“Phát triển tư duy tích cực, sáng tạo của học sinh khá, giỏi thông qua việc xây dựng, khái quát và mở rộng các bài toán số học

Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU.........................................................................................................................................2
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:..............................................................................................................................2
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu......................................................................................2
2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài ................................................................................................3
3. Phạm vi nghiên cứu..............................................................................................................3
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH ......................................................................................................3
1. Cơ sở lí luận và thực tiển.....................................................................................................3
2. Các biện pháp tiến hành .........................................................................................................4
B. NỘI DUNG......................................................................................................................................5
I. MỤC TIÊU......................................................................................................................................5
II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI..................................................................................................5
1. Thuyết minh tính mới.................................................................................................................5
2. Khả năng áp dụng.......................................................................................................................16
3. Lợi ích kinh tế xã hội ................................................................................................................16
C. KẾT LUẬN....................................................................................................................................17
1. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp..................................................17
2. Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp.............................................17
3. Đề xuất, kiến nghị.................................................................................................................17
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG......................................................20

Sáng kiến kinh nghiệm

1


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

A. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong nhà trường trung học cơ sở hiện nay, mỗi thầy cơ giáo khơng ngừng đổi mới
phương pháp dạy học nhưng việc tìm ra phương pháp hợp lí, phát huy tính tích cực, sáng
tạo của học sinh, thu hút được học sinh khơng phải là chuyện đơn giản! Phương pháp dạy
học của giáo viên vẫn còn nặng tính thuyết trình, giải thích sách giáo khoa, còn bị động bởi
sách giáo khoa, chưa có sự gia cơng đáng kể để đề xuất những phương pháp mới, dẫn đến
học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động và khơng có cơ hội phát huy sự sáng tạo của
bản thân.
Đối với học sinh: về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học tốn của học sinh
còn rất nhiều thiếu xót đặc biệt là q trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và
thực tiễn. Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm tốn là
khơng chịu nghiên cứu kĩ bài tốn, khơng chịu khai thác và huy động kiến thức để làm tốn.
Trong q trình giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn. Trình bày cẩu thả, tuỳ tiện …
Vì vậy u cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng
tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. Học
sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện, giải quyết vấn đề và có ý thức vận dụng linh hoạt,
sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. Trong đó có đổi mới dạy, học mơn
Tốn. Trong q trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn ở trường THCS, cần phải
chú trọng đến việc khai thác và phát triển cho một bài tốn, nó khơng chỉ cho học sinh nắm
bắt kĩ kiến thức của một dạng tốn, mà cơ bản hơn là nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt
hố một bài tốn để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh. Hơn
nữa, việc liên kết các bài tốn khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học
sinh có hứng thú khoa học hơn khi học Tốn. Một trong những điều kiện có thể phát triển tư
duy tích cực - độc lập - sáng tạo của học sinh là phát hiện và giải quyết vấn đề mới từ vấn đề
quen thuộc.

Trong q trình cơng tác, bản thân tơi khơng ngừng học tập, nghiên cứu và vận dụng
lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Qua q trình tập huấn, được sự cộng tác
của đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường tơi đã tiến hành nghiên cứu và
vận dụng quan điểm trên vào cơng tác giảng dạy của mình và thấy rất có hiệu quả.
Xuất phát từ những lý do trên tơi đã chọn đề tài “Phát triển tư duy tích cực, sáng tạo
của học sinh khá, giỏi thơng qua việc xây dựng, khái qt và mở rộng các bài tốn số học
”.Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn theo tinh thần đổi mới.
Sáng kiến kinh nghiệm

2


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài
Hình thành cho học sinh phương pháp suy luận khoa học, rèn luyện các thao tác tư
duy quan trọng của tốn học như: phân tích, tổng hợp, khái qt hố, trừu tượng hố, tương
tự hố, lật ngược vấn đề, quy lạ về quen, … có thói quen dự đốn, tìm tòi, nhìn nhận một
vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có năng lực phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề,
đánh giá cách giải quyết vấn đề đó, diễn đạt một vấn đề có sức thuyết phục.
Ngồi mục đích trên, đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong
q trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy bồi dưỡng mơn tốn.
3. Phạm vi nghiên cứu
Khảo sát, đề xuất và mở rộng các bài tốn số học dạng tính tổng trong chương trình
tốn THCS và trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THCS
Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi lớp 7, 8 và 9

