mở đầu về nguyên hàm pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
2
x  1
1
1
xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
 2  2
2
2
 

( )

(

)

(

)

 x3  1
1
1
x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
 3  3
3
3
 
dx
1 d ( ax + b ) 1
dx
=
= d ( ln ax + b ) 
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x
1
1
1

sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) 
→ sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) 
→ cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b 
→ e2 x dx = d e 2 x ...
a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
=
= d  tan ( ax + b )  
→
= d ( tan 2 x ) ...

2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2

( )

(

)

(

dx
sin

2

( ax + b )

=

(

)

)

( )

1 d ( ax + b )
1
dx
1
= − d cot ( ax + b )  
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó

F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1:

( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có

( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm.

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

b) Tính chất 2:
Chứng minh:

Theo tính chất 1 ta có,

( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0

Từ đó ta có

Chứng minh:

(

)

′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x) 
→ ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..

d) Tính chất 4:

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Công thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C

Công thức 2: ∫ x n dx =

x n +1

+C
n +1

Chứng minh:
 x n +1
′
x n +1
+ C  = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
Thật vậy, do 
n +1
 n +1

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =

u n +1
+C
n +1

1
dx
dx
du
+) Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ←
→∫
=2 u +C
2

x
2 x
u
dx
1
du
1
+) Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ←
→∫ 2 = − + C
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1

c)

∫

3

1

2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
− + C = 33 x − + C
1
x
x
2
2
2
3

( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) 
→I =
2
5
5

4

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
e) I = ∫ (1 − 3x )
f) I = ∫

Facebook: LyHung95

(1 − 3x ) + C
1
2010
u n du
dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) 
→I = −
3
2011
du
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
= ∫
→ I = − .
+C =−
+C
2
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)
2011

2010

dx

( 2 x + 1)

2

g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫

3
3
1
1 2
3
2 +C =
2 +C
x
+
d
x
+
⇒
I
=
x
+
x
+
4

5
4
5
.
4
5
4
5
(
)
(
)
(
)
4∫
4 3
8

dx
= ln x + C
x

Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được

du

∫u

= ln u + C

1
 dx
= ln 2 x + k + C
1 d ( ax + b ) 1
dx
 ∫ 2x + k 2
+ ∫
=
= ln ax + b + C 
→
ax + b a ∫ ax + b
a
 dx = − 1 ln k − 2 x + C
2
 ∫ k − 2 x
Ví dụ:
1 1
1
dx x 4

a) ∫  x3 +
+  dx = ∫ x3 dx + ∫
dx + ∫ =

+ 2 x + ln x + C
x
4
x x
x

du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
→ I = ln 3x + 2 + C
3x + 2 3
3x + 2
3
2x2 + x + 3
3
dx
3 d ( 2 x + 1)
3


c) ∫
dx = ∫  2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
 dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1 
2x + 1

2
2x + 1
2


b) I = ∫

Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+ ∫ sin ( ax + b ) dx =

1
1
1
sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C 
→ ∫ sin 2 xdx = − cos2 x + C
∫
a
a
2

Ví dụ:
3
1 
dx
1 d ( 2 x − 1)


a) ∫  x x + s inx +
= ∫ x 2 dx − cos x + ∫
=
 dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫
2x −1 
2x −1
2 2x −1

5

2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3 
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3

= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
b) ∫  sin 2 x +
 dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3 
4x − 3 2
4

4x − 3
2
4

x


c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx
2


1
1
 x 1
x
Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
1
x
x
x  x 1


∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3

Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =

1
1
1
cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C 
→ ∫ cos2 xdx = sin 2 x + C
∫
a
a
2

Ví dụ:
4x − 1 
5 


a) ∫  cos x − sin x +
 dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −
 dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1 
x +1


1
x2
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1 − cos2 x
1
1
1
1
1 1

c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2
2
4
2

4
2 2

Công thức 6: ∫

dx
= tan x + C
cos 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =

1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

du

∫ cos u = tan u + C
2

1

dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2

∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos
2

2

Ví dụ:
dx
1
 1

a) ∫ 
+ cos x − sin 2 x  dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
2
2
cos x
2

 cos x


1
2 
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫ 
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
 dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
 cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 
du

