Tóm tắt công thức chương 1 dao động cơ

Tóm tắt công thức chương 1 – Dao Động Cơ
1.Phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + ϕ)
+ x: li
độ, toạ độ.
+ A: biên độ = xmax
L = 2A : độ dài quỹ đạo Trong 1 chu kì:
quãng đường S = 4A.
+ (ωt + ϕ) : pha dao động - ω : tần số góc - ϕ : pha ban đầu.
ω=

2π
= 2π f
T

k
m

+
=
( nếu là con lắc lò xo ) =
với T là chu kì, f là tần số.
T = 2π

→

Chu kì của con lắc lò xo:

m
k

g

l

( nếu là con lắc đơn)
T = 2π

và của con lắc đơn
T12 + T22

* Chu kì của con lắc lò xo khi m = m1 + m2 là T =
* Chu kì của con lắc đơn khi l = l1 + l2 là T =

l
g

T12 + T22
∆t
N

+ Thời gian thực hiện 1 dao động là chu kì → T =
với ∆t là thời
gian và N là số dao động.
*Biến các hàm khác về hàm cos:
. sin( …) = cos ( …- π/2 )
. –cos( …) = cos( …+ π)
.
– sin( ….) = cos( …+ π/2)
. cos2 và sin2: ta hạ bậc về hàm cos.
2. Phương trình vận tốc: v = x, = - ωAsin(ωt + ϕ)
→ vmax = ωA
v2

A = x + 2 ⇒ v = ±ω A2 − x 2
ω
2

2

S02 = s 2 +

( con lắc đơ:

v2
ω2

- S0 là biên độ, s

là li độ.)
* Con lắc đơn :

v = 2 gl (cos α − cos α 0 )

→ Tại vị trí cân bằng thì

vmax = 2 gl (1 − cos α 0 )

α: li độ góc ( góc lệch so với phương thẳng đứng) - α0 = αmax: biên
độ góc
3. Phương trình gia tốc: a = v’ = x’’ = - ω2 A cos(ωt + ϕ) = - ω2. x
→ amax = ω2A = ω.vmax

A2 =

v 2 a2
+
ω2 ω4
≤ 100 → a = − g .α ( rad )

a = − g .sin α

* Con lắc đơn:
( khi α
)
4. Lập phương trình dao động: tìm A, ω và ϕ.
* Tìm A, ω dựa vào các công thức đã biết.
* Tìm ϕ dựa vào gốc thời gian ( tức là t = 0 ) mà đề đã chọn sẵn.
x
→ϕ
A

Giải phương trình: cosϕ =
= 2 giá trị
Nếu chuyển động theo chiều dương : sinϕ < 0 và chiều âm : sinϕ > 0.
*Chú ý: lúc t = 0, nếu vật đang ở vị trí
+ cân bằng theo chiều dương: ϕ = - π/2 và theo chiều âm : ϕ = π/2.
+biên ( dương x = A) : ϕ = 0 và biên âm ( x = -A) : ϕ = π.
ϕ

* Đối với dao động điều hoà hay con lắc lò xo: x = Acos( ωt + )
ϕ

* Đối với con lắc đơn có 2 dạng : s = S0 cos( ωt + ) hay α = α0 cos(
S0 = α 0( rad ) .l
s = α ( rad ) .l

ϕ

ωt + ) Với
5. Động năng – thế năng – cơ năng ( của con lắc lò xo hay dao
động điều hoà)
Động năng: Wđ =
+ Wt.

1 2
mv
2

Wt =

- thế năng

1 2 1 2
kA = mvmax = Wt max = Wdmax
2
2

W=
trí cân bằng Wđ max)
* Khi

Wd

=n
wt

x=±

thì

A
n +1

ω = 2ω

góc là

- cơ năng W = Wđ

( tại vị trí biên thì Wt đạt max và tại vị
±vmax

và

v=

* Chú ý Wđ và Wt - có chu kì T’ =
'

1 2
kx (k = mω 2 )
2

T
2

n
n +1

tần số là

α =±

f' =2f

α0
n +1

và tần số


∆t =

* Sau khoảng thời gian ngắn nhất là

T
4

6. Độ dãn của lò xo khi đang cân bằng
Khi lò xo thẳng đứng: k
→ vmax = ω. A =

∆l

thì Wđ = Wt

∆l

k
g
=
m ∆l

= mg →

:
ω=

→

g
∆l
→ T = 2π
∆l
g

g
.A
∆l( m )

*Khi lò xo nằm ngang:

∆l

F = − k .x

=0

7. Lực kéo về:
( k = mω2 )
Tại vị trí cân bằng : F = 0 và tại vị trí biên : Fmax = k.A = m.amax
*

Con lắc đơn:

F = −mg.sin α
Fdh = k ( ∆l + x)