II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

1. Cơ sở lí luận và thực tiển
a. Cơ sở lí luận:
– Đặc điểm của lứa tuổi THCS là: muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình khám
phá, tìm hiểu trong q trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập,
sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều
hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cơ giáo. Hoạt động dạy học tốn, giải các bài
tốn khó càng có điều kiện thuận lợi giúp cho việc hình thành và phát triển tư duy tích cực,
độc lập, sáng tạo của học sinh một cách tốt nhất
– Tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh được thể hiện một số mặt sau:
+ Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập
khn, máy móc.
+ Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở
nhiều khía cạnh.
+ Phải có óc hồi nghi, ln đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế nào? Liệu có
trường hợp nào nữa khơng ? Các trường hợp khác thì kết luận trên có đúng nữa khơng ?
+ Tính độc lập còn thể hiện ở chổ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.
+ Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.
b. Cơ sở thực tiễn:
Qua nhiều năm giảng dạy, tơi thấy:
– Học sinh yếu tốn là do kiến thức còn hổng, chưa thực sự nắm vững kiến thức, lại
lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong q trình học tập.

Sáng kiến kinh nghiệm

3


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

– Học sinh còn thụ động, làm việc rập khn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích
cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
– Học khơng đi đơi với hành làm cho các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn
luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân khơng được
phát huy hết.
– Khơng ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,
chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
– Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng
khai thác phát triển bài tốn, sáng tạo bài tốn nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập,
sáng tạo của bản thân.
– Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài
tốn trong các các giờ luyện tập, tự chọn...
– Việc chun sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài tốn với nhau, phát triển
một bài tốn sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng cao được
tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học tốn.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao
cho phù hợp.
2. Các biện pháp tiến hành
Để hồn thành đề tài tơi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là:
+ Phương pháp đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
+ Phương pháp thực nghiệm.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
+ Phương pháp trò chuyện.
+ Phương pháp điều tra, trắc nghiệm.
Ngồi ra, tơi còn sử dụng một số phương pháp khác.

Sáng kiến kinh nghiệm

4

Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU
Dạy cho học sinh biết khám phá, tìm tòi, khai thác bài tốn theo những hướng tiếp
cận khác nhau, khơng chỉ dừng lại ở một kết quả, một cách giải, mà còn phải biết đề xuất
cách giải khác, một hướng phát triển bài tốn mới- đó chính là mục tiêu hướng đến của đề
tài này.
II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuyết minh tính mới
- Qua những bài tốn mà học sinh đã giải được, tơi định hướng cho học sinh tư duy
theo các phương pháp như: Tương tự, so sánh, đặc biệt hố, khái qt hố để phát triển thêm
những vấn đề mới, bài tốn mới.
- Trong phần này tơi xin được phép phát triển từ một bài tốn quen thuộc để xây dựng
một số bài tốn khác có liên quan. Nhằm làm cho học sinh thấy được, tầm quan trọng trong
việc thay đổi các giả thiết, tương tự hố bài tốn, liên hệ giữa bài tốn này với bài tốn khác
có liên quan.
Bài tốn mở đầu: Tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100
Việc tính tổng S ở bài tốn trên là hồn tồn quen thuộc, bằng cách dựa vào cách tính của
nhà tốn học Gauss ở sách giáo khoa tốn 6 tập 1
Ta có: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100
S = 100 + 99 + 98 + 97 + ... + 2 + 1
2S = 101 + 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 (có 100 số hạng)
⇒S =

100.101

= 5050
2

Từ bài tốn trên ta có một nhận xét:
2S = (100 + 1) + (100 + 1) + (100 + 1) + ... + (100 + 1) + (100 + 1)
⇒S =

(có100 số hạng)

100.(100 + 1)
2

Như vậy: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 =

100.(100 + 1)
2

Nếu mở rộng tổng trên với n số hạng ta có bài tốn sau:
Bài tốn 1a. Tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n − 1 + n

(n∈¥ )

Dựa vào cách tính tổng như bài tốn mở đầu ta dễ dàng có được:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n − 1 + n =
Sáng kiến kinh nghiệm

n(n + 1)
2
5

Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

Vấn đề tiếp theo là ngồi cách tính trên ta còn có cách tính nào khác nữa hay khơng?
Ta thử phân tích khác như sau:
1.2
2
2.3
=3 =
2

