi (a i )
γ2 = ∑(
)eq
48 i ∂u ix4 u iy4

Với

X o = xcthx ,
x=

hω
,
2θ

ω=

k
,
M

M là khối lượng nguyên tử,

ψ o = 3Nθ[x + ln(1 − e −2x )]

Khoảng cách gần nhất giữa hai nguyên tử trong tinh thể được tính bởi
công thức:
a = ao + y
(2.19)
trong đó y là độ dời trung bình của hạt khỏi vị trí cân bằng của nó ở OK
2 γ oθ2
2
y =
Ao
3k3o

(2.19a)

γ o2θ2
γ3oθ3
Ao = a +
a +
a + ....
1 k4 2
6 3
k
o
o
1
13 47
23
1
a = 1 + X o ,a = + X o + X o2 + X3o ;

1
2 3
2
6
6
2
25 121
50
16
1
a = −( +
X o + X o2 + X3o + X o4 ),....
3
3
6
3
3
2
k o , γ o = 4( γ + γ ) xác định bởi (2.17) nhưng tính ở OK,
10 20

ao là khoảng cách gần nhất giữa hai nguyên tử trong tinh thể ở OK, được xác
định từ phương trình trạng thái của tinh thể ở OK và áp suất p:
−

pvo 1 ∂u o h ωo∂k o
= (
)+
a o 6 ∂a
4k o∂a

(2.20)

hoặc tính theo công thức (với thế tương tác chọn là thế Lennard - Jones và ở áp
suất p = 0):


8
A
a o = ro × n −m n
Am

(2.21)

z
k
A
=
∑
k p gọi là tổng
ro là khoảng cách cân bằng của hai hạt đứng riêng biệt, p
ν
k
mạng, zk là số hạt trên quả cầu phối vị k, ν k là số phụ thuộc cấu trúc mạng tinh thể.

Từ biểu thức năng lượng tự do (2.16); (2.18) thu được các biểu thức sau:


9

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU ĐƯỜNG CONG
NÓNG CHẢY CỦA ĐỒNG
3.1. Phương trình trạng thái và biểu thức thông số mạng của kim loại Cu
Để tìm phương trình trạng thái, ta xuất phát từ hệ thức nhiệt động:
a  ∂ψ 
 ∂ψ 
p = −
=
−
÷

÷
3V  ∂a T
 ∂V T

(3.1)

trong đó ψ;V;a tương ứng là năng lượng tự do, thể tích và thông số mạng của
tinh thể.
Đối với tinh thể cấu trúc lập phương (tinh thể Cu), năng lượng tự do có
dạng sau [1, 4]:


−h ω  
h
ω
 uo
ψ = 3N 
+ θ
+ ln(1 − e θ )  

 2θ

 6



(3.2)

trong đó uo là thế năng tương tác của nguyên tử trên một nút mạng với các
nguyên tử khác trong tinh thể; θ = k BT ; kB là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ
tuyệt đối.
Thay (3.2) vào (3.1) ta thu được phương trình trạng thái
−

pν 1 ∂u o
1 ∂k
=
+ θXcthX
a 6 ∂a
2k ∂a

(3.3)

trong đó:
θh k
;
M
∂X X ∂k
=
;

∂a 2k ∂a
X=

ν=

2 3
a
2

M là khối lượng nguyên tử.
Ở nhiệt độ OK, phương trình trên đưa về dạng sau:
−

∂k o
pν 1 ∂u o
h
=
+
a o 6 ∂a 4 M k o ∂a

(3.4)

Khoảng cách gần nhất giữa các nguyên tử trong kim loại (thông số mạng)
tính theo công thức:


10
a = ao + Y

(3.5)

trong đó ao là thông số mạng ở OK, áp suất p thoả mãn phương trình (3.4); Y là
độ dời của nguyên tử so với vị trí cân bằng của nó ở OK.
Y xác định bởi công thức [4, 6]:
γ o θ2
Y=
(1 + ∆ )
3
ko

