chuyên đề vecto và tọa độ không gian

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Tọa độ của vectơ và của điểm:
u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk
Cho 
 M = ( x; y; z ) ⇒ OM = u = xi + y j + zk
Nếu A = ( xA ; y A ; z A ), B = ( xB ; yB ; z B ) 
→ AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu:
Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) .

u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 )
ku = (kx1 ; ky1 ; kz1 ), k ∈ ℝ
Khi đó

mu ± nv = (mx1 ± nx2 ; my1 ± ny2 ; mz1 ± nz2 ), m, n ∈ ℝ
u = x12 + y12 + z12 ; v = x22 + y22 + z22 
→ AB = ( xA − xB )2 + ( y A − yB ) 2 + ( z A − z B )2
 x1 = x2

u = v ⇔  y1 = y2
z = z
2
 1

Hai vectơ cùng phương:

 x2 = kx1
x
y
z

Hai vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) cùng phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : v = ku ⇔  y2 = ky1 hay 2 = 2 = 2
x1 y1 z1
 z = kz
1
 2
Tích vô hướng của hai vectơ:
Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) .

( )

Tích vô hướng của hai véc tơ cho bởi u.v = u v .cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

( )

Từ đó suy ra cos u , v =

u.v
u.v

=

x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
x + y12 + z12 x22 + y22 + z22
2
1


→ u ⊥ v ⇔ u.v = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0

Ví dụ 1: [ĐVH]. Trong hệ tọa độ Oxy cho: a = (1; −1;0), b = ( −1;1;2), c = i − 2 j − k , d = i
a) Xác định k để véctơ u = (2;2k − 1;0) cùng phương với a .
b) Xác định các số thực m, n, p để: d = ma − nb + pc
c) Tính a ; b ; a + 2b

Hướng dẫn giải:
1
−1
1
a) Để u cùng phương với a ⇔ =
⇔k =−
2 2k − 1
2
b) c = i − 2 j − k ⇒ c(1; −2; −1); d = i ⇒ d (1;0;0)

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

3

m=


2
 ma = (m; −m;0)
m + n + p = 1


1


→ d = ma − nb + pc ⇔  −m − n − 2 p = 0 ⇔  n =
Ta có  nb = (−n; n;2n) 
2

 −2n − p = 0

=
−
−
pc
(
p
;
2
p
;
p
)

 p = −1





c) a = 12 + (−1)2 = 2; b = (−1)2 + 12 + 22 = 6
a + 2b = (1 − 2.1; −1 + 2.1;0 + 2.2) = (−1;1;4) 
→ a + 2b = (−1) 2 + 12 + 42 = 18 = 3 2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3).
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
b) Tính cosin các góc của tam giác ABC.
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có AB = DC = (1; −2;1) nên ABCD là hình bình hành
→ AB.BC ⇔ ABC = 900 . Vậy ABCD là hình chữ nhật
Lại có AB.BC = 1.2 − 2.1 + 0.1 = 0 
S ABCD = AB. BC = 12 + 12 + 22 . 22 + 12 = 30
b) Gọi góc giữa các cạnh của tam giác ABC là φ1; φ2; φ3
Ta có AB = (1; −2;1); BC = (2;1;0); AC = (3; −1;1)
Do góc giữa 2 đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có:
1.2 − 2.1 + 1.0
=0
cos φ1 = cos AB; BC =
12 + 22 + 12 . 12 + 22
1.3 + 2.1 + 1.1
6
cos φ 2 = cos AB; AC =
=
2
2
2
2

2
2
66
1 + 2 +1 . 1 +1 + 3
2.3 − 1.1 + 0.1
5
cos φ3 = cos BC ; AC =
=
2
2
2
2
2
55
2 +1 . 1 +1 + 3

(

)

(

)

(

)

c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0) 
→ IA = (1; −1 − y;1), IB = (2; −3 − y;2)

I cách đều A và B khi IA = IB ⇔ IA2 = IB 2 ⇔ 12 + (1 + y ) 2 + 12 = 22 + (3 + y )2 + 22 ⇔ y =

−7
 −7 

→ I  0; ;0 
2
 2 

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; 2 ) . Tìm toạ độ của các vectơ u với:
1
a) u = 4a − b + 3c
2

b) u = a − 4b − 2c

1
4
e) u = a − b − 2c
2
3
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1; −1;1) , b = ( 4; 0; −1) , c = ( 3; 2; −1) . Tìm:

d) u = 3a − b + 5c

b) a 2 ( b .c )

a) ( a.b ) c

2

c) u = −4b + c
3
3
2
f) u = a − b − c
4
3

c) a 2 b + b 2 c + c 2 a

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = ( 2;1;1) , b = ( 0; 3; −4 ) , c = ( m; m + 1; 3) . Tìm m để
a) a + 2b − 3c = 2 69

(

(Đ/s: m = 2)

)

b) a + 3c .b = 0

(

)

22
(Đ/s: m = 1)
3045
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1; 3; 4 ) , b = ( 2; −1; −1) , c = ( 2m; m;1) . Tìm m để

c) cos a + b; b − 2c =

a) 2a + c = 74

(

)(

(Đ/s: m = 1)

)

b) b + 2c . 2a − c = 0

(Đ/s: m = –2)

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hai vectơ a , b . Tính X, Y khi biết
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 a = 4, b = 6
a) 
 X = a − b
 a = (2; −1; −2), b = 6, a − b = 4
b) 
Y = a + b

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1).

a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành.
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA + 3MB − 2CM = 0
Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm A(3;1;0), B (−2; 4;1)

 11 
Đ/s: M  0; ;0 
 6 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Tìm tọa độ chân đường vuông góc H của tam giác OAB với A(−3; −2;6), B (−2; 4;4), O (0;0;0)
 96 80 192 
Đ/s: H  − ; ;

 41 41 41 

Bài 2: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3).

Bài 3: [ĐVH]. Tìm điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C với A(1;1;2), B (−1;2;5)

6
2
Đ/s: D(2;2;2;)
 1 
Đ/s: M  1; ;0 
 2 
Đ/s: C ( −2;0;0 )

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại B với A(2; −1;0), B (1; −1;1)

Đ/s: C ( 0;3;0 )

a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành.
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA − 2 MB + MC = MD, với D(4; 3; 2)

Đ/s: S =

Bài 5: [ĐVH]. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz sao cho M cách đều các điểm A(1;1;1), B (−1;1;0), C (3;1; −1)
7
5
Đ/s: M  ;0; − 
6
6

Bài 6: [ĐVH]. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 4;2;1) , B ( −1;0;3) , C ( 2; −2;0 ) , D ( −3; 2;1)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng
b) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A
c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Bài 7: [ĐVH]. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C (1;1; −2 )
a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
b) Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh 3 điểm G, H, I thẳng hàng.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!