1

=1 =

1+ 2

=6 =

3.4
2

1 + 2 + 3 + 4 = 10 =

4.5
2

1+ 2 + 3

n(n + 1)
2
Ta có thể chứng minh kết quả trên bằng phương pháp quy nạp:
Phải chăng S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n − 1 + n =

Kiểm tra với n = 1 ta có:
S(1) = 1 (đúng)
n(n + 1)
k(k + 1)
đúng với n = k, (k > 1) nghĩa là: S(k) =
2
2
Ta cần chứng minh mệnh đề này đúng với n = k + 1 tức:
Giả sử S(n) =

S(k + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k + k + 1 =

(k + 1)(k + 2)
2

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k =

k(k + 1)
2

k(k + 1)
(k + 1)(k + 2)
+ (k + 1) =

(đpcm)
2
2
Ở bài tốn trên khoảng cách giữa các số hạng là 1 đơn vị. Liệu có thể tính tổng của một dãy
số với khoảng cách giữa các số hạng cho trước tùy ý hay khơng? Ta thử làm bài tốn sau:
Suy ra: S(k + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k + (k + 1) =

Bài tốn 1b. Tính tổng:
A = 2 + 4 + 6 + 8 +… + 2n
B = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1)
Nhận xét:
* Tổng A có thể tính được một cách dễ dàng nhờ cách phân tích:
n (n + 1)
A =  2 + 4 + 6 + 8 + …+ 2n =  2(1 + 2 + 3 + 4 + …+ n) = 2
= n(n + 1)
2
Sáng kiến kinh nghiệm

6


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

A + B =  1 + 2 + 3 + 4 + …+ 2(n − 1) +  2n =
Do đó:

2n(2n + 1)
= n(2n + 1)

2

B =  n(2n + 1) − n(n + 1) =  n 2

* Tổng B có thể tính được bằng cách khác dựa vào cách phân tích sau:
2

1 + 3           

1+ 3 
=   4   =   2 = 
÷
 2 

1 + 3 + 5       

=  9  =   3

2

2

2

 1+ 5 
= 
÷ 
 2 
2

1 + 3 + 5 + 7 

= 16 =  4

2

1+ 7 
= 
÷
 2 

2

1 + 3 + … + (2n − 1) 

 1 + (2n − 1) 
2
=  
÷ = n
2



Tương tự như vậy ta có bài tốn:
Bài tốn 1c. Tính tổng: S = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n − 2)
Có thể phát triển bài tốn 1 ở dạng tổng qt sau đây:
Bài tốn 1d. Tính tổng: S = a1 + a2 + a3 + ... + an
Với ( a1 ≠ 0, an = an −1 + d , n ƒ 2, d ngun dương tùy ý).
Theo đề bài ta có:
a1 = a1

a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
…………………………
an = an-1 + d = a1 + (n – 1)d
Suy ra:

S = a1 + a2 + a3 + ... + an = na1 + d + 2d + 3d + 4d +…+ (n – 1)d

n(a1 + an )
(n − 1)n
d=
2
2
* Tới đây lại xuất hiện vấn đề tiếp theo là liệu có thể tính tổng của một dãy số với
khoảng cách d thay đổi giữa các số hạng hay khơng ?
Xuất phát từ việc phân tích của bài tốn 1a, ta có:
= na1 + [1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n − 1)]d = na1 +

1 + 3 + 6 + 10 + ... +

Sáng kiến kinh nghiệm

n(n + 1) 1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
=
+
+
+ ..... +
2

2
2
2
2
7


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

Từ suy nghĩ trên, ta có thể đề xuất bài tốn sau:
Bài tốn 1e: Tính tổng: E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n+1)
Ta cố gắng tìm cách phân tích để đưa bài tốn về gần với bài tốn 1 bằng cách sau đây:
E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n+1)
= 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n)
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n) + ( 12 + 22 + 32 + ... + n 2 )
Như vậy để tính được tổng E ta cần tính tổng: F = 12 + 22 + 32 + ... + n 2
Việc nghiên cứu bài tốn 1e cho ta nhiều kết quả rất lí thú ta dành lại ở mục riêng,
còn bây giờ ta xét bài tốn sau:
Bài tốn 2: Tính tổng: P(n) = 12+ 22 +32 + .... + n2
Dựa vào cách phân tích và kết quả của bài tốn 1để tính tổng này ta lập bảng sau đây
(Theo một gợi ý của nhà tốn học Polya)
n
A(n)

A(n)

2

P(n)
S(n)
P (n)
s(n)