(3.6)

trong đó ∆ là phần phụ, phụ thuộc nhiệt độ và có độ lớn rất nhỏ so với đơn vị:
∆ = 1.
Trong các công thức trên k; γ là các thông số liên kết được xác định bởi
các định nghĩa sau [4, 6]
2
1 ∂ ϕoi
k= ∑
2 i ∂u 2
ix
 4

∂ 4ϕ
1  ∂ ϕoi
oi ÷
γ= ∑
+6

4

2
12 i  ∂u
∂u ∂u 2 ÷
ix
ix iy ÷



(3.7)

(3.8)

trong đó ϕoi ; u ix ; u iy tương ứng là thể tương tác giữa nguyên tử i với nguyên tử
ở nút O và độ dời của nguyên tử i theo các phương x, y tương ứng.
Đối với tinh thể cấu trúc lập phương tâm diện (tinh thể Cu đang xét), các
thông số u o ;k; γ xác định từ định nghĩa của u o ;k; γ được biểu diễn qua thế tương
tác ϕoi tính được có dạng sau [7]:
u o = 12ϕ(a) + 6ϕ( 2a)

(3.9)

4 (1)
(2)
k = 2ϕ (a) + ϕ (a)
a

(3.10)

2 (4)
1 (3)

4 (2)
4 (1)
γ = ϕ (a) + ϕ (a) +
ϕ (a) −
ϕ (a)
2
2
3
a
a
a

(3.11)


11

trong đó ϕ là thể tương tác giữa nguyên tử i trong tinh thể với nguyên tử ở nút
O cách nhau một khoảng a (các nguyên tử i nằm trên mặt cầu bán kính a và tâm
là nút O); ϕ(1) , ϕ(2) .... là các đạo hàm bậc 1, bậc 2,.... của ϕ theo thông số a. Ta sử
dụng thế Lennard - Jones (mn) [8] cho tương tác giữa các nguyên tử trong kim
loại đồng.
n
m
D   ro 
 ro  
ϕ =
m
− n ÷ 
Cu n − m   a ÷


 a  


(3.12)

trong đó n = 9,0; m = 5,5; D k B = 3401(K) ; ro = 2,5487A o
Thay (3.12) vào (3.9); (3.10); (3.11) ta tính được các thông số u o ;k; γ
n
m

6D  
1   ro 
1   ro  
m  2 +

uo =
− n2 +
m ÷ a ÷
n ÷ a ÷ 
n−m 
2
2
 o 

 o  

n −m 
AB  ro n  B  a 
1

2

k=
 a ÷ 1 − B  r ÷
2




a
1 o

n −m 
AA  ro n  A  a 
1
2

γ=
 a ÷ 1 − A  r ÷
4




a
1 o

∂u ∂k
Từ (3.13), (3.14) ta tính được các đạo hàm o ;
∂a ∂a

n −m 
n
∂u o
6A  ro  
1  
1  a 
 2 +

=−
÷−  2 + m ÷ ÷
n
∂a
a  a ÷
r

 
2  
2  o 
n −m 
AC  ro n  C  a 
∂k

= − 1  ÷ 1 − 2  ÷
3
∂a
a
C
r



a   
1 o

Trong các công thức trên các hệ số A; A1; A2.... có dạng:
D.n.m
n−m
2
25
A = n 2 + 3n 2 + n + 10
1 3
3
2
25
A = m 2 + 3m 2 + m + 10
2 3
3
C = n2 + n − 2
1
A=

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

12
C = m2 + m − 2
2
B = n −1
1
B2 = m − 1

Thay (3.14); (3.16); (3.17) vào (3.4) ta thu được phương trình trạng thái của
tinh thể ở OK áp suất p dạng tổng quát sau (đặt

ao
= y)
ro

 A 
1  n −m 10,94C1 A k B
⇒ 5,124ro3pyn +3 + 
y
−
×
÷ 2 +
m/2 ÷
 k ÷
r
MB
2

o
 B

1
 C
B  n −m B C 2n −2m  n −2
1 −  2 + 2 ÷y
y 2
+ 2 2y

÷
2B1C1
  C1 2B1 

(3.18)