8. Lực đàn hồi:
toạ độ ra xa điểm treo lò xo.
* Khi lò xo dãn tối đa:
*Khi lò xo co tối đa :

( Nếu

α ≤ 100 → F = −mg .α ( rad ) )

với qui ước là chiều dương của trục

Fdh (max) = k (∆l + A)

Fdh (min) = k (∆l − A)

* Khi lò xo không biến dạng:
Fdh = k .∆l

khi

Fdh (min) = 0

∆l ≥ A

khi

∆l ≤ A

* Khi lò xo

cân bằng:
9. Động năng – thế năng – cơ năng ( của con lắc đơn)
Wt = mgl (1 − cos α ) = 2mgl.sin 2

+
( nếu góc lệch α bé :
là rad)
+W=

α
2

1
α ≤ 100 = 0,175rad → Wt = mgl.α 2
2

2 α0
mgl (1 − cos α 0 ) = 2mgl.sin 2

( nếu α0 bé:
rad)

( đúng với mọi góc α)
và α phải có đơn vị

( đúng với mọi góc α0)

α2
1
α 0 ≤ 100 = 0,175rad → W = mgl. 0
2
2

và α0 phải có đơn vị là


* Khi
±

Wd
=n
wt

α =±

→ li độ góc

α0
n +1

(α0 là biên độ góc) và li độ s =

S0
n +1

( S0 là biên độ)
10. Tốc độ của con lắc đơn tại vị trí có li độ góc ( góc lệch ) α:
v = 2 gl (cos α − cos α 0 ) → vmax = 2 gl (1 − cos α 0 )

tại vị trí cân bằng ( tức là khi

0

α=0)
v = gl (α 02 − α 2 ) → vmax = α 0 gl

* Khi α ≤ 100 thì
( α và α0 phải đổi về rad)
11. Lực căng dây treo của con lắc đơn tại vị trí có li độ góc ( góc
lệch ) α:
T = mg (3cos α − 2 cos α 0 ) → T = mg cos α + m

* Tại vị trí biên:

Tmin = mg cos α 0

Tmax = mg (3 − 2 cos α 0 )

v2
l

* Tại vị trí cân bằng:

12. Dao động cưỡng bức – điều kiện để Amax:

ω = ω0 → T = T0 → f = f0

Với ω,T, f là của dao động - ω0,T0, f0 là của dao động riêng ( của
con lắc treo vào xe)
13. Tổng hợp dao động

x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ), x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )

Vật thực hiện động thời 2 dao động
Dao động tổng hợp của 2 dao động là: x = Acos(ωt + ϕ)
+ Biên độ của dao động tổng hợp là:
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos∆ϕ

với

∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1


+ Pha ban đầu của dao động tổng hợp là :
tan ϕ =

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
A1co s ϕ1 + A2co s ϕ2

Biên độ dao động tổng hợp A phụ thuộc vào độ lệch pha
+
+

∆ϕ = 2kπ ⇒ Amax = A1 + A2

+

:

: hai dao động x1 , x2 cùng pha nhau

∆ϕ = (2k + 1)π ⇒ Amin = A1 − A2

∆ϕ = (2k + 1)

∆ϕ

: hai dao động x1 , x2 ngược pha nhau

π
⇒ A = A12 + A22
2

: hai dao động x1 , x2 vuông pha nhau.

A1 − A2 < A < A1 + A2

∆ϕ

+
bất kỳ :
* Chú ý:
+ Có thể dùng giản đồ vecto Frexnen để tổng hợp
2 dao động.
tan ϕ =

A= A +A
2
x

+ Nếu từ 3 dao động trở lên, thì:

2
y

và

Ay
Ax

Ax = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 + A3 cos ϕ3 + ....
Ay = A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 + A3 sin ϕ3 + ......

Với
14. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2

ϕ2 − ϕ1
∆ϕ ϕ2 − ϕ1
∆t =
=
ω
ω

0 ≤ ϕ1 , ϕ2 ≤ π

=

2π

.T

)

* Có thể dùng vòng
tròn lượng giác để giải.

với

x1

co s ϕ1 = A

co s ϕ = x2
2

A

và



→ x2 = ±
x1 = 0 ¬



* Từ

A
T
: ∆tmin =
2
12

* Từ


→ x2 = ± A 2 : ∆tmin = T
x1 = 0 ¬


2
8

→ x2 = ± A 3 : ∆tmin = T
x1 = 0 ¬



2
6


→ x2 = ± A : ∆t min = T
x1 = 0 ¬


4

*Từ
*Từ
15. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
Phân tích: ∆t = t2 – t1 = nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T )
-Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA
-Trong
thời gian ∆t là S2.
→Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2
Lưu ý:
+ Nếu ∆t = T/2 thì S2 = 2A
+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và vẽ vòng tròn mối quan hệ
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2:
vtb =

S
t2 − t1

16. Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng

thời gian ∆t: 0 < ∆t < T/2.
+ Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ
M1 đến M2 đối xứng qua trục sin
S Max = 2A sin