1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du

dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=− ∫

→ I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
2
2
cos ( 3 − 2 x )
2 cos ( 3 − 2 x )
2

→=
cos2 u

Công thức 7: ∫

dx
= − cot x + C
sin 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =

1
dx
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
sin 2 x

sin x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

1

du

∫ sin u = − cot u + C
2

dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2

∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin
2

2

Ví dụ:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
dx
1
x6


a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3


du
dx
1 d (1 − 3 x )
1
1
sin 2 u
b) I = ∫ 2
=− ∫ 2


→ I = − −
cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3

 x
d 
du
dx
2
 x
sin 2 u
c) I = ∫
= 2 ∫   
→ I = −2 cot   + C
x
x




2
sin 2  
sin 2  
2
2

Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C
1
 2 x+ k
e dx = e 2 x + k + C
∫

1
1

2
→
+) ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C 
a
a
 e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
 ∫
2
Ví dụ:
1
4 
dx
4
1
1 d ( 3x )


a) ∫  e −2 x +1 − 2 +
dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x

sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x


1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3

b)

∫ ( 4e

3 x+2

+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =

4 3x+2
1
e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )
∫

3
3

4
1
= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3

Công thức 9: ∫ a x dx =

ax
+C
ln a

Chứng minh:
 ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do 
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
 ln a

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+) ∫ a kx + m dx =

1 kx + m
1
a d ( kx + m ) = a kx + m + C
∫
k
k

Ví dụ:
1 3x
1 2x
23 x
32 x
a u du
2
d
3
x
+
3
d
2
x

→
I
=
+
+C
( ) ∫

( )
3∫
2
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4

a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)

∫ (2

1− 2 x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C

• ∫ a x dx =

• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•

x

α +1

α +1

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

• ∫ cos xdx = sin x + C

+ C,

(α ≠ −1)

• ∫ sin xdx = − cos x + C

1

∫ x dx = ln x + C

• ∫ e x dx = e x + C

•

∫

•

∫

1
cos2 x
1
sin2 x

dx = tan x + C

dx = − cot x + C

1
• ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

• ∫ eax + b dx =

1
• ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

•

1

1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1: [ĐVH]. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
 F ( x) = (4 x − 5)e x
a) 
x
 f ( x) = (4 x − 1)e

 F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5
b) 
5
3
 f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3


 x2 + 4 
 F ( x) = ln  2


 x +3
c) 

−2 x
 f ( x) =
2

( x + 4)( x 2 + 3)


 F ( x) = ln

d) 
 f ( x) = 2


x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
2( x 2 − 1)
x4 + 1

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các nguyên hàm sau
1

1) ∫  x 2 – 3 x +  dx = ..........................................................................
x


2) ∫
3)

2 x4 + 3
dx = ..................................................................................

x2

∫

x −1
dx = ...................................................................................
x2

( x 2 − 1)2
4) ∫
dx = ..............................................................................
x2

5) ∫

(

)

x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................

2 
 1
6) ∫ 
− 3  dx = ...............................................................................
x
 x

7) ∫ 2sin 2

x
dx = .............................................................
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................
9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................
10) ∫

1
dx = .........................................................................................
sin x.cos 2 x

11) ∫

cos 2 x
dx = ....................................................................................................................................
sin 2 x.cos 2 x

2

12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................
13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................


e− x 
14) ∫ e x  2 +
 dx =.......................................................................................
cos 2 x 

2x 

15) ∫  e3 x +1 +
 dx = ......................................................................................................................
x −1 


Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =

3 − 5x 2
;
x
x3 − 1
x2

;

g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =

F (1) = 3

b) f ( x ) = 3 − 5 cos x;

F ( e) = 1

d) f ( x ) =

F (−2) = 0

f) f ( x ) = x x +

π
F '  = 0
3

h) f ( x ) =

x3 + 3x3 + 3x − 7
( x + 1)2

;

F (0) = 8

x2 + 1
;
x

F (π) = 2

F (1) =
1

;

x

3x 4 − 2 x 3 + 5
x2

3
2

F (1) = −2
; F (1) = 2

x
π π
k) f ( x) = sin 2 ; F   =
2
2 4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;