1
1
1
1
1

2
2
4
5
3

3
3
9
14
6

4
4
16
30
10

5

5
25
55
15

6
6
36
91
21

3
3

5
3

7
3

9
3

11
3

13
3

Dựa vào bảng trên ta có:

P ( n)
2.n + 1
n(n + 1)
=
; với S(n) =
( kết quả bài tốn 1), suy ra:
S ( n)
3
2

P(n) =

2.n + 1
n( n + 1) 2.n + 1 n(n + 1)(2n + 1)
.S(n) hay P(n) =
.
=
3
2
3
6

Có được kết quả này ta đã dựa vào bài tốn số 1a, sử dụng kết quả của nó và mối
quan hệ giữa S(n) và P(n) để tính P(n). Cũng từ đây ta phát triển và mở rộng để được các
bài tốn mới sau đây :
Bài tốn 2a. Tính tổng :
A = 22 + 42 + 62 + .............+ (2n)2
B = 12 + 32 + 52 ……….. + (2n – 1)2
Bằng cách làm tương tự như bài tốn 1b, ta thu được các kết quả sau đây :
2n(n + 1)(2n + 1)

3
Mặt khác ta có:
A =

Sáng kiến kinh nghiệm

8


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

A + B = 12 + 22 + 33 + ... + ( 2n ) =
2

2n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4n + 1)
=
6
3

n(2n + 1)(4n + 1)
n(2n + 1)(4n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 4n 3 − n
−A =
−
=
3
3
3
3

Có thể phát triển bài tốn 2a ở dạng tổng qt sau đây:
Và: B =

Bài tốn 2b. Tính tổng: C = a1 2 + a2 2 + a3 2 + ... + an 2
Với an = an −1 + d ( a1 ≠ 0, d ngun dương tùy ý)
Ta có thể dựa vào quy luật sau:
a12 = a12
a2 2 = ( a1 + d )

2

a32 = ( a2 + d ) = ( a1 + 2d )
2

2

.........................................
an 2 = ( an −1 + d ) = a1 + (n − 1)d 
2

2

Suy ra:
C = a12 + a2 2 + a32 + ... + a n 2 = na12 + 2da1[1 + 2 + 3 + ... + (n − 1)] + d 2 [12 + 2 2 + 32 + ... + (n − 1)2 ]
(n − 1)n
(n − 1)n(2 n − 1)
+ d2 .
2
6
Áp dụng kết quả này ta có thể tính các tổng sau nhanh chóng:

Bài tốn 2c. Tính tổng:
= na12 + 2a1 .d.

n(6n 2 − 3n − 1)
D = 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 1) =
2
n
n +1
E = 2 + 4 + 8 + ... + 2
= 2 −2
2

2

2

2

F = 3 + 6 + 12 + ... + 3.2 n −1

= 3(2 n − 1) (với a n = a n −1.2 ; n ƒ 1)

Bài tốn 3: Tính tổng sau: K(n) =13 + 23 + 43 +..........+ n3
Ta có thể dự đốn kết quả bài tốn dựa vào cách phân tích sau đây:
13 + 23
= 9 = (1 + 2)2
13 + 23 + 33

= 36 = (1 + 2 + 3)2

13 + 23 + 33 + 43 = 100 = (1 + 2 + 3 + 4)2
........................................................
2

1 + 2 + 3 + ... + n
3

3

3

Sáng kiến kinh nghiệm

3

 n(n + 1) 
= (1 + 2 + 3 + ... + n) = 
÷
 2 
2

9


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

Qua việc khảo sát 3 bài tốn trên, một nhu cầu tất yếu đặt ra là có thể tính được tổng
trong trường hợp tổng qt hay khơng ? Ta hãy xuất phát từ bài tốn sau đây :

Bài tốn 4 : Tính tổng : S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n + 1)
Cách thứ 1:
Như đã trình bày ở bài tốn 1e, ta có:
S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n + 1)
= 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n)
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n) + (12 + 22 + 32 + .... + n2)
=

n(n + 1)
2

+

n(n + 1)(2 n + 1)
6

=

n(n + 1)(n + 2)
3

Cách thứ 2:
Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách một
thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b – c
Với S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n +1)
Nhân hai vế đẳng thức trên với 3 ta được:
3.S(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + 5.6.3 + …… ..+ n.(n +1).3
= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4(5 – 2) + 4.5(6 – 3) + …+ n.(n +1)[ (n +2) – (n – 1)]
Suy ra: 3.S(n) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ S(n) =