1  A
−2+
=0
÷ k ÷
n
2
÷

2
 B 

trong công thức trên ro; p có đơn vị đo tương ứng là A o và kbar (1kbar =
108Pa)
Áp dụng vào kim loại Cu,

(A

ta có:

k B ) = 48100(k);

A1 = 814

;

A 2 = 257,5 ;

B1 = 8;
B2 = 4,5;
ro = 2,5487(Ao)
Thay giá trị các thông số này vào (3.18) ta thu được phương trình trạng
thái của kim loại đồng ở OK, áp suất p:
0,0095py12 − 0,039y10,5 + 0,242y7 + 9,973y3,5 − 9,83 = 0

(3.19)

Thay (3.14); (3.15) vào (3.6) ta tính được độ dời Y có dạng đơn giản sau:
Y=


A n   3B
A 
ao
1 y 1 +  2 − 2 ÷y n −m  T
A k B B3   2B1 2A1 ÷




1

(3.20)


13

Đặt (3.20) vào (3.5) ta thu được bỉểu thức tính thông số mạng của tinh
thể:

A n   3B
A  n −m  
1

1
2
 T
a = a o 1 +
y 1 + 
− 2 ÷y
3

÷
A
k
2B
2A

  1
 

B B1
1


a Cu = 2,5487y { 1 + 2,6.10 −5 y 9 (1 + 0,686y 3,5 )T} (A o )

(3.21)
(3.22)

Từ phương trình trạng thái (3.19) và công thức (3.22) hoàn toàn có thể
tính được thông số mạng của kim loại đồng ở nhiệt độ và áp suất cho trước.
3.2. Phương trình đường cong nóng chảy của đồng
Trong chương này chúng tôi sử dụng giả thuyết của Lindermann về điểm
nóng chảy, theo đó nóng chảy của tinh thể xảy ra khi trị trung bình của bình
phương biên độ dao động của các nguyên tử quanh nút mạng đạt đến một phân
số nào đó của khoảng cách lân cận gần nhất (thông số mạng):
< u2 >
= δL
a2

(3.23)

trong đó δL là thông số Lindermann, có giá trị xác định từ thực nghiệm.
Độ lệch toàn phương trung bình < u 2 > thu được có dạng [1, 4]
k T  γ o k BT 
÷
< u 2 >= B 1 +

2
ko 
ko ÷


trong đó k o ; γ o là các thông số k; γ tính ở OK áp suất p.

(3.24)

Thay (3.21), (3.24) vào (3.23) ta thu được phương trình sau:
 γ θ 
θm  1 + o m ÷

k o2 ÷
θ m  γ o θm 

 = δ k a2
1 +
÷=
L o o


k oa 2 
k o2 ÷
  1 + 2θm γ o ÷

a o k o3 ÷



(3.25)

trong đó θm = k BTm ; Tm là nhiệt độ nóng chảy của tinh thể.
Biến đổi (3.25) chú ý tới (3.14) ta có:
 γ θ
2θ
θm  1 + o m − m

ao
k o2


γo
k3o


 B

÷ = δ AB y −n 1 − 2 y n −m 
÷ L 1
 B1



Thay (3.14). (3.15) vào vế trái (3.26) ta thu được:

(3.26)


