VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn




Tọa độ của vectơ và của điểm:
Cho
( ; ; )
( ; ; )
u x y z u xi y j zk
M x y z OM u xi y j zk

= ⇔ = + +


= ⇒ = = + +


    
    

N
ế
u
(
)
( ; ; ), ( ; ; ) ; ;
A A A B B B B A B A B A
A x y z B x y z AB x x y y z z
= = → = − − −




Vect
ơ
b
ằ
ng nhau. T
ọ
a
độ
c
ủ
a vect
ơ
t
ổ
ng, vect
ơ
hi
ệ
u:
Cho
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )
u x y z v x y z
= =
 
.
Khi

đ
ó
( )
1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
1 2
; ;
( ; ; ),
( ; ; ), ,
; ( ) ( ) ( )
A B A B A B
u v x x y y z z
ku kx ky kz k
mu nv mx nx my ny mz nz m n
u x y z v x y z AB x x y y z z
x x
u v y y
z z
± = ± ± ±
= ∈
± = ± ± ± ∈
= + + = + + → = − + − + −
=



= ⇔ =


=

 

ℝ
 
ℝ
 
 


Hai vectơ cùng phương:
Hai vectơ
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )
u x y z v x y z
= =
 
cùng phương
2 1
2 2 2
2 1
1 1 1
2 1
:
x kx
x y z

k v ku y ky hay
x y z
z kz
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ = = =


=

 
ℝ


Tích vô h
ướ
ng c
ủ
a hai vect
ơ
:
Cho
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )
u x y z v x y z
= =
 
.
Tích vô h

ướ
ng c
ủ
a hai véc t
ơ
cho b
ở
i
(
)
1 2 1 2 1 2
. .cos ,
u v u v u v x x y y z z
= = + +
     

Từ đó suy ra
( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos , . 0 0
.
x x y y z z
u v
u v u v u v x x y y z z
u v
x y z x y z

+ +
= = → ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
+ + + +
 
     
 

Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho:
= − = − = − − =
(1; 1;0), ( 1;1;2), 2 ,
 
   
 
a b c i j k d i

a) Xác
đị
nh k
để
véct
ơ

= −
(2;2 1;0)

u k
cùng ph
ươ
ng v
ớ

i
.

a

b) Xác
đị
nh các s
ố
th
ự
c m, n, p
để
:
= − +
   
d ma nb pc

c) Tính
+
; ; 2
   
a b a b

Hướng dẫn giải:
a)
Để
u

cùng phương với

1 1 1
2 2 1 2
a k
k
−
⇔ = ⇔ = −
−


b)
2 (1; 2; 1); (1;0;0)
c i j k c d i d= − − ⇒ − − = ⇒
   

 


01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
Ta có
3
2
( ; ;0)
1
1
( ; ;2 ) 2 0
2
2 0

( ; 2 ; )
1
m
ma m m
m n p
nb n n n d ma nb pc m n p n
n p
pc p p p
p

=


= −
+ + =



  
= − → = − + ⇔ − − − = ⇔ =
  
  
− − =
= − −


= −






    


c)
2 2 2 2 2
1 ( 1) 2; ( 1) 1 2 6
a b= + − = = − + + =
 

2 2 2
2 (1 2.1; 1 2.1;0 2.2) ( 1;1;4) 2 ( 1) 1 4 18 3 2
+ = − − + + = − → + = − + + = =
   
a b a b

Ví dụ 2:

Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3).
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
b) Tính cosin các góc của tam giác ABC.
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
Ta có
(1; 2;1)
AB DC= = −
 
nên ABCD là hình bình hành
L
ạ
i có

0
. 1.2 2.1 0.1 0 . 90
AB BC AB BC ABC= − + = → ⇔ =
   
. V
ậ
y ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t
2 2 2 2 2
. 1 1 2 . 2 1 30
ABCD
S AB BC= = + + + =
b)
G
ọ
i góc gi
ữ

a các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác ABC là
φ
1;

φ
2
;
φ
3

Ta có
(1; 2;1); (2;1;0); (3; 1;1)
AB BC AC= − = = −
  

Do góc gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng không v
ượ
t quá 90
0
nên ta có:

( )
( )
( )
1
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2
1.2 2.1 1.0
cosφ cos ; 0
1 2 1 . 1 2
1.3 2.1 1.1
6
cosφ cos ;
66
1 2 1 . 1 1 3
2.3 1.1 0.1
5
cosφ cos ;
55
2 1 . 1 1 3
AB BC
AB AC
BC AC
− +
= = =
+ + +
+ +
= = =

+ + + +
− +
= = =
+ + +
 
 
 

c)
Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0)
(1; 1 ;1), (2; 3 ;2)
IA y IB y
→ = − − = − −
 

I cách đều A và B khi
2 2 2 2 2 2 2 2
7 7
1 (1 ) 1 2 (3 ) 2 0; ;0
2 2
IA IB IA IB y y y I
− −
 