n(n + 1)(n + 2)
3

Nhận xét :
Đặt :
S2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n +1)
S1(n) = 1 + 2 + 3 + ............... + n
Ta có thể liên hệ nó với bài tốn 1bằng cách nhân S1(n) với 2, thu được:
2. S1(n) = 1.2 + 2.2 + 3.2 + ............... + n.2
Do đó:
S2(n) – 2.S1(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n – 1)
Vế phải của đẳng thức này chính là : S2(n) – n(n+1)
Vì vậy : S2(n) – 2.S1(n) = S2(n) – n(n+1)
n(n + 1)
2
Nhận xét: Trong cách làm trên mặc dù ta chưa tính được S2(n) nhưng lại tính được
tổng S1(n). Điều quan trọng là nó gợi cho ta ý nghĩ rằng muốn tính S 2(n) lại phải liên hệ
với một tổng tương tự khác nữa.
Xét tổng S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ….. + n(n +1)(n +2)
Nhân S2(n) với 3, ta có:
Suy ra : S1 (n) =

Sáng kiến kinh nghiệm

10


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

3.S2(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + 5.6.3 + …… ..+ n.(n +1).3
S3(n) – 3.S2(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… + (n –1)n(n +1)
= S3(n) – n(n +1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2)
3
S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ….. + n.(n + 1).(n + 2)

Do đó: : S2 (n) =
Bài tốn 5: Tính tổng:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
Có thể phát triển bài tốn ở dạng tổng qt như sau:
Bằng cách tương tự ta tính được: S3 (n) =

Bài tốn 6: Tính tổng: Sk(n) = 1.2.…k + 2.3….(k + 1) + ……+ n (n + 1)……(n + k – 1)
Bằng cách tương tự ta xét tổng:
Sk+1(n) = 1.2.…(k + 1) + 2.3….(k + 2) + ……+ n (n + 1)……(n + k)
Nhân Sk(n) với (k + 1) ta có:
Sk+1(n) – (k+1) Sk(n) = Sk+1(n) – n (n +1)……(n + k)
n(n + 1)....(n + k)
k +1
Một vấn đề đáng lưu ý là áp dụng cách tính tưởng như rất đơn giản trên lại cho ta
kết quả quan trọng sau đây:
Vì vậy: Sk (n) =

Bài tốn 7: Tính tổng : Tk(n) = 1k + 2k + 3k +……………+ nk
Để tính tổng trên, ta lần theo lối suy luận quy nạp sau đây:
Do : n( n + 1) = n2 + n , và theo bài tốn 1e ta có :

S2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n + 1)
= (12 + 22 + 33 + ... + n 2 ) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n)
=

T2(n)

+

Suy ra : T2 (n) = S2 (n)  −  S1 (n) =

S1(n)
n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)
−
3
2

n(n + 1)(2n + 1)
6
3
3
3
Tương tự để tính T3(n) =1 + 2 + 3 + .......... + n3 , ta xét S2(n) với chú ý rằng:
(n – 1)n(n + 1) = n3 – n, Ta thấy:
S3(n – 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… + (n – 1)n(n +1)
= (13 + 23 + 33 + .......... + n3) – ( 1 + 2 + 3 + ............... + n )
Hay : 12 + 22 + 33 + ... + n 2 =

Suy ra: T3 (n) = S3 (n − 1) +   S1 (n) =
Sáng kiến kinh nghiệm

(n − 1)n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)
+
4
2
11


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014
2

 n(n + 1) 
Vậy : 1 + 2 + 3 + .......... + n = 
÷
 2 
3

3

3

3

Bằng cách tương tự như vậy ta tính sẽ được Tk(n) nếu biết T1(n), T2(n)… Tk-1(n) và Sk(n).
Bài tốn 8: Tính tổng : R(n) = 1.2 2 + 2.32 + 3.42 + ... + n(n + 1) 2
Ta có:
R(n) = 1.2.(3 – 1) + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5-1) + …+ n.(n+1)[(n+2) – 1]
= [1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …+ n.(n+1).(n+2)] – [1.2 + 2.3 + 3.4 + ….+ n.(n+1)]
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

4

=

Bài tốn 9: Tính tổng sau:

–

n(n + 1)(n + 2)
3

=

n(n + 1)(n + 2)(3n + 5)
12

F(n) = 12.2 + 2 2.3 + 3 2.4 + ... + n 2 (n + 1)

Ta có: F(n) = 1.1.2 + (1+1).2.3 + (1+2).3.4 +…+ [1+(n – 1)].n.(n+1)
= [1.2 + 2.3 + 3.4 +…. + n.(n+1) ] + [ 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ (n – 1).n(n+1)]
n(n + 1)(n + 2)
3

=

+

(n − 1) n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2)(3n + 1)
=

4
12

Bài tốn 10: Tính tổng của dãy số sau: B(n) =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)

Ta có thể phân tích như sau:
1
1
= 1−
1.2
2
1
1 1
= −
2.3 2 3
1 1 1
= −
3.4 3 4
......................
......................