14


 A
A  2B
A 
A

n
1 yn +
θy 1 + θ  1 yn + 1  2 − 2 ÷y2n −m − 2
2
2
2
3
 B
 AB
A ÷
AB
A
B


1
1

1
1
 1

A1  A 2 3B2  2n −m  
  = (AB − AB yn −m )δ


÷y
+
−
L
1
2

A 2B13  A1 B1 ÷


  A  2B
A  1 A A
3B   3n −m
 1
2
2
1
2

÷+

⇒
−
− 2 ÷ y
+
2
1

÷


÷


B
A
A
A
B
B  1
  AB1  1
1
1 
3


 A

2 A1 ÷ 2n  2
1

+
−
y  θ + y n θ + AB δ L yn −m − AB δ L = 0
2
1
 AB2 A B3 ÷

1
1





(3.27)

Đối với kim loại Cu, thay các thông số A; A 1; A2.... ứng với kim loại này
vào (3.27), ta có:
2
⇒ 2,12.10 −4 y18 (1 + 0,84y3,5 )Tm
3,5
+ y9Tm + 105 δ Cu
L (2,16y − 3,85) = 0

(3.28)

δCu
L xác định từ thực nghiệm ở p = 0 nhiệt độ nóng chảy của Cu là T m = 1357K.

Sử dụng điều kiện này, từ các phương trình (3.19) và (3.28) ta tính được
−2
δCu
L = 1,04.10 .

Thay giá trị này của δCu
L vào phương trình (3.28) ta thu được phương trình
của đường cong nóng chảy của kim loại Cu:
2
2,12.10−4 y18 (1 + 0,84y3,5 )Tm
+ y9Tm + 2246,4y3,5 − 4004 = 0

(3.29)

Nhiệt độ nóng chảy của Cu ở áp suất p là nghiệm dương của phương trình
bậc 2 theo Tm (3.29):

(


Tm = 104  4,4 + 0,956y3,5 − 1,596y7


)

12

−1

12,5
9


− 1 ×  4,24y + 3,56y
(3.30)

 

trong đó y phụ thuộc áp suất và tính được từ phương trình (3.19). Như vậy từ
phương trình (3.19) ta xác định được y ở áp suất p. Thay giá trị của y tính được
vào (3.22) và (3.30) ta tính được thông số mạng của kim loại Cu ở nhiệt độ T áp

suất p và nhiệt độ nóng chảy của Cu ở áp suất p.


15

3.3. Tính số và thảo luận kết quả
Kết quả tính y ở áp suất p và tính nhiệt độ nóng chảy T m ở áp suất p từ
phương trình (3.19) và công thức (3.30) được cho trong bảng 1.
Kết quả tính thông số y và thông số mạng của Cu ở nhiệt độ OK, 300K,
600K và áp suất khác nhau từ phương trình (3.19) và công thức (3.22) cho trong
bảng 2.
Bảng 1. Giá trị các thông số y và nhiệt độ nóng chảy của Cu ở áp suất
khác nhau.
P(kbar)
0
10
20
30
40
60
80
100
y
0,9901 0,9878 0,9855 0,9834 0,9814 0,9776 0,9740 0,9707
Tm(K) 1358,4 1398,5 1439,5 1478,0 1515,6 1589,4 1662,4 1732,1
TN[13] 1357 1396 1437 1477 1516

Bảng 2: Giá trị thông số mạng của Cu ở áp suất khác nhau

16

T(K)

0
300
600

p
(kbar)
y
a(A0)
a(A0)
a(A0)

0

30

60

90

120

150

180

0.9901

2.5235
2.5355
2.5474

0.9834
2.5064
2.5173
2.5282

0.9776
2.4917
2.5017
2.5118

0.9724
2.4784
2.4878
2.4971

0.9677
2.4664
2.4752
2.4839

0.9634
2.4555
2.4637
2.4720

0.9594

2.4453
2.4531
2.4609

2.56

T = 600K

2.54
T = 300K

2.52

T=0

Thông số mạng a(A0)

2.50
2.50

2.48
2.46
2.44
2.42

TÝnh to¸n
•••

Thùc nghiÖm [5]

2.40
2.40

2.38
Áp suất p (kbar)

Hình 2: Sự phụ thuộc của thông số mạng vào áp suất ở nhiệt
độ không đổi (0,300, 600K) – Các đường đẳng nhiệt.