= ⇔ = ⇔ + + + = + + + ⇔ = →
 
 

Ví dụ 3: Cho:
(
)

(
)
(
)
2 5 3 0 2 1 1 7 2
− −
= = =
; ; ; ; ; ;
, ,
a b c

 
. Tìm to
ạ

độ
c
ủ
a các vect
ơ

u

v
ớ
i:
a)
1
4 3
2

= − +
u a b c

  
b)
4 2
= − −
u a b c

  
c)
2
4
3
= − +
u b c

 

d)
3 5
= − +
u a b c

  
e)
1 4
2
2 3
= − −

u a b c

  
f)
3 2
4 3
= − −
u a b c

  

Ví dụ 4: Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
(
)
1 11 4 0 1 3 2 1
= − = − = −
; ; , ; ; , ; ;
a b c

 
. Tìm:
a)
(
)

.
a b c

 
b)
(
)
2
.
a b c

 
c)
2 2 2
+ +
a b b c c a
 
   

Ví dụ 5: Cho ba vect
ơ

(
)
(
)
(
)
2 1 1 0 3 4 1 3
= = − = +

; ; , ; ; , ; ;
a b c m m

 
. Tìm m
để

a)
2 3 2 69
+ − =a b c
  
(
Đ
/s: m = 2)
b)
(
)
3 . 0
+ =
a c b
  

c)
( )
22
cos ; 2
3045
+ − =a b b c
   
(Đ/s: m = 1)

Ví dụ 6:
Cho ba vectơ
(
)
(
)
(
)
1 3 4 2 1 1 2 1
= = − − =
; ; , ; ; , ; ;
a b c m m

 
. Tìm m để
a)

2 74
+ =a c
 
(Đ/s: m = 1)
b)

(
)
(
)
2 . 2 0
+ − =
b c a c

   
(Đ/s: m = –2)
Ví dụ 7:
Cho hai vectơ
,
a b


. Tính X, Y khi biết
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn
a)
4 6

= =

= −

,a b
X a b





b)
2 1 2 6 4

= − − = − =


= +

( ; ; ), ,a b a b
Y a b
 
 



Ví dụ 8: Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1).
a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành.
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức
3 2 0
+ − =
MA MB CM
   

Ví dụ 9: Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm
(3;1;0), ( 2;4;1)
−
A B
Đ
/s:
11
0; ;0
6
 
 
 

M
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:
Tìm t
ọ
a
độ
chân
đườ
ng vuông góc H c
ủ
a tam giác OAB v
ớ
i
( 3; 2;6), ( 2;4;4), (0;0;0)
− − −
A B O
Đ
/s:
96 80 192
; ;
41 41 41
 
−
 
 
H
Bài 2:
Cho các
đ

i
ể
m A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3).
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ABC là m
ộ
t tam giác. Tính chu vi và di
ệ
n tích tam giác ABC.
Đ
/s:
6
2
=S
b)
Tìm
đ
i
ể
m D
để
ABCD là m
ộ
t hình bình hành.
Đ
/s: D(2;2;2;)

c)
Tìm
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c
2 ,
− + =
MA MB MC MD
   
v
ớ
i D(4; 3; 2)
Đ
/s:
1
1; ;0
2
 
 
 
M
Bài 3:
Tìm

đ
i
ể
m C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông t
ạ
i C v
ớ
i
(1;1;2), ( 1;2;5)
−
A B
Đ
/s:
(
)
2;0;0
−C
Bài 4:
Tìm
đ
i
ể
m C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông t
ạ
i B v
ớ
i
(2; 1;0), (1; 1;1)
− −
A B

Đ
/s:
(
)
0;3;0
C
Bài 5:
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng xOz sao cho M cách
đề
u các
đ
i
ể
m
(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)
− −
A B C
Đ
/s:
5 7

;0;
6 6
 
−
 
 
M
Bài 6:
Trong không gian Oxyz cho 4
đ
i
ể
m
(
)
(
)
(
)
(
)
4;2;1 , 1;0;3 , 2; 2;0 , 3;2;1
− − −A B C D
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A, B, C, D không
đồ

ng ph
ẳ
ng
b)
Tính th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n ABCD và
đườ
ng cao c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n h
ạ
t
ừ

đỉ
nh A
c)
Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB sao cho tam giác MCD có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 7:
Trong không gian Oxyz, cho 3
đ
i
ể
m:
(
)
(
)
(
)
2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2

− −
A B C
a)
Tìm t
ọ
a
độ
tr
ự
c tâm tam giác ABC
b)
Tìm t
ọ
a
độ
I là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC
c)
Gi
ả
s
ử
G là tr
ọ
ng tâm c

ủ
a tam giác ABC. Ch
ứ
ng minh 3
đ
i
ể
m G, H, I th
ẳ
ng hàng.