1
1
1
= −
n.(n + 1) n n + 1
Vậy: B(n) =

1
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
= 1−
=
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
n +1 n +1

Có thể mở rộng dần bài tốn như sau :
Bài tốn 11: Tính tổng sau : C(n) =

1
1
1
1
+

+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2)

Nhận xét:

Sáng kiến kinh nghiệm

12


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

1
1 1
1 
= 
−
÷
1.2.3 2  1.2 2.3 
1
1 1
1 
= 
−
÷
2.3.4 2  2.3 3.4 

1
1 1
1 
= 
−
÷
3.4.5 2  3.4 4.5 
..................................................................
..................................................................

1
1 1
1
= 
−
÷
n(n + 1)(n + 2) 2  n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 
C(n) =


1
1
1
1
11
1
n(n + 3)
+
+
+ ... +

=  −
÷=
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2) 2  2 (n + 1)(n + 2)  4(n + 1)(n + 2)

Bài tốn 12: Tính tổng sau: D(n) =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
n(n + 1)(n + 2).(n + 3)

Tương tự như cách phân tích ở bài tốn 11, ta có:
1
1 1
1 
= 
−
÷
1.2.3.4 3  1.2.3 2.3.4 
1
1 1
1 
= 
−

÷
2.3.4.5 3  2.3.4 3.4.5 
1
1 1
1 
= 
−
÷
3.4.5.6 3  3.4.5 4.5.6 
..................................................................
..................................................................

1
1
1
1
= 
−
÷
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3  n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 
D(n) =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)


1 1
1
n(n 2 + 6n + 11)
= 
−
÷=
3  1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3)  18(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trên cơ sở đó ta có thể mở rộng đến bài tốn sau
Bài tốn 13: Tính tổng sau: L(n) =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
(2n − 1)(2n + 1)

Nhận xét:
Sáng kiến kinh nghiệm

13


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

1 1 1
= 1 − ÷
1.3 2  3 
1
11 1
=  − ÷
3.5 2  3 5 
1
11 1
=  − ÷
5.7 2  5 7 
...................................
...................................
1
1 1
1 
= 
−
÷
(2n − 1)(2 n + 1) 2  2n − 1 2n + 1 
Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được kết quả:
L(n) =

1
1
1
1

n
+
+
+ ... +
=
1.3 3.5 5.7
(2n − 1)(2n + 1) 2n + 1

Bài tốn 14: Tính tổng sau: M(n) =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.5 5.9 9.13
(4n − 3)(4n + 1)

Tương tự bài tốn số 11 ta phân tích cũng có quy luật sau:
Nhận xét:
1
1 1
= 1 − ÷
1.5
4 5
1
11 1
=  − ÷

5.9
45 9
1
11 1 
=  − ÷
9.13 4  9 13 
.......................................
.......................................
1
1 1
1 
= 
−
÷
(4n − 3)(4n + 1) 4  4n − 3 4n + 1 
Cộng vế theo các đẳng thức trên ta được:
M(n) =

1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
1.5 5.9 9.13
(4n − 3)(4n + 1) 4n + 1

Từ kết quả của bài tốn 13 và 14 ta có thể tổng qt lên bài tốn sau:
Bài tốn 15: Tính tổng: Q(n) =

Sáng kiến kinh nghiệm

1
1
1
1
+
+
+ ... +
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
anan +1
14


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

Với: a1 = 1, a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ... = a n +1 − a n = b (b là số tự nhiên bất kỳ, b ≠ 0). Khi
đó ta có kết quả sau:
1
1
1
1
n
Q(n) =
+

+
+ ... +
=
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
a n a n +1 a n +1
Cũng có thể chứng minh kết quả này theo Phương pháp quy nạp:
1
1
1
=
=
Với n = 1 ta có: Q(n) =
(đúng)
a1a 2 1.a 2 a 2
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, (k > 1) tức là:
1
1
1
1
k
Q(n) =
+
+
+ ... +
=
(đúng)
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
a k a k +1 a k +1
Ta có: Q(n) =