π
F  =3
2

b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;

F (π) = 0

c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;

F (2) = −2

Bài 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3
a) 
. Tìm m.
2
 f ( x ) = 3 x + 10 x − 4

 F ( x ) = ln x 2 − mx + 5

b) 
. Tìm m.
2x + 3
 f (x) = 2
x + 3x + 5


Bài 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
a) 
. Tìm a, b, c.
 f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x

Facebook: LyHung95

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
b) 
. Tìm a, b, c.
x
 f ( x ) = ( x − 3)e

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x
a) 
. Tìm a, b, c.
2
−2 x
 f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x
b) 
. Tìm a, b, c.
2
−x
 f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e

Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):


b
c

a)  F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
 f ( x ) = cos x
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3

b) 
. Tìm a, b, c.
20 x 2 − 30 x + 7
f
(
x
)
=

2x − 3


Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
1) I1 =

∫(x

5

)

+ 2 x dx

 1

2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx
x


 1
2 x
− 4 x 3 + 2  dx
4) I 4 = 
 5
x 
 x

∫

∫(

∫

3) I 3 =

1 

5) I 5 = ∫  x +
dx
x


6) I 6 = ∫

)

x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx

5

2 x4 + 3
dx
x2

Bài 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
7) I 7 = ∫

(

)

x −1

2

dx
x
3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1
10) I10 = ∫
dx
x2

8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx
2

3

11) I11 = ∫

9) I 9 = ∫

x2 − x x − x
dx
x

(x

3

16) I16 = ∫

(

x − 24 x

)( x − x ) dx

2

1 

14) I14 = ∫  x + 3  dx

x

1
17) I17 =
dx
(2 x − 3)5

∫

+ 4)

2

dx
x2
1 
 1
12) I12 = ∫ 
− 3  dx
x
 x

Bài 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
1 

13) I13 = ∫  x −
 dx
x


2

(

2 x − 3 3x

15) I15 =

∫

18) I18 =

∫ ( x − 3)

x
x +1

4

)

2

dx

dx

Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
x
 x π


19) I19 = sin  +  dx
20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx
3
2 7

 
π
x +1
2 x
22) I 22 =  sin  3x +  − sin
 dx 23) I 23 = ∫ cos dx
4
2 
2
 

∫

∫

∫

x


21) I 21 = ∫  sin + x  dx
2



x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2

Bài 10: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
26) I 26 = ∫

dx
cos 2 4 x

29) I 29 = ∫ tan 4 x dx

27) I 27 = ∫

dx
cos ( 2 x − 1)
2

30) I 30 = ∫ cot 2 x dx

28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
31) I 31 = ∫

dx
sin ( 2 x + 3)
2

Bài 11: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
32) I 32 = ∫

dx
1 − cos 6 x

1 

35) I 35 = ∫  sin 2 x −
 dx
2 − 5x 


1


33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx
x


x+2
36) I 36 = ∫
dx
x−3

1 

34) I 34 = ∫  x 2 +
 dx
3x + 2 

2x −1
37) I 37 = ∫

dx
4x + 3

Bài 12: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x
dx
6 − 5x
3x 3 + 2 x 2 + x + 1
41) I 41 = ∫
dx
x+2

38) I 38 = ∫

x 2 + x + 11
dx
x+3
4 x3 + 4 x 2 − 1
42) I 42 = ∫
dx
2x + 1

39) I 39 = ∫

Bài 13: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
44) I 44 = ∫ e −2 x + 3 dx

45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx


2
47) I 47 = ∫  e− x + 2
 dx
sin (3 x + 1) 



e− x 
48) I 48 = ∫ e x  2 +
 dx
cos 2 x 


Facebook: LyHung95
2x2 − x + 5
dx
x −1
4 x2 + 6x + 1
43) I 43 = ∫
dx
2x + 1

40) I 40 = ∫

46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx
2

49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx

Bài 14: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
50) I 50 =

∫

1
dx
2x

51) I 51 =

∫

2x
dx
7x

∫

52) I 52 = 32 x +1 dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!