Tiểu xảo giải phương trình bậc 4 bằng máy tính

1

Tiểu xảo giải phương trình bậc 4 bằng máy tính Casio fx570ES
- Với những phiên bản máy tính mới như hiện nay thì việc tìm nghiệm của các phương trình bậc 2 và
bậc 3 trở nên rất dễ dàng. Nhờ những nghiệm mà ta tìm được (đặc biệt là những nghiệm hữu tỉ) thì ta có
thể “lợi dụng” nó để phân tích phương trình thành nhân tử để trình bày vào bài làm của mình và giải
phương trình một cách “ngon lành”. Ngoài chức năng tìm nghiệm chính thì ta không thể không nhắc đến
lệnh SOLVE “thần kì” để tìm các nghiệm của mottj số phương trình không phải phương trình bậc 2, 3.
Lợi dụng trên ưu thế đó ta có thể giải các phương trình bậc 4 bằng phương pháp phân tích thành nhân tử
(mỗi nhân tử là một phương trình bậc 2) và giải nó một cách dễ dàng.
Dạng tổng quát phương trình bậc 4: a1 x 4  a2 x 3  a3 x 2  a4 x  a5  0
Giải sử phương trình này có nghiệm thì nó sẽ được phân tích dưới dạng:

a1  x 2  bx  c  x 2  dx  e   0
  x 2  bx  c  x 2  dx  e   0
 x 2  bx  c  0
 2
 x  dx  e  0
Vậy làm thế nào để tìm được những hệ số b, c, d, e? Chúng ta hãy đến với một ví dụ cụ thể sau:
 Giải phương trình: x 4  2 x 3  21x 2  38 x  7  0
Với phương trình này để giải mà không có sự trợ giúp của máy tính thì rất lâu. Vậy để tận dụng chiếc
máy tính mà chính bản thân mình có thì ta làm như sau:
 Bước 1: Nhập vế trái của phương trình trên vào máy tính.

 Bước 3: Gàn nghiệm vừa tìm được cho A: Bấm
ta đã gán 1 nghiệm cho A rồi.





(SHIFT  RCL  (-)). Lúc này

Đoàn Quốc Việt



 Bước 2: Nhẩm nghiệm đầu tiên của phương trình: Bấm
(SHIFT  SOLVE 
=). Lúc này ta sẽ thấy nghiệm của phương trình là x  0, 2087121525 (tất nhiên đây chỉ là giái trị gần
đúng của nghiệm).


2
 Bước 4: Tìm tiếp nghiệm thứ hai của phương trình:
 Nhập lại phương trình vào máy tính nhưng dưới dạng:

X 4  2 X 3  21X 2  38 X  7
X A




 Bấm
(SHIFT  SOLVE  =  =). Ta lại thấy 1 nghiệm của
phương trình nữa là x  1,541381265

 Bước 5: Gán tiếp nghiệm này cho B: Bấm





(SHIFT  RCL  ,,, )

Bước 6: Tìm tiếp nghiệm thứ ba của phương trình:
 Nhập phương trình lại vào máy dước dạng:
X 4  2 X 3  21X 2  38 X  7
 X  A X  B 





 Bấm
(SHIFT  SOLVE  =  =  =) . Ta lại thấy 1
nghiệm của phương trình nữa là x  4, 791287847
Đoàn Quốc Việt
 Bước 7: Gán tiếp nghiệm này cho C: Bấm





(SHIFT  RCL  hyp)


3

 Bước 8: Tìm tiếp nghiệm cuối cùng của phương trình.
 Nhập phương trình lại vào máy dước dạng:

X 4  2 X 3  21X 2  38 X  7
 X  A X  B  X  C 

 Ta được nghiệm cuối là x  4,541381265 . Gán tiếp giá trị này cho D.

 Bước 9: Tính tổng của từng đôi một của 4 nghiệm mà ta vừa tìm được
A B  ?
AC  ?

A D  ?

B  C  ?
B  D  ?

C  D  ?
 Bước 10: Tổng của cặp nghiệm nào là số hữu tỉ “đẹp” thì ta sẽ lấy. Ở đây, trong 6 cặp tổng này thì ta
thấy có 2 cặp tổng đẹp là
A  C  5

 B  D  3
 Bước 11: Tính tích của 2 hạng tử của 2 tổng trên

Phương trình bậc 4 của đề bài ra sẽ được viết dưới dạng:
2
 x   A  C  x  A.C  .  x   B  D  x  B.D   0

 x2  3x  7  0
hay  x 2  3x  7  x 2  5 x  1  0   2
 x  5x 1  0
Đến đây thì ta có thể giải 2 phương trình bậc 2 này một cách rất nhẹ nhàng.

Trên đây là một ví dụ rất cơ bản. Mặc dù phương pháp này không thể giải được tất cả các phương trình
bậc 4, nhưng nó cũng là một mẹo nho nhỏ để giải cứu chúng ta những lúc “bí cờ”.

Đoàn Quốc Việt

 A.C  1

 B.D  7


4
Tổng hợp lại các bước cơ bản:
1. Tìm nghiệm thứ nhất của phương trình bằng lệnh SOLVE. Và gán nghiệm đó cho A
2. Tương tự, tìm 3 nghiệm còn lại của phương trình và gán lần lượt cho B, C, D.
3. Tính tổng từng cạp nghiệm một của phương trình. Chọn ra 2 cặp tổng hữu tỉ đẹp.
4. Tính tích của 2 hạng tử trong 2 cặp tổng đẹp ta chọn ở trên.
 Lưu ý: Một số phương trình bậc 4 chỉ có 2 nghiệm, chính vì vậy khi tìm bằng máy thì ta cũng chỉ
nhẩm được 2 nghiệm của nó. Thế nên ta chỉ tìm được 1 tổng và tích. Khi đó ta viết được 1 phương trình
bậc 2, phương trình bậc 2 còn lại ta dung phương pháp chia đã thức để tìm.

Đoàn Quốc Việt