∆ϕ
2

+ Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục
cos
S Min = 2 A(1 − cos

∆ϕ
)
2

∆ϕ =

Lưu ý:

∆t
T

Với
.2π
+ Trong trường hợp ∆t > T/2

→ Tách
∆t = n

(trong đó

T
n ∈ N ;0 < ∆t ' <
2
*

)

T
+ ∆t '
2


Trong thời gian

T
n
2

quãng đường luôn là 2nA

Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian
∆t:
và
vtbMax =

S Max
∆t

vtbMin =

S Min
∆t

với SMax; SMin tính như trên.
17. Các bước giải bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x
(hoặc v, a, Wt, Wđ, F) lần thứ n
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0
⇒ phạm vi giá trị của k )
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý: Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật
để suy ra nghiệm thứ n
18. Dao động tắt dần có ma sát
∆A =

+ Độ giảm biên độ sau 1 chu kì:

4µ mg
k

, μ là hệ số ma sát.
N=

+Số dao động thực hiện được đến khi dừng lại:
S=

+Quãng đường đi được đến khi dừng lại:

vmax = ω ( A − x0 ); x0 =

A
∆A

kA2
2µ mg

µ mg
k

+Tốc độ cực đại
là vị trí có vmax.
19. T của con lắc đơn phụ thuộc vào nhiệt độ
 α

T = T0 1 + (t − t0 ) 
 2


+ Chu kì ở nhiệt độ t:
với α là hệ số nở dài- T0 là
chu kì ở nhiệt độ t0
+ Nếu ở nhiệt độ t0 con lắc chạy đúng → ở nhiệt độ t con lắc chạy
∆t =

sai. Trong 1 giây, con lắc chạy sai:

α
(t − t0 )

2


*∆t > 0 : con lắc chạy chậm( trễ) và ∆t < 0 : con lắc chạy nhanh
( sớm).
20. T của con lắc đơn phụ thuộc vào độ cao
T = T0 (1 +

h
); R = 6400km
R

+ chu kì ở độ cao h:
làn bán kính Trái Đất –
T0 là chu kì ở mặt đất.
+ Nếu ở mặt đất con lắc chạy đúng thì ở độ cao h, trong 1 giây con
lắc sẽ chạy chậm
∆tcham =

h
R
trong 1giay
∆t sai
=

h α
+ (t − t0 )
R 2

*Con lắc sẽ chạy sai do nhiệt độ và đô cao:

21.
Con lắc đơn treo vào trần thang máy chuyển động với gia tốc
r
a

T = 2π

+ Khi thang máy đứng yên hay chuyển động thẳng đều :
+ Khi thang máy chuyển động với gia tốc

r
a

g = g +a

T * = 2π

l
g

l
g
=T
*
g
g*

:

*

* Thang máy đi lên nhanh dần:

và đi lên chậm dần :

g = g −a
*

* Thang máy đi xuống nhanh dần:

g* = g − a

và đi xuống chậm dần :

g = g+a
*

22. Con lắc đơn treo vào trần xe chuyển động ngang với gia tốc
T = 2π

+ Khi xe đứng yên hay chuyển động thẳng đều :
+ Khi xe chuyển động với gia tốc
g* = a 2 + g 2

r
a

T * = 2π

:

l
g

l
g
=T
*
g
g*

Với

r
a


Khi cân bằng, dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc β được
tan β =

a
g

tính:
23. Con lắc đơn tích điện trong điện trường
T = 2π

+ Khi con lắc không tích điện hoặc không có điện trường:
+ Khi con lắc mang điện tích q đặt vào vùng không gian có điện
trường ( có cường độ điện trường là

*

ur
E

ur
E

qE
g* = g −
m

hướng lên:

T * = 2π

):
*

ur
E

l
g
=T
*
g
g*
g* = g +

hướng xuống:

qE
m

2

 qE 
g* = g 2 + 
÷
 m 

ur
E

* nằm ngang :
và lúc này con lắc sẽ cân bằng khi
dây treo lệch với phương thẳng đứng một góc β được tính
tan β =

qE
mg

24. Ghép lò xo

+ k1 nối tiếp k2 →

1
1 1
= + → Tnt2 = T12 + T22 → f nt =

knt k1 k2

f1 f 2
f12 + f 22

+k1 song song k2
→ k / / = k1 + k2 → T/ / =

T1T2
T +T
2
1

2
2

→ f// =

f12 + f 22

25. Cắt lò xo: Lò xo có chiều dài l và độ cứng k được cắt thành các
lò xo có chiều dài
k1.l1 = k2 .l2 = .... = k .l

l1 + l2 + ..... = l

l1 , l2 ,..

tương ứng có độ cứng k1, k2, …thì

l
g


l = l0 + ∆l + x → lmax = l 0 +∆l + A → lmin = l0 + ∆l − A
→ lCB = l0 + ∆l

26. Chiều dài lò xo:
→ A=

lmax − lmin
2