1
1
1
1
1
k
1
ka + 1
+
+
+ ... +
+
=
+
= k+2
(1)
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
a k a k +1 a k +1a k +2 a k +1 a k +1a k + 2 a k +1a k + 2

Mặt khác ta có: a1 = 1
a 2 − a1 = b
a3 − a 2 = b
a4 − a3 = b
................
a k +1 − a k = b
Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được :
a k + 2 − a1 = a k + 2 − 1 = (k + 1)b
⇔ a k + 2 − 1 = (k + 1)(a k + 2 − a k +1 )
⇔ ka k + 2 + 1 = ka k +1 + a k +1 = a k +1 (k + 1)
Vì a1 = 1 và b = a k + 2 − a k +1 )

Thay ka k + 2 + 1 = a k +1 (k + 1) vào (1) ta được:
Q(n) =

1
1
1
1
1
ka + 1 k + 1
+
+
+ ... +
+
= k+2
=
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
a k a k +1 a k +1a k + 2 a k +1a k + 2
a k+2

Hay mệnh đề đúng n = k + 1
Vậy theo quy nạp ta có: Q(n) =

1
1
1
1
n
+
+
+ ... +

=
(đpcm)
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
a n a n +1 a n +1

Ngồi mục tiêu hướng đến của đề tại này là dạy học cho học sinh biết khám phá, tìm
tòi, khai thác bài tốn theo hướng tiếp cận khác nhau, khơng chỉ dừng lại ở một kết quả, một
cách giải, mà còn biết đề xuất cách giải khác, một hướng phát triển bài tốn mới. Đề tài này
còn giúp học sinh biết sử dụng phương pháp quy nạp tốn học trong việc phát triển và mở
rộng cho bài tốn số học.
Sáng kiến kinh nghiệm

15


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

2. Khả năng áp dụng
– Việc phát triển từ một bài tốn quen thuộc để xây dựng một số bài tốn mới có liên
quan có thể được áp dụng rộng rãi trong những tiết học bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong cả
cấp học ở trường THCS.
– Đối với giáo viên: Có thể sử dụng đề tài này làm tài liệu tham khảo trong việc dạy
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.

3. Lợi ích kinh tế xã hội
a. Đối với học sinh
– Với phương pháp này học sinh cơ hội phát huy tính tích cực, sáng tạo trong việc
học tập mơn tốn nói riêng và tất cả các mơn học khác nói chung.

– Học sinh dần dần hình thành những kỹ năng dự đốn và suy luận có lý, dự đốn
thơng qua quan sát, so sánh, khái qt, quy nạp và phương pháp học tập mới khoa học, hiệu
quả. Tự mình có thể chính lĩnh một kiến khác khoa học ở nhiều khía cạnh khác nhau và phát
triển kiến thức đó thành những vấn đề mới.
b. Đối với giáo viên
– Với đề tài này giúp cho giáo viên phần nào đổi mới phương pháp dạy học tốn, có
nhiều ý tưởng sáng tạo hơn trong việc khai thác và phát triển một vấn đề tốn học khi dạy
học và bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
– Sau khi nghiên cứu và áp dụng đề tài này tơi nhận thấy bước đầu có những kết quả
khả quan. Tơi đã nhận thức được cần phải đổi mới hơn nữa trong việc dạy học và bồi dưỡng
mơn tốn, cần phải phát huy hơn nữa tính tích cực và chủ động sáng tạo của học sinh.
– Qua việc nghiên cứu đề tài đã góp phần nâng cao trình độ chun mơn và hiệu quả
trong việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi mơn tốn ở trường THCS.

Sáng kiến kinh nghiệm

16


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

C. KẾT LUẬN
1. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp
– Trong đề tài này tơi đã chọn lọc một số bài tốn số học điển hình với nhiều cách
giải, nhiều hướng phát triển và mở rộng với mục đích giúp cho các em học sinh tiếp cận một
bài tốn, một vấn đề tốn học khơng chỉ dừng lại ở một kết quả, một cách giải mà phải biết
khai thác, mở rộng và phát triển nó theo những khía cạnh khác nhau, tạo nên những kết quả
mới hay hơn, đẹp hơn. Các khả năng này khơng phải tự nhiên xuất hiện, mà phải trải qua

