Lượng giác hoá để chứng minh BĐT

Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
P=

a
b
3c
+
+
.
2
1 + a 2 1 + b2
1+ c

Lời giải. Từ điều kiện a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 ta có thể đặt
A
B
C
, b = tan , c = tan ,
2
2
2
với A, B, C là ba góc của một tam giác. Khi đó
a = tan

1
1
C
A+ B
A−B
C

P = sin A + sin B + 3sin = sin
cos
+ 3sin
2
2
2
2
2
2
C
C
≤ cos + 3sin ≤ 10.
2
2
A− B

cos 2 = 1 a = b = 10 − 3
⇔
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
c = 3.
 tan C = 3

2
Bài 2. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
xyz
x
y
+
+

.
x + yz y + xz z + xy

P=

Lời giải. Giải bằng phương pháp lượng giác hóa
xy
1
1
z .
+
+
Ta có P =
yz
xz
xy
1+
1+
1+
x
y
z
Đặt

yz
A
= tan ,
x
2

zx
B
= tan ,
y
2

1= x + y + z =

xy
C
= tan , với 0 < A, B, C < π . Khi đó
z
2

xy zx
.
+
z
y

yz xy
.
+
x
z

zx yz
.
y
x

A
B
B
C
C
A
tan + tan tan + tan tan .
2
2
2
2
2
2
Suy ra A, B, C là ba góc của một tam giác và
⇔ 1 = tan

P=

1
1 + tan 2

A
2

+

1
1 + tan 2

B
2

+

tan

C
2

1 + tan 2

C
2

1
=1 + (cos A + cos B + sin C ).
2
1

= cos 2

A
A 1
+ cos 2 + sin C
2
2 2


Mặt khác

π
π
C−
3 cos
3
2
2

C+

π
A+ B
A− B
= 2cos
cos
+ 2sin
3
2
2
π
π
C−
A+ B+C −
A+ B
3 ≤ 4cos
3 = 4 cos π = 2 3.
≤ 2cos
+ 2cos
2

2
2
6
cos A + cos B + sin C + sin

1
3
3 3
=1+
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Do đó P ≤ 1 +  2 3 −
÷
÷
2
2 
4

π

A+ B =
A = B



6
⇔
⇔

π
2

π
C
+
=
π

C =
3

3

yz
=
x

zx
π
= tan = 2 − 3,
y
12

xy
π
= tan = 3
z
3

⇔ x = y = 2 3 − 3, z = 7 − 4 3.
1
Nhận xét. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 + (cos A + cos B + sin C ) ta có thể

2
thực hiện nhiều cách khác nhau
1
C
C
C
Cách 2. Ta có P = 1 + (cos A + cos B + sin C ) ≤ 1 + sin + sin
1 − sin 2 .
2
2
2
2
Đặt t = sin

C
với 0 < t < 1. Khi đó P ≤ 1 + t + t 1 − t 2 .
2

Xét hàm số f (t ) = 1 + t + t 1 − t 2 trên (0; 1).
Ta có f '(t ) =

1 − t 2 + 1 − 2t 2
1− t2

dương sang âm khi t đi qua

; f '(t ) = 0 ⇔ 1 − t 2 = 2t 2 − 1 ⇔ t =

3
và f '(t ) đổi dấu từ

2

 3
3 3
3
=
1
+
.
nên max f (t ) = f 
÷
÷
(0; 1)
2
4
2



1
C
C
C
Cách 3. Ta có P = 1 + (cos A + cos B + sin C ) ≤ 1 + sin + sin
1 − sin 2
2
2
2
2
C 1

C
C
C 1
= 1 + sin +
sin
3 − 3sin 2 ≤ 1 + sin +
2
2
2
2
3
3

sin 2

C
C
+ 3 − 3sin 2
2
2
2
2

1
C
C
3
3 3 1  C
3
3 3

=−
sin 2 + sin + 1 +
=1+
−
≤1+
.
 sin −
÷
÷
2
2
2
4
2
2 
4
3
3
Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức

2


P=

2
2
3
− 2

+ 2 .
a +1 b +1 c +1
2

(Học sinh giỏi Quốc gia, 2002)
Lời giải. Ta có abc + a + c = b ⇔ ac +
a = tan

a c
+ = 1. Từ đó ta có thể đặt
b b

A 1
B
C
, = tan , c = tan , với A, B, C là ba góc một tam giác.
2 b
2
2

Khi đó
P = 2cos 2
= 2sin

A
B
C
C

− 2sin 2 + 3cos 2 = cos A + cos B + 3 1 − sin 2 ÷

2
2
2
2


C
C
C
 A− B 
2 C
cos 
+ 3 ≤ 2sin − 3sin 2 + 3
÷− 3sin
2
2
2
2
 2 
2

10
 C 1  10
= − 3  sin − ÷ ≤ .
3
2 3
3

A = B
1

1

, b = 2, c =
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi  C 1 ⇔ a =
sin
=
2
2
2

2 3

3