Sự phụ thuộc của thông số mạng vào áp suất ở các nhiệt độ không đổi
OK, 300K, 600K (các đường đẳng nhiệt) của Cu được biểu diễn trên hình 2.
So sánh kết quả tính toán với các số liệu thực nghiệm ta thấy: đường cong
nóng chảy của Cu suy ra từ lý thuyết (phương trình (3.19) và công thức (3.30))
và đường cong thực nghiệm có sự sai khác không đáng kể. Trong khoảng áp
suất không lớn (từ 0 - 40 kbar) sự phụ thuộc của nhiệt độ nóng chảy vào áp suất


17

có dạng gần đường thẳng với tốc độ

∆Tm
= 4K 1kbar . Ở các áp suất lớn hơn 40
∆p

kbar sự phụ thuộc trở nên không tuyến tính, tốc độ thay đổi của nhiệt độ nóng
chảy theo áp suất giảm dần. Kết quả này cũng được chỉ ra bởi thực nghiệm.
Các đường đẳng nhiệt của kim loại Cu tính theo lý thuyết cũng có sự phù
hợp tốt với thực nghiệm. Trên hình 2 là ba đường đẳng nhiệt ứng với các nhiệt
độ OK, 300K, 600K tính theo lý thuyết). Các đường đẳng nhiệt tương ứng với

các nhiệt độ cao hơn nằm cao hơn so với các đường đẳng nhiệt ứng với nhiệt độ
thấp hơn. Tính chất này của các đường đẳng nhiệt cũng đã được chỉ ra từ kết
quả thực nghiệm.
Như vậy, phương trình (3.19) và các công thức (3.22), (3.30) tạo thành hệ
đủ để xác định đường cong nóng chảy của Cu và xác định thông số mạng của
Cu ở các nhiệt độ và áp suất khác nhau. Đường đẳng nhiệt thu được có sự phù
hợp tốt với các đường thực nghiệm.

KẾT LUẬN


18

Trong quá tình tìm hiểu nghiên cứu về sự nóng chảy của tinh thể, chúng
tôi đã nắm bắt được một số phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu về
nóng chảy như phương pháp Lindermann, phương pháp nồng độ cân bằng của
sự sai hỏng nhiệt, phương trình sinon,... Các phương pháp này được xây dựng
trên cơ sở về tính không ổn định của pha rắn ở gần nhiệt độ nóng chảy.
Các phương pháp động học phân tử với sự hỗ trợ của máy tính đã giải
quyết khá hiệu quả bài toán về nóng chảy của tinh thể và đang được sử dụng
nhiều trong thời gian gần đây.
Đặc biệt, chúng tôi bước đầu được làm quen với phương pháp thống kê
mômen và một số kết quả thu được từ phương pháp này khi nghiên cứu các tính
chất nhiệt động của tinh thể như: biểu thức năng lượng tự do, phương trình
trạng thái, công thức tính độ dời của nguyên tử....
Trên cơ sở sử dụng giả thuyết của Lindermann ở điểm nóng chảy và biểu
thức tính độ lệch toàn phương trung bình, thông số mạng thu được từ phương
pháp thống kê mômen, áp dụng cho kim loại Cu, chúng tôi đã thu được một hệ
các phương trình gồm: phương trình trạng thái, công thức tính thông số mạng,
công thức tính nhiệt độ nóng chảy của Đồng. Các công thức thu được có dạng

giải tích đơn giản và có kết quả tính số phù hợp tốt với các kết quả thực
nghiệm. Các kết quả của chúng tôi thu được là mới và được đăng trong tuyển
tập online của Hội nghị vật lý lý thuyết 35 tổ chức tại thành phố Hồ Chí Minh
2010. Từ hướng nghiên cứu này, chúng tôi sẽ mở rộng để nghiên cứu về sự
nóng chảy của một vài tinh thể khác phức tạp hơn.