q trình luyện tập, từ các bài tốn đơn giản đến phức tạp, từ chính sự say mê, u thích tốn
học, đó chính là tiền đề của tư duy sáng tạo.
– Trong q trình giảng dạy, bồi dưỡng việc khai thác bài tốn khơng chỉ cho học
sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng tốn mà cơ bản hơn nó nâng cao tính khái qt hố,
đặc biệt hố một bài tốn để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học
sinh. Hơn nữa, việc liên kết các bài tốn khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ
giúp cho học sinh có hứng thú khoa học hơn khi học tốn.
2. Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp
– Việc xây dựng, khái qt và mở rộng các bài tốn số học trong chương trình tốn
THCS khơng chỉ dừng lại ở các bài tốn số học dạng tính tổng mà hướng đi tiếp theo của đề
tài này là tiếp tục phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh qua việc khai thác và mở rộng
từ một bài tốn đại số, hình học trong chương trình tốn THCS
– Tơi huy vọng rằng, việc áp dụng những tính mới của đề tài này sẽ góp phần gây
hứng thú cho học sinh trong việc học bộ mơn tốn và từng bước nâng cao chất lượng, hiệu
quả trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
3. Đề xuất, kiến nghị
Đối với các cấp lãnh đạo: Cần khuyến khích giáo viên nghiên cứu chọn ra giải pháp
hữu hiệu nhằm nâng cao chất lượng các mơn học, đặc biệt là mơn tốn trong nhà trường.
Động viên, giúp đỡ và khen thưởng những giáo viên có thành tích trong việc nâng cao chất
lượng dạy và học ở nhà trường.
Đối với giáo viên: Phải khơng ngừng đầu tư nghiên cứu tìm ra giải pháp nâng cao
chất lượng giáo dục. Phải khơng ngừng học tập nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ của
bản thân, tích lũy kinh nghiệm từ đồng nghiệp, biết cách áp dụng hợp lí các phương pháp,
các chun đề tốn vào q trình giảng dạy của bản thân.
– Cần nâng cao hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính
tích cực hoạt động của học sinh, đặc biệt đối với việc dạy học và bồi dưỡng mơn tốn.

Sáng kiến kinh nghiệm

17

Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

– Việc rèn luyện cho học sinh những kỹ năng dự đốn và suy luận logic, khoa học, dự
đốn, quan sát, so sánh, khái qt, quy nạp và phương pháp học tập mới khoa học cần phải
được áp thường xun với tất cả các đối tượng học sinh và trong tất cả các tiết học để đạt
hiệu quả giáo dục ngày càng tốt hơn.
Trong q trình nghiên cứu đề tài này, do thời gian thực hiện ngắn nên tơi khơng
tránh được những sai sót, rất mong được sự góp ý của hội đồng khoa học để đề tài ngày càng
hồn thiện hơn
Tơi xin cảm ơn Thạc sĩ Trần sỹ Hồng – Giảng viên trường Cao Đẳng Bình Định đã
giúp đỡ tơi hồn thành đề tài này.

Giáo viên thực hiện

Trần Đình Hồng

Sáng kiến kinh nghiệm

18


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.

Hồng Chúng: Rèn luyện khả năng sáng tạo tốn học ở trường
phổ thơng. NXB TP.HCM. 1993
2. Nguyễn Hữu Điển: Phương pháp quy nạp tốn học. NXBGD. Hà Nội, 2000
3. Nguyễn Hữu Hoan: Lý Thuyết Số. NXB ĐẠI HỌC SƯ PHẠM. Hà Nội, 2004
4. Nguyễn Hữu Hoan: Bài tập số học. NXB ĐẠI HỌC SƯ
PHẠM. Hà Nội,
2004.
5. Nguyễn Hữu Hoan: Số học phổ thơng. NXB ĐH và TCCN. Hà Nội, 1986
6. Đặng Văn Hương- Nguyễn Chí Thanh: Một số phương pháp dạy học mơn tốn
theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh THCS. NXB ĐẠI HỌC
SƯ PHẠM. Hà Nội, 2007.
7. Nguyễn Tiến Tài: Cơ sở số học. NXB ĐẠI HỌC SƯ PHẠM. Hà Nội, 2005
8. Vũ Hữu Bình: Nâng cao và phát triển tốn 6 tập 2. NXBGD. Hà Nội, 2011

______________________________________

Sáng kiến kinh nghiệm

19


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG

Sáng kiến kinh nghiệm

20